交換子群は多項方程式の可解性（ベキ根で解ける事）との関連性が非常に深い群です。
交換子と交換子群
群Ｇがあって、ｘとｙがその元であるとします。
この時、ｘｙとｙｘは等しいとは限りません。
他方で、ｘ－１ｙ－１ｘｙ という４つの元の積からなる別の元を考えてみて、
これを [ｘ，ｙ] と書く事にして「交換子」(commutator)と呼ぶ事にすると、
[ｘ，ｙ][ｙ，ｘ]＝[ｙ，ｘ][ｘ，ｙ]＝ｅ【単位元】となります。
【[ｙ，ｘ]＝ｙ－１ｘ－１ｙｘで、[ｘ，ｙ][ｙ，ｘ]＝ｘ－１ｙ－１ｘｙｙ－１ｘ－１ｙｘ＝ｅ】
つまり、任意の群の交換子[ｘ，ｙ]と[ｙ，ｘ]は互いに逆元の関係にあなります。
また、次のような性質もあります。
ｙｘ[ｘ，ｙ]＝ｘｙであり、
ｘｙ[ｘ，ｙ]－１＝ｙｘ 【２番目の式はｘｙ[ｙ，ｘ]＝ｙｘ でも同じ】
であるという関係式が成立します。
【群の逆元の演算規則により、(ｘ－１ｙ－１ｘｙ)－１＝ｙ－１ｘ－１ｙｘである事に注意】
つまり、右から乗じる（逆元の形も含めて）事で任意の積の順序が入れ替わる作用も持ちます。
ここで、交換子が「単位元ｅに等しい」という場合があり、次の事が成立します。
群の任意の元に対してｘ－１ｙ－１ｘｙ＝ｅならばｘｙ＝ｙｘです。
つまり、群の任意の交換子が単位元に等しいならば群は可換である という事です。
（逆に、群が可換であれば任意の２つの元で作る交換子は単位元に等しい。）
◆証明：
両辺にｙｘを左から乗じて、ｘ－１ｙ－１ｘｙ＝ｅ ⇒ ｘｙ＝ｙｘ
両辺に
(ｙｘ)－１＝ｘ－１ｙ－１ を左から乗じて、ｘｙ＝ｙｘ ⇒ ｘ－１ｙ－１ｘｙ＝ｅ
∴ ｘ－１ｙ－１ｘｙ＝ｅ ⇔ ｘｙ＝ｙｘ
実際、もとから可換であれば ｘｙ＝ｙｘなので当然ｘｙｅ＝ｙｘという、
一般の交換子が持つ作用と同じ形の関係式が成立するわけです。
そのような交換子の形をした元から成る群（これはＧの部分群になる）を交換子群と言います。
Ｄ(Ｇ)＝｛ｘ－１ｙ－１ｘｙ｜ｘ∈Ｇ，ｙ∈Ｇ｝です。
Ｇの２つの部分群の元を使った交換子群を考える場合には括弧積 [ ] を使った書き方もします。
[Ａ,Ｂ]＝｛ａ－１ｂ－１ａｂ｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝【Ａ⊂Ｇ，Ｂ⊂Ｇ】
交換子群の性質
交換子群については、群Ｇの部分群としていくつかの性質があります。
- 交換子群Ｄ(Ｇ)はＧの正規部分群
\(G\triangleright D(G)\) - 剰余群Ｇ／Ｄ(Ｇ)【Ｄ(Ｇ)が正規部分群なので定義できる】は可換
- Ｇの正規部分群Ｎに対して剰余群Ｇ／Ｎが可換ならば、Ｄ(Ｇ)はＮの部分集合となる。
\(G\triangleright N \Rightarrow D(G)\subset N\) - 交換子群は可換な剰余群を作る正規部分群としては最小のものとなる。
正規部分群とは、Ｇの任意の元に対してｔＮ＝Ｎｔ【集合として同じものになる】
が成立するＧの部分群Ｎの事であり、
剰余群とはＧが正規部分群Ｎを持つ時に定義されるもので、Ｇの元に対する剰余類を元とする群です。
Ｎｘ、Ｎｙを考えた時に、剰余群の積は(Ｎｘ)(Ｎｙ)＝Ｎ(ｘｙ) 、逆元は(Ｎｘ)－１＝Ｎ(ｘ－１)と定義します。
◆交換子群の性質の証明：
ｔをＧの任意の元とします。すると
ｔ(ｘ－１ｙ－１ｘｙ)ｔ＝(ｔ－１ｘ－１ｔ)(ｔ－１ｙ－１ｔ)(ｔ－１ｘｔ)(ｔ－１ｙｔ)
＝(ｔ－１ｘｔ)－１(ｔ－１ｙｔ)－１(ｔ－１ｘｔ)(ｔ－１ｙｔ)∈Ｄ(Ｇ)
【ｔ－１ｘｔの形の元は交換子の形になっているため】
であり、ｔＤ(Ｇ)ｔ－１⊂Ｄ(Ｇ)
