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順列とは、Ｎ個のものを並び替える方法を言います。
（英：permutation　順列を「置換」とも言います。）ここでは、その方法が何通りあるかという「場合の数」について説明します。高校数学で扱うのはその事項です。

結論を先に言うと、Ｎ個のものを並び替える順列の総数は次式で表されます。

また、Ｎ個のもののうち、Ｍ個を並び替え方の総数は次の通りです。

このようになるわけですが、これらを「暗記」するのはやめましょう。確かに公式の中には暗記してしまったほうが早いものもありますが、この順列の総数に関する式は「理解」できるものです。

Ｎ個のものを並び替える方法

初めに、少ない数から具体的に見てみましょう。

２個のものがあったとき、これを並び替える方法は「２通り」です。{Ａ,Ｂ} {Ｂ,Ａ} の２通りです。他の文字・・例えば {甲,乙}{乙,甲}の２通りと考えても、何でも構いません。
要するに、順番を区別して数えるという事なのです。
これが「２つのものを並び替える順列の総数」_２Ｐ_２＝２の意味です。この場合はとても簡単ですね。

では、Ａ，Ｂ、Ｃあるいは甲、乙、丙などの３つを並び替えるにはどうすればよいでしょう？

これを具体的に書くと、
｛丙、乙、甲｝｛丙、甲、乙｝｛乙、丙、甲｝｛乙、甲、丙｝｛甲、丙、乙｝｛甲、乙、丙｝
の６通りあります。

実際これしか順番に並べる方法はないのですが、どのようにしてこれらを書きだしたかを説明します。まず、最初に来る文字が甲、乙、丙の３人のパターンがあります。そしてそれぞれの場合について、続く２人の順番が２通りあります。丙を一番左に置いたとき、続く順番は｛乙,甲｝と｛甲,乙｝の２パターンであるという事です。そして次に乙が最初に来る場合を考えて、同様に書きだして上記の６パターンの並びを得ています。

つまり３人それぞれを特定の場所、例えば一番左に置く場合につき２通りあるので３×２＝６通りの並び替えの方法があるというわけです。これが_３Ｐ_３＝３！＝６の意味です。

では４人を並び替える場合はどうするかというと、１つの位置（例えば一番左）に誰かをおくと、そのパターンにつき「３人を並び替える方法がある」事に気付くと分かりやすいかと思います。

誰かが一番左にいるごとに残りの３人を並べる方法が６通りあります。一番左に誰が来るかについては全部で４人いるわけですから４通りになります。よって４人を並び替える方法は全部で４×６＝２４通りです。

ここで、３人を並び替える方法が３×２＝６通りであった事を考えると、４人を並び替える方法は４×３×２＝２４通りであるとも言えます。これが_４Ｐ_４＝４！＝２４の意味です。

では５人になった場合はどうかというと、考え方は同じです。

まず５人のそれぞれをどこか固定した位置に置きます。例えば上の例と同じく一番左に置きます。すると、残りの４人の並び替えは２４通り（４！＝４×３×２通り）である事が分かっているので、５人のそれぞれに対して２４通りですから５×２４＝１２０通りの並び替えの方法があります。これをまとめて５！通りと書く事もできて、これが_５Ｐ_５＝５！＝１２０の意味です。わずか５人で、並び替えの方法は意外に多いという事が分かります。

６人の場合も同じで、６×５！＝６×１２０＝７２０通りになります。これもこれまでと同様に６！＝７２０通りとも書けます。非常に数が増えて、１つ１つ手で紙に具体的に書きだすのは困難である事が分かります。

７人の場合は７！＝７×６！＝７×７２０＝５０４０通りになります。以降、人数を増やしていくと並べ方の総数は莫大に増えていく一方です。

以下、何人いても考え方は同じで、Ｎ人いた場合にはまずＮ人を選びます。のこりＮ－１人についてみるとこれは（Ｎ－１）×「Ｎ－２人の場合」ですから、結局Ｎ×（Ｎ－１）×（Ｎ－２）×・・・×３×２＝Ｎ！通りという事になるわけです。
【_ＮＰ_Ｎ＝Ｎ×_Ｎ－１Ｐ_Ｎ－１＝Ｎ×(Ｎ－１)！＝Ｎ！のようにも書けます。考え方はある程度自由です。】

