3次方程式の解の公式

3次方程式の「解の公式」の導出方法について説明します。「公式」の導出は、2段階に分けて行います。

一見複雑に見える箇所もあるかもしれませんが、必要な知識は基本的には中学~高校数学程度の式変形です。

①3次方程式の2次の項を、変数の置き換えで消去する

まず、任意の3次方程式は、変数の置き換えによって、ある特別な形の3次方程式に「必ず」変形できる事を示します。(「必ず」というのがポイントです。)

3次方程式の解法①

3次の項の係数はそれで式の両辺を割って1にできるのでその後の事を考えます。

$$x^3+ax^2+bx+c=0$$は変数の置き換えにより必ず$$X^3+Ax=B$$の形変形できる。

要するに「2次の項は必ず消せる」という意味です。

x = X + C とします。X に関しても3次方程式になるという形を保つために、X は x に関する一次式である必要があります。

$$x^3=X^3+3X^2C+3XC^2+C^3,\hspace{10pt}ax^2=a(X^2+2XC+C^2) ,\hspace{10pt} bx=b(X+C)$$

2次の項の係数が0であるとすると、

$$3C+a=0\Leftrightarrow C=-\frac{a}{3}$$

とおけば成立します。

$$x^3+ax^2+bx+c=0, \hspace{10pt} x= X-\frac{a}{3} とすると、$$

$$ \left(X-\frac{a}{3}\right) ^3+a \left(X-\frac{a}{3}\right) ^2+b \left(X-\frac{a}{3}\right) +c=0$$

$$ \left(X^3-X^2a+X \frac{a^2}{3}- \frac{a^3}{27} \right) +a \left(X^2-X\frac{2a}{3}+ \frac{a^2}{9} \right) +b \left(X-\frac{a}{3}\right) +c=0$$

$$X^3+X \left( -\frac{a^2}{3}+b \right)+ \frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3} +c=0 $$

ここで、Xに関する係数部分がごちゃごちゃしてるので別の記号AとBで表します。

$$ A=-\frac{a^2}{3} +b , \hspace{10pt} B= -\frac{2a^3}{27} +\frac{ab}{3} -c $$

このように置く事で、

$$X^3+Ax=B$$

の形として方程式を考察できるわけです。

② 3乗の展開式を利用して、解く

さてしかし、この形にしたからといってうまく「解ける」のかという話になります。

これは、じつは3乗に関する展開式についての簡単な式変形によって解く事ができます。

3次方程式の解法②

任意の2つの実数(複素数でも可)T,Uに対して

$$(T-U)^3=T^3-3T^2U+3TU^2-U^3$$

$$\Leftrightarrow (T-U)^3+3TU(T-U)=T^3-U^3 $$

この式は、恒等式です。つまり、いつでも成立している関係式です。

これは一体何を意味するのでしょうか?
これは、「次の関係が成立すれば」左辺と右辺が必ず等しくなるわけですから「方程式が成立する」という事です。

$$X=T-U$$

$$A=3TU$$

$$B=T^3-U^3$$

すなわち、これらの関係を満たす X が3次方程式の解になるという事なのです。

もっと具体的には、TとUをAとBだけで表し、X=T-Uに代入すれば XをAとBだけで表せて、それによっておおもとの x が係数 a, b, c のみで表せる・・つまり「解の公式」が得られる、というパズルです。

しかし、上の式を見るとBとT、Uの関係には3乗が入ってます。3次方程式の解の公式が得られていない条件でこれをうまく解けるのかというと、じつは解けます。

$$U=\frac{A}{3T}$$

$$B=T^3-\frac{A^3}{27T^3}$$

$$\Leftrightarrow (T^3)^2-B(T^3)-\frac{A^3}{27}=0$$

このように、「『Tの3乗』の2次方程式」ができるので、これは(無理やり)解く事ができるのです。

結果は、次のようになります。

$$T^3=\frac{B}{2}\pm \sqrt{\frac{B^2}{4}+\frac{A^3}{27}}$$

$$U^3=T^3-B= -\frac{B}{2}\pm \sqrt{\frac{B^2}{4}+\frac{A^3}{27}}$$

$$X=T-U= \hspace{5pt} ^3\sqrt{ \frac{B}{2}\pm \sqrt{\frac{B^2}{4}+\frac{A^3}{27}} }- \hspace{5pt} ^3\sqrt{ -\frac{B}{2}\pm \sqrt{\frac{B^2}{4}+\frac{A^3}{27}} }$$

