ガウスの積分【閉曲面に対する立体角の積分表示】

位置ベクトル\(\overrightarrow{r}\)＝（ｘ，ｙ，ｚ）をベクトルの大きさｒで割る事により
単位ベクトル（大きさが１のベクトルを言います）にすると\(\overrightarrow{r}\)／ｒというベクトルとして書けます。

ベクトル\(\overrightarrow{r}\)／ｒをさらにｒ^２で割ったベクトルを考えると
\(\overrightarrow{r}\)／(ｒ^３)というベクトルになり、
このベクトルに対する閉曲面上の法線面積分の事をガウスの積分と呼ぶ事があります。
この積分は、閉曲面の形状によらずに閉曲面に対する原点の位置によって３種類の値だけをとります。
また、ガウスの積分は閉曲面に対する立体角の積分表示ともなっています。

■関連サイト内記事：

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• 法線面積分
• ガウスの発散定理
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立体角の積分表示および球面との関係

立体角は平面角に対応する語で３次元空間的な広がりを表す量で、球の表面積を使って定義されますがその積分の形がガウスの積分と同じものになります。（ただし、ガウスの積分は閉曲面に対する積分を指し、立体角の積分表示は同じ被積分関数に対して開曲面にでも定義されます。）

ではガウスの積分も球の表面積に関連するものなのかというと実際そうであり、
後述するようにガウスの積分が取り得る値は０，２π，４πだけとなっています。
つまり積分の結果は円周率の定数倍の値だけをとるという結果です。
これらの結果は偶然にもそうなるというだけでなく、
円や球に由来して２πや４πといった数値が結果として導出されます。

その結果は物理的な考察にも使用される事があります。
ガウスの積分の被積分関数は\(\overrightarrow{r}\)／(ｒ^３)ですが、これは大きさが「ｒ^２に半比例する」ベクトルであり、向きは原点からある点までの向きそのものとなっています。そのようなベクトルは物理的な力や場を表すものとして存在し、具体的には静電気力や万有引力、一部の磁気力などが挙げられます。代表的なものは電場に関するガウスの法則であると言えます。

そして物理での考察で使用する時にも「球面」は重要な要素となります。

ガウスの積分の内容

ガウスの積分とは具体的には次のようなものです。

この時に閉曲面Ｓは任意の形状ですが、
「どのような閉曲面に対してでも、ガウスの積分が取り得る値は３つしかない」
事が知られています。

ガウスの積分の計算および証明

次の３つの場合分けがあります。

• 原点が閉曲面の「外側」にある場合
• 原点が閉曲面の「曲面上」にある場合
• 原点が閉曲面の「内側」にある場合　

この証明にはガウスの発散定理の結果と、ベクトル場に関する発散（div）の計算を使います。

ここで言う「発散」とは極限における「収束と無限大への発散」の意味ではなく、物理的には「湧き出し」の意味を持ち数式的には偏微分で定義されるスカラー量を作る演算およびその結果を指します。

①原点が閉曲面の「外側」にある場合

対象のベクトル場の発散 \(\mathrm{div}\frac{\Large \overrightarrow{r}}{\Large r^3}\)を直接計算すると、
実は必ず０になるという結果が得られます。

$$公式：\mathrm{div}\left(\frac{\overrightarrow{r}}{ r^3}\right)=0$$

次に、ガウスの発散定理によればベクトル場の法線面積分は
「ベクトル場の発散を被積分関数とした体積積分」によって表せます。
ここで\(\mathrm{div}\frac{\Large \overrightarrow{r}}{\Large r^3}\)の体積積分を考えるとすれば
「被積分関数が定数関数でしかも値は０」なので、考えている領域での積分の結果も０です。

ただし、\(\overrightarrow{r}\)／(ｒ^３)は原点で定義できない関数である事に注意する必要もあります。

しかしまずは「原点が閉曲面の外側にある場合」を考えているので、
この場合には閉曲面の領域に定義できない点は含まれません。

そのため、発散定理により次のように書けます。

$$\int_S\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_V\mathrm{div}\left(\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\right)dv【∵ガウスの発散定理】$$

$$=\int_V\hspace{3pt}0\hspace{3pt}dv=0$$

②原点が閉曲面の「曲面上」にある場合

原点が閉曲面上にある場合でも、
ベクトル場の発散 div \(\overrightarrow{r}\)／(ｒ^３)を計算すると０になるという事は同じです。

しかし\(\overrightarrow{r}\)／(ｒ^３)は原点で定義できず、かつ原点が考えている閉曲面上にある場合には
「積分したい領域内で被積分関数が定義できない点を含む」
という事を意味します。

従って法線面積分を考える閉曲面Ｓについて、通常の閉曲面とは違うものを考える必要があります。

具体的には、閉曲面から原点を除いたものを領域として考える必要があります。
ただし、１点だけを除くという考え方だと積分の計算がうまくいかないので、もとの閉曲面から原点付近のわずかな領域を除いた部分を改めて閉曲面Ｓとします。
さらにこの場合では、原点を含む「面だけ除く」事もできないので
体積を持った領域ごと除く事になります。

そして、除く領域の形状は「半球」とする必要があります。これには理由が２つあります。

原点を中心とする微小な半径ρの半球S_０を考えて、S_０は外縁となっている円周部分（球を２つに割った所の部分）を閉曲面Sと共有するとします。
また、閉曲面S上から半球S_０で囲まれる領域を除いた部分をS_１とします。この時に曲面S_１は開曲面であり、閉曲面Sに「穴」が開いて形状をしています。