これが「Ｎ個のものを並び替える順列の総数は _ＮＰ_Ｎ＝Ｎ！である」という事の意味です。

Ｎ個のうちＭ個を並び替える場合

次に、Ｎ個のものの中からＭ個選んで並び替える方法の総数についてです。
これは順列の記号では_ＮＰ_Ｍと書きます。

公式だけ見ると一見わけがわからない式に見えるかもしれませんが、意味はじつに簡単です。

５人いて、３人を選んで並び替える方法を考えてみましょう。

５人全員を並び替える場合には５！＝５×４×３×２通りであったわけですが、意味を考えると３人だけを選ぶ場合には、最後の「２倍」がいらないわけです。誰か３人が並んだ時点で、選ばなかった２人も確定しますからそれで終了というわけです。

結果的には話は単純で、最初に５人のうちの１人を選び、次に残った４人の中から１人、続いて残った３人の中から１人を選びそこで打ち切るという事です。
【この方法でＮ個全てを並び替える場合を理解しても支障ありません。】

式で書くと_５Ｐ_３＝５×４×３＝６０という事です。

５人中２人だけを選び並び替えるなら_５Ｐ_２＝５×４＝２０通り、５人中１人だけなら_５Ｐ_１＝５通りです。

この通り、考え方は単純なのですが一般のＮに対して式を書くと多少煩雑になる面があります。

Ｎ個のうち３個を並び替えるという場合にはＮ(Ｎ－１)(Ｎ－２)通りなどと上から順に３項の積を考えて済みますが、Ｎ個のうちＭ個を並び替える場合にはどう書くのかという話になります。

_ＮＰ_３＝Ｎ(Ｎ－１)(Ｎ－２)の場合を見てみると、Ｎ－３以降の項がないわけですから、Ｎ！を(Ｎ－３)！で割るとちょうどうまい具合に同じ数になります。

つまり、(Ｎ－Ｍ)！を考えて、それでＮ！を割ればうまく式でも表現できるわけです。これが_ＮＰ_Ｍを表す公式の意味です。

$$_N\mathrm{P}_M=\frac{N!}{(N-M)!}$$

尚、Ｍ＝Ｎ－１を考えると、Ｎ－Ｍ＝Ｎ－(Ｎ－１)＝１ですから、それでＮ！を割ってもＮ！のままです。_ＮＰ_Ｎ－１＝_ＮＰ_Ｎという事になります。これは５人全員を並び替える時、最後の一人については空いている位置に入れるだけなので結局「５人中４人を選んで並び替える」場合と同じである事に対応しています。

順列の考え方は、具体的な人や物の並べ方を考える時だけでなく、種々の理論の中でＮ個の項を並び替える何らかの操作をする時にその総数を表すために使用されます。

例えば（高校数学の範囲外ですが）線型代数で行列式の定義をする時にはＮ個の項の積をとって並び替えたものを全て考えるという事をやるので、項数は順列の総数という事になります。（Ｎ！という形が出てくる式全てが順列に関係するとは限りません。例えば、単項式に対する微分操作を繰り返す事でＮ！が出てくるパターンもあります。）

また、順列の他に重要な「組み合わせ」の数え方も順列での考え方を基礎としています。方法の総数を数え上げる事は、確率の理論でも重要です。

必要条件、十分条件、必要十分条件の意味・覚え方・使い方などについて説明します。
必要条件と十分条件は対になっている考え方であり、ともに成立する場合には必要十分条件と言います。
（英：必要条件 necessary condition　十分条件 sufficient condition
　必要十分条件 necessary and sufficient condition）

ここでは高校数学で必要な知識を説明します。

★必要条件や十分条件そのものについて問う出題は高校数学特有のものですが、用語や考え方自体は大学数学でも使います。ただし、物理や工学などでは基本的には使用しません。

考え方と内容

「ＰならばＱ」という関係（「論理式」）が成立する時、ＰはＱの十分条件であると言います。
また、ＱはＰの必要条件であると言います。
記号では矢印記号「⇒」を使って「ならば」の部分を表し、 Ｐ ⇒ Ｑと書きます。

例えば「『ある実数が偶数である』ならば『その実数は自然数である』」といった感じです。
一般の定理などはそのような形をとっています。例えば三平方の定理は「『ある三角形が直角三角形である』ならば『斜辺と残り２辺の長さをそれぞれｃ、ａ、ｂとしてｃ^２＝ａ^２＋ｂ^２である』」という形です。
【※後述しますが三平方の定理に関してはこの逆も成立し、必要十分条件になります。】

この「ＰならばＱ」とは、「Ｐが成立するなら、必ずＱも成立している」という意味です。「必ず」というところがポイントで、例外は１つでもあってはいけないというのが数学での表現上のルールです。