$$x= X-\frac{a}{3}= \hspace{5pt}^3\sqrt{ \frac{B}{2}\pm \sqrt{\frac{B^2}{4}+\frac{A^3}{27}} }- \hspace{5pt} ^3\sqrt{ -\frac{B}{2}\pm \sqrt{\frac{B^2}{4}+\frac{A^3}{27}} } -\frac{a}{3} $$

ただし、ここでの3乗根の記号は複素数の範囲も含めた3つの数を取りえるものとします。3次方程式は、複素数範囲まで考え、重解を2解と数えると必ず3解を持ちます。 その事が、3乗根によっても表現されるわけです。

■ 補足:
尚、A=3TU の関係も成立していますから、T か U のどちらかが決定すればもう片方も決定します。これによって、「3×3=9通り?」の解ではなくて、確かに「3通り」の解が存在する事が公式でも表せているというわけです。3解のうち2つが重解として等しい値になる場合は、上記で『Tの3乗』に関する2次方程式が重解を持つ場合に対応します。

3次方程式の解の公式を知る意味:数学史的な価値

さて、このようにして「解ける」事は確かに言えるわけですが、色々置き換えがあって、公式としては代入するだけでもすごく面倒ですね。そういうわけで、物理や工学で仮に3次方程式を解く場面があったとしても、できる事ならこの公式使いたくないわけです。実質的には「手計算で解くなら2次方程式まで」と、基本的には思ってよい理由です。

このように、公式が存在する事と、それが応用の場面等で使いやすいものか・便利なものかという事は、別問題である事もあるわけです。

では、純粋数学的に考察した場合はどうかというと、この3次方程式の解法は、4次方程式については似た事ができます。しかし、5次以降は使えないのです。つまり、「3次や4次については適用できる」という特別なものになります。多項方程式について純粋数学的に一般的に考察する時は、より抽象的な考察が必要であるという事です。

この3次方程式の「解の公式」の解法の話は、大学数学においてはむしろ数学史の中で扱われる事が多いです。というのも、西欧で「複素数」というものが考察されるきっかけになったのがこの3次方程式の解法であると言われているからです。(※2次方程式ではなく3次方程式の解法というところに、数学史的に指摘しておくべきポイントがあるという事です。)

ちなみに数学史的には、この3次方程式の解の公式が「発見」されたのは16世紀という意外に遅い時期であり、しかし4次方程式の解の公式はその後に割とすぐ見つけられて、その後「5次方程式の解を一般的に係数のベキ根によって表す事はできない」という事が示されたのは19世紀まで飛びます。
歴史というか数学の研究史としては、そのような事も1つの教養的知識として多少知っておいてもよいのではないかと思います。

また、数学史的な事についてもう1点補足しますと、16世紀に「解の公式」が見出された時には、解法の流れは上記の方法と同じですが考え方として別の考察の仕方をしていました。それは、上記のように式を展開して関係式を導出するよりも、図形的な考察から関係式を導出していたという点です。

この場合、図形は図形でも、平面図ではなく立体の体積に関する考察です。立体ですから、体積に関して3乗を使うというわけです。参考までに、次図を記しておきます。

この図で大きい立方体の体積がTの3乗、小さい立方体の体積がUの3乗です。
直方体部分は、TU(T-U)などによっても計算できます。

複素数の微分【複素関数論】

このページでは複素数微分について述べます。
大学数学では複素関数論(あるいは単に「関数論」)と呼ばれる領域です。

数学上の理論でも応用でも重要なのはむしろ複素数の「積分」のほうですが、面倒なのも積分のほうです。

まず基本的な考え方として微分のほうをここでは説明します。

複素数の微分・・実数の時と何が違う?

