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高校数学での、直交座標上での図形的な性質と関連させた２次関数の式、および問題を解くコツについて説明します。

およそ、センター試験の出題範囲レベルに対応できる程度の問題について解説します。

２次関数と放物線の関係

■ ２次関数を表す図形と高校数学での考察点
■ ２次関数の「頂点」
■ 参考：頂点を調べる別の方法・・２次方程式の解、微分　

２次関数を表す図形と高校数学での考察点

２次関数自体は中学校でも教わるかと思いますが、高校数学だとより自由自在に平面の中での図形的な考察を、式によって（手計算で）進める事が行われます。

２次関数が直交座標上で表す形は「放物線」です。最大値と最小値のどちらか１つを必ず持ち、ｘ軸の無限遠方では必ず＋側に無限大になるか－無限大になるのかのどちらかになります。

$$２次関数\hspace{5pt}Ax^2+Bx+C\hspace{5pt}が表す図形：「放物線」$$

この式で、Ａの値がプラスであれば「下に凸【とつ】」の形、逆にＡがマイナスであれば逆さまの「上に凸」の形になります。

尚、Ａ＝０であれば１次関数になってしまうので、その場合に限っては図形は放物線にならず直線になります。

このように、式の中での性質や特徴が、図形的にはどのような意味を持つのかを理解しておく事が問題を解くうえでのポイントになります。

２次関数の「頂点」

２次関数が、直交座標上でどのような場所にあるかを見るには、「頂点」の位置を調べます。

そのために、２次の項と１次の項を２乗の形に変形します。

例えば次のような具体的な２次関数については次のようになります。

$$x^2+4x-6=(x+2)^2-4-6=(x+2)^2-10$$

この時関数はｘ＝－２を代入すると最小値－１０を持ちます。これは最後の式にそれを代入して直ちに最小値を得るのですが、間違いのないようにもとの式に代入してみるのもよいでしょう。
(-２)・(-２)＋４・(-２)-６＝４－８－６＝－１０ですから確かに合っています。

この時、２次関数が最小値をとる座標である（－２,－１０）をこの２次関数の「頂点」と呼ぶのです。

２次の項がマイナスでも同じ操作をします。

$$-x^2+4x-5=-(x-2)^2+4-5=-(x-2)^2-1$$

この時は、２次関数はｘ＝２で最大値－１を取ります。この最大値をとる座標（２,－１）がこの２次関数の「頂点」です。

関数の中の係数が未知数である場合も同様です。

$$x^2+(A-2)x+1=\left(x+\frac{A-2}{2}\right)^2-\frac{(A-2)^2}{4}+1=\left(x+\frac{A-2}{2}\right)^2-\frac{A^2-4A+4}{4}+1$$

$$=\left(x+\frac{A-2}{2}\right)^2-\frac{A^2}{4}+A$$

この例の場合、最小値の値もＡに関する「２次式」ですから、問題の形式によってはさらに計算が続きます。高校数学だと、この手のタイプの問題のほうが問われやすいかもしれません。応用問題についても後述しているので必要に応じて参照してください。

参考：頂点を調べる別の方法・・２次方程式の解、微分

２次関数で、ｘ軸との交点が２つある場合に限って言えば、ｘ軸との２交点の中点のｘ座標が頂点のｘ座標に等しくなります。そのため、ものによっては、２交点を先に出してしまって中点を考えて頂点を出す事もできます。例えば次のような感じです。

