方向余弦の定義と公式

方向余弦（direction cosine）とはベクトルに対して考えられる補助的な量で、ベクトルの大きさに乗じる事で各成分の値になるような余弦（コーサイン、cos）を指します。（空間ベクトルの平面への射影を考える時の余弦とは一般的に異なるものです。）

この方向余弦の応用として特に重要であるの直交座標同士の座標変換です。
（局所的には直交座標から直交曲線座標への変換もできます。）

■関連記事：ベクトルの内積

■応用例：直交曲線座標系の成分にベクトルを変換する方法

「方向余弦」の定義

方向余弦とは、ベクトルと座標軸とのなす角に対して考える余弦であり、ｘｙｚの空間での直交座標なら１つのベクトルに対して３つ定義されます。平面であれば２つです。

方向余弦をベクトルの大きさに乗じる事で、ベクトルの成分が計算されます。
具体的で簡単な数値で考えてみると、例えば（１，１，１）のようなベクトルなら
ベクトルの大きさは\(\sqrt{3}\)なので、各軸に対する方向余弦は３つとも等しく１／\(\sqrt{3}\)になります。
\(\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\large{\sqrt{3}}}=1\)であり、大きさ×方向余弦＝成分となっています。

この時に、具体的な角度の値は必ずしも分かっていなくてもよい事も多くあります。
cosθ＝１／\(\sqrt{3}\)に対しては角度は約５４．７°、弧度法で0.955≒0.3πとも書けますが、
角度の値よりも「余弦の値」のほうが重要である場合も少なからずあります。
（特にこの記事で見て行く方向余弦の公式や諸性質・応用ではその傾向があります。）

このように方向余弦の定義自体は比較的簡単なものですが、
注意すべき点があるとすれば方向余弦は３次元の空間の場合には一般的に
「ベクトルをｘｙ平面やｘｚ平面に射影する余弦とは異なる」という事です。
平面であれば、方向余弦はｘ軸あるいはy軸に対してベクトルを射影する余弦でもあります。
空間の場合でも確かに「軸に対する射影」を行うベクトルであるとは言えますが、それはｘｙ平面等の「平面に対する射影」とは異なるのです。

図で見ると、一般的に３次元空間でのベクトルの方向余弦はｘｙ平面等に対して「斜めになった平面」における直角三角形の１つの角に対する余弦となります。

公式１：方向余弦の２乗和に対する公式

方向余弦は普通の余弦と同じく三角比や三角関数の公式が使えますが、特に方向余弦に対して成立する公式として「３つの方向余弦（平面であれば２つ）の２乗の和は１になる」というものがあります。

この公式は式で考えても導出できますし、図による平面幾何的な導出も可能です。
（式で考えたほうが、実はやや簡単かもしれません。）

証明

式で見る場合には、ベクトルの大きさ（の２乗）を成分で敢えて表してみると公式がすぐに出ます。（同じベクトルでの内積で考えても同じです。）

ベクトルの大きさをAとすると方向余弦を使った成分は
（A cosθ_ｘ，A cosθ_ｙ，A cosθ_ｚ）です。ここでA＞０であるとします。
成分を使って敢えて大きさの２乗を計算すると
A^２ cos^２θ_ｘ＋A^２ cos^２θ_ｙ＋A^２ cos^２θ_ｚです。
しかし考えているベクトルの大きさは A なのですから、その式の値はA^２です。
A^２ cos^２θ_ｘ＋A^２ cos^２θ_ｙ＋A^２ cos^２θ_ｚ＝A^２
A＞０なので
cos^２θ_ｘ＋cos^２θ_ｙ＋ cos^２θ_ｚ＝１となり、公式が導出されます。

図で見る場合は、平面だと分かりやすくて式で見る場合と同じように三平方の定理で斜辺の長さを見れば数式だけで考えた時と同じ式を得ます。

また、同じ角度で三角比の意味での余弦を２回考えるという方法も可能です。
すなわち長さ A の斜辺に対して A cosθ を考えて、さらにそこを斜辺とする線分を探します。
するとベクトルが作る直角三角形において直角の頂点から斜辺に垂線を下ろした時に、
そこを境にA cos^２θ_ｘの長さの部分とA cos^２θ_ｙの長さに分かれる部分となる事が分かります。

