高校数学での、直交座標上での図形的な性質と関連させた２次関数の式、および問題を解くコツについて説明します。
およそ、センター試験の出題範囲レベルに対応できる程度の問題について解説します。
２次関数と放物線の関係
■ ２次関数を表す図形と高校数学での考察点
■ ２次関数の「頂点」
■ 参考：頂点を調べる別の方法・・２次方程式の解、微分
２次関数を表す図形と高校数学での考察点
２次関数自体は中学校でも教わるかと思いますが、高校数学だとより自由自在に平面の中での図形的な考察を、式によって（手計算で）進める事が行われます。
２次関数が直交座標上で表す形は「放物線」です。最大値と最小値のどちらか１つを必ず持ち、ｘ軸の無限遠方では必ず＋側に無限大になるか－無限大になるのかのどちらかになります。
$$２次関数\hspace{5pt}Ax^2+Bx+C\hspace{5pt}が表す図形：「放物線」$$
この式で、Ａの値がプラスであれば「下に凸【とつ】」の形、逆にＡがマイナスであれば逆さまの「上に凸」の形になります。
尚、Ａ＝０であれば１次関数になってしまうので、その場合に限っては図形は放物線にならず直線になります。
このように、式の中での性質や特徴が、図形的にはどのような意味を持つのかを理解しておく事が問題を解くうえでのポイントになります。
２次関数の「頂点」
２次関数が、直交座標上でどのような場所にあるかを見るには、「頂点」の位置を調べます。
そのために、２次の項と１次の項を２乗の形に変形します。
★尚これは２次関数であるから必ず、しかも簡単にできる操作で、３次式以上だと一般的にはそううまくはいきません。３次式の場合は高校数学の手計算では多くの場合、微分を用いて調べます。簡単に後述しますように、２次関数でも微分の手法を使う事は可能です。
例えば次のような具体的な２次関数については次のようになります。
$$x^2+4x-6=(x+2)^2-4-6=(x+2)^2-10$$
この時関数はｘ＝－２を代入すると最小値－１０を持ちます。これは最後の式にそれを代入して直ちに最小値を得るのですが、間違いのないようにもとの式に代入してみるのもよいでしょう。
(-２)・(-２)＋４・(-２)-６＝４－８－６＝－１０ですから確かに合っています。
この時、２次関数が最小値をとる座標である（－２,－１０）をこの２次関数の「頂点」と呼ぶのです。
２次の項がマイナスでも同じ操作をします。
$$-x^2+4x-5=-(x-2)^2+4-5=-(x-2)^2-1$$
この時は、２次関数はｘ＝２で最大値－１を取ります。この最大値をとる座標（２,－１）がこの２次関数の「頂点」です。
関数の中の係数が未知数である場合も同様です。
$$x^2+(A-2)x+1=\left(x+\frac{A-2}{2}\right)^2-\frac{(A-2)^2}{4}+1=\left(x+\frac{A-2}{2}\right)^2-\frac{A^2-4A+4}{4}+1$$
$$=\left(x+\frac{A-2}{2}\right)^2-\frac{A^2}{4}+A$$
この例の場合、最小値の値もＡに関する「２次式」ですから、問題の形式によってはさらに計算が続きます。高校数学だと、この手のタイプの問題のほうが問われやすいかもしれません。応用問題についても後述しているので必要に応じて参照してください。
参考：頂点を調べる別の方法・・２次方程式の解、微分
２次関数で、ｘ軸との交点が２つある場合に限って言えば、ｘ軸との２交点の中点のｘ座標が頂点のｘ座標に等しくなります。そのため、ものによっては、２交点を先に出してしまって中点を考えて頂点を出す事もできます。例えば次のような感じです。
$$x^2+2x=x(x+2)より、x=0,-2でｘ軸(y=0直線)と交わる。よって、頂点のｘ座標は-1$$
解けるなら何の手法を使ってもよいのですが、複数の手法を知っているとチェックとして使えるでしょう。
参考までに、２次関数の頂点の位置を調べるには、微分を使う事もできます。センター試験では微分を使わなくても問題を解けるように必ず作ってあるので微分を使う必要はないですが、解答が合っているかどうかのチェックなどに使う事ができます。
上記の例だと例えば次のようになります。
$$(x^2+4x-6)^{\prime}=2x+4$$
$$(-x^2+4x-5)^{\prime}=-2x+4$$
$$\{x^2+(A-2)x+1\}^{\prime}=2x+A-2$$
$$(x^2+2x)^{\prime}=2x+2$$
これらの「導関数」が０になる値が、２次関数の場合では最大値あるいは最小値をとるｘの値、すなわち放物線の頂点のｘ座標になります。（他の関数の場合には直ちに最大または最小となる値とは言えないので注意。）
本質的には、２次関数の頂点は手計算では平方完成によっても微分によっても、本来はどちらの方法でも調べる事ができるのです。
２次関数と放物線に関する応用問題
■ ２次関数の最大値・最小値に関連させた問題
