物理学などでは、微分方程式を座標変換して考える時があります。
例えば極座標における運動方程式や波動方程式を考えてみるといった事です。
そのような場合で特にベクトルを含む微分方程式を考える時には、
ｘ＝ｒcosθ等の関係の代入だけでなくベクトルの基本ベクトルを変更する事まで行う事があります。
普通はベクトルを成分で表す時には（ｘ座標，ｙ座標，ｚ座標）で考えるわけですが、
それを（ｒ座標，θ座標，φ座標）で表す事を意味します。
例えば運動方程式であれば加速度ベクトルや力ベクトルをそのように扱うという事です。
以下、微分も使いながら具体的な変換の方法などを詳しく説明します。
■この記事に特に関連が深い数学的な事項は方向余弦に関する内容と、極座標および球面座標に関する内容です。その他、記事の後半では微分に関する基本公式のいくつかを使用しています。ベクトルと三角関数に関する基本的な事項も使います。
基本ベクトルの変更をする必要がある場合と無い場合
極座標変換等をする場合の微分方程式については、
基本ベクトルを変更する必要がある場合と無い場合があります。
まず、変更の必要が無い場合を見てみましょう。
例えば「等速円運動をしている物体には常に中心力が働いている」という事を
運動方程式を使って示そうとするような場合です。
この時には物体の座標に対して極座標変換を行ってから時間微分を２回行って、
普通に運動方程式に当てはめて力ベクトルを計算する事には何の問題もありません。
このような場合は、極座標変換を使っていても基本ベクトルの変更が必要ない場合です。
少しややこしいようですがそのような場合には、
「ｘ＝ｒcos(ωｔ) のような極座標変換は確かに行ってはいるけれども、
ベクトルの座標成分としては直交座標によるものを考えている」のです。
ですので極座標による値によって計算をするとしても、
その結果は「ｘｙｚ直交座標系のｘ軸で測った値」を出しているわけです。
もう少し詳しく見ると、そのような場合には極座標変換を使用していますがベクトルとして考えている加速度ベクトルや力ベクトルは成分を「ｘ成分」「ｙ成分」「ｚ成分」として考えています。図的にはｘ軸、ｙ軸、ｚ軸に平行なベクトルの合計として１つの加速度ベクトルや力ベクトルを構成します。
では、加速度や力のベクトルを直交座標ではない成分表示で「ｒ成分」「θ成分」「φ成分」のように表して、図的にも「ある点での曲線の接線方向」を向いたベクトルの合計として１つの加速度ベクトルや力ベクトルを構成できるのか？
という事を考えると、結論を言うと「それは可能である」という事になるのです。
そのような場合の運動方程式は「力が質量と加速度に比例する」という関係は直交座標の時と同じですが、成分ごとに見るとある曲線の接線方向の加速度成分と力の成分を考える事になるわけです。
そのように考える時の具体的なベクトルの成分の変換方法を以下述べていきますが、
一般の曲線座標系への変換は話が複雑過ぎるので、物理学等で使われる事があって数学的にも比較的話が穏やかで済む直交曲線座標系への変換に限定して話を進めていきます。
（と言っても、それでも多少複雑になります。）
直交曲線座標とは、聞き慣れない事も多いかと思いますが
具体的には極座標や球面座標、円柱座標のようなものを指します。
これらの座標系では、座標軸に相当する「座標曲線」が任意の点で直交します。
通常のｘｙｚの直交座標系も、直交曲線座標系の特別な場合であるという見方もできます。
他方で、物理の法則を数式で表す時に座標系ごとに形を変換しないといけないというのでは一般論として議論する時に不便であるという考え方があります。
その考え方のもとで、変分原理による計算で導出する「座標系に依存しない運動方程式等の形」というものも存在します。（ラグランジュ型の運動方程式などとも呼ばれます。）
力学の分野である「解析力学」では、そのような考察を計算によって行います。
基本ベクトルと成分の直交曲線座標系への変換方法
ベクトルを含む微分方程式を座標系ごとの形に変換する時に、まず第一に重要となるのがベクトルを構成する基本ベクトルに対する成分の変換方法です。ここではその具体的な方法について説明します。
直交座標上のベクトルは、
（１，０，０）と（０，１，０）と（０，０，１）という
３つの基本ベクトルの線形結合で表す事ができます。
それらをそれぞれ\(\overrightarrow{e_x}\)，\(\overrightarrow{e_y}\)，\(\overrightarrow{e_z}\) と表す事にすると
任意のベクトルは実数a，ｂ，ｃを使って\(\overrightarrow{A}=a\overrightarrow{e_x}+b\overrightarrow{e_y}+c\overrightarrow{e_z}\)と書けます。
そして、ここで使った実数a，ｂ，ｃはそれぞれベクトルの成分であるわけです。
（数学の理論上はこれらの成分は複素数を使っても可です。）
曲線座標でも実は同じような考え方ができて、直交座標からの変換を考える時は基本ベクトルは「向きが座標曲線の勾配ベクトルである単位ベクトル」であり、ここで言う勾配ベクトルはｘ，ｙ，ｚで考えたものを指しています。
【■参考：ベクトル解析の概論の記事（勾配ベクトルの微分による定義など）】
より具体的には１つの座標曲線をｘｙｚ直交座標でu＝F(ｘ，ｙ，ｚ)で表せるとして grad u により表されますが、実際に直交曲線座標で考える時には「ｒ方向」「θ方向」「φ方向」といった形で図形的に把握していればよい事も多いと言えます。そこで、曲線座標における基本ベクトル \(\overrightarrow{e_r}\)，\(\overrightarrow{e_\theta}\)，\(\overrightarrow{e_{φ}}\) は分かっているものとして次に成分のほうを考えます。
