電磁気学などでよく使う「ガウスの発散定理」（「発散定理」「ガウスの定理」とも）の証明をします。
ベクトル解析の分野の中の基礎的で重要な定理の１つになります。
目次：
電磁気学の「ガウスの法則」は、「ガウスの発散定理」と関係が深いですが、あくまで静電場に関して成立する事実関係としての「法則」を表すものとして用語の使い分けがなされるのが一般的です。
- ベクトル解析（ベクトル場の「発散」の定義）
- 法線面積分の定義
- 外積ベクトル（ベクトル積、クロス積）
- ベクトルによる平行四辺形の面積公式（外積の成分と射影面積との関連）
- ベクトルと内積（初歩事項）
- 偏微分
- 重積分
- 微積分学の基本定理
- グリーンの公式（複素関数論）【※実関数に対するものも別途にあり】
- 空間上の図形と閉曲面（初歩事項）
定理の内容
$$以下、ベクトル場を\overrightarrow{F}=(F_1,\hspace{2pt}F_2,\hspace{2pt}F_3)=(F_1(x,y,z),\hspace{2pt}F_2(x,y,z),\hspace{2pt}F_3(x,y,z))\hspace{2pt}とします。$$
ガウスの発散定理とは次のようなものです。
ある閉曲面内の体積分と法線面積分について、次の関係式が成立します。 $$\int_V \mathrm{div}\overrightarrow{F} dv = \int_S \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}$$ $$あるいは、\int\int\int_V \mathrm{div}\overrightarrow{F} dxdydz = \int\int_S F_1 dzdy + \int\int_S F_2 dzdx+ \int\int_S F_3 dydx$$ $$S：閉曲面 Ｖ：閉曲面で囲まれた空間領域 $$ $$d\overrightarrow{s}=(ds_x,ds_y,ds_z)【成分には正負の符号がある事に注意】$$ 法線面積分を考えた時に使う面積要素 dxdy 等は、dsx 等と同じく、符号を持つので注意。曲面に表と裏を必ず決め、「裏→表」の向きに面積要素のベクトル\(d\overrightarrow{s}\) を立てて向きと成分の符号を考えます。
特に、次の３式が同時に成立し、加え合わせる事で定理全体が成立する事になります。$$\int\int\int_V\frac{\partial F_1}{\partial x}dxdydz=\int\int_S F_1 dydz$$ $$\int\int\int_V\frac{\partial F_2}{\partial y}dxdydz=\int\int_S F_2 dzdx$$ $$\int\int\int_V\frac{\partial F_3}{\partial z}dxdydz=\int\int_S F_3 dydx$$
積分の表記の仕方としては、次のように記す事もあります。これらは書き方を変えているだけで、全く同じ積分を表すという意味です。ｄｘｄｙなどの表記の場合に積分記号を２つ重ねる表記にするのは、具体的な計算をする時には重積分の形になる事によります。$$\int_SF_1ds_x=\int\int_SF_1dydz$$ $$\int_SF_2ds_y=\int\int_SF_2dzdx$$ $$\int_SF_3ds_y=\int\int_SF_3dxdy$$
基本的な考え方は、複素関数論におけるグリーンの公式に似ています。要するに、ある多変数のスカラー関数について、変数が２つの特定の値の時に差をとったものは「その関数の偏微分の定積分」に等しいはず・・という発想を使います。
発想自体は実はすごくシンプルなのですが、幾つか知っておかないとならない定義や公式がある事が「難しい」要因になります。特に必要になる事項を４つほど簡単に整理しておきます。
ベクトル場\(\overrightarrow{F}\) に対する「発散」は次のようなスカラー関数です。 $$\mathrm{div}\overrightarrow{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y} +\frac{\partial F_3}{\partial z}$$
法線面積分は、次のように計算できるものとして定義されます。 $$\int_S \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_S (F_1 ds_z + F_2 ds_y + F_3 ds_z)=\int_SF_1 ds_x+\int_SF_2 ds_y+\int_SF_3 ds_z$$積分記号に添えてあるＳは、「特定の閉曲面Ｓ」の表面の全域（あるいはそれに対応する領域）に渡って積分をするという意味です。dsz および dxdy 等を面積要素とも言います。（dsz および dxdy は共にｘｙ平面上の領域の面積要素。）
