電磁場の波動方程式と真空中の電磁波の式

• 電場と磁場の波動方程式
• 電磁波と光の関係
• 導出に必要な式および法則・記号・公式等
• 電場についての波動方程式の導出
• 磁場についての波動方程式の導出
• ポテンシャルによる電磁場の波動方程式の導出
• 平面波解として得られる電磁波の式
• ポテンシャルによる計算から得られる電磁波の式

個々のマクスウェル方程式の性質や数式的な解析は他記事で詳しく説明しています。

• ガウスの法則（電場および磁場）
• アンペールの法則
• 電磁誘導の法則
• 電流密度ベクトル
• 静磁場のベクトルポテンシャル
• ベクトル解析の概論
• ナブラ記号の使い方

真空中でρ＝０および\(\overrightarrow{j}\)＝０である条件では
電場と磁場のそれぞれについて成立する式は、
微分方程式としては次のように３次元の場合の波動方程式になります。

ε_０は真空の誘電率、μ_０は真空の透磁率です。
係数については光の速さｃ＝１／\(\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\)を使って書いても同じです。
また、方程式を左辺と右辺に分けて書いても同じ微分方程式を表します。

マクスウェル方程式から導出されるもとの形の式は次の通りです。 $$\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\overrightarrow{E}=\frac{1}{\epsilon_0}\mathrm{grad}\rho+\mu_0\frac{\partial\overrightarrow{j}}{\partial t}$$ $$\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\overrightarrow{B}=-\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}$$ 一般の場合では電場と磁場の両方の式に電流密度が関係してくる事になります。

右辺を０とみなせる状況下では普通の波動方程式の形になります。
ただし、後述するこの式の解は右辺の電荷密度と電流密度が０でない場合も含んだ形の解です。

これは電磁現象に限らず一般の波動について言える事で、
例えば速さｖで「波形」が進行するsin(ｋｘ－ωｔ)のような形の関数はω／ｋ＝ｖのもとで
\(\left(\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial x^2}-\frac{\Large k^2}{\Large \omega^2}\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\right)\sin(kx-\omega t)=0\) を満たします。
この時に時間で偏微分する項の係数の逆数の平方根（プラスの値）はω／ｋで、
ωは角速度または角周波数で周期Ｔとω＝２π／Ｔの関係があります。
またｋは波数で波長λとｋ＝２π／λの関係があるのでω／ｋ＝(２π／Ｔ){λ／(２π)}＝λ／Tです。
ここで波の進行の速さｖはｖ＝λ／Tで表されるので、ω／ｋ＝ｖとなっています。
正弦波に限らず波動に対しては速さを考える事ができ、また正弦波でない波動を正弦波の重ね合わせとして考える方法もあります。

電磁波の式の導出の時には２階の時間微分を使うのでラプラス演算子を使うと表記が便利です。
これはナブラによって表記できますがベクトルに対してはdiv, rot, grad の簡単な組み合わせでは書けません。
ただしスカラー場に対しては∇^２φ ＝ div(gradφ) の関係は成立します。

■「ベクトル場の回転」に回転をさらに作用させた時の式

■ラプラス演算子（∇^２または△）
【これは記号として定義するものです。スカラーに対してもベクトルに対しても使えます。】 $$\nabla^2\overrightarrow{F}=△\overrightarrow{F}= \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\overrightarrow{F}$$ $$=\frac{\partial^2\overrightarrow{F}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\overrightarrow{F}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\overrightarrow{F}}{\partial z^2}$$ ■勾配ベクトルや発散に対する時間による偏微分
勾配や発散で使われる偏微分は座標変数によるものであり、
微分可能（ここでは２階まで）な関数であれば偏微分の順序は入れ換える事ができるので $$\frac{\partial}{\partial t}(\mathrm{grad}\phi)=\mathrm{grad}\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)$$ $$\frac{\partial}{\partial t}\left(\mathrm{div}\overrightarrow{F}\right)=\mathrm{div}\left(\frac{\partial\overrightarrow{F}}{\partial t}\right)$$ のように式を変形できます。
■その他のベクトル解析の公式

