平方根の考え方と基本計算について説明します。
英：平方根 square root
定義と記号の書き方
まずは定義と記号からです。
「２乗するとｎになる数」の事をｎの平方根と言います。
ｎ＞０の時、平方根はプラスものとマイナスのものの２つがあります。
この時、「ｎの平方根でプラス符号のもの」を特に「ルートｎ」と呼んで次の記号で書きます。
【root：植物の「根」。数学では「こん」と呼ぶ】$$\sqrt{n}\hspace{20pt}\sqrt{2}\hspace{20pt}\sqrt{3}$$
「２乗すると２になる数」であれば「２の平方根」であり、
プラス符号のものを \(\sqrt{2}\) と書き「ルート２」と読みます。
これらを使って、マイナス符号の平方根は次のように表します。
$$-\sqrt{n}\hspace{20pt}-\sqrt{2}\hspace{20pt}-\sqrt{3}$$
マイナス１の２乗はプラス１なので、
これらを２乗しても確かにｎ、２、３といった数になります。
「平方」とは要するに「２乗」の事で、「平方根」の事を「２乗根」とも言います。
２２＝２×２＝４、３２＝３×３＝９の「２乗」の事です。
長さの単位で、１平方センチメートル１ｃｍ２というのがありますね。
あれに使われている「平方」です。
このとき、文字式を組み合わせた式の「平方根」を考える事もできます。
（これは一部、中学校の数学でも扱います。）$$\sqrt{x^2+y^2}\hspace{20pt}\sqrt{b^2-4ac}\hspace{20pt}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$尚、これらの例は１つめが図形問題で三平方の定理を使う時に出てくるような式、
２番目は２次方程式の解の公式に出てくる項、
３番目は相対性理論で重要になる量の１つです。（ｃは光の速さ、ｖは物体の速さ）
平方根の考え方は中学数学だけでなく、数学全般や数理科学で普通に使うものですので基礎事項をしっかり理解しておくと後々便利です。
これらの基本的な考え方は\(\sqrt{2}\) や \(\sqrt{3}\)と同じで、２乗すると「平方根が消える」ような計算になります。$$\left(\sqrt{x+y}\right)^2=x+y\hspace{20pt}\left(\sqrt{b^2-4ac}\right)^2=b^2-4ac\hspace{20pt}\left(\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^2=1-\frac{v^2}{c^2}$$
平方根の整数倍、例えば２倍、３倍などは \(2\sqrt{2}\) , \(3\sqrt{2}\) のように書きます。
文字式のａの２倍や３倍を２ａ、３ａと書く感覚です。
整数倍の時は次のようにします。
$$2×\sqrt{2}\hspace{3pt}=\hspace{3pt}2\sqrt{2}\hspace{15pt}-3×\sqrt{2}\hspace{3pt}=\hspace{3pt}-3\sqrt{2}のように書きます。$$
一般的には、平方根を分数倍した時には分子に平方根を一緒に書く事が多いです。
$$\frac{1}{3}×\sqrt{2}＝\frac{\sqrt{2}}{3}\hspace{15pt}\frac{2}{3}×\sqrt{2}＝\frac{2\sqrt{2}}{3}$$
文字式と平方根を組み合わせる時には、２ａ、３ｂと書く感覚で平方根を文字式の前に書きます。
そこにさらに整数倍がある時は、整数・平方根・文字式の順番にする事が多いです。
$$a×\sqrt{2}\hspace{3pt}=\hspace{3pt}\sqrt{2}a\hspace{15pt}2b×\sqrt{2}=2\sqrt{2}b$$
負の数に対しても平方根を考える事ができて、例えば－２の平方根は次の２つです。 $$\sqrt{-2}\hspace{3pt}＝\hspace{3pt}i\sqrt{2}\hspace{20pt}-\sqrt{-2}\hspace{3pt}＝\hspace{3pt}-i\sqrt{2}$$ これらは複素数というものに属します。実数の範囲では、２乗して負の数になる数は存在しません。
小数で表すとどのような大きさ？
「２乗すると２になる数」である \(\sqrt{2}\) とは具体的にはどのような大きさの数でしょう？
\(\sqrt{2}\) の大きさは小数で表すと約１.4142135・・・になります。
この小数点は無限に循環しない形で続き、\(\sqrt{2}\) は無理数になります。
てきとうなところで小数点を四捨五入したもの、例えば「1.414」として２乗してみると