$$ d\overrightarrow{s}=( ds_x , ds_y , ds_z ) $$
- \(|ds_x| \)：微小領域の「ｙｚ平面」への射影領域の面積
- \(|ds_y| \)：微小領域の「ｘｚ平面」への射影領域の面積
- \(|ds_z| \) ：微小領域の「ｘｙ平面」への射影領域の面積
特に三角形の微小領域を考えると、外積ベクトルの性質によりこれらの関係が明確になります。
体積分は、特定の空間領域の全域に渡ってスカラー関数を積分するものです
$$\int_V G(x,y,z) dv=\int\int\int_V G(x,y,z) dxdydz$$。dv =dxdydz を体積要素とも呼びます。
特別な場合では体積要素 dv のまま具体的な計算もできますが、通常は体積要素を dxdydz の形にして重積分にしないと計算は難しい事が多いです。
具体的な関数があって積分の値を計算する時は、次のように、通常の重積分と同じく累次積分を行います。
$$\int\int\int_V G(x,y,z) dxdydz=\int_{Z1}^{Z2}\int_{Y1}^{Y2}\int_{X1}^{X2} G(x,y,z) dxdydz$$
この時に積分する変数の順番は変えられますが、積分する領域の形状によっては、初めに積分する２つの積分区間は定数ではなくて関数になります。ここでの例だと
X1=X1(y,z), Y1=Y1(z) 等です。
発散定理における閉曲面の扱い
積分する範囲が「閉曲面」である事は定理の性質・証明において重要です。
閉曲面とは球や楕円体などの閉じられた曲面の事です。
（ただし直方体等の「角ばった箇所」がある閉じられた立体においても、定理は成立します。証明の過程を見ると、その事は分かりやすいかと思います。）
閉曲面は、凹んだような箇所がある曲面である場合もあります。
しかし、発散定理の証明においては実は「凹みがない」球のような曲面で成立する事を示せば十分です。それは、面積分に関して曲面は分割するできるからです。
例えば閉曲面を平面で真っ二つにした場合には、切断面の部分（２つに分かれた閉曲面の共有部分）では２つの積分の値が絶対値は同じで逆符号になります。それを加え合わせるとゼロになります。これは、共有される切断面においては「ベクトル場は同じ」で分割された２つの閉曲面同士で「法線ベクトルが絶対値は同じで逆符号」である事に起因します。
そのため、凹みのある閉曲面は出っ張ったところで切断して２つ以上の閉曲面に分けてしまう事により、法線面積分も２つの「凹みのない」閉曲面での法線面積分の和にできるのです。
（体積分に関しても、閉曲面を分割すると分割した領域での体積分を加えれば全体になります。）
つまり、発散定理の証明は「凹みのない」閉曲面で示されれば、凹みのある閉曲面で成立する事も示されるという事です。
証明
まず、次式から証明します。閉曲面は凹みがないものとします。
$$\int\int\int_V\frac{\partial F_1}{\partial x}dxdydz=\int\int_S F_1 dydz$$
これ１つが証明できれば、他の２式も同じ形なので全く同様に証明できます。
最後に３式を加え合わせれば発散定理の形になります。
積分する前の段階で微小領域を考えると、\(d\overrightarrow{s}=( ds_x , ds_y , ds_z )\)の第１成分ｄｓｘの絶対値は微小領域のｙｚ平面への射影面積になります。
ところで、ｙｚ平面への「同じ射影の領域」を持つ閉曲面の微小領域は必ず２つ存在し、それらの第１成分は必ず符号のプラスマイナスが異なります。同じ射影の領域を持ちますから\(d\overrightarrow{s}\)の第１成分は「同じ大きさで異符号」です。
しかも、その組み合わせの合計で閉曲面は全て覆える事になります。ベクトル場の第１成分Ｆ１とｄｓｘの積を合計したものはｙｚ平面上の積分になります。【Ｆ１は関数Ｆ１(ｘ,ｙ,ｚ) である事に注意。】
ただし、ｙｚ平面上で積分をすると、対応する閉曲面の領域は２つありますから、ｄｓｘの符号がプラスになる部分とマイナスになる部分に分けられます。
ここで、閉曲面Ｓのｙｚ平面への射影領域であり、ｙｚ平面での積分範囲でもある領域をＳｙｚと置きます。
この平面領域Ｓｙｚは、「表と裏」に関して次の約束事をしておきます：
ｘ方向のプラス方向に面した部分が「表」でｘ方向のマイナス方向に面した部分が「裏」
と決めます。
つまりこの領域Ｓｙｚ上での面積要素のベクトルは\(d\overrightarrow{s}=(ds_x,0,0)\) であり「dsｘ およびｄｙｄｚの符号は、必ずプラス符号として考える」という事です。
またｙとｚの関数ＸＡ(ｙ,ｚ)とＸＢ(ｙ,ｚ)を考えて、
それらは各々「ｙｚ平面への同じ射影領域を持つ」２つの微小領域でのｘ座標であるとします。
