順列とは、Ｎ個のものを並び替える方法を言います。
（英：permutation 順列を「置換」とも言います。）ここでは、その方法が何通りあるかという「場合の数」について説明します。高校数学で扱うのはその事項です。
結論を先に言うと、Ｎ個のものを並び替える順列の総数は次式で表されます。
$$_NP_N=N!$$
$$=N(N-1)(N-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$$
ＮＰＮという表記は、Ｎ個のうちＮ個全てを並び替えるという意味です。
びっくりマークは「階乗」を表します。自然数を１ずつ下げてＮから１まで掛けて積の形にする事を指します。例えば５！＝５・４・３・２・１＝１２０です。
また、Ｎ個のもののうち、Ｍ個を並び替え方の総数は次の通りです。
このようになるわけですが、これらを「暗記」するのはやめましょう。確かに公式の中には暗記してしまったほうが早いものもありますが、この順列の総数に関する式は「理解」できるものです。
Ｎ個のものを並び替える方法
初めに、少ない数から具体的に見てみましょう。
２個のものがあったとき、これを並び替える方法は「２通り」です。{Ａ,Ｂ} {Ｂ,Ａ} の２通りです。他の文字・・例えば {甲,乙}{乙,甲}の２通りと考えても、何でも構いません。
要するに、順番を区別して数えるという事なのです。
これが「２つのものを並び替える順列の総数」２Ｐ２＝２の意味です。この場合はとても簡単ですね。
では、Ａ，Ｂ、Ｃあるいは甲、乙、丙などの３つを並び替えるにはどうすればよいでしょう？
これを具体的に書くと、
｛丙、乙、甲｝｛丙、甲、乙｝｛乙、丙、甲｝｛乙、甲、丙｝｛甲、丙、乙｝｛甲、乙、丙｝
の６通りあります。
実際これしか順番に並べる方法はないのですが、どのようにしてこれらを書きだしたかを説明します。まず、最初に来る文字が甲、乙、丙の３人のパターンがあります。そしてそれぞれの場合について、続く２人の順番が２通りあります。丙を一番左に置いたとき、続く順番は｛乙,甲｝と｛甲,乙｝の２パターンであるという事です。そして次に乙が最初に来る場合を考えて、同様に書きだして上記の６パターンの並びを得ています。
つまり３人それぞれを特定の場所、例えば一番左に置く場合につき２通りあるので３×２＝６通りの並び替えの方法があるというわけです。これが３Ｐ３＝３！＝６の意味です。
では４人を並び替える場合はどうするかというと、１つの位置（例えば一番左）に誰かをおくと、そのパターンにつき「３人を並び替える方法がある」事に気付くと分かりやすいかと思います。
誰かが一番左にいるごとに残りの３人を並べる方法が６通りあります。一番左に誰が来るかについては全部で４人いるわけですから４通りになります。よって４人を並び替える方法は全部で４×６＝２４通りです。
ここで、３人を並び替える方法が３×２＝６通りであった事を考えると、４人を並び替える方法は４×３×２＝２４通りであるとも言えます。これが４Ｐ４＝４！＝２４の意味です。
では５人になった場合はどうかというと、考え方は同じです。
まず５人のそれぞれをどこか固定した位置に置きます。例えば上の例と同じく一番左に置きます。すると、残りの４人の並び替えは２４通り（４！＝４×３×２通り）である事が分かっているので、５人のそれぞれに対して２４通りですから５×２４＝１２０通りの並び替えの方法があります。これをまとめて５！通りと書く事もできて、これが５Ｐ５＝５！＝１２０の意味です。わずか５人で、並び替えの方法は意外に多いという事が分かります。