$$x^2+2x=x(x+2)より、x=0,-2でｘ軸(y=0直線)と交わる。よって、頂点のｘ座標は-1$$

解けるなら何の手法を使ってもよいのですが、複数の手法を知っているとチェックとして使えるでしょう。

２次関数と放物線に関する応用問題

■ ２次関数の最大値・最小値に関連させた問題
■ 定義域が限定された場合の最大・最小
■ 直線と放物線の交点問題
■ ２つの放物線同士の交点　

２次関数の最大値・最小値に関連させた問題

$$■問い：２次関数y= x^2-4x+5はｘ軸と何個の交点を持ちますか。$$

こういった問題の場合には、式変形して図形の様子を見て調べます。

$$x^2-4x+5=(x-2)^2+1$$

であり、最小値は１です。という事は、ｘ軸（直線ｙ＝０）との交点は存在しません。交点の数は０個です。【解答】

こんな具合です。

ただし、大学入試等での問題では、こういったシンプルな問題はあまり出してくれません。もう少し計算の手順が必要な形で出題されると考えるべきでしょう。

例えば、２次関数の係数も未知数である場合には計算はさらに続き得ます。上記でも例に挙げた２次関数を使って見てみましょう。

$$■問い：２次関数y=x^2+(A-2)x+1はｘ軸と何個の交点を持ちますか。(Aは実数とします。)$$

$$x^2+(A-2)x+1=\left(x+\frac{A-2}{2}\right)^2-\frac{A^2}{4}+A$$

このように最小値自体がＡの値によって変化し、しかもＡに関する２次式ですので今度は２次方程式を解く作業になります。

$$-\frac{A^2}{4}+A=-A\left(\frac{A}{4}-1\right)$$

この場合はあっさり因数分解できるので、０と置いた時の解が分かります。A=0または4の場合に、「もとの２次関数の最小値」が０になるわけです。その時、もとの２次関数とｘ軸との交点は１つだけです。頂点がｘ軸に接する形になります。

また、０＜Ａ＜４の時には「もとの２次関数の最小値」がプラスの値になってしまいますから、もとの２次関数とｘ軸の交点は存在しません。

Ａ＜０またはＡ＞４の時には「もとの２次関数の最小値」はマイナスで、ｘの値を増やすあるいは減らす事で関数の値は大きくなっていきますからｘ軸と確実にぶつかります。ですからもとの２次関数とｘ軸との交点は２個です。

ですので、Ａ＜０またはＡ＞４のとき交点は２個、Ａ＝０またはＡ＝４のとき交点は１個、０＜Ａ＜４のとき交点は０個という、場合分けを含んだ答えになります。【解答】

この例での２次関数の場合、最小値がＡに関する上に凸の２関数なので、「最小値が取り得る値の中にも最大値がある」という性質のものになります。具体的にはＡ＝２の時に「最小値の」最大値が１になり、Ａが全実数の中のどの値であってももとの２次関数の頂点に相当する最小値は１を超えない事を意味します。これは１次の項の係数が０の時です。

定義域が限定された場合の最大・最小

もう１つ重要な出題として、定義域（ｘの範囲）を限定した範囲での最大値や最小値を問うタイプのものがあります。

これはどういうものかというと、例えば下に凸である２次関数の最小値は通常は頂点のｙ座標ですが、そのｘ座標が定義域に含まれていない時には定義域の端点で最小値をとります。

■問い：０≦ｘ≦２の範囲で、ｙ＝ｘ^２－２ｐｘ＋４について
①：ｘ＝２で最小値をとるためのｐの範囲はどのようになりますか。
②：ｘ＝２で最大値をとるためのｐの範囲はどのようになりますか。

この手の問題における２次関数の性質自体は正直、大学以降の数学であまり重要とは言えないと思いますが、２次関数のグラフの性質の理解度を問う出題という事でしょう。

まず、１次の項に未知の係数ｐがありますから頂点のｘ座標もｙ座標も変化するパターンです。

ｙ＝ｘ^２－２ｐｘ＋４＝(ｘ－ｐ)^２＋４－ｐ^２

①：ここで、通常であればｘ＝ｐで最小値をとるという事になりますが、「ｘ＝２で最小値をとる」という条件があり、さらに０≦ｘ≦２というｘの範囲の指定もあるのでｐ≧２であれば、常に対象の２次関数は定義域の端点であるｘ＝２で最小値をとります。なのでｐ≧２です。【①の解答】

