マイナスとマイナスを掛け算するとプラスになる理由

今回は、「マイナスとマイナスをかけるとプラスになる」事の理由と意味についてお話します。
なぜそうなるのか、なんのために学ぶのか疑問に思う人も少なからずいるかと思います。

■ 声優担当はステ♪様です。

負の数の乗法

負の数を含む掛け算(積、乗法)の符号の決まり方は次の通りです。

  • (+1)×(-1)=-1
  • (-1)×(+1)=-1
  • (-1)×(-1)=+1

尚、正の数同士の掛け算はもちろん(+1)×(+1)=+1 です。

マイナス2かけるマイナス2は、プラス4になります。
これはなぜかというと、「そのように計算を定義しているから」なのですが、
なぜそのように定義しているのかを考えてみましょう。

マイナス同士の掛け算①
「定義だから」というのは正論ではありますが、説明にはなっていない事は否めません。

2つの数の引き算を考えます。
5ひく3は、2です。
5-3=2という、小学校で教わるか、あるいは教わらなくても説明されればすぐに分かる計算ですね。

ここで、3という数を2プラス1と考えて、
5から「2プラス1」を引いても、もちろん2という同じ計算結果になります。

★ 5-(2+1)=2 という事です。
ここで、-(2+1)の部分は(-1)×(2+1)=-2-1=-3という事ですね。
文字式であれば -(A+B)= -A-B の計算です。

では、3という数を「4マイナス1」と考えた場合はどうなるでしょう。
★ ここがポイントです。
5-3=5-(4-1)と考えるわけです。
ここで-(4-1)の部分を、-(2+1)と「同じ計算の仕方で『展開』する」とすると、
-(4-1)=(-1)×(4-1)
=-4+(-1)×(-1)という「負の数同士の掛け算」が表れるわけです。
負の数同士の乗法は、意外に初歩的な算術の計算の中に普通に存在するという事も重要ですね。

マイナス同士の掛け算②

じつは、5から「4マイナス1」を引くという計算をした時に、
「5ひく3」と同じ結果を得るために必要なのが、「マイナス同士をかけるとプラスになる」という計算の定義です。

5から4を引いたら1ですから、5から3を引いた場合よりも「1だけ多く引き過ぎ」なのです。正しい計算結果に補正するために、5から4を引いて1を加えると、5引く3と同じ結果です。

この補正のために加えている分が、マイナス同士のかけ算でプラスになる部分です。

マイナス同士の掛け算③

★ 5-3=2ですから、5-3=5-(4-1)=2です。
ここで、負の数を含んだカッコ内を上記の考えで『展開』できるとすると、
5-(4-1)= 5-4+(-1)×(-1)=1+ (-1)×(-1) ですから、
1+(-1)×(-1) =2 ⇔(-1)×(-1) =1 となるわけです。
別の例でやってみると、
例えば6-2=4⇔6-(4-2)=4⇔2+(-1)×(-2)=4⇔(-1)×(-2)=+2 
のようになります。

マイナス同士の掛け算④

★ A-(A-B)=B ⇔ A-A+(-1)×(-1)×B=B
⇔ (-1)×(-1)×B=B ⇔ (-1)×(-1)=+1 のように考える事もできます。
これは、図で見てみると分かりやすいと思います。

いずれにしても、これは証明というよりは「考え方」です。結局のところ(-1)×(-1)=+1 となるように、負の数を含んだ式の展開計算の演算を「定義」する必要があるためです。
そのような定義という一定の計算ルールのもとで、負の数に対しても正の数同様に加減だけでなく乗除の計算も行えるというわけです。
結局のところ定義によって計算ルールを決めておく必要がある事から、最初から抽象的な数学的定義として決めていると捉えればよいという考え方も確かにあります。
ただし、そういった考え方は数学の応用(初歩的な算数も含めて)に対しては弱い場合もあるという事にも、注意する必要はあると思います。

物理や工学では、マイナスの符号は「逆向き」の意味でも使われます。
マイナス1をかける事によって、速度、力、電流などの向きが、特定の方向とは逆向きである事を表現します。

この操作を2回繰り返すと、向きはもとの方向に戻らないとおかしいですが、数学上の計算の定義もマイナス1の2乗はプラス1になるので、きちんと調和しています。このように、マイナス同士のかけ算は、物理などでの応用でも意味を持っています。

マイナス同士の掛け算⑤
南北や東西など、逆向きの方向である事を数式で表す時にマイナスの符号を使えます。
電流の場合。電子の流れと考えてもよいですが、発生する磁場の向きによって電流の向きを考える事もできます。
これらの応用でマイナス符号を使う時も、マイナス同士の掛け算はプラスになるという計算規則をそのまま使う事ができます。

算数や数学に関する事で何か疑問に思ったら、定義だからと呑み込んでしまう前に、理由や意義を考えてみる事も時に大事かと思います。色々考えてみましょう。