数学的帰納法とは？証明が簡単になる場合

数学的帰納法（「すうがくてききのうほう」）は数学の命題や定理の証明を行う手段の１つで、整数や数列的な内容が含まれる命題や定理を証明する時に使える場合があります。

「帰納」とはどのような意味？

数学的「帰納」法と言いますが、
実は帰納という言葉自体は元々数学用語ではなくもっと一般的な語です。

「帰納」は「演繹（演繹）」と対になる語です。

• 帰納：個々の具体的事実から一般的・普遍的な法則や命題を導く事
• 演繹：一般的・普遍的な法則等から、より具体的な結論を導く事

ですので、例えばＡ_ｎ＝ｎ^２であるという事からＡ_１＝１，Ａ_２＝４，A_３＝９といった計算をする事は一般的に言うなら「演繹」に該当します。（ただし数学や理学系の学問ではその言葉は基本的に使用しません。）

では逆に、Ａ_１＝１，Ａ_２＝４，A_３＝９，A₄＝１６であれば「自然数ｎに対してＡ_ｎ＝ｎ^２」と言えるでしょうか？

数学ではそのように「予想」するところまではOKで、
「証明」として断定する事はNGになります。

１，４，９，１６という数が続いていたら「次は２５かな」という事は「予想」できるわけで、これは具体例からｎ^２という一般的な式を予想している事に他なりません。
実際、「ｎが自然数でｎ≦４の範囲」ではその予想は実際に正しいので「証明」にもなります。

しかし、ｎの範囲が１以上の全ての自然数であるなら、もしｎ＝１からｎ＝４まで「Ａ_ｎ＝ｎ^２」が正しくても、ｎ＝５以降においてはそれが正しい事は無条件には保証されないと数学では考えます。

例えば数学では極端な話「ｎ≦４の時はＡ_ｎ＝ｎ^２でｎ≧５の時はＡ_ｎ＝ｎ^３」などという数列を考えても構わないのです。つまり何の条件もなくて１，４，９，１６という数が続いているだけなら
「ｎ＝１からｎ＝４まではＡ_ｎ＝ｎ^２となり、ｎ≧５以降はそれが成立しない数列」は無限に多く考える事ができます。

そこで「数学的帰納法」ではそういった「予想」をもう少し発展させた考え方をして、命題について任意の自然数ｎに対して確かに成立する事を「証明」する方法と手順を明確にしています。

数学的帰納法による証明の手順

自然数を含む命題において、ｎ＝１，２，３・・・の全ての番号において命題が成立する事、つまり任意の自然数において命題が成立する事を数学的帰納法で証明する場合には次の事を行います。

「ｎ＝ｋの時に命題が成立すると仮定してｎ＝ｋ＋１の時も成立する事を示す」というのは一体何をする作業なのかというと、「ｎ＝１の時に成立 ⇒ ｎ＝２の時も成立 ⇒ ｎ＝３の時も成立 ⇒ｎ＝４のときも・・・」という連鎖的な論理式をまとめて作る事に該当します。【⇒ は数学的な記号で「ならば」と読みます。参考：十分条件と必要条件】

文章表現としては「ｎ＝ｋの時に命題が正しいと仮定すると」「ｎ＝ｋの時に命題が真であると仮定すると」「ｎ＝ｋの時に・・である（命題の内容）と仮定すると」など、その一般的な番号で命題が正しい事を仮定するという意味が分かれば何でも構いません。

もう少し詳しく見ると任意の自然数ｋに対して「ｎ＝ｋで命題が成立する⇒ｎ＝ｋ＋１で命題が成立する」という「命題」を示して、もう１つ「ｎ＝１で命題が成立する」という事も示す事でｎ＝１で命題が成立する⇒ｎ＝２で命題が成立する⇒ｎ＝３で命題が成立する⇒・・・つまり「任意の自然数ｎにおいて命題が成立する」と言えて証明が完結する事になるわけです。

