カテゴリー: ベクトル

立体角（solid angle）は、平面上の角度を空間的な広がりに拡張したものであり、球の表面積を利用して表されます。通常の平面の角度の事は、この記事では主に「平面角」と表記します。

立体角の単位は無単位とする事もありますが【ｓｒ】(steradian) という単位も一応あります。この記事では平面角のラジアン【rad】と区別する目的で、立体角に対して単位を付けて表記している事があります。

立体角の定義と「錐面」

あまり聞き慣れない語かもしれませんが立体角の定義には錐面（「すいめん」）という言葉を使うと表現的に便利です。（使わなくても定義はできますがここでは使用する事にします。）

立体角は１つの点を基準として球面（範囲は任意）に対して錐面が囲む領域の表面積でとして定義されます。「錐面」とは円錐や三角錐などをより一般的に表した立体的な図形の側面の部分を表します。

次に見て行くように立体角は考えている球面（あるいは任意の曲面）がプラスとマイナスの符号の違いがあり、さらに任意の実数の値を考える事ができます。

立体角の大きさの範囲

立体角を０【ｓｒ】から２π【ｓｒ】に増加させると、広がりとしては半球の大きさ分になります。
図形的に見るとそこから先も半球分に立体角を加えていく事は可能に見えるわけで、実際そこからさらに立体角を増やす事は可能です。

立体角が２π【ｓｒ】を超える時には図形的には錐面は球面の反対側の領域を切りとっていく事になるはずです。この時に錐面と球面の交わりで作られる閉曲線の「内側」と「外側」の関係を統一的に考えて、０【ｓｒ】から始めて「閉曲線の内側」と考えていた向きを２π【ｓｒ】から先も保つとします。

すると、錐面が切り取る球面上の領域の表面積は２π【ｓｒ】にさらに値が追加されていく事になります。それを続けると立体角は「球の内側から見た球面全体に対する広がり」（すなわち「空間全体」に対する広がりと同じ）を表す４π【ｓｒ】まで増加します。

つまり通常の３次元空間での立体的な広がりを表すには、立体角の「大きさ」は０≦Ω≦４πの範囲で考えれば十分という事になります。球全体の表面積に対する倍率では０≦K≦１を考えています。
ただし後述するように、曲面に対する表裏の関係で立体角を符号も含めて考える時は
マイナスの値も含まれるようになって範囲が－４π≦Ω≦４πとなります。（さらにその範囲外の場合も立体角は定義されますが、ここでは原則として除いて考える事にします。）

後述するように、あるいは図形的に考えて閉曲面内に立体角を考える点を設置して閉曲面全域に対して立体角を考える場合にはその立体角のは符号も含めて４π【sr】です。逆に閉曲面の外側から閉曲面全域についての立体角を考えると、その立体角は０【sr】になります。（閉曲面の外側から閉曲面全域の立体角を考える場合、閉曲面を２に分割して同じ大きさのプラスマイナスの符号だけ異なる立体角を合計する事で０になります。）

立体角が負の数である時の定義

立体角Ωが０≦Ω≦４πの範囲の時、
立体角を考える基準の点は球面（半径に関わらず）の内側にあります。

そこで、空間内のてきとうな位置から何かの曲面に対して立体角を考える時には
曲面に表と裏がある時には次のように立体角の符号を決める定義をします。

法線面積分およびガウスの積分との関係式

立体角は前述の符号も含めた関係の定義のもとで、
てきとうな曲面Sがあった時にその曲面上の法線面積分で表す事ができます。

さらに立体角を法線面積分で表す時、被積分関数はガウスの積分【位置ベクトル（ｘ，ｙ，ｚ）を距離の３乗で割ったものに対する「閉曲面」上の法線面積分】での被積分関数になります。
そのため、特にSが閉曲面の時には立体角は－４π≦Ω≦４πの範囲においてガウスの積分として値が３通りに決まります。

立体角を法線面積分で表す関係式を導出する方法としては、
曲面を細かい平面に分割して角度（平面角）の関係から微小面積に対する関係式を考えるか、もしくは最初から積分で考えてみてガウスの発散定理を適用する方法があります。

曲面が閉曲面の時にはガウスの積分そのままの計算であり、値の導出の計算にはガウスの発散定理を使うと導出する事ができます。

立体角の定義から考えると、外縁となる閉曲線を共有する複数の開曲面に対して錐面の延長をはみ出さない限りは「立体角は１つだけの値として決まるはず」です。
その事は、立体角を考える点から見て「曲面の表裏の関係が同じであれば」成立します。

【積分の表記の場合でもガウスの発散定理を使う事でそれが成立する事を確認できます。下記の２番目の方法でも触れるように、\(\overrightarrow{r}\)／(ｒ^３)の発散は０である事を使用します。】

この場合、錐面から曲面がはみでている場合でもはみ出た部分によって閉曲面を考えると、その部分の符号も含めた立体角はガウスの積分で表せることから０となって消えるので立体角の大きさに影響しない事になります。

他方で、立体角を考えている点Oに向けて閉曲線から曲面を引っ張ってきたような場合には話が変わってきます。例えばそれで１つの曲面が点Oに重なる場合には積分の表記で考えると実は２つの曲面に対する立体角には２πの差ができます。さらに、閉曲線を共有する１つの曲面ともう１つの曲面が１つの閉曲面として点Oを内部に含むようになると、２つの曲面に対する立体角には４πの差が生じます。【その時に２つの立体角についてΩ_１＝Ω_２＋４πという関係になります。立体角は４πを超える事もありますが、ここでの場合に限定して言うと片方の曲面の表裏の関係を保ったまま動かしているのでΩ２はマイナスの値の立体角となり、Ω_１＜４πとなります。】

微小面積で考える場合の導出

立体角を考える基準点の原点Оは開曲面Sの裏側のほうに位置しているとします。

まず球面の領域の表面積から立体角を考える定義のもとで１つの立体角は球面の領域を分割して考える事ができて、さらに考える球面の半径は任意でよい事から分割した微小領域ごとに立体角を考えるための球の半径を自由に設定できます。

ここで球面を微小な平面領域で近似する場合には一般的に半径が大きい球のほうが細かい分割が必要なので、大きい半径を考える時ほどさらに細かく分割を行うものとします。

分割は球面上および曲面上の３点をつないで三角形領域で行うとして、
曲面Sの分割領域の頂点から原点Оに向けて直線を引き、球面に対しても微小領域の頂点がその直線上にあるように分割を行います。必要に応じて分割はより細かくします。

\(\overrightarrow{r}=(x,y,z)\)を考えて、球面の微小領域がその点を含むように位置で球の半径を調整します。（積分をする時にはS上の微小領域上にベクトルを平行移動させるとして考えます。）
\(\overrightarrow{r}\)は原点から(x,y,z)に向かうベクトルであり、原点を中心とする球の球面に対して垂直です。

次に微小領域同士がなす角度θ（平面角の意味）は、
図の位置関係から\(\overrightarrow{r}\)と曲面S上の面積要素ベクトル\(d\overrightarrow{s}\)のなす角に等しくなります。
（面積要素ベクトルは曲面上の微小領域に垂直です。）

曲面S上の微小領域の面積を\(|d\overrightarrow{s}|\) ＝ｄｓとして
球面上の微小領域の面積をｄＡとおくと、ｄＡ＝ｄｓcosθです。

他方で\(\overrightarrow{r}\)と\(d\overrightarrow{s}\)の内積を計算すると\(\overrightarrow{r}\cdot d\overrightarrow{s}\)＝ｒ ｄｓ cosθ＝ｒ（ｄｓ cosθ）＝ｒｄＡです。
そのため、今考えている微小領域に対する立体角の微小量をｄΩの定義式から計算すると次のようになります。【途中で分子に対してｒ（ｄｓ cosθ）の形を作る変形をしています。】

$$d\Omega =\frac{dA}{r^2}=\frac{rdA}{r^3}=\frac{rds\cos\theta}{r^3}=\frac{\overrightarrow{r}\cdot d\overrightarrow{s}}{r^3}$$

そこで、曲面Sの領域全体に対して微小領域を合計して分割の極限をとる事で法線面積分の形になります。（ｄΩを同じ領域で積分すると、曲面Ｓ上の分割と球面上の分割は１つ１つ対応させているので全体の立体角Ωとなります。）

$$\Omega=\int_S\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}$$

\(\overrightarrow{r}\)／(ｒ^３)は、－１／ｒに対する勾配ベクトルを使って－grad(１／ｒ)とも書けます。

閉曲面の場合には開曲面を２つ考えてつなぎ合わせる事により、
表と裏の関係による符号にだけ注意すれば同じように関係式が成立します。

発散定理から考える方法

曲面Sの外縁の閉曲線の各点から原点Оに向かって直線を引いて錐面を作り、原点は曲面Sの裏側のほうに位置しているとします。球面は原点を中心とします。原点と曲面の間のてきとうなところで球面を考えて、「開曲面Sと錐面と球面上領域S_ｃ」で構成される閉曲面S_０を考えます。

すると原点から向かう位置ベクトル\(\overrightarrow{r}\)は、その閉曲面上では曲面S上で表側を向き、球面上では裏側を向きます。つまり同じ被積分関数\(\overrightarrow{r}\)／(ｒ^３)に対する法線面積分は符号が互いに逆になります。

原点を中心とする球面上では球面に対して\(\overrightarrow{r}\)は垂直なので各微小領域で\(\overrightarrow{r}\)／(ｒ^３)と面積要素ベクトルとの内積は１／(ｒ^２)とｄｓの積です。球面上で１／(ｒ^２)は一定値である事に注意すると、法線面積分は定数をS＝０から「表面積の値」まで積分したものになります。
そこで球面上領域S_ｃの面積を４πｒ^２ｋとおくと、S_ｃ上の法線面積分は、閉曲面S_０では裏側で行う事にも注意して－４πｋ（＝－Ω）となります。

$$\int_{Sc}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_{Sc}\left|\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\right|ds=\int_{Sc}\frac{1}{r^2}ds=\frac{1}{r^2}\int_{Sc}ds【S_c 上でｒは一定値なので】$$

$$=-4\pi r^2k\cdot\frac{1}{r^2}=-4\pi k$$

また錐面は\(\overrightarrow{r}\)の定数倍の線分で構成される微小平面の集まりなので、各微小領域で面積要素ベクトルは\(\overrightarrow{r}\)に垂直です。よって、錐面での\(\overrightarrow{r}\)／(ｒ^３)の法線面積分は０になります。

ここで、ガウスの発散定理を使うために
\(\overrightarrow{r}\)／(ｒ^３)に対する発散（無限大の発散ではなく div のほう）を考えると次の公式がつかえます。

そこで、ガウスの発散定理を使うと次式が成立します。

$$\int_{S0}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_V\mathrm{div}\left(\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\right)dv=0【発散定理より】$$

$$他方で、\int_{S0}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_{S}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}-4\pi k$$

$$よって、\int_{S}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}-4\pi k=0\Leftrightarrow\int_{S}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=4\pi k=\Omega$$

Sを閉曲面として考える場合には原点ОからSに向かって引いた直線でSに接するものを考えます。接点で構成される閉曲線によりSを２分割して錐面と球面上の領域を含めた全体の領域を考えれば、その内部にある開曲面上の法線面積分は表と裏で合計するとプラスマイナスが打ち消して０になるので上記と同じく開曲面Sに対しての考察で関係式を導出できます。

\(\overrightarrow{r}\)／(ｒ^３)に対する発散の計算は上図のようになります。当サイト他記事より内容を引用。

円錐の半頂角と立体角の関係式

円錐があった時に、円錐の頂点から見た時の円錐の広がりを表す立体角はどれほどになるでしょうか。これは「底面の中心を含む円錐の断面に等しい三角形を考えた時に、斜辺を半径として円錐の頂点を原点とする球が円錐の底面の周によって切り取られる領域の表面積はいくらですか」という問題です。

円錐の場合には立体角以外にも半頂角（これは平面角）を使う事でも広がりを表現できます。
半頂角とは、
「円錐の頂点と底面の中心を含む断面の三角形における円錐の頂点を含む角度の半分」です。
半頂角の大きさを弧度法で表してφ【rad】であるとして、立体角との関係式を作る事ができます。

この式は図形的な考察と積分（１変数の）によって導出します。

底面の中心から球面上に直線を引き、円錐の高さとなっている線分とのなす平面角をθとします。底面の中心から球面上までの長さを保ったまま直線を回転させると球面上に円ができます。この時に円錐の頂点と底面の中心を含む断面ではθの値は同じです。円錐の頂点からその円までの範囲の面積をSとするとそれはθの１変数関数S(θ)です。円錐が作る立体角はΩ＝S(φ)／(ｒ^２)です。