■ 定義域が限定された場合の最大・最小
■ 直線と放物線の交点問題
■ ２つの放物線同士の交点
２次関数の最大値・最小値に関連させた問題
$$■問い：２次関数y= x^2-4x+5はｘ軸と何個の交点を持ちますか。$$
こういった問題の場合には、式変形して図形の様子を見て調べます。
$$x^2-4x+5=(x-2)^2+1$$
であり、最小値は１です。という事は、ｘ軸（直線ｙ＝０）との交点は存在しません。交点の数は０個です。【解答】
こんな具合です。
ただし、大学入試等での問題では、こういったシンプルな問題はあまり出してくれません。もう少し計算の手順が必要な形で出題されると考えるべきでしょう。
例えば、２次関数の係数も未知数である場合には計算はさらに続き得ます。上記でも例に挙げた２次関数を使って見てみましょう。
$$■問い：２次関数y=x^2+(A-2)x+1はｘ軸と何個の交点を持ちますか。(Aは実数とします。)$$
$$x^2+(A-2)x+1=\left(x+\frac{A-2}{2}\right)^2-\frac{A^2}{4}+A$$
このように最小値自体がＡの値によって変化し、しかもＡに関する２次式ですので今度は２次方程式を解く作業になります。
$$-\frac{A^2}{4}+A=-A\left(\frac{A}{4}-1\right)$$
この場合はあっさり因数分解できるので、０と置いた時の解が分かります。A=0または4の場合に、「もとの２次関数の最小値」が０になるわけです。その時、もとの２次関数とｘ軸との交点は１つだけです。頂点がｘ軸に接する形になります。
また、０＜Ａ＜４の時には「もとの２次関数の最小値」がプラスの値になってしまいますから、もとの２次関数とｘ軸の交点は存在しません。
Ａ＜０またはＡ＞４の時には「もとの２次関数の最小値」はマイナスで、ｘの値を増やすあるいは減らす事で関数の値は大きくなっていきますからｘ軸と確実にぶつかります。ですからもとの２次関数とｘ軸との交点は２個です。
ですので、Ａ＜０またはＡ＞４のとき交点は２個、Ａ＝０またはＡ＝４のとき交点は１個、０＜Ａ＜４のとき交点は０個という、場合分けを含んだ答えになります。【解答】
この例での２次関数の場合、最小値がＡに関する上に凸の２関数なので、「最小値が取り得る値の中にも最大値がある」という性質のものになります。具体的にはＡ＝２の時に「最小値の」最大値が１になり、Ａが全実数の中のどの値であってももとの２次関数の頂点に相当する最小値は１を超えない事を意味します。これは１次の項の係数が０の時です。
定義域が限定された場合の最大・最小
もう１つ重要な出題として、定義域（ｘの範囲）を限定した範囲での最大値や最小値を問うタイプのものがあります。
これはどういうものかというと、例えば下に凸である２次関数の最小値は通常は頂点のｙ座標ですが、そのｘ座標が定義域に含まれていない時には定義域の端点で最小値をとります。
■問い：０≦ｘ≦２の範囲で、ｙ＝ｘ２－２ｐｘ＋４について
①：ｘ＝２で最小値をとるためのｐの範囲はどのようになりますか。
②：ｘ＝２で最大値をとるためのｐの範囲はどのようになりますか。
この手の問題における２次関数の性質自体は正直、大学以降の数学であまり重要とは言えないと思いますが、２次関数のグラフの性質の理解度を問う出題という事でしょう。
まず、１次の項に未知の係数ｐがありますから頂点のｘ座標もｙ座標も変化するパターンです。
ｙ＝ｘ２－２ｐｘ＋４＝(ｘ－ｐ)２＋４－ｐ２
①：ここで、通常であればｘ＝ｐで最小値をとるという事になりますが、「ｘ＝２で最小値をとる」という条件があり、さらに０≦ｘ≦２というｘの範囲の指定もあるのでｐ≧２であれば、常に対象の２次関数は定義域の端点であるｘ＝２で最小値をとります。なのでｐ≧２です。【①の解答】
これは、式だけでは分かりにくいのでグラフを見ながら様子を把握したほうがよいでしょう。
②：次に所定の場所で最大値をとる場合です。通常であれば下に凸の２次関数は無限に大きくなるので最大値はそもそもありませんが、ここでは閉区間としてｘの範囲が指定されているので最大値を持つという事です。
頂点の座標ｘ＝ｐが動き、定義域が閉区間［０，２］、ｘ＝２で最大値をとるという条件です。
この場合には、逆にｐ≦２であれば済む話かというとそうでない事が「ひっかけ」です。
頂点が閉区間［０，２］の中点よりも右半分側に来ると、今度は区間の反対側の端点であるｘ＝０でｙが最大値になってしまいます。頂点の座標がｐ＝１の時にｘ＝０，２の両方で最大値になります。つまり、ｘ＝２で最大値になるにはｐ≦１という事です。【②の解答】
このように、高校数学だと多少ひねりを入れた計算をさせる場合があります。やっている事自体は難しくないのですが、慣れていないと突然問われた時にとまどってしまうでしょう。
直線と放物線の交点問題
１次関数である直線と、２次関数である放物線の交点を計算させるような問題は、センター試験レベルだと問われる事があります。
