群【ぐん】を作る集合の部分集合で、それ自体でも群を作るものを部分群と言います。
英：部分群 subgroup 正規部分群 normal subgroup
考え方と具体例
簡単な例で言うと、加群としての整数全体の部分集合のうち「偶数である整数の全体（負の数と０含める）」もそれ自体で加法に関して群を作るので部分群であるという事になります。
これに対して、「奇数である整数の全体（負の数含む）」は整数全体の部分集合ではありますが、加法について単位元となるべき０を含まない、奇数＋奇数＝偶数になる等の理由により加法について群になりません。そのため、加法に関して言えば「部分群では無い」という判定になります。
また、他に重要な例としてはｎ次の置換全体を表す群（対称群）に対して、ｎ次の偶置換全体を表す群（交代群）も部分群になります。
- ０を除く実数全体に対して、０を除く有理数全体は乗法に関して部分群になる。
【無理数全体は実数全体の部分集合だが部分群にならない】 - 有理数全体に対して、整数全体は加法に関して部分群になる。
- 整数全体に対して集合｛２ｎ ｜ ｎは整数｝は加法に関して部分群になる。
【集合｛２ｎ＋１｜ｎは整数｝は整数全体の部分集合だが部分群にならない】 - ｎ次の置換全体Ｓｎに対してｎ次の偶置換全体Ａｎや、
１文字だけ固定してｎ－１次の置換全体Ｓｎー１同様に考えた集合は部分群になる。
【Ｓｎの部分群を一般に「置換群」と呼びます。】
このように具体例で見るとそれほど難しいものではないのですが、代数学の群論ではもう少し抽象的なレベルでの部分群についての性質が重要になります。
式での定義と性質
部分群である事の定義を記号で書くと次のようになります。
群Ｇの部分集合Ｈが次の２条件をともに満たす時、Ｈを「部分群」と呼びます。
- ａ∊Ｈかつｂ∊Ｈ ⇒ ａｂ∊Ｈ
- ａ∊Ｈ ⇒ ａ－１∊Ｈ
Ｇが群でＧ⊃Ｈですから、元同士の積が行える事や逆元の存在自体は前提になっています。
群Ｇに対してＧ自身や単位元だけからなる集合{ｅ}も部分群になります。それらを除いた部分群を特に「真部分群」と言う事もあります。
部分群に関する重要な最初の性質として、
「部分群Ｈが存在する時、Ｇの単位元は必ずＨに含まれている」という事が言えます。
「ｅが群Ｇの単位元」⇔「ｅは部分群Ｈの単位元」
（ＧとＨとで別々の単位元を持つ事はなく、共通の単位元を必ず持つ。）
【証明】定義の２番目の条件により「ａ∊Ｈ ⇒ ａ－１∊Ｈ」であり、
定義の１番目の条件により「ａ∊Ｈかつｂ∊Ｈ ⇒ ａｂ∊Ｈ」なので
「ａ∊Ｈかつａ－１∊Ｈ」であるから「ａａ－１＝∊Ｈ ⇔ ｅ∊Ｈ」と言える事によります。
逆にｅがＨの単位元であれば、そのｅがＧの単位元ではないとするとＨの外にＧの単位元ｅ’ がある事になりますが、先に示した事からそのｅ’ は部分群Ｈの単位元でなくてはなりません。しかしこれは、任意の群の単位元は一意性と矛盾します。よってｅがＨの単位元であればＧの単位元でもあります。