これは、式だけでは分かりにくいのでグラフを見ながら様子を把握したほうがよいでしょう。

②：次に所定の場所で最大値をとる場合です。通常であれば下に凸の２次関数は無限に大きくなるので最大値はそもそもありませんが、ここでは閉区間としてｘの範囲が指定されているので最大値を持つという事です。

頂点の座標ｘ＝ｐが動き、定義域が閉区間［０，２］、ｘ＝２で最大値をとるという条件です。

この場合には、逆にｐ≦２であれば済む話かというとそうでない事が「ひっかけ」です。
頂点が閉区間［０，２］の中点よりも右半分側に来ると、今度は区間の反対側の端点であるｘ＝０でｙが最大値になってしまいます。頂点の座標がｐ＝１の時にｘ＝０，２の両方で最大値になります。つまり、ｘ＝２で最大値になるにはｐ≦１という事です。【②の解答】

このように、高校数学だと多少ひねりを入れた計算をさせる場合があります。やっている事自体は難しくないのですが、慣れていないと突然問われた時にとまどってしまうでしょう。

直線と放物線の交点問題

１次関数である直線と、２次関数である放物線の交点を計算させるような問題は、センター試験レベルだと問われる事があります。

考え方は難しくありません。

１次関数と２次関数を等号で結んで方程式を作り、２次方程式の解を出せばよいのです。

解が重解の場合には交点は１つだけで、直線は放物線の接線になります。また、解が複素数解になる場合には交点はないという事に対応します。

$$■問い：直線y=x+2と放物線y=x^2-x-3の交点はいくつありますか。$$

まず、等式で結びます。それから、解の様子が分かるように変形します。

$$x+2=x^2-x-3\Leftrightarrow x^2-2x-5=0$$

$$\Leftrightarrow (x-1)^2-1-5=0\Leftrightarrow (x-1)^2=6$$

のようになるので、これは異なる実数解を２つ持ちますね。したがって、交点は２つ存在します。【解答】

「２乗＝正の数」となる事で異なる２つの実数解が存在する事が分かります。「２乗＝０」であるなら重解を持ち、「２乗＝負の数」であるなら２つの異なる複素数解です。

この手の問題も、式の中の係数に未知数を入れて、「２つの交点を持つ条件は何か」とか「直線が放物線に接するための条件を述べなさい」とか、そういった形でひねった出題がなされる事も多いと思います。やる事は基本的に同じです。

例えば、直線のｙ切片が変化し得る条件で、直線が放物線に接する条件を考えてみましょうか。

$$■問い：直線y=x+Cが放物線y=x^2-x-3に接するためのＣの値は何ですか。$$

ここでもやる事は同じです。２式を等号で結びます。

$$x+C=x^2-x-3\Leftrightarrow x^2-2x-3-C=0$$

$$\Leftrightarrow (x-1)^2-4-C=0$$

ここで、４＋Ｃ＝０になれば重解を持ちますのでＣ＝－４の時に直線は放物線に接します。【解答】

２つの放物線同士の交点

出題頻度は低いですが、あり得るパターンとして放物線同士の交点を考える問題もあります。

$$■問い：y=2x^2+2x+1とy=x^2-2x+Cが１点だけで交わるためのCの値は何ですか。$$

等号で２式を結びましょう。

$$2x^2+2x+1=x^2-2x+C\Leftrightarrow x^2+4x+1-C=0$$

$$\Leftrightarrow -(x+2)^2-3-C=0$$

これが重解を持つためにはＣ＝－３です。【解答】

この場合には、１点だけで交わるには接するしかない事が、式からも分かります。仮に、１点で「突き破るように」交点を持った時、別のもう１点で必ず交わってしまうためです。

