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逆関数の微分公式の内容、具体例、証明について述べます。

y = 2x のとき、両辺を２で割って x = y / 2 とも書けます。
このように、y = ｙ(x) のとき、逆に x = ｘ(y) と書けるとき、ｘ(y) を ｙ(x) の逆関数と呼びます。
【この時の関数の記号はｆでもＦでも何であっても問題ありません。】

高校数学の中で重要な例としては、指数関数と対数関数を挙げる事ができます。
これらは、互いに逆関数同士の関係にあるのです。

公式の内容

逆関数を考えた時、もとの関数を微分して得られる導関数と、逆関数を微分して得られる導関数の間にはある関係式が必ず成立するというのが、逆関数の微分公式です。内容は、次のようになります。

ちょっと一見よく分からない公式だと思うかもしれませんが、ｘをｙで表した時に「ｘをｙで微分して得られる導関数」の逆数が、もとのｙをｘで微分して得られる導関数に必ず等しくなるという関係式です。

式としては単純で互いに逆数であるという関係ですから、ｄｘ／ｄｙ＝・・の形として見ても公式は成立します。つまり基本的には公式を次のように書き換える事もできます。

$$\frac{dx}{dy}={\large\frac{1}{\frac{dy}{dx}}}$$

これは、具体例で見たほうが分かりやすいと思います。

具体例と計算例

具体的に公式を使うための手順は次のようになります。
もとの関数ｙ＝ｙ(ｘ)の導関数を計算したい場合であるとします。

具体的な計算例を次に記します。
ここでは参考までに、逆三角関数の微分の計算も記してあります【高校では不要】。

高校数学では、指数関数と対数関数の関係あたりを逆関数の関係で結べる事を理解していれば、基本的にはじゅうぶんかと思います。

公式の証明

y=Y(x), x=X(y) として、まず Δｘ = X(y+k)－X(y) とすると
k → 0 の時に Δx → 0 となります。（その逆である「Δｘ→ 0 の時 k → 0 」も成立）

X(y+k)－X(y) について Δx という文字でおいたのは、ここでは X(y+k)－X(y) というものが「ｘの変化」に等しいという事を見やすくするためです。別に他の文字でも支障はありません。

ここで、微分の定義の式を書きます。

$$\frac{dy}{dx}={\large\lim_{\Delta x \to 0}\frac{Y(x+\Delta x)-Y(x)}{\Delta x}}$$
これは定義通りの式です。しかし、極限をとる変数としてΔｘを使っているところに計算上の工夫があります。ここの極限をとる変数は、h でなくとも何でも成立します。

上記の微分を表す微分を計算すると、次のようにも表せます。

$$ {\large\lim_{\Delta x \to 0}\frac{Y(x+\Delta x)-Y(x)}{\Delta x} } =\lim_{k \to 0}{\large\frac{Y(X(y)+X(y+k)-X(y))-Y(X(y))}{\Delta x}}$$
$$ ={\large\lim_{k \to 0}\frac{Y(X(y+k))-Y(X(y))} {\Delta x}} ={\large\lim_{k \to 0}{\large\frac{y+k-y}{\Delta x} }} ={\large\lim_{k \to 0}\frac{k}{\Delta x} }={\large\lim_{k \to 0}\frac{1}{\frac{\Delta x}{k}} }$$
$$ ={\large\lim_{k \to 0}\frac{1}{\frac{X(y+k)-X(y)}{k}} } ={\Large\frac{1} {\frac{dX(y)}{dy}}}={\Large\frac{1}{\frac{dx}{dy}} }$$

最初の変形では、分子のところだけΔｘをもとの形Δx = X(y+k)-X(y)に直してしまい、
ｘをｘ＝Ｘ(y)で書く事により、ｘ＋Δｘ＝X(y+k)としています。

次に、関数を y 変数になるように整理し、Δx→0 の時 k→0 なので k の極限にしています。

そのあとで、少しややこしいのですが逆関数の重要な性質「Ｙ(Ｘ(y))＝Ｙ(x)＝y 」（Ｘ(y)＝ｘに注意）を使って、Ｘ(Ｙ(y+k)) = y + k としています。
その後の計算は、例えば２／３＝１÷（３／２）＝１／（３／２）などと、同じ計算です。

これらの結果から、
$$\lim_{\Delta x \to 0}{\large\frac{Y(x+\Delta x)-Y(x)}{\Delta x}}=\frac{dy}{dx}={\Large\frac{1}{\frac{dx}{dy}} }【証明終り】$$