さらに、定義から少し計算をすると「部分群である事」を次のように言い換える事もできます。
次の関係が成立します。
「群Ｇの部分集合ＨがＧの部分群である」⇔「ａ∊Ｈかつｂ∊Ｈ ⇒ ａｂ－１∊Ｈ」
【証明の中で示されるように、「ａ∊Ｈかつｂ∊Ｈ ⇒ ａｂ－１∊Ｈ」が成立するならａ－１∊Ｈとｂ－１∊Ｈも成立します。ただ、例えばある部分集合が部分群になっている事を示すには「ａ∊Ｈかつｂ∊Ｈ ⇒ ａｂ－１∊Ｈ」であるかを調べれば十分という事です。】
この必要十分条件の関係は自明ではないので証明が必要です。ただ、理屈自体は非常に単純です。
まず、「群Ｇの部分集合ＨがＧの部分群である」ならば、
定義から「『ａ∊Ｈかつｂ∊Ｈ ⇒ ａｂ∊Ｈ』かつ『ａ∊Ｈ ⇒ ａ－１∊Ｈ』」ですから、
ｂ∊Ｈよりｂ－１∊Ｈであり、「ａ∊Ｈかつｂ－１∊Ｈ」であるから 「ａｂ－１∊Ｈ」となります。
この時「ａ∊Ｈかつｂ∊Ｈ ⇒ ａｂ－１∊Ｈ」の関係が確かに成立しており、
「群Ｇの部分集合ＨがＧの部分群である」⇒「ａ∊Ｈかつｂ∊Ｈ ⇒ ａｂ－１∊Ｈ」が成立します。
次に、「ａ∊Ｈかつｂ∊Ｈ ⇒ ａｂ－１∊Ｈ」であるとすると、
「ａ∊Ｈかつａ∊Ｈ」【ｂ＝ａの時に相当】は常に成立するので、ａａ－１∊Ｈ ⇔ ｅ∊Ｈであり、
「ｅ∊Ｈかつａ∊Ｈ」であるからｅａ－１∊Ｈ ⇔ ａ－１∊Ｈ となるので、
この時「ａ∊Ｈ ⇒ ａ－１∊Ｈ」が確かに成立しています。
なおかつ、ｅ∊Ｈが示されているので「ｅ∊Ｈかつｂ∊Ｈ」も成立し、
ａの場合と同様にｅｂ－１∊Ｈ ⇔ ｂ－１∊Ｈとなり、
「ａ∊Ｈかつｂ－１∊Ｈ」も成立するのでａ(ｂ－１)－１∊Ｈ ⇔ ａｂ∊Ｈも成立します。
つまり「ａ∊Ｈかつｂ∊Ｈ ⇒ ａｂ－１∊Ｈ」⇒「群Ｇの部分集合ＨがＧの部分群である」が成立しています。
これらの証明は「確かにそうなるという事の保証」のようなもので、結果のほうが重要です。
部分群についての他の基本的性質としては、次のようなものがあります。
- 群Ｇに対して２つの異なる部分群ＨとＫがある時、
その共通部分Ｈ∩Ｋも１つの部分群になる。
【Ｇの単位元はＨ∩Ｋに含まれる事になります。】 - 群Ｇに属するが部分群Ｈに属しない元ｃ対して、
部分群Ｈに属する元ａとの積ａｃはＧに含まれＨには含まれない。$$【Gが群、Hがその部分群の時、c\in Gかつc\notin H かつ a\in H\Rightarrow ac\notin H】$$ - 群Ｇに属するが部分群Ｈに属しない２つの元ｂとｃ対して、
積ｂｃはＨに含まれる場合・含まれない場合両方ともあり得る。
【証明】
■１番目の性質：ａ∊Ｈ∩Ｋかつｂ∊Ｈ∩Ｋとすると、
ａ∊Ｈかつｂ∊Ｈなので ａｂ－１∊Ｈであり、
ａ∊Ｋかつｂ∊Ｋなので ａｂ－１∊Ｋであるから、
ａｂ－１はＨの元でもあり、同時にＫの元でもある、
つまりａｂ－１∊Ｈ∩Ｋとなるので、
部分群であるための必要十分条件により示されます。
■２番目の性質：\(c\in Gかつc\notin H かつ a\in H\) のとき、ａｃ∊Ｈとすると、