| 直交座標系 | 曲線座標系 |
| $$\large{\overrightarrow{A}=A_x\overrightarrow{e_x}+A_y\overrightarrow{e_y}+A_z\overrightarrow{e_z}}$$ | $$\large{\overrightarrow{A}=A_r\overrightarrow{e_r}+A_{\theta}\overrightarrow{e_\theta}+A_{φ}\overrightarrow{e_φ}}$$ |
ここで、曲線座標系が直交曲線座標であるならば
ベクトルの成分の変換は局所的には方向余弦を使った線形結合の形で表す事ができます。
方向余弦とはその名の通り三角関数の cosθの形で表される量ですが、ここでは角度の値はあまり重要でないのでCの文字と添え字を使って表す事にします。
直交曲線座標系の３つの各基本ベクトルからの、直交座標系のｘ軸、y軸、ｚ軸への９つの方向余弦を次のようにここでは表記します。
| ここでの方向余弦の 記号の表 | ｘ軸に対して | ｙ軸に対して | ｚ軸に対する |
| ｒ曲線の基本ベクトル \(\overrightarrow{e_r}\)から | Crｘ | Crｙ | Crｚ |
| θ曲線の基本ベクトル \(\overrightarrow{e_\theta}\)から | Cθｘ | Cθｙ | Cθｚ |
| φ曲線の基本ベクトル \(\overrightarrow{e_{φ}}\)から | Cφｘ | Cφｙ | Cφｚ |
これらの方向余弦を使う事で、各点における基本ベクトルと個々のベクトルの成分を直交曲線座標系のものに変換できます。
上記の９つの方向余弦と、ｘｙｚ直交座標系での成分を使う事で
直交曲線座標系でのベクトルの３つの成分は次のように表されます。
$$\large{A_r=C_{rx}A_x+C_{ry}A_y+C_{rz}A_z}$$
$$\large{A_{\theta} =C_{\theta x}A_x+C_{\theta y}A_y+C_{\theta z}A_z}$$
$$\large{A_φ=C_{φx}A_x+C_{φy}A_y+C_{φz}A_z}$$
この式は、元々は「原点を共有する２つの直交座標におけるベクトルの成分の変換公式」です。
ただし直交曲線座標では基本ベクトルとなる３つのベクトルが互いに直交するので、
各点での方向余弦を関数として表すという前提のもと、同じ変換公式を適用できます。
そこで次は、これらの方向余弦は具体的にどのような数式で表されるのかが問題になります。
それが分れば一般の変換公式を作れるわけです。
変換で使う「方向余弦」を微分により表す公式
方向余弦とは基本的には「余弦」なので「底辺／斜辺」の関係を使います。ただし基本ベクトルは座標曲線の接線ベクトルとして考えていますから方向余弦も微分や偏微分で考える必要があります。また、直交曲線座標系の基本ベクトルからｘｙｚ直交座標系の軸への方向余弦の表し方は実は２つあって、どちらを使っても同じ結果を得ます。
座標曲線をu，ｖ，ｗとして、u＝u(ｘ，ｙ，ｚ)に対する
ｊ軸（ｘ，ｙ，ｚ軸のいずれか）の方向余弦は、
u の弧長をl(u)とした時に
次の２通りの表し方があります。
■勾配ベクトル（ｘｙｚ直交座標系で表したもの）を使う方法
勾配ベクトルは grad u＝（∂u／∂ｘ，∂u／∂ｙ，∂u／∂ｚ）で表されるベクトルであり
（ナブラ記号を使うと grad u＝∇u）、gradj uは勾配ベクトルのｊ成分で∂u／∂ｊの事です。
直交曲線座標系で成立する|gradu|＝ｄu／ｄｌの関係式も使っています（証明と説明は後述）。ｌはu曲線の弧長で、「u増加する向き」にｌが増える方向で考えます。（その時ｄu／ｄｌ≧０）
$$
C_{uj}=\frac{\mathrm{grad}_ju}{|\mathrm{grad}u|}=\frac{dl}{du}\frac{\partial u }{\partial j}
$$
■弧長を斜辺とする方法
（u曲線上では、他の座標曲線の変数は一定でｄｖ／ｄｌ＝０およびｄｗ／ｄｌ＝０）
$$
C_{uj}=\frac{dj}{dl}=\frac{\partial j}{\partial u}\frac{du}{dl}+\frac{\partial j}{\partial v}\frac{dv}{dl}+\frac{\partial j}{\partial w}\frac{dw}{dl}$$
$$
=\frac{\partial j}{\partial u}\frac{du}{dl}$$
弧長に対するuによる微分での導関数ｄｌ／ｄuは次のように表されます。
$$\frac{dl}{du}=\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^2}$$
また、ｄｌ／ｄuは１変数の導関数なのでｄu／ｄｌを次のように表せます。
（逆関数の微分公式によります。）
$$\frac{du}{dl}=\frac{1}{\Large{\frac{dl}{du}}}=\frac{1}{\large{\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^2}}}$$
極座標や球面座標への基本ベクトルおよび成分の変換を行う時には
