曲率円そのものについては高校ではあまり扱いませんが、内容としては高校数学のまとめのような所もあるので、高校数学としても勉強になる題材かもしれません。より一般的には、曲線・曲面論の初歩的な事項の１つになります。
曲線の曲がり具合と曲率円
平面上の曲線について、緩やかに曲がっているものもあれば、急激な曲がり方をしているものもあります。
その曲り方の度合いを定量的に調べる方法としては、まず微分によって傾きを調べる方法が１つあります。
他方で、「曲線のある箇所に接する事のできる円の半径の最大値」によってその曲がり具合を調べる方法もあります。その目的で用意する円の事を「曲率円」と言い、曲率円の半径の事を「曲率半径」と言います。
この曲率円は、調べようとしている点以外の場所で曲線と交わっていても構いません。
曲率円の中心座標と曲率半径の公式
曲線上のある点に注目した時には、
「曲率円の中心座標と半径（「曲率半径」）は曲線を表す関数の２階までの導関数（微分）の微分係数を使って表す事ができる」という公式が存在します。
曲線がｙ＝ｆ(ｘ)と表される時、ｘ＝ｃでの曲率円の中心座標（ａ，ｂ）と曲率半径ｒは次のように表されます。ｆ(ｃ)＝ｆｃ、ｆ'(ｃ)＝ｆ’ｃ、ｆ”(ｃ)＝ｆ”ｃと表記しています。$$中心座標：a=c-\frac{(1+f_c’\hspace{1pt}^2)f_c’}{f_c’\hspace{1pt}’}\hspace{15pt}b=f_c+\frac{(1+f_c’\hspace{1pt}^2)}{f_c’\hspace{1pt}’}$$
$$曲率半径：r=\frac{(1+f_c’\hspace{1pt}^2)^{\large{\frac{3}{2}}}}{|f_c’\hspace{1pt}’|}$$
【これらは、関数の形としてｘとｙ、ｙ’、ｙ”の形で書いても成立します。】
曲率半径の式の分母に絶対値記号がつくのは、単純に半径がプラスの値であるという意味です。
中心座標に関しては、マイナスの値である事もあり得ます。
◆証明：円の式(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝ｒ２と、両辺の１階微分および２階微分の３式を使います。
微分なし：(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝ｒ２
１階微分：２(ｘ－ａ)＋２ｙ’ (ｙ－ｂ)＝０ ⇔ (ｘ－ａ)＋ｙ’ (ｙ－ｂ)＝０
【ｙの所は合成関数の微分公式使用】
２階微分：１＋ｙ”(ｙ－ｂ)＋ｙ’２＝０
【ｙの所は積の微分公式使用】
実は、これらの式からａ、ｂ、ｒについて解くというだけで証明は十分です。
◆上記３式は単独で存在する円のについて成立する式と全く同じ形ですが、ここではｘ＝ｃで、ｙの値もｙ＝ｆ(ｃ)で固定されていると考えてａ、ｂ、ｒの値を出そうとしているわけです。
【円の導関数を出す目的であれば、ａ、ｂ、ｒが定数であって、ｙ’をｘの関数あるいはｘとｙの関数で表します。】
以下、上記３式に、ｘ＝ｃを代入し、ｙにはｙ＝ｆ(ｃ)を代入している【煩雑さを避けるためにｙのままで表記しておきます】と考えます。
まず、２階微分の式からｂをすぐに出せます。
$$1+y’\hspace{1pt}'(y-b)+y’\hspace{1pt}^2\Leftrightarrow y-b=-\frac{1+y’\hspace{1pt}^2}{y’\hspace{1pt}’}\Leftrightarrow b=y+\frac{1+y’\hspace{1pt}^2}{y’\hspace{1pt}’}$$
◆ある点で円に接する曲線は直線も含めてたくさんあり得ますが、
曲線の２階微分の微分係数まで決定している状況であれば、その曲線に接する事のできる円の中心のｙ座標は確定してしまう事を意味します。
次に、ｙ－ｂを１階微分の式に代入します。
$$(c-a)+y’\left(-\frac{1+y’\hspace{1pt}^2}{y’\hspace{1pt}’}\right)=0\Leftrightarrow a=c-\frac{(1+y’\hspace{1pt}^2)y’}{y’\hspace{1pt}’}$$
◆円の２階微分の式から中心のｙ座標は確定していたわけですが、
１階微分の式、つまり「接する」という条件からｘ座標も任意であるわけではなく、結論は１つに決まるという事です。
この式からｃ－ａも分かるので、ｙ－ｂと合わせて微分前の式に代入してｒを出します。
$$(c-a)^2+(y-b)^2=r^2\Leftrightarrow \left(y’\cdot\frac{1+y’\hspace{1pt}^2}{y’\hspace{1pt}’}\right)^2+\left(-\frac{1+y’\hspace{1pt}^2}{y’\hspace{1pt}’}\right)^2=r^2$$
$$\Leftrightarrow r^2=\frac{y’\hspace{1pt}^2
(1+y’\hspace{1pt}^2)^2+(1+y’\hspace{1pt}^2)^2}{y’\hspace{1pt}’\hspace{1pt}^2}=\frac{(1+y’\hspace{1pt}^2) (1+y’\hspace{1pt}^2)^2}{y’\hspace{1pt}’\hspace{1pt}^2}=\frac{(1+y’\hspace{1pt}^2)^3}{y’\hspace{1pt}’\hspace{1pt}^2}$$
$$【r＞０だから】\Leftrightarrow r=\frac{(1+y’\hspace{1pt}^2)^{\large{\frac{3}{2}}}}{|y’\hspace{1pt}’|}$$