しかし、放物線同士の場合には、１点だけで「突き破るように」交点を持つ場合もあり得ます。それは、２次の項が等しい場合です。

$$y=x^2+2x+1, y=x^2+x$$

を等号で結んでみましょう。

$$x^2+2x+1=x^2+x\Leftrightarrow x+1=0$$

この場合にｘ＝－１という解が得られますが、２次方程式の重解ではなくて１次方程式の解になっています。これが「突き破って」１点だけで交わっている交点であり、ｘの値をどれだけ増やしても減らしても、その先の別の点で交わる事はないという事です。

参考：放物線と円の交点の問題は？

また参考までに、放物線と円の交点を問う問題も高校数学の範囲で、一応あり得るものではあります。

$$放物線y=Ax^2+Bx+Cと円(x-S)^2+(y-T)^2=R^2$$

を考えるわけですが、放物線のｙを円のほうの式に代入すると、一般的には４次方程式になってしまいます。

実際、円と放物線を考えると、４点や３点で交わる可能性がある事に対応しています。そのため手計算だと非常に複雑な計算になりがちで、出題する側も調整が面倒と思われるのであまり出ないと思います。

直線と１次関数の関係・用語・公式を説明します。

これは中学校でも扱われますが、ここでは高校数学の範囲の事も説明します。

直線は１次関数になり、放物線は２次関数になります。３次関数や４次関数は、微分を使って形を考察するのが普通です（従って微分を使わない範囲では原則として問われません）。

直線を表す式

■ 直線を表す式は１次関数　■ ２点を通る直線の式　■ １点を通る直線の式　

直線を表す式は１次関数

直線は、１次関数で表されます。つまり、ｙ = ２ｘ や ｙ＝３ｘ＋１のような形の式です。

ｙ =２ｘの「２」のように、ｘにくっついている比例定数の部分を「傾き」と呼びます。図形上で見た時、その部分が実際に傾いている度合いを表すためです。ｙ＝３ｘ＋１の「１」のように完全に定数になっている部分を「切片」または「ｙ切片」などとも言います。これは、その値がｙ軸（ｘ＝０を表す直線）でのｙの値を表すためです。

「傾き」は、プラスである場合も、マイナスである場合もあります。直交座標上のグラフだと「右上がり」の形の直線です。直交座標上のグラフで言うと「右下がり」の形の直線になります。

尚、傾きが０の直線はｘ軸に平行な直線で、ｙ＝３のような式です。ｙ＝０は、ｘ軸に他なりません。
逆にｘ＝３のような式はｙ軸に平行な直線になります。この場合には傾きが「無限大」という事でもありますが、傾きとしては「表せない」と考える事が普通です。ｘ＝０を表す直線はｙ軸そのものです。

また、高校数学の場合には図形上の角度を使って「傾き」をタンジェント（正接）で表す事もできます。図形と式の問題と見せかけてじつは三角比や三角関数の問題という事もあり得るので、一応知っておくべきでしょう。

２点を通る直線の式

高校数学の場合、座標上のてきとうな２点があって、それを通る直線の式はどのようになるかという事を計算させる問題があります。

その式の表し方は、一応「公式」があって教科書にも書いてあると思うのですが、
これは「意味は理解すべきであるが暗記はすべきでない」公式の１つです。

まず、てきとうな２点があったとして（１,３）と（２,５）だったとしましょう。図に書くと分かりやすいのですが、まず「傾き」を計算します。これは単純な話で、「ｘの増分で、ｙの増分で割ったもの」（それが図形上は正接であるわけですが）を計算すればよいのです。ここでの場合、２になります。

公式に当てはめているのではないのです。
ｙの増分：５－３＝２　ｘの増分：２－１＝１
という計算を（頭の中で）しているだけなのです。

$$この時点で、y=2x+C\hspace{5pt}の形の式になる事が分かります。$$

「では、ｙ切片の情報はどうやって知るのですか。」

これも図に書くと分かりやすいのですが、ｙ切片（０,C）から点（１,３）までのｘの増分は、もちろん１です。点（１,３）から見ると、ｙ切片（０,C）に至るまでにｘは１減少します。

