カテゴリー: 中学数学・算数教育

２乗（自乗、平方）の意味と表記

２×２＝４、３×３＝９、４×４＝１６など、
「同じ数を掛け算する事」を「自乗」あるいは「２乗」と言います。
これを２^２＝４、３^２＝９、４^２＝１６のようにも書きます。
「２の２乗（自乗）イコール４」などのように読みます。
また、後に少し触れるように「平方」という言葉も「２乗」の意味で使う事があります。

文字式や関数の場合でも同じで、ｘ^２は「エックスの２乗（自乗）」もしくは「エックス２乗（自乗）」と読み、ｘ・ｘ（ｘとｘとの掛け算）を表します。

• (ｆ(ｘ))² ・・・関数ｆ(ｘ) の２乗
• 三角比および三角関数については、(sinθ)^２は sin^２θと書く。【sin(θ^２)と区別するため】

２乗（自乗、平方）の応用・使われ方

正方形の面積は一辺の長さの２乗になります。
面積の単位をｃｍ^２【平方センチメートル】やｍ^２【平方メートル】のように書くのはそのためです。
（例えば３ｃｍ^２であれば、１ｃｍ^２の正方形の３個分の広さ【面積】という事。）
また、円の面積は円周率と「半径の２乗」の積で表されます。
（※その公式の証明は、円周の長さの公式を半径で積分する、置換積分で計算する、微小な三角形の面積の合計と考えて「円周の長さ」×半径÷２として出す・・等の方法があります。）

そのように、面積を表すのに頻繁に使われる意味でも「２乗」というものは重要な掛け算になります。
直角三角形の斜辺の長さを表す三平方の定理も、ｃ^２＝ａ^２＋ｂ^２という２乗を含む形です。
ここでの「平方」とは「２乗」の意味です。
（※実際、定理の証明の１つでは面積を使います。そこにも２乗が出てくる意味を見出せます。）
これは直交座標上の「距離」を計算するのにも使うので重要な定理です。
それらに関連して、三角比での cos^２θ＋sin^２θ＝１という公式も重要です。

２^２＝４という計算に対し、逆にｘ^２＝４を満たすｘの事を「４の平方根と」言います。
（※そのような平方根となるｘは、＋２と－２の２つが該当します。）
「２乗するとａになる数」をａの「平方根」（あるいは「２乗根」）と言います。

負の数を２乗する場合には、マイナス符号をプラス符号に変えるという計算をします。
つまり、(－１)^２＝＋１という計算をするわけです。
【マイナスを２乗するとプラスになる理由は、それが計算の定義であるからですが、もう少し考察して説明をする事は可能です。】

つまり正の数だろうと負の数だろうと、「２乗すると正の数になる」事は確定するわけです。
（例外は０で、０^２＝０です。また、「虚数単位」はｉ^２＝－１を満たすものとして敢えて定義します。）
そのため、絶対値を２乗する場合には単純に絶対値符号を取り払ってよいという計算になります。
|ｘ|^２＝ｘ^２のように書いてよいという事です。

ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃの形の式をｘに関する「２次式」と言います。
その中のａｘ^２の部分の事を「２次の項（＝『ｘが２乗の形になっている項』）」と呼ぶ事もあります。ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ＝０という形の方程式は「２次方程式」です。

一般のベキ乗（累乗）と指数

同じ数を「３回掛け算する」事は「３乗」すると言います。

つまり、２×２×２＝８、３×３×３＝２７、４×４×４＝６４などの事であり、
それらを２^３＝８、３^３＝２７、４^３＝６４のように表記します。

サイコロのような立方体の体積は「一辺の長さの３乗」で表されます。
それに由来して、単位の体積はｍ^３【立方メートル】やｃｍ^３【立方センチメートル】で表記します。
球の体積は半径の３乗に比例するという公式が成立します。

文字式等に対しても、ｒ^３＝ｒ・ｒ・ｒ　【あるいはｒ×ｒ×ｒ】のように定義します。

４乗や５乗の場合も同じように表記します。

• ２^４＝２×２×２×２＝１６　【２の４乗】
• ２^５＝２×２×２×２×２＝３２　【２の５乗】

このように一般的にａ^ｎ【ｎは自然数「ａのｎ乗」】で表された数を、
ａの「累乗」あるいは「ベキ乗」と呼んだりもします。

ｘ^ｎ＝ａを満たすｘを、ａの「ｎ乗根」と言い、
そのようなｎ乗根一般の事を「累乗根」「ベキ乗根」と呼ぶ事もあります。
例えばｘ^３＝５を満たすｘは「５の３乗根」と呼ばれます。

