数列（「すうれつ」）とは、自然数や整数を代入する事で決定する種類の関数の事です。
考え方：関数と数列
普通の関数ｙ＝ｘ２などを考えて、変数の値を自然数に限定しｙ＝ｎ２と考えると、
ｎ＝１,２,３,４,・・に対してｙ＝１,４,９,１６,・・と決定していきます。これが数列の例です。
要するに考え方は１次関数や２次関数などの普通の関数と同じで、変数を自然数や整数に限定したものを特に「数列」と呼びます。
この時に番号ｎに対して決まる関数の値（数列の値）のことを、
てきとうな文字と番号を組み合わせてｙｎのように書きます。これはｙ＝ｆ(ｘ)と書くのと同じような使い方です。添えてある番号を式に代入しますよ、という意味です。
例えばｙ＝ｎ２を数列と考えてｙ２と書いたときには
「ｙ＝ｎ２においてｎ＝２とした場合」の事を意味し、ｙ２＝２２＝４のようになります。
一般の関数と区別して「数列」である事を明示するために数列を｛ｙｎ｝のようにも表記します。文章の中での表記のされ方としては「自然数ｎに対して数列｛ｙｎ｝があり、ｙｎ＝ｎ２である」といった具合です。
一般的には、数列を表す文字はａ、ｂ、ｃ・・を使ったａｎ、ｂｎ、ｃｎなどを優先して使う事が多いですが、本質的には番号を下に添えてあればどんな文字でも数列として表記できます。
数列｛ａｎ｝があったときに、一番最初の値を「初項」（しょこう）と言います。
ｎが自然数であれば、ａ１が初項として該当します。ａｎ＝１／ｎであれば、初項はａ１＝１／１＝１です。２番目の値は「第２項」のように言います。この時、ものによっては番号を０から始める場合もあり、その時には初項はａ０です。あくまで、一番最初の項を初項と呼ぶという事です。
漸化式と初歩的な数列
数列を扱う時の一般の関数との違いは、「漸化式」(ぜんかしき)というものを考える事が多いという点です。これは、ａｎ＋１＝２＋ａｎのように、ｎ＋１番目とｎ番目などの数列の項の間に成立する関係式を指します。
★「漸」(ぜん)とは、「次第に進む」とか「徐々に進む」といった意味の漢字です。
この場合、例えばａ３＝２＋ａ２で、
さらにａ２＝２＋ａ１なのでａ３＝２＋ａ２＝２＋(２＋ａ１)＝４＋ａ１のようにもなります。
ａｎ＋１＝２＋ａｎのような関係であれば、ａｎ＝２＋ａｎ－１としてもよいという事です。この考え方は漸化式を扱ううえで重要です。（番号が１から始まっているような場合には、この漸化式ａｎ＝２＋ａｎ－１を適用できるのはａ２までであり、ａ１には適用不可です。）
より一般的には漸化式とは数列の項同士のかなり広い関係全般を差します。
例えばａｎ＋１＝ａｎ３とか、複数の項を考えたａｎ＋３＝ａｎ＋２＋ａｎ＋１＋ａｎなども漸化式です。
「ｎ＋１とｎ」のように数列の異なる２項についての漸化式を特に言う場合は「２項間漸化式」、「ｎ＋２とｎ＋１とｎ」のように異なる３項についての漸化式を特に言う場合は「３項間漸化式」と言う事もあります。より一般的には「ｍ項間漸化式」も考えれるという事です。
番号が１つではなく２つ飛んでいる場合もあり得ます。例えばａｎ＋２＝２＋ａｎなどです。
このようにあらゆるものが当てはまりますが、普通は漸化式の関係から具体的な数列の形を導出したり、あるいは和や極限を計算するために漸化式を使うので、実際問題として理論で扱われる漸化式はある程度の扱いやすい規則性を持つものに限られます。
高校数学では、特に３つの初歩的な数列を扱います。これらは意味としては簡単なものですが、いずれも漸化式によって特徴付けられます。
- 等差数列
ａｎ＋１＝ｃ＋ａｎ で表されます。
ｃは定数で、「公差」（こうさ）と言います。
ａｎ＝ａ１＋ｃ(ｎ－１) とも直接的に表せます。 - 等比数列
ａｎ＋１＝ａｎｒ で表され ます。