「ＰならばＱ」Ｐ ⇒ Ｑ　と「ＱならばＰ」Ｑ ⇒ Ｐ　が両方とも成立する時、ＰはＱの必要十分条件であると言います。（この時、ＱのほうもＰの必要十分条件であると言います。）記号は、両方向に向いた矢印の「⇔」を使い、Ｐ ⇔ Ｑ と書きます。

Ｐ ⇒ Ｑ の関係が成立する時、「Ｑが成立するためには、Ｐが成立すれば十分である」といった表現をする事もあります。また、必要条件のほうに着目して「Ｐが成立するためには、Ｑが成立する事が必要である」と言う事もあります。

また文章の表現として、Ｐ ⇒ Ｑ の関係について「ＱはＰが成立するために『必要ではあるが十分ではない』」という表現がなされる場合もあります。これは、特に Ｑ ⇒ Ｐ は成立しない事が判明している場合に使われる事が多いです。（後にも触れますが、Ｐ ⇒ Ｑが判明しているけれどＱ ⇒ Ｐかどうかはまだ不明であるという場合もあり得ます。）

もう１つ例を挙げてみます。
Ｘが自然数の時、「Ｘが４の倍数である事」は「Ｘが偶数である事」の十分条件です。

これは、「Ｘが４の倍数」であれば必ず「Ｘは偶数」であるからです。
「Ｘが４の倍数である」 ⇒「Ｘは偶数である」　は、成立しています。

他方、Ｘが偶数であっても「必ず」４の倍数とは言えません。これは、例えば偶数であっても２や６といった数は４の倍数ではないからです。このように出てきてしまう「例外」の具体例の事を、数学の用語として反例と言います。

「Ｘが６の倍数である」事も「Ｘが偶数である」事の十分条件の１つです。
６の倍数６，１２，１８，２４、・・・は例外なく、必ず偶数であるからです。
つまり「Ｘが６の倍数である」 ⇒「Ｘは偶数である」　も成立しています。

このように、十分条件というものは複数あり得ます。

必要条件についても同様で、１つではなく複数あり得ます。
例えばここでの例で「Ｘが偶数である」を「Ｘが２以上の自然数である」といったものに変えても同様に
「Ｘが４の倍数の自然数である」 ⇒「Ｘは２以上の自然数である」　
は成立するので、Ｘが自然数の時に「Ｘが２以上の自然数である」事も「Ｘが４の倍数である」事の必要条件になります。

【図での覚え方】論理式と集合との関係

これら十分条件と必要条件の上手な捉え方として、ある変数が集合の元（要素）である事に関する論理式を考え、さらに図に描くという方法があります。この方法は、論理式の構造の理解のために大変便利です。

例えば「『ｘが集合Ｂに属する（Ｂの元である）』ならば『そのｘは集合Ａに属する』」という事が正しいとしましょう。この時、集合Ａと集合Ｂの包含関係は「ＡがＢを含む（Ａ⊃Ｂ）」という事になります。これは、この関係が成り立つという事は「ｘがＢに属するのであれば『必ず』そのｘはＡに属してもいる」という意味であるからです。

これらの集合が例えば平面上の領域（点の集まり）であれば、これは図形に描けます。絵としては、穴などがない領域Ａの中に完全に領域Ｂが含まれてしまっている場合です。この時に、領域Ａに完全に含まれてしまっている領域Ｂが、「十分条件」のイメージです。

逆に、相手方である領域Ｂを含んでいる大きなほうの領域Ａが、「必要条件」のイメージです。

領域ではなくて数直線上の区間で考えても同じで、
例えば実数ｘが閉区間 [０,１／２] に含まれるならば、ｘは閉区間 [－１,１]に含まれています。
記号で書くとｘ∊ [０,１／２] ⇒ ｘ∊ [－１,１] という事であり、
ｘ∊ [０,１／２] は ｘ∊ [－１,１] であるための「十分条件」であり、
ｘ∊ [－１,１]はｘ∊ [０,１／２]であるための「必要条件」です。
閉区間同士の包含関係については、[－１,１] が [０,１／２] を含んでおり [－１,１] ⊃ [０,１／２] です。

証明問題・計算での使い方

三平方の定理を証明する時は、まずは前提となる「直角三角形である」という条件が正しいとして、その時に必ず３辺の関係がｃ^２＝ａ^２＋ｂ^２となる事を示すわけです。

すると、その証明によって
『三角形が直角三角形である』⇒『斜辺と残り２辺の長さをｃ、ａ、ｂとしてｃ^２＝ａ^２＋ｂ^２である』
という論理式が真であるという事になるわけです。