具体的にはｘ＝ｒcosθなどと表す事から∂ｘ／∂θなどが計算しやすい場合が多くあります。その時には上記の「弧長を斜辺とする方法」を使ったほうが比較的分かりやすくなります。（この記事の後半でもそちらの形の公式を使用。）
ｄｌ／ｄθ や ｄθ／ｄｌを表す事になる弧長の式については、次に見て行くように球面座標であればｒ，θ，φの３つ分計算しておく必要があります。平面の極座標であればｒとθの２つ分です。
曲線の弧長については元々は定積分で次のように書く事ができて、
上記ではそれを微分した導関数を使用しています。$$l(u)=\int_0^u\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^2}dt$$
微分は、ここでの変数で言うとuで行います。
この式は曲線を折れ線に近似して図的に見る事でも理解可能ですが、解析学的に証明もできる式です。
同じ方向余弦の表し方が２つ存在する事と、
|grad u|＝ｄu／ｄｌの関係式についての証明と説明
勾配ベクトルについて一般的に成立するのは、スカラー場の値が一定値となっている「等位面」に対して必ず垂直であるというものです。（以下、等位面に含まれる曲線を「等位線」と呼んでおきます。）
極座標のθ曲線である「原点を中心とする同心円」の円周上では
半径が一定であり同心円は「ｒが一定値である等位線」を構成しています。
球面座標ではｒが一定値の球面が等位面として存在します。
スカラー関数F(ｘ，ｙ，ｚ)と弧長がｌで表される曲線があるとして、曲線上の座標を成分とするベクトルを\(\overrightarrow{r}=(x(l),y(l),z(l))\)とします。
曲線上でｄＦ／ｄｌを計算すると次式になります。（合成関数に対する偏微分の公式を使用。）$$\frac{dF}{dl}=\frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{dl}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dl}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{dz}{dl}=(\mathrm{grad}F)\cdot\frac{d\overrightarrow{r}}{dl}$$
$$ここでもし\frac{dF}{dl}=0であるなら、(\mathrm{grad}F)\cdot\frac{d\overrightarrow{r}}{dl}=0$$
つまり「Fの値が変化しない曲線」＝「Fの等位線」においては
「Fの勾配ベクトルは曲線の接線ベクトルに常に垂直」という事になります。
ところで、直交曲線座標においては１つの座標曲線上では他の変数の値が一定であり、ｒ曲線とφ曲線上でθは一定値です。
また、θ曲線上の任意の点ではｒ曲線およびφ曲線との交点が存在します。
【より詳しく言えばこれらの曲線は「曲面」を構成しています。】
ところで直交曲線座標系であればｒ曲線およびφ曲線はθ曲線との交点で直交します。
これは具体的には任意の点での「曲線の接線ベクトル」同士が直交するという意味です。
先ほどの考察から、勾配ベクトル gradθ は
「θが一定値であるφ曲線およびθ曲線上の任意の点」での接線ベクトルに直交します。
よって、gradθ はu曲線上の任意の点において、その点でu曲線と交わるφ曲線およびθ曲線に直交しています。
そして、u曲線自体もφ曲線およびθ曲線に直交しているのでした。
という事はその点においてu曲線の接線ベクトルとgradθは平行なベクトルである事になり、それはすなわちgradθがその点におけるθ曲線の接するベクトルの１つである事を示しています。
先ほどのｄＦ／ｄｌの式においてFの代わりにθを考えると
$$\frac{d\theta}{dl}=\frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{dx}{dl}+\frac{\partial \theta}{\partial y}\frac{dy}{dl}+\frac{\partial \theta}{\partial z}\frac{dz}{dl}=(\mathrm{grad}\theta)\cdot\left(\frac{dx}{dl},\hspace{2pt}\frac{dy}{dl},\hspace{2pt}\frac{dz}{dl}\right)$$
と表せるわけですが
ｄｘ／ｄｌ等は、大きさがΔｌであるベクトル（Δｘ，Δｙ，Δｚ）における
方向余弦
であるΔｘ／ΔｌのΔｌ→０の極限値でもあります。
すると、方向余弦についての関係式により、
θ曲線の接線ベクトル（ｄｘ／ｄｌ，ｄｙ／ｄｌ．ｄｚ／ｄｌ）方向の
gradθの成分はｄθ／ｄｌである事になります。
よって、何らかの余弦cosω（）を使って|gradθ|cosω＝ｄθ／ｄｌと表せる事になりますが、
θ曲線の接線ベクトルと gradθは同じ点でθ曲線に接するのでcosωの値は１か－１です。
上式でF＝u(ｘ，ｙ，ｚ)で表す場合【より正確にはこれは曲面を表します】には、弧長であるｌは「u増加する向きにｌが増えて行く方向」で考えます。
そのためｄu／ｄｌ ≧０であるので、
cosω＝１であり（－１ではなく、という意味）|gradθ|＝ｄθ／ｄｌ
するとgradθとθ曲線の接線ベクトルは同じ向きのベクトルであるのでｘ軸，y軸，ｚ軸への方向余弦は「直角三角形の底辺／斜辺」＝「直交座標系でのベクトルの成分／ベクトルの大きさ」として同じ値を持ちます。
