仕事と運動エネルギーとの関係

このページでは古典力学での「仕事」と、運動エネルギーとの関係について述べます。数学的には、ベクトルの微積分の応用でもあります。

運動方程式とエネルギー

平面や空間での物体の運動を考える時、力のベクトルの向きと、現に運動している物体の運動の方向、つまり速度ベクトルの方向は異なるという事も普通にあり得るわけです。

結論を先に言うと、このような時に「内積」を考えます。それによって、「『力』と『物体の運動』と『エネルギー』」を数式的に関連付けられるのです。これは運動方程式が成立しているとすれば、数学的に導出できます。

ベクトルの内積の別の表現

結論の関係式は次のようなものです。 $$\int_{t_1}^{t_2}\overrightarrow{F}\cdot \frac{d\overrightarrow{x}}{dt}dt=\frac{1}{2}m{v_2}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2$$ 左辺の積分は仕事量、右辺は時間の区間の始まりと終わりでの運動エネルギーの差です。
左辺と右辺とで物理学的な単位は等しく、ともに[J](ジュール)です。

意味としては、なされた「仕事」の量と運動エネルギーの増減の量は等しいという事です。

さらにかみくだいて言うと、これは「力を加えて物を動かした時に速さはどれほどになるのか」という事を定量的に表している理論式という事です。

仕事と運動エネルギー
運動エネルギーの増減は仕事の合計(積分値であり、「仕事量」と言います)で計算されます。そして仕事とは、内積によって表せる量です。物体の移動方向に対して働いている力ベクトルの向きがななめ方向である場合には、物体が移動する向きに対する力ベクトルの成分だけが運動エネルギーの増減に寄与するという事を言っています。

このような仕事と運動エネルギーの関係がどのようにして理論的に裏付けられているのか、数式によって見ていきましょう。ベクトルの微積分が、直接的に関係します。

仕事と運動エネルギーの関係式の導出

まず、運動方程式をベクトルの形で書いて、両辺に対して速度ベクトルとの内積を考えるのです。内積の図形的なほうの意味を考えると、力ベクトルと速度ベクトルの内積は、「力ベクトルの速度方向への射影成分の大きさ」と、「物体の変位(距離)」との積の、時間変化率という事になります。

この時、時間変化率ではなく「微小時間での変化」を考えた\(\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{dx}(または \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{\Delta x})\) を、物理学では「仕事」と呼びます。(これは、考え方としてはいわゆるニュートン力学だけでなく熱力学等でも使うので重要です。)

運動方程式の加速度を含む側について、加速度は位置座標を表すベクトルの時間による2階微分である事に注意します。この部分と、速度ベクトルの内積を考えると、「2階微分と1階微分の積」という、一見わけの分からないものが出てきます。これは一体何でしょう?

これについての解釈は次のように行います。
合成関数に対する微分公式を用いると、「関数の2乗」を微分すると1階微分が積の形でくっついてくる事が分かります。すると、「1階微分の2乗」を(1回)微分すると、 「2階微分と1階微分の積」 が出てくるのです。この時、2という係数も出てきますから1/2を乗じて係数調整を行います。