空間の場合も似た考察ができますが、平面と比べるとどうしても単純さが失われる傾向があります。

三平方の定理を使うのが一番早く、式で考える場合と結局同じになります。
それ以外の方法だと、かえって複雑です。
図形的にはベクトルの辺はA cos^２θ_ｘ＋A cos^２θ_ｙの部分とA cos^２θ_ｚの部分に分かれます。

いずれにしても、方向余弦に関しての性質を調べる時には平面の場合は図形的な考察は比較的容易でも、空間の場合では式で取り扱ったほうが見やすい事を示唆しています。

公式２：ベクトルの直線に対する射影についての関係式

ベクトル\(\overrightarrow{A}\) ＝（A_１，A_２，A_３）と始点のみを共有する直線があるとして、
始点からの長さが「その直線への\(\overrightarrow{A}\)の射影に等しい」ベクトルを\(\overrightarrow{B}\) とします。
どちらのベクトルもゼロベクトルではないとします。
その他、次のように設定を考えます。

• \(\overrightarrow{B}\) ＝（B_１，B_２，B_３）とします。
• \(\overrightarrow{A}\)と\(\overrightarrow{B}\) とのなす角をφとします。
• \(\overrightarrow{A}\)の方向余弦の角度をθ_ｘ，θ_ｙ，θ_ｚとします。
• \(\overrightarrow{B}\)の方向余弦の角度をω_ｘ，ω_ｙ，ω_ｚとします。
• ベクトルの大きさについては\(\left|\overrightarrow{A}\right|=A\)（ ＞０）および \(\left|\overrightarrow{B}\right|=B\)（ ＞０） とおきます。

この時、B＝A cosφ ですが、他にも次の公式が成立します。

証明

第１式の証明は内積を使います。また、第１式から第２式を証明できます。

ベクトルの成分表示を方向余弦を使って書き、内積をとります。

\(\overrightarrow{A}\) ＝（A_１，A_２，A_３）＝A (cosθ_ｘ，cosθ_ｙ，cosθ_ｚ)
\(\overrightarrow{B}\) ＝（B_１，B_２，B_３）＝B (cosω_ｘ，cosω_ｙ，cosω_ｚ)
\(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}\)＝AB (cosθ_ｘcosω_ｘ＋cosθ_ｙcosω_ｙ＋cosθ_ｚcosω_ｚ)

他方で\(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}\)＝AB cosφ なので、
AB cosφ＝AB (cosθ_ｘcosω_ｘ＋cosθ_ｙcosω_ｙ＋cosθ_ｚcosω_ｚ)
A＞０かつB＞０よりAB＞０なので
cosφ＝cosθ_ｘcosω_ｘ＋cosθ_ｙcosω_ｙ＋cosθ_ｚcosω_ｚ

次に２式目については、Acosφ＝B の関係式に１式目の結果を代入します。
A cosθ_ｘ＝A_ｘ等の関係を使って途中の変形を行います。

B＝Acosφ
＝A (cosθ_ｘcosω_ｘ＋cosθ_ｙcosω_ｙ＋cosθ_ｚcosω_ｚ)
＝(A cosθ_ｘ) cosω_ｘ＋(A cosθ_ｙ) cosω_ｙ＋(A cosθ_ｚ) cosω_ｚ
＝A_ｘcosω_ｘ＋ A _ｙcosω_ｙ＋A_ｚcosω_ｚ

この２式目のほうの式は、次に見て行くように２つの直交座標においてベクトルの成分の変換公式を導出するのに必要です。（直交座標から直交曲線座標への変換も局所的には可です。）

公式３：２つの直交座標系でのベクトル成分の変換公式

原点を共有する２つの異なる直交座標を考えます。１つの直交座標に対して、もう片方の直交座標が原点を共有した状態で回転したような位置関係です。
この時のベクトルの成分に対する座標変換に対して、方向余弦を使う事ができます。

