マイナス×マイナスがプラスになる理由【負の数の掛け算】

「マイナスとマイナスをかけるとプラスになる」事の理由と意味について説明します。
(この記事内で「証明」と言わずに「説明」という語を使っている事には意味があります!)

負の数の乗法

負の数を含む掛け算(積、乗法)の符号の決まり方は次の通りです。

  • (+1)×(-1)=-1
  • (-1)×(+1)=-1
  • (-1)×(-1)=+1

尚、正の数同士の掛け算はもちろん(+1)×(+1)=+1 です。

簡単な引き算による説明

マイナス2かけるマイナス2は、プラス4になります。
これはなぜかというと、「『そのようになるように』計算を定義しているから」なのですが、
なぜそのように定義しているのかを考えてみましょう。

2つの数の引き算を考えます。
5ひく3は、2です。
5-3=2という、小学校で教わるか、あるいは教わらなくても説明されればすぐに分かる計算ですね。

ここで、3という数を2プラス1と考えて、
5から「2プラス1」を引いても、もちろん2という同じ計算結果になります。

★ 5-(2+1)=2 という事です。
ここで、-(2+1)の部分は(-1)×(2+1)=-2-1=-3という事ですね。
文字式であれば -(A+B)= -A-B の計算です。

では、3という数を「4マイナス1」と考えた場合はどうなるでしょう。
★ ここがポイントです。
5-3=5-(4-1)と考えるわけです。
ここで-(4-1)の部分を、-(2+1)と「同じ計算の仕方で『展開』する」とすると、
-(4-1)=(-1)×(4-1)
=-4+(-1)×(-1)という「負の数同士の掛け算」が現れるわけです。

マイナス同士の掛け算②

じつは、5から「4マイナス1」を引くという計算をした時に、
「5ひく3」と同じ結果を得るために必要なのが、「マイナス同士をかけるとプラスになる」という計算の定義です。

5から4を引いたら1ですから、5から3を引いた場合よりも「1だけ多く引き過ぎ」なのです。正しい計算結果に補正するために、5から4を引いて1を加えると、5引く3と同じ結果です。

この補正のために加えている分が、マイナス同士のかけ算でプラスになる部分です。

マイナス同士の掛け算③

★ 5-3=2ですから、5-3=5-(4-1)=2です。
ここで、負の数を含んだカッコ内を上記の考えで『展開』できるとすると、
5-(4-1)= 5-4+(-1)×(-1)=1+ (-1)×(-1) ですから、
1+(-1)×(-1) =2 ⇔(-1)×(-1) =1 となるわけです。
別の例でやってみると、
例えば6-2=4
6-(4-2)=4
2+(-1)×(-2)=4
(-1)×(-2)=+2 
のようになります。

あるいは、次のような図で考えてみる事もできるでしょう。
考え方は1つではありません。

例として7-(5-2)の計算を考える時、仮に7から5を引いたら結果は2ですが、これはもちろん7-3と比較したら「引き過ぎ」ですね。では、多く引き過ぎている部分はどこかというと、マイナス3に対して、「マイナス2が余分」であるわけです。

したがって、7-5は7-3に対して「2を多く引き過ぎている」のですから、「2を加えてあげれば」、7-3と同じ結果になるわけです。式で書くなら、7-5+2=7-3で、左辺が意味するものは「7-(5-2)」であるという解釈もできるでしょう。これはつまり、「-(5-2)=-5+2と考えるべきである」、すなわち、マイナスとマイナスの掛け算はプラスになるべきという説明になります。

★ A-(A-B)=B ⇔ A-A+(-1)×(-1)×B=B
⇔ (-1)×(-1)×B=B ⇔ (-1)×(-1)=+1 のように考える事もできます。
これは、全体Aから何かを引いたらBになる時、その「何か」とは当然「AーB」であるという考え方ですね。
具体的には例えば7-(7-5)=5といった「当然の計算結果」です。

物理から考えてみる説明

高校数学等で学ぶベクトルは、マイナス符号をつけると(つまりマイナス1を掛け算すると)「逆向き」になるという規則があります。

では、もし「逆向きのさらに逆向き」を考えるとどうなるでしょうか?
それはもちろん、もとの向きに戻るのです。
ですから、その事が「マイナスとマイナスを掛けるとプラスになる」という計算規則と調和するのです。

このように、マイナス同士のかけ算は、物理などでの応用でも意味を持っています。

さて、この考え方をするなら、マイナス同士の掛け算は次のように説明する事もできます。

まず、1+(-1)=0です。

次に、この両辺に「-(-1)」を加えると考えましょう。
(あるいは両辺から「-1」を引く)

すると、
1+(-1)-(-1)=-(-1)で、
(-1)-(-1)=0と考えるなら、
1=-(-1) 

このようにして、「マイナス1にマイナス符号をつけるとプラス1である」と説明する事もできます。

ベクトルで書くなら次のような形です。

$$-(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{a}$$

一般的に物理や工学では、マイナスの符号は「逆向き」の意味で使われます。
マイナス1をかける事によって、速度、力、電流などの向きが、特定の方向とは逆向きである事が表現されるのです。