【途中の箇所では、分子の因数分解をすると結果的に３乗の形になっているという事です。】
◆曲率円の中心座標は確定しており、曲線も具体的に１つ決まっているとすれば、
中心から接点までの距離もただ１つに確定するわけです。
得られたこれらの式のｙ、ｙ’、ｙ” の所にｆ(ｃ)、ｆ'(ｃ)、ｆ”(ｃ) を代入すれば公式の形になります。
簡単な例としては、２次関数ｙ＝ｘ２とその１階微分と２階微分ｙ’＝２ｘ、ｙ’＝２を考えてみて、
ｘ＝０でそれらの値はそれぞれ０、０、２ですから公式に当てはめると曲率円の中心は（０，１／２）で曲率半径は１／２になります。
曲線の「曲率」と公式
さて、曲率半径ｒの逆数、つまり１／ｒの事を曲線のある点での「曲率」と呼びます。
なぜわざわざ逆数を考えるのかというと、次の公式が成立し、平面での図形的な意味も持つためです。
平面上の曲線のある点での「曲率」とは曲率半径の逆数であると定義します。
$$（ある点での曲線の）曲率：k=\frac{1}{r}\hspace{5pt}と定義$$
曲線上の点が、ある定点から測った弧長ｓの関数であるベクトル \(\overrightarrow{X}(s)\) として表されるとして、
その点での曲線の長さ１の接線ベクトル\(\overrightarrow{T}(s)\)（微分はｓで行う）と
ｘ軸の正方向との成す角をｓの関数としてθ＝θ(ｓ)とすると、
曲率との間に成立する次の関係式が成立します。
$$\left|\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\right|=\left|\frac{d\theta}{ds}\right|=k\hspace{5pt}\left(=\frac{1}{r}\right)$$
|ｄθ／ｄｓ|という導関数は、図形的に考えると曲線の「曲がり具合」を表す量になります。
接線ベクトルの導関数も同じく曲がり具合の度合いを表すと考えられますが、それは|ｄθ／ｄｓ|に実は等しくなります。
それが曲率半径の逆数に等しいという事については、逆三角関数を利用して証明します。
◆ベクトルの微分については、ベクトルの各成分を同じ変数で微分したものと定義されます。
証明（前半）
まず次式から証明します。
$$\left|\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\right|=\left|\frac{d\theta}{ds}\right|$$
証明方法の１つは、図形的な考察をしてから
「角度θが小さい時には sinθ≒θ」という近似式が成立する事を使うものです。
◆この近似式は、次の正弦関数に関する極限の変形として考える事ができます。$$\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}=1 により、\theta が0に近い時は\sin \theta≒\theta$$あるいは、マクローリン展開で第２項以降の３次以上の項を０に近似するか、正弦関数のθ＝０での微分係数が１になる事からθ＝０での近似一次式としてｙ≒θと考える事もできます。
曲線の接線ベクトルは、大きさについては１に揃えるものを考えても角度には影響しません。そこで、曲線上の任意の点において接線ベクトルは長さ１であるとします。
すると、接線ベクトルを\(\overrightarrow{T}(s)\) とした時、\(\overrightarrow{T}(s+\Delta s)-\overrightarrow{T}(s)\) というベクトルを考えた時に、これは二等辺三角形の底辺になっています。【２辺の長さが１で、それらのはさむ角度がθ】
すると、その底辺の長さ |\(\overrightarrow{T}(s+\Delta s)-\overrightarrow{T}(s)\)| は実は簡単な図形的な考察からθで表す事ができます。
それは余弦定理で表す事もできますが、もっと単純に直角三角形の辺の比から正弦で表す事もできます。
結果は２sin(Δθ／２)になります。【長さ１の斜辺の正弦sin(Δθ／２)の２個分を考えただけです。】
$$|\overrightarrow{T}(s+\Delta s)-\overrightarrow{T}(s)|=2\left|\sin\frac{\Delta\theta}{2}\right|$$
【左辺が絶対値（プラスの値）なので、右辺にも絶対値をつけてあります。】
今、ｓ→０の時にΔθ→０なので、sin(Δθ／２)≒Δθ／２となります。
$$|\overrightarrow{T}(s+\Delta s)-\overrightarrow{T}(s)|=2\left|\sin\frac{\Delta\theta}{2}\right|≒2\left|\frac{\Delta\theta}{2}\right|=|\Delta\theta|$$
$$\Leftrightarrow \frac{|\overrightarrow{T}(s+\Delta s)-\overrightarrow{T}(s)|}{\Delta s}≒\frac{\Delta\theta}{\Delta s}$$
$$\Delta s\to 0 の極限を取る事で【その時\Delta\theta \to 0】\left|\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\right|=\frac{d\theta}{ds}$$
証明（後半）
次に次式を証明します。
$$\left|\frac{d\theta}{ds}\right|=\frac{1}{r}$$
証明には逆三角関数とその微分を使います。
変数がｘである状況に一度戻ると、導関数は接線の傾きを表すので、