ｙの増分は、傾きが分かっているので、点（１,３）から見てｘが１減少するのであれば、ｙは１×２＝２減少します。・・という事は、点（１,３）のｙ座標から逆算すれば、ｙ軸上の点は３－２＝１ということになり、これがｙ切片であるＣの値なのです。

上記の「公式」は、じつはこの操作をしているのと同等の式なのです。ｙ軸から１つの点のｘ軸までの距離に傾きをかけ、その値を点のｙ座標から差し引く事でｙ切片を出すのと同等の式であるという事です。。

$$結果：y=2x+1$$

図形的に意味が把握できているのであれば、機械的に手早く計算するために上記の「公式」を１点（Ａ,Ｂ）を使って「ｙ－Ｂ＝(傾き)・(ｘ－Ａ)」として覚えてしまってもよいでしょう。覚え方としては「ｘ＝Ａ、ｙ＝Ｂ を代入すると確かに成立する」のような感じでもいいと思います。

ただし最初からそのように丸暗記するのではなく、まずは図形的な意味を理解する事がおすすめです。

正答率を上げるには、間違いがないかチェックする事も大事です。２点（１,３）と（２,５）を通るわけですから、値を代入してみて等式が成立するかを見ます。

$$2\cdot1 +1=3,\hspace{10pt}2\cdot 2+1=5$$

このようになるので、確かに合っている事が分かります。

全て頭の中で計算できるなら一番それが速いのですが、この手の問題は図形的な意味との関連が問われる事も多い都合上、ごく簡単なものでよいので図を描いて解いたほうが無難かもしれません。

１点を通る直線の式

直線がある１点だけを通る事が分かっている場合、もちろんそのような直線は無数にあり、それだけでは直線を表す式も決定しません。

この場合は、ある１点の座標を（Ａ,Ｂ）傾きをＴ、ｙ切片をＣとすると式を次のように書けます。

$$y-B＝T(x-A)\Leftrightarrow y=Tx+B-AT$$

$$C=B-AT$$

この式も、ある点から点（Ａ,Ｂ）までのｙ座標の増分とｘ座標の増分の関係を表しているだけなのです。決して、暗記すべきような公式ではありません。

（ｘ－Ａ）がｘ座標の増分、それに傾きＴを掛けるとｙ座標の増分（ｙ－Ｂ）です。ｙ切片については、（０,Ｃ）と（Ａ,Ｂ）の間の増分の関係を見ればよいのです。ｙの増分：Ｂ－Ｃ　ｘの増分：Ａ－０＝Ａ　ですから、ＡＴ＝Ｂ－Ｃであり、変形すると上記のようにｙ切片であるＣを表す事ができるのです。

図に描くと分かりやすいでしょう。

この場合もやはり式を暗記するのではなくて、図形と対応させて意味を理解したうえで、式自体もすぐに書けるように練習しておく事が得意になるポイントの１つです。

応用問題①：平面上での「平行」と「直角」の式での表し方

■ 平行の表し方　■ 直角の表し方

平行の表し方

２つの直線が平面上で平行になる場合、直角になる場合など、より図形的な直線の状況を表すために式を計算させる問題も存在します。

まず平行の場合ですが、これは簡単で、「傾きが等しい」直線同士は直交座標上で平行になります。もちろん、それでｙ切片も同じであれば全く等しい直線ですから、異なる平行２直線であれば「傾きは等しくｙ切片は異なる」という条件になります。

平行という事は、もちろんそれら２直線は交わらないという事です。式で見た時には、連立方程式にしてみるとｙ切片が異なる値の時は２式を同時に満たす（ｘ,ｙ）の組は存在しないという事でもあります。一応、その事も念頭に置いておくとよいかもしれません。

直角の表し方

次に直角の場合です。２直線が交わり、なす角が直角であるという場合です。この場合は、「傾き同士の積が－１」になります。こういうものに関しては、１つの「公式」として結果を把握しておいたほうがよいと思います。

