公立高校の入試で出題される図形問題の模擬問題です。実際のレベルにかなり近いものになっています。
どんな感じのレベルのものが出るのか１つの参考にどうぞ。
難問や奇問はごく少ない代わりに、速く・確実に解ける事が重要かと思います。
まず３問です。
①平行な２直線と１つの直線上に点Ａ、もう片方の直線上に点Ｃがあり、図のように点Ｂがあります。
平行線とＢＣがなす鋭角の大きさが４０°平行線とＢＡがなす鈍角が１５０°の時、
∠ＡＢＣの大きさはいくらですか。
②長方形ＡＢＣＤがあり、ＡＣ上に点Ｅ、ＢＤ上に点Ｆがあり、ＢＥとＣＦは平行です。
ＥＦ上に点Ｐと点Ｑをとり、ＢＰとＥＦが垂直、ＣＱとＥＦが垂直であるようにする。
この条件のもとで、三角形ＢＰＥと三角形ＣＱＦは合同である事を証明しましょう。
③図のように円周上に点Ａ、Ｂ、Ｃがあり、円の中心をＯとします。
∠ＡＯＣ＝１４０°である時、∠ＡＢＣの大きさはいくらですか。
解答は次のようになります。
①図のように点Ｂを通る平行線を考えて、鋭角の錯角同士を合わせたものが答えになります。
１８０－１５０＝３０°と、４０°を合わせます。３０＋４０＝７０°です。
②四角形ＣＦＢＥは平行四辺形になるので、ＢＥ＝ＣＦ（※）。平行線の錯角の関係にあるので∠ＢＥＰ＝∠ＣＥＱ。直角三角形の１辺と直角以外の１つの角度が互いに等しいので△ＢＰＥ≡△ＣＱＦ
【(※) △ＣＦＥ≡△ＢＥＦであるのでそうだとも言えます。ＥＦ＝ＦＥは共通の辺、その両端の角は平行線の錯角であるため等しい。】
③このような場合、通常の場合と逆向きになっているので分かりにくいかもしれませんが、
円弧ＡＣに対する中心角が図の１４０°の部分の角度です。
そこで、円弧ＡＣの点Ｂと反対側の円周上のどこでもいいので点をとり、円弧ＡＣの円周角を考えます。これは１４０°の半分ですから７０°です（円周角の定理）。すると「円に内接する四角形の対角の和は１８０°」を使って、∠ＡＢＣ＝１８０－７０＝１１０°です。
【円周角の定理で優弧ではなくて劣弧のほうを考えて中心角を３６０ー１４０＝２２０°の半分と考えて∠ＡＢＣ＝１１０°と計算する事もできます。】
このように、基本的に円や平行線に関連する問題が多いです。
④円周上に点Ａ、Ｃ、Ｂ、ＤがありＡＢは円の中心Ｏを通ります。
∠ＢＡＤ＝３０°である時、∠ＡＣＤの大きさはいくらですか。
⑤長方形ＡＢＣＤがあり、ＣＤ上に点Ｅ、ＡＢ上にＧがあり、ＡＥとＧＣは平行です。
ＣＧ上に点Ｆがあり、∠ＣＥＦ＝４０°、∠ＢＡＥ＝６５°である時、∠ＣＦＥの大きさはいくらですか。
⑥長方形ＡＢＣＤがあり、ＡＢを直径とし、ＡＤの長さを半径とする円があります。
図のように円弧ＡＢ上に点Ｑがあるとき、三角形ＡＢＱと三角形ＰＡＤは相似である事を証明しましょう。
⑦円周上に点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあり∠ＢＤＣ＝２０°、∠ＡＢＤ＝６０°、∠ＤＡＣ＝５０°である時、
∠ＡＤＢの大きさはいくらですか。
解答の際の考え方は大体同じで、図形に関する基本的な性質を組み合わせます。
④ＡＢが円の直径という事なので、∠ＡＤＢ＝９０°です。
すると∠ＡＢＤ＝９０－３０＝６０°ですが、
円周角の定理より∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＤなので、∠ＡＣＤ＝６０°です。
⑤四角形ＡＥＣＧは平行四辺形なので、∠ＥＣＧ＝∠ＥＡＧ＝６５°です。
なので、∠ＣＦＥ＝１８０－６５－４０＝７５°です。
⑥ＡＢは円の直径で、四角形ＡＢＣＤは長方形なので、
∠ＡＤＰ＝∠ＢＱＡ＝９０°、平行線の錯角の関係により∠ＢＡＰ＝∠ＡＰＤです。
２つの対応する角が互いに等しいので△ＡＢＱ∽△ＰＡＤです。
⑦円周角の定理を使うと∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ＝６０°なので、
△ＡＣＤの内角の和から、∠ＤＡＣ＝１８０－６０－２０－４５＝５５°です。
あるいは、∠ＣＤＢ＝２０°の部分に円周角の定理を適用し
∠ＣＤＢ＝∠ＣＡＢ＝２０°なので△ＡＢＤの内角の和から計算する事もできます。