ΔS＝S(θ＋Δθ)－S(θ)とすると、
図形的な考察によりΔＳ≒(ｒΔθ)・(２πｒsinθ）であり、
ΔＳ／ΔθはΔθ→０の極限でｒ・（２πｒsinθ）＝２πｒ^２sinθと表せます。
そこで、逆に２πｒ^２sinθを積分すればS(θ)が得られるはずで、
定積分すればS(φ)が得られるはずであるという流れです。
【より詳しくは (ｒΔθ)・２πｒsinθ ≦ ΔS(θ) ≦ (ｒΔθ)・２πｒsin(θ＋Δθ) となり、
変形すると２πｒ^２sinθ ≦ ΔS(θ)／Δθ ≦２πｒ^２sin(θ＋Δθ) となるのでΔθ→０として、
sin(θ＋Δθ)→sinθとなる事に注意して導関数（微分）がｄＳ／ｄθ＝２πｒ^２sinθのように表せると考えます。すなわち、１変数の定積分および微積分学の基本定理の考え方です。】
ｒΔθは円弧の長さ（直線状の線分の長さに近似）を計算していて、
ΔSの面積の部分の「幅」でもあります。
２πｒsinθはS(θ)の表面積の領域の外周である円周の長さです。

この時にはθを積分変数として区間を[０,φ]のもとで積分をすると表面積に等しくなります。（この場合はこの計算で球の表面積の一部分を表せるという事であり、一般の曲面の表面積はより複雑です。）この積分でθの関数になっているのはsinθの部分だけになります。

$$S(\varphi)=\int_0^{\varphi}2\pi r^2\sin\theta d\theta=-2\pi r^2\large{[\cos\theta]_0^{\varphi}}=2\pi r^2(1-\cos\varphi)$$

立体角はS(φ)／(ｒ^２)なので式からはｒが消えて次式になります。
（Ωはｒに依存しないはずなので、その事とも合っています。）

$$\Omega=\frac{S(\varphi)}{r^2}=\frac{2\pi r^2(1-\cos\varphi)}{r^2}=2\pi (1-\cos\varphi)$$

例１：立体角による電場に関するガウスの法則の理解

電場に関するガウスの法則（ガウスの発散定理とは関係はあるけれども別物）は、電荷が作る電場の大きさが距離の２乗に反比例する事に由来して数式的にはガウスの積分の形をしています。さらに法線面積分を考える対象が閉曲面であり、電荷が閉曲面の内部に含まれる考え方としては「立体角は４πになるので」という事で直ちに法則の結果を得るというわけです。

具体的に法則の左辺をQやｒの形にすると次のようになります。

$$\int_S\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\int_S\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}$$

つまりガウスの積分の定数倍という事になりますが、前述の考察によりそれは閉曲面に対する立体角と同一視する事もできるわけです。

そしてここでは電荷の位置（原点）は閉曲面の内部にあるので「積分の値は４π」であると考えれば、定数であるQ／(４πε_０)に乗じる事で法則の右辺の形Q／ε_０を直ちに得れるという見方もできます。

$$\int_S\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=\frac{Q}{4\pi\epsilon}\int_S\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\cdot d\overrightarrow{s}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot4\pi=\frac{Q}{\epsilon_0}$$

これは計算としてはガウスの積分を使った場合と同じになります。

例２：電気二重層が作る電位

薄い導体板の片側に一様プラスの静電荷が一様な大きさで分布していて、その裏側ではマイナスの静電荷が一様な大きさで分布している電気二重層が作る電位は立体角を使って表現できます。

この関係式は板の表と裏に電気双極子（互いにわずかに離れた位置にある同じ大きさの電気量で存在するプラスとマイナスの電荷）が分布していると考えて、板の微小な部分が作る電位を計算すると点Pから見た微小面積に対する立体角の定数倍となる事から導出されます。

板の微小面積がｄｓの部分による点Pに作る電位dVを、電気双極子が作る電位とみなして計算します。プラスとマイナスの電荷の大きさはσｄｓで、電荷の距離は板の幅でｄです。

$$dV=\frac{b\hspace{1pt}\sigma \hspace{1pt}ds\cos\theta}{4\pi\epsilon_0r^2}=\frac{b\hspace{1pt}\sigma}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{ds\cos\theta}{r^2}=\frac{b\hspace{1pt}\sigma}{4\pi\epsilon_0}d\Omega$$

ここで行ったのは定数となる部分と立体角の微小部分ｄｓcosθ／(ｒ^２)を見やすくするために分けた事と、前述の考察による微小面積部分におけるｄΩ＝ｄｓcosθ／(ｒ^２)を代入した事になります。

ところで分割を十分細かくとったうえでｄΩの合計をとると立体角Ωとなるわけですが、ここで考えている電位はスカラー量であり単純に加える事で合計の電位となるのでｄＶ＝ｋｄΩの形の量を十分細かい分割のもとで合計すればＶが得られます。すると板全体では、ここでは実はＶ＝ｋΩを意味します。

$$分割を十分細かくした極限で合計してV=\frac{b\hspace{1pt}\sigma\hspace{1pt}\Omega}{4\pi\epsilon_0}$$

ただし先ほど触れた通り、より具体的に計算をするには板の形状などを指定したうえでΩの具体的な値の計算が必要です。

物理学などでは、微分方程式を座標変換して考える時があります。
例えば極座標における運動方程式や波動方程式を考えてみるといった事です。

そのような場合で特にベクトルを含む微分方程式を考える時には、
ｘ＝ｒcosθ等の関係の代入だけでなくベクトルの基本ベクトルを変更する事まで行う事があります。
普通はベクトルを成分で表す時には（ｘ座標，ｙ座標，ｚ座標）で考えるわけですが、
それを（ｒ座標，θ座標，φ座標）で表す事を意味します。
例えば運動方程式であれば加速度ベクトルや力ベクトルをそのように扱うという事です。

以下、微分も使いながら具体的な変換の方法などを詳しく説明します。

■この記事に特に関連が深い数学的な事項は方向余弦に関する内容と、極座標および球面座標に関する内容です。その他、記事の後半では微分に関する基本公式のいくつかを使用しています。ベクトルと三角関数に関する基本的な事項も使います。

基本ベクトルの変更をする必要がある場合と無い場合

極座標変換等をする場合の微分方程式については、
基本ベクトルを変更する必要がある場合と無い場合があります。

まず、変更の必要が無い場合を見てみましょう。

例えば「等速円運動をしている物体には常に中心力が働いている」という事を
運動方程式を使って示そうとするような場合です。
この時には物体の座標に対して極座標変換を行ってから時間微分を２回行って、
普通に運動方程式に当てはめて力ベクトルを計算する事には何の問題もありません。
このような場合は、極座標変換を使っていても基本ベクトルの変更が必要ない場合です。

少しややこしいようですがそのような場合には、
「ｘ＝ｒcos(ωｔ) のような極座標変換は確かに行ってはいるけれども、
ベクトルの座標成分としては直交座標によるものを考えている」のです。
ですので極座標による値によって計算をするとしても、
その結果は「ｘｙｚ直交座標系のｘ軸で測った値」を出しているわけです。

もう少し詳しく見ると、そのような場合には極座標変換を使用していますがベクトルとして考えている加速度ベクトルや力ベクトルは成分を「ｘ成分」「ｙ成分」「ｚ成分」として考えています。図的にはｘ軸、ｙ軸、ｚ軸に平行なベクトルの合計として１つの加速度ベクトルや力ベクトルを構成します。

では、加速度や力のベクトルを直交座標ではない成分表示で「ｒ成分」「θ成分」「φ成分」のように表して、図的にも「ある点での曲線の接線方向」を向いたベクトルの合計として１つの加速度ベクトルや力ベクトルを構成できるのか？
という事を考えると、結論を言うと「それは可能である」という事になるのです。

そのような場合の運動方程式は「力が質量と加速度に比例する」という関係は直交座標の時と同じですが、成分ごとに見るとある曲線の接線方向の加速度成分と力の成分を考える事になるわけです。

そのように考える時の具体的なベクトルの成分の変換方法を以下述べていきますが、
一般の曲線座標系への変換は話が複雑過ぎるので、物理学等で使われる事があって数学的にも比較的話が穏やかで済む直交曲線座標系への変換に限定して話を進めていきます。
（と言っても、それでも多少複雑になります。）

基本ベクトルと成分の直交曲線座標系への変換方法

ベクトルを含む微分方程式を座標系ごとの形に変換する時に、まず第一に重要となるのがベクトルを構成する基本ベクトルに対する成分の変換方法です。ここではその具体的な方法について説明します。

直交座標上のベクトルは、
（１，０，０）と（０，１，０）と（０，０，１）という
３つの基本ベクトルの線形結合で表す事ができます。
それらをそれぞれ\(\overrightarrow{e_x}\)，\(\overrightarrow{e_y}\)，\(\overrightarrow{e_z}\) と表す事にすると
任意のベクトルは実数a，ｂ，ｃを使って\(\overrightarrow{A}=a\overrightarrow{e_x}+b\overrightarrow{e_y}+c\overrightarrow{e_z}\)と書けます。
そして、ここで使った実数a，ｂ，ｃはそれぞれベクトルの成分であるわけです。
（数学の理論上はこれらの成分は複素数を使っても可です。）

曲線座標でも実は同じような考え方ができて、直交座標からの変換を考える時は基本ベクトルは「向きが座標曲線の勾配ベクトルである単位ベクトル」であり、ここで言う勾配ベクトルはｘ，ｙ，ｚで考えたものを指しています。
【■参考：ベクトル解析の概論の記事（勾配ベクトルの微分による定義など）】

より具体的には１つの座標曲線をｘｙｚ直交座標でu＝F(ｘ，ｙ，ｚ)で表せるとして grad u により表されますが、実際に直交曲線座標で考える時には「ｒ方向」「θ方向」「φ方向」といった形で図形的に把握していればよい事も多いと言えます。そこで、曲線座標における基本ベクトル \(\overrightarrow{e_r}\)，\(\overrightarrow{e_\theta}\)，\(\overrightarrow{e_{φ}}\) は分かっているものとして次に成分のほうを考えます。

直交座標系	曲線座標系
$$\large{\overrightarrow{A}=A_x\overrightarrow{e_x}+A_y\overrightarrow{e_y}+A_z\overrightarrow{e_z}}$$	$$\large{\overrightarrow{A}=A_r\overrightarrow{e_r}+A_{\theta}\overrightarrow{e_\theta}+A_{φ}\overrightarrow{e_φ}}$$

ここで、曲線座標系が直交曲線座標であるならば
ベクトルの成分の変換は局所的には方向余弦を使った線形結合の形で表す事ができます。

方向余弦とはその名の通り三角関数の cosθの形で表される量ですが、ここでは角度の値はあまり重要でないのでCの文字と添え字を使って表す事にします。
直交曲線座標系の３つの各基本ベクトルからの、直交座標系のｘ軸、y軸、ｚ軸への９つの方向余弦を次のようにここでは表記します。

ここでの方向余弦の 記号の表	ｘ軸に対して	ｙ軸に対して	ｚ軸に対する
ｒ曲線の基本ベクトル \(\overrightarrow{e_r}\)から	Crｘ	Crｙ	Crｚ
θ曲線の基本ベクトル \(\overrightarrow{e_\theta}\)から	Cθｘ	Cθｙ	Cθｚ
φ曲線の基本ベクトル \(\overrightarrow{e_{φ}}\)から	Cφｘ	Cφｙ	Cφｚ

これらの方向余弦を使う事で、各点における基本ベクトルと個々のベクトルの成分を直交曲線座標系のものに変換できます。

そこで次は、これらの方向余弦は具体的にどのような数式で表されるのかが問題になります。
それが分れば一般の変換公式を作れるわけです。

変換で使う「方向余弦」を微分により表す公式

方向余弦とは基本的には「余弦」なので「底辺／斜辺」の関係を使います。ただし基本ベクトルは座標曲線の接線ベクトルとして考えていますから方向余弦も微分や偏微分で考える必要があります。また、直交曲線座標系の基本ベクトルからｘｙｚ直交座標系の軸への方向余弦の表し方は実は２つあって、どちらを使っても同じ結果を得ます。

極座標や球面座標への基本ベクトルおよび成分の変換を行う時には
具体的にはｘ＝ｒcosθなどと表す事から∂ｘ／∂θなどが計算しやすい場合が多くあります。その時には上記の「弧長を斜辺とする方法」を使ったほうが比較的分かりやすくなります。（この記事の後半でもそちらの形の公式を使用。）

ｄｌ／ｄθ や ｄθ／ｄｌを表す事になる弧長の式については、次に見て行くように球面座標であればｒ，θ，φの３つ分計算しておく必要があります。平面の極座標であればｒとθの２つ分です。

変換の具体例１（平面の極座標変換の場合）

ベクトルの基本ベクトルと成分に対して具体的に平面での極座標変換をしてみます。平面なので必要な方向余弦は４つで、それを表すために偏微分が４つと弧長の式が２つ必要になります。