• スカラー場φに対して、∇^２φ＝div (gradφ)
• \(r=\sqrt{(x-a_1)^2+(y-a_2)^2+(z-a_3)^2}\)に対して、
  ｒ≠０の時 ∇^２(１／ｒ)＝div {grad(１／ｒ)}＝０
• \(\overrightarrow{r}＝(x－a_1,\hspace{2pt}y－a_2,\hspace{2pt}z－a_3)\)
  \(\overrightarrow{R}＝\frac{\Large 1}{\Large r}(x－a_1,\hspace{2pt}y－a_2,\hspace{2pt}z－a_3)\) の時、
  grad(φ／ｒ)＝φgrad(１／ｒ)＋(１／ｒ)gradφ
  ＝\(-\frac{\Large\varphi}{\Large r^2}\overrightarrow{R}+\frac{\Large 1}{\Large r}\mathrm{grad}\varphi\)
• grad（１／ｒ）＝－{１／(ｒ^３)} \overrightarrow{r}
• \(\mathrm{div}(r^n\overrightarrow{r})＝(n+3)r^3\)
  特にｎ＝－１の時、\(\mathrm{div}\overrightarrow{R}=\mathrm{div}\left(\frac{\Large 1}{\Large r}\overrightarrow{r}\right)＝2r^{-1}=\frac{\Large 2}{\Large r}\)
• (∂／∂ｘ)ｒ＝ (x―a_１)／ｒ
• ∇^２(φ_１φ_２)＝∇^２φ_１＋２(gradφ_１)・(gradφ_２)＋∇^２φ_２
  （積の微分公式を２回使う事に由来。第２項は内積です。）
• div(φ\(\overrightarrow{F}\))＝(gradφ)・\(\overrightarrow{F}\)＋φdiv\(\overrightarrow{F}\)

以下ではラプラス演算子のみナブラ記号による∇^２を使用し、
その他は div, grad 等の表記を使います。それらは全てナブラ記号で表現する事は可能です。

このゲージ条件を特に「ローレンツ条件」と呼ぶ事があります。 $$\mathrm{div}\overrightarrow{A}+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\phi}{\partial t}=0$$ $$\left(あるいは光の速さcを使って\mathrm{div}\overrightarrow{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}=0\right)$$ 下記では、この式の時間微分を考えたものと、勾配を考えたものも使用します。
■時間微分をしたもの $$\frac{\partial}{\partial t}\mathrm{div}\overrightarrow{A}+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=0$$ $$\Leftrightarrow\mathrm{div}\frac{\partial\overrightarrow{A}}{\partial t}+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=0$$ $$\Leftrightarrow\mathrm{div}\frac{\partial\overrightarrow{A}}{\partial t}=-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}$$ ■勾配を考えたもの $$\mathrm{grad}\left(\mathrm{div}\overrightarrow{A}\right)+\mathrm{grad}\left(\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)=0$$ $$\Leftrightarrow\mathrm{grad}\left(\mathrm{div}\overrightarrow{A}\right)=-\left(\epsilon_0\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\mathrm{grad\phi}\right)$$ $$電磁誘導の法則に由来する-\mathrm{grad}\phi=\overrightarrow{E}+\frac{\partial\overrightarrow{A}}{\partial t}を使って、$$ $$\mathrm{grad}\left(\mathrm{div}\overrightarrow{A}\right)= \epsilon_0\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\left(\overrightarrow{E}+\frac{\partial}{\partial t}\overrightarrow{A}\right) = \epsilon_0\mu_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\overrightarrow{A}}{\partial t^2}$$

ここでは静電場に限定せず一般の電場を考えているので、
電場のスカラーポテンシャルは\(\overrightarrow{E}=-\mathrm{grad}\phi\)（静電場の場合）ではなく、
上記の
\(-\mathrm{grad}\phi=\overrightarrow{E}+\frac{\Large\partial\overrightarrow{A}}{\Large\partial t}\)
\( \Leftrightarrow\overrightarrow{E}=-\mathrm{grad}\phi-\frac{\Large\partial\overrightarrow{A}}{\Large\partial t}\)を使用しています。

２階まで微分可能である任意の２つの関数U(u)とW(ｗ)を使って、
変数をｚ－ｃｔとｚ＋ｃｔとして電場のｘ成分について
Ｅ_ｘ＝U(ｚ－ｃｔ)＋W(ｚ＋ｃｔ)
のような関数形を考えます。（ｘとｙに関しては変数ではない関数。）
すると、実はこれは真空中の電場に関する波動方程式の解になっており、
平面電磁波あるいは単に平面波を表すものになります。