まず、具体的な初等関数を微分するレベルにおいては実数の時とほとんど同じです。

定義域が複素数の初等関数の微分・・実数の時とほぼ同じ
テイラー展開・マクローリン展開も同様に可能
複素関数論に特有の議論はあるの? 

複素関数の微分
複素関数論(複素数の微積分)・・実数の時と同じように考えてよいところと、
別の数学的考察が必要になる部分のポイントをこのページでは説明します。

定義域が複素数の初等関数の微分・・実数の時とほぼ同じ

複素数を定義域 (変数の範囲)および値域(関数の値の範囲) に持つ関数を複素関数といます。複素関数の微積分を扱う数学の領域を複素関数論(あるいは略して「関数論」)とも言います。複素関数に対して、通常の実数の範囲の関数を「実関数」と呼ぶ事もあります。慣習で、複素関数の変数は x ではなく z で表す事が多いです。ただし、定義域が複素数範囲である事を明示すれば本質的に何の文字を使おうが間違いではありません。

結論を先に言うと、初等関数の定義域を複素数に拡張したものを微分してできる導関数は、定義域が実数の時と同じです。

複素関数の微分公式【実関数と同じ】

初等関数に関しては、実関数の時と同じ形の次の公式が成立します。 $$\frac{d}{dz}z^r=rz^{r-1}$$ $$\frac{d}{dz}e^z=e^z$$ $$\frac{d}{dz}\cos z =-\sin z$$ $$\frac{d}{dz}\sin z = \cos z$$ $$f(z)g(z)=\frac{df}{dz}g(z)+\frac{dg}{dz}f(z)$$ その他、実関数に関する公式は大体そのまま成立します。
また、微分の記号も全く同じものを使用します。

★じつのところ、理論として高校数学から直ちに飛びつけない部分は、例えば指数関数や三角関数の場合に「複素数が変数の時にはどういう値をとるのか・・?」という事です。
例えば、cos(2i) などは、ちょっと何の値になるのか(何の値にすべきなのか)分かりませんね。
これについては「複素数の指数関数表示」が大いに関わります。このページでは、個々の関数の定義域の拡張方法についてはとりあえず置いておき、複素関数の微分の全体像について解説します。

テイラー展開・マクローリン展開も同様に可能

初等関数に対して微分が実関数の時と同じ演算で可能という事は、高階微分も同じ計算になるはずで、実際そうなります。そして、初等関数の定義域を複素数に拡張した時も、実関数の時と同様にテイラー展開やマクローリン展開が可能なのです。

例えば、定義域が複素数であっても、三角関数や自然対数の底の指数関数は次のようにマクローリン展開ができます。

$$\sin z=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\cdots$$

$$e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3!}+\cdots$$

※解析学的に、極限の事を厳密に考えていくと実関数との違いは考察として必要になります。その基礎の1つについては後述します。

複素関数論に特有の議論はあるの?

さてこれらの「結論」を見ると、結局複素数の微分というのは定義域を複素数にまで伸ばせばいいだけの話で、数学的にあまり考察する意味はないのでは・・?と、思われるかもしれません。

とりわけ、数学の応用を考える場合はそう思うかもしれませんね。

そこで次に、複素関数の微分において、実関数と違う考察が必要な点を次に述べましょう。これは、複素数の積分のほうを考える時に必要な知識の1つにもなります。

具体的には偏微分を使った考察を行う事になります。実数関数の場合には2変数以上を扱う時に限り偏微分についての考察も必要だったわけですが、複素数を扱う時にはx+yiという形で常に2変数扱うとみなす事もできるので、偏微分も(および全微分も)初歩的な段階から考察対象になるのです。

ただし前述のように、常に2変数と偏微分等を考えないといけないという事ではありません。複素数zを1かたまりとみて1つの変数扱いにできる場合も確かにあるわけです。そこの使い分けが、確かに実数関数の場合と比べて少しトリッキーです。