まず、ｘとｙに対するｒとθの偏微分です。

極座標変換の時	∂／∂ｒ	∂／∂θ
ｘ＝ｒcosθ	cosθ	－ｒsinθ
ｙ＝ｒsinθ	sinθ	ｒcosθ

次に弧長の計算です。∂ｘ／∂ｒなどを計算してあるので、公式に代入します。
ｄｒ／ｄｌなどを使う事になりますが、まずはｄｌ／ｄｒの形で記しておきます。

$$\frac{dl}{dr}=\sqrt{(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2}=1$$

$$\frac{dl}{d\theta}=\sqrt{(-r\sin\theta)^2+(-\cos\theta)^2}=\sqrt{r^2}=r$$

このように意外と簡単な式になります。
さらに、θのほうの弧長の式で出てきたｒは∂ｘ／∂θの式にあるｒと打ち消して方向余弦の値には含まれなくなります。（そのように計算が簡単になる事は一般的に保証されるわけではありませんが、球面座標の場合でも同じ事が起こります。）

方向余弦はC_ｒｘ＝(∂ｘ／∂ｒ)・(ｄｒ／ｄｌ)＝cosθ　のように計算します。
θについては例えばC_θｘ＝(∂ｘ／∂θ)・(ｄｒ／ｄｌ)＝(－ｒsinθ)・(１／ｒ)＝－sinθです。
先ほど述べたようにｒは打ち消して式から無くなるわけです。

４つの方向余弦は具体的には次のような形になります。

• C_rｘ＝(∂ｘ／∂ｒ)・(ｄｒ／ｄｌ)＝cosθ
• C_rｙ＝(∂ｘ／∂ｒ)・(ｄｒ／ｄｌ)＝sinθ
• C_θｘ＝(∂ｘ／∂ｒ)・(ｄｒ／ｄｌ)＝－sinθ
• C_θｙ＝(∂ｘ／∂ｒ)・(ｄｒ／ｄｌ)＝cosθ

よってｒθ極座標系での基本ベクトルでの\(\overrightarrow{A}\)の成分は
Ａ_ｒ＝C_ｒｘA_ｘ＋C_ｒｙＡ_ｙ＝A_ｘcosθ－Ａ_ｙsinθ
Ａ_θ＝C_θｘA_ｘ＋C_θｙＡ_ｙ＝A_ｘsinθ＋Ａ_ｙcosθ であり、
\(\overrightarrow{A}\)＝（A_ｘcosθ－Ａ_ｙsinθＡ_θ ，A_ｘsinθ＋Ａ_ｙcosθ）となります。

ところでこれらについて運動方程式等に適用するために微分を考える場合などはどうなるのか？という事については後述します。時間微分に関しては得られた変換の結果の式をそのままｔで微分すればよいのですが、元の座標系の値であるA_ｘに関する処理が必要となります。

変換の具体例２（球面座標変換の場合）

次に球面座標の場合を見てみます。角度のとりかたはθとφの２箇所がありますが、ここでは平面極座標との関連を見やすくするためにθをｘｙ平面での角度にとり、Φをｒ曲線（と言っても直線ですが）とｚ軸のなす角にとって考えます。

９つの偏微分と３つの弧長をまとめると次の通りです。

球面座標変換の時	∂／∂ｒ	∂／∂θ	∂／∂φ
ｘ＝ｒsinφcosθ	sinφcosθ	－ｒsinφsinθ	ｒcosφcosθ
ｙ＝ｒsinφsinθ	sinφsinθ	ｒsinφcosθ	ｒcosφsinθ
ｚ＝ｒcosφ	cosφ	０	－ｒsinφ

弧長	式	逆数（ｄｒ／ｄｌなど）
ｄｌ／ｄｒ	１	１
ｄｌ／ｄθ	ｒsinφ	１／(ｒsinφ)
ｄｌ／ｄΦ	ｒ	１／ｒ

弧長の式に関する具体的な計算は次のようになります。 $$\frac{dl}{dr}=\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial r}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial r}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)^2}=\sqrt{(\sin φ\cos\theta)^2+(\sinφ\sin\theta)^2+(\cos φ)^2}$$ $$=\sqrt{\sin^2φ(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+\cos^2φ}=\sqrt{\sin^2φ+\cos^2φ}=1\hspace{60pt}$$ $$\frac{dl}{d\theta}=\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial \theta}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial \theta}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial \theta}\right)^2} =\sqrt{(r\sin φ\sin\theta)^2+(r\sinφ\cos\theta)^2+0^2}\hspace{15pt}$$ $$=\sqrt{r^2\sin^2φ(\sin^2\theta+\cos^2\theta)}=\sqrt{r^2\sin^2φ}=r\sin φ\hspace{105pt}$$ $$\frac{dl}{dφ}=\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial φ}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial φ}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial φ}\right)^2}\hspace{200pt}$$ $$ =\sqrt{(r\cos φ\cos\theta)^2+(r\cosφ\sin\theta)^2+(r\sin φ)^2}\hspace{115pt}$$ $$=\sqrt{r^2\cos^2φ(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+r^2\sin^2 φ}=\sqrt{r^2(\cos^2φ+\sin^2φ)}=\sqrt{r^2}=r\hspace{0pt}$$ ｄｌ／ｄθの計算では、角度φは正弦sinφが０以上の値をとる範囲で考えるとします。それは０≦φ≦πの範囲になりますが、図的に見てもその範囲だけで考えても十分である事になります。それは球面座標においてはθの変化もあるからです。

以下、上記の結果と公式を適用して計算をしていく事で
基本ベクトルを直交座標から球面座標に変換した時のベクトルの変換の公式を得ます。

方向余弦	ｘ軸	ｙ軸	ｚ軸
r 曲線	Cｒｘ＝sinφcosθ	Cｒｙ＝sinφsinθ	Cｒｚ＝cosφ
θ 曲線	Cθｘ＝－sinθ	Cθｙ＝cosθ	Cθｚ＝0
φ 曲線	Cφｘ＝cosφcosθ	Cφｙ＝cosφsinθ	Cφｚ＝－sinφ

これらの式は
「ｘｙ平面での角度をΦとしてz軸とｒ曲線のなす角をθとした場合」には、
θとφを入れ換える事になります。

運動方程式の球面座標系での成分表示の導出

各成分に対する時間微分を考える時には、直交座標での「ベクトルの時間微分」を１つのベクトルと考えて上記の変換公式を適用します。考え方は、１階の微分でも２階の微分でも同じになります。

1. 直交座標の成分に対する時間微分ｄＡ_ｘ／ｄｔなどを計算します。
   （２階微分をする時はｄ^２Ａ_ｘ／ｄｔ^２を計算します。）
   ただし、計算結果は変換後の変数であるｒやθで表す必要があります。
2. ベクトルの時間微分(ｄ／ｄｔ)\(\overrightarrow{A}\) は１つのベクトルであるので、変換の公式を適用して基本ベクトルの変換を行います。
3. 変換の式に含まれる「直交座標で考えた時の成分」に、直交座標で考えた時間微分ｄＡ_ｘ／ｄｔなどを代入します。

一番簡単な例（と言っても多少複雑ですが）で、
尚且つ重要なベクトルは物体の位置を表す\(\overrightarrow{r}\)＝（ｘ，ｙ，ｚ）です。
何の断り書きもなければ直交座標の成分で表されています。

次に、\(\overrightarrow{r}\)＝（ｘ，ｙ，ｚ）に対する
１階の時間微分を表す速度ベクトル\({\overrightarrow{v}=\Large\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}}\)＝(ｖ_ｘ，ｖ_ｙ，ｖ_ｚ)と、
２階の時間微分である加速度ベクトル\(\overrightarrow{a}=\Large{\frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2}}\)＝(a_ｘ，a_ｙ，a_ｚ)について
基本ベクトルを球面座標系に変化した場合の成分はどうなるかを見てみます。
（その特別な場合として平面極座標への変換も分かります。）

ｖ_ｘ＝ｄｘ／ｄｔ，ｖ_ｙ＝ｄｙ／ｄｔ，ｖ_ｚ＝ｄｚ／ｄｔおよび
a_ｘ＝ｄ^２ｘ／ｄｔ^２，a_ｙ＝ｄ^２ｙ／ｄｔ^２，a_ｚ＝ｄ^２ｚ／ｄｔ^２
ｒ，θ，φの時間微分については２階微分のほうの式が少し複雑なので「ドット」で表すのがここでは便利です。ドットが２つ付いていたら２階での時間微分を意味します。
ｄｒ／ｄｔ＝\(\dot{r}\)， ｄθ／ｄｔ＝\(\dot{\theta}\)， ｄφ／ｄｔ＝\(\dot{\varphi}\)
ｄ^２ｒ／ｄｔ^２＝\(\ddot{r}\)， ｄ^２θ／ｄｔ^２＝\(\ddot{\theta}\)， ｄ^２φ／ｄｔ^２＝\(\ddot{\varphi}\)
の表記で式を整理します。

ｘとｙについては積の微分公式を２回使う形で計算をします。
また、θやφをｔの関数として考えているので
合成関数の微分公式も同時に使っていく事になります。
例えば sinθやcosφなどの項の時間微分は
(ｄ／ｄｔ)sinθ＝(ｄθ／ｄｔ)cosθ=\(\dot{\theta}\cos\theta\)
(ｄ／ｄｔ)cosφ＝－(ｄφ／ｄｔ)sinφ=\(-\dot{\varphi}\sin\varphi\) のようになります。

\(\overrightarrow{r}\)＝（ｘ，ｙ，ｚ）	ｄ／ｄｔ
ｘ＝ｒsinφcosθ	\(\dot{r}\sin\varphi\cos\theta+\dot{\varphi}r\cos\varphi\cos\theta-\dot{\theta}r\sin\varphi\sin\theta\)
ｙ＝ｒsinφsinθ	\(\dot{r}\sin\varphi\sin\theta+\dot{\varphi}r\cos\varphi\sin\theta+\dot{\theta}r\sin\varphi\cos\theta\)
ｚ＝ｒcosφ	\(\dot{r}\cos\varphi-\dot{\varphi}r\sin\varphi\)

次に、理論的には１階微分をさらに時間微分する形で２階微分を計算して変換の公式に当てはめれば良い事になりますが、その直接計算は実はかなり面倒です。

具体的な計算式は補足・参考用の資料として記事の最後に載せるとして、計算結果の式は次のようになります。

上式でφ＝π／２とおき、時間によるφの変化はないなら平面の極座標での変換を表します。
φ成分がなくなり、ｒ成分とθ成分の式中でsinφ＝１となるので式は比較的簡単になります。

これらの結果から、球面座標系での運動方程式を作る事ができます。

運動方程式は「力ベクトル＝加速度ベクトルと質量の積」という形です。そこで、成分に分けた時に加速度ベクトルの成分として上記の式を使えばよいわけです。それらの成分とはｘ成分やｙ成分ではなく、ｒ成分やθ成分であるわけです。

これを見ると、一応そのように表せるといっても結構複雑です。直交曲線座標の中では比較的構造が単純で分かりやすい球面座標系であっても、加速度ベクトルや運動方程式をその座標系で考えるとなると直交座標系からの基本ベクトルと成分の変換はそれほど容易でない事が分かります。

平面上の極座標で見れば比較的形は簡単にはなりますが、直交座標での形と比べるとやはり複雑さは増しています。運動方程式の極座標系での成分表示は、回転を伴う運動の一部の解析では有効に機能します（例えば万有引力だけが働く物体の軌道を調べる時など）。

参考：球面座標に変換後の加速度ベクトルの成分計算

参考資料として、非常に地味ですが
速度ベクトルの加速度ベクトルの各成分を直接計算した場合の式を記します。

ここでの計算では、積の微分の規則から式全体は \(\ddot{r}\)の項や\(\dot{r}\dot{\theta}\)の項に分けて、変換の公式を適用までした値を１つずつ計算して最後に合計値を出します。それら自体は単なる微分と三角関数の計算問題なので、「確かに結果の式が直接計算でも得られる」という事を見るための参考用資料です。

\(\overrightarrow{r}\)＝（ｘ，ｙ，ｚ）	ｄ／ｄｔ（１階微分）
ｘ＝ｒsinφcosθ	\(\dot{r}\sin\varphi\cos\theta+\dot{\varphi}r\cos\varphi\cos\theta-\dot{\theta}r\sin\varphi\sin\theta\)
ｙ＝ｒsinφsinθ	\(\dot{r}\sin\varphi\sin\theta+\dot{\varphi}r\cos\varphi\sin\theta+\dot{\theta}r\sin\varphi\cos\theta\)
ｚ＝ｒcosφ	\(\dot{r}\cos\varphi-\dot{\varphi}r\sin\varphi\)

具体的なｒ，θ，φ成分の計算

ｔによる２階導関数（２階微分）はｒ，θ，φ成分のいずれにも共通して使えます。
異なるのは変換公式における方向余弦になります。
この表は、例えば式中の\(\ddot{r}\)の項の係数は
２階微分を行った時点の変換前でｘにおいては\(\ddot{r}\)sinφcosθであり、
ｒ成分への変換用の方向余弦sinφcosθを乗じるとsin^２φcos^２θとなっている事を記しています。
ｙとｚについても同様に計算し、例として\(\ddot{r}\)の項については合計すると係数の値は１になります。

sin^２θ＋cos^２θ＝１の関係などで三角関数の大部分は式から消えて、
プラスマイナスで打ち消して無くなる項も多くあるために
最終的な結果で残る項は比較的少なくなります。