積の微分公式と、それの変形版である商の微分公式の内容、具体例、証明について述べます。
（英：product rule, quotient rule）
これは関数同士の「掛け算」「割り算」の形になっている関数を微分する時に成立する公式です。

積と商の形の関数は統一的に捉える事ができるので同時に記します。
詳しくは後述していますが、商の場合にはｆ(ｘ)と１／ｇ(ｘ)の「積」と捉えればよいので基本的には同じ形の公式なのです。

公式の内容

ｙ＝ｘｅ^ｘ といった関数同士の「積」の形になったものを微分する時には積の微分公式が使えます。
また、正弦関数を「x で割った」(sin x)／x などには商の微分公式が使えます。

関数ｆ(ｘ)とｇ(ｘ)の積ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)、商ｆ(ｘ)／ｇ(ｘ)　を微分した時には次の公式が成立します。
ここで、ｆ(ｘ)とｇ(ｘ)をｆ、ｇと記しています。

商の微分については、分母にあるのは「『微分してない g(x)』の２乗」です。

積の微分公式については、２つの項は足し算なので順番はどっちでもよいのですが、
「ｆ’ｇ +ｆｇ’」の順番にしたほうが、商の微分公式との関係で「覚えやすい」かとは思います。

計算の具体例

公式を使って計算する手順としては、f(x) と g(x) のそれぞれについて「x で微分した関数」と、「微分してない（もともとの）関数」をパーツとして用意し、公式に当てはめて丁寧に計算するというものになります。

まず、積の微分公式の具体的な計算の例をいくつか見てみます。

２番目の例のように微分の計算方法がいくつかあって、積の微分公式を使う事はその方法の１つであるというパターンもあります。計算結果が合っていればどの方法でも構いません。（入試を受験する場合にはなるべく効率のよい計算方法を考えたり、複数の方法で微分する事で計算結果のチェックをするようにしたほうがいいと思います。）

これらの中で、具体的な関数の微分計算も大事である場合もあるのですが、特に積分のほうの部分積分の公式を得るために使われるという事は覚えておくと便利かもしれません。

続いて、商の微分公式の具体的な計算例です。

これらの具体例を見てみると積と商の微分公式は、初等関数の微積分という範囲に限って見ると割と重要な公式である事が、何となくつかめるのではないかと思います。

公式の証明

証明の方法は合成関数の微分公式や逆関数の証明方法と大体考え方は似ています。積や商の微分公式の場合、証明は合成関数や逆関数と比較すると比較的容易です。

結論を言うと「隠れている『０』」を加えたりしてあげる事で証明できます。

■ 積の微分公式の証明　■ 商の微分公式の証明
■ 片方の公式からもう片方の公式を導出するやり方

積の微分公式の証明

積の微分公式の場合、 f(x+h)g(x) － f(x+h)g(x) という「隠れている項」を考える事で、２つの導関数の和の形を作れます。 この考え方自体は、数学の他のところ（大学数学も含め）でも、割とよく使われます。

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x))={\large \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}$$
$$={\large\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h} }$$
$$ ={\large\lim_{h \to 0}f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h} }+\lim_{h \to 0}g(x){\large\frac{f(x+h)-f(x)g(x)}{h} }$$
$$ =f(x){\large\frac{dg}{dx} }+g(x){\large\frac{df}{dx}}=f(x)g^{\prime}(x)+f^{\prime}(x)g(x) =f^{\prime}g+fg^{\prime}【証明終り】$$

証明の最後のところは、f(x)をf と略して和の順番を変えて整理しただけになります。

商の微分公式の証明

商の微分公式も同様の方法で証明できます。

まず分母のg(x+h)とg(x)を通分します。
その後で「-f(x)g(x)+f(x)g(x) (=0)」を分子に加えるという、積の微分公式同様の考え方をします。

$$\frac{d}{dx}\frac{f(x)}{g(x)}={\large\lim_{h \to 0}\left(\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}\right)\cdot\frac{1}{h}}$$

$$={\large\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{h\cdot g(x)g(x+h)} }$$

$$ ={\large\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{h\cdot g(x)g(x+h)} }$$
$$ ={\large\lim_{h \to 0}g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}{h\cdot g(x)g(x+h)}}-{\large\lim_{h \to 0}f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h\cdot g(x)g(x+h)} }$$

$$ ={\largeg(x)\frac{df}{dx}\frac{1}{(g(x))^2}-f(x)\frac{dg}{dx}\frac{1}{(g(x))^2}}$$

$$= {\large\left(\frac{df}{dx}g(x)-f(x)\frac{dg}{dx}\right)\frac{1}{(g(x))^2} = \frac{f^{\prime}g-fg^{\prime}}{g^2}}【証明終り】$$

