直交座標上で円を表す式について説明します。
基本となるのは図形としての円の定義と、三平方の定理（２点の距離）です。
１点からの距離が等しい点の集合：円
ｙ＝２ｘなどの１次関数は直交座標上で「直線」になり、ｙ＝ｘ２などの２次関数は「放物線」になります。
では具体的に他の特定の図形、
例えば「円」の形になるように直交座標上での式を考えるとしたらどのようになるでしょうか。
結論を言うと次のようにします：
点（ａ,ｂ）を中心とする半径ｒの円は、
(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝ｒ２ で表される。
これは何を言ってるのかというと「点（ａ,ｂ）から点（ｘ,ｙ）までの距離がｒですよ」という事です。これを満たす点(ｘ,ｙ)は点(ａ,ｂ)を中心とする半径ｒの「円周上」に必ずありますよ、という意味です。
平面幾何での円の定義を思い出してみると、円とは「１点からの距離が等しい点の集まりで構成される図形」でしたから、これは適切という事になります。
そして２点間の距離は三平方の定理を使って出せばよいので、上記のような２乗を含んだ式になるわけです。特に原点を中心とする場合はｘ２＋ｙ２＝ｒ２という形になります。
この時、(ｘ－１)２＋(ｙ－２)２＝４のような形で、右辺が２乗の形として明示しなくても円の式を表します。この場合には４＝２２のように書けるので、（１,２）を中心とする半径「２」の円という事です。
理屈自体は以上で終わりで、意味さえ理解すれば難しいものではないと思います。
そのうえで、高校数学でさらに問われる内容をいくつか挙げます。
まず１つは、関数ｙ＝ｆ(ｘ)の形で円を表すとどうなるかという事です。
上記のｘ２＋ｙ２＝ｒ２のような形も、一応関数の仲間ですがこのようなＦ(ｘ,ｙ)＝０の形の式を「陰関数表現」と言ったり、その中のｙを「陰関数」と言ったりします。逆にｙ＝ｆ(ｘ)の形になっている事は「陽」に表わされていると言う事があります。
円の式の場合は、式を変形してｙ＝ｆ(ｘ)の形にする事は比較的容易です。次のようになります。
$$原点中心の場合：x^2+y^2=r^2\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{r^2-x^2}$$
$$一般の場合：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\Leftrightarrow y-b=\pm \sqrt{r^2-(x-a)^2}\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{r^2-(x-a)^2}+b$$
プラスマイナスの符号は、原点中心の円であればｘ軸を境にした円の上側か下側かであるかを言っています。積分で円の面積を計算する場合などは、この形の式を使います。
ただし、図形同士の交点を調べる場合などは、無理にｙ＝・・の形にしないで２乗の形のままで計算したほうが楽である場合も多いです。
円と図形との交点問題
円ｘ２＋ｙ２＝２２と直線ｙ＝ｘ＋１の交点の数を調べる場合、円の式のｙに直接ｙ＝ｘ＋１を代入して２次方程式の形にして実数解がいくつあるか調べるといった形になります。
グラフを描くと「明らか」である場合もありますが、式で示すなら次のようになります。
ｘ２＋ｙ２＝２２にｙ＝ｘ＋１を代入して、
ｘ２＋(ｘ＋１)２＝４
⇔２ｘ２＋２ｘ－３＝０