\(\ddot{r}\)	変換前	ｒ成分	θ成分	φ成分
ｘ由来	sinφcosθ	sin２φcos２θ	－sinφsinθcosθ	sinφcosφcos２θ
ｙ由来	sinφsinθ	sin２φsin２θ	sinφsinθcosθ	sinφcosφsin２θ
ｚ由来	cosφ	cos２φ	０	－sinφcosφ
合計	・・・	１	０	０

\(\dot{r}\dot{\theta}\)	係数	ｒ成分	θ成分	φ成分
ｘ由来	－2sinφsinθ	－2sin２φsinθcosθ	－2sinφsin２θ	－2sinφcosφ sinθcosθ
ｙ由来	2sinφcosθ	2sin２φsinθcosθ	2sinφcos２θ	2sinφcosφ sinθcosθ
ｚ由来	なし	なし	なし	なし
合計	・・・	０	２sinφ	０

\(\dot{r}\dot{\varphi}\)	変換前	ｒ成分	θ成分	φ成分
ｘ由来	２cosφcosθ	２cosφsinφcos２θ	－２cosφcosθsinθ	２cos２φcos２θ
ｙ由来	２cosφsinθ	２cosφsinφsin２θ	２cosφcosθsinθ	２cos２φsin２θ
ｚ由来	－２sinφ	－２cosφsinφ	０	２sin２φ
合計	・・・	０	０	２

\(\ddot{\varphi}\)	変換前	ｒ成分	θ成分	φ成分
ｘ由来	ｒcosφcosθ	ｒsinφcosφcos２θ	－ｒcosφcosθsinθ	ｒcos２φcos２θ
ｙ由来	ｒcosφsinθ	ｒsinφcosφsin２θ	ｒcosφcosθsinθ	ｒcos２φsin２θ
ｚ由来	－ｒsinφ	－ｒsinφcosφ	０	ｒsin２φ
合計	・・・	０	０	ｒ

\(\dot{\varphi}^2\)	変換前	ｒ成分	θ成分	φ成分
ｘ由来	－ｒsinφcosθ	－ｒsin２φcos２θ	ｒsinφcosθsinθ	－ｒcosφsinφcos２θ
ｙ由来	－ｒsinφsinθ	－sin２φsin２θ	－ｒsinφcosθsinθ	－ｒcosφsinφsin２θ
ｚ由来	ｒcosφ	－ｒcos２φ	０	ｒcosφsinφ
合計	・・・	－ｒ	０	０

\(\ddot{\theta}\)	変換前	ｒ成分	θ成分	φ成分
ｘ由来	－ｒsinφsinθ	－ｒsin２φcosθsinφ	ｒsinφsin２θ	－ｒcosφsinφ cosθsinθ
ｙ由来	ｒsinφcosθ	ｒsin２φcosθsinφ	ｒsinφcos２θ	ｒcosφsinφ cosθsinθ
ｚ由来	なし	なし	なし	なし
合計	・・・	０	ｒsinφ	０

\(\dot{\theta}^2\)	変換前	ｒ成分	θ成分	φ成分
ｘ由来	－ｒsinφcosθ	－ｒsin２φcos２θ	ｒsinφcosθsinθ	－ｒcosφsinφ cos２θ
ｙ由来	－ｒsinφsinθ	－ｒsin２φsin２θ	－ｒsinφcosθsinθ	－ｒcosφsinφ sin２θ
ｚ由来	なし	なし	なし	なし
合計	・・・	－ｒsin２φ	０	－ｒcosφsinφ

\(\dot{\theta}\dot{\varphi}\)	変換前	ｒ成分	θ成分	φ成分
ｘ由来	－2ｒcosφsinθ	－2cosφsinφcosθsinθ	2ｒcosφsin２θ	－2ｒcos２φ cosθsinθ
ｙ由来	2ｒcosφcosθ	2cosφsinφosθsinθ	2ｒcosφcos２θ	2ｒcos２φ cosθsinθ
ｚ由来	なし	なし	なし	なし
合計	・・・	０	2ｒcosφ	０

成分ごとに合計すると、加速度ベクトルの変換後の各成分は
\(a_r＝\dot{r}-\dot{\varphi}^2r-\ddot{\theta}^2r\sin^2\varphi\)
\(a_{\theta}＝2\dot{r}\dot{\theta}\sin\varphi+2\dot{\theta}\dot{\varphi}r\cos\varphi+\ddot{\theta}r\sin\varphi\)
\(a_{\varphi}＝2\dot{r}\dot{\varphi}+\ddot{\varphi}r-\dot{\theta}^2r\cos\varphi\)
になります。

他の計算の仕方としては、変換の公式を先に使って例えばｖ_ｒ＝ｖ_xsinφcosθ＋ｖ_ysinφsinθ＋ｖ_zcosφの形で表して、その式の時間微分をするという方法もあります。その場合でも計算式は多少長くなります。

ベクトル解析などで使う grad, div, rot (または curl) の代わりに∇（「ナブラ」nabla, del）という記号を演算子として使って表記する方法があります。

この記事ではそれらの書き換えの方法と、ナブラ記号を使って作られる別の２つの演算子について詳しく説明します。

■サイト内参考記事（主に応用・ナブラを使う例など）
物理学全般で使用され、例として電磁気学で使う事ができます。

• 電磁場の波動方程式と真空中の電磁波の式
• 電磁誘導の法則
• アンペールの法則
• 電流密度ベクトル（および電荷保存の式など）

ナブラを使う利点は何か？

grad, div, rot の代わりにナブラ記号を使う利点は、特に式が複雑になる時などです。記述する文字数が少なくなるので比較的見やすくるといった事などの利点があります。

また数式の記述に統一性が出るために意味で好んで使われる場合もあるのです。後述していくように、grad, div, rot などの計算はベクトルの演算に類似性が見られるのでそれをナブラ記号によって統一的に整理する事も可能になるからです。

ただし grad, div, rot の置き換えとしての使用ではあくまで記号の「書き換え」なので数学的な意味が変わってしまうという事ではありません。

ナブラ記号を使わない grad, div, rot の表記法ではイメージ的な意味がつかみやすいという利点があります。言い換えると、一度イメージがつかめたのであれば数式的な形の簡便さや統一性を重視してナブラ記号での表記を行うという考え方もあると言えるでしょう。

尚「ナブラ」という言葉自体は元々楽器の「竪琴」の意味らしく、逆三角形の記号の形∇として見立てたというのが通説のようです。

勾配(grad)の書き換え

まずスカラー場に対して「勾配」を表す grad の書き換えです。

スカラー関数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）に対して gradｆの代わりに∇ｆと書いても同じ意味を表す約束になっています。

ｇradｆ＝∇ｆはベクトルなので成分を持ちますが、個々の成分を表す時には下に添え字を付けて表記する時があります。すなわち、∇ｆのｘ成分は∇_ｘｆ，y成分は∇_ｙｆ，ｚ成分は∇_ｚｆのように書いたりします。

$$\large{\mathrm{grad}f(x,y,z) =\nabla f=(\nabla_x f,\nabla_y f,\nabla_z f)}$$

例としては、ベクトル場がポテンシャル（スカラーポテンシャル、位置エネルギー）の勾配で表される式を書く時には記号として grad の代わりに∇を使えるわけです。

$$\overrightarrow{F}=-\mathrm{grad}\phiの代わりに\overrightarrow{F}=-\nabla\phiとも書けます。$$

この意味で使うナブラ記号はハミルトン演算子と呼ばれる時もあり、
形式的には「ベクトルとスカラーの積」として捉えられます。
※これは量子力学におけるハミルトン演算子もしくはハミルトニアンとは別物です。

あくまで形としての話ですが∇を数式上ベクトルとみなし（ベクトルそのものではない）、スカラー場との「積」のように考えるわけです。この考え方は、次に見るように発散や回転の書き換え時には「内積」や「外積」との数式上な類似性に着目する事との統一性を持っています。

$$形式的に、\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)ともみなせます。$$

発散（div）の書き換え

次に、ハミルトン演算子としてのナブラ記号を使ってベクトル場の「発散」div を書き換える方法を見ます。（※極限における「無限大への発散」は別物です。）

この場合には、発散 div がハミルトン演算子とベクトル場との「内積」のような形をとる事に着目します。そこで形式上の「∇とベクトル場の内積」を考えてベクトル場の発散を表すものと約束します。

$$\mathrm{div}\overrightarrow{F}の代わりに\nabla\cdot\overrightarrow{F}とも書けます。$$

$$\mathrm{div}\overrightarrow{F}=\nabla\cdot\overrightarrow{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}$$

形式上という事は強調されるべきですが
勾配 grad は「スカラー場からベクトル場を作る」操作であり、
発散は逆に「ベクトル場からスカラー量を作る」操作である事を考えると
「ベクトルとスカラーの積はベクトル」であり
「ベクトルとベクトルの内積はスカラー」という、ベクトルの基本演算との類似性や統一性を見れるわけです。

例としてはガウスの発散定理は次のように書いてもよいわけです。

$$\int_V\nabla\cdot\overrightarrow{F}dv=\int_S \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}$$

ここで、左辺の積分の中身は\(\mathrm{div}\overrightarrow{F}\)であり、それに対して右辺の内積記号は図形的にも内積を考えますので数式的な形は同じでも意味が異なるわけです。この事に対して意味的に紛らわしいと見るか、数式上の統一性があって好ましいと見るかは人それぞれの考え方によるでしょう。

規則性に類似点は見られるとはいえ勾配と発散は異なる数学的な操作を表しますから、単独のナブラ「∇」とドットがついた「∇・」はそれぞれ意味としては別々の操作を表す事になります。

また、後述しますが少し紛らわしい表記として「∇・」ではなくナブラ記号とベクトル場の「内積の順序を変えたもの」は別の意味を表す演算子とみなす場合があります。通常のベクトルの場合は内積は順序を変えても同じスカラーになりますが、ナブラ記号を演算子として考えた場合には「∇・」の順番で書いて「発散 div」の意味になります。

$$\nabla\cdot\overrightarrow{F}=\mathrm{div}\overrightarrow{F}ですが、\overrightarrow{F}\cdot\nablaは別の演算子です。$$

回転（rot, curl）の書き換え

ベクトル場の回転をハミルトン演算子としてのナブラ記号で書き換える場合には３次元ベクトルの外積（クロス積、ベクトル積）の記号を使います。
つまり\(\nabla\times\overrightarrow{F}\)のように書くわけです。

$$\mathrm{rot}\overrightarrow{F}=\nabla\times\overrightarrow{F}$$

３次元ベクトルの外積はまた１つの３次元ベクトルですが、ベクトル場の回転もまた別のベクトル場ですから記述上の統一性があります。

通常のベクトルの場合、外積あるいはクロス積の成分での計算は次のようになります。

$$\overrightarrow{E}\times\overrightarrow{F}=(E_2F_3-E_3F_2,\hspace{5pt}E_3F_2-E_2F_3,\hspace{5pt}E_1F_2-E_2F_1)$$

この外積における最初のベクトル\(\left(\overrightarrow{E}のほう\right)\)をハミルトン演算子としてのナブラ記号で置き換えると、数式の形としてはベクトル場の回転になるわけです。

$$\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)のもとで$$

$$\nabla\times\overrightarrow{F}=\left( \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} ,\hspace{5pt} \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} ,\hspace{5pt} \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} \right)$$

見た目としては、∇を先に書いて偏微分する変数が「下側」に書かれますので順番を間違えないように注意。「偏微分の演算子」をベクトル場の各成分に付けると考えたほうが順番的には通常のクロス積との見た目の整合性が取れます。

$$\frac{\partial }{\partial y}F_3=\frac{\partial F_3}{\partial y}に注意して$$

$$\nabla\times\overrightarrow{F}の第１成分は\frac{\partial }{\partial y}F_3-\frac{\partial }{\partial z}F_2と考えます。$$

使用例としてストークスの定理をナブラ記号で書くと次のようになります。

$$\oint_C\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_S\left(\nabla\times\overrightarrow{F}\right)\cdot d\overrightarrow{s}$$

この式の右辺のように、ベクトル場の回転に「内積」が続くような場合には括弧をつけて\(\left(\nabla\times\overrightarrow{F}\right)\) のように書く事が多いです。そのまとまりで１つのベクトルである事を強調するわけです。括弧を付けないで内積を書く事もありますが、意味としては「ベクトル場の回転」と別のベクトルとの内積です。式の形から紛らわしい場合には括弧を付けておいたほうが無難かとは思われます。