その傾きは正接を使って tan θ ＝ y’ と書けます。
これの逆関数を考えると、θ ＝ arctan y’ と表記できます。
【これらは両辺ともにｘの関数であるとします。】
すると、これをさらにｘで微分すると次式になります。
$$\frac{d\theta}{dx}=\frac{y’\hspace{1pt}’}{1+y’\hspace{1pt}^2}$$
【逆三角関数の微分公式と、合成関数の微分公式を使用。(ｄ／ｄｘ)arctan ｘ＝１／(１＋ｘ２)】
他方で、弧長を積分で表す公式を使うと【三平方の定理を利用した公式】次のように書けます。
$$s=\int_a^x\sqrt{1+y’\hspace{1pt}^2}dt$$
【積分の中身のｙ’ は形式上ｔの関数として書かれています。また、ａはｓ＝０となる点のｘ座標であるとします。】
このｓをｘで微分すると、微積分学の基本定理により次式になります。
$$\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+y’\hspace{1pt}^2}$$
ここで、ｄｘ／ｄｓを逆関数の微分公式により次のように表せます。
$$\frac{dx}{ds}=\frac{1}{\sqrt{1+y’\hspace{1pt}^2}}$$
ここで合成関数の微分公式を再び考えるとｄθ／ｄｓ＝(ｄθ／ｄｘ)(ｄｘ／ｄｓ) ですから、得られた関係式を組み合わせると次のように表せます。
$$\frac{d\theta}{ds}=\frac{d\theta}{dx}\cdot\frac{dx}{ds}=\frac{y’\hspace{1pt}’}{1+y’^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+y’\hspace{1pt}^2}}=\frac{y’\hspace{1pt}’}{(1+y’\hspace{1pt}^2)^{\large{\frac{3}{2}}}}$$
ところで、前述の曲率半径は y’ 等の導関数の形で書くと次のようになります。
$$r=\frac{(1+y’\hspace{1pt}^2)^{\large{\frac{3}{2}}}}{|y’\hspace{1pt}’|}$$
つまり、絶対値記号さえつければ、ｄθ／ｄｘとは丁度逆数の関係になっています。
$$よって、\left|\frac{d\theta}{ds}\right|=\frac{1}{r}が成立します。【証明終り】$$
曲率・接線・法線の関係（フルネー・セレーの公式）
さて、長さ１の接線ベクトル\(\overrightarrow{T}(s)\)を考える曲線上の点において、長さ１の法線ベクトル\(\overrightarrow{N}(s)\)も同時に考えてみます。（「法線」とはある点で接線に垂直である直線や線分の事。）
前述の曲率ｋ（＝１／ｒ）を使うと、接線ベクトルと法線ベクトルとの間に次の関係が成立します。
長さ１の接線ベクトル\(\overrightarrow{T}(s)\)、長さ１の法線ベクトル\(\overrightarrow{N}(s)\)、曲率ｋ（＝１／ｒ）の間には
次の２式の関係があります。
$$\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}=k\overrightarrow{N},\hspace{15pt}\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}=-k\overrightarrow{T}$$
この内容の意味を考えてみると、曲率はただのスカラー値（あるいはスカラー関数）ですから、「接線ベクトルのｓによる微分」は法線ベクトルに平行であり、「法線ベクトルのｓによる微分」は接線ベクトルに平行であるという事を意味します。
証明（第１式）
では、本当にそうなるのかという話です。
これを見るには、「接線ベクトル同士の内積」を微分してみると上手くいきます。
同じベクトルの内積は、単にそのベクトルの大きさの２乗であって、しかもここでは |\(\overrightarrow{T}(s)\)| ＝１として考えていますから、同じ接線ベクトル同士で内積を考えると次式です。
$$\overrightarrow{T}\cdot\overrightarrow{T}=1$$
これをｓで微分してみますと、積の微分公式を成分ごとに適用すればスカラー関数同士の積の微分同様の関係になります。右辺は定数ですから微分すれば０です。
$$\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\cdot\overrightarrow{T}+\overrightarrow{T}\cdot\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}=0\Leftrightarrow 2\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\cdot\overrightarrow{T}=0 \Leftrightarrow \frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\cdot\overrightarrow{T}=0$$
【内積は可換（\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)）であるためにこうできる事に一応注意。】
$$という事は、２つのベクトル\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}と\overrightarrow{T}は互いに垂直であるという事です。$$
