行列式の定義

目次：

1. 定義の式
2. 特徴と具体例
3. 置換の符号に対するプラスマイナスの決め方

ｎ次の正方行列Ａ＝（\(a_{ij}\)）に対して行列式 det Ａは次のように定義されます。 $$\mathrm{det}A = \sum_{\sigma}\mathrm{sgn(\sigma)}\left(\prod_{i=1}^na_{\sigma(i)i}\right) $$ ここで \(\sigma\) は１～ｎの番号の並びに対する「置換」の１つで、
和は置換全体【ｎ！個ある】に対してとるとする。
\(\sigma\)(\(i\)) は番号\(i\) が置換 \(\sigma\) によって変わった後の番号。
【例えば番号１が３に変わるなら sgn(１)＝３】
\(a_{\sigma(i)i}\) は具体的には \(a_{11}\) や \(a_{23}\) などを指す。
【「行」の番号のところに置換された数字を入れる。】
sgn(\(\sigma\)) は置換の「符号」と言い、＋１か－１の値だけをとり、次式で定義される： $$\mathrm{sgn}(\sigma)=\prod_{i＜j}\frac{\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}$$

$$\mathrm{det}A_2=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$$

$$\mathrm{det}A_3=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}+a_{21}a_{32}a_{13}-a_{21}a_{12}a_{33}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}$$

$$\mathrm{det}A_4$$ $$=a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}-a_{11}a_{22}a_{43}a_{34}+a_{11}a_{32}a_{43}a_{24}-a_{11}a_{42}a_{33}a_{24}+a_{11}a_{42}a_{23}a_{34}-a_{11}a_{32}a_{23}a_{44}$$ $$+a_{21}a_{32}a_{13}a_{44}-a_{21}a_{12}a_{33}a_{44}+a_{21}a_{12}a_{43}a_{34}-a_{21}a_{32}a_{43}a_{14}+a_{21}a_{42}a_{33}a_{14}-a_{21}a_{42}a_{13}a_{34}$$ $$+a_{31}a_{42}a_{13}a_{24}-a_{31}a_{42}a_{23}a_{14}+a_{31}a_{22}a_{43}a_{14}-a_{31}a_{22}a_{13}a_{44}+a_{31}a_{12}a_{23}a_{44}-a_{31}a_{12}a_{43}a_{24}$$ $$+a_{41}a_{12}a_{33}a_{24}-a_{41}a_{12}a_{33}a_{24}+a_{41}a_{32}a_{13}a_{24}-a_{41}a_{32}a_{23}a_{14}+a_{41}a_{22}a_{33}a_{44}-a_{41}a_{22}a_{43}a_{34}$$

• ａ₁₁ａ₂₂ａ₃₃のように行列の要素を掛け算の形で並べておく。
• 行列の要素の「列」の番号は固定して
  「行」の番号（つまり添え字の１番目）だけの並び替えを考える
• 順番通りに並んだ（１,２,３,・・・,ｎ）の並びの場合、符号はプラス（＋）とする。
  ａ₁₁ａ₂₂ａ₃₃ の符号はプラスになる。
• （１,２,３,・・・,ｎ）の２つの数を入れ替える【「互換」を行う】と
  符号が反転し、マイナス（－）になるとする。
  例えばａ₁₁ａ₂₂ａ₃₃の符号はプラスなので、
  行部分の添え字の２と３を入れ替えた ａ₁₁ａ₃₂ａ₂₃ の符号はマイナスです。
  行列式の中ではａ₁₁ａ₂₂ａ₃₃－ａ₁₁ａ₃₂ａ₂₃＋・・・のように続ける事になります。
• 以降、「行」の数の入れ替えを行う（互換を行う）ごとに符号は反転する。

一般に、（１,２,３,・・・,ｎ）の配列に対して、
奇数回の互換を行った並び替えの配列（「奇置換」）の符号はマイナスであり、
偶数回の互換を行った並び替えの配列（「偶置換」）の符号はプラスになる。
（恒等置換は０回の互換であるとして偶置換であると考えます。）

ある置換σに対する「符号」sgn(σ) の定義式を改めて記すと次のようになります： $$\mathrm{sgn}(\sigma)=\prod_{i＜j}\frac{\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}$$ ｎ＝３の場合に（１，２，３）→（２，３，１）なるσについて具体的に計算してみると、 $$\prod_{i＜j}\frac{\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}=\frac{1-2}{3-1}\cdot \frac{1-3}{3-2}\cdot\frac{3-2}{2-1}=+1$$

sgn(σ) の定義式において分母の値には次の特徴があります。

• ｉ＜ｊ　という条件があるのでｊ－ｉ＞０　・・分母は必ずプラスの値になる。
  つまり全体の積の符号に対して分母は影響を与えない。
• 絶対値としては分子に必ず同じ大きさのものが積の中に１つ含まれており、
  分母分子で打ち消し合って積全体の絶対値は必ず１にする。

1. 任意の互換τに対して sgn(τ)＝－１
2. 任意の２つの置換 σ_２ と σ_１ に対して、sgn(σ_２σ_１)＝sgn(σ_２)sgn(σ_１)

σ_２σ_１ は、σ_１を行った後にσ_２を行う置換です。
sgn(σ_２)sgn(σ_１)は、２つの符号の積です。