無限級数展開のうち、ｘ^ｎの形の項が続くものを特に「ベキ級数展開」と呼ぶ事もあります。

$$例えば e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots 等です。$$

◆この例はマクローリン展開。

ｘ^２やｘ^３のようなｘ^ｎの形の単独の式（関数）は「単項式」と呼ぶ事があります。
それらの係数倍を加え合わせた式は「多項式」と呼ばれます。

• 単項式：ｘ^２、ｘ^３、ｘ^４、ｘ^ｎ
• 多項式：１＋２ｘ【１次式】、１＋ｘ＋３ｘ^２【２次式】、１＋ｘ＋ｘ^３【３次式】
  （これらはｘの関数とみなす場合には「１次関数」「２次関数」「３次関数」のようにも呼ばれます。）

１＋ｘ＋ｘ^３ ＝０のような形の方程式は「３次方程式」です。

１＋２ｘ＋ｘ^３＋ｘ^４ ＝０のように、４次の項を含む方程式は「４次方程式」です。

ａ_ｎｘ^ｎ＋ａ_ｎ－１ｘ^ｎ－１＋ａ_ｎ－２ｘ^ｎ－２＋・・・＋ａ_２ｘ^２＋ａｘ＋ａ＝０の形の方程式は
「ｎ次方程式」であり、そのようなｎ次方程式一般を「多項方程式」と呼びます。

ｘ^ａというベキ乗の形の単項式に対して、ａの部分を「指数」と呼びます。
例えばｘ^３の指数は３であり、ｘ^５の指数は５であるといった具合になります。

この「指数」の部分は、数学的には実は自然数でなくてもよく、実数なら何でもあてる事ができます。【また、定義をきちんとすれば複素数を代入する事もできます。（複素数の指数関数表示）】

単項式や多項式の場合と違って、ある数の指数の部分が変数になっているものは指数関数と呼ばれます。（高校の初等関数の１つ。指数関数は対数関数と対になっていて、互いに逆関数の関係にあります。）
それは例えば、２^ｘ【２のｘ乗】やｅ^ｘ【ｅは「自然対数の底」】といった関数であり、高校数学（特に微積分）や理工系の大学の学問でも重要な関数です。

球・立方体・三角柱・三角錐などの立体的な図形です。
基本的な「立体」(りったい)の図形の名称や、用語について説明します。

平面図形をいくつか立体的に組み合わせる事で、箱やボールのような、高さや奥行きのある図形を作れます。平面図形では線が図形を構成しますが、立体では線で構成される「面」によって全体が構成される形になります。立体の図形では面が平面状になっているものだけでなく、曲がった「曲面」である事もあり得ます。

柱体と錐体

三角形の各頂点に、柱を立てるように「平面に対して垂直に」３本の線を引いて、下の三角形（「底面」）と平行になるように同じ三角形を屋根のようにおいたものを「三角柱」（さんかくちゅう）と言います。
壁のようになってる面（「側面」）は長方形または正方形になります。底面が正三角形の場合、「正三角柱」のように呼ぶ場合もあります。

同様に四角形に対して柱状に底面に垂直に線を引き、底面に平行になるように四角形の屋根をつけたものは四角柱とも言いますが、底面と側面のいずれかが長方形（正方形であってもいい）のものを特に「直方体」と呼び、サイコロのように全ての面が正方形であるものを「立方体」と呼ぶ事が多いです。

底面が５角形、６角形、・・の場合は５角柱、６角柱、ｎ角柱のように呼びますが、それらは実際問題としてはそれほど多く使う語ではないかもしれません。
これらの、多角形を底面とする柱状の立体は「角柱」という名称で分類される事もあります。それらの底面が正多角形の場合は、三角柱の場合と同様に「正ｎ角柱」「正多角柱」のように呼ぶ場合もあります。

底面が円の場合は、筒のような立体で「円柱」と呼ばれます。

他方で底面の図形の各頂点から、立体的な意味で上下の方向に向かって１点に線が引かれて尖った立体になる場合は、底面の図形の種類によって「三角錐」(さんかくすい)「四角錐」「五角錐」「六角錐」「ｎ角錐」「円錐」のように呼びます。これらはまとめて「錐体」と呼ばれる部類の立体です。そのうち底面が多角形のものは「角錐」として分類される事もあります。
「錐」という漢字は「すい」と呼ぶほかに「きり」とも呼んで、これは工具類の穴を開けるキリの事です。