計算の途中にある分母のところにあるｇ(ｘ＋ｈ)は、ｈ→０でｇ(ｘ)になるので、これともう１つのｇ(ｘ)と合わせて公式の分母の２乗を作るわけです。

片方の公式からもう片方の公式を導出するやり方

さて、このように積の微分公式と商の微分公式は、独立に証明できるわけです。

では、片方の公式からもう片方を導出できるでしょうか？

積の公式のほうに１／ｇ(ｘ)としてみると、これは(ｇ(ｘ))^－１と考える事ができますから、合成関数のほうの微分公式を使えるのです。計算してみると次のようになります。

$$\frac{d}{dx}\frac{1}{g(x)}=\frac{d}{dx}(g(x))^{-1}=-\frac{dg}{dx}\cdot\frac{1}{(g(x))^2}$$

「ｇ(ｘ)の２乗」というものとマイナス符号が合成関数の微分のほうから出てくるわけで、これを積の微分公式に当てはめると商の微分公式になります。

商の微分公式の第１項はｇ(ｘ)を「約分」する事もできるわけですが、こちらの証明方法の観点だともともとの１／ｇ(ｘ)の形に由来するというわけです。

他方、商の微分公式のほうが先に証明されているとしましょう。この時に、簡単に前述しましたが １／ｇ(ｘ)の導関数が今度は合成関数の考え方を使わずに、商の微分公式から導出できるわけです。もちろん結果は同じです。

そのうえで、商の微分公式の中のｇ(ｘ)を、１／ｇ(ｘ)に置き換えます。ちょっとややこしいですが、微分の部分も含めて丁寧に代入して整理すると積の微分公式になるのです。

つまり積の微分公式と商の微分公式は、独立に証明もできるし、互いに片方の公式からもう片方を導出する事も可能であるわけです。

こういった、証明の方法が複数あるという事については別に知らなくても支障はないし、大学入試の受験という観点からも証明自体が出題される頻度はかなり低いと思いますが、いくつかの方法で試してみる事は計算の練習にはなると思います。

合成関数の微分公式の内容、具体例、証明について記します。
（英：chain rule）

■微分の定義と公式は別途に詳しくまとめています。

公式の内容

合成関数の微分公式は、ｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ(ｘ))の形、つまり合成関数の形である時に次のように表されます。

これはどういう事かというと、次のような手順を踏めば微分ができるという事です。

1. ｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ(ｘ)) で ｙ＝ｙ(ｘ)とおき、
   ｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ(ｘ)) ＝ｆ(ｙ)のように、ｙが変数であるかのような形にする。
2. ｆ(ｙ) をｙが変数であるとみなしｙで微分する。これがｄｆ／ｄｙ
3. ｙ＝ｙ(ｘ)を微分する。これがｄｙ／ｄｘ
4. ｄｆ／ｄｙとｄｙ／ｄｘを掛け算する。
   （この段階では見かけ上の変数としてｘとｙが混在しています。）
5. ｙ＝ｙ(ｘ)を代入して式の変数をｘだけにする。これがｆ(ｘ)＝ｆ((ｙ(ｘ))をｘによって微分して得る導関数に一致する。

合成関数とは、例えばｆ(ｘ) ＝ (２ｘ＋３)^２のような形の関数の事で、ｙ(ｘ)＝２ｘ＋３のようにおいてｆ(ｙ(ｘ)) ＝(ｙ(ｘ))^２という構造になっています。

これを微分する時に、ｆ(ｘ) ＝ (２ｘ＋３)^２であれば式を展開してから普通にｘで微分する事もできますが、ｙ(ｘ)＝２ｘ＋３のｘによる微分と組み合わせて計算できる事もできるというのが合成関数の微分公式です。しかも、その組み合わせ方は「掛け算」するだけでよいというのがこの公式の意味です。

下図のように f(x) = cos(ωx) 【例えば cos 2x】のように表される関数の他に、$$e^{2x},\hspace{10pt}\sin^2x(=(\sin x)^2)\hspace{10pt}\frac{1}{1-x},\hspace{10pt}\sqrt{1-x^2}\hspace{10pt}$$なども、みな合成関数の仲間達です。
これらを微分する時には、普通の微分公式をそのままでは適用できない場合があります。そのようなものについては「合成関数の微分公式」で微分をして導関数を計算します。

