カテゴリー: 三角関数

弧度法とは、半径１の円の円弧の長さ（扇形の周部分）によって角度を表す方法を言います。
基本的には、円周率の有理数倍によって使って表す事が多いです。

弧度法で表した角度には単位をつけない事も多いですが、「ラジアン」[rad]という単位を記す事もあります。（英：radian）

定義・考え方と重要ポイント

弧度法は次のように定義され、度数法との換算の仕方も合わせて記すと次のようになります。

この角度の表し方の詳しい意味と、換算の式の出し方についての易しい説明を以下にしていきます。

円周の長さは直径と円周率の積です。この時に半径（および直径）が一定であれば円周の長さも一定です。

まず、簡単な例として「半円」を考えてみましょう。これの「弧」の長さを考えます。
当然ながら、半円の弧の長さは「全体の円周の長さの半分」です。
１／３円であれば弧の長さも１／３です。１／ｎ円であれば弧の長さは全体の１／ｎです。

ところで一般の扇形の面積や円弧部分の周の長さを考える時は、例えば中心角が６０°の扇形は、
全体に対して６０／３６０＝１／６ の割合の面積や弧の長さを持つと判定するのでした。
全体を３６０°として、６０°という部分を考えています。
これは、角度が分かっているので円弧の長さも分かるというわけです。

そこで、弧度法の基本的な考え方は次のようなものです。

「逆に、『弧の長さ』が仮に分かってるとすれば『角度』も確定するではないか？」

半径１の円の６０°の扇形の弧の長さは\(\pi\)／３ですが、言い換えると弧の長さが\(\pi\)／３であれば
角度も「全体を６分割する」大きさである事は確定しているというわけです。

度数法の場合は３６０°に対して何度を比較しますが、弧度法では半径１の円の全体の円周の長さ２\(\pi\)に対して、扇形の弧の長さを比較するのです。

この観点では角度を「全体の何割なのか」という視点だけで考えているとも言えます。

換算の式の考え方と導出

弧度法と度数法の換算については、冒頭で記しましたように一応の「公式」はありますが、
基本的には部分が全体の何割かという事を考えているだけなのです。

例えば直角であれば全体の１／４ですから度数法であれば９０°、
弧度法なら２\(\pi\)の１／４の\(\pi\)／２であるというわけです。
３６０／４＝９０、２\(\pi\)／４＝\(\pi\)／２という計算です。
（あるいは半円の半分と考えて１８０／２、\(\pi\)÷２）

そもそも度数法にしても３６０という数字について、数学的に絶対にこの値でないと支障があるのかというとそうではありません。例えば極端な話、倍の数字の７２０を全体としてもよいのです。角度を測るツールとしては何でもよいわけです。その事に気付くと、弧度法というのは全然難しいものではないのです。

とすると、弧度法と度数法の換算も、全体の何割かを把握している事が本質であるわけです。この時、必要に応じて直角や２直角の何割かという事を考えたほうが計算は早い場合はあります。

例えば３０°であれば、２直角１８０°の１／６ですから、弧度法だと半径１の半円の弧の１／６、つまり\(\pi\)／６に等しい角度という事です。

同じく４５°なら２直角の１／４なので、弧度法だと\(\pi\)／４です。
前述の９０°なら直角ですから弧度法では\(\pi\)／２と直ちに考える事もできます。

１２０°のような場合は、２直角の２／３ですから（６０°の２倍）、弧度法では２\(\pi\)／３なのです。

このように考えると、じつに簡単なものである事に気付くと思います。

３７°のような半端な角度の場合も考え方は同じなのです。要するに、全体の何割かを考えればよいのです。９０°未満の角度の場合は１８０°に対する割合を考えたほうが簡単でしょう。
すると、この角度を弧度法で表すなら \(\pi\) の３７／１８０倍です。$$37°は、弧度法では\pi\cdot\frac{37}{180}=\frac{37\pi}{180}になります。$$

これが、弧度法と度数法の換算の式の意味です。改めて記すと次のようになります。

この考え方が分かっていると、仮に次のような意地の悪い問題が大学入試（センター試験等）で仮に問われたとしても迷わないでしょう。

■問い：「弧度法の１ラジアンを度数法で表すならいくらか。」

そもそも円周率は無理数なのだから弧度法の角度をわざわざ有理数である「１」で表す意味があまり無いとも言えるのですが、この手の問題では理解度を試すためにわざと問うているという事でしょう。