※この段階では「波」と言っても周期関数に限らず、何らかの「波形」の関数が時間ごとに進行していくものです。また、ｚだけが特別扱いというわけではなく、U(ｙ－ｃｔ)＋W(ｙ＋ｃｔ)のような関数を考えればこれはｙ方向に進行していく「波」を表します。
いずれにしても、定数ｃはそれが進行していく速さを表すわけで、ε_０μ_０＝１／(ｃ²)の関係式によって「電磁波が進行する速さは光の速さに等しい」という事を表しています。
最初のほうで少し触れたように、具体的な正弦波などの関数を想定する場合には波としての速さと関数に対する変数の部分（位相）との間に関係式を作る必要な事があります。
例えばここでの場合で進行波としての正弦関数を考える時には、
振幅E₀と波数 k に対してE₀sin(ku)の形の式にu＝ｚーｃｔを代入して
E₀sin(kz－kcｔ)＝E₀sin(kz－ωｔ)のようにします。

Ｅ_ｘ＝U(ｚ－ｃｔ)＋W(ｚ＋ｃｔ)が波動方程式の解である事を見るには次にようにします。
Z_１＝ｚ－ｃｔ，Z_２＝ｚ＋ｃｔとするとＥ_ｘ＝U(Z_１)＋W(Z_２)であり，
(∂／∂ｔ)Ｅ_ｘ＝(ｄU／ｄZ_１) (∂Z_１／∂ｔ)＋(ｄW／ｄZ_２) (∂Z_２／∂ｔ)
＝－ｃ(ｄU／ｄZ_１)＋(ｄW／ｄZ_２)
【※もしU(P(z,t)，Q(z,t))のような関数なら
∂U／∂ｔ＝(∂U／∂P)(∂P／∂ｔ)＋(∂U／∂Q)(∂Q／∂ｔ)のような計算になります。
ここでは∂ｚ／∂ｔ＝０なので見かけ上はその項が無い形になっています。 】
さらに計算すると、
(∂^２／∂ｔ^２)Ｅ_ｘ＝－ｃ(ｄ^２U／ｄZ_１^２) (∂Z_１／∂ｔ)＋ｃ(ｄ^２U／ｄZ_２^２) (∂Z_２／∂ｔ)
＝－ｃ^２(ｄ^２U／ｄZ_１^２)＋ｃ^２(ｄ^２U／ｄZ_２^２)
同様にして、
(∂^２／∂ｚ^２)Ｅ_ｘ＝(∂／∂ｚ)｛(ｄU／ｄZ_１) (∂Z_１／∂ｚ)＋(ｄW／ｄZ_２) (∂Z_２／∂ｚ)｝
＝(∂／∂ｚ)｛(ｄU／ｄZ_１)＋(ｄW／ｄZ_２)｝
＝(ｄ^２U／ｄZ_１^２) (∂Z_１／∂ｚ)＋(ｄ^２U／ｄZ_２^２) (∂Z_２／∂ｔ)
＝(ｄ^２U／ｄZ_１^２)＋(ｄ^２U／ｄZ_２^２)
よって、｛∂^２／∂ｚ^２－(１／ｃ^２) (∂^２／∂ｔ^２)｝Ｅ_ｘ＝０であり、
Ｅ_ｘ＝U(Z_１)＋W(Z_２)はｚとｔだけの関数という設定なので
ｘとｙによる偏微分は０である事に注意すると
｛∇^２－(１／ｃ^２) (∂^２／∂ｔ^２)｝Ｅ_ｘ＝０
を満たす事が分かります。
y成分についても同じ変数の形Z_１，Z_２と、異なる関数形U_ｙ，Ｗ_ｙを考えて
Ｅ_ｙ＝U_ｙ(Z_１)＋W_ｙ(Z_２)
というｚとｔだけの関数として計算すれば波動方程式を満たします。

ポテンシャルであるΦと\(\overrightarrow{A}\)，および積分していないρや\(\overrightarrow{j}\)は
ｘ，ｙ，ｚおよびｔの関数であるとします。
電荷あるいは電流密度が分布する領域をVとして、
ｄｖ＝ｄＸｄＹｄＸのもとで
(ｘ，ｙ，ｚ)と(Ｘ，Ｙ．Ｚ)の距離をｒとおき、 Ｔ＝ｔ－ｒ／ｃ のもとで
積分中の電荷密度ρと電流密度\(\overrightarrow{j}\)はX，Y，Z，Ｔ（＝ｔ－ｒ／ｃ）の関数であるとします。