（向きは同じでも、ベクトルの大きさは異なります。|gradθ|＝ｄθ／ｄｌですがこれは接線ベクトルの大きさとは一般的に異なります。）
以上の事は直交曲線座標系の任意のu曲線で成立します。
補足として、ベクトルの「方向余弦」自体は余弦 cosθ であるので、軸に対する向きが同じであれば大きさはどのようなベクトルであっても底辺／斜辺の関係で方向余弦を表す事ができます。
つまり数学的には１つの方向余弦の表し方は無限にあるわけですが、ここでの一般的な変換に使えるような微分による方向余弦の表し方の方法としては上記の２通りがあるという事になります。
変換の具体例１（平面の極座標変換の場合）
ベクトルの基本ベクトルと成分に対して具体的に平面での極座標変換をしてみます。平面なので必要な方向余弦は４つで、それを表すために偏微分が４つと弧長の式が２つ必要になります。
まず、ｘとｙに対するｒとθの偏微分です。
| 極座標変換の時 | ∂／∂ｒ | ∂／∂θ |
| ｘ＝ｒcosθ | cosθ | －ｒsinθ |
| ｙ＝ｒsinθ | sinθ | ｒcosθ |
次に弧長の計算です。∂ｘ／∂ｒなどを計算してあるので、公式に代入します。
ｄｒ／ｄｌなどを使う事になりますが、まずはｄｌ／ｄｒの形で記しておきます。
$$\frac{dl}{dr}=\sqrt{(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2}=1$$
$$\frac{dl}{d\theta}=\sqrt{(-r\sin\theta)^2+(-\cos\theta)^2}=\sqrt{r^2}=r$$
このように意外と簡単な式になります。
さらに、θのほうの弧長の式で出てきたｒは∂ｘ／∂θの式にあるｒと打ち消して方向余弦の値には含まれなくなります。（そのように計算が簡単になる事は一般的に保証されるわけではありませんが、球面座標の場合でも同じ事が起こります。）
方向余弦はCｒｘ＝(∂ｘ／∂ｒ)・(ｄｒ／ｄｌ)＝cosθ のように計算します。
θについては例えばCθｘ＝(∂ｘ／∂θ)・(ｄｒ／ｄｌ)＝(－ｒsinθ)・(１／ｒ)＝－sinθです。
先ほど述べたようにｒは打ち消して式から無くなるわけです。
４つの方向余弦は具体的には次のような形になります。
- Crｘ＝(∂ｘ／∂ｒ)・(ｄｒ／ｄｌ)＝cosθ
- Crｙ＝(∂ｘ／∂ｒ)・(ｄｒ／ｄｌ)＝sinθ
- Cθｘ＝(∂ｘ／∂ｒ)・(ｄｒ／ｄｌ)＝－sinθ
- Cθｙ＝(∂ｘ／∂ｒ)・(ｄｒ／ｄｌ)＝cosθ
よってｒθ極座標系での基本ベクトルでの\(\overrightarrow{A}\)の成分は
Ａｒ＝CｒｘAｘ＋CｒｙＡｙ＝Aｘcosθ－Ａｙsinθ
Ａθ＝CθｘAｘ＋CθｙＡｙ＝Aｘsinθ＋Ａｙcosθ であり、
\(\overrightarrow{A}\)＝（Aｘcosθ－ＡｙsinθＡθ ，Aｘsinθ＋Ａｙcosθ）となります。
ところでこれらについて運動方程式等に適用するために微分を考える場合などはどうなるのか？という事については後述します。時間微分に関しては得られた変換の結果の式をそのままｔで微分すればよいのですが、元の座標系の値であるAｘに関する処理が必要となります。
ｘｙ直交座標系からｒθ極座標系に基本ベクトルと成分を変換する式は次のようになります。
$$A_r=\hspace{7pt}A_x\cos\theta+A_y\sin\theta$$
$$A_{\theta}=-A_x\sin\theta+A_y\cos\theta$$
平面極座標への変換の場合には、直交座標を原点回りに回転させる形で
各点での局所的な変換を行うものとして図から導出する事もできます。
変換の具体例２（球面座標変換の場合）
次に球面座標の場合を見てみます。角度のとりかたはθとφの２箇所がありますが、ここでは平面極座標との関連を見やすくするためにθをｘｙ平面での角度にとり、Φをｒ曲線（と言っても直線ですが）とｚ軸のなす角にとって考えます。
９つの偏微分と３つの弧長をまとめると次の通りです。
| 球面座標変換の時 | ∂／∂ｒ | ∂／∂θ | ∂／∂φ |
| ｘ＝ｒsinφcosθ | sinφcosθ | －ｒsinφsinθ | ｒcosφcosθ |
| ｙ＝ｒsinφsinθ | sinφsinθ | ｒsinφcosθ | ｒcosφsinθ |
| ｚ＝ｒcosφ | cosφ | ０ | －ｒsinφ |
| 弧長 | 式 | 逆数（ｄｒ／ｄｌなど） |
| ｄｌ／ｄｒ | １ | １ |
| ｄｌ／ｄθ | ｒsinφ | １／(ｒsinφ) |
| ｄｌ／ｄΦ | ｒ | １／ｒ |
弧長の式に関する具体的な計算は次のようになります。 $$\frac{dl}{dr}=\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial r}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial r}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)^2}=\sqrt{(\sin φ\cos\theta)^2+(\sinφ\sin\theta)^2+(\cos φ)^2}$$ $$=\sqrt{\sin^2φ(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+\cos^2φ}=\sqrt{\sin^2φ+\cos^2φ}=1\hspace{60pt}$$ $$\frac{dl}{d\theta}=\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial \theta}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial \theta}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial \theta}\right)^2} =\sqrt{(r\sin φ\sin\theta)^2+(r\sinφ\cos\theta)^2+0^2}\hspace{15pt}$$ $$=\sqrt{r^2\sin^2φ(\sin^2\theta+\cos^2\theta)}=\sqrt{r^2\sin^2φ}=r\sin φ\hspace{105pt}$$ $$\frac{dl}{dφ}=\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial φ}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial φ}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial φ}\right)^2}\hspace{200pt}$$ $$ =\sqrt{(r\cos φ\cos\theta)^2+(r\cosφ\sin\theta)^2+(r\sin φ)^2}\hspace{115pt}$$ $$=\sqrt{r^2\cos^2φ(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+r^2\sin^2 φ}=\sqrt{r^2(\cos^2φ+\sin^2φ)}=\sqrt{r^2}=r\hspace{0pt}$$ ｄｌ／ｄθの計算では、角度φは正弦sinφが０以上の値をとる範囲で考えるとします。それは０≦φ≦πの範囲になりますが、図的に見てもその範囲だけで考えても十分である事になります。それは球面座標においてはθの変化もあるからです。
以下、上記の結果と公式を適用して計算をしていく事で
基本ベクトルを直交座標から球面座標に変換した時のベクトルの変換の公式を得ます。
$$
方向余弦の式\hspace{5pt}C_{uj}=\frac{\partial j}{\partial u}\frac{du}{dl}\hspace{5pt}【u=r,\theta,φ\hspace{3pt}j=x,y,z】$$
$$（具体例）C_{\theta y}=\frac{\partial y}{\partial \theta}\frac{d\theta}{dl}=(r\sinφ\cos\theta)\cdot\frac{1}{r\sinφ}=r\cos\theta$$
| 方向余弦 | ｘ軸 | ｙ軸 | ｚ軸 |
| r 曲線 | Cｒｘ＝sinφcosθ | Cｒｙ＝sinφsinθ | Cｒｚ＝cosφ |
| θ 曲線 | Cθｘ＝－sinθ | Cθｙ＝cosθ | Cθｚ＝0 |
| φ 曲線 | Cφｘ＝cosφcosθ | Cφｙ＝cosφsinθ | Cφｚ＝－sinφ |
| r 成分 | Aｒ＝ | CrｘAx＋CrｙAy＋CrｚAz | ＝ Axsinφcosθ＋Aysinφsinθ＋Azcosφ |
| θ 成分 | Aθ＝ | CθｘAx＋CθｙAy＋CθｚAz | ＝－Axsinθ＋Aycosθ |
| φ 成分 | Aφ＝ | CφｘAx＋CφｙAy＋CφｚAz | ＝ Axcosφcosθ＋Aycosφsinθ－Azsinφ |
φ＝π／２の時、すなわちｒ曲線が常にｘｙ平面にある時には
sinφ＝１および cosφ＝０を代入し、
さらにもとの直交座標でｚ成分Aｚ＝０とすれば平面極座標の時の変換公式になります。
（θ成分への変換式はφもAｚも含んでおらず、実は極座標の時と同じ式です。）
これらの式は
「ｘｙ平面での角度をΦとしてz軸とｒ曲線のなす角をθとした場合」には、
θとφを入れ換える事になります。
| r 成分 | Aｒ＝ | CrｘAx＋CrｙAy＋CrｚAz | ＝ Axsinθcosφ ＋Aysinθsinφ ＋Azcosθ |
| φ 成分 | Aφ＝ | CφｘAx＋CφｙAy＋CφｚAz | ＝－Axsinφ＋Aycosφ |
| θ 成分 | Aθ＝ | CθｘAx＋CθｙAy＋CθｚAz | ＝ Axcosθcosφ＋Aycosθsinφ－Azsinθ |
これらの式は単なるθとφの文字の置き換えをしただけであり、
何か新しい変換を行ったという事ではありません。
図のφ＝π／２と合わせて「ベクトルのφ成分の時間微分が０である」という条件も考えると一般論としての球面座標から移行を考える事ができます。
運動方程式の球面座標系での成分表示の導出
各成分に対する時間微分を考える時には、直交座標での「ベクトルの時間微分」を１つのベクトルと考えて上記の変換公式を適用します。考え方は、１階の微分でも２階の微分でも同じになります。
- 直交座標の成分に対する時間微分ｄＡｘ／ｄｔなどを計算します。
（２階微分をする時はｄ２Ａｘ／ｄｔ２を計算します。）
ただし、計算結果は変換後の変数であるｒやθで表す必要があります。 - ベクトルの時間微分(ｄ／ｄｔ)\(\overrightarrow{A}\) は１つのベクトルであるので、変換の公式を適用して基本ベクトルの変換を行います。