角錐の底面が正多角形である場合で、底面の各頂点から１点に向かう線分の長さが全て等しい場合、角柱の時と同じように「正三角錐」「正四角錐」「正５角錐」・・・などと呼ぶ事もあります。

これらの三角柱や四角錐などの立体を、「面」の数に着目して呼ぶ言い方もあります。例えば、三角錐は底面１つと側面が３つで４つの面があるので「四面体」になります。三角柱であれば５つ面があるので「五面体」、直方体や立方体は６つの面があるので「六面体」になります。

立体の断面がどのような平面図形になるかという事も、立体の幾何学としてよく扱われるものです。

曲面からなる立体・図形

算数や中学校では問題としてはあまり扱わないと思いますが、もっとまるまった形の「曲面」で構成される立体もあります。（上記の錐体の中でも、円錐は曲面を持つ立体です。）

ボールのような立体は数学では「球」(きゅう)と呼びます。球の断面は円になります。

球に関しては、３次元の空間上で「中心からの距離が一定である点の集まり」として定義もされます。これは、平面で円を定義する時と全く同じ考え方です。

他方で、楕円を立体にしたような立体（断面は楕円）は、「扁球」(へんきゅう)あるいは「楕円体」などと呼ばれます。

また、浮き輪のような真ん中に穴があいた立体を「トーラス」と呼ぶ事もあります。このように、曲線・曲面で構成された立体というものも多く考える事ができます。球、楕円体、トーラスのように全体が包まれるようになっている空間上の立体を一般的に「閉曲面」と総称する事もあります。

高校で扱うもので多いのは「軸を中心に曲線を回転させたような立体」で、主に積分で体積計算の一例として扱われます。そういったものは「回転体」とも呼ばれます。球、楕円体、円柱、円錐などもその部類の立体として見る事もできます。

特殊なものとして、曲面がねじれて厳密には裏も表もない「メビウスの輪」のような図形も考えれます。これは、帯のような曲面を考えて（平面上ではなく空間上で）、１つの端の「表」をもう片方の端の「裏」にくっつける事で簡単に紙で工作もできる図形です。最初「表」と思われる箇所からたどって１周すると、端を「裏」に接着していましたから最初の位置の裏に来てしまうというものです。もちろん、２周すればもとの位置に戻るという事になります。

算数や数学ではいろいろな図形について学びます。

算数や数学という「数」を扱う勉強でなぜ「図形」の事を学ぶのかと疑問に思う人もいるかもしれませんが、基本的には算数や数学で扱うのは「図形の長さ」「広さ」「角度」・・といった、数量の計算として扱える部分です。

つまり図形に関して、長いとか短い、広いとか狭い、角ばっている、丸まっているなどといった特徴を数の大小として扱ったり計算したりする事を、算数や数学において学びます。あるいは、高校数学以降で教えられる内容ですが、例えば円と楕円の違いは何かといった事を数量によって特徴づけるという事をしたりします。

平面の図形を構成するもの

「形」あるいは「図形」には、丸（「円」【えん】）、三角形、四角形、六角形、楕円など色々なものがあります。これらは紙の上に描けるような平面図形です。あるいは、放物線や双曲線などのように、平面上で一定の形を持ちながらも延々と果てしなく続くものも図形と呼ぶのが普通です。

平面図形を構成するパーツとして、「点」と「線」があります。
「線」の中には「直線」と「曲線」があります。
いくつかの線や１つの曲線で囲まれる（「閉じている」）部分は「領域」と言ったりします。

直線で作られる平面図形

平行でない３本以上の直線を用意すると、領域を持つ図形を作れます。これが三角形、四角形、五角形、六角形、ｎ角形・・などと呼ばれるもので、一般に「多角形」とも言います。
【３本以上の直線を用意しても、それらが「同じ１点で交わってしまう」場合には多角形はできません。】

多角形の、角ばっているところに対応する点（２直線が交わっている点）を「頂点」と言い、頂点同士を結ぶ線分を「辺」と言います。

図形ですから、図で見たほうが早いでしょう。
ただし、何かを計算したり証明したりする時には言葉で説明・表現できる事も重要である場合もあります。

辺の長さが全て等しく、それぞれの内側の角度（内角）の大きさも等しい多角形を、特に「正三角形」「正四角形（＝正方形）」「正五角形」「正六角形」「正ｎ角形」・・のように呼び、これらを一般的にまとめた「正多角形」という表現も使います。

