３次方程式の解の公式

３次方程式の「解の公式」の導出方法について説明します。「公式」の導出は、２段階に分けて行います。

一見複雑に見える箇所もあるかもしれませんが、必要な知識は基本的には中学～高校数学程度の式変形です。

①３次方程式の２次の項を、変数の置き換えで消去する

まず、任意の３次方程式は、変数の置き換えによって、ある特別な形の３次方程式に「必ず」変形できる事を示します。（「必ず」というのがポイントです。）

３次の項の係数はそれで式の両辺を割って１にできるのでその後の事を考えます。

$$x^3+ax^2+bx+c=0$$は変数の置き換えにより必ず$$X^3+Ax=B$$の形変形できる。

要するに「２次の項は必ず消せる」という意味です。

x = X + C とします。X に関しても３次方程式になるという形を保つために、X は x に関する一次式である必要があります。

$$x^3=X^3+3X^2C+3XC^2+C^3,\hspace{10pt}ax^2=a(X^2+2XC+C^2) ,\hspace{10pt} bx=b(X+C)$$

２次の項の係数が０であるとすると、

$$3C+a=0\Leftrightarrow C=-\frac{a}{3}$$

とおけば成立します。

$$x^3+ax^2+bx+c=0, \hspace{10pt} x= X-\frac{a}{3} とすると、$$

$$ \left(X-\frac{a}{3}\right) ^3+a \left(X-\frac{a}{3}\right) ^2+b \left(X-\frac{a}{3}\right) +c=0$$

$$ \left(X^3-X^2a+X \frac{a^2}{3}- \frac{a^3}{27} \right) +a \left(X^2-X\frac{2a}{3}+ \frac{a^2}{9} \right) +b \left(X-\frac{a}{3}\right) +c=0$$

$$X^3+X \left( -\frac{a^2}{3}+b \right)+ \frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3} +c=0 $$

ここで、Ｘに関する係数部分がごちゃごちゃしてるので別の記号ＡとＢで表します。

$$ A=-\frac{a^2}{3} +b , \hspace{10pt} B= -\frac{2a^3}{27} +\frac{ab}{3} -c $$

このように置く事で、

$$X^3+Ax=B$$

の形として方程式を考察できるわけです。

② ３乗の展開式を利用して、解く

さてしかし、この形にしたからといってうまく「解ける」のかという話になります。

これは、じつは３乗に関する展開式についての簡単な式変形によって解く事ができます。

任意の２つの実数（複素数でも可）Ｔ，Ｕに対して

$$(T-U)^3=T^3-3T^2U+3TU^2-U^3$$

$$\Leftrightarrow (T-U)^3+3TU(T-U)=T^3-U^3 $$

この式は、恒等式です。つまり、いつでも成立している関係式です。

これは一体何を意味するのでしょうか？
これは、「次の関係が成立すれば」左辺と右辺が必ず等しくなるわけですから「方程式が成立する」という事です。

$$X=T-U$$

$$A=3TU$$

$$B=T^3-U^3$$

すなわち、これらの関係を満たす X が３次方程式の解になるという事なのです。

もっと具体的には、ＴとＵをＡとＢだけで表し、Ｘ＝Ｔ－Ｕに代入すれば ＸをＡとＢだけで表せて、それによっておおもとの x が係数 a, b, c のみで表せる・・つまり「解の公式」が得られる、というパズルです。

しかし、上の式を見るとＢとＴ、Ｕの関係には３乗が入ってます。３次方程式の解の公式が得られていない条件でこれをうまく解けるのかというと、じつは解けます。

$$U=\frac{A}{3T}$$

$$B=T^3-\frac{A^3}{27T^3}$$

$$\Leftrightarrow (T^3)^2-B(T^3)-\frac{A^3}{27}=0$$

このように、「『Ｔの３乗』の２次方程式」ができるので、これは（無理やり）解く事ができるのです。

結果は、次のようになります。

$$T^3=\frac{B}{2}\pm \sqrt{\frac{B^2}{4}+\frac{A^3}{27}}$$

$$U^3=T^3-B= -\frac{B}{2}\pm \sqrt{\frac{B^2}{4}+\frac{A^3}{27}}$$

$$X=T-U= \hspace{5pt} ^3\sqrt{ \frac{B}{2}\pm \sqrt{\frac{B^2}{4}+\frac{A^3}{27}} }- \hspace{5pt} ^3\sqrt{ -\frac{B}{2}\pm \sqrt{\frac{B^2}{4}+\frac{A^3}{27}} }$$

$$x= X-\frac{a}{3}= \hspace{5pt}^3\sqrt{ \frac{B}{2}\pm \sqrt{\frac{B^2}{4}+\frac{A^3}{27}} }- \hspace{5pt} ^3\sqrt{ -\frac{B}{2}\pm \sqrt{\frac{B^2}{4}+\frac{A^3}{27}} } -\frac{a}{3} $$

ただし、ここでの３乗根の記号は複素数の範囲も含めた３つの数を取りえるものとします。３次方程式は、複素数範囲まで考え、重解を２解と数えると必ず３解を持ちます。 その事が、３乗根によっても表現されるわけです。

３次方程式の解の公式を知る意味：数学史的な価値

さて、このようにして「解ける」事は確かに言えるわけですが、色々置き換えがあって、公式としては代入するだけでもすごく面倒ですね。そういうわけで、物理や工学で仮に３次方程式を解く場面があったとしても、できる事ならこの公式使いたくないわけです。実質的には「手計算で解くなら２次方程式まで」と、基本的には思ってよい理由です。

このように、公式が存在する事と、それが応用の場面等で使いやすいものか・便利なものかという事は、別問題である事もあるわけです。

では、純粋数学的に考察した場合はどうかというと、この３次方程式の解法は、４次方程式については似た事ができます。しかし、５次以降は使えないのです。つまり、「３次や４次については適用できる」という特別なものになります。多項方程式について純粋数学的に一般的に考察する時は、より抽象的な考察が必要であるという事です。

この３次方程式の「解の公式」の解法の話は、大学数学においてはむしろ数学史の中で扱われる事が多いです。というのも、西欧で「複素数」というものが考察されるきっかけになったのがこの３次方程式の解法であると言われているからです。（※２次方程式ではなく３次方程式の解法というところに、数学史的に指摘しておくべきポイントがあるという事です。）

ちなみに数学史的には、この３次方程式の解の公式が「発見」されたのは１６世紀という意外に遅い時期であり、しかし４次方程式の解の公式はその後に割とすぐ見つけられて、その後「５次方程式の解を一般的に係数のベキ根によって表す事はできない」という事が示されたのは１９世紀まで飛びます。
歴史というか数学の研究史としては、そのような事も１つの教養的知識として多少知っておいてもよいのではないかと思います。

また、数学史的な事についてもう１点補足しますと、１６世紀に「解の公式」が見出された時には、解法の流れは上記の方法と同じですが考え方として別の考察の仕方をしていました。それは、上記のように式を展開して関係式を導出するよりも、図形的な考察から関係式を導出していたという点です。

この場合、図形は図形でも、平面図ではなく立体の体積に関する考察です。立体ですから、体積に関して３乗を使うというわけです。参考までに、次図を記しておきます。