複素関数の微分の数学的な考え方の詳細

まず微分以前の話として、複素関数というものは実部と虚部という2つの実数部分から、別の複素数の実部と虚部ができるという多変数の関数の一種として考える必要が本来はあります。その考え方をもとに、複素数の微分を改めて捉えてみましょう。

複素関数の実部と虚部はともに2変数関数
複素関数で成立する偏微分の公式(コーシー・リーマンの式)
「正則」という考え方 

複素関数の実部と虚部はともに2変数関数

ある複素数 z = a + bi を2乗するという関数を考えてみると、

$$z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi$$

ここで、結果の式の実部を u、虚部の実数部分を v とすると、u は a と b の関数、v も a と b の関数になります。まず、この考え方が重要です。

つまり、一般の複素関数については次のように考えます。

$$z=x+yi\hspace{3pt}に対して \hspace{3pt}F(z)=u(x,y)+iv(x,y)$$

もとの複素数が変数の時、それが2つの実変数から構成されていて、それらから2つの別の2変数関数が構成されて新しい複素数を作るというわけです。

複素関数
この図で、x と y は変数、u と v は関数(実関数)です。
u, v ともに、x と y による2変数関数 u(x,y) , v(x,y) になります。
z は複素数(変数)、F(z) は「複素関数」です。

多変数関数(ここでは必ず2変数ですが)が出てくるところが、
次に述べる複素関数論での偏微分の使用との大きな関わりがあります。

複素関数で成立する偏微分の公式(コーシー・リーマンの式)

実関数の場合の微分のもともとの考え方は、dy = (dy/dx)dx という、近似の「一次式」を新たに設定する事でした。では、これが複素関数の時はどうなるでしょう?

次のように考えます。

まず、導関数および微分係数も複素数で表されると考える事が重要です。

$$\frac{dF}{dz} =\alpha +i\beta \hspace{10pt}【\alpha と\beta は実数(関数)】$$

$$z = x + iy ,\hspace{5pt} dz = dx + idy, \hspace{5pt} F(z) = u + iv $$

$$dF=\frac{dF}{dz}dz=( \alpha +i\beta ) ( dx + idy) =(\alpha dx -\beta dy)+i(\beta dx + \alpha dy)$$

計算は、複素数の四則演算をしているだけです。実部と虚部に分けます。

次に、

$$F = u +i v = u(x,y) + i v(x,y) に対して dF = du + i dv$$

であるとすると、du と dv は次のようになるわけです:

$$du = \alpha dx -\beta dy,\hspace{10pt} dv =\beta dx + \alpha dy $$

さてここで、dF に対する du と dv は「全微分」でも表せるものとして定義します。(そういうものとして「複素関数の微分」を考えようという事です。)すると、

$$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac {\partial u}{\partial y}dy,\hspace{10pt} dv=\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac {\partial v}{\partial y}dy $$

とも表せるわけです。これを見ると、\(\alpha\) と \(\beta\) は、2通りの方法で表せるはずであり、

$$ \alpha= \frac{\partial u}{\partial x} =\frac {\partial v}{\partial y} ,\hspace{10pt} \beta=-\frac {\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x} $$

この偏微分に関する関係が、複素関数の微分における特徴的な性質になります。

複素関数の微分で特徴的な公式

$$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac {\partial v}{\partial y} ,\hspace{10pt} -\frac {\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x} $$ この関係式を「コーシー・リーマンの式」と言う事もあります。
名前よりも数学上重要な事は、複素関数が「微分可能」であるとは、
これら2つの偏微分に関する等式がともに成立するという事なのです。(必要十分条件です。)