具体的な計算例

この微分公式を使った計算は理論・応用ともに重要なのですが初見では計算の仕方が紛らわしく理解しにくい面もあるので、ここでは具体例についてかなり詳しく挙げておきます。

ｆ(ｘ) ＝ (２ｘ＋３)^２の微分を合成関数の微分公式で計算する場合は次のようにします。

ｙ(ｘ)＝２ｘ＋３とおき、ｙをｘで微分して得る導関数ｄｙ／ｄｘ＝２と、ｙを変数とみなしたｆ(ｙ)＝ｙ^２をｙで微分して得る導関数ｄｆ／ｄｙ＝２ｙ＝２(２ｘ＋３)を用意します。これらを掛け算します。

すると、ｄｆ／ｄｘ＝(ｄｆ／ｄｙ)・(ｄｙ／ｄｘ)＝２・２(２ｘ＋３)＝８ｘ＋１２です。

ｆ(ｘ) ＝ (２ｘ＋３)^２＝４ｘ^２＋１２ｘ＋９のように式展開して直接ｘで微分すると、ｄｆ／ｄｘ＝８ｘ＋１２となります。この結果は、合成関数の微分公式を使った場合の結果と確かに一致しています。

他の合成関数の場合の微分についても見てみましょう。特に重要度が高いのは（大学入試だけでなくその後についても）、三角関数（および三角比）や指数関数が合成関数の形になっている場合です。

次に、指数関数が合成関数になっている場合です。考え方は上記と同じになります。
ここでは特に自然対数の底の指数関数を扱います。理論上も応用上もその場合が特に重要です。

注意点としては、ｙ＝ｙ(ｘ)の置き換えをした時には、最後に y を x の形に直す必要がある（場合が多い）という事だと思いますが、忘れさえしなければ数学でも物理でも、難しい計算は少ないと思います。

前述の通り、簡単な合成関数であれば置き換えは頭の中だけでやってしまっても支障ありません。

三角関数の合成関数で、少し紛らわしいタイプのものを挙げておきます。

他に、うっかりすると合成関数である事を見落としがちなタイプのものを挙げます。

平方根がかかっている形の関数も、「１／２乗」という事ですから合成関数の形になります。

物理や工学等の理論でこれらの関数の微積分を使用するには「これは合成関数の形だから・・」という説明は省略して結果だけ書く事が普通ですので、その意味でも計算の仕方に慣れておく事は大事かと思います。計算に慣れれば簡単な合成関数であれば「公式」としての形を特に暗記しようと努めなくても自然に計算できるようになります。

公式の証明

合成関数の微分公式の証明は次のようにします。

f(ｘ) = ｆ(ｙ(ｘ)) 、 ｙ = ｙ(ｘ) である時、まず次のように考えます。

• ｆ(ｙ(ｘ))の導関数を、定義の極限を含む形で書きます。
• ｆの中の変数部分ｙ(ｘ＋ｈ)について、ｙ(ｘ＋ｈ)＝ｙ(ｘ＋ｈ)－ｙ(ｘ)＋ｙ(ｘ)と変形します。

$$\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(y(x+h))-f(y(x))}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(y(x+h)-y(x)+y(x))-f(y(x))}{h} $$

次に、ｙ(ｘ＋ｈ)－ｙ(ｘ)という項を「掛けて割る」操作をします。これは値としては「１」を掛ける操作なので自由に行ってよいのです。

$$ \frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(y(x+h)-y(x)+y(x))-f(y(x))}{h}\cdot \frac{y(x+h)-y(x)}{y(x+h)-y(x)}$$

$$=\lim_{h \to 0}\frac{f(y(x+h)-y(x)+y(x))-f(y(x))}{y(x+h)-y(x)}\cdot\frac{y(x+h)-y(x)}{h}$$

ここで、ｚ＝ｙ(ｘ＋ｈ)－ｙ(ｘ)とおきます。そのようにおかなくても証明できますが、見やすくするという意味です。ｚに置き換わる部分は３つあり、ｄｆ／ｄｘは次のような形になります。

$$\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(z+y(x))-f(y(x))}{z}\cdot\frac{z}{h}$$

ここで、ｈ→０のとき、lim_ｈ→０ｚ＝lim_ｈ→０（ｙ(ｘ＋ｈ)－ｙ(ｘ)）＝ｙ(ｘ)－ｙ(ｘ)
＝０ですから、ｈとｚの両方を０に近づけるという意味で 「lim_{ｈ,ｚ→０} 」と書く事ができます。このときに、

$$\lim_{h \to 0}\frac{z}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\frac{dy}{dx}$$