しかし逆に、
『三角形の辺の関係式ｃ^２＝ａ^２＋ｂ^２が成立する』⇒『三角形が直角三角形である』
という事が正しいかはこの時点では分かりません。
この段階ではこの逆の形の論理式が「真か偽かも分からない」という事です。

従って、それが真か偽かもまた証明によって調べる必要があります。
今度は辺の長さの関係を前提として（正しいものとして）証明を行うわけです。

結論を言うと三平方の定理の「逆」である
『三角形の辺の関係式ｃ^２＝ａ^２＋ｂ^２が成立する』⇒『三角形が直角三角形である』
も、確かに成立します。証明できるという事です。
という事はＰ ⇒ Ｑ の形に対してＱ ⇒ Ｐの形も成立しているので、三平方の定理は「必要十分条件」である Ｐ ⇔ Ｑ の形となるわけです。

このように「必要十分条件である事を証明せよ」という問題の場合（入試問題以外でも）、
まず Ｐ ⇒ Ｑ を証明し、次に Ｑ ⇒ Ｐ も証明して Ｐ ⇔ Ｑ であると結論付けるのが一般的手法です。

通常の実数や文字式等の計算での式の変形も、じつは細かく言うと「必要十分条件」の関係です。

ｘ－ｙ＝０の時、ｘ＝ｙであるわけですが、
細かい事を言うとｘ－ｙ＝０⇒ｘ＝ｙかつｘ＝ｙ⇒ｘ－ｙ＝０であり、
ｘ－ｙ＝０⇔ｘ＝ｙというわけです。
そのため、式変形をする時に必要十分条件の記号⇔を使う事があります。

注意が必要な例として、平方根と２乗の関係があります。次の関係を見ましょう。ｘは実数とします。

$$x=\sqrt{2}\Rightarrow x^2=2$$

この論理式は成立します、しかし注意が必要なのは、この場合には「必要十分条件」で結ぶ事はできないという事です。それをやってしまうと、論理式は「偽」になってしまいます。理由は簡単で、２乗して２になる数（実数）は、\(\sqrt{2}\)は確かに当てはまるのですが、もう１つ負の数のほうの\(-\sqrt{2}\)があるためです。

$$特に条件が無い場合、x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}$$

この関係の逆は成立します。そのため、必要十分条件で結ぶのであれば次のようにする必要があります。

$$x^2=2\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}$$

これを確実に見るには、ｘ^２＝２ ⇔ (ｘ＋\(\sqrt{2}\))(ｘ－\(\sqrt{2}\))＝０という因数分解された形にするとよいでしょう。【この「因数分解の形にする」という式変形は、必要十分条件で結ばれます。】

このように、一般の実数等での式変形であれば必ず必要十分条件になるわけではなく、時々片側にのみ
「ならば」記号の矢印⇒が成立する場合もあります。その点だけは少しだけ注意が必要になります。

三角関数とは、図形上の三角比である正弦、余弦、正接の角度部分を拡張して定義域を実数全体に広げた正弦関数、余弦関数、正接関数を言います。（正接関数は \(\pi\)／２の奇数倍を定義域から除きます。 ）
三角関数の変数は「実数値」であり、度数法ではなく弧度法で表します。（※度数法のまま三角関数を扱っても支障はない場合も多くあります。ただし微積分を扱う時には特に問題が発生するので注意も必要です。）

表記方法自体は三角比の場合と同じで、変数部分の記号としてｘを使う事が多いです。
正弦関数 ｙ＝sinｘ　余弦関数 ｙ＝cosｘ　正接関数 ｙ＝tanｘ

三角関数は、代表的な周期関数の１つでもあります。これは、同じ関数の値が等間隔の変数ごとに繰り返し現れるというもので、「１回転」\(2\pi\) ごとの周期性を示します。（比例係数を使う事で、その他の値の周期とする事もできます。）

指数関数や対数関数と同じく、高校で扱われる重要な関数である初等関数の１つです。

三角比との違いは、数学的に厳密な違いが定義されているわけではありませんが、三角比というのはどちらかというと平面の図形に対して０°～１８０°の範囲で適用するものであって、三角関数は図形問題というよりは周期関数としての性質を強調して使う事が多いです。