ここで言う「ベクトルの成分に対する座標変換」とは、
１つの直交座標における成分で表されたベクトルが、空間での大きさと向きは同じにしたままで
「別の直交座標から見た時」にはどのような成分で書けるだろうか？という問題です。

得られる公式は形が規則的ではあるのですが、３軸の３軸に対する方向余弦を考える必要があるので合計９個の方向余弦を必要とします。
それらは１～３の番号の組み合わせを使うと処理をしやすい場合もありますが
（線形変換的な式なので、特に行列などを使う場合など）、
ここではｘ，ｙ，ｚとＸ，Ｙ，Ｚの文字で区別を行う事にします。

ここでも考えているベクトルはゼロベクトルを除いていますが、考えている２つの直交座標系は原点を共有しているという設定なので、原点におけるゼロベクトルはそもそも変換の必要はなくどちらの座標系でも同じ成分（０，０，０）として共有されている事になります。

９つの方向余弦の位置関係を表にして整理すると次のようになります。

方向余弦	X軸から	Y軸から	Z軸から
ｘ軸へ	cosθXｘ	cosθYｘ	cosθZｘ
ｙ軸へ	cosθXｙ	cosθYｙ	cosθZｙ
ｚ軸へ	cosθXｚ	cosθYｚ	cosθZｚ

余弦が角度のプラスマイナスで同じ値になる事を考えると、これらの方向余弦は「ｘｙｚ系の軸からＸＹＺ系の軸への方向余弦」を考えた時と同じ値になります。つまり例えば「ｚ軸からＹ軸への方向余弦」は「Z軸からｙ軸への方向余弦cosθ_Zｙ」と同じものを使ってよいという事です。
ただしｘｙｚ系の軸からＸＹＺ系変換への公式は導出過程に由来して、
単純にｘ，ｙ，ｚとＸ，Ｙ，Ｚの置き換えをすればよいわけではなく
「ｘ軸から考えた場合の３つの方向余弦」を使う必要があります。
表で言うと、
ＸＹＺ系への変換では１つの変換につき「縦」の３つを使うのに対して、
ｘｙｚ系への変換では１つの変換につき「横」の３つを使う事になります。

この公式の変換は原点を始点として考えていますが、任意の点を始点とする場合でもそこを基準に考えるかベクトルを原点に平行移動して考える事によって変換公式を適用する事ができます。直交座標系ではベクトルの向き（および大きさ）を保ったまま平行移動を行っても軸とのなす角は同じ値に保たれます。つまり方向余弦の値も同じものが使えるので、上記の変換公式を適用できます。

証明

変換公式の証明には前述の「ベクトルの直線への射影と方向余弦の関係式」を使います。本質的には、意味を把握しているならその関係式に当てはめる事で変換の式はそのまま導出できます。

まず、ｘｙｚ系からXYZ系への変換を考えたいので
「Ａ_ＸをA_ｘ，Ａ_ｙ，Ａ_ｚと方向余弦で表す」事を考えます。
そこで、ベクトル\(\overrightarrow{A}\)のＸＹＺ系の各軸への射影を１つずつ考えます。
すると、ベクトルの終点から軸に下ろした垂線の足と始点までの距離は、
実はそれがそのまま「ＸＹＺ系における座標成分」になっています。

すると「X軸からのｘ軸」「X軸からのｙ軸」「X軸からのｚ軸」への方向余弦を考えて、公式に当てはめればXYZ系でのベクトル\(\overrightarrow{A}\)の「X成分」が得られるという流れです。
それが A_X＝A_ｘcosθ_Xｘ ＋A_ｙcosθ_Xｙ ＋A_zcosθ_Xｚの式になります。

Y軸についても同様に「Y軸からのｘ軸」「Y軸からのｙ軸」「Y軸からのｚ軸」への方向余弦を考え、
Z軸についても同様に「Z軸からのｘ軸」「Z軸からのｙ軸」「Z軸からのｚ軸」への方向余弦を考えて
A_Y＝A_ｘcosθ_Yｘ ＋A_ｙcosθ_Yｙ ＋A_ｚcosθ_Yｚ および
A_Z＝A_ｘcosθ_Zｘ ＋A_ｙcosθ_Zｙ ＋A_ｚcosθ_Zｚ の式を得ます。