三角形と四角形に関しては、特別な性質を持つものに別途名前をつけています。

三角形については多くの平面幾何の性質があります。

曲線による平面図形

曲線で作られる図形については、一番簡単なものが「円」です。円は「中心からの距離が等しくなる」図形（点の集まり）で、何かを固定してその周りを回転させると得られるものなので身の回りにもボール・何か巻いてある芯の断面、車輪や水車などで広く見られる形です。

他方、円を１つ以上の方向にだけ引き延ばす、あるいは縮小した「楕円」もあります。（定義は「２定点からの距離の和が等しい点の集まり」です。これは中学校では数学としては扱いません。）

身の回りで楕円が見られる簡単な例としては、円状の物を真正面からではなく斜めから見た時に見られる見かけ上の形です。当然ながら円を斜めから見れば１つの方向につぶれて細長く見えるわけですが、もとが円であればそれが楕円の形になります。

円や楕円のように平面上で曲線が丸まって「閉じた」領域を持つ図形は一般的には「閉曲線」と呼ばれます。

これに対して、放物線や双曲線のように閉曲線ではない曲線もあります。関数で言うと、２次関数ｙ＝ｘ^２は放物線、反比例の関数ｙ＝１／ｘ（とｙ＝－１／ｘ）は双曲線に該当します。

円に関しては平面幾何上の種々の性質や、円周・面積に関する種々の性質が成立します。

分数について初歩的な事項から説明します。

分数の考え方は、小学校だけでなく、中学・高校・大学と続けて使います。

基本的な考え方：半分の事を１／２と書く

分数【ぶんすう】とは、割合を２つの整数（１，２，３など）で表したものを言います。
例えば、「半分」の事を、「２つ分のうちの１つ」という意味で１／２【にぶんのいち】と書きます。
この１／２が、「分数」で表された数という事です。
「３等分したものの１つ」であれば１／３のように書きます。

分数は、次のように書いても同じものを表します。
教科書ではこのように書いてある事が多く、答案に書く時もこのようにする事を指導されるのが一般的です。

$$「２等分の１つ」\frac{1}{2}\hspace{20pt}「３等分の１つ」\frac{1}{3}\hspace{20pt}「４等分の１つ」\frac{1}{4}$$

１／２の、等分している数「２」を「分母」【ぶんぼ】と言います。
また、１／２の「１」を「分子」【ぶんし】と言います。
３等分したものを２つ集めると、２／３のような分数になります。２／３の分母は３、分子は２です。

１／２を３つ集めた３／２のような分数を考える事もできます。
１／２を「２ぶんの１」と読むのと同じように、３／２は「２ぶんの３」と読みます。
（２／３が「３ぶんの２」である事との区別に注意。）

半分が２つあれば、もちろん１になります。３等分したものを３つ集めれば１個に戻ります。これを式で書くと、１／２＋１／２＝１　あるいは (１／２)×２＝１という形になります。

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×2=1\hspace{20pt}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}×3=1$$

分数の足し算は次のようにも書きます。

$$\frac{1+1}{2}=1\hspace{20pt}\frac{1+1+1}{3}=1$$

このように、「分母が同じ」分数は、分子だけで足し算や引き算を計算できます。

$$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2+1}{5}=\frac{3}{5}\hspace{20pt}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{1+3}{4}=\frac{4}{4}=1$$

分数は本質的に「わり算」と同じ

「半分が２つ」あるとおおもとの１個に戻るので、もし「半分が４つ」あればおおもとの２個分になります。
「半分が６つ」あればおおもとの３個になります。
分子が「分母の数の倍数（２倍、３倍、４倍、・・）」であると、分数は整数に等しくなります。

$$\frac{2}{2}=1\hspace{20pt}\frac{4}{2}=2\hspace{20pt}\frac{6}{2}=3\hspace{20pt}\frac{8}{2}=4$$

$$\frac{3}{3}=1\hspace{20pt}\frac{6}{3}=2\hspace{20pt}\frac{9}{3}=3\hspace{20pt}\frac{12}{3}=4$$

これをよく見ると、分数とは「わり算」と同じ計算をしている事が分かります。
９÷３＝３、１２÷３＝４ですが、これを分数で９／３＝３、１２／３＝４と書いても同じ計算であるという事です。割り算で「あまり」がでる場合も含めて分数で表せるとも、言えます。５÷３＝「１あまり２」ですが、これを分数で書くと５／３と書けます。５／３＝３／３＋２／３と書く事もできて、「３等分」を基準にした時に確かに２個分のあまりが出る事が分かります。

