合成関数の微分公式【計算例と証明】

目次：

1. 公式の内容
2. 具体的な計算例
3. 公式の証明

★ｙ＝ｙ(ｘ)と実際におくのは丁寧に計算する場合で、この置き換えが簡単な式である場合には頭の中で計算をしてしまう事もできます。
例えばｆ(ｘ) ＝ (２ｘ＋３)^２のような関数であれば、
ｙという文字を使わずに「(２ｘ＋３)という塊とその２乗」で考えるという事です。

cos(ωx) という形の関数の、さらにより具体的な関数として、
f(x) = cos(2x)という「2x」という形が余弦関数に入っている場合の微分計算を、例として手順を追って見てみましょう。
f(x) = cos(2x) = sin y の「x による微分」は、合成関数の微分公式を利用して計算できるのです。

1. cos(2x)の 2x を y とおき、cos y を「y で」微分します。
   公式により、これは -sin y になります。
   $$\frac{d}{dy}\cos y=-\sin y$$
2. 次に、y = 2x を x で微分します。
   これは、一次関数x の微分「１」に定数 ２ をかければよいので ２ になります。
   $$\frac{d}{dy}(2x)=2$$
3. ｄｆ／ｄｙとｄｙ／ｄｘの積をつくります。
   これは、本当に「掛け算するだけ」の計算です。
   $$\frac{df}{dy}\frac{dy}{dx}=(-\sin y)\cdot 2 =-2\sin y$$
4. ・・最後に、y に y = 2x を代入し、x だけの式にします。それがf(x)を x で微分して得られる導関数に等しいわけです。
   $$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dy}\frac{dy}{dx}=-2\sin y=-2\sin (2x)$$

このタイプの微分は、イラストでも触れていますように、じつは物理でもよく使う微分計算です。
慣れてくると、cos(２ｘ) のような形である時点で微積分する時には「２」を忘れてはいけないという事にすぐに気付くようになるでしょう。

ｆ(ｘ) = e^(2x)は、指数関数の変数が「2x」などになった形の合成関数です。
このタイプも、微分方程式の解法などを含めて物理学で比較的よく使う微分計算だと思います。

2x = y とおきます。
元の関数をｙで表すと、f(x)=e^2x=e^y(=f(y))です。

1. y を x で微分します。$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(2x)=2$$※少し慣れれば、このへんは暗算でやってしまうくらいになると思います。
2. f(y)を y で微分します。$$\frac{df}{dy}=\frac{d}{dy}e^y=e^y$$これは、e の指数関数の微分公式そのままですね。
3. 合成関数の微分公式を適用します。
   ここでは、y を x の形に直すところまで一緒にやってしまいます。 $$\frac{d}{dx}e^{2x}=\frac{df}{dy}\frac{dy}{dx}=2\cdot e^y=2e^{2x}$$

この計算方法を見ると、一般に次のように、 $$「定数 a に対して、\frac{d}{dx}e^{ax}=ae^{ax}」$$ という事が言える事も、分かるかと思います。
f(x) = e^2x の 2x が、3x でもあっても ax であっても、計算方法は同じだからです。
もっとも、これを新しく公式として「暗記」する必要は、ありません。
必要なのはあくまで普通の指数関数の微分公式と、合成関数の微分公式なのです。

三角関数を「２乗した」sin²x などの場合です。
この場合は、 sin x = y と考えて、元の関数が \(f(y)=y^2\)であると考えるのです。
従いまして、微分の計算は次のようになります。

1. まず合成関数の微分公式に必要な材料を計算します。
   $$\frac{df}{dy}=\frac{d}{dy}y^2=2y,\hspace{10pt}\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\sin x=\frac{dy}{dx}\cos x $$
2. ２つの材料を、掛け合わせてできあがりです。
   $$\frac{d}{dx}\sin^2x=\frac{df}{dy}\frac{dy}{dx}=2y\cos x=2\sin x \cos x = \sin 2x$$

（ここで sin 2x は、sin(2x) の事です。）
他方、sin 2x の微分は 2cos(2x) になります。（上の例のcos 2x と同様の手順です。）
sin² x　の微分とは、少々違った結果になる事が分かるかと思います。
一見、「似てるっぽい？」かもしれませんが、計算方法を間違えないようにしたい例のひとつであるわけです。
尚、最後の結果が「x の半角」の正弦の形になる事は、三角関数の半角の公式を導出する手順で使う式（加法定理由来）を使って$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}である事から、$$ $$\frac{d}{dx}\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{2\sin 2x}{2}=\sin 2x$$となる事と調和しています。
また、この例の微分は積の形の微分公式で計算する事も可能で、同じ結果を得ます。

$$続いて、f(x)=\frac{1}{1-x}という関数の微分を考えてみましょう。$$ これも、合成関数として微分する必要があるのです。
「これのどこが合成関数？」かと思われるかもしれませんが、分母の 1-x を y と考えて合成関数と見る必要があるのです。この y = 1 – x の微分においては、定数の「１」は微分すると０になって消えます。

1. 再び、材料作りです。
   $$\frac{df}{dy}=\frac{d}{dy}\frac{1}{y}=\frac{d}{dy}y^{-1}=-y^{-2},\hspace{10pt}\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(1-x)=-1 $$
2. 合成関数なので掛け合わせます。
   $$\frac{d}{dx}\frac{1}{1-x}=\frac{df}{dy}\frac{dy}{dx}=(-1)(-y^{-2})=y^{-2}=\frac{1}{(1-x)^2}$$

例として、$$f(x)=\sqrt{1-x^2}$$という関数の場合は、1-x² = y として微分計算をします。
この関数は、図形で言うと原点を中心とした半径１の円の「第１象限」の部分を関数として表したものです。

1. 前の例と同じように材料をまず作りますが、今回再び丁寧に、２つに分けます。
   まず、かんたんなほうからです。
   $$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(1-x^2)=-2x$$
2. 同じく材料として、「y の平方根」の形の関数の微分を計算します。
   これは単項式の微分公式で「a=1/2」の場合を使えばいいのですが、少し分かりにくいかもしれません。
   $$\frac{df}{dy}=\frac{d}{dy}\sqrt{y}=\frac{d}{dy}y^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{y}}$$
3. ２つの材料がそろえば、あとは掛け合わせて、ｙを x の関数の形に戻すだけです。
   $$\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}=\frac{df}{dy}\frac{dy}{dx}=(-2x)\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}=\frac{-x}{\sqrt{y}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$$

この例で用いている「平方根の微分」は慣れないと、とっつきにくい場合も多いかと思います。
ただ、このタイプの関数の微分は物理でもよく使いますので、知っておくと便利です。