円周率の値はなぜ３.１４なの？

円周率はなぜ３.１４なのか、なぜ「３」ではいけないかの易しい説明です。円や球に対しては「円周率」が常につきまといますが、それについての話をしましょう。

■ そもそも円周率の定義は？　■ 正確な証明の話　

そもそも「円周率」の定義は？

円周率とは、「円の直径と円周の長さの比」の事であり、値は約３.１４です。
直径が１メートルの車輪の円周の長さは、円周率を用いて
１×３.１４＝約３.１４メートルと計算できます。
円周率の正確な値は３．１４１５９２６５・・・という、循環しない無限小数であり、「無理数」です。
【無理数である事は、背理法で示します。円周率に限らず、特定の数が無理数である事を示す方法は基本的には背理法です。】

この「約３．１４」という半端な数はどこから出てくるのでしょう？
円に内接する正６角形を考えてみてください。
じつは、簡単な計算により、「円の直径×３」は、ちょうど「円に内接する正６角形の周の長さ」なのです。
この事実が、円周率を「約３」と教える事が、数学的に見て決して良いと言えない理由の一つです。

【多角形の円に対する内接・外接の考え方は別途にまとめています。】

次に、円に内接する正１２角形の周の長さを計算してみると、おおよそ、円の直径×3.1058になります。
この「円周率に相当するような定数」は、円に内接する正２４角形の場合は約3.1326、
正４８角形の場合は約3.1393です。正９６角形まで考えると、3.14が出てきます。
じつは、角をもっと増やしていくと、その値は正確な「円周率」の値に限りなく近づくのです。

正確な証明の話

☆ここから先の内容は高校数学、さらに詳しくは大学数学の範囲です。

極限値として円周率が確かに存在する事の証明は少し面倒ですが、平面幾何と極限の基礎知識さえ知っていれば証明は可能です。
円に内接する正ｎ角形と、円に外接する正ｎ角形を考えます。
その中で、２つの頂点と円の中心で作られる三角形に注目します。
ここでじつは少し工夫が必要で、ｎに対してｎ＋１ではなく、２ｎを考えます。

すると、内接する正２ｎ角形の周の長さは
「内接する正ｎ角形の周の長さより必ず大きい事」と、
「外接する正ｎ角形の周の長さよりは必ず小さい事」が、比較的容易に示せるのです。

これは、内接する正ｎ角形の周の長さを数列として見た時、「単調増加で上に有界」である数列になっている事を示しています。
そして、そのような数列は必ず極限値を持つという定理があるので、
円に内接する正ｎ角形の周の長さは「ｎを無限大にした時に極限値を持つ」事が示されます。

同様に、円に外接する正ｎ角形の周の長さも極限値を持つ事が示せます。
ここで、証明の中で導出している関係式の一つを用いると、２つの極限値は
一致する事を示せます。その値が、円周率と呼ばれる定数です。