１／２という分数をさらに２で割ると、「半分の半分」、つまり１／４になります。１／２という分数をさらに３で割ると「半分の３等分」が２つできるので、つまりおおもとの１に対して６等分（＝２×３）された数になります。このように、分数を割る時は「分母同士」をかける計算になります。

$$\frac{1}{2}÷2=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\hspace{20pt}\frac{1}{2}÷3=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$$

分数を分数でわる計算については「分子と分母を入れ替えてかける」という操作をします。この計算はつまづきやすい所かと思いますが、別途に詳しく説明しています。

「通分」の計算

１／３＋１／３＝２／３と計算できますが、１／２＋１／３という足し算はそのままではどのような数になるのかよく分かりません。この時、分母の２と３について、２の倍数でもあり３の倍数である数を考えます。
６は２の倍数でもあり３の倍数でもあるので、６を使って１／２＝３／６,　１／３＝２／６と考えて
１／２＋１／３＝３／６＋２／６＝５／６のように計算します。
この「分母を同じ数にそろえる」作業を「通分」【つうぶん】と言う事があります。

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}\hspace{20pt}\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{7}{12}$$

３／７＋２／３のような計算も同じようにします。これを通分すると分母は２１になります。（３×７＝２１で見つけます。）この場合、分母に対する数と同じものを分子の数にもかけます。３／７の分母を２１にする時、分母を３倍しているので分子も３倍にします。

$$\frac{3}{7}+\frac{2}{3}=\frac{3×3}{21}+\frac{2×7}{21}=\frac{9+14}{21}=\frac{13}{21}$$

１／２＋１／３の計算で、２の倍数でもあり３の倍数でもある数は６だけでなく１２や１８もそうです。これらの数を使って「通分」して計算をしても同じ結果になります。（同じ結果になるので、普通は両方の分母の数の倍数であるもののうち「一番小さい数」を使います。）

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{6}{12}+\frac{4}{12}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\hspace{20pt}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{12}{24}+\frac{8}{24}=\frac{20}{24}=\frac{5}{6}$$

「約分」の計算

１０／１２＝５／６という計算では１０＝２×５、１２＝２×６なので、
２を基準にした時に１／６の５個分である５／６と同じになるという事を言意味します。
５／６に２をかけて２でわるともちろん５／６のままなので、
５／６＝(５／６)×２÷２＝１０／１２と考える事もできます。

$$\frac{5}{6}=\frac{5}{6}×2÷2=\frac{5}{6}×2×\frac{1}{2}=\frac{10}{12}$$

１０／１２のように、一般的に分母の分子に共通の倍数（「約数」【やくすう】）があるとき、その数で分母と分子の両方をわる事ができます。この操作を約分【やくぶん】と言います。
１０と１２は、どちらも２の倍数である（「２を『約数』に持つ」）ので、分母と分子にあるときは２で割ってよいという計算になります。２１／２７のような場合、分子と分母を３で割って７／９になります。

$$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\hspace{20pt}\frac{12}{15}=\frac{4}{5}\hspace{20pt}\frac{21}{27}=\frac{7}{9}\hspace{20pt}\frac{10}{100}=\frac{1}{10}$$

「学校での数学の勉強方法は、一体どうしたらよいか？」「数学の成績を伸ばすにはどうしたらよいか？」
こういった事はよく聞かれるので、中学や高校での実践的な勉強法について紹介します。

実践的な勉強法を知り、身に付けよう

よく耳にする「勉強方法」としては、授業の予習復習を欠かさない・１日１時間でも３０分でも勉強時間をとる・塾に通う・・等々というものです。これらについて私が聞いていて思うのは、科目の内容には直接的に言及しない一般論が極めて多いという事です。

それらの一般論は間違っているわけではありませんが、よい勉強方法というよりは「成績が良い子の特徴」を拾って列挙しているという面が結構強いのではないかと思います。もっと言うと、数学をあまり知らない人でも、成績優秀者にアンケート調査すれば分かる事を列挙しているようにも聞こえるのです。

それらの一般論が間違っているわけではなく、時に重要性もある事は強調したうえで、ここではより実践的で実際の数学にも踏み込んだ形でのおすすめできる「勉強方法」について紹介したいと思います。