「外積」という用語やその計算規則についてはベクトル場の回転を含む事項（例えばストークスの定理）を純粋に数学の解析学的に取り扱う場合にも重要になってきます。

２階の偏微分を扱う「ラプラス演算子」

以上の３例の他に「３変数の各々により２階の偏微分を行い加え合わせる」という操作が行われる時があります。つまり、ベクトル場の発散を１階ではなく２階の偏微分で行うような場合です。これは、スカラー場に対して行う場合とベクトル場に対して行う２つの場合があるので区別して説明します。

いずれの場合もナブラ記号を使って書く方法があります。
∇^２あるいは∇・∇と書いて１つの演算子としてみなし、「ナブラ２乗」と読むかラプラス演算子と呼びます。∇^２φのようにスカラー場やベクトル場に作用させて使います。

スカラー場に対する場合の例は次のようなものです。

$$\nabla^2\phi=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}のような量を考えます。$$

ラプラス演算子の表記上の注意点

ラプラス演算子について∇^２という記号の代わりに、単独の三角形の記号「△」を使う事もあるので注意する必要があります。つまり、ナブラ記号を使わず、grad, div のような名称を元にした記号とも異なった、全く別の記号が改めて使われる事もあるという事です。

$$例：\nabla^2\phi=△\phi=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}$$

さらにはラプラス演算子としての△記号は、書籍によっては微小量を表す「デルタ」Δ（これはギリシャ文字の１つ）との表記上の区別もつけられない場合もあります。そのため、書籍によっては記号の意味をきちんと押さえていないと数式の読み取りが非常に難しくなる場合があります。

デルタとラプラス演算子の記号が区別されない表記方法の場合、基本的にデルタはΔx（デルタエックス）などのように「変数」に付ける事が多く、ラプラス演算子は３変数の関数に付ける事からおおよその区別は可能です。つまり微小量の議論の文脈が無い箇所で唐突に３変数関数に対して△φなどと式に書かれたらそれは普通はラプラス演算子による計算を表します。

スカラー場に対するラプラス演算子

スカラー場の各成分に対して「２階の偏微分を行って加え合わせる」量は、スカラー場から始めて発散と勾配を組み合わせて作る事ができます。すなわち、あるスカラー場φに対してgradφを考え、その発散をとればよい事になります。

$$\mathrm{div}(\mathrm{grad}\phi)=\mathrm{div}\left(\frac{\partial\phi}{\partial x},\frac{\partial\phi}{\partial y},\frac{\partial\phi}{\partial z}\right)=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}$$

この事自体をナブラ記号で書く事もできるのです。

$$\nabla\cdot(\nabla\phi)=\nabla\cdot\left(\frac{\partial\phi}{\partial x},\frac{\partial\phi}{\partial y},\frac{\partial\phi}{\partial z}\right)=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}$$

そこで、ナブラ記号による演算の組み合わせである∇・∇を考えます。注意点として、これは∇・（∇φ）のナブラをくっつけてしまうというよりは、ハミルトン演算子同士の形式上の「内積」を考えて、それをスカラーのように考えてスカラー場φに乗じるという考え方に近いものです。（後述するスカラー演算子と同じ考え方です。）

また、そのように考えた∇・∇を∇^２と書く事もあります。いずれにしてもこれを１つの演算子とみなしてラプラス演算子と呼ぶわけです。

$$\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)同士の形式上の「内積」を考えます。$$

$$\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

$$あるいは\nabla\cdot\nablaを\nabla^2と表記して\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

∇・∇と∇^２を同じ意味で使う事に関しては、普通のベクトル同士の内積をとる時にはそれは「自乗」とはみなしませんので注意は必要です。（ベクトル同士の内積は「ベクトルの絶対値」の２乗にはなります。また、細かい点ではありますが曲線座標をもし考える場合には∇・∇と∇^２は同一視しません。）

このスカラー的な演算子（内積はスカラーである事にも注意）をスカラー場φに乗じるように作用させる事で∇・（∇φ）と同じ結果を得るというわけです。

$$\nabla^2\phi=\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\phi=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}$$

スカラー場に対してラプラス演算子を作用させる例としては微分方程式としての波動方程式があります。（解が周期関数のような「波動」になる。）また、演算子の部分だけをとって波動演算子と呼ぶ事もあり、そこにラプラス演算子が使われるというパターンもあります。

$$例：\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right)\phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$$

$$\left(\Leftrightarrow \nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} =-\frac{\rho}{\epsilon_0}\right)$$

この例は、電場に関するガウスの法則で電場の代わりにスカラーポテンシャル（これはスカラー場）を使って変形したものです。c は光の速さでｔは時間、右辺の記号は電荷密度と真空の誘電率。
ポテンシャルを使わず電場のままでも同様の式を導出できますが項などが増えて少しばかり複雑さが増します。同じ型の式を磁場についても導出できて、合わせて電磁波の式を導出できます。

ベクトル場に対するラプラス演算子

ラプラス演算子∇^２は、スカラー場だけでなくベクトル場にも作用させる事ができます。勾配はスカラー場に対して、発散と回転はベクトル場に対して必ず作用させるものである事と比較すると少し特殊であるとは言えます。しかし、通常の微分や偏微分の操作を演算子として考えると同じくスカラー場にもベクトル場にも作用させる事ができますからそれほど不思議な考え方ではないとも言えます。

そして、考え方自体はラプラス演算子をスカラー場に作用させる時と同じなのです。つまり、∇^２あるいは∇・∇はスカラー的な演算子と言えるからベクトル場にも作用できると考えるのです。そのため、ラプラス演算子をベクトル場に作用させたものもまたベクトル場になります。演算子がスカラー量の乗法のように「ベクトルの各成分に対して作用する」と考えるためです。

計算上は演算子の作用により一度３つのベクトルができて、合計して結果的に１つのベクトルになると考える事も可能です。いずれにしても最終的にはベクトル場の成分に対して作用する計算です。具体的には次のようになります。

$$\nabla^2\overrightarrow{F}=\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\overrightarrow{F}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}\overrightarrow{F}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\overrightarrow{F}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\overrightarrow{F}$$

$$=\small{\left( \frac{\partial^2F_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2F_1}{\partial y^2}+\frac{\partial^2F_1}{\partial z^2},\hspace{5pt} \frac{\partial^2F_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2F_2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2F_2}{\partial z^2},\hspace{5pt} \frac{\partial^2F_3}{\partial x^2}+\frac{\partial^2F_3}{\partial y^2}+\frac{\partial^2F_3}{\partial z^2} \right)}$$

$$=\left(\nabla^2F_1,\hspace{5pt}\nabla^2F_2,\nabla^2F_3\hspace{5pt}\right)$$

ここで最後の式の各成分については∇^２F_１などはスカラー場に対してラプラス演算子が作用する形をとっています。

ベクトル場に対してラプラス演算子を作用させる場合には注意点もあります。
∇^２＝∇・∇と考える事には問題ありませんが、
例えば\(\nabla\left(\nabla\cdot\overrightarrow{F}\right)\neq(\nabla\cdot\nabla)\overrightarrow{F}\)です。

ベクトル場の発散はスカラー場になりますから、それに対してハミルトン演算子を作用させると結果は再びベクトル場になります。
しかし結果は、\(\nabla\left(\nabla\cdot\overrightarrow{F}\right)\)の例えば第１成分には「Ｆ_２をｘとｙで偏微分した関数」が生じるのです。これは∇^２\(\overrightarrow{F}\) の結果とは異なるものになっています。

この事はスカラー場に対するラプラス演算子の作用の考察において結果的には
「∇^２＝∇・（∇φ）」として扱うけれども単純に括弧を外してナブラをくっつけるのとは違うと考えられる事に関連しています。

通常のベクトルの場合でも、３つのベクトル対して
\(\overrightarrow{C}\left(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}\right)と\left(\overrightarrow{C}\cdot\overrightarrow{A}\right)\overrightarrow{B}\) は一般的に異なるベクトルです。
そのように、演算の結果同士で等号で結べるものとそうでないものがある事には注意が必要となります。

ナブラで作る「スカラー演算子」

最後に、ナブラ記号を使って発散を表した時の「内積の順番」を入れ換えた形の演算子についても触れておきます。これはスカラー演算子などと呼ばれる事もあります。あるベクトル場とナブラ記号が結び付いて「１つの演算子」として機能します。

$$スカラー演算子：\overrightarrow{A}\cdot\nabla（これでまとめて演算子扱い。）$$

$$\left(\nabla\cdot\overrightarrow{A}であれば\mathrm{div}\overrightarrow{A}の事\right)$$

スカラー演算子はラプラス演算子と似ていてスカラー場とベクトル場の両方に作用させる事ができます。（ラプラス演算子はスカラー演算子の１つであるという見方をする場合もあります。）

より具体的には、ハミルトン演算子（スカラー場に作用する単独の∇）との内積的な計算はしますが偏微分の操作自体はいじらず、３つの偏微分に対して１つのベクトル場の対応する成分が乗じられているというものです。例えば次のようになります。

$$\overrightarrow{A}\cdot\nabla=A_1\frac{\partial}{\partial x}+A_2\frac{\partial}{\partial y}+A_3\frac{\partial}{\partial z}$$

これをスカラー場に演算子として作用させると、別のスカラー場になります。次のようになります。

$$\left(\overrightarrow{A}\cdot\nabla\right)\phi=A_1\frac{\partial\phi}{\partial x}+A_2\frac{\partial\phi}{\partial y}+A_3\frac{\partial\phi}{\partial z}$$

ベクトル場に作用させる場合にはラプラス演算子と考え方は同じで、それぞれの成分に対して演算子が作用するという計算になります。計算結果はベクトルのままです。

$$\left(\overrightarrow{A}\cdot\nabla\right)\overrightarrow{B}=\left(A_1\frac{\partial\phi}{\partial x}+A_2\frac{\partial\phi}{\partial y}+A_3\frac{\partial\phi}{\partial z}\right)\overrightarrow{B}$$

$$=\small{\left( \frac{\partial B_1}{\partial x}+\frac{\partial B_1}{\partial y}+\frac{\partial B_1}{\partial z},\hspace{5pt} \frac{\partial B_2}{\partial x}+\frac{\partial B_2}{\partial y}+\frac{\partial B_2}{\partial z},\hspace{5pt} \frac{\partial B_3}{\partial x}+\frac{\partial B_3}{\partial y}+\frac{\partial B_3}{\partial z} \right)}$$

ラプラス演算子の時と同様に、まず３つのベクトル場ができてから合わさるという考えでも、ベクトル場の各成分にスカラー演算子が作用すると考えても結果は同じです。

このようなスカラー演算子を作用させる例としては、実は３変数関数（スカラー場としてみなせる）に対する全微分がその形を作っています。（２変数の全微分でも考え方自体は同じです。）

スカラー場を３変数のそれぞれによって偏微分し、各項にはｄｘ，ｄｙ，ｄｚが乗じられている形ですから（ｄｘ，ｄｙ，ｄｚ）というベクトルとナブラ記号を組み合わせたスカラー演算子を考えれば全微分の形になるわけです。

$$\overrightarrow{R}=(dx,dy,dz)によるスカラー演算子\overrightarrow{R}\cdot\nablaを考えると$$

$$\overrightarrow{R}\cdot\nabla=dx\frac{\partial}{\partial x}+dy\frac{\partial}{\partial y}+dz\frac{\partial}{\partial z}であり、$$

$$スカラー場の全微分d\phi=dx\frac{\partial\phi}{\partial x}+dy\frac{\partial\phi}{\partial y}+dz\frac{\partial\phi}{\partial z}=\left(\overrightarrow{R}\cdot\nabla\right)\phi$$

スカラー場に対して全微分を作る演算子をベクトル場に対して作用させた場合には各成分が全微分の形になり、これをベクトルの全微分と呼ぶ事があります。

$$同じく\overrightarrow{R}=(dx,dy,dz)によるスカラー演算子\overrightarrow{R}\cdot\nablaを考えて$$

$$ベクトル場の全微分d\overrightarrow{F}=(dF_1, dF_2,dF_3)=\left(\overrightarrow{R}\cdot\nabla\right)\overrightarrow{F}$$

$$第１成分だけ記すとdF_1=dx\frac{\partial F_1}{\partial x}+dy\frac{\partial F_1}{\partial y}+dz\frac{\partial F_1}{\partial z}$$

電磁気学や流体力学、数学のベクトル解析の分野で、ガウスの発散定理と並んで重要な定理とも言えるストークスの定理について、その内容・使い方・証明を詳しく説明します。

ストークスの定理はベクトル場に対する数学上の定理です。
スートクスの公式と呼ばれる事もあります。

ストークスの定理とは？内容とイメージ

ストークスの定理は、ベクトル場の接線線積分と、ベクトル場の回転に対する法線面積分を等式で結びつける事ができるという数学上の定理です。その内容と証明について詳しく説明します。