ここで２次関数２ｘ２＋２ｘ－３はｘ軸と２交点を持つので（ｘ＝０で負の値なので）２次方程式の解は実解が２つあり、円と直線の交点は２つというわけです。もし２次方程式が重解を持てば円と直線は「接する」という事になります。この計算をよく見ると、計算方法自体は放物線の時とほぼ同じという事も分かります。
さて、では円同士の交点の場合はどうなるでしょうか。
この場合、直線と放物線との関係の場合と異なり、ｙ＝・・の形を代入しようとするとかなり面倒です。そのため、結論を言うと２乗を含んだままの形でまず処理し、１次式の形にする工夫をします。
具体例で見てみましょう。
■問い：２つの円(ｘ＋１)２＋(ｙ－１)２＝３と(ｘー１)２＋(ｙ＋１)２＝７があるという。
これら２つの円の交点はいくつありますか。
この場合、どちらの式にもｘ２、ｙ２の項とｘ、ｙの項がともにあります。
これらをどう処理すればよいかという話です。
まず、片方の円の式からｘ２＋ｙ２＝・・の形にします。
(ｘ＋１)２＋(ｙ－１)２＝３
⇔ ｘ２＋２ｘ＋１＋ｙ２－２ｙ＋１＝３
⇔ ｘ２＋ｙ２＝２ｙ－２ｘ＋１
これを、もう片方の式に代入します。
まず２乗部分を計算して、ｘ２＋ｙ２の部分にまとめて代入するという事です。
(ｘ－１)２＋(ｙ＋１)２＝７
⇔ ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋１＋２ｙ＋１＝７
これにｘ２＋ｙ２＝２ｙ－２ｘ＋１を代入して、
(２ｙ－２ｘ＋１)－２ｘ＋１＋２ｙ＋１＝７
⇔ ４ｙ－４ｘ＋３＝７
⇔ ｙ＝ｘ＋１
ここで得られたｙとｘの１次式の関係は何を意味するかというと、特に「２交点を持つ場合」にはその２点を通る直線になります。このｙ＝ｘの関係を、２つの円のどちらにでもいいので代入します。ここでは最初のほうの円に代入します。
(ｘ＋１)２＋(ｙ－１)２＝３にｙ＝ｘ＋１を代入して、
(ｘ＋１)２＋ｘ２＝３
⇔ ２ｘ２＋２ｘ－２＝０ ⇔ ｘ２＋ｘ－１＝０
この２次方程式は異なる２実解を持つので、
２つの円は異なる２つの交点を持ちます。【解答】
尚、ここでもし交点を持たない（最後の２次方程式の形で実解を持たない）場合には、途中で得られる１次式の関係はもちろん２交点を結ぶという意味は持ちません。
また２交点を持つと分かった時の具体的な座標は、ｘが分かった時点でｙ＝ｘの１次式のほうにｘを代入すればｙが分かるのですが、ｘをもしも円のほうに代入してｙを出そうとするとさらに２つの解が出てくる場合があります。これは、直交座標上の円には端っこの２点を除いて、１つのｘ座標に対応する点が必ず２つ存在するからです。その時には片方の点だけが２交点の１つになります（２交点を結ぶ直線がｘ軸に垂直の場合を除きます。）
特定の点を通る円
少し面倒くさいタイプの高校数学の問題として、「ある１点を通る円」「ある２点を通る円」などが扱われる場合があります。
特定の点（Ａ,Ｂ）を通る半径Ｒの円の場合、
中心の座標を（ｒｘ，ｒｙ）とすると (ｒｘ－Ａ)２＋(ｒｙ－Ｂ)２＝Ｒ２という関係式ができますから、中心の座標を動かせるとすれば「軌跡は (Ａ，Ｂ)を中心とした『半径Ｒ』の円」という事が言えます。
では「ある２点を通る円」ではどうなるかというと、半径が一定であれば図を描くとおそらく「２パターン」しかあり得ない事が予想できますが、実際そうなるのです。
(Ａ，Ｂ)と(Ｃ，Ｄ)の２点を通り、半径がＲ、中心の座標を（ｒｘ，ｒｙ）とすると