（領域を２分割して考える時に「ｘ座標の『ｙとｚによる関数』の形」が違うためにそのように考えます。）
すると、閉曲面全体のベクトル場の第１成分Ｆ１のｙｚ平面上の領域Ｓｙｚでの積分は、
次のように差の形で表せる事になります。
$$\int_SF_1ds_x=\int\int_{Syz}F_1(X_B,y,z)dydz-\int\int_{Syz}F_1(X_A,y,z)dydz$$
第１項目はもとの閉曲面で面積要素のベクトルの成分ｄｓｘがプラス符号である領域の積分です。
第２項目はもとの閉曲面で面積要素のベクトルの成分ｄｓｘがマイナス符号である領域の積分であり、
領域Ｓｙｚでの積分では面積要素はプラス符号で扱うと約束しているので「マイナス」は積分全体につける形をとっているわけです。
ここで、差の形になっている部分を、「ｘ方向の『偏微分の定積分』」として考える事ができます。
$$\int\int_{Syz}F_1(X_B,y,z)dydz-\int\int_{Syz}F_1(X_A,y,z)dydz=\int\int_{Syz}\left(\int_{\large{X_B}}^{\large{X_A}}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x}dx\right)dydz$$
領域Ｓｙｚでの積分についてもｙ方向とｚ方向の積分区間を書くと次のようになります。
$$\int\int_{Syz}\left(\int_{\large{X_B}}^{\large{X_A}}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x}dx\right)dydz=\int_{\large{Z_B}}^{\large{Z_A}}\int_{\large{Y_B}}^{\large{Y_A}}\int_{\large{X_B}}^{\large{X_A}}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x}dxdydz$$
$$=\int\int\int_V\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x}dxdydz$$
ここで重積分の形にした箇所のｄｘ、ｄｙ、ｄｚは全てプラス符号です。つまり「積分変数自体の符号は気にしない」で計算可能な、通常の積分として考えてよい事になります。（体積要素としてｄｘｄｙｄｚをｄｖと置き、１つの塊として見た時も符号はプラスだけで考えます。）
重積分を累次積分する時の積分の順番は入れ替え可能ですが、積分区間は最後に積分するところを除いて一般には関数になります。
例えば上記の場合の重積分の箇所においてｘ→ｙ→ｚの順で累次積分をする場合、積分区間に入っているＸＡとＸＢはｙとｚの関数【定数である事もあり得る】であり、ＹＡとＹＢはｚの関数、ＺＡとＺＢは何らかの定数という事になります。
累次積分の順番を変えるとどの積分区間が何の変数のどういう関数形になっているかは変わりますが、同じ関数を同じ領域で積分すれば同じ値を得ます。
これで証明の大体の部分は完了しています。
ところで一番最初の積分については、ｄｓｘをｄｙｄｚの形で表記する事もできます。（ｄｘｄｙの形にする時は、積分記号は重積分のように２つ重ねる表記にします。）
$$\int_SF_1ds_x=\int\int_SF_1dydz$$
これらの結果を等号で結ぶと、証明すべき式になります。
$$\int\int\int_V\frac{\partial F_1}{\partial x}dxdydz=\int\int_SF_1dydz【証明終り】$$
同様に、Ｆ２についてはｘｚ平面上の積分を考えて、差の形をｙでの偏微分の定積分で表します。Ｆ３についてはｘｙ平面上の積分を考えて、差の形をｘでの偏微分の定積分で表します。
$$\int\int\int_V\frac{\partial F_2}{\partial y}dxdydz=\int\int_SF_2dzdx$$
$$\int\int\int_V\frac{\partial F_3}{\partial z}dxdydz=\int\int_SF_3dxdy$$
３式を加え合わせると次のようになります。
$$\int\int\int_V\left(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\right)dxdydz=\int\int_S(F_1dydz+F_2dzdx+F_3dxdy)$$
$$\Leftrightarrow \int_V \mathrm{div}\overrightarrow{F} dv = \int_S \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}【発散定理の形】$$
上記の発散定理における閉曲面の扱いで記したように、閉曲面に凹みがある場合でも領域を切断して分割する事で定理が成立します。