逆変換の式の場合

同じ考え方で、XYZ系の成分で表されたベクトルをｘｙｚ系の成分で表す逆変換の式も作れます。
ただし「考え方」が同じでも使う方向余弦が違ってくるので注意も必要です。【余弦の値自体はｘ軸からＹ軸の方向余弦はＹ軸からｘ軸への方向余弦と同じものを使えます。cosθ＝cos(－θ)であるため。】

ｘｙｚ系からの変換を考える時には、使う方向余弦は次のようになります。

Aｘを表すために使う方向余弦	Aｙを表すために使う方向余弦	Aｚを表すために使う方向余弦
「ｘ軸からX軸」cosθXx 「ｘ軸からY軸」cosθYx 「ｘ軸からZ軸」cosθZx	「ｙ軸からX軸」cosθXｙ 「ｙ軸からY軸」cosθYｙ 「ｙ軸からZ軸」cosθZｙ	「ｚ軸からX軸」cosθXｚ 「ｚ軸からY軸」cosθYｚ 「ｚ軸からZ軸」cosθZｚ

式で使うベクトル\(\overrightarrow{A}\)の成分についてはXYZ系での成分であるA_ｘ，Ａ_ｙ，Ａ_ｚを使用します。
これらによって、ｘｙｚ系での成分であるA_ｘ，A_ｙ，A_ｚを表す式を得るわけです。

すなわち
A_ｘ＝A_Xcosθ_Xｘ ＋A_Ycosθ_Yｘ ＋A_Zcosθ_Zｘ
A_ｙ＝A_Xcosθ_Xｙ ＋A_Ycosθ_Yｙ ＋A_Zcosθ_Zｙ
A_ｚ＝A_Xcosθ_Xｚ ＋A_Ycosθ_Yｚ ＋A_Zcosθ_Zｚ の３式が導出されます。

局所的には直交曲線座標への変換にも適用可能である件

上記の方向余弦による直交座標間のベクトルの変換公式は、
局所的には極座標や球面座標などの「直交曲線座標」にも適用可能です。
その事についてもここで簡単に触れておきます。

ここで「局所的に」というのは、直交曲線座標においては１つ１つの点において２つまたは３つの座標曲線（極座標だと同心円と放射状に伸びる直線）の接線ベクトルが互いに直交するので、そこに限定して見れば「直交座標とみなせる」という事を指します。

ただし直交曲線座標では一般的に、そのような局所的には直交座標の軸とみなせる接線ベクトルも位置を変えれば向きが変わってしまいます。ですので直交曲線座標においては「向きが異なる局所的な直交座標」が至るところに存在するという感じです。

そのため、直交曲線座標に対して上記の変換公式を使う時には方向余弦を微分や偏微分を使って表します。そのようにする事で、変換の式が座標変数による関数として表せるので、結果的に領域全体での変換を表す事が可能になります。これは微分方程式に対して基本ベクトルを変更する形での極座標変換を行う時などに重要になります。

公式４：直交座標変換における方向余弦の関係式

上記は９つの方向余弦を使った「成分についての座標変換の公式」でしたが、
９つの方向余弦自体に対して成立する関係式も公式として存在します。

これらの公式は「暗記」するようなものではなく、このような規則的な関係が成立するという認識のもと、もし必要であれば適宜参照すればよいと考えるべきでしょう。後述する「原点を共有する直交座標間の変換の前後でベクトルの内積は不変である」事の証明ではこれらの関係式の一部を使います。