これらの解は遅延ポテンシャル（retarded potential）とも呼ばれます。
積分の中身とそれ以外の部分で関数が何の変数であるかを整理すると次のようになります。

時間変数に関しては T＝T(x,y,z,X,Y,Z,t)であり、x,y,z,X,Y,Z,t は互いに独立な変数です。
また、\(r=r(x,y,z,X,Y,Z)\) であり、積分に関してはｘ，ｙ，ｚは定数扱いです。

■電場
\(-\mathrm{grad}\phi=\overrightarrow{E}+ \frac{\Large\partial\overrightarrow{A}}{\Large\partial t}\Leftrightarrow\overrightarrow{E}=-\mathrm{grad}\phi-\frac{\Large\partial\overrightarrow{A}}{\Large\partial t}\)である事と、
電荷密度の分布は領域内で微分可能（従って連続）である関数形である事
（Ｘ，Ｙ，Ｚが積分変数の被積分関数をｘ，ｙ，ｚやｔで偏微分してから積分可能）、
ベクトルポテンシャルの項は静磁場の時の式を使ってε_０μ_０＝１／(ｃ^２ )の関係に注意します。
積分内で電荷密度と電流密度は先ほどと同じくX，Y，Z，Tの関数とします。
電場と磁場はｘ，ｙ，ｚ，ｔの関数です。また、\(\overrightarrow{R}＝\frac{\Large 1}{\Large r}(x－X,\hspace{2pt}y－Y,\hspace{2pt}z－Z)\)とします。 $$\overrightarrow{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\overrightarrow{j}}{r}dv=\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\int_V\frac{\overrightarrow{j}}{r}dvに注意して、$$ $$\overrightarrow{E}=-\mathrm{grad}\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V \frac{\rho}{r}dv\right)-\frac{\partial\overrightarrow{A}}{\partial t}$$ $$=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\left(\frac{\rho}{r^2}\overrightarrow{R}+\frac{\rho}{cr}\overrightarrow{R}-\frac{\partial }{\partial t}\frac{\overrightarrow{j}}{c^2r}\right)dv$$ ■磁場
回転と外積ベクトルの関係に注意して計算すると\(\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}\)により、次式になります。
積分中のクロス「×」記号は外積の意味です。 $$\overrightarrow{B}=\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\left(\frac{\overrightarrow{j}}{r^2}\times\overrightarrow{R}+\frac{\overrightarrow{j}}{cr}\times\overrightarrow{R}\right)dv$$ これらの式は、時間変化する電荷密度や電流密度（具体的には周波数の高い交流電流など）によって電磁波を形成する電場と磁場の関数形を具体的に表せる事を意味しています。
また、電磁波が正弦波のような周期関数になるかどうかも、領域Vに分布する電荷密度や電流密度の形で決まる事になります。
式に積分が含まれている事を見ると分かる通り、実際に詳しく考察する時には工夫が必要です。
これらの式においてｒが十分大きい時には１、／ｒに比例する項に比べて他の項をほぼ０とみなして近似する事ができます。

積分の中身ρ／ｒについてラプラス演算子を作用させると、公式を使って
∇^２(ρ／ｒ)＝∇^２ρ＋２{grad(1／ｒ)}・(gradρ)＋ρ∇^２(1／ｒ)

ここでρ∇^２(1／ｒ)の項に関してはｒ≠０であれば∇^２(1／ｒ)＝０になります。【ただし、電磁波の電場を考える点（ｘ，ｙ，ｚ）が領域Ｖ内にあるような状況（ｒ＝０という事）があっても、極限値として考えれば実はこの項は積分をした時に有限の値になります。】
そこで、計算が必要なのは残りの２項になります。

• ∇^２ρ
• ２{grad(1／ｒ)}・(gradρ)

ρとｒは積分の中にあり、
ρ＝ρ(Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ｔ) と ｒ＝ｒ(ｘ，ｙ，ｚ，Ｘ，Ｙ，Ｚ)　の変数に注意して計算します。

独立変数の関係にあるのはｘ，ｙ，ｚ，Ｘ，Ｙ，Ｚ，ｔであるので
【考えている位置自体は運動していないのでｘ＝ｘ(ｔ)等の関係は無く、ｘとｔは定数の関係。】
ｘ，ｙ，ｚ，Ｘ，Ｙ，Ｚに対するｔの偏微分は０（例えば∂ｘ／∂ｔ＝０など）