ｒは定数で、「公比」（こうひ）と言います。
ａｎ＝ａ１ｒｎ－１ とも直接的に表せます。 - 階差数列
ｂｎ＝ａｎ－ａｎ－１ で表されます。
ａｎ－ａｎ－１を数列｛ａｎ｝の「階差」（かいさ）と言います。
ｂｎ＝ａｎ－ａｎ－１は「｛ａｎ｝の階差数列」であるとも言います。
等差数列とは、１つの項に決まった定数を加える（あるいは減じる）事で次の項が確定するというタイプの数列です。例えばａｎ＋１＝３＋ａｎを考え、ａ１＝２とします。この時、ａ２＝３＋ａ１＝３＋２＝５、ａ３＝３＋ａ２＝３＋５＝８、ａ４＝３＋ａ３＝３＋８＝１１、・・・のように次々と計算できます。
これを繰り返して一般的に、ａｎ＝３＋２(ｎ－１)とも表せます。例えばａ４＝３＋２(４－１)＝１１と計算してもいいわけです。
等比数列とは、１つの項に決まった定数を掛ける（あるいは割る）事で次の項が確定するというタイプの数列です。例えばａｎ＋１＝３ａｎでａ１＝２であるとき、ａ２＝３ａ１＝３×２＝６、ａ３＝３ａ２＝３×６＝１８、ａ４＝３×ａ３＝５４、・・・といった感じです。これを繰り返して、ａｎ＝ａ１３ｎ－１とも書けます。
等比数列に関しては、和を計算する公式が重要です。
階差数列とは、上記の通りｂｎ＝ａｎ－ａｎ－１といった形の漸化式で表される数列です。これの具体的な形は、階差数列の和を考えてみる事で計算できるという特徴があります。
特定の｛ａｎ｝について階差数列ｂｎを考える時には例えば次のようにします。ａｎ＝ｎ２のとき、「階差」を計算するとｎ２－(ｎ－１)２＝２ｎ－１なのでｂｎ＝２ｎ－１と書けます。
この時、ｎが整数ならこの形で整合性がとれますが、もし｛ａｎ｝のｎが自然数といった制限を課しているならｂ１については別途に「ｂ１＝－１とする」などとする必要があります。
いろいろな数列
関数には様々なものが想定できるのと同じように、数列も非常に幅広いものを指します。
例えば、数列｛ａｎ｝の和を考えてａ１＋ａ２＋ａ３＋・・・＋ａｎ＝Ｓｎとして、
それ自体を数列｛Ｓｎ｝と考える事ができます。
尚、この時Ｓｎー１＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋・・・＋ａｎ－１ですから、｛Ｓｎ｝の階差はＳｎ－Ｓｎー１＝ａｎです。この関係自体は、当然といえば当然のものですが結構よく使います。
微積分学で重要な「自然対数の底」ｅは、ある数列を考えて、そのｎ→∞における極限値として定義されます。そのように、数列は極限と合わせて考えられる事も多いのです。
$$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\hspace{10pt}として定義されます。$$
また、極限値として円周率が存在する事を式で証明する時にも、図形上の辺の関係を漸化式で表しています。この場合に考えるのは、正ｎ角形と正２ｎ角形を考えてａ２ｎとａｎの関係を出すという、少し特殊な漸化式です。
その他に、高校ではあまり扱いませんが「関数列」というものもあります。
これは、ｎによって関数自体の形が決まる数列｛ｆｎ(ｘ)｝を考えるという意味です。１つ１つのｆｎ(ｘ)は定義域内のｘによる関数であるという事です。
例を考えると意味としては難しくなくて、例えばｆｎ(ｘ)＝ｘｎやｇｎ(ｘ)＝sin(ｎｘ)などを数列として考える場合には関数列であるということになります。
数列として見る場合、ｘ,ｘ２,ｘ３,・・,ｘｎのようにｎ個の関数があると見るわけです。
ベクトルなどでも、ｎ次元に対してｎ＋１次元を考えるというふうにすると諸量を数列的に見る事もできます。そのようにすると、何かの証明を行う際に数列的な計算が使えるので利点があったりします。