定義域の拡張・・角度を拡張する

三角関数の考え方は大体において三角比と同じ考え方を適用できますが、正弦関数等の変数は実数全体です。この場合、単純な直角三角形の角度としては変になる場合はどのように解釈するのか？を説明します。
基本となるのは正弦関数と余弦関数なので、まずはそれらについて見ていきます。
（正接関数についてはそれらの割り算で表されます。）

■ 「０度」と負の角度　■ \(\pi\)／２【９０°】以上の角度　■ ２\(\pi\)【３６０°】以上の角度【周期性】　

「０度」と負の角度

直角三角形の直角以外の部分の角度は、「もちろん０°より大きく９０°より小さい範囲」です。
弧度法だと 0 ＜ x ＜ \(\pi\)／２です。そうでないと三角形ができないためです。
しかし三角関数では、この変数の範囲（定義域）を拡張していきます。

まず変数が０以下の場合はどうするのでしょうか？結論を言うと次のようにします。

これは図で言うと、三角形を底辺に関して対照的にひっくり返したものを考えて「負の角度」としています。角度の方向にも向きを付けて、反時計回りをプラス、時計回りにはマイナスの符号をつけるという意味です。
そのうえで正弦については「下向き」の高さ、余弦については変わらず同じ値と決めています。

まずｘ＝０の場合には次のようにしていす。

これらは「定義」であるとしか言いようがない面もありますが、「なめらかな形の連続関数」になるような定義としての１つの要請であるとも言えるのです。
三角比の範囲においても、角度を０に近づけると正弦の値は０に近づき、余弦の値は１に近づいていくのでｘ＝０において sin 0 = 0, cos 0 = 1 であれば、その「点」において関数は「連続」になるという事です。さらにそこから、なめらかな形で負の部分に続いていく事も考えます。（微分可能になるように。）

また、周期関数になるという要請も加えると、定義の仕方も段々と限定されてくるわけです。意味としては、三角関数における「角度」の拡張の定義にはそのような意味があると捉える事ができるのです。
直交座標上にｘを変数とした三角関数のグラフを描くと、ちょうどｘ＝０で正弦関数は原点に対して点対称、余弦関数はｙ軸に関して軸対称の形になります。

尚、ここでは sin(－ｘ)＝ －sinｘ において「ｘは正の値」を考えて変数が負の場合の説明をしましたが、
そこでｘ自体に「負の値」・・例えば－\(\pi\)／４を入れたとすると$$\sin\left\{-\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right\}=\sin\frac{\pi}{4}=-\left(-\sin\frac{\pi}{4}\right)=-\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$$となり、式の整合性はとれています。余弦関数の場合も同様に整合性がとれます。つまり一般的に、変数部分にマイナス符号がついている時には、上記の定義式の関係を使って機械的に計算してもよいという事です。

\(\pi\)／２【９０°】以上の角度

では、変数がプラスの値の時に戻って、変数が\(\pi\)／２以上の場合はどうするのでしょう？
通常の図形問題でも９０°以上の角度は考えますが、直角三角形の直角にはそのままでは適用できません。

三角関数において、定義域を\(\pi\)／２以上に拡張する場合は次のようにします。

また、正弦関数と余弦関数については次式も成立し、これを使うと計算上便利です。

さて、この定義を見ると角度が負の場合と比較して、かなり複雑であるようにも見えます。
この場合もやはり式だけで考えるのではなく、図形的に考えたものを式で表現するなら上記のようになると理解すべきでしょう。

変数が直角を考える場合には、今度は直角三角形の高さ部分の辺に関して対照的になるようにひっくり返すのです。この場合も、関数の値の絶対値は直角未満の場合の三角比の値を流用して符号だけをいじるという定義の仕方をします。

９０°を超えて１８０°未満の「鈍角」の範囲における三角関数の具体的な値を調べる時には、鈍角を「１８０°－鋭角」と考えるか、「９０°＋鋭角」と考えるかの２通りの計算で便利なほうを使うのが普通です。

尚、式として考える場合、「９０°＋鋭角」の鋭角部分をマイナスにしてさらに９０°加算する事で
「１８０°－鋭角」の三角関数の値の式を導出する事も一応可能です。次のようにします。

$$\sin\left(\pi-\theta\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=-\sin(-\theta)=\sin\theta$$

$$\cos\left(\pi-\theta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\theta\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=-\cos(-\theta)=-\cos\theta$$

変数の値が２直角、つまり\(\pi\)の時には正弦関数の値は０、余弦関数の値は－１です。これは定義として捉えてもよいですし、上記の sin(ｘ＋\(\pi\))＝－sinｘから導出するという形でも同じです。これらも、意味としては関数の増減との対応・周期性・なめらかな連続性を満たす要件として考える事ができます。