計算

具体的な数式を見てみましょう。$$\frac{dx}{dt}\frac{d^2x}{dt^2} などは、異なる導関数同士の「積」です。$$ $$\frac{d}{dt}\left\{\frac{m}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\right\}=2\cdot\frac{m}{2}\frac{dx}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}=m\frac{dx}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}$$ 2乗の部分の微分について、合成関数の微積分公式を使いました。質量mは定数扱いです。
これがベクトルの各成分\(x_1, x_2, x_3\) (それぞれ時間tの関数)について言えます。
そこで、次のように内積を考えるのです。 $$m\frac{d^2\overrightarrow{x}}{dt^2}\cdot \frac{d\overrightarrow{x}}{dt}=m\frac{dx}{dt}\frac{d^2x_1}{dt^2}+m\frac{dx}{dt}\frac{d^2x_2}{dt^2}+m\frac{dx}{dt}\frac{d^2x_3}{dt^2}$$ $$=\frac{d}{dt}\frac{m}{2}\left(\frac{dx_1}{dt}\right)^2+\frac{d}{dt}\frac{m}{2}\left(\frac{dx_2}{dt}\right)^2+\frac{d}{dt}\frac{m}{2}\left(\frac{dx_3}{dt}\right)^2$$ $$=\frac{d}{dt}\frac{m}{2}\left\{ \left(\frac{dx_1}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx_2}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx_3}{dt}\right)^2 \right\} $$ $$=\frac{d}{dt}\frac{m}{2}\left|\frac{d\overrightarrow{x}}{dt} \right|^2$$ 最後のところは、$$\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}=\left(\frac{dx_1}{dt},\frac{dx_2}{dt},\frac{dx_3}{dt} \right) というベクトルの「大きさの2乗」$$を考えているのです。物理的な意味としては、これは物体の速度ベクトルの大きさの2乗、つまり「速さ」の2乗を意味します。内積の計算によって各成分を含む項の和が出てきて、うまい具合に「速さ」になっている事に注意してみてください。

さて他方で、運動方程式の両辺と速度ベクトルの内積をとったものは次のようになります。

$$ \overrightarrow {F}=m\frac{d^2\overrightarrow{x}}{dt^2} $$ $$\Rightarrow \overrightarrow {F}\cdot \frac{d\overrightarrow{x}}{dt}=m\frac{d^2\overrightarrow{x}}{dt^2}\cdot \frac{d\overrightarrow{x}}{dt}$$

これの右辺の方に対して、上記の考察での計算を当てはめればよいわけです。

$$\Leftrightarrow \overrightarrow {F}\cdot \frac{d\overrightarrow{x}}{dt}=\frac{d}{dt}\frac{m}{2}\left|\frac{d\overrightarrow{x}}{dt} \right|^2$$

このようになるので、変形して得られた式の両辺をてきとうな時間 \(t_1,t_2\) で定積分したものを考える事で、仕事量と運動エネルギーの関係式が得られます。

$$\int_{t_1}^{t_2}\overrightarrow {F}\cdot \frac{d\overrightarrow{x}}{dt}dt= \int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\frac{m}{2}\left|\frac{d\overrightarrow{x}}{dt} \right|^2dt= \frac{1}{2}m{v_2}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2$$

「運動エネルギー」は次式で定義します。記号は、Tを使う事が多いです。

$$T=\frac{1}{2}mv^2\left(=\frac{m}{2}\left|\frac{d\overrightarrow{x}}{dt} \right|^2\right)$$

この量は、正の仕事がなされれば増加し、負の仕事がなされれば減少するのです。また、仕事がなされなければ運動エネルギーは変化しない、という事も意味します。
(※数学的な定義を見てみても、内積は正の値だけでなくゼロや負の値も取り得るものであり、図形的な意味も持つわけです。)

この運動エネルギーに加えて、さらに「位置エネルギー」というものを考え、両者の和を「力学的エネルギー」と呼びます。重力等の「保存力」のみが働いている場合、力学的エネルギーの保存則が成立します。

また、実験・観測からエネルギーの定量的(※)な意味での等価性が確認されており、運動エネルギーは量としては熱エネルギーや電気エネルギーに変換されると見なす事ができて、物理学だけでなく種々の工学等での理論計算に用いられています。

(※)「定量的に」と言うのは、例えば力学的エネルギーの「入力」が電気エネルギーと熱エネルギーの「出力」に等しいという「計算ができる」、という意味です。(発生する熱エネルギーに関しては、望んでいるものでなければ「損失」と呼ぶ事も多いです。)物理学的な意味としては、計算ができなければ、運動や熱や電気のエネルギーが「等価」であると主張しても意味を持たない事には、注意してください。