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余弦定理とは、三角形の３辺と１つの角の余弦について成立する関係式です。
（英：cosine rule）

特別な場合として余弦定理を直角に対して適用すると三平方の定理の形になります。
（ただし、余弦定理一般を証明するには普通は三平方の定理を使います。）

★三角比の余弦（コサイン）と三角関数の余弦関数については別途に述べています。

定理の内容

余弦定理の内容は次のようなものです。

三角形のある１辺の具体的な値を知りたい時には「２辺の長さと１つの角度の『余弦』の値が分かれば計算は可能である」という事が、余弦定理の意味と使い方です。

余弦定理を証明する一番シンプルな方法は三平方の定理を使う方法です。（三平方の定理は相似条件・合同条件といった条件だけで証明できます。）

ここでは、対象の角の大きさが鋭角か鈍角で場合分けをして証明します。
式変形も含めてやや詳しく説明していますが、要するに三平方の定理を適切に適用すると関係式を導出できるというのが証明の流れになります。

証明①：鋭角の場合

まず対象の角度の大きさが鋭角の場合です。

この場合、もう１つの角についても鋭角か鈍角かで場合分けしますが、得られる結果は同じになります。どちらの場合でも、三角比の関係を使って上手に直角三角形の辺の関係を作ります。

下図で、∠ＢＡＣ＝θが鋭角のもとで、∠ＡＢＣが鋭角か鈍角かを見ます。

∠ＡＢＣが鋭角の場合（図の上側）、直角三角形を作るように線分ＡＢを延長して点Ｈをとります。この時、直角三角形である△ＡＣＨの底辺部分ＡＨの長さは余弦を使ってｂcosθで表せます。

他方、高さ部分もＣＨ＝ｈは正弦を使ってｈ＝ｂsinθと表せますが、単純にこれに三平方の定理を適用してもじつはうまくいきません。そこで、△ＡＣＨだけでなく、△ＢＨＣも直角三角形である事に注目します。すると、ＢＨ＝ｂcosθ－ｃになる事に注するとうまくいきます。

ＢＨ^２＋ｈ^２＝ａ^２ ⇔ (ｂcosθ－ｃ)^２＋ｈ^２＝ａ^２

他方、△ＡＣＨについてＡＨ＝ｂcosθ 、ＣＨ＝ｈのもとで三平方の定理を適用します。

(ｂcosθ)^２＋ｈ^２＝ｂ^２　⇔　ｈ^２＝ｂ^２－ｂ^２cos^２θ

つまり、未知数のｈは代入して消す事ができます。

(ｂcosθ－ｃ)^２＋ｈ^２＝ａ^２ に ｈ^２＝ｂ^２－ｂ^２cos^２θを代入すると、ｂ^２cos^２θ－２ｂｃcosθ＋ｃ^２＋ｂ^２－ｂ^２cos^２θ＝ａ^２
⇔ ａ^２＝ｂ^２＋ｃ^２－２ｂｃcosθ　【ｂ^２cos^２θの項が消えてあとは順番だけ整理しただけです。】

つまりこの場合では余弦定理が確かに成立する事になります。

次に∠ＢＡＣ＝θと∠ＡＢＣが両方とも鋭角の場合（図の下側）には、点Ｃから辺ＡＢに垂線を下ろせます。その垂線の足をＨとおきます。この場合も先ほどとやり方自体は同じで、△ＡＨＣと△ＣＨＢの２つが直角三角形になり、ＣＨ＝ｈとして余弦と組み合わせて三平方の定理で関係式を作ります。

ＡＨ＝ｂcosθ、ＣＨ＝ｈ、ＢＨ＝ｃ－ＡＨ＝ｃ－ｂcosθ のもとで、

(ｂcosθ)^２＋ｈ^２＝ｂ^２　かつ　(ｃ－ｂcosθ)^２＋ｈ^２＝ａ^２　

前者のほうの式を後者のほうの式にｈ^２を代入して消します。
(ｃ－ｂcosθ)^２＋ｂ^２－(ｂcosθ)^２＝ａ^２ ⇔ ａ^２＝ｂ^２＋ｃ^２－２ｂｃcosθ

