自然対数の底 e（ネイピア定数）が無理数である事の証明を述べます。マクローリン展開を使うと、背理法によって比較的平易に証明できます。
まず、e の指数関数 ex のマクローリン展開は次のような無限級数になります。
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$$
これは任意の実数ｘで成立する事に少しだけ注意して（収束半径は∞）、ｘ＝１の時を考えれば e という定数そのものを表す式になります。
$$e=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots$$
尚、e ＝ ２．７１８・・・という具体的な数値はこの式で計算すれば手計算ですぐに得られます。（第６項まで計算すれば２．７１８を得ます。）
さて、これが有理数なのかというと「結論は違う」わけですが、背理法で示すには敢えてこれを有理数と置く事によって矛盾が生じる事を見ます。
ただ、その前にその「仮定」なしで成立する式変形をする必要があるので先にそれを見るほうが見通しがよくなります。
e の無限級数表示の「途中の項から無限大まで」の形の無限級数を考えます。つまり次式です：
$$\frac{1}{(s+1)!}+\frac{1}{(s+2)!}+\frac{1}{(s+3)!}+\frac{1}{(s+4)!}+\cdots$$
これは e から、その無限級数表示の１～ｓ項までの和（有理数）を引いたものです。
$$e-\left(1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{s!}\right)=\frac{1}{(s+1)!}+\frac{1}{(s+2)!}+\frac{1}{(s+3)!}+\frac{1}{(s+4)!}+\cdots$$
この式の両辺に 自然数ｓを使ってｓ！という量を掛けます。それによって１つの不等式を作れます。
この時に、右辺のほうは各項について約分ができます。
さらに、各項について１／２のベキ乗よりも小さい事が証明のポイントです。
例えば１／(３・４・５)＜１／(２３)という具合です$$\frac{s!}{(s+n)!}=\frac{1}{(s+1)(s+2)(s+3)\cdots(s+n)}＜\left(\frac{1}{2}\right)^n$$
$$s!e-s!\left(1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{s!}\right)=s!\left(\frac{1}{(s+1)!}+\frac{1}{(s+2)!}+\frac{1}{(s+3)!}+\frac{1}{(s+4)!}+\cdots\right)$$
$$=\frac{1}{s+1}+\frac{1}{(s+1)(s+2)}+\frac{1}{(s+1)(s+2)(s+3)}+\frac{1}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)}+\cdots$$
$$＜\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^3+\cdots+\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{\large{\frac{1}{2}}}{\large{1-\frac{1}{2}}}=1$$
不等式で抑え込んだ後の計算は幾何級数（等比級数）の計算によります。
つまり、右辺が１未満でプラスの実数ですから自然数ではありません。すると当然、左辺にもそのような性質があります。ここまでは、矛盾は一切ありません。
ここで左辺のほうを計算してみると、第２項は自然数になります。
$$s!e-s!\left(1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{(s-1)!}+\frac{1}{s!}\right)$$
$$=s!e-\{s!+s!+(3\cdot4\cdot5\cdots s)+(4\cdot5\cdots s)+\cdots + (s-2)(s-1)s+(s-1)s+s+1\}$$
ここで、e が無理数であればこの左辺の全体も有理数ではなく、
従って自然数ではあり得ないのでやはり矛盾はありません。
しかし、ここで e が有理数であると仮定（これが誤り）してみましょう。
つまり、e ＝ Ｎ／Ｍ と置いてみます。ＮとＭは自然数です。（e の定義から、プラスの数である事は確定しています。）さらに、前出のｓ！に使っているｓという自然数は特に数を特定したものではなく任意ですから、例えばＭでもよいわけです。
すると、ｓ！e＝Ｍ！Ｎ／Ｍ＝(Ｍ－１)Ｎ！ですから、さきほどの計算結果は次のように書けます：
$$(M-1)!N+{s!+s!+(3\cdot4\cdot5\cdots s)+(4\cdot5\cdots s)+\cdots +(s-1)s+s+1}＜1$$
ところが、左辺は自然数（つまり１以上）のはずですが、それが１未満であるという事になるので矛盾であるわけです。
よって、e が有理数である事はあり得ず、無理数である事になるのです。【証明終】
尚、証明はこの背理法の手順でよいわけですが、
$$任意の自然数 sに対して\hspace{5pt}s!e-s!\left(1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{s!}\right)＜1$$
を示せた時点で、不等式の左辺の式は「０を超え１未満」であるから自然数ではあり得ず、従って左辺が「e が有理数である事はあり得ない」と言う事もできます。
この証明方法は円周率が無理数である事の証明と似ていて、ある実数が無理数である事や超越数である事を示す時によく使われる手段です。
同じ考え方で、e の有理数乗、例えば e２, e３, e(１／２) , ・・・なども全て無理数である事を証明できます。（式計算にはもう少し工夫が必要でやや長いものとなります。）