さらに変数が\(\pi\)を超える場合には負の角度の時のように底辺に関して対照的にひっくり返します。この場合は、sin(ｘ＋\(\pi\))＝－sinｘ,　cos(ｘ＋\(\pi\))＝ －cosｘ の関係式を使うと把握しやすいでしょう。図を見ながら、図形的に捉えましょう。

さらに角度の値を大きくすると、今度は再び高さ部分に関してひっくり返り、座標軸上で言うと第４象限の位置に配置された三角形を考える事になります。

２\(\pi\)【３６０°】以上の角度【周期性】

角度を増やして、４直角、つまり３６０°に達し、それを超えた場合はどうなるでしょう。

この場合は、sin(ｘ＋\(\pi\))＝－sinｘ,　cos(ｘ＋\(\pi\))＝ －cosｘ の関係式の変数にもう一度 \(\pi\) を加えるのです。

すると、再度符号が反転して sin(ｘ＋２\(\pi\))＝sinｘ,　cos(ｘ＋\(\pi\))＝ cosｘ　となり、
もとの sinｘ および cosｘになる事を導出できます。

これが三角関数の周期性と呼ばれる性質で、以降、角度をどれだけ増やしても延々と周期的に値を繰り返すという事です。これは正接関数についても成立します。

この周期性は、マイナスの向きに角度を減らした場合にも適用できます。つまりマイナス方向にもプラス方向にも、実数全体にわたって２\(\pi\)の周期性があるという事です。

sin(ｘ＋２\(\pi\))＝sinｘの関係から、sin(２\(\pi\)－ｘ)＝sin(－ｘ) となり、余弦関数の場合も同様です。これは図形的に見ると、同一の頂点に相当する部分に至る角度を反時計回り（プラス）で測っても時計回り（マイナス）で測っても三角関数の値は同じである事を意味します。

単位円による定義方法

さて、以上の三角関数の定義と性質を見ると、式だけで覚えるのは大変複雑で、図形的に見るとそれほど難しい理屈ではない事が分かると思います。

上記の図でもところどころに描いていますが、じつは三角関数を把握するには円を描くと便利です。（三角関数の別名を「円関数」とも言います。）

この円は、原点を中心とした半径を１にした円で、単位円と呼ばれます。

すると、斜辺の長さに相当する「半径」が１ですから、角度の取り方は前述の方法と同じであるとすると、
円周上の点のｘ座標は余弦関数の値、ｙ座標は正弦関数の値になるのです。

この単位円による方法でも適切に三角関数の値を出せるので、これを定義にしてしまうやり方もあります。

単純な覚えやすさと使いやすさに関しては、この単位円による方法は非常に優れています。

欠点があるとすれば、三角比の拡張として唐突に「円」を持ち出すと、やはり少しばかり飛躍を感じさせるのも事実だと思います。最初から単位円による定義で教え込まれてしまうと結局「わけもわからずに」暗記するだけ・・という事になりがちです。

重要な公式まとめ

三角関数の公式としては、簡単に４つのグループに分けると次のようなものがあります。

1. 三角比についても適用できる公式
2. 定義域を拡張した三角関数に特有なもの（例えば周期性）
3. 正弦定理と余弦定理
4. 加法定理と、それから派生する公式

まず、三角比についても成立するいくつかの公式は、三角関数でも成立します。これは三角比範囲の角度でのみ成立するのではなく、負の角度や直角以上の角度を代入してもきちんと成立するところが便利です。

これらの証明は三角比の説明のところで詳しく記しています。

周期性も含めて、三角関数特有の公式・性質も整理しておきましょう。
前述の通り、式だけで覚えるのではなく図形的に理解して覚えるとよいと思います。

図形的に三角形に対して成立する公式で三角関数を使うものには、正弦定理と余弦定理というものがあります。（余弦定理のほうがどちらかというと重要かと思います。）それらは基本的には三角比に対して成立しますが、角度として鈍角や直角を適用する場合には三角関数の定義を使用すると図形的な対応もうまくとれるという具合になります。図形的な対応さえきちんとつけるなら、余弦定理に関しては全実数の範囲の角度を適用しても成立します。

また、三角関数の加法定理というものがあって、これは複素数の理論の一部を構成しており、微積分のほうで計算を進めるために使う事もあるので三角関数の公式の中では重要な部類に入ります。
また、この加法定理から派生するいくつかの小さなグループの公式として積和の公式・和積の公式・倍角の公式と呼ばれるものもあります。それらは本質的にはもともと加法定理そのもので、少し式変形をして形を変えたものになります。