公式	例	行列要素での表記
cosθJｘcosθKｘ ＋cosθJｙcosθKｙ ＋cosθJｚcosθKｚ＝０ （J≠Kの時）	cosθXｘcosθZｘ ＋cosθXｙcosθZｙ ＋cosθXｚcosθZｚ＝０ 【X，Z軸からの方向余弦の積の和】	$$\sum_{n=1}^3C_{Jn}C_{Kn}=0\hspace{5pt}(J\neq K)$$
cos２θＸｊ ＋cos２θＹｊ ＋cos２θＺｊ＝１ （第３式でｊ＝ｋの時）	cos２θＸｙ ＋cos２θＹｙ ＋cos２θＺｙ＝１ 【ｙ軸への方向余弦の２乗和】	$$\sum_{n=1}^3(C_{nj})^2=1$$
cosθXｊcosθXｋ ＋cosθYｊcosθYｋ ＋cosθZｊcosθZｋ＝０ （j≠kの時）	cosθXｘcosθXｚ ＋cosθYｘcosθYｚ ＋cosθZｘcosθZｚ＝０ 【ｘ，ｚ軸への方向余弦の積の和】	$$\sum_{N=1}^3C_{Nj}C_{Nk}=0\hspace{5pt}(j\neq k)$$
cos２θJｘ ＋cos２θJｙ ＋cos２θJｚ＝０ （第１式でJ＝Kの時）	cos２θZｘ ＋cos２θZｙ ＋cos２θZｚ＝０ 【Z軸からの方向余弦の２乗和】	$$\sum_{n=1}^3(C_{Jn})^2=1$$

証明

証明はいずれも内積計算を使いますが、２乗和の形の式はそれ以外の方法でもできます。
ここで考えるベクトルは任意のベクトルではなく「始点と終点が軸上にあるベクトル」です。
以下、そのようなベクトルを「軸に重なるベクトル」と呼ぶ事にします。
１つの座標系における軸に重なるベクトルであっても、別の座標系から見た成分で書くと通常のベクトルとして扱われる事になり、その事をここでの証明でも使います。

第１式

第１式については、X，Y，Z軸の異なる２つの軸は直交しますから、それらの軸上のベクトル同士の内積は０です。そこで、ベクトルの成分で内積を計算して０に等しいとする事で証明されます。（同じ１つの軸同士【公式でJ=K】であれば当然直交はせず、内積は大きさの２乗になります。それは第４式の証明です。）

J≠Kの時に J 軸と K 軸（例えばX軸とZ軸）は直交するので、
大きさが P（＞０）のJ軸上のベクトル\(\overrightarrow{P}\)について成分はｘｙｚ系での座標で書ける事に注意すると
\(\overrightarrow{P}\)＝ P (cosθ_Jｘ，cosθ_Jｙ，cosθ_Jｚ)
同じように大きさがQ（＞０）であるK軸に重なるベクトル\(\overrightarrow{Q}\) は次のように書けます。
\(\overrightarrow{Q}\)＝ Q (cosθ_Kｘ，cosθ_Kｙ，cosθ_Kｚ)
２つのベクトルは直交するので内積は０であり、
\(\overrightarrow{P}\cdot\overrightarrow{Q}\)＝PQ(cosθ_Jｘcosθ_Kｘ＋cosθ_Jｙcosθ_Kｙ＋cosθ_Jｚcosθ_Kｚ)＝０
PQ≠０なので J≠K であれば
cosθ_Jｘcosθ_Kｘ＋cosθ_Jｙcosθ_Kｙ＋cosθ_Jｚcosθ_Kｚ＝０

第２式

第２式については、ｘｙｚ系の軸に重なるベクトルから見て考えます。
ｘｙｚ系のｊ軸（例えばy軸）に重なる大きさ（ｐ＞０）のベクトル\(\overrightarrow{p}\)を考えて、
成分をXYZ系の座標として書きます。
方向余弦はXYZ系からｘｙｚ系へのものを選んで使う事ができ、
ｋ軸からＸ，Ｙ，Ｚに向かうものを選ぶ事に注意すると次のように書けます。
\(\overrightarrow{p}\)＝ ｐ (cosθ_Xｊ，cosθ_Yｊ，cosθ_Zｊ)
同じベクトル同士の内積\(\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{p}\)を考えるか、
成分で計算したベクトルの大きさ＝ｐ^２と考える事で結果の式を得ます。
\(\overrightarrow{P}\cdot\overrightarrow{P}\)＝ｐ^２(cos^２θ_Xｊ＋cos^２θ_Yｊ＋cos^２θ_Zｊ)＝ｐ^２
ｐ＞０なので
cos^２θ_Xk＋cos^２θ_Yk＋cos^２θ_Zk＝１