1.414 × 1.414＝1.999396 であり確かに２に近い数になります。
いくつか例を挙げてみると次のようになります。
- \(\sqrt{2}\)＝1.4142135・・・
- \(\sqrt{3}\)＝1.7320508・・・
- \(\sqrt{4}\)＝2
- \(\sqrt{5}\)＝2.2360679・・・
- \(\sqrt{6}\)＝2.4494897・・・
- \(\sqrt{7}\)＝2.6457513・・・
- \(\sqrt{8}\)＝2.8284271・・・
- \(\sqrt{9}\)＝3
- \(\sqrt{10}\)＝3.162276・・・
これらのうち、２２＝２×２＝４、３２＝３×３＝９ですから、
４の平方根と９の平方根を考えた時にはぴったりと整数の値になります。
数直線上に有理数と合わせて大小関係を比べる事ができます。
これら平方根の小数の値は、\(\sqrt{2}\) や \(\sqrt{3}\) に関しては「1.414」「1.732」といった数値を覚えておくと便利な事もありますが、他のものはそれほど覚える必要はありません。
（ましてや、延々と続く小数を覚える必要はありません。）
それよりも重要なのは、平方根の値がどれくらいの大きさなのかを見積もる方法です。
例えば \(\sqrt{7}\) の大きさを知りたい時に「２以上３以下」といった事を知るのはじつは簡単で、
２２＜７＜３２という不等式によってその事を知れるのです。
もちろんこれは４＜７＜９という事です。
この不等式の各値の平方根（のプラスの値）を考えると２＜\(\sqrt{7}\)＜３となるので、
\(\sqrt{7}\) を小数で表した時の１以上の部分の値は２になると判定できるというわけです。
（実際の値は\(\sqrt{7}\)＝2.6457513・・・）
そう考えると、\(\sqrt{5}\), \(\sqrt{6}\), \(\sqrt{7}\), \(\sqrt{8}\) の小数での値がいずれも 2.23・・などの、
「２より大きく３より小さい」値になるのは偶然ではなく必然という事になります。
５、６、７、８はいずれも４より大きく９より小さいからです。
この考え方は、何かてきとうな自然数の平方根に対して一般的に適用できます。
\(\sqrt{17}\) の大きさを見積もる時には
１６＜１７＜２５、つまり４２＜１７＜５２ですから
４＜\(\sqrt{17}\)＜５といった感じになります。（実際の値は\(\sqrt{17}\)＝4.1231・・）
また、てきとうな\(\sqrt{151}\) といった数の大きさを見積もる時には
１４４＜１５１＜１６９、つまり１２２＜１５１＜１３２により、１２＜\(\sqrt{151}\)＜１３なので
\(\sqrt{151}\)＝１２.・・・・といった数になる事が分かります。（実際は12.2882・・）
この不等式の作り方・使い方に関しては高校入試でも問われる可能性はあります。
平方根に関する計算・公式
\(\sqrt{2}\) と \(\sqrt{8}\) の小数での値を比較すると、じつはちょうど２倍の関係になっています。
- \(\sqrt{2}\)＝1.4142135・・・
- \(\sqrt{8}\)＝2.8284271・・・＝２×1.4142135・・・＝\(2\sqrt{2}\)
これは偶然ではなく、８＝２２×２という関係があるのでそうなるのです。
\(2\sqrt{2}\) を２乗すると、確かに２２×２＝８になります。
一般的に、平方根の中に「何かの数の２乗」がある場合にこのような計算ができます。
いくつか具体例を挙げると次のような感じです。
- \(\sqrt{8}\) ＝ \(2\sqrt{2}\)
- \(\sqrt{12}\) ＝ \(2\sqrt{3}\)
- \(\sqrt{18}\) ＝ \(3\sqrt{2}\)
- \(\sqrt{24}\) ＝ \(2\sqrt{6}\)
- \(\sqrt{27}\) ＝ \(3\sqrt{3}\)
- \(\sqrt{32}\) ＝ \(4\sqrt{2}\)
- \(\sqrt{4x}\) ＝ \(2\sqrt{x}\)
掛け算に慣れていないと少し分かりにくいかもしれませんが、
例えば３２なら３２＝１６×２＝４２×２のように考えるのです。それで\(\sqrt{32}\) ＝ \(4\sqrt{2}\)になります。
（※入試対策としては、これを頭の中でできるようにするのが望ましいです。）
次に、「分母の有理化」という計算も重要です。
これは、分母に平方根がある場合には、分子と分母の両方にその平方根を掛ける事で
「分母を有理数にできる」という計算です。