- 変換の式に含まれる「直交座標で考えた時の成分」に、直交座標で考えた時間微分ｄＡｘ／ｄｔなどを代入します。
一番簡単な例（と言っても多少複雑ですが）で、
尚且つ重要なベクトルは物体の位置を表す\(\overrightarrow{r}\)＝（ｘ，ｙ，ｚ）です。
何の断り書きもなければ直交座標の成分で表されています。
次に、\(\overrightarrow{r}\)＝（ｘ，ｙ，ｚ）に対する
１階の時間微分を表す速度ベクトル\({\overrightarrow{v}=\Large\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}}\)＝(ｖｘ，ｖｙ，ｖｚ)と、
２階の時間微分である加速度ベクトル\(\overrightarrow{a}=\Large{\frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2}}\)＝(aｘ，aｙ，aｚ)について
基本ベクトルを球面座標系に変化した場合の成分はどうなるかを見てみます。
（その特別な場合として平面極座標への変換も分かります。）
ｖｘ＝ｄｘ／ｄｔ，ｖｙ＝ｄｙ／ｄｔ，ｖｚ＝ｄｚ／ｄｔおよび
aｘ＝ｄ２ｘ／ｄｔ２，aｙ＝ｄ２ｙ／ｄｔ２，aｚ＝ｄ２ｚ／ｄｔ２
ｒ，θ，φの時間微分については２階微分のほうの式が少し複雑なので「ドット」で表すのがここでは便利です。ドットが２つ付いていたら２階での時間微分を意味します。
ｄｒ／ｄｔ＝\(\dot{r}\)， ｄθ／ｄｔ＝\(\dot{\theta}\)， ｄφ／ｄｔ＝\(\dot{\varphi}\)
ｄ２ｒ／ｄｔ２＝\(\ddot{r}\)， ｄ２θ／ｄｔ２＝\(\ddot{\theta}\)， ｄ２φ／ｄｔ２＝\(\ddot{\varphi}\)
の表記で式を整理します。
ｘとｙについては積の微分公式を２回使う形で計算をします。
また、θやφをｔの関数として考えているので
合成関数の微分公式も同時に使っていく事になります。
例えば sinθやcosφなどの項の時間微分は
(ｄ／ｄｔ)sinθ＝(ｄθ／ｄｔ)cosθ=\(\dot{\theta}\cos\theta\)
(ｄ／ｄｔ)cosφ＝－(ｄφ／ｄｔ)sinφ=\(-\dot{\varphi}\sin\varphi\) のようになります。
等速円運動の時のようにｘ＝Rcos(ωｔ)などとする例ではｒ＝Ｒは定数であり、θ＝ωｔの時間微分だけを考えれば良い事になります。（また、平面運動なのでφは式に含まれません。）
しかしここではｒ，θ，φがいずれもｔの関数であるとして一般的な式の形を書きます。
| \(\overrightarrow{r}\)＝（ｘ，ｙ，ｚ） | ｄ／ｄｔ |
| ｘ＝ｒsinφcosθ | \(\dot{r}\sin\varphi\cos\theta+\dot{\varphi}r\cos\varphi\cos\theta-\dot{\theta}r\sin\varphi\sin\theta\) |
| ｙ＝ｒsinφsinθ | \(\dot{r}\sin\varphi\sin\theta+\dot{\varphi}r\cos\varphi\sin\theta+\dot{\theta}r\sin\varphi\cos\theta\) |
| ｚ＝ｒcosφ | \(\dot{r}\cos\varphi-\dot{\varphi}r\sin\varphi\) |
次に、理論的には１階微分をさらに時間微分する形で２階微分を計算して変換の公式に当てはめれば良い事になりますが、その直接計算は実はかなり面倒です。
具体的な計算式は補足・参考用の資料として記事の最後に載せるとして、計算結果の式は次のようになります。
２階の時間微分を計算後、
加速度ベクトルに変更の公式を適用するとｒ，θ，φ成分は次のようになります。
$$a_r=\ddot{r}-\dot{\varphi}^2r-\dot{\theta}^2r\sin^2\varphi$$
$$a_{\theta}=2\dot{r}\dot{\theta}\sin\varphi+2r\dot{\varphi}\dot{\theta}\cos\varphi+r\ddot{\theta}\sin\varphi$$
$$a_{\varphi}=2\dot{r}\dot{\varphi}+r\ddot{\varphi}-r\dot{\theta}^2\sin\varphi\cos\varphi$$
また、θ成分に関しては次のようにも書けます。
$$a_{\theta}=\frac{1}{r\sin\varphi}\frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta}\sin^2\varphi\right)$$
ここではｘｙ平面の角度をθとしているので、
もしその角度をφとおくなら上式はθとφの文字を入れ替えた形になります。
上式でφ＝π／２とおき、時間によるφの変化はないなら平面の極座標での変換を表します。
φ成分がなくなり、ｒ成分とθ成分の式中でsinφ＝１となるので式は比較的簡単になります。
球面座標系への加速度ベクトルの変換の式においてφ＝π／２かつｄφ／ｄｔ＝０であれば
平面における極座標での加速度ベクトルの変換の式になります。
$$a_r=\ddot{r}-\dot{\theta}^2r$$
$$a_{\theta}=2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta}\right)$$