１ラジアンですから、２直角に対する割合は１／\(\pi\)です。
したがって解答は、１８０×（１／\(\pi\)）＝１８０÷\(\pi\) ≒ ５７.３ [°] です。【解答】

考え方としては\(\pi\)／４ラジアンが２直角\(\pi\)に対する１／４、
あるいは直角の半分だから「４５°」と判定する事と同じなのです。

一般の円の円弧の長さ・扇形の面積との関係

さて、弧度法で表した角度は「半径１」の円の円弧の長さです。

あくまで半径１の場合ですから、別の半径であれば円周の長さも面積も変わります。

しかし、円周の長さは「半径（あるいは直径）に比例する」のでしたから、
仮に弧度法で表された角度が分かっているのであれば、一般の扇形の円弧の長さは「弧度法の角度[rad]を半径倍したもの」という事になります。

これは、「半径Rの扇形の円弧の長さ」＝「『半径１の扇形の円弧の長さ』× R」という簡単な関係なのです。

この意味において、次の公式が成立します。

面積についても考え方は同様です。

半径１の円の面積は１×１×\(\pi\)＝\(\pi\)で、
弧度法の角度が θ であれば θ／(２\(\pi\)) の割合が扇形の面積です。

$$半径１の扇形の面積：\pi\cdot\frac{\theta}{2\pi}=\frac{\theta}{2}$$

ここで１／２というのが出てくるのは、円周の長さは直径と円周率との積、円の面積は半径の２乗と円周率との積で、弧度法の角度は円周と円弧の関係を表すものなので直径と半径のずれがあるためです。

扇形の半径がRに変わった時には面積はさらにR^２倍になります。

その意味において次の関係式が成立します。

三角関数の変数としての角度は弧度法で表すのが基本です。特に三角関数の微積分を考える時には、度数法を使うと問題が発生するので必ず弧度法の角度を変数として扱います。

三角関数とは、図形上の三角比である正弦、余弦、正接の角度部分を拡張して定義域を実数全体に広げた正弦関数、余弦関数、正接関数を言います。（正接関数は \(\pi\)／２の奇数倍を定義域から除きます。 ）
三角関数の変数は「実数値」であり、度数法ではなく弧度法で表します。（※度数法のまま三角関数を扱っても支障はない場合も多くあります。ただし微積分を扱う時には特に問題が発生するので注意も必要です。）

表記方法自体は三角比の場合と同じで、変数部分の記号としてｘを使う事が多いです。
正弦関数 ｙ＝sinｘ　余弦関数 ｙ＝cosｘ　正接関数 ｙ＝tanｘ

三角関数は、代表的な周期関数の１つでもあります。これは、同じ関数の値が等間隔の変数ごとに繰り返し現れるというもので、「１回転」\(2\pi\) ごとの周期性を示します。（比例係数を使う事で、その他の値の周期とする事もできます。）

指数関数や対数関数と同じく、高校で扱われる重要な関数である初等関数の１つです。

三角比との違いは、数学的に厳密な違いが定義されているわけではありませんが、三角比というのはどちらかというと平面の図形に対して０°～１８０°の範囲で適用するものであって、三角関数は図形問題というよりは周期関数としての性質を強調して使う事が多いです。

定義域の拡張・・角度を拡張する

三角関数の考え方は大体において三角比と同じ考え方を適用できますが、正弦関数等の変数は実数全体です。この場合、単純な直角三角形の角度としては変になる場合はどのように解釈するのか？を説明します。
基本となるのは正弦関数と余弦関数なので、まずはそれらについて見ていきます。
（正接関数についてはそれらの割り算で表されます。）

■ 「０度」と負の角度　■ \(\pi\)／２【９０°】以上の角度　■ ２\(\pi\)【３６０°】以上の角度【周期性】　

「０度」と負の角度

直角三角形の直角以外の部分の角度は、「もちろん０°より大きく９０°より小さい範囲」です。
弧度法だと 0 ＜ x ＜ \(\pi\)／２です。そうでないと三角形ができないためです。
しかし三角関数では、この変数の範囲（定義域）を拡張していきます。

