極限値としての自然対数の底 e の定義

「自然対数の底」ｅの定義の詳しい説明を述べます。（この定数はネイピア定数、ネピア定数とも言い、数式中では単に「イー」と読む事が多いようです。）これは、ある数列のｎ→∞での極限値として定義されます。もちろん、発散してしまうのであれば定数として定義する意味はないのでその数列は収束します。その証明をします。（※高校数学の範囲だけだと証明できません。ただし、証明で肝心になる１つの事項を除くと、使う計算や定理は高校数学のもので足ります。）

$$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{n\to0}\left(1+n\right)^{\large{\frac{1}{n}}}$$

ｎを無限大にする極限と、１／ｎを０にする極限の２つの表し方がありますが、どちらも同じ値 e に収束します。
具体的な値としては約２．７１８・・・という無理数に収束します。
（※具体的な値を知る方法も、無理数である事の証明にも、 マクローリン展開を使用します。e^xという指数関数に対する微分公式の性質もそこで本質的に重要です。）

これらの極限が発散せずに収束する事を示すには「ｎを無限大にする」極限を考えたほうが簡単です。

証明

２項定理を使って直接展開し、全体を数列として見た時に単調増加で上に有界である事を示します。
「上に有界である」とは「数列の全ての１つ１つの項が、例外なくある値以下になる」という意味です。

1. ２項定理でｎ乗を直接的に展開して形を調べる。
2. 数列として「単調増加で上に有界」である事を示す。
   証明過程で等比数列の和の極限（幾何級数）の公式の考え方を使用します。

単調増加である事の証明

まず、極限の中身のｎ乗の形の式に対して２項定理を使います。次のように展開できます。

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1+_nC_1\frac{1}{n}+_nC_2\left(\frac{1}{n}\right)^2+\cdots+_nC_n\left(\frac{1}{n}\right)^n$$

$$=1+\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2}\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\left(\frac{1}{n}\right)^3+\cdots+\left(\frac{1}{n}\right)^n$$

第ｋ項だけを取り出すと次のような形になっています。

$$_nC_k\left(\frac{1}{n}\right)^k=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+2)(n-k+1)}{k!}\left(\frac{1}{n}\right)^k$$

$$=\frac{1}{k!}\left(\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+2}{n}\cdot\frac{n-k+1}{n}\right)$$

$$=\frac{1}{k!}\frac{n}{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1-\frac{3}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)$$

１≦ｋ≦ｎなので、これはプラスの値です。
（元々、プラスの値をｎ乗しているものなので予想はつくものですが。）

少し分かりにくければ、具体的な番号の項に着目し、書き出してみるとよいでしょう。
例えば第４項は次のようになります。

$$_nC_4\left(\frac{1}{n}\right)^4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!n^4}$$

$$=\frac{1}{4!}\left(\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdot\frac{n-3}{n}\right)=\frac{1}{4!}\frac{n}{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1-\frac{3}{n}\right)$$

単調増加であるかを調べるには、ｎをｎ＋１に置き換えた時の状況を調べます。
つまり次の形の数列を同様に２項展開するわけです。

$$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$$

その場合の第ｋ項は次のような形になります。【ｎ＋１個からｋ個を選ぶ組み合わせを使う事に注意】

$$_{n+1}C_k\left(\frac{1}{n+1}\right)^k=\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+3)(n-k+2)}{k!}\left(\frac{1}{n+1}\right)^k$$

$$=\frac{1}{k!}\left(\frac{n+1}{n+1}\cdot\frac{n}{n+1}\cdot\frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{n-2}{n+1}\cdots\frac{n-k+3}{n+1}\cdot\frac{n-k+2}{n+1}\right)$$

$$=\frac{1}{k!}\frac{n+1}{n+1}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\left(1-\frac{3}{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1}\right)$$

ここで、「４／５は５／６よりも小さい」…といった具体的な関係からも分かる通り、
一般に有理数に関して、 ｍ／ｎ ≦ (ｍ＋１)／(ｎ＋１) という不等式が成立します。

ｎの場合とｎ＋１の場合とで第ｋ項のｋ個の因数（上記で分母の階乗の項以外のｋ個）をそれぞれを比較すると、例えば次のような大小関係があります。

$$\left(1-\frac{1}{n}\right)＜\left(1-\frac{1}{n+1}\right),\hspace{15pt}\left(1-\frac{2}{n}\right)＜\left(1-\frac{2}{n+1}\right),\hspace{15pt}\left(1-\frac{3}{n}\right)＜\left(1-\frac{3}{n+1}\right)$$

この大小関係は、上記式中のｋ＋１個の因数のうち３つ目以降のそれぞれについて成立します。初めの２つは１／(ｋ！)と１なので等しいですから、１～ｎのそれぞれの項についてｎ＋１の場合のほうが大きい事になります。
そして、全体の項数としてはｎ＋１の場合に１つ項が多くてプラスの値の項が加わるので、結局ｎ＋１の場合の方が、ｎの場合よりも大きい事が示されます。

$$任意の自然数ｎについて\hspace{5pt}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n＜\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$$

上に有界である事の証明

次に、上に有界である事を示します。これは、等比数列の和の性質を上手に使うとうまく不等式によって示す事ができます。２項定理で展開した時の第ｋ項について再度考察すると、ｋ≧１のとき１／(２^ｋ)という値以下に必ずなる事が分かります。

$$_nC_k\left(\frac{1}{n}\right)^k=\frac{1}{k!}\left(\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+2}{n}\cdot\frac{n-k-1}{n}\right)≦\frac{1}{k!}≦\large{\frac{1}{2^{k-1}}}$$

これが各ｋについて成立するという事は、全体では次の不等式が成立します。

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n≦1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}$$

これの右辺は等比数列の和に１を加えたものですから直接値を計算できるのです。ここでｎを無限大にする必要はありませんが、ｎをどれだけ大きくしてもある値以下になる事の確認は必要です。公比が１未満で、公比がプラスの値の等比数列は単調増加ですから確かに大丈夫という事になります。

$$1+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right)=1+\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=3-\left(\frac{1}{2}\right)^n＜3$$

よって上に有界であり、単調増加である事と合わせて問題の極限値は存在するという事になります。尚、この「３より必ず小さい」という事実は、e ＝ 2.718・・・という値になる事ともちろん調和しているのです。

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{n\to0}\left(1+n\right)^{\large{\frac{1}{n}}}は、収束し、特にeと書きます。$$

意味と使われ方

この自然対数の底 e は、何と言っても微分および積分の性質が、数学の理論上でも物理学や工学での応用でも重要になります。「微分して得た導関数が元の関数に等しいものは存在するか？」という問いの答えは「あります」で、それが e の指数関数 e^x です。（もちろんその事は自明ではなく証明が必要。）

$$微分公式：\hspace{10pt}\frac{d}{dx}e^x=e^x$$

その微分の性質は、微分方程式の解法でも直接的に関わります。例えば、線型で定数係数の常微分方程式の解法では「微分すると元の関数に戻る」性質が上手に使われていて解を構成します。

複素数の指数関数表示 e^ix = cos x + i sin xなども理論・応用上ともに重要です。