この「直線同士が直交」する事に関して、高校数学での出題としては図形に対する接線と法線の関係は問われやすく、特に円に対する接線と法線の関係にも注意しましょう。図形問題としてだけでなく、それを式で表現させるという出題が高校数学ではなされる場合があります。

証明：直交する２直線の「傾き」同士の積は－１である

もちろん、傾きの積がー１になれば直角であるという事は、自明ではありませんね。そもそも、個々で言う「直交する」事が図形的な意味で使われているので、これを式ではどう考えるのかを解釈する必要があります。

証明の方法はいくつかありますが、ここでは三角関数を使う方法とベクトルを使う方法を紹介します。

三角関数を使う場合、傾きはタンジェントで表せる事を上記で軽くふれましたが、これを利用します。

【証明①：三角関数を使う方法】

$$\tan \alpha \tan \beta=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot\frac{\sin \beta}{\cos \beta}=\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$$

$$\alpha -\beta=90° ならば\cos (\alpha -\beta)=0より、\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=0\Leftrightarrow\cos \alpha \cos \beta=-\sin \alpha \sin \beta$$

$$したがって、\tan \alpha \tan \beta=\frac{\sin \alpha \sin \beta}{-\sin \alpha \sin \beta}=-1【証明終り】$$

べクトルを使う場合は、２直線の交点から直線上の（任意の）点までのベクトルを考えて、内積が０であるして計算します。

【証明②：ベクトルを使う方法】

２つの傾きをＳ，Ｔとします。（Ａ,Ｂ）からのｘ座標の（任意の）増分Ｘを考えて（Ａ＋Ｘ,Ｂ＋ＳＸ）と（Ａ＋Ｘ,Ｂ＋ＳＴ）を考えます。これらは直線上の座標点でもありますが、ベクトルとしても考える事ができるのです。

ベクトルとして考えた時、直交するという条件は「内積が０」という条件になります。

この時、内積をとるベクトルは（Ａ＋Ｘ,Ｂ＋ＳＸ）－（Ａ,Ｂ）＝（Ｘ,ＳＸ）と（Ａ＋Ｘ,Ｂ＋ＴＸ）－（Ａ,Ｂ）＝（Ｘ,ＴＸ）です。（ベクトルの考え方で言うと、原点に平行移動させて考えてもよいという事です。）

内積を計算すると、直交する条件のもとでは

$$(X,SX)\cdot(X,TX)=0\Leftrightarrow X^2+STX^2=0\Leftrightarrow X^2(1+ST)=0$$

この式が任意のＸについて成立するには１＋ＳＴ＝０⇔ＳＴ＝－１
すなわち、直交する２直線の傾きの積はー１になるという事です。【証明終り】

参考までに、平行や直角ではなく、特定の３０°とか４５°で直線同士が交わるという条件が仮に問われた場合は、傾きをタンジェントで表して、三角関数の加法定理で対応するという手法を使えます。これについてもベクトルを使う方法、あるいは複素数を使う方法等、手法はいくつか考えられます。

応用問題②：他の図形と組み合わせる問題

高校数学の範囲ですと、放物線であるとか円であるとかいった他の図形と直線の関係を問う問題があります。これは、何点で交わるかとか、直線が他の図形の接線になる条件は何か等を問う類のものです。

放物線や円の場合、直線の式とそれらを連立させて、二次方程式を作らせる問題が典型的です。その二次方程式が重解を持つ場合は１点のみで交わる接線という事になり、異なる２つの実数解であれば２点で交わり、異なる２つの複素数解の場合には直交座標上で「交わらない」という事になるのです。

「ある１点を通って、かつ円に接する２直線の式は何か」といった類の問いの場合は、前述の１点を通る直線の式と円を表す式を連立させて条件を調べるといった具合の解法になります。

接線について問う問題の場合、微分が使える場合もあります。センター試験の場合は微分の知識がなくても解ける問題しか出題されませんが、問題によっては通常のやり方と微分によるやり方の２通りで解く事で、解答が正しいかのチェックなどに使える場合もあります。