定理の内容と表記

ベクトル場の変数ｘ、ｙ、ｚは独立変数で、ベクトル場の回転の計算（偏微分含む）もまずその条件下で行われます。次に、対象となる関数を積分する時点で曲面上あるいは曲線上という制約がつく…すなわちｚ＝ｚ(ｘ，ｙ)といった形の式が一部の変数に代入されて互いに独立ではなくなるとします。

$$ベクトル場は\overrightarrow{F}=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))であるとします。$$

$$曲面S上でz=z(x,y)という制約がつく時は$$

$$F_1(x,y,z)=F_1(x,y,z(x,y))のように記す事にします。$$

のちの証明での計算のための注意点を挙げますと、ベクトル場の「回転」における偏微分は３変数ｘ，ｙ，ｚを独立変数として扱って計算をするものです。つまり、ｘで偏微分するならｙとｚは単純に定数扱いするという意味です。

それに対して、「曲面上のベクトル場」「曲線上のベクトル場」という条件が付くと３変数は独立では無く、曲面上であれば２変数だけが独立、曲線上であれば３変数とも従属関係という事になります。これが証明の１つにおける計算では重要になります。

積分の表記方法についての注記

ストークスの定理は、ガウスの発散定理と比較すると数学的な内容は少し込み入っています。

積分の表記方法は書籍などによって異なる事がありますが、この記事では数式の表現を明確にするために１つの表記方法に統一をします。

面積分の積分変数のプラスマイナスの符号の扱いについても表記方法をここで明確にしておきます。面積分の場合は表面と裏面とで面積要素ベクトルの向きが逆であり、つまり「プラスマイナスの符号が異なる」事になります。

図形的なイメージ

ストークスの定理の図形的なイメージは次のような感じです。

まずループ状に閉じた閉曲線 C があります。
その内側に膜が張ってあって、「閉曲面にはしない」という条件で任意の曲面の形に変形させる事ができるとします。
その時に「どんな形の曲面 S についてもストークスの定理の形の式が成立する」・・という事です。

では、開曲面Sには穴のような破れがあった場合はどうでしょうか。

実はその場合でもストークスの定理は成立します。穴を作る閉曲線と元の閉曲線を１本の線で結ぶと大きな１つの閉曲線が作られるためです。付け足してしまった線については、その線を向きだけが異なる２つの線が重なっていると考えるとその線上での接線線積分の合計は「プラスマイナスが打ち消して」ゼロになって積分の値に影響しません。

ただし、そのような場合には「穴」を構成する部分について接線線積分の向きを全体の接線線積分の向きに合わせる必要があります。例えば「穴」が１つだけある場合には元々の外側の接線線積分の向きが１つの方向から見て反時計回りであれば、内側の「穴」を作る閉曲線では逆向きの時計回りで考えないとストークスの定理は成立しません。

また「穴」がある場合の考察から、ストークスの定理は１つの閉曲線に対して任意の「分割」を行える事も理解できます。

曲面として「閉曲面」を考えてしまうとどうなる？

ストークスの定理において曲面は「開曲面」を考えます。

では、曲面として「閉曲面」を考えてしまうとどうなるのでしょうか？閉曲面とは球面のような閉じた曲面です。（トーラスのような図形も含めます。）

閉曲線Cを境にして２つの開曲面に分割すると、その両方に対してストークスの定理が成立します。簡単な図形的考察と計算によって、もし曲面の表側を閉曲面に対して一貫して「内側から外側に向かう向き」と決めるなら、「閉曲面全体を積分領域とした時の、ベクトル場の回転の法線面積分の値は必ず０になる」という別の公式が得られます。

証明その１：積分と偏微分の計算を直接進める方法

ストークスの定理を数学の解析学的に「厳密に」証明する方法もありますが、考え方が非常に複雑で物理学等への応用とのつながりも見えにくいものです。そこで、ここでは比較的シンプルに考える２つの証明方法を説明します。

証明時の偏微分の計算の扱い方

ストークスの定理の証明を考える時には偏微分の扱いに特に注意する必要があります。
例えば、「偏微分をしてできた偏導関数」を積分する場合には、ｘ、ｙ、ｚが独立変数であるという条件下で計算した偏導関数がまずあります。
ベクトル場の各成分であるスカラー関数についての偏微分です。
もしｙで偏微分するなら、ｘとｚは定数扱いになります。 $$F_1(x,y,z)に対して\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}F_1(x,y,z)=\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial y}$$ そのような偏導関数があるなかで、
特定の曲面Ｓ上での法線面積分を考える時に初めてｚ＝ｚ(ｘ，ｙ)という従属関係ができます。
つまり、計算としては「偏微分を行った後の関数に対して、積分をする時点でｚ＝ｚ(ｘ，ｙ)を代入する」といった形になります。

変数をどのように考えるのかを敢えて強調して書くなら、積分時には次のようになります。 $$偏導関数\frac{\partial F_1}{\partial z}(x,y,z)に対してz=z(x,y)を代入して\hspace{5pt}\frac{\partial F_1}{\partial z}(x,y,z(x,y))$$

他方、Ｆ_１(ｘ，ｙ，ｚ)に対して
「曲面S上にあるという条件」を初めから課すとします。
具体的には１つの変数がｚ＝ｚ(ｘ，ｙ)という関数の形になり、
スカラー関数全体は Ｆ_１(ｘ，ｙ，ｚ(ｘ,ｙ))のように書けます。
そこで例えばｙによる偏微分を行うとどうなるでしょうか？
この場合には、先ほどの場合とは計算結果が変わるのです。
偏導関数は異なる形になるのです。
その場合には、ｙの変化によるＦ_１の第３成分（ｚ成分）の変化も生じ、
それによるＦ_１全体の変化も変わってしまうという事です。
しかし、実はその事がまさにストークスの定理の数式的な意味の１つになっています。

分かりやすくするために、具体的なスカラー関数をてきとうに考えてみます。

例えばＦ(x,y,z) ＝ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２であったとしましょう。３変数が互いに独立なら、これを例えばｙで偏微分すれば偏導関数は２ｙになります。ｘとｚは定数扱いです。

それに対して、同じ関数に対してｚ＝３ｙという条件がついたとしましょう。この時にはＦ(x,y,z) ＝Ｆ(x,y,z(y))＝ｘ^２＋ｙ^２＋(３ｙ)^２＝ｘ^２＋１０ｙ^２ですから、ｙで偏微分すれば偏導関数は２０ｙになりますから全く異なる結果です。その違いが生じるのは、ｚ＝３ｙという条件によりｙを変化させるとｚも変化するためです。その違いが計算結果に現れます。

合成関数の偏微分公式で考えても同じになります。
ｚ＝３ｙという条件下ではＦ(x,y,z)を偏微分すると次のようになります。

$$\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}F(x,y,z(y))$$

$$=\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial z}\frac{\partial z(y)}{\partial y}$$

$$=\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial y}+\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial z}\frac{\partial }{\partial y}(3y)$$

$$=2y+2z\cdot 3=2y+2\cdot 3y\cdot 3y=2y+18y=20y$$

この式で、Ｆ(x, y, z) と書いた部分は３変数が互いに独立である場合の関数という意味です。その部分においては、ｙで偏微分するならｘとｚは定数扱いになるという事です。

スカラー関数の線積分の計算

ベクトル場の第１成分（ｘ成分）であるＦ_１(ｘ，ｙ，ｚ)を考えます。これはスカラー関数で、スカラー場とみなせます。まず、接線線積分において内積をとってスカラー場の線積分の形にした積分についてまず考えます。

閉曲線Cは凹凸のない形状を考え、閉曲面Ｓはｘｙ平面上の１点に対してｚ座標が１つ決まるような形状で、表側の面からの法線ベクトルはｚ軸のプラス方向の向きに対して鋭角になるものとします。

次に曲面の「ｘｙ平面への射影」を考えます。これは積分領域の射影を考えるのであって、ベクトル場の射影（つまりｚ成分を無視する）では無い事に注意。

ベクトル場に関しては、ｚに対して「積分領域の曲面の式」であるｚ＝ｚ(ｘ，ｙ)を代入する事で見かけ上ｚを消去します。のちに偏微分の計算をする時にはこのｚの式は重要になってきます。

具体的な定積分（１変数の定積分）を考えようとする時、全体の射影された積分の経路に対してｘについての異なる形の２つの関数が必ず存在します。これは、元々の曲線として必ず「閉曲線」を考えるためです。

ｘｙ平面で考えると、「上半分」と「下半分」に分かれる事になります。

ここでは経路を表す曲線を表す関数に対して、
ｘｙ平面上で見た閉曲線の上半分を表す場合には添え字のＵ、
下半分を表す場合には添え字のLをつける事にします。
また、射影されたｘｙ平面上の閉曲線をC_ｘｙ（ベクトル場の第１成分 F₁ を F_1xy(x,y,z(xy)) とします。）
その上半分の経路をＣ_ｘＵ（そこではF₁ を F_1xyU(x,y,z(xy)) とします）
下半分の経路をＣ_ｘＬ（そこではF₁ を F_1xyL(x,y,z(xy)) とします）
という名前にしておきます。
積分変数ｘの積分区間は [a, b] （＝Ｃ_ｘＰ）であるとして、線積分を行う時には反時計回りに回るようにして「行き」と「帰り」があるので往復を考えた便宜的な長方形状の経路をＣ_ｘＰＲとしてます。

• C_xy：閉曲線 C をｘｙ平面上に射影してできた閉曲線上　F₁ ＝F_1xy
• C_xU：閉曲線C_xyの「上半分」（積分の方向は b→a）F₁ ＝F_1xyU
• C_xL：閉曲線C_xyの「下半分」（積分の方向は a→b）F₁ ＝F_1xyL
• C_xP：ｘに関する積分区間 [a, b] （閉曲線C_xyのｘ軸への射影）

ストークスの定理においては「閉曲線内」も計算上考えますが、その場合も平面（例えばｘとｙ）の位置における「閉曲面上」のベクトル場だけを考えます。そのため、元々のベクトル場F1（ｘ，ｙ，ｚ）において互いに独立になり得る変数は１つだけです。最初に想定した曲面の形では例えばｘｙ平面上の点を指定すればｚの値も定まるので、曲面上の値を考える時にはF₁＝F₁（ｘ，ｙ，ｚ（ｚ，ｙ））の形になっています。
偏微分の計算上、３変数を独立したものとして扱う場合にはF₁＝F₁（ｘ，ｙ，ｚ）と書く事にします。

現在考えている条件下では、ｘｙ平面を上から見て反時計回りに回る方向が接線線積分の向きです。
そのため、閉曲線Ｃをｘｙ平面に射影した曲線の下側が「ｘが増加する向きで積分する部分」であり、
上半分側が「ｘが減少する向きで積分する部分」になります。

まずはｘｙ平面で考えるわけですが、１変数による線積分を行う場合に限っていえば積分変数がｘであればｘｚ平面への射影でも同じ事になります。つまり３次元空間内に閉曲線がある時、積分経路としては元の閉曲線が指定されていれば１変数の線積分の積分区間は確定します。そのため、１変数の線積分の積分経路に関しては統一的に元の閉曲線Ｃで表記する事にします。

$$\int_{Cxy} F_{1xy}(x,y(x),z(x,y))dx=\int_C F_{1xy}(x,y(x),z(x,y))dx$$

次に、開曲面Sに対して、ｘｙ平面上でｚ＝（ｘ，ｙ）と考えます。
さらにｘ軸上の区間では曲線の「上半分」と「下半分」に分ければそれぞれに対してｙ＝ｙ（ｘ）の関係を考える事はできますからベクトル場の第１成分Ｆ_１はｘだけの式で表現できる事になります。

「上半分」と「下半分」でｙ＝ｙ（ｘ）の式の形も違いますから
それを強調してここでは上半分に関してはｙ＝ｙ_U（ｘ）などと書き、
下半分に関してはｙ＝ｙ_L（ｘ）のように書く事にします。

$$\int_C F_{1xy}(x,y(x),z(x,y))dx$$

$$=\int_a^bF_{1xyL}(x,y_L(x),z_L(x))dx+\int_b^aF_{1xyU}(x,y_U(x),z_U(x))dx$$

$$=\int_a^bF_{1xyL}(x,y_L(x),z_L(x))dx-\int_a^bF_{1xyU}(x,y_U(x),z_U(x))dx$$

$$=-\int_a^b\left(F_{1xyU}(x,y_U(x),z_U(x))-F_{1xyL}(x,y_L(x),z_L(x))\right)dx$$

積分区間をa→bの向きに統一して１つの積分記号に収めて、次の計算のために「上半分」のほうが前に来るように順序を変えています。

閉曲線としてまとめて積分経路を考えている時（ここで言えばC_ｘｙなど）には積分の方向が変わる時点でｘの関数としての形も変わるものとして考えています。

「偏導関数の定積分」を考える

次に積分の中身で差の形になっている部分を、引き算の形である事に注目して
ｙに関する偏微分を使った「偏導関数の定積分」で表す事を考えます。
（※「偏微分の定積分」と言っても同じ意味になりますが、ここでは関数である事を強調して「偏導関数の…」と表現しています。）