ａ－１∊Ｈなのでａ－１ａｃ∊Ｈ ⇔ ｃ∊Ｈ
しかしｃはＨに含まれないはずだったので、これは矛盾です。
あるいは、ｃ∊Ｇとａ∊Ｈに対してａ－１(ａｃ)＝ｃ\(\notin\)Ｈなので、
ｃ\(\notin\)Ｈならａ－１∊Ｈであるからａｃ\(\notin\)Ｈとなる、とも言えます。
ここでの３番目の性質は一体何を言っているのかというと、加群で考えると比較的分かりやすいでしょう。
整数全体に対して３の倍数（０と負の数含む）を考えます。この時に、３ｎ＋１や３ｎ＋２で表されるものはもちろん３の倍数になりませんが、その和（群論一般で言うとこれが「積」に該当）は３ｎ＋３＝３(ｎ＋１)ですから３の倍数になります。
他方、３ｎ＋１で表されるもの同士の和は３ｎ＋２の形ですから、３の倍数にはなりません。おおもとの群の元であって部分群の外にあるもの同士の積（加群だと「和」）は、部分群の元になる時もあるし、そうでない事も両方あり得るという事です。
このため、部分群Ｈの元ａとその外にあるおおもとの群Ｇの元ｃの積ａｃはＨに含まれませんが、さらにその積同士を考えると部分群の中に戻る事もあります。例えばａ∊Ｈのもとでａｃとｃ－１ａがともにＨに含まれない場合でも、その積はａｃｃ－１ａ＝ａａですからこれはＨの元になります。
巡回部分群
群Ｇがあるとき、ａ∊Ｇに対して実数等との時の感覚でａａ＝ａ２、ａａａ＝ａ３、ａ－１ａ－１＝ａ－２、ａ－１ａ－１ａ－１＝ａ－３、・・のように書きます。実数等との時と全く同じ感覚でこれらをａの「べき」とか「べき乗」と言います。
この時、次の部分集合Ｈ＝｛ａｎ｜ａ∊Ｇ, ｎは整数｝を考えます。
何かてきとうなＧの元に対して、そのべき乗を集めるという事です。
例えばＧが０以外の実数・演算は乗法であるとして、てきとうに「３」を選んでＨ＝｛１,３,３２,３３,３４,・・・,３－１,３－２,３－３,３－４,・・・｝を考えるという事です。【３０＝１, ３１＝３】
この時、Ｇが群であれば、Ｈ＝｛ａｎ｜ａ∊Ｇ, ｎは整数｝は必ず部分群になります。これは、定義から示してもよいですが前述の「部分群であるための必要十分条件」を考えるとより簡単であり、ａｎ∊Ｈかつａｍ∊Ｈのもとでａｎａ－ｍ＝ａｎ－ｍ∊Ｈとなるので確かに部分であるという事になります。ａｎａｍ＝ａｍａｎ（＝ａｎ＋ｍ）なので、これは可換群です。このような部分群Ｈを、特に「巡回部分群」と呼び、Ｈ＝＜ａ＞と書く事があります。この場合にａを「Ｈの生成元」と言う事もあります。
Ｇが群の時、Ｈ＝｛ａｎ｜ａ∊Ｇ, ｎは整数｝を「巡回部分群」と呼びます。
- Ｈ＝＜ａ＞とも書く
- ａを「生成元」とも言う
- 可換群である
加群の場合には、特に＜ａ＞＝｛ｎａ｜ａ∊Ｇ, ｎは整数｝と書けます。
【★ 似た用語として、置換の１つの種類として「巡回置換」がありますが区別する必要があります。】
Ｇ自体が｛ａｎ｜ａ∊Ｇ, ｎは整数｝として表される時にはＧを「巡回群」と呼びます。
正規部分群