よって、この場合でも余弦定理が確かに成立する事になります。

証明②：鈍角の場合

では、∠ＢＡＣが鈍角の場合はどうするかというと、この場合には余弦に鈍角を入れる必要があるので三角関数として余弦を考える必要があります。結論を先に言うとcos(ｘ＋\(\pi\)／２）＝－sinｘの公式を使います。この関係を認めるうえで、余弦定理の形で辺の長さの関係を表せるという事です。

この時、鋭角である角度 φ を使って、θ ＝ φ＋９０°と表すとこの時の証明はしやすいです。ただ、三角関数を使うので、ここで角度は弧度法で表してθ ＝ φ＋\(\pi\)／２と書く事にします。

この時、図のように△ＡＢＰが直角三角形になるように便宜上の点ＰをＢＣ上において、∠ＡＢＰが直角、∠ＰＢＣ＝φ（鋭角）であると捉えます。（図の位置関係はθが鋭角の場合と少し変えて描いています。）

ここで、θ＝∠ＰＢＣ＋∠ＡＢＰ＝φ＋\(\pi\)／２です。この時、ＡＢを延長しＣからその延長線に垂線を下ろして垂線の足をＨとします。

平行線の錯角の関係により∠ＢＨＣ＝∠ＰＢＣ＝φである事に注意し、△ＢＨＣは直角三角形なのでＢＨ＝ｂsinφ、ＣＨ＝ｂcosφと表せます。ここで△ＡＨＣも直角三角形なので三平方の定理で関係式を作ると次のようになります。

(ｃ＋ｂsinφ)^２＋(ｂcosφ)^２＝ａ^２ ⇔ ｃ^２＋２ｂｃsinφ＋ｂ^２sin^２φ＋ｂ^２cos^２φ＝ａ^２

ここでまず、sin^２φ＋cos^２φ＝１の公式により
ｂ^２sin^２φ＋ｂ^２cos^２φ＝ｂ^２(sin^２φ＋cos^２φ)＝ｂ^２

すると、ｃ^２＋２ｂｃsinφ＋ｂ^２＝ａ^２

「余弦」定理の証明なのに正弦が出てきてしまったという話ですが、cosθ ＝ cos(φ＋\(\pi\)／２)＝－sinφ　つまりsinφ＝－cosθとなるので、ａ^２＝ｂ^２＋ｃ^２－２ｂｃcosθ　となり、この場合も余弦定理が成立します。

これは三角関数の定義に従って余弦の値を決める時に成り立つもので、具体的な鈍角の値を余弦関数に入れると必ず負の値ですから、符号は必ず反転してプラスになる事に注意する必要もあります。

例えば１２０°（２\(\pi\)／３ [rad]） を角度として代入するなら、
ａ^２＝ｂ^２＋ｃ^２－２ｂｃ・(－１／２)＝ｂ^２＋ｃ^２＋ｂｃ　のようになります。

理解の仕方としては、θが鋭角であろうと鈍角であろうと、三角関数の定義に従って余弦の値を考える限りは気にせずに余弦定理を使って計算をしてよい、という事になります。

角度の範囲が実数全体の場合

三角関数の定義域（実数全体）を当てはめるのであれば、上記以外の場合にはどうなるでしょう？

まず鋭角でも鈍角でもない角度として「直角」がありますが、これは冒頭でも触れた通り三平方の定理そのものになりますので、別途に証明できて成立します。

次に、０と１８０°（\(\pi\)）の場合ですが、仮に成立するとすると次のような式になります。

θ＝０とき、ａ^２＝ｂ^２＋ｃ^２－２ｂｃ＝(ｂ－ｃ)^２　より、ａ＝ｂ－ｃまたはｃ－ｂ

θ＝\(\pi\)のとき、ａ^２＝ｂ^２＋ｃ^２＋２ｂｃ＝(ｂ＋ｃ)^２　より、ａ＝ｂ＋ｃ

（もちろん、ａ≧０、ｂ≧０、ｃ≧０という条件のもとでこうなります。）

問題はこれに図形的な意味があるかという事ですが、じつは確かにあります。これらはいずれも、３点Ａ、Ｂ，Ｃが一直線上に並んだ時にあり得る関係式です。そのため、これらの角度においては「三角形はできない」という図形的な意味付けをするのであれば、各点間の距離を表す式として余弦定理は確かに成立すると言えます。