この式は第３式でｊ＝ｋとして考えた場合でもあります。

第３式

第３式はｘｙｚ系から見て、第１式の時と同じように考えます。
ｊ，ｋ＝ｘ，ｙ，ｚでｊ≠ｋのもとで、ｐ＞０およびｑ＞０が大きさである
ｊ軸とｋ軸に重なる２つのベクトルを考えると、２つのベクトルは直交します。
両者をＸＹＺ系の座標で書き、内積を成分で計算して０になるとおくと結果の式を得ます。
\(\overrightarrow{p}\)＝ ｐ(cosθ_Xj，cosθ_Yj，cosθ_Zj)
\(\overrightarrow{q}\)＝ ｑ (cosθ_Xk，cosθ_Yk，cosθ_Zk)
\(\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}\)＝ｐｑ(cosθ_Xjcosθ_Xk＋cosθ_Yjcosθ_Yk＋cosθ_Zjcosθ_Zk)＝０
ｐ＞０かつｑ＞０なのでｊ≠ｋであれば
cosθ_Xjcosθ_Xk＋cosθ_Yjcosθ_Yk＋cosθ_Zjcosθ_Zk＝０

第４式

第４式は、第１式において大きさがP （＞０）の１つのベクトル同士の内積か大きさを成分で計算する事で結果の式を得ます。
\(\overrightarrow{P}\cdot\overrightarrow{P}\)＝P^２(cos^２θ_Jｘ＋cos^２θ_Jｙ＋cos^２θ_Jｚ)＝P^２
P＞０なので
cos^２θ_Jｘ＋cos^２θ_Jｙ＋cos^２θ_Jｚ＝１

方向余弦を使った直交座標の変換の前後において内積は不変である事の証明

座標変換をした時に値が変わらない量（「不変量」）についての考察は数学的に重要で、扱う対象によっては物理学でも重要となる場合もあります。

ところで前述の原点を「共有する直交座標同士のベクトルの成分の変換」は、ベクトル自体はいじっていないはずなので変換前と変換後で大きさは「同じはず」です。もしも、現に計算したらベクトルの大きさの値が変わってしまうなどという結果が出たら整合性がとれず困った事になります。
しかし実際は計算をしてもベクトルの大きさは同じ値に保たれる事が数式でも分かります。
そして実は、変換前と変換後ではベクトルの大きさだけでなく内積が同じ値に保たれているのです。

証明

変換後の成分で内積を計算し、変換前の内積の値に等しくなる事を示します。

２つのベクトルの変換について、使用する方向余弦は「座標軸から座標軸へのもの」なので共通して使う事ができます。

• A_X＝A_ｘcosθ_Xｘ ＋A_ｙcosθ_Xｙ ＋A_ｚcosθ_Xｚ
• A_Y＝A_ｘcosθ_Yｘ ＋A_ｙcosθ_Yｙ ＋A_ｚcosθ_Yｚ
• A_Z＝A_ｘcosθ_Zｘ ＋A_ｙcosθ_Zｙ ＋A_ｚcosθ_Zｚ

• B_X＝B_ｘcosθ_Xｘ ＋B_ｙcosθ_Xｙ ＋B_ｚcosθ_Xｚ
• B_Y＝B_ｘcosθ_Yｘ ＋B_ｙcosθ_Yｙ ＋B_ｚcosθ_Yｚ
• B_Z＝B_ｘcosθ_Zｘ ＋B_ｙcosθ_Zｙ ＋B_ｚcosθ_Zｚ

さて、これの内積を計算するとなるとX成分だけで見ても９つの項ができる事になりますが
規則性があるので全体としても３項の和の塊が９つという形です。
さらに前述の座標変換時の方向余弦に関する関係式を使うと、実は多くの部分が０になるのです。