(ｒｘ－Ａ)２＋(ｒｙ－Ｂ)２＝Ｒ２ および
(ｒｘ－Ｃ)２＋(ｒｙ－Ｄ)２＝Ｒ２の２式ができます。
そこから先の計算は、まずｒｘ２＋ｒｙ２＝・・の形の式に変形して、もう片方に代入します。すると、ｒｘとｒｙの１次式の関係を作れます。これは、(Ａ，Ｂ)と(Ｃ，Ｄ)の２点を通る直線の式です。要するに、円同士の交点を調べる時の計算と同じです。
さらにｒｙ＝・・の形を円のどちらか片方の式に代入すれば２次方程式になりますから、半径一定のもとで実数解は多くても２つ、つまり中心の座標は２パターンだけで他はあり得ないという事が式でも示されます。
（ここで、半径が小さすぎてそもそも所定の２点を通りようがない場合には実解がない結果になります。また、重解になる場合は２点のちょうど中点に円の中心が来る場合です。）
この場合に途中の計算で出てくるｘとｙの１次式は、(Ａ，Ｂ)と(Ｃ，Ｄ)を結ぶ線分に垂直で、線分の中点を通る直線になります。
では、「３点を通る場合」はどうでしょう？この場合、中心と３点の関係を表す式が３つできます。いずれも、中心を動かせるとすると「円の式」の形になります。この時、まず１つを使ってｒｘ２＋ｒｙ２を残り２式のそれぞれに代入し、２乗を消して１次式の関係にします。
ところが、この場合は１次式の関係が２つできて「連立一次方程式」になってしまいますから、
ｒｘとｒｙが満たす解があるとすれば１つという事になります。
この時、異なる２点を通る場合と違うのは、ｒｘとｒｙの値を計算する時に円の半径は必要ないという事です。異なる２点を通る場合には、最後の２次方程式に半径が必要です。
それに対して異なる３点を通る場合には半径が「消えた」状態でｒｘとｒｙの連立一次方程式が出てきます。
式で書くと、まず（ｒｘ,ｒｙ）と３点までの距離が等しいという３式を考えます。
(ｒｘ－Ａ)２＋(ｒｙ－Ｂ)２＝Ｒ２
(ｒｘ－Ｃ)２＋(ｒｙ－Ｄ)２＝Ｒ２
(ｒｘ－Ｅ)２＋(ｒｙ－Ｆ)２＝Ｒ２
第１式から
ｒｘ２＋ｒｙ２＝２Ａｒｘ－Ａ２＋２Ｂｒｙ－Ｂ２＋Ｒ２ であり、
これを第２式と第３式の両方に代入します。
すると、
２(Ａ－Ｃ)ｒｘ－Ａ２＋Ｃ２＋２(Ｂ－Ｄ)ｒｙ－Ｂ２＋Ｄ２＝０
２(Ａ－Ｅ)ｒｘ－Ａ２＋Ｅ２＋２(Ｂ－Ｆ)ｒｙ－Ｂ２＋Ｆ２＝０
という２つの式になりますが、この時点でＲは消えているわけです。
これは最初の３式でともに「等しい距離Ｒ」を使ったためです。
（一見ごちゃごちゃした式ですが、ｒｘとｒｙに関して見れば１次式です。）
そこで連立１次方程式からｒｘとｒｙを確定させると、もとの式に代入すると半径であるＲもそれによって決まらないとおかしい話になります。つまりこの場合は、中心座標が１つに決まる事に加え、半径も１つに決まるという事です。
ここでじつはもう１つ細かい注意点があって、
それは連立１次方程式は「解を持たない」場合があるという事です。
「そんな場合ありましたっけ。」と思われるかもしれませんが、単純な話で、
ｘ＋ｙ＝２ かつ
ｘ＋ｙ＝３
のような場合の事です。
これは、ここでは異なる３点が「同一直線上」にある場合に発生します。ですので、その場合に限っては最後の連立１次方程式の解がないので、３式を満たすｒｘとｒｙは「存在しない」という事になります。
まとめると、「『同一直線上にない』異なる３点」を通る円はただ１つしかなく、しかも半径も１つに確定するという事になります。また、同一直線上にある異なる３点を通る円は存在しないという事にもなります。