立体の図形【空間図形】

球・立方体・三角柱・三角錐などの立体的な図形です。
基本的な「立体」(りったい)の図形の名称や、用語について説明します。

平面図形をいくつか立体的に組み合わせる事で、箱やボールのような、高さや奥行きのある図形を作れます。平面図形では線が図形を構成しますが、立体では線で構成される「面」によって全体が構成される形になります。立体の図形では面が平面状になっているものだけでなく、曲がった「曲面」である事もあり得ます。

柱体と錐体

三角形の各頂点に、柱を立てるように「平面に対して垂直に」3本の線を引いて、下の三角形(「底面」)と平行になるように同じ三角形を屋根のようにおいたものを「三角柱」(さんかくちゅう)と言います。
壁のようになってる面(「側面」)は長方形または正方形になります。底面が正三角形の場合、「正三角柱」のように呼ぶ場合もあります。

同様に四角形に対して柱状に底面に垂直に線を引き、底面に平行になるように四角形の屋根をつけたものは四角柱とも言いますが、底面と側面のいずれかが長方形(正方形であってもいい)のものを特に「直方体」と呼び、サイコロのように全ての面が正方形であるものを「立方体」と呼ぶ事が多いです。

底面が5角形、6角形、・・の場合は5角柱、6角柱、n角柱のように呼びますが、それらは実際問題としてはそれほど多く使う語ではないかもしれません。
これらの、多角形を底面とする柱状の立体は「角柱」という名称で分類される事もあります。それらの底面が正多角形の場合は、三角柱の場合と同様に「正n角柱」「正多角柱」のように呼ぶ場合もあります。

底面が円の場合は、筒のような立体で「円柱」と呼ばれます。

角柱と角錐、円柱、円錐
いわゆるピラミッド型の立体は四角錐です。真上から見ると四角形になります。
1~6の目が出るサイコロは立方体です。

角柱のようにまっすぐ立っていなくて底面から斜めに向かって線分が伸びている図形も、もちろん一般的にはありえます。それらのうち、向かい合う面が1つの方向に平行であるものを特に「平行n面体」と呼ぶ事があります。角柱も平行n面体の特別な場合という事になります。特定の分野でたまに扱われるものとしては、平行6面体があります。

他方で底面の図形の各頂点から、立体的な意味で上下の方向に向かって1点に線が引かれて尖った立体になる場合は、底面の図形の種類によって「三角錐」(さんかくすい)「四角錐」「五角錐」「六角錐」「n角錐」「円錐」のように呼びます。これらはまとめて「錐体」と呼ばれる部類の立体です。そのうち底面が多角形のものは「角錐」として分類される事もあります。
「錐」という漢字は「すい」と呼ぶほかに「きり」とも呼んで、これは工具類の穴を開けるキリの事です。

角錐の底面が正多角形である場合で、底面の各頂点から1点に向かう線分の長さが全て等しい場合、角柱の時と同じように「正三角錐」「正四角錐」「正5角錐」・・・などと呼ぶ事もあります。

これらの三角柱や四角錐などの立体を、「面」の数に着目して呼ぶ言い方もあります。例えば、三角錐は底面1つと側面が3つで4つの面があるので「四面体」になります。三角柱であれば5つ面があるので「五面体」、直方体や立方体は6つの面があるので「六面体」になります。

この時、全ての面が同一の正多角形で構成されている立体を「正多面体」と言い、面の数に応じて「正n面体」のように呼びます。例えば、正三角形だけで構成されている三角錐は「正四面体」であり、正三角錐の特別な場合です。立方体は「正六面体」です。しかし、平面上の正多角形や、空間での正多角錐・正多角柱ではn≧3に対してあらゆるものを考える事ができるのに対して、正多面体としてあり得るものは、じつは立体的な構造により有限個に制限されます。
そのあり得る個数は意外と少なく、正多面体には正4面体・正6面体・正8面体・正12面体・正20面体だけがあります。これはじつは、角度が満たす関係から比較的容易に証明ができます。

立体の断面がどのような平面図形になるかという事も、立体の幾何学としてよく扱われるものです。

断面

曲面からなる立体・図形

算数や中学校では問題としてはあまり扱わないと思いますが、もっとまるまった形の「曲面」で構成される立体もあります。(上記の錐体の中でも、円錐は曲面を持つ立体です。)

ボールのような立体は数学では「」(きゅう)と呼びます。球の断面は円になります。

球に関しては、3次元の空間上で「中心からの距離が一定である点の集まり」として定義もされます。これは、平面で円を定義する時と全く同じ考え方です。

他方で、楕円を立体にしたような立体(断面は楕円)は、「扁球」(へんきゅう)あるいは「楕円体」などと呼ばれます。

また、浮き輪のような真ん中に穴があいた立体を「トーラス」と呼ぶ事もあります。このように、曲線・曲面で構成された立体というものも多く考える事ができます。球、楕円体、トーラスのように全体が包まれるようになっている空間上の立体を一般的に「閉曲面」と総称する事もあります。

球・楕円体・トーラス

高校で扱うもので多いのは「軸を中心に曲線を回転させたような立体」で、主に積分で体積計算の一例として扱われます。そういったものは「回転体」とも呼ばれます。球、楕円体、円柱、円錐などもその部類の立体として見る事もできます。

特殊なものとして、曲面がねじれて厳密には裏も表もない「メビウスの輪」のような図形も考えれます。これは、帯のような曲面を考えて(平面上ではなく空間上で)、1つの端の「表」をもう片方の端の「裏」にくっつける事で簡単に紙で工作もできる図形です。最初「表」と思われる箇所からたどって1周すると、端を「裏」に接着していましたから最初の位置の裏に来てしまうというものです。もちろん、2周すればもとの位置に戻るという事になります。

閉曲面、回転体、メビウスの輪