６人の場合も同じで、６×５！＝６×１２０＝７２０通りになります。これもこれまでと同様に６！＝７２０通りとも書けます。非常に数が増えて、１つ１つ手で紙に具体的に書きだすのは困難である事が分かります。
７人の場合は７！＝７×６！＝７×７２０＝５０４０通りになります。以降、人数を増やしていくと並べ方の総数は莫大に増えていく一方です。
以下、何人いても考え方は同じで、Ｎ人いた場合にはまずＮ人を選びます。のこりＮ－１人についてみるとこれは（Ｎ－１）×「Ｎ－２人の場合」ですから、結局Ｎ×（Ｎ－１）×（Ｎ－２）×・・・×３×２＝Ｎ！通りという事になるわけです。
【ＮＰＮ＝Ｎ×Ｎ－１ＰＮ－１＝Ｎ×(Ｎ－１)！＝Ｎ！のようにも書けます。考え方はある程度自由です。】
これが「Ｎ個のものを並び替える順列の総数は ＮＰＮ＝Ｎ！である」という事の意味です。
Ｎ個のうちＭ個を並び替える場合
次に、Ｎ個のものの中からＭ個選んで並び替える方法の総数についてです。
これは順列の記号ではＮＰＭと書きます。
公式だけ見ると一見わけがわからない式に見えるかもしれませんが、意味はじつに簡単です。
５人いて、３人を選んで並び替える方法を考えてみましょう。
５人全員を並び替える場合には５！＝５×４×３×２通りであったわけですが、意味を考えると３人だけを選ぶ場合には、最後の「２倍」がいらないわけです。誰か３人が並んだ時点で、選ばなかった２人も確定しますからそれで終了というわけです。
結果的には話は単純で、最初に５人のうちの１人を選び、次に残った４人の中から１人、続いて残った３人の中から１人を選びそこで打ち切るという事です。
【この方法でＮ個全てを並び替える場合を理解しても支障ありません。】
式で書くと５Ｐ３＝５×４×３＝６０という事です。
５人中２人だけを選び並び替えるなら５Ｐ２＝５×４＝２０通り、５人中１人だけなら５Ｐ１＝５通りです。
この通り、考え方は単純なのですが一般のＮに対して式を書くと多少煩雑になる面があります。
Ｎ個のうち３個を並び替えるという場合にはＮ(Ｎ－１)(Ｎ－２)通りなどと上から順に３項の積を考えて済みますが、Ｎ個のうちＭ個を並び替える場合にはどう書くのかという話になります。
ＮＰ３＝Ｎ(Ｎ－１)(Ｎ－２)の場合を見てみると、Ｎ－３以降の項がないわけですから、Ｎ！を(Ｎ－３)！で割るとちょうどうまい具合に同じ数になります。
つまり、(Ｎ－Ｍ)！を考えて、それでＮ！を割ればうまく式でも表現できるわけです。これがＮＰＭを表す公式の意味です。
$$_N\mathrm{P}_M=\frac{N!}{(N-M)!}$$
尚、Ｍ＝Ｎ－１を考えると、Ｎ－Ｍ＝Ｎ－(Ｎ－１)＝１ですから、それでＮ！を割ってもＮ！のままです。ＮＰＮ－１＝ＮＰＮという事になります。これは５人全員を並び替える時、最後の一人については空いている位置に入れるだけなので結局「５人中４人を選んで並び替える」場合と同じである事に対応しています。
順列の考え方は、具体的な人や物の並べ方を考える時だけでなく、種々の理論の中でＮ個の項を並び替える何らかの操作をする時にその総数を表すために使用されます。
例えば（高校数学の範囲外ですが）線型代数で行列式の定義をする時にはＮ個の項の積をとって並び替えたものを全て考えるという事をやるので、項数は順列の総数という事になります。（Ｎ！という形が出てくる式全てが順列に関係するとは限りません。例えば、単項式に対する微分操作を繰り返す事でＮ！が出てくるパターンもあります。）
また、順列の他に重要な「組み合わせ」の数え方も順列での考え方を基礎としています。方法の総数を数え上げる事は、確率の理論でも重要です。
