正弦定理は、三角形の辺の長さおよび外接円の半径（あるいは直径）と、三角比の正弦の間に成立する関係式です。（英：sine rule）
三角比を使うという事で高校で教えられる事が多いですが、内容としてはどちらかというと平面の図形問題の色彩が濃く、中学校で教わる平面幾何の内容に近いかもしれません。
定理の内容
定理の内容は次の通りです。
三角形ＡＢＣでＢＣ＝ａ、ＡＣ＝ｂ、ＡＢ＝ｃとして、
それらの対角の大きさについて∠ＢＡＣ＝Ａ、∠ＡＢＣ＝Ｃ、∠ＡＣＢ＝Ｃとします。
また、△ＡＢＣの外接円の半径をＲとすると、次の関係式が成立します：
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$
このように１つの式で表されていますが、２つのグループに分かれていると考える事もできます。１つは辺の長さと正弦の関係、もう１つは辺の長さと正弦と外接円の半径の関係です。（後者については証明を見ると分かるように図形上の意味として肝心なのは「直径」との関係です。）
ここでは２つの部分に分けますが、２つ目のほうを使って最初から全て証明する事も可能です。
証明①：三角形の辺と正弦に関する部分
まず、１つ目の辺の長さと正弦の関係です。
定理の中で言うと、とりあえず外接円の部分は無視した次の部分になります。
$$まずこれを証明します：\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$
２つの等号に関して一度に示す事はできないので、１つずつ証明して最後に全部を結ぶという形になります。
これは、一言で言うと、三角形ＡＢＣの「面積」を３通りの方法で表してみると成立する事が分かる関係式です。本来の「面積」の形の等号関係は次のようになります。
$$\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}$$
発想はじつに単純で、三角形の面積「底辺×高さ÷２」において、底辺を辺ＡＢ、ＢＣ、ＡＣのそれぞれとした場合に面積の計算をしてみようという、それだけのものです。
★細かい事を言いますと、厳密にはその場合に「どの辺を底辺にとったとしても１つの三角形の『面積』は１つの値しかとらない」という事も自明ではなく要証明です。
しかしその事は平面幾何で証明済のものとして、ここでは話を進めます。
（三角形の相似関係を使えばよく、証明するとしてもそれほど難しくはありません。）
また、証明の順番は逆になってしまいますが、正弦定理の後半部分を先に証明すればこの面積に関する事項も証明する事はできます。どの方法でも間違いではありません。
まず。底辺をＡＣ＝ａとした時です。面積を出すには高さが必要ですが、これを三角比の関係を使って表します。ＡＢ＝ｃの斜辺と∠ＡＢＣ＝Ｂの正弦によって、高さはｃsinＢになります。これで、面積の１つが表されるわけです。
$$S=\frac{ac\sin B}{2}$$
この時、∠ＡＢＣ＝Ｂとは逆側の角度を使って、高さの部分をｂsinＣと表す事もできます。
これは、あとで使います。
最初からそちらのほうだけで面積を表すとどうなってしまうのかというと、じつはａ(ｂsinＣ)÷２＝ｂ(ａsinＣ)÷２の関係により、「ｂを底辺とした場合に表わした三角形の面積」に等しい事になります。そのため、最初からこちらの式を使って進めても結局証明はできます。
底辺をＡＣ＝ｂの部分とみなす場合には、高さがｃsinＡになります。これで面積の２つ目の表し方です。
$$S=\frac{bc\sin A}{2}$$
ここで、いったん２つの式を等号で結びます。
もちろん、同じ面積Ｓを表すので等号で結べます。
$$\frac{ac\sin B}{2}=\frac{bc\sin A}{2}$$
この式で、両辺でｃと１／２は共通しているので掛け算割り算で「消せる」事になり、さらに正弦の部分を両辺で割ると正弦定理の関係式の１つになります。
$$\frac{ac\sin B}{2}=\frac{bc\sin A}{2}\Leftrightarrow a\sin B=b\sin A$$
$$\Leftrightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$$
ここでもう１つ関係式がほしいわけですが、∠ＡＣＢ＝Ｃに関する正弦が足りないので、再びＢＣ＝ａを底辺とする場合に戻って、高さを今度はｂsinＣと考えます。
$$するとS=\frac{ab\sin C}{2}とも表せる事により、\frac{ab\sin C}{2}=\frac{bc\sin A}{2}$$
$$\Leftrightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$$
これで２つの等号関係を結べます。
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}【証明終り】$$
理解の仕方としては、図を見てもっと単純に直観的にという事でもよいと思います。
証明②：外接円に関わる部分
次に、正弦定理の内容のうち、外接円の半径を含むほうの部分です。
一体どこから円が関係するのかと思われるかもしれませんが、じつはこの後半部分のほうが、図形的な特徴に気付くと直ちに証明されるので簡単なのです。
この場合には面積を考える必要はなく、三角比の関係だけを使います。
まず外接円を考えるのですが、この時に三角形の１つの頂点から「円の中心を通るように」直線を引きます。それが円周の向かい側とぶつかる点に注目します。
図では、点Ｃから中心に向かって直線を引き、円周との交点をＡ’ としています。
すると、まず円周角の定理により、新しくできた図の∠ＣＡ’Ｂの大きさは∠ＣＡＢ＝Ａと同じ大きさです。（弧ＣＢの円周角なので。）よって∠ＣＡ’Ｂ＝Ａです。
また、図のＣＡ’ は円の直径ですから、その円周角について∠Ａ’ＢＣ＝９０° となります。（これも本質的には円周角の定理によるものです。）
という事は、Ａという大きさの角を含む直角三角形を考える事ができます。斜辺は円の直径（２Ｒ）で、辺ＢＣの長さがａですから両者を三角比の関係で結べます。じつは、これで１つの関係の証明が終りです。
$$三角比の関係により、2R\sin A=a\Leftrightarrow \frac{a}{\sin A}=2R$$
同様にして、頂点Ａや頂点Ｂからも補助線を中心に向かって引く事で残り２つの関係式も得られますが、ａ／(sinＡ)＝ｂ／(sinＢ)＝Ｃ／(sinＣ)を既に証明しているので、これで正弦定理の証明完了としても可です。
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}と合わせて、\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R【証明終り】$$
★こちらのほうの定理の後半の内容について最初に証明する事で前半部分も一度に証明する事もできます。
その場合には頂点と中心を通る補助線を３パターン全て作って、
ａ／(sinＡ)＝２Ｒかつｂ／(sinＢ)＝２ＲかつＣ／(sinＣ)＝２Ｒよりａ／(sinＡ)＝ｂ／(sinＢ)＝Ｃ／(sinＣ)であるとして、定理の前半部分もまとめて証明できます。
手間としては、どちらの方法でもあまり変わらないと思います。
この記事では証明を詳しく記しましたが、理解としてはもっと直感的でよいと思います。
さてこの「正弦定理」、別途に「余弦定理」というものがあるので対として教科書の中で教えられる事も多いのですが、大学入試での出題の可能性を除くと重要度はやや低いものがあるかもしれません。
証明の方法から見ても分かる通り、正弦定理とは本質的には三角形の面積に関する平面幾何の基本事項や、円周角の定理から直結する関係式です。そのためこの定理は直接的というよりは、三角形に関わる多くの事項と間接的に関わっているものと言えるかもしれません。