1. A_ｘB_ｘcos^２θ_Xｘ＋A_ｘB_ｘcos^２θ_Yｘ＋A_ｘB_ｘcos^２θ_Zｘ＝A_ｘB_ｘ
   【∵cos^２θ_Xｘ＋cos^２θ_Yｘ＋cos^２θ_Zｘ＝１】
2. A_ｘB_ｙcosθ_Xｘcosθ_Xｙ＋A_ｘB_ｙcosθ_Yｘcosθ_Yｙ＋A_ｘB_ｙcosθ_Zｘcosθ_Zｙ＝０
   【∵cosθ_Xｘcosθ_Xｙ＋cosθ_Yｘcosθ_Yｙ＋cosθ_Zｘcosθ_Zｙ＝０】
3. A_ｘB_ｚcosθ_Xｘcosθ_Xｚ＋A_ｘB_ｚcosθ_Yｘcosθ_Yｚ＋A_ｘB_ｚcosθ_Zｘcosθ_Zｚ＝０
   【∵cosθ_Xｘcosθ_Xｚ＋cosθ_Yｘcosθ_Yｚ＋cosθ_Zｘcosθ_Zｚ＝０】
4. A_ｙB_ｙcos^２θ_Xｙ＋A_ｙB_ｙcos^２θ_Yｙ＋A_ｙB_ｙcos^２θ_Zｙ＝A_ｙB_ｙ
   【∵cos^２θ_Xｙ＋cos^２θ_Yｙ＋cos^２θ_Zｙ＝１】
5. A_ｙB_ｘcosθ_Xｙcosθ_Xｘ＋A_ｙB_ｘcosθ_Yｙcosθ_Yｘ＋A_ｙB_ｘcosθ_Zｙcosθ_Zｘ＝０
   【∵cosθ_Xｘcosθ_Xｙ＋cosθ_Yｘcosθ_Yｙ＋cosθ_Zｘcosθ_Zｙ＝０（２番目の計算と同じ）】
6. A_ｙB_ｚcosθ_Xｙcosθ_Xｚ＋A_ｙB_ｚcosθ_Yｙcosθ_Yｚ＋A_ｙB_ｚcosθ_Zｙcosθ_Zｚ＝０
   【∵cosθ_Xｙcosθ_Xｚ＋cosθ_Yｙcosθ_Yｚ＋cosθ_Zｙcosθ_Zｚ＝０】
7. A_ｚB_ｘcosθ_Xｚcosθ_Xｘ＋A_ｚB_ｘcosθ_Yｚcosθ_Yｘ＋A_ｚB_ｘcosθ_Zｚcosθ_Zｘ＝０
   【∵cosθ_Xｘcosθ_Xｚ＋cosθ_Yｘcosθ_Yｚ＋cosθ_Zｘcosθ_Zｚ＝０（３番目の計算と同じ）】
8. A_ｚB_ｙcosθ_Xｚcosθ_Xｙ＋A_ｚB_ｙcosθ_Yｚcosθ_Yｙ＋A_ｚB_ｙcosθ_Zｚcosθ_Zｙ＝０
   【∵cosθ_Xｙcosθ_Xｚ＋cosθ_Yｙcosθ_Yｚ＋cosθ_Zｙcosθ_Zｚ＝０（６番目の計算と同じ）】
9. A_ｚB_ｚcos^２θ_Xｚ＋A_ｚB_ｚcos^２θ_Yｚ＋A_ｚB_ｚcos^２θ_Zｚ＝A_ｚB_ｚ
   【∵cos^２θ_Xｚ＋cos^２θ_Yｚ＋cos^２θ_Zｚ＝１】

ここでは一応全部記してみましたが、
「２番目と５番目」「３番目と７番目」「６番目と８番目」は
掛け合わせる方向余弦の順番が違うだけで実質的に同じ計算であり、しかも値が０になります。
つまり６式については実は３組のほぼ同じ計算の式で、しかも０になって消えるわけです。
残るのは他の３つだけで、それらは方向余弦の部分が上手い具合に１になります。
よって、XYZ系に成分を変換後の内積の値は
A_ｘB_ｘ＋A_ｙB_ｙ＋A_ｚB_ｚとなり、
これは変換前の内積の値に一致するわけです。

XYZ系からｘｙｚ系への逆変換の式でも、内積の不変性は同様に証明も同様に可能です。