では、１８０°（\(\pi\)）を超える場合はどのように考えられるでしょう。この場合、三角関数の考え方では負の角度が０～－\(\pi\)の場合と同じなので負の角度の場合を考えると、余弦関数の値はマイナス符号をつけない正の値の時と同じ値です。cos(－θ)＝cosθと、三角関数では定義されます。

このような場合に図形上での意味としては、座標やベクトルの関係において角度に反時計回り・時計回りの区別をつける時の事が想定できます。しかしその場合でも「２点間の距離」自体は正の値として考えます。例えば座標上でｘ軸に平行な直線に関して図形を反転させた場合に、座標の符号が変わる事はあっても各点を結ぶ辺の「長さ」自体は変わりません。

この事が、負の値を角度として適用した場合の図形的な意味になります。０≦θ≦\(\pi\) の場合には余弦定理は適用可能ですから、－θを考えた時には cos(－θ)＝cosθ により角度が正の値の時と全く同じ辺の長さの関係式になります。これが、「底辺を軸として三角形を反転させた時にも辺の『長さ』自体については変わらない」事に対応するのです。この意味において、座標上などで角度に向きをつける場合でも、辺の長さの関係だけを問題にする時には余弦定理に負の角度を入れても正しく関係式を作れるという事です。

\(\pi\)を超える角度の図形的な意味は負の角度の場合と同じとすると、これも余弦定理の角度部分に代入しても三角形の辺の長さの関係は正しく表されている事になります。

三角関数の周期性により、３６０°（２\(\pi\)）を超える角度では１周して全く同じ点に戻るという図形的な解釈のもとでは、それらの角度を代入したとしても同じく三角形の辺の長さの関係は同じく正しく表されます。

以上から、余弦定理は一般的な鋭角、鈍角、直角の三角形を考える場合にも、図形上の適切な意味付けを与える限りにおいては実数全体を余弦の角度として代入しても成立する関係式である、という事になります。

三角比とは直角三角形の２つの辺の比の事で、どの２つの辺を考えるかによって
「正弦（sine）」「余弦（cosine）」「正接（tangent）」の３種類があります。
【学校では一般的には高校数学の内容です。】

このページでは三角比の図形的な意味と使われ方について詳しく説明します。

三角比は「三角関数」の変数を平面図形で使用する範囲に限定したものであり（基本は０から９０°（\(\pi\)／２) で、鈍角三角形を含む図形問題に適用する時は１８０°まで広げます。）三角関数の値と諸性質の基本になっています。ただし、三角関数は図形を離れて周期関数として扱う事に１つの大きな意味があり、図形問題を解くツールとしての三角比とはやや区別すべきところがあります。

そのため、数学的に厳密に区分されているわけではないのですが、使う目的を区別する意味で三角比と三角関数は分けておくと整理がしやすくなります。全く関連がないという事ではなくて、目的や考察の着目点が変わってくるという事です。

正弦・余弦・正接は図形的に見れば「直角三角形の辺の長さの比」であり、何と言っても分かりやすい事に利点があります。まず図形的な意味を把握してから、「直角三角形」という図形を離れても考え方を適用できるように工夫をするのが基本的な流れになります。ここでの「三角比」の説明は、その最初の図形的な段階の説明になりまｓ。

正弦・余弦・正接の図形的な定義

三角比は直角三角形の辺の比ですが、この値は角度によって変わります。そのため、三角比は角度を変数として表されます。

三角形の各辺の比は相似である別の三角形でも同じ値ですから、三角比は直角三角形の大きさにはよらず角度によってのみ確定する値になります。角度によって１つの値が決まるのです。