ここで述べる事は、数学が得意でない人が成績を伸ばすために役立つ事でありますが、すでにある程度得意な人が成績に伸び悩み行き詰った時や、さらに上を目指したい場合にも役立つ方法です。（上記のような一般論だと、予習や復習はしているけれど成績が伸び悩んでいる人などは対処のしようがなくなってしまいます。）

実際に中学校や高校に通っていると勉強や進路に関して難しい事もあろうかと思いますが、まずは学校の数学の授業で教わっている内容が一体何なのかを把握しましょう。それが正直よく分かっていない状態で、「試験があるので公式だけは暗記する」・・というのは一番危険な勉強法です。これは中学でも高校でも、数学の勉強に関して共通に言える事なのです。

数学の成績を伸ばす手段の１つとして「多くの練習問題を解いてみる」という事は有効な方法です。ただし、それは基礎事項がある程度分かっている（完璧でなくても）時に先に進む手段として効力を発揮するもので、解き方の原理が全く分かっていない状態で練習問題に取り組んでも効果が薄いのです。

従って、数学があまり得意でない場合には、まず基礎事項を把握する事から始めるのが第一歩です。この時、公式だけを見て暗記しようとするのではなく、その公式の意味の説明や解説をよく読み、最初は自分で解かなくてもいいのでどういった計算例などがあるのかをよく見るようにしましょう。

完璧に理解してなくてもいいので、何となくでも分かったら、簡単なものからでよいので練習問題を解いてみてください。そして計算の方法などが分かってきたら、入試問題の過去問題を解いてみるなどしてレベルを上げて行きます。

中学・高校ともに共通する勉強法として大事な事は、わけもわからずに漫然と問題に手をつける事を繰り返すのではなく、基礎事項を理解したうえで問題を多く解くという事です。それによって、基礎事項の理解もより深まるのです。

個々の具体的な基礎事項を勉強する時には教科書や参考書を見てもいいですし、このサイトでは数学の基礎・重要事項についてイラストや図式も使いながら詳しく分かりやすく解説しています。

それらの押さえておくべき基礎事項を分野ごとに具体的に把握し、整理しておく事も重要です。これについては、中学数学・高校数学等に分けて次に具体的に記していきましょう。

中学校での勉強法

中学校の数学であれば、まずはマイナスを含んだ式の計算、文字式の展開、文字式の因数分解といったものを教わり、試験にも出題されます。（この試験とは期末試験などの校内のものも、高校入試も含みます。）

中学校の場合、公立の高校入試であれば（どの都道府県でも）おおよそ出題範囲は決まっており、おおよそ次のようなものです。

具体的な問題は、例えば次のようなものです。
「－２＋５はいくらか」「(－２)×(－３)＋１はいくらか」
「(ｘ－２)(ｘ－５) を展開しなさい」
「ｘ^２－７ｘ＋１０を因数分解しなさい」
などのような問題が解ければ、身もふたもない事ですが「数学の成績が上がる」わけです。
※公立高校の入試の場合、多くの都道府県で求められるのはこういうレベルの計算です。ただし学校によっては入試でそれが「正確に」（速く）解ける事が求められます。

ここで、個々の生徒の人によって、問題を見て思う事が違うでしょう。
「暗算レベルですぐに答えられる」
「紙に書いて落ち着いて計算すれば解答を出せる」
「やり方は一応分かっているけれど計算間違いをよくしてしまう」
「そもそも何をどうすればよいのか分からない」

計算は人によって得意不得意あるので解けないからといって悪い事は何もないのですが、成績を上げるにはどうすればよいかという観点からは、まずは当人がどのような理解度にあるのかを把握する事が第一歩です。

先ほどの問題ですが、－２＋５＝３ですが、これは結局５－２と同じで、
「足し算と引き算は本質的に順序を入れ替えてもよい」「引き算は『マイナスの数を加える』とみなしてよい」といった事が分かっている前提があるわけです。

次に (－２)×(－３)＋１＝７ですが、
これは「マイナス同士の掛け算はプラスになる」事と、
「掛け算と割り算は、足し算・引き算よりも優先して行う」という規則を知っているかを問うているわけです。つまり(－２)×(－３)を先に計算して６にする必要があるわけで、－３とその右隣の１を先に掛けたりしてはいけないわけです。【(－２)×(－３＋１）の場合には－３＋１を先に計算します。】

