光の二重スリット干渉実験【ヤングの実験】

• スリットとは【実験の概要】
• 光の波長と干渉縞に対して成立する関係式
• 関係式の導出（図形的考察）
• 干渉光の強度の式
• 光源に要求されるコヒーレンス（可干渉性）

この記事では古典論での光の波動性を示す干渉実験について説明しています。
量子力学的な意味での二重スリット干渉実験もありますが、そちらでは粒子（とみなせる塊）を１つずつ、ある程度の時間の間隔をあけて二重スリットに向けて打ち出すという手法がとられます。ただしスリットのどちらかを狙い打ちするように打ち出すのではなく、スリットを通過する際に「どちらのスリットを通過したか不確定である」ようにします。そこがヤングによる干渉実験と異なる部分となります。量子力学的な二重スリット干渉実験は２０世紀後半以降、電子や光子、一部の分子（比較的分子量が大きいものも含む）などについて行われています。

人の目に見える領域の光である「可視光線」の波長は実は非常に短く、
「ナノメートル」や「マイクロメートル」の単位のスケールでの長さとなります。
単位についてのメートルとの関係は次の通りです。
【ｎｍ】・・・「ナノメートル」　１【ｎｍ】＝１０^－９【ｍ】
【μｍ】・・・「マイクロメートル」　１【μｍ】＝１０^－６【ｍ】
【ｍｍ】・・・「ミリメートル」　１【μｍ】＝１０^－３【ｍ】
「センチメートル」【ｃｍ】は１０^－２【ｍ】（百分の１メートル）になります。

slit とは英語において通常の語としても使われており、
「（刃物等による）切れ目」とか「切れ目を入れる」という意味で使われます。
「スリット」という言葉は実は現代日本語でも使われる時があり、パンや服、その他の色々なものに施された切れ目や溝、細い穴を指してスリットと言う事があります。

干渉は波動一般に対して起こる現象です。
ある位置で２つ以上の波の波形がぴったりと重なっていると合計として１つの大きな振幅の波となって強め合い、逆に波の最大値（プラスの値）と最小値（マイナスの値）が重なってしまうと波がつぶれて振幅が任意の時刻で０になってしまい弱め合います。
ここでは２つの光線の干渉を考えますが、３つ以上の光線の干渉を考える事もできます。

実験用に使う二重スリットには色々なものがあり得ますが例としては、
１つのスリット自体の幅は０.１【ｍｍ】程度（光が回折するのに必要なおおよその細さ）、
２つのスリット間の距離は０.１～１.０【ｍｍ】程度のものがあります。
（スリットが開けられているスリット板の大きさは、例えば横１０ｃｍ，縦５ｃｍ程度など。）

光は非常に細いスリットを通過する事ができます。
ただし、二重スリットの実験においてはスリットは意図的に細いものを使います。それはスリットにおいて波の回折を起こさせるためです。
回折とは波が小さい隙間に入り込み、そこから出る時に同心円か同心球状に大きく広がっていく現象です。イメージとしては水面に何か物が落ちた時に波紋が広がっていくような事が波が隙間から出る時に起きる事を指します。しかし回折はどんな波に対してどのような隙間に対しても起こるわけではなくて、基本的には波の波長が短いほど短い隙間が必要になります。
そして結論から言うと可視光線（色として人に見える領域の光）の波長はおおよそ
４００【ｎｍ】～７００【ｎｍ】の範囲であり、標準的な音波と比較しても非常に短い波長です。
光の干渉に使うスリットに「細さ」が求められるのはそのためであり、基本的に可視光線のて回折を起こさせるためには０．１ミリメートル程度かそれ以下の細さのスリットを使う必要があると言われます。