次のように角度をθ（シータ、テータ）として、
正弦・余弦・正接はそれぞれ「sin（サイン）」「cos（コーサイン、コサイン）」「tan（タンジェント）」の記号を使って表します。

$$正弦：\sin \theta$$

$$余弦：\cos \theta$$

$$正接：\tan \theta$$

角度θの部分には具体的な角度を入れたりします。
例えば、角度３０°の正弦は sin３０°と書き、「サイン３０度」のように読みます。
【弧度法で書くなら ３０°は\(\pi\)／６】

三角比はまずは図で考えてみるべきものです。直角三角形の斜辺の長さをｃ、対象の角度を斜辺とともはさむ辺の長さをａ、残り１つの辺の長さをｂとします。その時の正弦、余弦、正接は辺の長さで表すと次のようになります。

$$\sin \theta=\frac{b}{c}\hspace{20pt}\cos \theta=\frac{a}{c}\hspace{20pt}\tan \theta=\frac{b}{a}$$

【直角三角形なので三平方の定理によりａ^２＋ｂ^２＝ｃ^２ですが、これは必要がある場合には使います。】

具体的な値（３０°、４５°、６０°）

さて、これら三角比の値は角度によって１つに定まると前述しましたが、具体的な値については、手計算で簡単に分かるものはじつは数えるほどのものしかありません。

具体的には、３０°、４５°、６０°の三角比については図を描く事で簡単に知る事ができます。
（学校で覚えるようにと言われるのも基本的にはこれらの値です。）

３０°、４５°、６０°の三角比の具体的な値を表にすると次のようになります。
後述する三角比の公式と合わせると、より分かりやすいでしょう。

正弦（sinθ）	余弦（cosθ）	正接（tanθ）
$$\sin 30°=\frac{1}{2}$$	$$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$$	$$\tan 30°=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$\sin 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$\tan 45°=1$$
$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$$	$$\cos 60°=\frac{1}{2}$$	$$\tan 60°=\sqrt{3}$$

これらの三角比の値を知る方法はごく単純なものであって、まず正三角形を真っ二つにする事によって３０°と６０°の場合が分かります。

まず６０°の場合です。この場合は、１辺が「２」の正三角形を考えると分かりやすく、真っ二つにすると斜辺が２、底辺が１、高さが\(\sqrt{3}\)の直角三角形ができます。斜辺の長さを２とすると、真っ二つにする事でできる底辺の部分は１、切断部分に相当する高さ部分は三平方の定理により３の平方根になるという事です。

$$高さ部分の辺の大きさをhとすると、h=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$$

それで、三角比も分かる事になります。得られた値を、定義にそのまま代入するのです。三角比の定義通りに当てはめると次のようになります。

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\hspace{20pt}\cos 60°=\frac{1}{2}\hspace{20pt}\tan 60°=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$$

３０°の場合は、直角三角形の残りの角度が９０°ー６０°＝３０°である事を使います。三角形の向きを変えてみると分かりやすいでしょう。次のようになります。

$$\sin 30°=\frac{1}{2}\hspace{20pt}\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\hspace{20pt}\tan 30°=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

次に４５°の場合ですが、これは１つの角が直角であれば直角二等辺三角形になりますので、斜辺の長さをｃ、残りの辺の長さを１とすればｃ^２＝１^２＋１^２＝２によって計算できるので三角比も分かるわけです。

$$\sin 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}\hspace{20pt}\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}\hspace{20pt}\tan 45°=\frac{1}{1}=1$$

図に描いてみると分かりやすいと思いますが、sin ４５°＝cos ４５° になります。

公式と性質

三角比について成立する公式や性質がいくつかあるので、挙げておきます。

まず１つは、公式というか図を見れば分かるかとも思いますが、正弦と余弦は０～９０°の範囲において、０より大きく１より小さい範囲の値しかとらないというものです。これに対して０～９０°の範囲の角度において、正接はいくらでも大きい正の値をとれます。

この不等式が成立する理由は、三角形の辺の長さのうち斜辺は必ず３辺の中で最大の長さになるという性質を考えてもいいですし、三角不等式ｃ＞ａ＋ｂを考えてもいいですし、三平方の定理から分母が必ず分子より大きくなると考えてもいずれの方法でもよいと思います。