ここではｘｙ平面の角度をθとしているので、
もしその角度をφとおくなら上式はθとφの文字を入れ替えた形になります。
これらの結果から、球面座標系での運動方程式を作る事ができます。
運動方程式は「力ベクトル＝加速度ベクトルと質量の積」という形です。そこで、成分に分けた時に加速度ベクトルの成分として上記の式を使えばよいわけです。それらの成分とはｘ成分やｙ成分ではなく、ｒ成分やθ成分であるわけです。
球面座標系で運動方程式はｒ成分、θ成分、φ成分ごとに次のように表されます。
加速度ベクトルに変更の公式を適用するとｒ，θ，φ成分は次のようになります。
$$F_r=m\left(\ddot{r}-\dot{\varphi}^2r-\dot{\theta}^2r\sin^2\varphi\right)\hspace{5pt}(=ma_r)$$
$$F_{\theta}=m\left(2\dot{r}\dot{\theta}\sin\varphi+2r\dot{\varphi}\dot{\theta}\cos\varphi+r\ddot{\theta}\sin\varphi\right)\hspace{5pt}(=ma_\theta)$$
$$F_{\varphi}=m\left(a_{\varphi}=2\dot{r}\dot{\varphi}+r\ddot{\varphi}-r\dot{\theta}^2\sin\varphi\cos\varphi\right)\hspace{5pt}(=ma_\theta)$$
平面の極座標においては次のようになります。
$$F_r=m\left(\ddot{r}-\dot{\theta}^2r\right)$$
$$F_{\theta}=m\left(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\right)=\frac{m}{r}\frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta}\right)$$
このように運動方程式を書く時には、
力ベクトルの成分も加速度ベクトル同様にｒ成分、θ成分、φ成分として表されます。
「力」は任意の方向にベクトルと同じ規則で分解できるので（実験で示されます）、
自由な方向での成分を考える事ができます。
これを見ると、一応そのように表せるといっても結構複雑です。直交曲線座標の中では比較的構造が単純で分かりやすい球面座標系であっても、加速度ベクトルや運動方程式をその座標系で考えるとなると直交座標系からの基本ベクトルと成分の変換はそれほど容易でない事が分かります。
平面上の極座標で見れば比較的形は簡単にはなりますが、直交座標での形と比べるとやはり複雑さは増しています。運動方程式の極座標系での成分表示は、回転を伴う運動の一部の解析では有効に機能します（例えば万有引力だけが働く物体の軌道を調べる時など）。
参考：球面座標に変換後の加速度ベクトルの成分計算
参考資料として、非常に地味ですが
速度ベクトルの加速度ベクトルの各成分を直接計算した場合の式を記します。
ここでの計算では、積の微分の規則から式全体は \(\ddot{r}\)の項や\(\dot{r}\dot{\theta}\)の項に分けて、変換の公式を適用までした値を１つずつ計算して最後に合計値を出します。それら自体は単なる微分と三角関数の計算問題なので、「確かに結果の式が直接計算でも得られる」という事を見るための参考用資料です。
| r 成分 | Aｒ＝ | CrｘAx＋CrｙAy＋CrｚAz | ＝ Axsinφcosθ＋Aysinφsinθ＋Azcosφ |
| θ 成分 | Aθ＝ | CθｘAx＋CθｙAy＋CθｚAz | ＝－Axsinθ＋Aycosθ |
| φ 成分 | Aφ＝ | CφｘAx＋CφｙAy＋CφｚAz | ＝ Axcosφcosθ＋Aycosφsinθ－Azsinφ |
| \(\overrightarrow{r}\)＝（ｘ，ｙ，ｚ） | ｄ／ｄｔ（１階微分） |
| ｘ＝ｒsinφcosθ | \(\dot{r}\sin\varphi\cos\theta+\dot{\varphi}r\cos\varphi\cos\theta-\dot{\theta}r\sin\varphi\sin\theta\) |
| ｙ＝ｒsinφsinθ | \(\dot{r}\sin\varphi\sin\theta+\dot{\varphi}r\cos\varphi\sin\theta+\dot{\theta}r\sin\varphi\cos\theta\) |
| ｚ＝ｒcosφ | \(\dot{r}\cos\varphi-\dot{\varphi}r\sin\varphi\) |
具体的なｒ，θ，φ成分の計算
ｔによる２階導関数（２階微分）はｒ，θ，φ成分のいずれにも共通して使えます。
異なるのは変換公式における方向余弦になります。
この表は、例えば式中の\(\ddot{r}\)の項の係数は
２階微分を行った時点の変換前でｘにおいては\(\ddot{r}\)sinφcosθであり、
ｒ成分への変換用の方向余弦sinφcosθを乗じるとsin２φcos２θとなっている事を記しています。
ｙとｚについても同様に計算し、例として\(\ddot{r}\)の項については合計すると係数の値は１になります。
sin２θ＋cos２θ＝１の関係などで三角関数の大部分は式から消えて、
プラスマイナスで打ち消して無くなる項も多くあるために
最終的な結果で残る項は比較的少なくなります。