ここで半球S_０と開曲面S_１を合わせた領域は「原点が外部にある閉曲面」となっています。（もとの閉曲面Sと同一ではありません。）そこで半球S_０と開曲面S_１を合わせた閉曲面をＳ_１∪ S_０とおきます。【「∪」は和集合の記号です。】
この時に、原点を除いて\(\mathrm{div}\frac{\Large \overrightarrow{r}}{\Large r^3}=0\)であり、Ｓ_１∪ S_０は原点を含まない事から発散定理を適用すると法線面積分の値は０です。Ｓ_１∪ S_０の内部の領域をV_１として、次の計算ができます。

$$\int_{S1\hspace{1pt}U\hspace{1pt}S0}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_{V1}\mathrm{div}\left(\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\right)dv=0により、$$

$$\int_{S1}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}-\int_{S0}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=0\Leftrightarrow\int_{S1}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_{S0}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}$$

つまり半球S_０の法線面積分と開曲面S_１の法線面積分の値は一致します。
そして結論から言うと半球S₀のほうの積分の値は具体的に計算できます。

半球S_０は原点を中心とした半径ρの半球なので、
S_０上でベクトル場\(\overrightarrow{r}\)／(ｒ^３)の大きさはどこの点でも等しく１／(ρ^２)です。
方向については各点で球面に垂直で外側向きなので法線との内積は１となり、
法線面積分は定数関数に対する面積分となります。

この時には面積要素を分割して合計して定数倍を考える事になりますが、面積要素を十分細かい分割のもとで合計した極限値は「表面積」に他ならないので面積分は表面積の計算を意味します。

すると考えている領域が半球なので、その表面積は\(2\pi\rho^2\)です。
これによって法線面積分の結果を出せる事になります。

$$\int_{S0}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=\frac{1}{\rho^2}\int_{S0}ds=\frac{1}{\rho^2}\cdot 2\pi\rho^2=2\pi$$

結果を見ると「半径ρ」が消えているので、
実は半径の大きさに関わらず積分の値は一定であるという事になります。

そのため、穴の開いた開曲面S_１の法線面積分は
半球S₀の法線面積分に等しいという事だったので次のように表せます。

$$\int_{S1}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_{S0}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=2\pi$$

半球S_０の法線面積分の値は半径ρによらず同じなので、
上式はρ→０の極限でも成立して次のように書けます。

$$\lim_{\rho\to 0}\int_{S1}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=\lim_{\rho\to 0}\int_{S0}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_{S0}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=2\pi$$

他方でもとの閉曲面Sに対する法線面積分を
穴が開いた曲面S_１の法線面積分に対して半球S_０の半径が０になる極限値で表すもの
とすると次のようになります。

$$\int_{S}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=\lim_{\rho\to 0}\int_{S1}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=2\pi$$

よって、原点が閉曲面上にある場合のガウス積分値は２πであるという事が言えます。

考えてきた閉曲面を整理すると次のようになります。

曲面	原点との位置関係	積分計算での意味
S	閉曲面 原点が閉曲面上にある	被蹟分関数が定義できない点を含むので 積分はそこを除外して極限値として計算
S０	開曲面で、原点を内部に含む。 （中心が原点で半径ρ）	法線面積分の値は２πで、 半径ρに関わらず同一の値
S１	開曲面で穴が開いている	SからS０の内部を除いた領域 S１の法線面積分はS０の半径ρ→０の極限で Sの法線面積分になると考える

③原点が閉曲面の「内側」にある場合

閉曲面の内部に原点がある場合にも、閉曲面上に原点がある場合と同じ問題が発生します。ただしこの場合は閉曲面内部で体積積分を行う時に除いて考えるべき点が生じる事になります。

閉曲面Sの内部から「原点を囲む微小な球をくり抜いて除いた」領域を考えます。

原点が閉曲面上にある時と類似の計算により、
閉曲面の内部から除いた球面上での法線面積分は球の半径ρにかかわらず一定値になります。
球の表面積４πρ^２をρ^２で割る計算となり、結果は\(4\pi\)です。

より具体的には閉曲面Sと、その内部で原点を中心とする小さい半径ρの球S₀を考えてSとS_０を接続するてきとうな曲面を考えます。（その曲面上では法線面積分は表と裏の両方で計算する事になり、プラスとマイナスの値が打ち消して０になります。）そのようにしてできる全体の閉曲面をS_Uとします。

この閉曲面S_Uは原点を含まない閉曲面であり、
内部の領域V_Uにおける任意の点で\(\mathrm{div}\frac{\Large \overrightarrow{r}}{\Large r^3}=0\)なので発散定理により法線面積分の値は０です。

よって表と裏の関係による符号に注意して、
閉曲面Sと球S₀の法線面積分の値は同じです。この場合は球S_０の半径ρ→０の極限を考えなくても結果の式が出ますが極限を考えても値は同じになります。（内部の領域まで元の領域に近付けるなら極限を考える必要があります。）

$$\int_{SU}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_{VU}\mathrm{div}\left(\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\right)dv=0により、$$

$$\int_{S}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}-\int_{S0}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=0\Leftrightarrow\int_{S}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_{S0}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}$$

$$（任意の\rho で）\int_{S0}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=4\pi なので、$$

$$\int_{S}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_{S0}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=4\pi$$

球面S_０の法線面積分は球の外側を表としていて、それは閉曲面S_Uから見ると裏側になるので閉曲面S_Uの法線面積分の構成要素としては球面S_０の法線面積分はマイナス符号をつける事になります。

計算の導出過程を見ると、原点が「閉曲面内にある時」と「閉曲面上にある時」のガウスの積分の値の２倍の差は「球」と「半球」の表面積の違いを意味しているという考察もできます。

原点と閉曲面の位置関係	ガウスの積分の値	くり抜いて除外する領域の形状
閉曲面の外側	０	特に無し
閉曲面上	\(2\pi\)	半球
閉曲面の内側	\(4\pi\)	球