この他に、高校数学では必要ありませんが、三角関数を使った無限級数によって周期関数を解析する技法があります。そこでも三角関数の基本的な性質や公式は前提として話が進められる事も多いので、基礎事項をよく知っておくと後々の学習が進めやすい事もあろうかと思います。

実数に関する絶対値の意味と、高校数学の範囲で想定される問題について説明します。

絶対値とは？

■ 実数の「絶対値」の意味
■ 文字式に対する絶対値
■ 絶対値記号がついた関数のグラフ　

実数の「絶対値」の意味

絶対値とは、意味としては向きに関わらず正の値として特徴づけられる「大きさ」のようなものです。

実数の場合、正の数の絶対値はその値そのもの、負の数の絶対値は符号を取り除いて正の数に直したものを指します。記号は、数を２本の縦棒｜｜で挟んだようなものを使います。例えば次の通りです。

$$実数+3の絶対値\hspace{10pt}|3|=3$$

$$実数-3の絶対値\hspace{10pt}|-3|=3$$

後述もしますが、負の数の「絶対値」は、－１を掛ける事で正の数にしたものでもあります。文字式や関数の絶対値を考える場合は、こちらの考え方のほうが重要になります。

尚、複素数に関しても絶対値というものもあり、ベクトルの場合は絶対値ではなく「大きさ」とか「距離」とか言いますが、記号は実数に関する絶対値と同じ記号を使います。

$$参考：複素数の絶対値\hspace{5pt}|1+2i|\hspace{15pt}ベクトルの「大きさ」|\overrightarrow{AB}|$$

文字式に対する絶対値

さて、という事は実数に関する絶対値というのは要するに正の数だろうが負の数であろうがとにかく符号はプラスにするというものですので、「大した意味を持つものではなく簡単ではないか」という話にもなります。実際、意味自体は簡単である事は事実です。

ただ、高校数学の場合、くせものなのは文字式や関数に絶対値記号をつける場合なのです。

例えば、実数変数ｘに絶対値記号をつけた |ｘ| については次のように処理せねばなりません。

$$①x≧0 の時、 |x|=x,\hspace{10pt}②x＜0 の時、 |x|=-x$$

注意が必要なのは、変数ｘが「負の数」の範囲にある場合で、絶対値記号を「外す」時にはマイナス記号を添えねばなりません。これは、ｘが負の数であるのだから、反転して正の数にするためには数学的な操作としてはマイナスを掛ける必要があるという事です。

$$x＜0 の時,|x|=-x\hspace{10pt}例えばx=-2なら、|x|=-x=-(-2)=2$$

人間が自分の感覚でやる時には「マイナス記号を取り払う」事で負の数を正の数にできますが、数学的な演算としては負の数を正の数にするには「－１を掛ける」操作が必要であるという事なのです。

より複雑な文字式に絶対値記号をつける場合も考え方は同じで、不等式に関する問題も絡んできます。

$$|A-2B|=A-2B【A≧2B】\hspace{10pt}|A-2B|=-(A-2B)=-A+2B【A＜2B】$$

関数に絶対値記号をつける場合は、その関数がどの変数の領域（「定義域」）で正の数になるのか、負の数になるのかという問題が直接的に絡みます。

$$|x^2-3x-4|=|(x-4)(x+1)|から、x^2-3x-4の正負の状況が分かる。$$

$$x≦-1またはx≧4の時、|x^2-3x-4|=x^2-3x-4$$

$$-1＜ｘ＜4の時、|x^2-3x-4|=-x^2+3x+4$$

このように、絶対値記号とは意味自体は簡単なのですが、出題する問題として話を複雑にしようと思えばいくらでもできるような性質のものでもあるので、いくらか慣れておく必要もあると思います。

絶対値記号がついた関数のグラフ

上記のように関数に絶対値記号をつける事もできるわけですが、この時にグラフを描くと、関数が０の値をとる点を境にｘ軸に反射するように折れ曲がるグラフになります。

例えば、次の３つの絶対値記号がついた関数のグラフは図のようになります。

$$y=|x|, \hspace{10pt}y=|x-1|, \hspace{10pt}y=|x^2-1|$$

２次関数に絶対値符号をつけた関数に関しては、因数分解する（本質的には解を計算する）事でグラフの形が分かります。

$$x^2-1=(x+1)(x-1)から、もとの２次関数の正負の範囲が分かります。$$

高校数学で問われる事は少ないと思いますが、三角関数に絶対値記号をつけた形の波形のグラフというものも想定できます。通常は負の数の部分が反転して周期的に山がいくつも連なるようなグラフになります。