波動が正弦波であるとすると、干渉の効果を式で表す事もできます。
２つの光路の大きさをそれぞれＲ_１とＲ_２とすると２つの波はそれぞれ ｙ＝Ａsin(ｋＲ_１－ωｔ)，ｙ＝Ａsin(ｋＲ_２－ωｔ)で表され、それらの波の重ね合わせは三角関数の和積の公式または加法定理により次式で計算できます$$A\sin(kR_1-\omega t)+A\sin(kR_2-\omega t)$$ $$=2A\sin\left\{\frac{k(R_1+R_2)}{2}-\omega t\right\}\cos\frac{k(R_1-R_2)}{2}$$この式で余弦の部分は時間に依存しないのでＲ_１とＲ_２の値によって決まる「振幅」の一部だと見なせます。余弦の部分は時間に依存せず、光路差（の絶対値）| Ｒ_１－Ｒ_２|にのみ依存して干渉光が強め合ったり弱め合ったりする事を表します。

スリット間の距離については「ｄ」の文字が使われる事が多いのでここでもそうしていますが、微分や微小量とは直接的に関係はありません。ただしそれなりに短い間隔ではあります。

光源としてはレーザー光線のように単色とみなせて位相が揃っている（コヒーレントである）ものを使うのが望ましく、
白色光を使う場合は小さい穴に通して点光源化し、色フィルタ等を置いて多くの波長の光を除外して単色に近くなるようにします。そこから回折により同じ位相の揃った単色に近い波が広がって進行し、二重スリットに至るようにします。

二重スリットによる光の干渉実験において、
上記の量と光の波長の関係式は次のように表されます。
■波長をL，ｄ，Δｙで表す式 $$\lambda = \frac{(\Delta y)d}{L}【波長を表す式】$$ $$\Leftrightarrow \Delta y=\frac{\lambda L}{d}【明線の間隔を表す式】$$ ■光路差が波長の整数倍になる事および明線の位置を表す式
（ｎは整数。ｎ＝０の時はスクリーン中央、ｎ＝１の時はΔｙを使った式と同じです。） $$n\lambda=\frac{yd}{L}$$ $$\Leftrightarrow y=\frac{n\lambda L}{d}$$ ■ｙ／Ｌ＝tanθ を使った場合の表記
（θが小さい値の時に成立。）
$$n\lambda=d\tan\theta≒d\sin\theta≒d\theta$$

波が弱め合う条件を考える場合にはｍを「奇数」としてｍλ／２を考えて
ｙｄ／Ｌ≒ｍλ／２とするか、
あるいは「波長の整数倍に半波長が加わっている」と考えて
ｙｄ／Ｌ≒(ｎ＋１／２）λのようにします。
奇数ｍをｍ＝２ｎ＋１と書けば
ｍλ／２＝(ｎ＋１／２）λとなるので、上記２式は同じものです。

可視光のそれぞれの「色」にも幅があるわけで、例えば「紫色」は大体４００【ｎｍ】付近の色と言う事はできても「ぴたりと３９７ナノメートルの色」のようにはなかなか言えません。しかし物理的には同じ紫色でも具体的な測定対象の光に対して「どのような紫色なのか」を波長によって定量的に表す事ができて（それに意味があるのか、活用の仕方は何かという事はまた別の議論として）、その測定方法の１つとして二重スリットによる干渉実験があるわけです。

ここではθ_０とθという２つの角度を考えて、それらが近似的にほぼ等しいとみなせるという形で関係式を導出しますが、最初から２つを同一視して話が進められる事も多いです。得られる結果は同じです。

また、この時に sinθ≒θである事もよく強調されます。（θは弧度法での角度とします。）
これはマクローリン展開からsinθ＝θ－θ^３／(３！)＋θ^５／(５！)－・・・
と書けるので、θが０に近い値の時にはベキ乗の項は全て０に近似できるとするものです。
例えばθ＝０.０１であればθ^３／(３！)＝０.００００００１６６・・・となるので、
θ＝０.０１に対して「ほぼ無視できる」
（測定の結果にほぼ無影響と考えてよい）とするわけです。
あるいは、θ＝０における正弦関数の微分係数は１であるので、θが０に近ければ
近似１次式として１・θ＝θがsinθに非常に近い値になると考える事もできます。
また余弦に関してはcosθ＝１－θ^２／(２！)＋θ^４／(４！)－・・・が成立します。
ここで先ほどと同じように例えばθ＝０.０１の時には
cosθ≒１－０.００００２５＋・・・≒０９９９９７５なので、
tanθ＝(sinθ)／(cosθ) の関係から
θが小さい時のtanθ≒sinθの近似式も成立しているとみてよい事が分かります。

