対数関数

対数【たいすう】関数 ｙ＝ log_ａｘ について説明します。
関数ではなく、何か１つの値log_ａｂについて考えた時は単に「対数」と呼びます。

英：対数関数・・logarithmic function 　
対数・・logarithm【「比」と「数」を意味するギリシャ語から作った造語と言われる】

定義と表記

対数関数とは、ある正の数ａを「何乗したら」ｘになるのかを、ｘの関数として表したものです。
log_ａｘと表記し、対数関数と呼びます。これは、指数関数の逆関数になります。

例として「１０という数を何乗したらｘになるか」を考えた時、
その値が 「１０を底とする対数関数」であり、log₁₀ｘと書きます。１０が対数関数の底【てい】です。

数学の応用や、理論の多くの場合でも「底」として使われる数は大体決まっている事が多く、
それは１０とｅ(≒２.７１８・・) と２です。
（もちろん必要があれば他の値を底として考える事ができます。）

これらのうち、１０を底とする対数を常用対数 (common logarithm)と言い、
log₁₀ｘを略記して logｘと書く事があります。桁数がやたらと大きい場合に使われる事が多いようです。

また、ｅを底とする対数を自然対数（natural logarithm）と言い、
log_ｅｘを略記して lnｘと書く事があります。（「ログ・ナチュラル」と読む事があります。）
これはｅの指数関数とともに微積分の理論で重要です。

他方、情報理論などでは２を底とする対数を使う事があります。
これは、０と１の２進数を扱う事と関連があります。

log_aｘ の底ａは「正の数」で「１ではない」値を考えるというルールがあります。
もし底が１の場合には、１を何乗しても１になってしまうためで、０の場合も同様です。
またもし底が負の数の場合を考えると、ところどころで「穴」が生じます。
例えば－２の２乗は４ですが、３乗すると－８になります。
という事は実数の範囲で考えれば(－２)^ｙ＝８になるｙは存在しないという事になり、関数として見た時にｘ＝８のところが存在しない事になってしまいます。
そのため、負の数のｘが取り得る範囲からは除外するという考え方をします。

少しややこしいですが、次に具体例でも示すように対数関数自体の値は０や負の数もとり得ます。ｙ＝log_ａｘについてｘ＞０で、ｙは実数全域の値をとり得るという事です。

具体例とグラフ

２を底とした時、
ｘ＝２は「２の１乗」
ｘ＝４は「２の２乗」ｘ＝８は「２の３乗」
ｘ＝１は「２の０乗」
ｘ＝１／２は「２の『－１乗』」
ｘ＝１／４は「２の『－２乗』」

これら「○乗」の部分が対数関数の値となり、log_２ｘの表記で書くと次のようになります。

log_２２＝１
log_２４＝２
log_２８＝３
log_２１＝０
log_２(１／２)＝log_２(２^－１)＝－１
log_２(１／４)＝log_２(２^－２)＝－２

点を座標上にプロットしてｙ＝log_２ｘのグラフを描くと次のようになります。

この時、２は正の数ですから、ｘ＝０やｘ＝－１のような場合、２を何乗してもそれらの値にならないので、ｘ≦０については考えない・・対数関数の定義域から除外するという考え方をします。

１０を底にして考えた時は
ｘ＝１０は「１０の１乗」
ｘ＝１００は「１０の２乗」
ｘ＝１０００は「１０の３乗」
ｘ＝１は「１０の０乗」
ｘ＝０.１（＝１／１０）は「１０の『－１乗』」
ｘ＝０.０１（＝１／１００）は「１０の『－２乗』」
ｘ＝\(\sqrt{10}\)（≒3.162）は「１０の『１／２乗』」

これらを log₁₀ｘの表記を使って書くと、次のように表現できます。

log₁₀１０＝１
log₁₀１００＝２
log₁₀１０００＝３
log₁₀１００００＝４
log₁₀１＝０
log₁₀0.1＝－１
log₁₀0.01＝－２
log₁₀\(\sqrt{10}\)＝１／２

基本公式

対数関数に関して成立する基本公式には次のようなものがあります。

①対数の和に関する公式：
ａ^ｕ＝ｘ,　ａ^ｗ＝ｚとすると、ｘｚ＝ａ^ｕａ^ｗ＝ａ^ｕ＋ｗなので、log_ａ(ｘｚ)＝ｕ＋ｗで、
ａ^ｕ＝ｘ ⇔ log_ａｘ＝ｕ, ａ^ｗ＝ｚ ⇔ log_ａｚ＝ｗ なので
log_ａ(ｘｚ)＝ｕ＋ｗ＝log_ａｘ＋log_ａｚとなります。
もっと直感的には、例えば２^３×２^４＝２^７となるので底を２としたときには
log_２(２^３・２^４)＝log_２２^３＋log_２２^４＝３＋４＝７と計算してよいという事です。

②逆数に関する対数の公式：
ｙ＝log_ａ(１／ｘ) とすると、ａ^ｙ＝１／ｘ
⇔ １／(ａ^ｙ)＝ｘ ⇔ ａ^－ｙ＝ｘ ⇔ logａｘ＝－ｙ＝－log_ａ(１／ｘ)
もっと直感的には、２の３乗は８で、２の「－３乗」は１／８なので
log_２(１／８)＝－log_２８＝－３と計算してよいという事です。

③対数の差に関する公式：
上記２つの公式を組み合わせると、
log_ａｘ－log_ａｚ＝log_ａｘ＋log_ａ(１／ｚ)＝log_ａ(ｘ／ｚ)となります。

④ベキ乗に対する対数の公式：
ｙ＝log_ａｘ, ｚ＝log_ａ(ｘ^ｂ) とすると、ａ^ｙ＝ｘ,　ａ^ｚ＝ｘ^ｂ＝(ａ^ｙ)^ｂ_＝ａ^ｙｂ　なので
ｚ＝ｙｂ つまりlog_ａ(ｘ^ｂ)＝ｂlog_ａｘです。
ここで(２^２)^３＝４^３＝２^６のような計算をしています。
log_２{(２^２)^３}＝３log_ａ(２^２)＝３・２＝６のようになるという事です。

⑤「底の変換公式」：
これが最も分かりにくいかもしれませんが、使用頻度は少ないかもしれません。
理屈としては、次のように考えます。
log_ａｘ＝ｙ, log_ｂｘ＝ｚとすると、ａ^ｙ＝ｘ, ｂ^ｚ＝ｘ,
よってａ^ｙ＝ｂ^ｚで、ａ＞０, ｂ＞０なのでｂ＝ａ^ｙ／ｚです。
これは「ａのｙ／ｚ乗がｂになる」という事になり
log_ａｂ＝ｙ／ｚ＝(log_ａｘ)／(log_ｂｘ)
⇔ log_ｂｘ＝(log_ａｘ)／(log_ａｂ) という底の変換公式になります。
例えば、log_３５＝(log_２５)／(log_２３)という計算が可能であるという意味です。

途中の式でａ＝ｂ^ｚ／ｙと考えると、log_ｂｘ＝(log_ａｘ)(log_ｂａ)という関係式になります。
これら２式の両辺の比を考えると、(log_ａｂ)(log_ｂａ)＝１という関係も得られます。
log_ａｂ＝ｙつまりａのｙ乗がｂである時、
ｂのｙ乗根(のうち正の数)がａなのでｂを１／ｙ乗すればａになる・・
つまりlog_ｂａ＝１／ｙとなるという事です。
具体的には、log_２８＝３, log₈２＝１／３より、(log_２８)(log₈２)＝１といった計算です。