マイナス同士の掛け算⑤
南北や東西など、逆向きの方向である事を数式で表す時にマイナスの符号を使えます。
電流の場合。電子の流れと考えてもよいですが、発生する磁場の向きによって電流の向きを考える事もできます。
これらの応用でマイナス符号を使う時も、マイナス同士の掛け算はプラスになるという計算規則をそのまま使う事ができます。

あるいは、温度計などで、冬場に「気温はマイナス3度」といった表現は聞いた事があると思います。そのように、基準点であるゼロを突き抜けて下がる量がある時にもマイナスの考え方は便利です。ただしこのような使い方の場合はマイナスの「掛け算」はあまり使いませんね。用途や使用目的に応じて特定の計算を使うか使わないかは変わってきます。

より数学的な考察

補足として、もう少し数学的な説明も加えておきましょう。

上記の最初の例… 5-(4-1)=5-3のように考える説明は、
もう少し詳しい数学の用語で言うと「分配則が成立するならば」という条件での説明を述べています。分配法則は式の展開のような計算規則を指し、分配則とも言います。

すなわち a(b+c) = ab + ac が成立するならば、という事です。

この時に、対象としている集合の元(「げん」と読み、「要素」とも)に対して、さらに次の4つ条件 a + (-a) = 0 かつ a + 0 = a かつ a + (b + c) = (a + b) + c かつ a+b = b+aという条件を課し、合計5つの条件を考えましょう。

  • a(b+c) = ab + ac
  • a + (-a) = 0
  • a + 0= a
  • a + (b + c) = (a + b) + c
  • a+b = b+a

☆ a + (-a) = 0という条件は、前述の具体例での説明の2番目(ベクトルなどでの使用)に該当しますが、
この定義の段階ではまだ「(-a)」という要素は「加法に関する a の逆元」と言っているだけで、「『負の数の掛け算』とみなせるとはまだ言っていない」事に注意が必要です。
つまり、記号上は、a + (-a) = 0 の定義から
「加法に関する(-a)の逆元である-(-a)は a に等しい」とは言えますが、
「対象としている集合の任意の元について (-a)(-b) =ab 」
かどうかはまだ分かりません。
つまり、a + (-a) = 0 という単独の定義の段階では、
例えば-(-1)=1という式にはあくまで「-1に加えて0になる数は1である」という意味しかないわけで、負の数と負の数との積についてはまだ考察がされていない事になります。

ここでまず、a + b = a ⇒ b=0 が成立するかを検証します。
a + (-a) = 0 で、a + b = a という条件があれば(a + b) +(-a) = 0 で、
この式はa + (b + c) = (a + b) + c および a+b = b+a の条件により
b + (a + (-a))=0 と同じで、
つまり b + 0 = 0 となり、左辺は b に等しいので b = 0
したがって、a + b = a ⇒ b=0 と言えます。

すると、a(b +0)=ab ⇔ ab + a・0 = ab から、a・0 = 0
これで、考えている対象の集合の任意の元に対して「ゼロを掛けるとゼロになる」事も確認されます。

(なお、a + 0 = a より 0 + 0 = 0 で、そこからさらに -0 = 0 が言えます。
意味としては、この条件のもとで加法に関してゼロの逆元はゼロ自身しかないという事です。)

すると、a(b+(-b)) = ab +a(-b) で、
b+(-b) =0ですから a×0=ab +a(-b) ⇔ 0=ab +a(-b) 
今、a + (-a) = 0という条件から、a(-b)という元は、
abという元の加法に関する逆元という事になるので、
a(-b)=-(ab)です。

という事は、(-a)(-b)=-((-a)b)=-(-(ab))
【かっこの中身は(-a)b=-(ab)の関係。a(-b)=-(ab)=-(ba)=(-a)b】

ここで、「-(ab)という元の逆元-(-(ab)) は元 ab である」
という意味での-(-(ab)) = ab という関係は、成立しています。
よって、(-a)(-b)=-(-(ab))=ab となり、
これまで課してきた条件のもとで、
「対象の集合の任意の元a, b に対して(-a)(-b)=ab」
という事が確認できたわけです。

さて、このような「証明」については、説明として複雑であるという事もありますが、それ以上に、「負の数に対する分配則」をもし認めないのであればその時点で証明はできません。

上記の具体例での説明で、7-(5-3)のような計算で、「マイナスの数についても式の展開を考えるなら」という点を強調したのはそのためです。
もしも、その計算自体があり得ないと考える(数学的に言えば負の数に対しては分配則が成立しないと考える)のであれば、マイナス同士の掛け算という計算自体があり得ないわけで、証明も何もありません。

もし、中学生の人が「マイナスに対して掛け算を考える事自体がそもそもおかしい!認めない」と言ったら、実はその事自体は正しいのです!
実際、個数や面積に対しては基本的にプラスの数しか考えないわけで、引き算はよくても「負の数」を考える(より正確には適用する)意味がないわけです。

ただそれは、考えている対象の数学的集合が異なるから、そういった話の食い違いが生じるのです。

従って、当該反対意見には「それはもっともな事であるが、ここではそのような性質を持つような数学的集合を定義して、考えてみよう」と言うのが正しい回答(「解答」ではありません)かもしれませんね。
マイナス同士の掛け算という計算の使い道としては、前述のようにベクトルなどの物理学等への応用があったり、数学的にも様々な理論を考察するのに使えたりという事があるわけです。

■動画の声優御担当:ステ♪ 様 http://sute.tabigeinin.com/