発想的にはガウスの発散定理での証明と同じになります。

数式の意味が分かっていれば省略可能ですが「ｘだけの関数」と「互いに独立であるｘとｙが変数の関数」である事を区別するために、ここでは前者の場合のアルファベットをキャピタルで、後者を小文字で書く事にします。
つまりF_1xyU(x,y(x),z(x))＝f_1xyU(x,y,z(x,y))であり、F_1xyL(x,y(x),z(x))＝f_1xyL(x,y,z(x,y)) であるとします。

さきほど計算を進めた積分の中身だけで考えると次のようになります。積分区間はそれぞれのｘによって定まる２つのｙなので、便宜的にY₁（ｘ）からY₂（ｘ）までであるとします。ｙが閉曲線の内部を動く事になり、そこではＦ_１＝F_1ｘｙS（ｘ，ｙ，ｚ（ｘ，ｙ））と書く事にします。

$$【前述の式の積分の中身】F_{1xyU}(x,y_U(x),z_U(x))-F_{1xyL}(x,y_L(x),z_L(x))$$

$$=\int_{Y2(x)}^{Y1(x)}\frac{\partial}{\partial y}\left\{f_{1xyU}(x,y,z_U(x,y))-f_{1xyL}(x,y,z_L(x,y))\right\}dy$$

$$=\int_{Y2(x)}^{Y1(x)}\frac{\partial}{\partial y}F_1(x,y,z_(x,y))dy$$

※ここでのｙによる積分の計算は、閉曲線上ではなく「閉曲線の内側」を横断する形です。
（ただしベクトル場は曲面上にあります。）
ｙの値によって変化するＦ_１を積分するので。ｘとｙは従属では無く独立の関係です。ｘによって定まるのは「ｙによる積分区間の端点」だけになります。積分変数はあくまでｙですから、定積分の値を直接計算するならｘとｚを定数扱いにしてｙで偏微分したのちｚにｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）を代入して計算し、定積分の値の結果は「ｘだけの関数」という事になります。

これを、既に導出している線積分の計算式に当てはめます。最初の式から考えて書き直し計算を進めると、次のようになります。偏微分の計算および面積要素の変換公式を使用します。
【偏微分については、ここではF₁(ｘ，ｙ，ｚ)のように書かれていたら３変数を独立変数的に扱うものと考えます。つまりｙで偏微分するなら残りの変数は定数扱いという意味での計算式になります。】

$$\int_C F_{1xy}(x,y(x),z(x))dx$$

$$=-\int_a^b\left(\int_{Y2(x)}^{Y1(x)}\frac{\partial}{\partial y}F_1(x,y,z(x,y))dy)\right)dx$$

$$=-\int_a^b\int_{Y2(x)}^{Y1(x)}\left(\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial z}\frac{\partial z(x,y)}{\partial y}\right)dxdy$$

$$=-\int_{Sxy}\left(\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial y}+\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial z}\frac{\partial z(x,y)}{\partial y}\right)ds_z$$

$$=-\int_{Sxy}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial y}ds_z -\int_{Sxy}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial z}\frac{\partial z(x,y)}{\partial y}ds_z$$

$$=-\int_{Sxy}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial y}ds_z +\int_{Sxz}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial z}ds_y【∵面積要素の変換公式】$$

ここで使った面積要素の変換公式はあまり使う機会のない公式ですが次のような形のものです。【※重積分の変数変換の公式とは別物なので注意。】

$$面積要素の変換公式：ds_y=-\frac{\partial z(x,y)}{\partial y}ds_z$$

ｘｙ平面とｘｚ平面の面積要素がこの式に従って１対１に対応するので積分領域もｘｙ平面からｘｚ平面に移る事になります。

まとめると次のようになります。

$$\int_C F_1(x,y(x),z(x))dx$$

$$=-\int_{Sxy}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial y}ds_z +\int_{Sxy}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial z}ds_y$$

これは、接線線積分の側から見た時の内積の項の１つを表す式になっています。同様の手順でｙとｚによる線積分からも同様の結果が得られ、全て加え合わせる事でここでの閉曲面の設定におけるストークスの定理が導出されます。

証明の計算の流れのまとめを図示すると次のようになります。

この証明では積分の領域は開曲面Sに依存するのではなく、閉曲線Cに依存するものとなっています。しかも、より正確には閉曲線Cのｘｙ平面等への「射影」の領域に依存しています。つまり定理において開曲面Sの形状は任意でよい事も示せています。

曲面が変化すればその曲面上のベクトル場の具体的な関数形は当然一般的には変化しますが、式の形自体は閉曲線Cの形状に縛られず自由であるという事になります。（最初は変数に従属関係があったのが、最後はあたかも独立変数として扱う計算となったのはこの事に関係があります。）

もちろんここではまだ特定のタイプの曲面に限っての話です。次に、開曲面がここで考察したもの以外の別の形状でも成立する事を見ます。

曲面の形状が変わった時

では、閉曲面Sが最初に設定したもの以外の場合はどうでしょうか。

まず、「開曲面Sの表裏が入れ替わった場合」です。

その場合、まず接線線積分の積分方向が逆回りになるので、内積で分解した時の線積分も計算結果の符号が入れ替わったものになります。

他方でその場合には例えばｘｙ平面への射影を考える時に、元々は曲面Sの１つの方向から出る法線ベクトルが逆向きになります。つまり、元々がｄｓ_ｚ＝＋ｄｘｄｙであれば、曲面の裏表を入れ替えた時にはｄｓ_ｚ＝－ｄｘｄｙという変換になります。

すると前述の証明と比較した場合、証明の過程で符号の反転が２回起こるので、「結果は同じになる」という事になります。

また、先に「穴がある場合」でも定理が成立する事は既に見ましたが、そこで考察した分割の方法によって、曲面が任意の形状であっても既に証明済みのタイプに細かく分割して積分値を合計する事で定理が成立する事を示せます。

じゅうたんを折り畳んだような複雑な曲面によって、面積要素ベクトルが他の場所と符号が変わる場合も定理は成立します。この場合には面積要素ベクトルは依然として「表」から出ている事にはなりますが、分割をすると裏表を変えた時のように接線線積分の向きが逆になる事が分かります。従って、裏表を変えた時と同様に定理は成立します。

証明その2：微小長方形領域で回転を計算する方法

別の証明方法として、ベクトル場の「回転」をより図形的な回転のイメージに合わせたやり方があります。

この方法では閉曲線のｘｙ平面等への射影領域を、軸に平行な線でメッシュのように「細かい長方形に分割する事」で証明を行います。ただし、それは斜めの線を長方形に強引に近似できるという意味ではありません。そうではなくて、接線線積分や法線面積分の内積を利用した計算によって「結果的に長方形領域の組み合わせで計算ができる」という事です。

まず最初に、少し奇妙に思えるかもしれませんが閉曲線のｘｙ平面を最初にメッシュ状に細かく分割してしまって、それから１つの微小な長方形領域ΔCに対してベクトル場との「接線線積分を行うかのような和」を考えます。つまり、積分の方向を決めたうえで各辺をベクトルと考えた時のベクトル場との内積をとり、合計するという事です。ただし、微小領域なので１つの辺につきベクトル場の値は１つだけで代表できると考えます。

この時に、ベクトル場は３成分ともｘ，ｙ，ｚのプラスの方向を向いている条件であるとします。すると、長方形領域ΔCはｘｙ平面上の図形であるわけですからｚ成分は０です。さらには軸に平行な線で作られた長方形ですから辺をベクトルとみなせば成分はｘ成分のみかy成分のみという事になります。

長方形領域ΔＣ辺の長さをｄｘとｄｙとすると、
４つの「接線ベクトル」はｚ成分を省略してそれぞれ
（ｄｘ，０），（０，ｄｙ），（－ｄｘ，０），（０，－ｄｙ）です。
長方形の左端にベクトル場があって、微小の長さを進んで偏微分を使った一次近似の量だけ増えるものとします。少し奇妙なようですが、ベクトル場との内積をとって合計すると次のようになります。

$$\oint_{\Delta C}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}=F_1dx+\left(F_2+\frac{\partial F_2}{\partial x}dx\right)dy-\left(F_1+\frac{\partial F_1}{\partial x}dy\right)-F_2dy$$

$$=\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial x}\right)dxdy=\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{F}\right)_3dxdy$$

$$\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{F}\right)_3はベクトル場の回転の第３成分$$

つまり、回転するように「接線線積分もどき」のようなものを考えると、「ベクトル場の回転」の成分（ここでは第３成分）に面積要素を乗じた量になったわけです。このように最初から「回転のイメージ」が現れるところが先ほどの証明方法と異なる点です。

ｘとｙについて積分すれば、ベクトル場の回転の法線面積分の第３成分を得ます。同様の方法で残りの成分も得る事ができます。それで、ストークスの定理の法線面積分側の式ができあがるわけです。

$$３成分について積分して合計すると\int_S\mathrm{rot}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}を得る。$$

さてそれでは接線線積分側はどうでしょうか。

メッシュ状に細かく分割した長方形に対してさきほどの式を合計すると、隣り合う辺においては値が打ち消し合って消えます。領域の分割の逆のパターンで、積分する領域の合成が行われるわけです。

すると、長方形を全部合成すると外部の周に相当する部分だけが残ります。これで接線線積分を内積計算した時の１変数の線積分が出てきます。

しかし、じつは単純に計算するとｘｙ平面に対してｘの線積分とｙの線積分が生じて、ｘｚ平面でもｘの線積分とｚの線積分の両方が生じてしまい謎の「過剰な量」が出てきてしまいます。

ですが注意深く見てみると、ｘの線積分を行う場所は合計で４箇所できますがそのうちの２つは「同じ線分上で向きだけが異なる線積分」となるので合計すると０になります。そして残り２つで、ｘに関する線積分の「行き」と「帰り」を表現できているのです。

つまり、一見すると線積分の項が６つできて往復を考えると１２項ができてしまいますが半分は打ち消して０になるので１変数の線積分の項が３つでそれぞれに積分区間の往復がある形になります。これで接線線積分側の式も得られてストークスの定理を導出できる事になります。

$$\oint_{Cxy}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}+\oint_{Cxz}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}+\oint_{Cxy}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}$$

$$=\int_CF_1dx+\int_CF_2dy+\int_CF_3dz=\oint_C\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}$$

$$\oint_{Cxy}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}+\oint_{Cxz}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}+\oint_{Cxy}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_S\mathrm{rot}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}により$$

$$\oint_C\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_S\mathrm{rot}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}$$

設定した形状のタイプ以外の開曲面に対しても成立する事を調べるのは最初の証明と同じです。この２番目の証明では、閉曲線Cの射影となる領域だけで考えて定理を導出しています。言い換えると必要な射影を与える開曲面であれば形状は任意でも定理が成立するので１つの閉曲線を外縁とする開曲面は任意で良いという事になります。

積分変数としての面積要素ｄSと、ｘ、ｙ、ｚで積分した時に使うｄｘ、ｄｙ、ｄｚを偏微分を使って結びつける公式について説明します。
積分変数に関する公式ですからもちろん積分に関係しますが、ベクトルとも関連します。
この公式はやや特殊で、使われる場面はベクトル解析の分野のごく一部分に限定されるとも言えます。しかし特定の定理の証明・考察において重要である場合があるので、詳しく解説しておきます。

■より初歩的な内容（内部リンク）：

• ベクトルの考え方：スカラーとの違い（ベクトルの初歩事項の解説）
• 偏微分の定義と公式（このページの公式中で使います。）
• 外積ベクトルの定義と公式（「クロス積」「ベクトル積」とも。知っておくと便利です。）
• 積分の考え方と基本計算（１変数の積分の具体例です。）

面積要素とは

法線面積分においては曲面上の微小な領域に対する法線ベクトルを考えて、その法線ベクトルの大きさはその微小領域の面積であるとします。
そして、その面積にプラスマイナスの符号があると考えた量を特に面積要素（あるいは面積元素）と呼ぶ事があります。面積要素はｄＳなどの記号で書かれます。

法線面積分の計算を進める時には、内積を計算する形で成分ごとに分解した積分を考える事がありますが、その時に考える「スカラー場に対して、ｙｚ平面、ｘｚ平面、ｘｙ平面内の領域の面積要素を積分変数とする」形の積分を単に「面積分」と呼ぶ事もあります。

変換の公式

面積要素ｄSと、面積要素ベクトルの成分ｄｓ_ｘ、ｄｓ_ｙ、ｄｓ_ｚの間には実は変換の公式が存在し、それは曲面を表す関数に対する偏微分を使って表されます。

今、曲面を表す関数としてｚがｚ＝ｇ(ｘ，ｙ)のような形で表されているとします。（これはベクトル場の成分を表す関数ではなくて、曲面を表す式です。）

上記の式を組み合わせて、ｄｓ_ｙとｄｓ_ｘについても面積要素ｄＳとの関係式を作る事が可能です。

これらは決して使いやすい形の公式とは言えないかとは思いますが、ベクトル解析における特定の定理の証明等で使える場合もあります。

また、ｄｓ_ｘ／ｄＳ，ｄｓ_ｙ／ｄＳ，ｄｓ_ｚ／ｄＳは図形的に余弦とみなす事ができて、方向余弦とも呼ばれます。（方向余弦は面積要素ベクトルに対してだけでなく、ベクトル一般に対して考える事ができます。）これらの面積要素ベクトルの方向余弦は、分割の方法を合わせるという前提のもとで上記の公式中の係数で表す事ができます。