| \(\ddot{r}\) | 変換前 | ｒ成分 | θ成分 | φ成分 |
| ｘ由来 | sinφcosθ | sin２φcos２θ | －sinφsinθcosθ | sinφcosφcos２θ |
| ｙ由来 | sinφsinθ | sin２φsin２θ | sinφsinθcosθ | sinφcosφsin２θ |
| ｚ由来 | cosφ | cos２φ | ０ | －sinφcosφ |
| 合計 | ・・・ | １ | ０ | ０ |
| \(\dot{r}\dot{\theta}\) | 係数 | ｒ成分 | θ成分 | φ成分 |
| ｘ由来 | －2sinφsinθ | －2sin２φsinθcosθ | －2sinφsin２θ | －2sinφcosφ sinθcosθ |
| ｙ由来 | 2sinφcosθ | 2sin２φsinθcosθ | 2sinφcos２θ | 2sinφcosφ sinθcosθ |
| ｚ由来 | なし | なし | なし | なし |
| 合計 | ・・・ | ０ | ２sinφ | ０ |
| \(\dot{r}\dot{\varphi}\) | 変換前 | ｒ成分 | θ成分 | φ成分 |
| ｘ由来 | ２cosφcosθ | ２cosφsinφcos２θ | －２cosφcosθsinθ | ２cos２φcos２θ |
| ｙ由来 | ２cosφsinθ | ２cosφsinφsin２θ | ２cosφcosθsinθ | ２cos２φsin２θ |
| ｚ由来 | －２sinφ | －２cosφsinφ | ０ | ２sin２φ |
| 合計 | ・・・ | ０ | ０ | ２ |
| \(\ddot{\varphi}\) | 変換前 | ｒ成分 | θ成分 | φ成分 |
| ｘ由来 | ｒcosφcosθ | ｒsinφcosφcos２θ | －ｒcosφcosθsinθ | ｒcos２φcos２θ |
| ｙ由来 | ｒcosφsinθ | ｒsinφcosφsin２θ | ｒcosφcosθsinθ | ｒcos２φsin２θ |
| ｚ由来 | －ｒsinφ | －ｒsinφcosφ | ０ | ｒsin２φ |
| 合計 | ・・・ | ０ | ０ | ｒ |
| \(\dot{\varphi}^2\) | 変換前 | ｒ成分 | θ成分 | φ成分 |
| ｘ由来 | －ｒsinφcosθ | －ｒsin２φcos２θ | ｒsinφcosθsinθ | －ｒcosφsinφcos２θ |
| ｙ由来 | －ｒsinφsinθ | －sin２φsin２θ | －ｒsinφcosθsinθ | －ｒcosφsinφsin２θ |
| ｚ由来 | ｒcosφ | －ｒcos２φ | ０ | ｒcosφsinφ |
| 合計 | ・・・ | －ｒ | ０ | ０ |
| \(\ddot{\theta}\) | 変換前 | ｒ成分 | θ成分 | φ成分 |
| ｘ由来 | －ｒsinφsinθ | －ｒsin２φcosθsinφ | ｒsinφsin２θ | －ｒcosφsinφ cosθsinθ |
| ｙ由来 | ｒsinφcosθ | ｒsin２φcosθsinφ | ｒsinφcos２θ | ｒcosφsinφ cosθsinθ |
| ｚ由来 | なし | なし | なし | なし |
| 合計 | ・・・ | ０ | ｒsinφ | ０ |
| \(\dot{\theta}^2\) | 変換前 | ｒ成分 | θ成分 | φ成分 |
| ｘ由来 | －ｒsinφcosθ | －ｒsin２φcos２θ | ｒsinφcosθsinθ | －ｒcosφsinφ cos２θ |
| ｙ由来 | －ｒsinφsinθ | －ｒsin２φsin２θ | －ｒsinφcosθsinθ | －ｒcosφsinφ sin２θ |
| ｚ由来 | なし | なし | なし | なし |
| 合計 | ・・・ | －ｒsin２φ | ０ | －ｒcosφsinφ |
| \(\dot{\theta}\dot{\varphi}\) | 変換前 | ｒ成分 | θ成分 | φ成分 |
| ｘ由来 | －2ｒcosφsinθ | －2cosφsinφcosθsinθ | 2ｒcosφsin２θ | －2ｒcos２φ cosθsinθ |
| ｙ由来 | 2ｒcosφcosθ | 2cosφsinφosθsinθ | 2ｒcosφcos２θ | 2ｒcos２φ cosθsinθ |
| ｚ由来 | なし | なし | なし | なし |
| 合計 | ・・・ | ０ | 2ｒcosφ | ０ |
成分ごとに合計すると、加速度ベクトルの変換後の各成分は
\(a_r＝\dot{r}-\dot{\varphi}^2r-\ddot{\theta}^2r\sin^2\varphi\)
\(a_{\theta}＝2\dot{r}\dot{\theta}\sin\varphi+2\dot{\theta}\dot{\varphi}r\cos\varphi+\ddot{\theta}r\sin\varphi\)
\(a_{\varphi}＝2\dot{r}\dot{\varphi}+\ddot{\varphi}r-\dot{\theta}^2r\cos\varphi\)
になります。
他の計算の仕方としては、変換の公式を先に使って例えばｖｒ＝ｖxsinφcosθ＋ｖysinφsinθ＋ｖzcosφの形で表して、その式の時間微分をするという方法もあります。その場合でも計算式は多少長くなります。