群Ｇに対して部分群Ｓがあったとき、ｔ∊Ｇ【Ｓに含まれていてもそうでなくてもよい】とｓ∊Ｓを組み合わせたｔ－１ｓｔという積を考えます。これを元とする集合も部分群になり「Ｓに共役な部分群」と言います。
Ｇが群、ＳがＧの部分群でｔ∊Ｇ, ｓ∊Ｓのとき、次の集合を「Ｓに共役な部分群」と言います。
ｔ－１Ｓｔ＝｛ｔ－１ｓｔ ｜ｔ∊Ｇ, ｓ∊Ｓ ｝
これが本当に部分群になるかは、再び
「『群Ｇの部分集合ＨがＧの部分群である』⇔『ａ∊Ｈかつｂ∊Ｈ ⇒ ａｂ－１∊Ｈ』」
の、部分群であるための必要十分条件の関係から見るとすぐに示せます。
ｓ∊Ｓかつｕ∊Ｓのもとで、
(ｔ－１ｓｔ)(ｔ－１ｕｔ)－１＝(ｔ－１ｓｔ)(ｔ－１ｕ－１ｔ)＝ｔ－１ｓｔｔ－１ｕ－１ｔ＝ｔ－１(ｓｕ－１)ｔ∊Ｓ
よって、集合｛ｔ－１ｓｔ ｜ｔ∊Ｇ, ｓ∊Ｓ ｝はＧの部分群です。
【Ｓは部分群なので、ｕ∊Ｈ ⇒ ｕ―１∊Ｈ（上記で証明済です）なのでｓｕ―１∊Ｓです。
また、群の元に関する公式 (ａｂ)－１＝ｂ－１ａ－１の関係に注意。】
さて、群Ｇに対して部分群Ｎがあれば「Ｎに共役な部分群」も必ずある事になりますが、この「Ｎに共役な部分群」がＮ自身であり、しかもＮ自身以外にはありえない時はＮをＧの「正規部分群」と呼びます。
「『Ｎに共役な部分群』(必ず存在)がＮ自身しかない」 時、ＮをＧの「正規部分群」と呼びます。
式で書くと、任意のｔ∊Ｇに対し｛ｔ－１ｎｔ｜ｎ∊Ｎ｝＝Ｎ,
もしくはｔ－１Ｎｔ＝Ｎ
もしくはｔＮ＝Ｎｔなどと表されます。
ｔがＧの要素でＮの要素でない時、ｎ∊Ｎに対してｔ－１ｎ\(\notin\)Ｎかつｎｔ\(\notin\)Ｎです。
しかしそれらとｔやｔ－１の積の(ｔ－１ｎ)ｔ＝ｔ－１(ｎｔ)＝ｔ－１ｎｔはＮの元になり得ます。
Ｎが群Ｇの正規部分群である時は、ｔ－１ｎｔがＮの元であり、かつｎをＮの中全体に渡って動かした時にＮの中の全ての元になっている事を意味します。
少し理屈が込み入るようですが、この「正規部分群」とは具体例を探すと割と多くあるもので、
例えば「可換群の部分群」は全て正規部分群です。
【∵任意のｎ∊Ｎに対してｔ－１ｎｔ＝ｎｔ－１ｔ＝ｎより、ｔ－１Ｎｔ＝Ｎ】
群Ｇに対するＧ自身や単位元だけの群｛ｅ｝も正規部分群に該当し、「自明な正規部分群」と言います。
Ｇの正規部分群がこの「自明な正規部分群」しか存在しない時、Ｇを「単純群」と呼ぶ事があります。
「では非可換な群の部分群で、うまい具合にｔ－１Ｎｔ＝Ｎなどという関係になるものがあるのか？」
結論を言うと、あります。非可換な群で重要なものとして置換全体から成る群がありますが、ｎ次（ｎ個の番号が対象）の置換全体に対して「ｎ次の偶置換（操作回数が偶数回）全体の群」は正規部分群です。
また、４次の置換全体に対してはそれとは別の１つの正規部分群が存在します。
その他に、群Ｇの元ａ、ｂに対してａ－１ｂ－１ａｂを考え、これを元とする「交換子群」も正規部分群になります（Ｇが可換か非可換かに関わらず）。
この正規部分群というのは群論の基礎理論のなかで重要な役割を持っています。