体積の意味と考え方、柱体や錐体などの立体の体積の計算の仕方などについて説明します。
このページでは、「高さ」と言ったら断りのない限りは、底面から見た「立体的な意味での高さ」の事を意味しています。
立方体と柱体の体積
基本的には、１辺の長さが１の立方体の体積を１として、これが何個分あるかで立体の体積とします。それが２個分あれば体積は２、半分であれば１／２という具合です。面積が「広さ」を表す量であるのに対し、体積は大きさを表します。この時、１つの辺の長さが何倍かになれば、同じ割合で体積も増加します。
体積とは？
その意味で、１辺の長さがａの立方体の体積は、ａ３になります。例えば１辺が２であれば２×２×２＝８が体積で、「１辺が１の立方体」の８個分の大きさであるという事です。
また、直方体の体積は互いに垂直な方向に伸びた３つの辺の長さの積になります。底面が辺の長さａとｂの長方形で、立体的な高さがｃである直方体の体積はａ×ｂ×ｃ（＝ａｂｃ）となります。
体積の単位
３つの辺の長さが掛けられるので、その意味で辺の長さに単位がついている場合には、例えばセンチメートルｃｍに対しては体積の単位はｃｍ３と書き、「立方センチメートル」と読みます。
単位がメートルであれば体積の単位はｍ３と書き「立方メートル」と読みます。
この時の単位の換算は、１ｍ３＝（１００ｃｍ）３と考えて、１ｍ３＝１００００００ｃｍ３(＝１０６ｃｍ３)というふうにします。１立方メートルの体積は、１００万立方センチメートルの体積に等しいという事です。これは、計算上の見かけはそうなるという事ではなくて、実際に立方メートルの体積の箱には１立方センチメートルのサイコロが１００万個入る大きさであるという事です。
「え、そんなにたくさん入りますか・・？」
数字だけ見ると、確かにそんなに数が大きくなるだろうか？と、思ってしまいますね。しかし、１００が１００個あれば１万で、１万が１００個あれば１００万ですから、確かにそのような事になるのです。１ｃｍのサイコロを１ｍの中に並べると、１００個です。１ｍの長さの正方形には、それが１００列ありますから１万個入ります。１ｍの長さの立方体には、それが１００段ですから１００万個になるという事です。身近な例で、計算してみると「意外と」大きくなるという例かもしれません。箱などの入れ物の体積を、特に「容積」と呼ぶ場合もありますが、数値として扱う時には体積と全く同じ単位や計算法を使います。
実用上の体積の単位として、「リットル」があります。記号ではℓ（「エル」の筆記体）を使います。【Ｌやｌ(小文字の「エル」)なども使われます。】これは牛乳などにも書いてある事もあるのでなじみがある人も多いかと思います。
実際、これは基本的には液体の体積を表すのに使われる事が多いものです。１リットルは、１０００ｃｍ３に等しい体積です。液体の体積や、液体を入れる容器の体積を特に「容量」と言う場合もあります。
化学などでは「ミリリットル」という単位もよく使います。記号は、ｍℓもしくはｍｌのように書きます。この「ミリ」は、「１ミリメートル【ｍｍ】」のミリと同じで、千分の１という意味です。【１０ｍｍは１ｃｍですが、本来は１ｍ＝１０００ｍｍという換算です。】
つまり、１０００ｍℓ＝１ℓですが、１ℓ＝１０００ｃｍ３でしたから、じつのところ１ｍℓと１ｃｍ３は、体積としては全く同じです。ただ、ミリリットルのほうは液体の容量を指す事が多いという点が実用上の違いです。
柱体の体積の考え方
面積の場合、三角形の面積は
三角形→平行四辺形→長方形→「正方形が何個分詰まっている広さか」
という考え方のもとで計算していました。立体の体積も、基本的に同じ考え方です。
まず、三角柱を考えると、これは２個合わせれば底面が平行四辺形である四角柱になります。その四角柱は、出っ張っている部分を切り取って反対側にくっつければ、直方体になります。
つまり、底面の三角形の面積を出して、立体的な意味での高さを掛ければ、体積１の立方体が何個分あるかという意味での体積に等しくなります。
さらに、任意の多角柱は、三角柱に分割できます。という事は、角柱の場合には
「底面の図形の面積（＝底面積）」×「立体的な意味での高さ」
によって体積が計算できるという事を意味します。
円柱や、さらには任意の閉曲面を底面とする柱体でも考え方は同じで、無数の細かい三角柱の体積の和の極限を考えます。一般に柱体の体積は「底面積」×「立体的な意味での高さ」で計算します。
平行６面体のような立体の体積も、「底面×立体的な意味での高さ」で計算できます。底面に平行な平面で各高さの断面を見ると平行四辺形である事によります。【そのような薄い四角柱の合計の極限・積分として考えると導出は楽です。】
錐体の体積
三角錐、多角錐、円錐の体積の場合は、底面積×高さ÷３で計算します。（これを使った計算は、中学校の数学や高校入試の問題でも問われる事があります。）
体積＝底面積×高さ÷３
この「÷３」あるいは「×１／３」は一体どこから出てくるのかというと、一番簡単な導出方法は積分を使う方法ですが、それを使わないでも導出は可能です。
まず、三角錐からです。三角柱を考えて、これを体積が等しくなるように３分割する方法を考えます。この時に三角柱を、ちょうど体積が等しい三角錐３つで分割できます。三角柱の体積は「底面積×立体的な高さ」ですから、それを３で割って三角錐の体積になるというわけです。あるいは、三角錐を基準に考えるのであれば、「底面を共有し高さが等しく、かつ３倍の体積を持つ三角柱」を必ず考える事ができるので３で割ればよいというわけです。
三角錐の体積については、底面積と立体的な意味の高さが分かっていれば、三角錐である限りどんな形状であっても公式を使えます。また、三角錐には４つの面がありますが、どの面を底面としても、そこから高さを測れば体積の公式を使えます。
四角錐以上の多角錐は、全て底面を三角形の和として考える事ができます。そのため、多角錐の体積も同じく「底面積×立体的な高さ÷３」で計算できます。円も多角形で近似できるので、円錐の体積も同様になります。
柱体の時と同じ考え方で、多角錐と円錐についても同じく底面を三角形に分割して考えます。ただし四角錐以上の場合は、公式を使う時にどの面を底面として考えてもよいわけではなく、四角錐であれば四角形の面を、円錐であれば円の面を底面として、そこから高さを測ります。
球の体積については、図形だけから考えるのはかなり難しいので、積分によって体積の公式を出すのが普通です。結果は、半径をＲとして(４／３)×Ｒ×円周率になります。