数学的帰納法を使ったほうがよい場合とは？

数学的帰納法は便利な証明方法ですが、数列的な式が含まれる命題なら何にでも使えばよいというわけではありません。例えば次の命題は数学的帰納法を使わずに直接証明をする事ができます。（これは自然対数の底 e の存在を証明する時に使う命題です。）

$$A_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^nとする時、任意の自然数nに対してA_n<3であり数列\{A_n\}は単調増加数列$$

この式の単調増加性を調べる時には数列の番号がｎ＋１の時の場合を考えますが、それは数学的帰納法における「ｎ＝ｋで正しいとしてｎ＝ｋ＋１でも正しい事を示す」事とは異なるのです。
この命題の単調増加性をもし数学的帰納法で証明するならA_２－A₁＞０を示してから
「Ａ_ｋ＋１－Ａ_ｋ＞０を仮定した時にＡ_ｋ＋２－Ａ_ｋ＋１＞０となる事を示す」というようになります。（それをしなくても実際はＡ_ｎ＋１－Ａ_ｎを直接計算すればＡ_ｎ＋１－Ａ_ｎ＞０を示せます。）

では、数学的帰納法を使用したほうが明らかによいと言える命題はどのようなタイプのものなのでしょうか。それは一概に方法論としては決められるものではないのですが、例えば次のような命題は数学的帰納法を使用したほうが良いと言えます。

$$f(x)=\mathrm{ln}xにおいて任意の自然数ｎに対して\frac{d^nf}{dx^n}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$$

つまり「ｎ階導関数」（微分をｎ回行った時の関数）が提示されている式である事を示すという命題です。ｌｎｘは自然対数関数であり、 log e x の事です。
また、式中の「！」記号は「階乗」の意味で、数を１ずつ減らして１になるまで掛け算し続ける操作を指します。例えば５！＝５×４×３×２×１＝１２０です。

このような命題の場合、具体的な微分を仮に頑張って数十回手計算で行ったとしても提示された式の形になると「予想」しかできません。考えている自然数ｎが微分という操作を行う「回数」であるために一般性を直接的に持たせにくいわけです。

そこで数学的帰納法を使うとこの手の命題は証明がしやすくなります。

まずｎ＝１の時はｄ／ｄｘ（ｌｎ）＝１／ｘであり、これ自体が自明な式ではなく証明が必要ですがそれはできているものとします。（微分の公式・対数関数の微分）

提示されている式に対してｎ＝１を代入してみて正しい事を確認します。

$$n=1の時、(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}=\frac{1}{x}なので正しい。（0!=1という定義）$$

次に、ｎ＝ｋの時に正しいと仮定します。そのもとでｎ＝ｋ＋１の時にも正しい事をどのように言えばよいのでしょうか。ここでの場合はｎは微分を行う回数です。つまり、ｎ＝ｋの時の導関数を「もう１回微分」すればよいのです。

$$n=kの時命題が成立すると仮定すると\frac{d^kf}{dx^k}=(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x^k}$$

$$両辺をxで微分すると\frac{d}{dx}\left(\frac{d^kf}{dx^k}\right)=(-k)\cdot(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x^{k+1}}=(-1)^k\frac{k!}{x^{k+1}}$$

$$同時に\frac{d}{dx}\left(\frac{d^kf}{dx^k}\right)=\frac{d^{k+1}f}{dx^{k+1}}であるから、$$

$$\frac{d^{k+1}f}{dx^{k+1}}=(-1)^k\frac{k!}{x^{k+1}}=(-1)^{(k+1)-1}\frac{(k+1-1)!}{x^{k+1}}$$

よって、ｎ＝ｋ＋１の時も命題は成立しているので、任意の自然数ｎに対して命題は成立します。証明終わり、とするわけです。

本質的には前述のように「ｎ＝１の時に命題が成立」⇒「ｎ＝２の時に命題が成立」⇒「ｎ＝３の時に命題が成立」⇒・・という連鎖的な論理式が任意の自然数について成立する事が数学的に保証される事を証明したという事です。