１つめの式は、\(a=\sqrt{a}×\sqrt{a}\) を式変形して考えても同じです。
２つめの式は(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)＝ａ２－ｂ２の関係を使っています。
同じ関係を使って、分母が平方根の差の場合には次のようにできます。$$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$$
具体例では、例えば次のようになります。
$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\hspace{20pt}\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\hspace{20pt}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}$$
$$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$$
$$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{1}=\sqrt{2}+1$$
この具体例のように「分母の有理化」を行う事で分母が１になり実質的に「分母が消える」場合もあります。
慣れてくると、途中の計算は暗算でできるようにもなると思います。
平方根同士の掛け算・割り算と足し算・引き算については次のような規則が成立します。
- 掛け算と割り算：
平方根の中身同士の掛け算・割り算をして計算で可能。$$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}\hspace{15pt}\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{b}{a}}$$ - 足し算と引き算：
基本的に同じ数の平方根同士で足し算・引き算を行い、そこからさらに計算したいなら小数で近似して数値的に加え合わせるなどする。 $$a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}\hspace{15pt}a\sqrt{c}-b\sqrt{c}=(a-b)\sqrt{c}$$ $$\sqrt{2}+\sqrt{3}のような式は、このままだとこれ以上計算できない。$$ $$（小数に近似すれば\sqrt{2}+\sqrt{3}≒1.414+1.732＝3.146のようにできる）$$
平方根の掛け算については、(\(\sqrt{a}×\sqrt{b}\))２＝\(\sqrt{a}×\sqrt{a}×\sqrt{b}×\sqrt{b}＝ab\) なので、
\(\sqrt{a}×\sqrt{b}＝\sqrt{ab}\) としてよいという事です。
割り算のほうについては「分母の有理化」もできますが、分子と分母の両方に単独の平方根がある場合には先に割り算をして平方根をとる事も可能である、という意味です。
$$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}\hspace{15pt}\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{6}{3}}=\sqrt{2}$$
分母と分子にある平方根が単独ではなく和や差の形になっている場合には、項を分ける・分母の有理化をするなどの計算が必要になります。
$$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=2+\sqrt{3}$$
$$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{6}(\sqrt{3}+\sqrt{2})=\sqrt{18}+\sqrt{12}=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}$$
平方根の足し算や引き算は、基本的には文字式の足し算引き算のように考えるという事です。
例えば、文字式の場合には ２ａ＋３ａ＋ｂ＝５ａ＋ｂのようにして、ａとｂの具体的な値が分からない限りはそこで計算はストップしますが、それと同じように考えるという事です。$$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\sqrt{3}=5\sqrt{2}+\sqrt{3}【この先は平方根を含んだままの形では計算しない】$$
各平方根を有限の小数に近似する（つまり有理数に近似する）のであれば、さらに計算をする事が可能です。