まず変数が０以下の場合はどうするのでしょうか？結論を言うと次のようにします。

これは図で言うと、三角形を底辺に関して対照的にひっくり返したものを考えて「負の角度」としています。角度の方向にも向きを付けて、反時計回りをプラス、時計回りにはマイナスの符号をつけるという意味です。
そのうえで正弦については「下向き」の高さ、余弦については変わらず同じ値と決めています。

まずｘ＝０の場合には次のようにしていす。

これらは「定義」であるとしか言いようがない面もありますが、「なめらかな形の連続関数」になるような定義としての１つの要請であるとも言えるのです。
三角比の範囲においても、角度を０に近づけると正弦の値は０に近づき、余弦の値は１に近づいていくのでｘ＝０において sin 0 = 0, cos 0 = 1 であれば、その「点」において関数は「連続」になるという事です。さらにそこから、なめらかな形で負の部分に続いていく事も考えます。（微分可能になるように。）

また、周期関数になるという要請も加えると、定義の仕方も段々と限定されてくるわけです。意味としては、三角関数における「角度」の拡張の定義にはそのような意味があると捉える事ができるのです。
直交座標上にｘを変数とした三角関数のグラフを描くと、ちょうどｘ＝０で正弦関数は原点に対して点対称、余弦関数はｙ軸に関して軸対称の形になります。

尚、ここでは sin(－ｘ)＝ －sinｘ において「ｘは正の値」を考えて変数が負の場合の説明をしましたが、
そこでｘ自体に「負の値」・・例えば－\(\pi\)／４を入れたとすると$$\sin\left\{-\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right\}=\sin\frac{\pi}{4}=-\left(-\sin\frac{\pi}{4}\right)=-\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$$となり、式の整合性はとれています。余弦関数の場合も同様に整合性がとれます。つまり一般的に、変数部分にマイナス符号がついている時には、上記の定義式の関係を使って機械的に計算してもよいという事です。

\(\pi\)／２【９０°】以上の角度

では、変数がプラスの値の時に戻って、変数が\(\pi\)／２以上の場合はどうするのでしょう？
通常の図形問題でも９０°以上の角度は考えますが、直角三角形の直角にはそのままでは適用できません。

三角関数において、定義域を\(\pi\)／２以上に拡張する場合は次のようにします。

また、正弦関数と余弦関数については次式も成立し、これを使うと計算上便利です。

さて、この定義を見ると角度が負の場合と比較して、かなり複雑であるようにも見えます。
この場合もやはり式だけで考えるのではなく、図形的に考えたものを式で表現するなら上記のようになると理解すべきでしょう。

変数が直角を考える場合には、今度は直角三角形の高さ部分の辺に関して対照的になるようにひっくり返すのです。この場合も、関数の値の絶対値は直角未満の場合の三角比の値を流用して符号だけをいじるという定義の仕方をします。

９０°を超えて１８０°未満の「鈍角」の範囲における三角関数の具体的な値を調べる時には、鈍角を「１８０°－鋭角」と考えるか、「９０°＋鋭角」と考えるかの２通りの計算で便利なほうを使うのが普通です。

尚、式として考える場合、「９０°＋鋭角」の鋭角部分をマイナスにしてさらに９０°加算する事で
「１８０°－鋭角」の三角関数の値の式を導出する事も一応可能です。次のようにします。

$$\sin\left(\pi-\theta\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=-\sin(-\theta)=\sin\theta$$

$$\cos\left(\pi-\theta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\theta\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=-\cos(-\theta)=-\cos\theta$$

変数の値が２直角、つまり\(\pi\)の時には正弦関数の値は０、余弦関数の値は－１です。これは定義として捉えてもよいですし、上記の sin(ｘ＋\(\pi\))＝－sinｘから導出するという形でも同じです。これらも、意味としては関数の増減との対応・周期性・なめらかな連続性を満たす要件として考える事ができます。

さらに変数が\(\pi\)を超える場合には負の角度の時のように底辺に関して対照的にひっくり返します。この場合は、sin(ｘ＋\(\pi\))＝－sinｘ,　cos(ｘ＋\(\pi\))＝ －cosｘ の関係式を使うと把握しやすいでしょう。図を見ながら、図形的に捉えましょう。