因数分解の問題の場合には、まずはその逆である式の展開について分かっていて計算もできる事が重要です。ｘ^２－７ｘ＋１０＝(ｘ－２)(ｘ－５) ですが、これをすぐに計算できるようにするためには因数分解とは逆の
(ｘ－２)(ｘ－５)＝ｘ^２－７ｘ＋１０ という式の展開計算が問題なくできるという前提があります。
そういった点を見落とさず、整理する事が基礎事項を押さえるという事の１つの具体例です。

大事なのは、まずは生徒である本人がそういった計算における「ルール」を正確に知っているかどうかです。知っているのであれば、あとはひたすら問題を多く解いて計算の精度と速さを上げていくという勉強方法は確かに成績向上につながります。しかし正直よく分かっていない状態で、なかば当てずっぽう的に問題を解く事を繰り返している状況になっている場合には一度立ち止まる事も必要です。

結果的に言えば、成績の良い子は多くの公式を暗記してるはずだと思います。しかしそれは、公式の意味や使い方は把握しているうえで、練習問題を通して慣れる事によって記憶を定着させている事が普通なのです。

あやふやな点がある・正直よく分かっていないところがあるという場合は、問題は解かなくていいので基礎にもどりましょう。そこで内容の理解に努めてから、簡単な問題からでいいので練習してみて、分かってきたら問題集や過去問によって速く・正確に解けるように繰り返し解いてみましょう。【速く解ける事は、見直しの時間を確保したり、多少手間がかかる出題があった時に落ち着いて考える時間を確保する事に役立ちます。】

高校入試の場合、公立高校やそれに準じるレベルの私立高校の場合は「難問・奇問」は出さず、基礎事項さえ正確に把握していれば確実に解けるレベルの出題をしている場合が大半です。一部の「難関私立校」を受験したいと思う場合でも、基本問題は確実に速く解けるという事はまず必要であり、そこからさらにやや難しい問題を解く練習を積む事が勧められます。

次に、中学校の数学の中でも「証明問題」に対する勉強はどのように考えたらよいのかについて、少し述べておきます。

証明問題に対する勉強法

中学校に入ると「証明」問題というものが出てきます。これは確かに、一見すると小学校の算数との大きな違いです。

中学校で証明問題というと大抵は図形問題かと思います。これを得意にするためには、基礎となる定理や条件を整理して理解したうえで、入試の過去問題や練習問題を繰り返し解いて練習してみる事が有効です。
ですから基本的には他の計算問題と勉強法は同じというわけです。

大事な事は、問題を一気に解決してくれるような裏テク的な「特別な定理」を探そうとしない事です。
最も基礎になる定理だけをまず理解して整理し、具体的な問題に使う時はどうすればよいのかを問題を解きながら理解し慣れていく事が大事です。

押さえておくべき基礎的な定理や図形の性質は、具体的には次のようなものです。

覚える事項をこういった基礎事項に絞ったうえで、練習問題や過去問題によって使い方を練習していくのが勧められる勉強法です。問題はいくらでも異なるものがありますが、大抵の場合はパターンが限られています。

一部の私立高校の入試などで他に事項が必要と思われる時のみ、過去問題を精査したうえで特別な定理を覚えればよいでしょう。もちろん、入試の受験などを抜きにして、平面幾何の分野に興味を持った場合に教科書に載っていない色々な定理を調べてみるという事は何ら悪い事ではありません。

高校での勉強法

高校数学の場合、難関の国立大・私大の入試で「奇抜」な問題が出題される事があるのでその事に目を奪われがちかもしれませんが、中学校の場合と同じく基礎事項を整理し把握したうえで練習問題・過去問題を使って練習する事が最も勧められる勉強法です。高校の学内の期末試験等の対策も同じになります。

大学入試の場合には個々の大学によって出題傾向や難易度の差が激しい場合もあるので、確かにひとくくりにできない面はあります。しかし、基礎事項を正確に把握している事はどこの大学の入試でも求められます。したがって、普段の勉強でも特殊な問題や「難問」を無理に解く訓練をするのではなくて、まずは基礎事項を組み合わせて解ける問題を確実に解けるようにする事が勧められる勉強法です。つまり基本姿勢は中学校の時と同じでよいのです。

数学科目で高校が中学校と異なる点は、勉強する範囲が広いのでいきなり全ての対策を一度にはできない事です。範囲が広いので、場当たり的に勉強してしまうとつい学習が不足している部分が出てきやすいのです。分かりやすいところからでいいので、１つ１つの分野を確実に把握していく事が重要と言えるでしょう。