である事に注意し、ｙ＝ｙ(ｘ) を変数とみなしてｙと書くと次のようになります。

$$\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h,z \to 0}\frac{f(z+y)-f(y)}{z}\cdot\frac{z}{h} =\frac{df}{dy}\frac{dy}{dx}【証明終り】$$

このように、１つの導関数を別の導関数の積で表せるという結果になるのです。

２項定理（あるいは「２項展開」）とは、
(ｘ＋ｙ)^ａの形の式を展開した時にどのようになるかを表した式です。

指数の部分ａは自然数である事も多いですが、一般の実数で同じ形に展開できます。（ただしａが自然数でない場合は有限の数の項で終わらず無限級数になる場合があります。）

指数が自然数の場合

まず、簡単なのはｎを自然数として、(ｘ＋ｙ)^ｎの形の式を展開した場合です。
ただし簡単とは言っても、任意の自然数ｎについてどのようなものになるかを知るには順列と組み合わせの知識が必要です。

ｎ＝２の場合、(ｘ＋ｙ)^２＝ｘ^２＋２ｘｙ＋ｙ^２　であり、

ｎ＝３の場合、(ｘ＋ｙ)^３＝ｘ^３＋３ｘ^２ｙ＋３ｘｙ^２＋ｙ^３　です。

ｎが小さい場合は直接に計算もできますが、じつは公式として書けるというのが２項定理です。

このようになる理由自体は単純で、直接の式の展開を考えてみるのです。

x とｙ を何個選ぶかの「組み合わせ」を考えます。

ｎ＝２やｎ＝３の場合を考えてみると分かりやすいと思いますが、ｘｙやｘ^２ｙの項の係数は結局どういう理由で決まるのかというと、式展開した時にそれらの項が「何個」あるかで決まっています。

ｎ＝３のときのｘ^２ｙの項については「３つの項の中からｘを２個、ｙを１個選ぶ方法」の数に等しいのです。これは、組み合わせで表現できます。

少し分かりにくい場合は、３つの場所①②③を考えて、２つ選ぶという場合を考えてみてください。その２つの場所からｘをぶという考え方でも組み合わせの総数になります。

３つの中から３個ともｘ、３個ともｙを選べばｘ^３とｙ^３の場合であり、そのような組み合わせは１通りだけで実際それらの項の係数は１になります。

つまり、(ｘ＋ｙ)^ｎのｘ^ｍｙ^ｎ－ｍの項の係数が_ｎＣ_ｍになるというのが２項定理の内容です。
組み合わせの性質により、_ｎＣ_ｎ－ｍ＝_ｎＣ_ｍになります。３乗の展開式において係数が１、３，３、１の順で並ぶのはそのためです。

４乗の場合の展開式を計算してみると、_４Ｃ_１＝_４Ｃ_３＝４、_４Ｃ_２＝６であるので、(ｘ＋ｙ)^４＝ｘ^４＋４ｘ^３ｙ＋６ｘ^２ｙ^２＋４ｘｙ^３＋ｙ^４　です。
これは、３乗の展開式に（ｘ＋ｙ）をかけてみても同じ結果になります。

指数が実数の場合（一般２項定理）

上記の指数が自然数の場合の形の式と全く同じ形が、指数が実数一般の場合でも成立する事を特に指して一般２項定理（もしくは一般２項展開）と言います。

この場合はどうやって示すのかというと、結論を言うとマクローリン展開を使います。マクローリン展開とは微積分を利用した関数の無限級数展開の１つで、高校では教えない場合も多いので高校生であれば覚える必要はありません。（テイラー展開の特別な場合がマクローリン展開です。）

参考までに述べておくと一般２項定理の証明は次のようになります。

冒頭でも少し触れましたが、このように形としては指数が自然数でもそうでなくても同じ関係式が成立しますが、指数が負の数などの場合では項が延々とずっと続き無限級数になります。（単なる式の展開が無限級数とか微積分との関連もあるというのは、少し意外に思う人もいるかもしれません。）

２項定理が成立するとすると、単項式の微分公式が (ｘ^ａ)’ ＝ｎｘ^ａ－１となる理由が分かりやすくなるという利点があります。（ただしａが実数の場合には、一般２項定理は微分公式の証明にはなりません。指数が実数の場合の単項式の微分公式の証明は、普通は対数関数の微分公式を利用します。）