高校・大学入試レベルの微積分の問題例です。その中ではやや易しめで、その代わりなるべく「速く・正確に」解けるとよいでしょう。
- 対象となる関数は２次関数か３次関数。
１つの大問の中に微分と積分がどちらもある事が多い。 - 変数以外にａとかｂとかの未知の定数がある問題が多い。
- 定積分は基本的に面積計算が多い。２つ以上の関数が関わる事が多い。
「問題を解く事自体」は最終的には計算の作業になるので、重要な事は問題を解くのに使う公式や定理を覚えているかどうかという事と、それらの公式や定理の意味を知っているかどうか、具体的に数値を当てはめる計算ではどのように使えばいいのかがある程度分かっているかどうかという事であると言えます。
微積分の問題で言うと、次の事が重要です。
- 微分と積分は逆演算の関係にある事
- 微分係数は図形的には「接線の傾き」である事
- 定積分は図形的には「面積」を表す事
- 微分係数が０になる点では、その点の前後で微分係数の符号が入れ替わるなら関数は極大値か極小値をとり（これは必ず）、それが最大値あるいは最小値である事もある（これは必ずではありません）
また、グラフ上での直線が直交する条件であるとか（傾きの積が－１になる）、グラフを平行移動をした時の関数の形（ｘのプラス方向なら f(ｘ)→ｆ(ｘ－ｃ)）など、知っておくべき事項もいくつか出てくるでしょう。
次の模擬問題のように、言ってる事自体はじつは何ら難しくないのですが、
ちょっと面倒なものを「手早く」解く必要に迫られるタイプの問題などがあります。
２つの放物線ｆ(ｘ)＝ａｘ２－４ａ２ｘとｇ(ｘ)＝－ａｘ２＋４ａ２ｘとがあり、ａは正の実数、
ｆ(ｘ)とｇ(ｘ)のそれぞれの原点における接線は直交しているという。
この時に、ｙ＝ｆ(ｘ)の原点における接線とｙ＝ｇ(ｘ)とで囲まれた部分の面積はいくらですか。
まず、微分します。
ｆのほう：２ａｘ－４ａ２ →原点で－４ａ２【ｘ＝０】
ｇのほう：－２ａｘ＋４ａ２ →原点で４ａ２
【直交するので傾きの積が－１】 ∴－１６ａ４＝－１ 【ａ＞０に注意して】∴ａ＝１／２
ｆの原点での接線：ｙ＝－４ａ２ｘ＝－ｘ
ｇ(ｘ)の式：ｇ＝－ｘ２／４＋ｘ 【条件の式にａ＝１／２を代入】
【交点が必要なので】ｇ＝－ｘとおいて、－ｘ２／４＋ｘ＝－ｘ
⇔ｘ２－８ｘ＝ｘ(ｘ－８)＝０ ∴交点はｘ＝０と８
【ｇ(ｘ)が原点を通る事は計算しなくても分かりますが】
【面積がほしいので定積分します。放物線のほうが上です。一応概形だけさっと描くとよいでしょう。】
積分：－ｘ２／４＋２ｘ【－ｘ２／４＋ｘ－(－ｘ)】を０から８まで
$$\left[-\frac{x^3}{12}+x^2\right]_0^8 =-\frac{8^3}{12}+64=\frac{-128+192}{3}=\frac{64}{3}【解答】$$
このように解答があまりきれいに約分できない場合というのは結構多くあります。
実際の試験では、例えば途中の交点の計算が小問として穴埋めになっていたりします。
★積分の計算のところで、記述式であればきちんと定積分の記号から書かないとまずいですが、穴埋め形式でしかもほぼ２次関数・３次関数のみ扱われる事を考慮し、ここでは「対象の関数」→「定積分の計算は不定積分に値を代入」という感じで敢えて計算を記しています。
また、ここで記した解答の中で【直交するので掛けて－１】のような部分も、記述式であればきちんと書いたほうがよいですが、穴埋め問題であれば頭の中だけで考えて（考えれるようにして）計算だけ紙に書けば時間短縮になります。
グラフ上の適当な点のｘ座標をａなどとおいて、そこでの接線の方程式を計算させるタイプの問題も多く見られます。次の例を見てみましょう。
■放物線ｙ＝ｘ２上に点Ｐ(ａ,ａ２) があり、０≦ａ≦２であるという。
この時にａを動かせるとすると、
点Ｐにおける接線、ｘ軸、直線ｘ＝２、ｙ＝ｘ２で囲まれる面積の最大値と最小値はいくらですか。
【微分します。】２ｘ → ２ａ【点Ｐでの接線の傾き】
Ｐでの接線：ｙ＝２ａ(ｘ－ａ)＋ａ２＝２ａｘ－ａ２
【特定の点を通る１次関数の式です。ｙ－ａ２をｘ－ａで割ったものが「傾き」２ａという式です。】
０＝２ａｘ－ａ２とおくとｘ＝ａ／２【接線とｘ軸の交点。次の面積計算で使います。】
【次に面積計算に移ります。このとき、必要な面積は２つの部分に分けたほうが簡単です。
０からａまでは、「放物線-ｘ軸」面積から「ａ／２～ａと接線」の三角形面積を引くのが簡単です。
ａから２までは放物線から接線を引いた部分の普通の定積分です。図を簡易的に描くとよいでしょう。】
【面積】
①：０からａまで 【放物線・ｘ軸の面積から三角形を引き算】
$$\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^a-\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot a^2=\frac{a^3}{3}-\frac{a^3}{4}=\frac{a^3}{12}$$
②：ｘ２－２ａｘ＋ａ２を積分：ａから２まで 【放物線から接線を引いて積分。ａ≦２の条件にも注意】
$$\left[\frac{x^3}{3}-ax^2+ax\right]_a^2=\frac{8}{3}-4a+2a^2-\frac{a^3}{3}+a^3-a^3=\frac{8}{3}-4a+2a^2-\frac{a^3}{3}$$
$$合計：\frac{8}{3}-4a+2a^2-\frac{a^3}{3}+a^3-a^3=\frac{8}{3}-4a+2a^2-\frac{a^3}{4}$$
この問題ではまだここで終わらず、面積の「最大・最小」の計算が続きます。
ａで微分：－４＋４ａ－３ａ２／４＝－(３ａ２－１６ａ＋１６)／４＝－(３ａ－４)(ａ－４)／４
【ａに関して３次関数なので微分して極大・極小を調べます。】
符号に注意して、ａ＝４／３の時に最小【極小でもあります。２次関数のグラフで考えると多少簡単。】
$$最小値：\frac{8}{3}-\frac{16}{3}+\frac{32}{9}-\frac{16}{27}=-\frac{8}{3}+\frac{32}{9}-\frac{16}{27}=\frac{-72+96-16}{27}=\frac{8}{27}【解答１】$$
【こういった分数計算は時間がない中では少し面倒ですが、丁寧・確実に計算する必要があります。】
【最大値も問われてるので調べます。】
ａが４まで動ければそこが極大値になりそう？ →しかし０以上２以下という条件がある
→ 端点である０と２の値を比べて最大値を見つけます。
【ａ＝４／３で極小という事により、そこから０と２のどちらの方向に向けても増大するので。】
ａ＝０だと８／３、
ａ＝２だと８／３－８＋８－２＝２／３【これはａ＝０の時の８／３より小さいので最大値にならず】
∴ａ＝０の時最大、値は８／３【解答２】
この問いは微積の大問と大体同じ分量があるので、１０分程度で解答できるとうれしいという感じです。