(ｘ＋ｙ)^aに対する二項展開は指数が任意の実数値でも自然数の時と同じ形の式として書く事ができて次式のようになります。（一般的には無限級数です。）
■一般の式
【厳密には、a が自然数でない時には式が収束する事が保証されるのは(１＋P)^a の形で|P|＜１の時なので、一般の場合には式変形をしてその形にする事が必要。】 $$(p+q)^a=p^a+ap^{a-1}q+\frac{a(a-1)}{2!}p^{a-2}q^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}p^{a-3}q^3+\cdots$$ ■上式で a ＝１／２とした場合は平方根の展開式の１つ $$\sqrt{p+q}=(p+q)^\frac{\large 1}{\large 2}$$ $$=p^{\frac{\large 1}{\large 2}}+\frac{1}{ 2}p^{-\frac{\large 1}{\large 2}}q+\frac{\frac{\large 1}{\large 2}\cdot\left(-\frac{\large 1}{\large 2}\right)}{2!}p^{-\frac{\large 3}{\large 2}}q^2+\frac{\frac{\large 1}{\large 2}\cdot\left(-\frac{\large 1}{\large 2}\right)\cdot\left(-\frac{\large 3}{\large 2}\right)}{3!}p^{-\frac{\large 5}{\large 2}}q^3-\cdots$$ $$=p^{\frac{\large 1}{\large 2}}+\frac{1}{ 2}p^{-\frac{\large 1}{\large 2}}q-\frac{1}{8}p^{-\frac{\large 3}{\large 2}}q^2+\frac{1}{16}p^{\frac{\large 5}{\large 2}}q^3-\cdots$$ ■特にｐ＝１かつa ＝１／２の場合の式は次式です。 $$\sqrt{1+q}=(1+q)^\frac{\large 1}{\large 2}$$ $$=1+\frac{1}{ 2}q-\frac{1}{8}q^2+\frac{1}{16}q^3+\cdots$$ ■さらに、qが０に近い値なら次式に近似できます。 $$\sqrt{1+q}=(1+q)^\frac{\large 1}{\large 2}≒1+\frac{1}{ 2}q$$

上記では平方根を展開して第２項まで近似した状態で関係式を導出しましたが、
第２項もじゅうぶん０に近いとして近似すれば
斜辺の長さを底辺とほぼ同じ L として考える事もできます。
そこまで近似するとやり過ぎ感もあるかもしれませんが、実際のところは
それが「θが小さい値の時に tanθ≒sinθ」とする近似に他なりません。
【三角比の定義から考えてみてもｂ／a≒ｂ／ｃつまり a≒ｃという近似です。】
上記の計算からは、考えている諸量（L，ｄなど）がどのような値の時にその近似をしてよいかがより具体的に分かるとも言えます。
斜辺を底辺とほぼ同じとみなす近似のもとで
前述の三角比による計算でのsinθ_０を数式で書いてみると、$$\sin\theta_0 =\frac{y+\frac{\Large d}{\Large 2}}{L+\frac{\Large 1}{\Large 2L} \left(y+\frac{\Large d}{\Large 2}\right)^2}≒\frac{y+\frac{\Large d}{\Large 2}}{\large L}$$ところで sinθ≒tanθ＝ｙ／Ｌですから、sinθ_０≒sinθ≒tanθ＝ｙ／Ｌの近似が成立するには
「ｙに対してｄ／２がじゅうぶん小さい時」
つまりｙ＋ｄ／２≒ｙと見なせる時であると言えます。
実の所それは図で見てもそうであるわけですが、数式的に考えるのであれば例えばこのような方法もあるという事になります。
例えばｄ＝１.０×１０^－４【ｍ】，L＝１.０【ｍ】，λ＝５.０×１０^－７【ｍ】であれば、
三角比を使わない方法でもΔｙ≒λＬ／ｄの関係式は導出できた事にも注意して
Δｙ≒λＬ／ｄ＝５.０×１０^－３【ｍ】なので
「ｎ＝１の時のｙ」(＝Δｙ) とｄ／２は１００倍の大きさの違いという事になります。
これもまた図形的にも見る事ができますが、ｎ＝２，３の時には
ｙの値は２倍，３倍になるのでｙとｄ／２の倍率の違いはさらに大きくなる事が分かります。
以上の計算は考察の方法の１つであり、考え方は他にもあります。