そして、\(\overrightarrow{T}\)に垂直な長さ１のベクトルとして\(\overrightarrow{N}\)を考えていたわけですから、\(d\overrightarrow{T}／ds\) と \(\overrightarrow{N}\) は平行であって大きさだけが異なります。
しかし、上述の曲率ｋに関する公式から$$\left|\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\right|=k であったわけです。$$
$$という事は、\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}=\left|\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\right|\overrightarrow{N}=k\overrightarrow{N}$$
【\(|\overrightarrow{N}|=1\) であるのでこう書ける事に注意。】
つまり、フルネー・セレーの公式の最初のほうの式が成立するという事です。【証明終り】
証明（第２式）
続いて、フルネー・セレーの公式の２番目のほうの式の証明です。
今度は\(\overrightarrow{N}\)について内積を微分してみると同様に次式になります。
$$\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}\cdot\overrightarrow{N}=0$$
この式に、\(k\overrightarrow{T}\cdot\overrightarrow{N}=0\)を加えます。（ここでスカラーである曲率ｋはオマケとして、証明のために敢えてくっつけています。ｋがなくてもこの内積の関係は成立します。）
$$k\overrightarrow{N}\cdot\overrightarrow{T}+\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}\cdot\overrightarrow{N}=\Leftrightarrow \left(k\overrightarrow{T}+\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}\right)\cdot\overrightarrow{N}=0$$
ここで出てきた\(k\overrightarrow{T}+\large{\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}}\)というベクトルもまた、法線ベクトルに垂直（従って接線ベクトルに平行）という事になります。他方で、このベクトルは別の式からも出てきます。
それは\(\overrightarrow{T}\cdot\overrightarrow{N}=0\)を微分する事によって出てきます。
$$\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\cdot\overrightarrow{N}+\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}\cdot\overrightarrow{T}=0\Leftrightarrow (k\overrightarrow{N})\cdot\overrightarrow{N}+\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}\cdot\overrightarrow{T}=0$$
$$\Leftrightarrow k+\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}\cdot\overrightarrow{T}=0\Leftrightarrow (k\overrightarrow{T})\cdot\overrightarrow{T}+\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}\cdot\overrightarrow{T}=0$$
$$\Leftrightarrow \left(k\overrightarrow{T}+\frac{\overrightarrow{N}}{ds}\right)\cdot\overrightarrow{T}=0$$
【既に得られている関係の代入と、\(\overrightarrow{N}\cdot\overrightarrow{N}=\overrightarrow{T}\cdot\overrightarrow{T}=1\)を利用した細工を行っています。】
という事は、\(k\overrightarrow{T}+\large{\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}}\)というベクトルは接線ベクトルにも垂直である事になります。これは、法線ベクトルにも接線ベクトルにも垂直である事を意味しますが、平面上でそのようなベクトルはゼロベクトルしかありませんから、次のようになります。
$$k\overrightarrow{T}+\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}=0\Leftrightarrow \frac{d\overrightarrow{N}}{ds}=-k\overrightarrow{T}$$
これはフルネー・セレーの公式の２番目のほうの式になっています。【証明終り】