２項定理（あるいは「２項展開」）とは、
(ｘ＋ｙ)ａの形の式を展開した時にどのようになるかを表した式です。
指数の部分ａは自然数である事も多いですが、一般の実数で同じ形に展開できます。（ただしａが自然数でない場合は有限の数の項で終わらず無限級数になる場合があります。）
指数が自然数の場合
まず、簡単なのはｎを自然数として、(ｘ＋ｙ)ｎの形の式を展開した場合です。
ただし簡単とは言っても、任意の自然数ｎについてどのようなものになるかを知るには順列と組み合わせの知識が必要です。
ｎ＝２の場合、(ｘ＋ｙ)２＝ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２ であり、
ｎ＝３の場合、(ｘ＋ｙ)３＝ｘ３＋３ｘ２ｙ＋３ｘｙ２＋ｙ３ です。
ｎが小さい場合は直接に計算もできますが、じつは公式として書けるというのが２項定理です。
$$(x + y)^n=x^n+n\mathrm{C} _1x^{n-1}y+{}_n \mathrm{C} _2x^{n-2}y^2+{}_n \mathrm{C} _3x^{n-3}y^3+\cdots+{}_n \mathrm{C} _{n-1}xh^{n-1}+y^n$$ $$ =x^n +nx^{n-1}y+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}y^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{n-3}y^3+\cdots+nxy^{n-1}+y^n$$
★順列や組み合わせを学ぶと必ず出てくるものですが、びっくりマークが「！」ついている「3！」は「３の『階乗』」で、3！= 3・2・1 = 6 を表します。4 の階乗なら、4！=4・3・2・1 = 24。ここではあまり関係ないですが「ゼロの階乗」は0！= 1 と「定義」します。
このようになる理由自体は単純で、直接の式の展開を考えてみるのです。
x とｙ を何個選ぶかの「組み合わせ」を考えます。
ｎ＝２やｎ＝３の場合を考えてみると分かりやすいと思いますが、ｘｙやｘ２ｙの項の係数は結局どういう理由で決まるのかというと、式展開した時にそれらの項が「何個」あるかで決まっています。
ｎ＝３のときのｘ２ｙの項については「３つの項の中からｘを２個、ｙを１個選ぶ方法」の数に等しいのです。これは、組み合わせで表現できます。
少し分かりにくい場合は、３つの場所①②③を考えて、２つ選ぶという場合を考えてみてください。その２つの場所からｘをぶという考え方でも組み合わせの総数になります。
３つの中から３個ともｘ、３個ともｙを選べばｘ３とｙ３の場合であり、そのような組み合わせは１通りだけで実際それらの項の係数は１になります。
つまり、(ｘ＋ｙ)ｎのｘｍｙｎ－ｍの項の係数がｎＣｍになるというのが２項定理の内容です。
組み合わせの性質により、ｎＣｎ－ｍ＝ｎＣｍになります。３乗の展開式において係数が１、３，３、１の順で並ぶのはそのためです。
４乗の場合の展開式を計算してみると、４Ｃ１＝４Ｃ３＝４、４Ｃ２＝６であるので、(ｘ＋ｙ)４＝ｘ４＋４ｘ３ｙ＋６ｘ２ｙ２＋４ｘｙ３＋ｙ４ です。
これは、３乗の展開式に（ｘ＋ｙ）をかけてみても同じ結果になります。
指数が実数の場合（一般２項定理）
上記の指数が自然数の場合の形の式と全く同じ形が、指数が実数一般の場合でも成立する事を特に指して一般２項定理（もしくは一般２項展開）と言います。
この場合はどうやって示すのかというと、結論を言うとマクローリン展開を使います。マクローリン展開とは微積分を利用した関数の無限級数展開の１つで、高校では教えない場合も多いので高校生であれば覚える必要はありません。（テイラー展開の特別な場合がマクローリン展開です。）
参考までに述べておくと一般２項定理の証明は次のようになります。
一般２項定理の証明
a が自然数でない時、\((1+x)^a\hspace{5pt}(|x|＜1)\)に対して適用して、マクローリン展開を適用すると、
$$(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+\frac{a(a-1)(a-2)(a-3)}{4!}x^4+\cdots$$
r ＜ s および s ≠ 0 の任意の実数 r と s の組に対して |x|＜1 の範囲に x = r/s となる x が存在するので、
$$\left(1+\frac{r}{s}\right)^a=1+a\frac{r}{s}+\frac{a(a-1)}{2}\frac{r^2}{s^2}+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}\frac{r^3}{s^3}+\cdots$$
$$\left(1+\frac{r}{s}\right)^a=\left(\frac{s+r}{s}\right)^a=\frac{(s+r)^a}{s^a}に注意して、$$
上式の両辺にsａ（これは有限の値）をかけます。
$$(s+r)^a=s^a+ars^{a-1}+\frac{a(a-1)}{2}r^2s^{a-2}+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}r^3s^{a-3}+\cdots$$
というわけで、a が自然数の場合とも合わせて、一般２項定理が成立する事を意味します。（証明終）
この証明でややこしくて面倒なのは、\((1+x)^a\)のマクローリン展開が可能な x の範囲が |x|＜1 という形で限定されているため、最初からマクローリン展開で直接に一般２項定理を示そうとすると話がこじれるところでしょう。
冒頭でも少し触れましたが、このように形としては指数が自然数でもそうでなくても同じ関係式が成立しますが、指数が負の数などの場合では項が延々とずっと続き無限級数になります。（単なる式の展開が無限級数とか微積分との関連もあるというのは、少し意外に思う人もいるかもしれません。）
２項定理が成立するとすると、単項式の微分公式が (ｘａ)’ ＝ｎｘａ－１となる理由が分かりやすくなるという利点があります。（ただしａが実数の場合には、一般２項定理は微分公式の証明にはなりません。指数が実数の場合の単項式の微分公式の証明は、普通は対数関数の微分公式を利用します。）