考え方は難しくありません。
１次関数と２次関数を等号で結んで方程式を作り、２次方程式の解を出せばよいのです。
解が重解の場合には交点は１つだけで、直線は放物線の接線になります。また、解が複素数解になる場合には交点はないという事に対応します。
$$■問い：直線y=x+2と放物線y=x^2-x-3の交点はいくつありますか。$$
まず、等式で結びます。それから、解の様子が分かるように変形します。
$$x+2=x^2-x-3\Leftrightarrow x^2-2x-5=0$$
$$\Leftrightarrow (x-1)^2-1-5=0\Leftrightarrow (x-1)^2=6$$
のようになるので、これは異なる実数解を２つ持ちますね。したがって、交点は２つ存在します。【解答】
「２乗＝正の数」となる事で異なる２つの実数解が存在する事が分かります。「２乗＝０」であるなら重解を持ち、「２乗＝負の数」であるなら２つの異なる複素数解です。
尚、本当に単に交点の数だけを問う問題であれば２つの図形のグラフを描いてみる事でも答えが分かる場合もあります。上記の例だと２点で交わるので、グラフを描く方法でも分かるでしょう。
ただし、その方法だと交点が１個だけで直線が放物線に「接する」時や、交点を持つのか持たないのか微妙な時の判定が難しい事に注意が必要です。
この手の問題も、式の中の係数に未知数を入れて、「２つの交点を持つ条件は何か」とか「直線が放物線に接するための条件を述べなさい」とか、そういった形でひねった出題がなされる事も多いと思います。やる事は基本的に同じです。
例えば、直線のｙ切片が変化し得る条件で、直線が放物線に接する条件を考えてみましょうか。
$$■問い：直線y=x+Cが放物線y=x^2-x-3に接するためのＣの値は何ですか。$$
ここでもやる事は同じです。２式を等号で結びます。
$$x+C=x^2-x-3\Leftrightarrow x^2-2x-3-C=0$$
$$\Leftrightarrow (x-1)^2-4-C=0$$
ここで、４＋Ｃ＝０になれば重解を持ちますのでＣ＝－４の時に直線は放物線に接します。【解答】
■参考：この問題に関しても、微分を使う事もできます。
$$(x^2-x-3)^{\prime}=2x-1$$
であり、この導関数の値が接線の傾きですから、
２ｘ－１＝１⇔ｘ＝１
これが、もとの２次関数に対して「傾きが１である接線」が接する点のｘ座標です。これを２次関数の式に代入するとｙ座標も得られます。
その点の座標は（１,－３）です。
ｙ＝ｘ＋Ｃがこの点を通るとすると、
－３＝１＋Ｃ⇔Ｃ＝－４【解答】
さらに、ｘ２－２ｘ－３－Ｃ＝０が重解を持つための条件を出す場合にも微分を使えます。左辺を関数とした時にｘ軸に接する、つまり極小値をとるｙ座標の値が０であるので、導関数２ｘ－２＝０としてｘ＝１、その値を方程式に代入して１－２－３－Ｃ＝０ ⇔ Ｃ＝４ともできます。
これらの方法はセンター試験等では不要ですが（出題範囲外なので）、知っていると計算のチェック用に使える事もあります。
２つの放物線同士の交点
出題頻度は低いですが、あり得るパターンとして放物線同士の交点を考える問題もあります。
$$■問い：y=2x^2+2x+1とy=x^2-2x+Cが１点だけで交わるためのCの値は何ですか。$$
等号で２式を結びましょう。
$$2x^2+2x+1=x^2-2x+C\Leftrightarrow x^2+4x+1-C=0$$
$$\Leftrightarrow -(x+2)^2-3-C=0$$
これが重解を持つためにはＣ＝－３です。【解答】
この場合には、１点だけで交わるには接するしかない事が、式からも分かります。仮に、１点で「突き破るように」交点を持った時、別のもう１点で必ず交わってしまうためです。
しかし、放物線同士の場合には、１点だけで「突き破るように」交点を持つ場合もあり得ます。それは、２次の項が等しい場合です。
$$y=x^2+2x+1, y=x^2+x$$
を等号で結んでみましょう。
$$x^2+2x+1=x^2+x\Leftrightarrow x+1=0$$
この場合にｘ＝－１という解が得られますが、２次方程式の重解ではなくて１次方程式の解になっています。これが「突き破って」１点だけで交わっている交点であり、ｘの値をどれだけ増やしても減らしても、その先の別の点で交わる事はないという事です。
参考：放物線と円の交点の問題は？
また参考までに、放物線と円の交点を問う問題も高校数学の範囲で、一応あり得るものではあります。
$$放物線y=Ax^2+Bx+Cと円(x-S)^2+(y-T)^2=R^2$$
を考えるわけですが、放物線のｙを円のほうの式に代入すると、一般的には４次方程式になってしまいます。
実際、円と放物線を考えると、４点や３点で交わる可能性がある事に対応しています。そのため手計算だと非常に複雑な計算になりがちで、出題する側も調整が面倒と思われるのであまり出ないと思います。