また、次のいくつかの式が成立します。

これらは、式だけで暗記しようと思わず図に描いて意味を理解すると分かりやすいでしょう。結局は直角三角形の辺の比である事を考えれば難しいものではない事はすぐに分かるはずです。

上記の公式の第１式である正接を正弦と余弦で表す関係は、単純に正弦を余弦で割ると出ます。斜辺の部分は消えてしまうわけです。

$$\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}=\frac{b}{a}=\tan\theta$$

２番目の、正弦と余弦のそれぞれの２乗の和が１になるという式は、三平方の定理を使用します。一見奇怪な関係式に見えるかもしれませんが、じつは非常に簡単な意味の公式なのです。

$$(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$$

９０°－θ の角度を考えている関係式は、図を見て書いているだけです。直角三角形の θ とは別の角度の三角比は、正弦と余弦の関係をちょうどひっくり返して表せるという事です。

この場合、正接については sin(90°ーθ) を cos(90°ーθ) で割って関係を出しています。
最初の関係式 tanθ＝sinθ／cosθ も使っています。

$$\tan (90°-\theta)=\frac{\sin (90°-\theta)}{\cos (90°-\theta)}=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{1}{\tan\theta}$$

これらの公式は図で理解しながら覚えるとともに、３０°、４５°、６０°の三角比の場合などに適用すると確かに成立するといった事を確かめてみると学びやすいでしょう。例えば sin３０°＝ cos６０° という関係が確かに成立しています。

この他に、図形問題を解くための余弦定理や正弦定理があります。特に余弦定理のほうは図形問題を解く時に使う頻度が多い場合もあります。

三角比はベクトルの内積の定義においても使用します。内積の定義で使われるのは余弦ですが、平面上の平行四辺形の面積を表すために正弦のほうが使われる事もあります（のちのち重要な場面でこれが出てきます）。

これらの図形に関して三角比を適用する時、９０°を超える鈍角に対して三角比を適用したい場合も出てきます。しかし鈍角を含む三角形はどうやっても直角三角形になりません。そこで、三角関数による定義を採用して鈍角の場合も三角比の値を「定義」してあげると整合性がとれた形で適用が可能になります。【その場合、θを鈍角として sinθ＝sin(１８０°－θ)、cosθ＝－cos(１８０°－θ)とする事で上記の余弦定理等を適用できるようになります。】

２つの三角形が合同であるとは、形も大きさも全く同じである事を言います。
形も大きさも同じという事は、面積も等しくなります。

合同な三角形であっても、向きなどが別々の方向を向いていて「見た目」が異なってる場合もあります。２つの三角形が合同であるかを調べるには次の３つの条件を満たしているかを調べます：

合同である三角形は、この３つの条件全てを満たします。つまり、１つの条件を満たせば他の２つの条件も同時に満たされるという事です。合同である事を証明するには１つの条件が満たされている事を示せば十分という事になります。

合同の関係と似ているものとして、相似の関係があります。相似とは「形だけが同じで大きさは違う」というものです。

形も大きさも同じである場合が合同の関係であり、２つの三角形が合同である場合は相似である条件も満たしています。つまり、合同と相似は無関係なものではなくて、形も大きさも等しくなるためのやや厳しい条件が課されるのが合同で、形だけが等しい緩い条件だけが課されているのが相似というわけです。

一見すると合同にはみえないけれどよく見ると合同であるという例は、例えば三平方の定理の証明の１つで見られます。この例では形も大きさも全く同じ三角形が存在するのですが、向いている方向が全く異なるうえに他の様々な線が入り乱れているので気付きにくいのです。

しかし、丁寧に辺の長さや角度を調べると確かに合同である事を示せます。この場合では「２辺とその挟む角が等しい」という条件を使っています。

図の３つの四角形は「正方形」であるという条件があるので、
ＡＣ＝ＡＣ’　ＡＢ＝ＡＢ’　という長さの関係がまずあります。
次に、∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＢ＋∠ＣＡＣ’＝∠ＣＡＢ＋９０°ですが、
他方で∠Ｂ’ＡＣ’＝∠ＣＡＢ＋∠Ｂ’ＡＢ＝∠ＣＡＢ＋９０°なので
∠ＢＡＣ＝∠Ｂ’ＡＣ’になります。
ゆえに、△ＡＢＣ≡△ＡＢ’Ｃ’　である、と証明されます。