【これはＤ(Ｇ)がＧ正規部分群であるために十分な条件。】
∴\(G\triangleright D(G)\)
次に、剰余群Ｇ／Ｄ(Ｇ)を考えると剰余類【これが剰余群の元】はＤ(Ｇ)ｘ、Ｄ(Ｇ)ｙなどと書けますが、
Ｇ／Ｄ(Ｇ)の交換子を考えると
(Ｄ(Ｇ)ｘ)(Ｄ(Ｇ)ｙ)＝Ｄ(Ｇ)(ｘｙ)【これが剰余群の演算の定義】
また、剰余群の逆元についても同様に考えると、
(Ｄ(Ｇ)ｘ)－１(Ｄ(Ｇ)ｙ)－１＝(Ｄ(Ｇ)ｘ－１)(Ｄ(Ｇ)ｙ－１)＝Ｄ(Ｇ)(ｘ－１ｙ－１)
という事は、剰余群Ｇ／Ｄ(Ｇ)に対する「交換子」は
(Ｄ(Ｇ)ｘ)－１(Ｄ(Ｇ)ｙ)－１(Ｄ(Ｇ)ｘ)(Ｄ(Ｇ)ｙ)＝Ｄ(Ｇ)(ｘ－１ｙ－１ｘｙ)
しかしｘ－１ｙ－１ｘｙ∈Ｄ(Ｇ)なので、
集合としてＤ(Ｇ)(ｘ－１ｙ－１ｘｙ)はＤ(Ｇ)に一致します。
Ｄ(Ｇ)そのものは剰余類としてはＤ(Ｇ)ｅ 【ｅはＧの単位元】であるから、
(Ｄ(Ｇ)ｘ)－１(Ｄ(Ｇ)ｙ)－１(Ｄ(Ｇ)ｘ)(Ｄ(Ｇ)ｙ)＝Ｄ(Ｇ)ｅ 【Ｄ(Ｇ)ｅ＝Ｄ(Ｇ)はＧ／Ｄ(Ｇ)の単位元】
∴任意の元で作った交換子が単位元に等しいのでＧ／Ｄ(Ｇ)は可換。
剰余群Ｇ／Ｈが可換であるなら剰余類【剰余群の元】について
Ｈ＝Ｈe＝Ｈ(ｘ－１ｘｙ－１ｙ)＝Ｈ(ｘ－１ｙ－１ｘｙ)【ｘとｙはＧの元】
つまり、Ｈ(ｘ－１ｙ－１ｘｙ)は集合としてＨに等しく、
Ｇの交換子群の任意の元はＨの要素となるため、Ｄ(Ｇ)⊂Ｈ
Ｇの交換子群でない任意の可換な正規部分群は交換子群を含むので、交換子群よりも小さな正規部分群は他にはない。交換子群も可換な正規部分群なので、可換な正規部分群のうち最小のものという事になります。
交換子群列
交換子の理論の中でも、特に多項方程式の可解性に関わるのが交換子群列です。
Ｇの交換子群をＤ(Ｇ)とし、Ｄ(Ｇ)の交換子群をさらにＤ１(Ｇ)とします。そしてさらにＤ１(Ｇ)の交換子群を考えてＤ２(Ｇ)とし、さらにＤ２(Ｇ)の交換子群をＤ３(Ｇ)とします。
・・・そういう感じでＤｋ(Ｇ)の交換子群をＤｋ＋１(Ｇ)という形で定義していくと、\(D_k(G)\triangleright D_{k+1}(G)\) となるような群の列ができます。その列を交換子群列と言います。
交換子群列とは、交換子群によって作る次のような列の事です。 $$G=D_0\supset D_1(G)\supset D_2(G)\supset D_3(G)\supset D_4(G)\cdots$$ $$D_{k+1}(G)はD_1(k)の交換子群$$
ところで、そのように交換子群列を次々に続けていった時に、無限に続くのか有限で終わるのかという話があります。これは、続けて行った時に単位元のみからなる｛ｅ｝が現れた時を「終わり」という事にすると、有限で終わるものとそうでないものがあります。
Ｄｋ(Ｇ)＝｛ｅ｝となる自然数ｋが存在する時、おおもとの群Ｇを特に可解群と言います。
なぜそのように呼ぶのかというと、その大きな理由は「多項方程式が『ベキ根で解ける』時、解による拡大のガロア群の交換子群列は有限回で｛ｅ｝で終わる（＝可解群である）」という性質によります。
ところが、５次以上の多項方程式においてそのガロア群は対称群（置換群）であり【正確にはそれと同型】、
実は５次以上の対称群は可解群にならないのです。よって、一般の５次以上の多項方程式は「ベキ根で解ける（＝係数とベキ根を使った解の公式が存在する）」部類の多項方程式に属さない、という命題が成立します。
一般の１～４次方程式のガロア群は可解群になります。
$$可解群：D_k(G)={e}となるようなkが存在する群Ｇ$$