※余弦とは三角関数の「コーサイン」「cos」の事です。

公式の導出および証明

上記の公式の証明においてはベクトル場の事は考えず、曲面の事だけを考えます。

面積要素と、面積要素ベクトルの第３成分との関係式の証明

曲面Ｓの領域の分割が、ｘｙ平面への射影を考えた時に辺がx軸とy軸に平行な長方形になるように考えます。曲面の外周部分に関しては長方形を対角線で区切った直角三角形を考えます。

この時に分割された各領域は、１つの共有点を始点（原点と考えます）に持つｘｚ平面上のベクトルと、ｙｚ平面上のベクトルを２辺として構成されていると考える事ができます。

それらの２つのベクトルを \(\overrightarrow{a}\) および \(\overrightarrow{b}\) とおきます。
（位置関係は、ｄｘとｄｙの符号がともにプラスである時に外積ベクトルがｚ軸のプラス方向を向くようにします。その側が面の表側で、面積要素ベクトルが出る側として考えます。）
今、曲面の各点のｚ座標はｚ＝ｇ(ｘ，ｙ)のような関数で表せる事に注意すると、
２つのベクトルはｚに対するｘとｙでの偏微分を使って表せます。
\(\overrightarrow{a}\) の（終点の）ｘ座標をｄｘとして、\(\overrightarrow{b}\) のｙ座標をｄｙとすると、次のように書けます。

$$\overrightarrow{a}=\left(dx,0,\frac{\partial z}{\partial x}dx\right),\hspace{15pt}\overrightarrow{b}=\left(0,dy,\frac{\partial z}{\partial x}dy\right)$$

この時にこれら２つのベクトルにより構成される平行四辺形の面積（|ｄＳ|に等しい）は、公式を使って次のように表されます。対角線で区切った三角形の面積ならその半分になります。

$$dS=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}$$

$$|ds|=\sqrt{ \left\{dx^2+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2dx^2\right\} \left\{dy^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2dy^2\right\} -\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2dx^2dy^2 }$$

【平方根の中の２つの項がちょうど同じ値で引き算されて０になります。】

$$=\sqrt{dx^2dy^2+dx^2dy^2\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2+dx^2dy^2\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}$$

ここで、平方根の中のｄｘｄｙについて２乗した形が共通してどの項にもあるのでｄｘｄｙを平方根の外に出す事もできますが、敢えてひとまずこのままにしておきます。

面積要素ベクトルの第３成分（ｚ成分）のｄｓ_ｚの絶対値は、微小領域をｘｙ平面に射影した領域の面積になります。【その証明は外積ベクトルの定義からの計算と、平面上のベクトルを使った平行四辺形の面積公式から行います。】

今、微小領域をｘｙ平面に射影すると長方形になるように分割を考えています。
よって、|ｄｓ_ｚ| ＝ |ｄｘｄｙ| と書けます。【外積ベクトルのｚ成分を考えても同じ事です。】
すると ｄｓ_ｚ^２ ＝ ｄｘ^２ｄｙ^２ という事にもなるので、
これをさきほどの計算式に代入します。

$$|dS|=\sqrt{ds_z^2+ds_z^2\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2+ds_z^2\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}$$

ここで、ｄｓ_ｚはプラスとマイナスの両方の符号の場合があり得ます。これは図形的には、実は単純な話です。面積要素ベクトルがｚ軸のプラス方向側に向いていればそのｚ成分であるｄｓ_ｚの符号もプラスで、逆に面積要素ベクトルがｚ軸のマイナス方向側に向いていればそのｚ成分であるｄｓ_ｚの符号もマイナスという事になります。

すると、上式ではｄｓ_ｚを平方根の外に出す事ができますが、それが式の右辺のプラスマイナスの符号を決める唯一の量になります。よって、面積要素ｄＳの符号はｄｓ_ｚによって決定する事になります。式で書けば次のようになります。これで証明完了です。

$$dS=ds_z\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}$$

面積要素ベクトルの第１成分と第２成分についての式の証明

次に、面積要素ベクトルの第１成分（ｘ成分）と第２成分についての式も考えます。

それらを表すには外積ベクトルとして成分を計算したほうが簡単で、次のようになります。

$$再度記すと\overrightarrow{a}=\left(dx,0,\frac{\partial z}{\partial x}dx\right),\hspace{15pt}\overrightarrow{b}=\left(0,dy,\frac{\partial z}{\partial x}dy\right)としているので、$$

$$ds_x=0\cdot\frac{\partial z}{\partial y}dy- \frac{\partial z}{\partial x}dx\cdot dy=-dxdy\frac{\partial z}{\partial x}$$

ここで、先ほどの証明の最後で触れましたが面積要素ベクトルを外積ベクトルとして表した場合には符号まで一致してｄｓ_ｚ＝ｄｘｄｙと表す事ができるので、それをそのまま代入する事ができます。すると次のようになって、示すべき式が得られます。

$$ds_x=-\frac{\partial z}{\partial x}ds_z$$

面積要素ベクトルの第２成分についても同様に、
外積ベクトルの成分として計算すると次のように示すべき式を得ます。

$$ds_y=\frac{\partial z}{\partial x}dx\cdot 0\hspace{3pt} – dx\cdot\frac{\partial z}{\partial y}dy=-dxdy\frac{\partial z}{\partial y}$$

$$よって、ds_y=-\frac{\partial z}{\partial y}ds_z$$

この面積要素の変換公式は、ストークスの定理に対する証明の１つの過程で使用する事ができます。

線積分という言葉は、ベクトル場に対する接線線積分と、スカラー場に対する線積分の両方に対して使われます。ここでは、スカラー場に対する線積分についての定義と積分の考え方について説明します。

接線線積分と同様に、スカラー場に対する線積分も電磁気学等での理論計算に使われます。

接線線積分の内積計算を行う過程で、
座標変数であるｘ、ｙ、ｚを積分変数とする線積分を考える事もあります。

基本的な考え方

スカラー場 f(x, y, z) に対する「線積分」の基本的な考え方は、次のようになります。

積分変数となる変数は弧長（曲線の長さ）であるとする場合と、
ｘ，ｙ，ｚの座標成分である場合があります。
どちらの場合でも線積分という語が使われる事が一般的です。
ただし、後述しますように両者で積分方向と積分の符号に関する規定に相違点があります。

積分変数が弧長の場合

積分変数が弧長である場合には、積分経路が曲線上の点Pから点Qまでの経路である時に、点Pにおいて弧長が０、点Qにおいてある長さLであるとして積分を行います。

弧長とは「曲線の長さ」の事です。基本的に、折れ線で近似した時の極限値を指しています。

$$\int_{PQ}f(x,y,z)dl=\int_0^Lf(x,y,z)dl$$

ただし、右辺のように表して具体的に原始関数を探して計算するといった場合には、後述するようにスカラー場は \(l\) の関数の形になっている必要があります。

弧長を表す文字としては、ｓやｔが使われる事もあります。

この時に弧長は点Pから測って決めているので、
同じスカラー場に対して点Pからではなくて
「点Qから線積分を行う場合」には、積分全体の符号が変わります。
積分の向きと積分全体の符号の関係の考え方は、接線線積分の場合と同様になっています。

$$\int_{QP}f(x,y,z)dl=\int_L^0A(x,y,z)dl=-\int_0^Lf(x,y,z)dl=-\int_{PQ}f(x,y,z)dl$$

このように書けるわけですが、
線積分を具体的な定積分として計算する場合にはｘ、ｙ、ｚが弧長を変数とした関数で表されている事が必要な場合が多いです。
すなわち、指定された曲線上の経路では特定の点からの弧長によって点が一意に確定するわけですから、具体的に容易に書けるかは別問題として、理論上は座標変数を弧長の１変数関数として表せるはずであるという事です。

$$x=x(l), \hspace{5pt}y=y(l),\hspace{5pt}z=z(l)\hspace{5pt}であれば$$

$$f(x,y,z)=f(x(l),y(l),z(l))となり、$$

$$\int_{PQ}f(x,y,z)dl=\int_0^Lf(x(l),y(l),z(l))dlとして計算可能になる場合もあります。$$

積分変数が座標変数の場合

積分変数が座標変数ｘ、ｙ、ｚの場合でも、曲線を経路とする積分を指して「線積分」と呼びます。
この場合には、弧長を変数とする場合やベクトル場に対する接線線積分とは少し考え方が変わります。

まず、積分変数がｘの場合を考えてみます。ｙやｚに対しても考え方は同じです。

積分の元々の和としての定義を考えてみると、積分変数をｘとするという事は「対象となる関数の値と分割された区間の長さΔｘとの積」を合計して極限値をとるはずであり、実際その場合の線積分もそのように定義されるのです。

つまり、曲線上の各点において「曲線の分割された（微小な）経路分のｘ軸への射影」を考えてスカラー場との積を合計して積分するといった形になります。

$$積分変数がxの場合の線積分の表記：\int_{PQ}f(x,y,z)dx$$

ただし、具体的にｘに関する原始関数を探して定積分したい場合には、ｙとｚがｘだけの関数で表されている必要があります。

$$具体的な計算をするには、y=y(x),\hspace{5pt}z=z(x)\hspace{5pt}として表されて、$$

$$\int_{PQ}f(x,y(x),z(x))dxの形にする必要があります。$$

この時に、曲線の形状によっては単純に１つの積分区間でのｘによる定積分としては書けない場合があり、積分をいくつかに分割する必要がある場合があります。

例えば円等の閉曲線では、ある所まではｘが増加するように曲線が進んでいき、あるところで逆にｘが減少する方向に曲がる事になります。ｘが減少する方向に積分していく場合には積分の符号も逆向きになりますが、それは通常の１変数の定積分の考え方で符号を考えればよい事になります。

その場合には例えばPQの間にいくつかの適切な点、
例えばAやBを決めて次のように積分を分割します。

$$\int_{PQ}f(x,y,z)dx=\int_{PA}f(x,y,z)dx+\int_{AB}f(x,y,z)dx+\int_{BQ}f(x,y,z)dx$$

この時に、例えばP→Aまではｘが増加する方向で、Ａ→Ｂはｘが減少する方向、Ｂ→Ｑで再びｘが増加する方向であるなら、ｙとｚがｘの関数として表されている前提で、各点のｘ座標を使って線積分は次のようにも書けます。

具体例としてPのｘ座標が０、Ａのｘ座標が３、Ｂのｘ座標が１、Ｑのx座標が５である場合で線積分を書いてみます。

$$\int_{PQ}f(x,y,z)dx=\int_0^3f(x,y,z)dx+\int_3^1f(x,y,z)dx+\int_1^5f(x,y,z)dx$$

この例の右辺の２項目の定積分は、通常のｘが増える方向へのｘ＝１からｘ＝３までの定積分とは符号が逆向きになっているわけです。

$$\int_3^1f(x)dx=-\int_1^3f(x)dx\hspace{5pt}です。$$

これらの符号の扱いについては、分割された区間の（微小な）長さΔｘについて、プラスとマイナスの符号を持っていると解釈して定義しておく方法も存在します。

弧長と座標成分の、余弦を使った積分変数の変換

曲線上で積分する方向（弧長が０から何かの値Lまで伸びる方向）を決めたうえで、
「曲線上の各点の接線ベクトルと座標軸のなす角\(\theta\)」の余弦を考えると、
弧長と座標変数との関係を余弦で結ぶ事ができます。

$$角度を\theta として、例えばdx=ds\cos\theta$$

考えているこの角度\(\theta\)は一般的に当然一定値ではなくて曲線上の位置によって異なりますから、
それを明確にするなら例えば \(\theta (l)\) のように書くことになります。

このような考え方は、
積分変数を「座標成分から弧長に変換する」ような場合に使う事になります。

$$例えば、\int_{PQ}f(x,y,z)dx=\int_{PQ}f(x,y,z)\cos(\theta (l))ds$$

この時に、ｘで線積分するのであれば、曲線の形状によっては
通常のｘが増加する向きでの積分に対して符号を入れ替える必要も出てくるわけですが、
弧長を積分変数とする場合には、
点Ｐ→点Ｑに向かう経路である限り一貫して弧長が増加していく方向で積分が行われます。
そこで、上記の余弦を乗じる事によって符号も一致するように調整されるという事になるわけです。

ｘ、ｙ、ｚを積分変数とするスカラー場に対する線積分は、ベクトル場に対する接線線積分のように内積を計算する事はありませんが、弧長を変数とする場合のスカラー場の線積分からの変換と考える場合には分割した積分の符号の扱いに関しては内積の符号の扱いと同じ考え方をしています。