正弦波の「強度」は定量的には「波の振幅の２乗」として定義されます。
【振幅の２乗に比例する量として考える事もありますがここではその比例係数を１とします。】
重ね合わさる前のもとの光の振幅がともに A【ｍ】で、
強度もともに等しくA²＝I₀であるとすると
スクリーン上での２つの光の重ね合わせ（「干渉光」）の強度は次式で表されます。 $$I=4I_0\cos^2\left(\frac{\pi yd}{\lambda L}\right)$$ $$=4A^2\cos^2\left(\frac{\pi yd}{\lambda L}\right)$$ｙが増えて行くと余弦の値が小さくなり、強度も小さくなるという計算になります。 この式の余弦の中身は実験で使っている諸量に由来しますが、「余弦自体」は二重スリット実験における図形的な位置関係に由来するものではない事に少し注意が必要です。つまり、二重スリット干渉実験で波長を表す近似式で使っている三角比とは別物です。
強いて表すなら、近似式で使った三角比は強度を表す式の「余弦の中身」に入ります。 $$I=4I_0\cos^2\left(\frac{\pi yd}{\lambda L}\right)≒4I_0\cos^2\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda }\right)≒4I_0\cos^2\left(\frac{\pi d\tan\theta}{\lambda }\right)$$

同じように正弦波で表せる仮定のもと、波動を敢えて複素数で表す場合でも（指数関数表示・極形式による表示では三角関数を含む形になるので）同じ式を導出できます。
その場合には強度は複素数で表した波の絶対値の２乗として定義し、
波を重ね合わせた時の強度は形式的に余弦定理を使った形の式で表されます。
その式において２つの波の振幅は同じであるとして加法定理、半角の公式、倍角の公式のいずれかを適用する事で上記と同じ形の式が得られます。

光の干渉実験に白色光を使う場合には
①光源からの光を小さい穴に通して回折を起こさせて位相を揃えた波を作る
②色フィルタ等をおいて単色光に近い光にする
という工夫が必要になります。
もし①だけ行って②を行わない場合、虹のようなたくさんの色の干渉縞が現れます。そのような干渉縞は、測定があまりしやすくない事があります。

光の二重スリット干渉実験にもとになっているのはイギリスの人ヤングによる実験（１９世紀初め頃）で、当時は光源として太陽光を使って光の干渉を確かめる実験が行われたと言われます（当時はレーザー光は利用不可能）。その時に干渉縞はしっかりと確認されて、光の波動性が確認された最初の実験であるとされます。また、残っている講演の資料等によるとヤングは光の干渉を上手く起こすためのコヒーレンシーの考え方（用語自体ではなく）についても当時から指摘していたとされます。

詳しく見ると、コヒーレンス(coherence)には波の位相の波数および位置座標を含む項に由来する「空間的なコヒーレンス」と、角周波数および時間を含む項に由来する「時間的なコヒーレンス」があります。レーザー光は空間的にも時間的にもコヒーレントな光ですが、それが特定の物質を通過して拡散する事で、時間的なコヒーレンスだけを備えた光になるという事もあり得ます。
coherent という語は少し聞き慣れない語かもしれませんが一応普通に使われる語でもあり、密着しているとか結合しているといった意味合いが元々あって、転じて「話や議論の筋が通っている、理路整然としている」 といった意味などとして使われます。