コーシー・リーマンの関係式の導出
最終的には、図の dx , dy ごとの係数(関数ですが)を比較してコーシー・リーマンの関係式を導出しています。

尚、特に積分のほうで考え方として重要なのですが、どういった「経路」に沿って微積分をするのかという事も複素関数論では考えます。
その経路とは、例えば直線であるとか円であるとかいったもので、z = x + iy において、x と y の関数で表す事ができます。(例えば直線なら y = 2x など。)
そのような場合には、x と y は完全な独立関係にある変数ではなく、従属関係になります
従ってその場合には、媒介変数tを使って x = x(t) , y = y(t) を考える事ができます。そうなると、x と y を変数とする2変数関数 u(x,y) と v(x,y) はもとの変数を tとした合成関数と考える事ができます。
そのように考えると、上記のように複素関数の微分において全微分の考え方を使って定義をする事の意味も多少分かりやすくなるかと思います。

この偏微分に関する「コーシー・リーマンの関係式」は複素関数の積分のほうでむしろ重要になる事があり、例えば複素関数についてのコーシーの積分定理を導出する際に必要になります。

「正則」という考え方

上記の偏微分に関して成立する公式の他に、複素関数の微積分では「正則」という考え方も重要になります。これは、微積分をする対象の関数に1つの条件を課す事であり、基本的に複素関数論はその条件をつけた範囲内で理論を組み立てる事が多いです。

dz = dx + idy を考える時に、じつはある点を基準に考えた時に x と y をどのように動かすのかという問題があります。じつのところ、複素関数論では「どの方向に動かしたとしても」極限が一致する事を「微分可能」であると呼びます。(初等関数の微分ではその要件を満たします。)

$$\lim_{h\to 0}\frac{F(z+h)-F(z)}{h}\left(= \lim_{dz\to 0}\frac{F(z+dz)-F(z)}{dz} \right)$$

によって微分による導関数を定義するのは実関数の時と同じですが、「hの部分も複素数」であるところがじつはポイントであるわけです。

これらの事を踏まえたうえで、「1つの点を含む領域の任意の点」で微分可能な(小さな)領域が存在する時、その複素関数はその点で「正則」であると呼びます。また、複素関数が正則である領域においてはその関数は「正則関数」であると呼ばれます。数学の複素関数論の中では、多くの場合に微積分の対象をこの正則関数に限定する事で理論を組み立てているので、用語としては重要です。

文章の表現としては定義の仕方はいくつかあるのですが、ここではその1つを記します:

複素関数論での「正則関数」の定義
  • ある複素関数 F(z) と、ある点 z = z0 について、z0 を含むある領域で、「その領域内の任意の点で微分可能であるような」ものが存在する時、F(z) は点 z0 において正則であると呼ぶ。
  • ある領域の任意の点で F(z) が正則である時、その領域内で F(z) は「正則である」あるいは「正則関数である」などと言う。

参考文献・参考資料


基礎系 数学 複素関数論I (東京大学工学教程)

2次方程式の「解の公式」

中学でも高校でも2次方程式の「解の公式」は嫌われものだと思いますが、実際、決してきれいな形ではなく覚えやすい部類の公式でもないでしょう。

暗記できる人は暗記してもらって構わないと思いますが、ここでは「暗記しなくても解を出せる」方法を述べます。

数学的にも応用的にも、2次方程式の位置付けは「比較的簡単な操作で解を出せる」というものでしょう。

3次方程式の解の公式も存在しますが、これは2次方程式の場合よりもさらも面倒な形で、応用の場面で手計算で使う事は、基本的にほとんど無いのではないかと思います。

つまり、n次方程式の中で、「手計算で比較的簡単に解ける」ものの限界が2次方程式なのです。できる事なら1次方程式が最も簡単ですが、2次方程式までなら手計算でもじゅうぶん何とかなる、という事なのです。(もちろん。高次の方程式でも容易に因数分解できるようなものであれば手計算で解を出せます。)