こういう具合に、合同である事を示すわけです。
尚、この例の場合では、「合同ゆえに面積も等しい」と話が続いていきます。

このように「見ただけでは分かりにくい」場合であっても、辺の長さや角度を調べて合同である事を確かに示せる場合があるわけです。数学的に論証するという事を学ぶ１つの意味がここにあります。単に論理的な思考をするというだけでなくて、事実関係の検証をする１つのツールとしての意味があるという事です。

３辺が全て等しいという条件を使う場合も、たまにあります。例えば、円に外接する三角形の頂点と円の中心で構成される２つの三角形です。

上図において、△ＡＯＣと△ＢＯＣに注目します。
まず、同じ円の半径なのでＯＡ＝ＯＢです。
また、辺ＯＣは共有されているのでもちろん長さは２つの三角形で等しいのです。
さらにここで、∠ＯＡＣ＝∠ＯＢＣ＝９０°なので、三平方の定理によりＡＣ＝ＢＣになります。
よって２つの三角形の３つの辺の長さはそれぞれ等しく、確かに△ＡＯＣ≡△ＢＯＣというわけです。

逆に、見た感じ同じ形・大きさに見えるけれどもきちんと調べるとじつは合同ではないというパターンもあり得ます。描かれた図ではいかにもそれらしく見えるけれども、条件を整理すると合同の３条件のいずれにも当てはまらず「じつは形も大きさも違う」という事が判明する場合もあります。

ここでは、あくまで図形問題に限定してという話ではありますが、「見た目」で判断するのではなく論拠を備えて検証するという事が三角形の合同条件や相似条件の学習において重要なポイントの１つです。これは試験問題を解くという話の中でも重要なので、おさえておきたいところです。

三角形の角を二等分する線を引いた時に成立する１つの図形的性質があります。

これは高校入試の図形問題でよく出題され、場合によっては大学入試で部分的に扱われる事もあります。

まず、三角形の１つの角を二等分する線を引きます。これは、例えば６０°の角度であれば３０°と３０°に分割する線を引くという意味です。

次に、その線が１つの辺とぶつかる交点を考えます。すると、じつはその交点は、他の２辺の長さの「比」でその辺を分割しているのです。こういったものは、図で見たほうが多分分かりやすいでしょう。

これを証明するのは比較的簡単です。次のようにします。
（★ただし、入試の問題を解くという観点からは結果の関係式を確実に覚えておいたほうがよいです。しかし仮に忘れた時でも証明は難しくないという事です。）

まず、二等分する角につながる三角形の辺の１つを延長します。次に、二等分する角の対辺の１端から、角の二等分線に「平行」な直線を引きます。すると三角の相似関係により証明ができるというのが簡単な流れです。この時、二等辺三角形ができる事に気付く事も１つの重要な点です。

この関係が中学校の数学、特に高校入試で問われる場合は、単独ではなくて他の図形上の関係と合わせて計算をさせる事が多いと思います。例えば、三角形の相似問題の１つの条件として使われたり、三角形の面積比を計算させるといった具合です。

また、円周角関連の事項と合わせた出題もあり得ます。この手の問題は計算を面倒にさせようと思えばいくらでもそのように問いを作れるので、いくらか練習しておかないといきなり問われた時になかなかうまくいかない事もあろうかと思います。

さて、この三角形の二等分線に関する問いは多いですが、中学での勉強を終えて高校での学習に移る時、そんなに使うのかというと正直あまり使わないと思います。ただし、図形の平行・直角・相似・合同といった考え方は引き続き使用される事があります。

そのため、試験問題を解くという事を抜きにして語るのであれば、重要なのは関係式が成立する「理由」のところだと思います。平行線の性質や相似関係によってこのような事が言えるという事が、本当は一番覚えて理解しておきたいところかとは思います。