参考までに、この類の波形は、電圧や電流として正弦関数等を考える時には実際に作れるもので、交流を直流に変換するための古典的な技術の１つです。半導体素子を上手に回路に組み合わせると実現可能となります。

応用：どういった出題があるのでしょう？

■ 直線との交点の問題など　■ 微積分との複合問題

直線との交点の問題など

上述の通り、関数に絶対値記号をつけると、グラフ上では形が変わってしまう場合があります。

そうすると、例えば同じ「２次関数と直線の交点の状況を調べる」という問題であっても、関数部分に絶対値記号をつける事で計算の手間が１つ増えてランクが少しだけ上がるわけです。

$$■問い：直線y=x+Cと図形y=|x^2-5x+4|が３点で交わるCの値は何ですか。$$

こういった問いの場合、少し引っかけどころがあって、ｘ軸に対して反転した部分に「接する」ことで３点で交わるパターンと、ちょうどｘ軸で反転する１点と、突き破るように関数と交わる他の２点と合わせて３点という場合があります。仮にこういう問題が出題された時には、どちらの場合も述べないと完全な正答にならないところがくせものです。

この問いに関しては、図に描いてみると状況を把握しやすいと思います。

Ａ．まず、２点および接点によって３点で交わるパターンです。

この場合には、接する部分は２次関数の部分が反転していますから、

$$y=x+Cと、y=-(x^2-5x+4)=-x^2+5x-4が接する状況を考えます。$$

$$x+C=-x^2+5x-4\Leftrightarrow -x^2+4x-4-C=0$$

$$\Leftrightarrow -(x-2)^2-C=0$$

よって、ちょうどＣ＝０であればそのような状況になります。これがまず１つです。

Ｂ．もう１つの場合。この場合、絶対値記号の中の２次関数が０になる部分の片側（値が小さいほう）を直線が通る事になります。

$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)なのでx^2-5x+4=0\Leftrightarrow x=1またはx=4$$

直線のほうのｙ＝ｘ＋Ｃが、点（１,０）を通ればよいわけです。この場合、ｙ切片であるＣを知るのは簡単で、Ｃ＝－１です。（分かりにくければ図を見てください。）

よって、題意を満たすＣの値はＣ＝０,－１です。【解答】

この問いの場合は直線のほうの傾きが固定されているので比較的状況を把握しやすく、逆に傾きのほうが変化する場合には状況はやや複雑になります。さらに、直線の式のほうに絶対値記号がつく場合も同様に複雑になります。いずれにしても、グラフの図形的状況を丁寧・正確に把握する事がポイントとなります。

この問いと同じ部類で、より平易なパターンはｘ軸に平行なｙ＝Ｃのような直線と、２次関数が一部反転した関数との交点を調べさせる問題です。その場合、反転した頂点部分より上とｘ軸で２交点、頂点の座標では３点、ｘ軸から頂点までの間では４点、ｙ座標が負の部分では０点で交わるという事になります。

微積分との複合問題

微積分の問題で、絶対値記号がついた関数の微分や積分を問うという出題も一応あり得るものではあります。いずれの場合も、絶対値記号がついたままでは微分も積分もできません。

まず絶対値の中身の正負の状況を正確に把握して、絶対値記号を外すという操作が必要になります。それから、微積分の操作をします。

上記の２次関数に絶対値記号をつけた関数に直線が接する条件を微分で出す場合には、ｘ軸に対して反転した部分で接するため、マイナスをつけて絶対値記号をはずした２次関数を微分する事になります。微分の場合は、関数の正負が反転する部分は導関数の正負も反転するだけという性質をうまく使える場合もあります。

定積分であれば積分区間を分割する事になります。本来マイナスになる部分の定積分がプラスに転じるので全体の値も当然変わってきます。

いずれにしても、通常の形の関数を微積分するよりも一手間かかる問題になりやすいのです。

参考までに、絶対値記号がついた関数がｘ軸で反射するように折れ曲がる点は、微積分学では関数が「連続であるけれども微分不可能である」点の例の１つとしてよく取り上げられます。これは、その点に変数ｘを近づける時に、大きい側から近づける場合と、小さい側から近づける場合とで微分係数に相当する極限値が異なる値になってしまうためです。