高校数学の微積分以外の分野で知っておくべき基礎・重要事項は次のようになります。

高校数学では数学を授業科目として３～６つに分類する事が多いですが、学習時にはあまりこういう分類にはこだわらずに「微積分」と「それ以外」くらいの分類の認識でもよいかもしれません。微積分の問題を解く場合にはそれ以外の事項の基礎知識が欠かせない場合も多いので、まずは「微積分以外」の分野をしっかり勉強しておく事が重要とも言えます。

高校数学では、どうしても「問題が解けない（解答にたどりつかない）」という場合が中学の場合と比べて多く発生すると思います。そういう時には、勉強の１つのコツとして、問題の「解答」を先に見てしまってください。

すると、じつは意外に簡単で基本的な基礎事項をいくつか組み合わせるだけの問題であったりします。それを知ったうえで、再度問題を解いたり他の問題にも手をつけてみて、そういったレベルのものであれば確実に解けるように練習を積んでみる事が勧められます。解答を見ても基礎事項の組み合わせで済むとは到底思えない「難問」の場合は、普段の勉強においても後回しにして放置して大丈夫です。
まずは、基礎事項とその組み合わせからなる問題を確実に・正確に・速く解けるようにしましょう。

基礎事項がよく把握できていない場合は、落ち着いて分からない部分について一度基礎事項を整理し、内容の把握に努めましょう。この時、公式や定理だけを見て暗記しようとしない事が中学校の時以上に重要です。例えば三角関数の分野１つだけとってみても非常に多くの「公式」があり、無理に暗記しようとしても中学の時以上に相当厳しいものがあると思います。

暗記しないでどのように覚えるのかと言われるかもしれませんが、例えば三角関数で言えば正弦と余弦の公式を把握していれば正接の公式は計算で出せますし（その関係自体、重要事項です）、
sin^２θ＋cos^２θ＝１という基本公式は本質的には「三平方の定理」である事を理解していれば「暗記」の負担は相当に減るでしょう。余弦定理の場合、角度が直角である場合は三平方の定理に他ならない事を知っておけば、定理の内容の大半は全く新規のものではなく既に知っているという事になります。
このように、全ての定理や公式を全く別物と捉えるのではなくて、数学的な関連付けをする事で結果的に暗記する項目を減らせるのです。

そういった「整理された基礎事項の知識」を練習問題や入試問題を解く中でアウトプットしていく事を積み重ねていくと、数学の知識は定着し成績は伸びていきやすいかと思います。

高校数学の場合には「基礎」を正確に押さえる段階に至るまでが、中学の時と比べて労力を要するという面があるかもしれません。その事をあらかじめ踏まえて普段の勉強に取り組むと効率よい学習が可能でしょう。

微積分が出題範囲の時

大学の理系の学部の入試では微積分まで問われる事が多いと思います。

微積分の範囲まで学習する場合には、微分の場合には関数の極大・極小を調べてグラフを描く問題、積分の場合には面積・体積を計算する問題が比較的多く、合成関数や積の微分公式、置換積分・部分積分の公式なども合わせて使う場合もあります。また一部、特定の関数の極限を計算させる出題などもあります。

勉強法としては微積分以外の分野と同じように考えます。

ただし微積分に関しては、まず基本になるのが微分のほうで、その計算に慣れてきたら積分のほうに移れるという性格が強いです。（これは積分は微分の逆演算であるという性質によります。）また三角関数や指数関数の知識など、微積分以外の分野の正確な理解が必要な事も多いです。そのため、それらの理解がまだじゅうぶんでない場合には一度戻ってみる事も有効な手段かもしれません。

まとめと結び

こういった勉強法は、中学や高校だけでなく、資格取得などの時にも有効なものです。まず必要な基礎事項を詳しく整理・把握・理解し【それは「公式」の暗記ではありません】、演習問題・試験の過去問題を使って練習を積むというものです。

数学の成績を伸ばすために勧められる勉強法について以上の事を整理しておきます。

大学数学の場合は、必ずしも問題を解く事が学ぶ目的ではないのですが、大学によって試験で高得点をとる事・問題を解く事を重視する方針であるというのであれば、やる事は高校までの勉強法と同じです。
（個人的には、問題を解くという事に関しては多くの人が高校までにじゅうぶんやってきていると思うので、大学ではもう少し学問や研究をするという意味での勉強に重点を置いたほうがよいのではないかという気はいたします。）