さらに角度の値を大きくすると、今度は再び高さ部分に関してひっくり返り、座標軸上で言うと第４象限の位置に配置された三角形を考える事になります。

２\(\pi\)【３６０°】以上の角度【周期性】

角度を増やして、４直角、つまり３６０°に達し、それを超えた場合はどうなるでしょう。

この場合は、sin(ｘ＋\(\pi\))＝－sinｘ,　cos(ｘ＋\(\pi\))＝ －cosｘ の関係式の変数にもう一度 \(\pi\) を加えるのです。

すると、再度符号が反転して sin(ｘ＋２\(\pi\))＝sinｘ,　cos(ｘ＋\(\pi\))＝ cosｘ　となり、
もとの sinｘ および cosｘになる事を導出できます。

これが三角関数の周期性と呼ばれる性質で、以降、角度をどれだけ増やしても延々と周期的に値を繰り返すという事です。これは正接関数についても成立します。

この周期性は、マイナスの向きに角度を減らした場合にも適用できます。つまりマイナス方向にもプラス方向にも、実数全体にわたって２\(\pi\)の周期性があるという事です。

sin(ｘ＋２\(\pi\))＝sinｘの関係から、sin(２\(\pi\)－ｘ)＝sin(－ｘ) となり、余弦関数の場合も同様です。これは図形的に見ると、同一の頂点に相当する部分に至る角度を反時計回り（プラス）で測っても時計回り（マイナス）で測っても三角関数の値は同じである事を意味します。

単位円による定義方法

さて、以上の三角関数の定義と性質を見ると、式だけで覚えるのは大変複雑で、図形的に見るとそれほど難しい理屈ではない事が分かると思います。

上記の図でもところどころに描いていますが、じつは三角関数を把握するには円を描くと便利です。（三角関数の別名を「円関数」とも言います。）

この円は、原点を中心とした半径を１にした円で、単位円と呼ばれます。

すると、斜辺の長さに相当する「半径」が１ですから、角度の取り方は前述の方法と同じであるとすると、
円周上の点のｘ座標は余弦関数の値、ｙ座標は正弦関数の値になるのです。

この単位円による方法でも適切に三角関数の値を出せるので、これを定義にしてしまうやり方もあります。

単純な覚えやすさと使いやすさに関しては、この単位円による方法は非常に優れています。

欠点があるとすれば、三角比の拡張として唐突に「円」を持ち出すと、やはり少しばかり飛躍を感じさせるのも事実だと思います。最初から単位円による定義で教え込まれてしまうと結局「わけもわからずに」暗記するだけ・・という事になりがちです。

重要な公式まとめ

三角関数の公式としては、簡単に４つのグループに分けると次のようなものがあります。

1. 三角比についても適用できる公式
2. 定義域を拡張した三角関数に特有なもの（例えば周期性）
3. 正弦定理と余弦定理
4. 加法定理と、それから派生する公式

まず、三角比についても成立するいくつかの公式は、三角関数でも成立します。これは三角比範囲の角度でのみ成立するのではなく、負の角度や直角以上の角度を代入してもきちんと成立するところが便利です。

これらの証明は三角比の説明のところで詳しく記しています。

周期性も含めて、三角関数特有の公式・性質も整理しておきましょう。
前述の通り、式だけで覚えるのではなく図形的に理解して覚えるとよいと思います。

図形的に三角形に対して成立する公式で三角関数を使うものには、正弦定理と余弦定理というものがあります。（余弦定理のほうがどちらかというと重要かと思います。）それらは基本的には三角比に対して成立しますが、角度として鈍角や直角を適用する場合には三角関数の定義を使用すると図形的な対応もうまくとれるという具合になります。図形的な対応さえきちんとつけるなら、余弦定理に関しては全実数の範囲の角度を適用しても成立します。

また、三角関数の加法定理というものがあって、これは複素数の理論の一部を構成しており、微積分のほうで計算を進めるために使う事もあるので三角関数の公式の中では重要な部類に入ります。
また、この加法定理から派生するいくつかの小さなグループの公式として積和の公式・和積の公式・倍角の公式と呼ばれるものもあります。それらは本質的にはもともと加法定理そのもので、少し式変形をして形を変えたものになります。

この他に、高校数学では必要ありませんが、三角関数を使った無限級数によって周期関数を解析する技法があります。そこでも三角関数の基本的な性質や公式は前提として話が進められる事も多いので、基礎事項をよく知っておくと後々の学習が進めやすい事もあろうかと思います。