2次方程式の解の公式
式変形で解けるようにすると公式を忘れても計算できるので便利です。

解の公式の導出

2次方程式の解を公式として表せる根拠は、一般の2次方程式を加減乗除と累乗の計算によって必ず次の形

$$X^2=C$$

に変形できる事にあります。(同様の操作は3次・4次方程式だと少し面倒で、5次以上になると一般の方程式に対して統一的にそのような操作を行う事はできません。)

$$ax^2+bx+c=0$$

において、本当に大事な事は x = ・・の公式を丸暗記する事ではなく、これを容易に式変形できる事です。

まず、次のように変形します。a はゼロではないとします。

$$a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=0$$

次の変形は少しややこしいと思う人もいるかもしれませんが、これを容易に計算できる事が、中学・高校数学では非常に大事です。

$$a \left (x+\frac{b}{2a} \right )^2-a \left ( \frac{b}{2a} \right )^2+c=0$$

$$\Leftrightarrow a \left (x+\frac{b}{2a} \right )^2 =a \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 -c$$

$$\Leftrightarrow \left (x+\frac{b}{2a} \right )^2 = \left (\frac{b}{2a} \right )^2 – \frac{c}{a} =\frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} =\frac{b^2 – 4ac }{4a^2}$$

$$ \Leftrightarrow x+\frac{b}{2a} =\pm \frac{\sqrt{ b^2 – 4ac }}{2a} $$

$$ \Leftrightarrow x= \frac{-b\pm \sqrt{ b^2 – 4ac }}{2a} $$

これで、「解の公式」になっていますね。

この計算を、具体的な問題を試験で出されるたびに行うのはかえって大変ではないかと思う人もいると思います。しかし、上記は一般の係数 a, b, c でやっているから少し面倒であるわけで、具体的な数値が係数として与えられている場合にはもっと簡単になります。

具体的な計算問題を解いてみる

具体的な問題を見てみましょう。

$$x^2+7x+11=0$$

もしかすると手計算で因数分解できるかもしれませんが、変形で解いてみましょう。

$$ x^2+7x+11=0 $$

$$ \Leftrightarrow \left(x+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{49}{4}+11=0$$

$$ \Leftrightarrow \left(x+\frac{7}{2}\right)^2=\frac{5}{4} \Leftrightarrow \left(x+\frac{7}{2}\right) =\pm \frac{\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow x= \frac{-7\pm \sqrt{5}}{2}$$

もちろん、結果は解の公式を使った場合と同じです。途中の分数計算を手早く済ませる必要は確かにありますが、それさえできれば公式そのものを覚えていなくてもかなり早く解答を出せるはずです。

試験で高得点を取る事が学校の勉強の目的ではありませんが、間違いを減らすポイントの1つとして、解答を出した後の「チェック」の方法を身に付けておくと便利です。正答率は上がるでしょう。

結果が同じなので、公式として覚えてしまったほうが早いという考え方も確かにあります。(覚えられるなら、ですが。)尚、試験での正答率を上げようとするのであれば、式変形で解けるようにして、公式も覚えておくと理想的です。それによって間違いがないか2重にチェックできるためです。
個人的には、まず式変形で解けるように練習してみて、どうしても正答率が上がらないようなら何とか一時的にでも公式も覚えるようにして両方のやり方で解いてみると良いと思います。2つのやり方で解いて答えが一致しなければ、もちろんどこかに計算間違いか何かがあります。

まとめと学ぶ意味

大学数学や物理でも2次方程式を解く場合があります。しかし、そんなにやたらと多く出てくるものではなく、時々、ポッと出てくるようなものです。

そういう時には、中学や高校で教わった公式を明確に覚えている人もいるかもしれませんが、忘れているか曖昧になる人も多いのではないかと思います。そうした場合には、公式を探し出して係数を当てはめるよりは、上記の式変形の方法で自分で解いてしまったほうが多分早いでしょう。

前述の通り、「手計算で簡単に解ける多項方程式は基本的にn=2の時まで」という事が重要です。(3次・4次の方程式の解の公式は、あまり使わないです。)大学数学の代数学では、より抽象的・一般的な視点から多項方程式の解について考察したりします。また、どうしても高次の多項方程式を解く必要になる場合には手計算で解く事は放棄して、コンピュータによる数値計算を行います。