カテゴリー: 電磁気学

４つのマクスウェル方程式からは電磁波の式を得るための波動方程式およびそのもとになっている一般形の方程式の導出されます。

電場と磁場の波動方程式

結論を先に述べると、マクスウェル方程式からは
次のような電場と磁場のそれぞれについての波動方程式を導出できます。

このように電場と磁場のそれぞれについて全く同じ形の式がマクスウェル方程式から導出されるわけですが、「真空中」という条件がついています。

これらの波動方程式には、もとになっている形があります。

マクスウェル方程式から法則と数学的な変形だけで直接的に導出される式は、
真空中に限らず一般の場合に成立する式です。

また、電場に対するスカラーポテンシャル（時間変動も含めた一般的な形）と磁場に対するベクトルポテンシャルを使った形の波動方程式と、そのもとになっている関係式もあります。

電磁波と光の関係

真空中の光の速さをｃとすると実は数値的にε_０μ_０＝１／(ｃ²) が成立しています。

ε_０＝8.8542×10^－１２
μ_０＝1.2566×10^－６
ｃ＝2.9979×10^８です。

１／(ε_０μ_０)≒１／(１１．１２６１８７×１０^－１８)≒８．９８７８×１０^１６で、この平方根を考えると確かに真空中の光の速さとほぼ同じになります。
（物質中では光の速さは変わります。また、同じく誘電率と透磁率の値も物質中では変わります。）

さらに、波動方程式の解から分かる波（電磁波）が進行する速さは１／\(\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\) です。

ε_０μ_０＝１／(ｃ²) からｃ＝１／\(\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\) なので、
電磁波が真空中を伝わる速さは光の速さに等しいという結果が得られます。

ところで光はマクロで見ると波なので、
物理学的には電磁波と光は波動として同じものであると捉えられています。
上記の関係式は、偶然にもほぼ一致するという事では無くて
「理論的にも実験的にも必ず成立する式である」
というのが物理学における解釈であるわけです。

いわゆる「目に見える光」は可視光とも呼ばれ、光の波長によって見える範囲が限定されている事が分かっています。（人と動物ではその範囲が違っていたりします。）

電磁波が光であるというのは基本的には「波動としては」という事であり、光は粒子（光子）でもあります。より詳しく言うと光は１つ１つは粒子として振る舞うけれども、それが多数集まると波として振る舞うようになります（干渉などの現象を起こすようになる）。ただし、電磁波と光を同一視できる関係は通常のマクロなスケールにおいてだけでなく、ミクロのスケールにおいても電場と磁場（のポテンシャル）から考えて光を量子力学的に考察する事がなされます。

導出に必要な式および法則・記号・公式等

まず、マクスウェル方程式のうち時間微分を含む２式であるアンペールの法則と電磁誘導の法則の式に着目します。それらは、発散と回転の分類から言うと膜ウェル方程式の中で電場と磁場の回転に関する２式でもあります。

「ベクトル場の回転に対する回転」はベクトル解析での公式によりラプラス演算子（ｘ，ｙ，ｚでの２階偏微分を内積的な計算で作用させる演算子）を含む形になり、さらに途中計算で出てくる発散の項をガウスの法則（電場と磁場両方を使用）によって変形する事で波動方程式の形の微分方程式が得られる、というのが基本的な理論の流れです。

さらに「真空中」という条件を付ける事で電流密度の項を無視できるとすると比較的見やすい形の微分方程式となります。また、電場に対するスカラーポテンシャル（＝電位）と磁場に対するベクトルポテンシャルからも同じく波動方程式を作る事ができて、特定の解を導出するにはそちらを使う方が簡単である場合もあります。

ナブラを使って書いた場合は次のようになります。

電場についての波動方程式の導出

電場と磁場の両方についてかなり似た操作でそれぞれについての波動方程式を導出できます。電磁誘導の法則とアンペールの法則をそれぞれ使いますが、実は計算の過程において電場と磁場の場合の両方でマクスウェル方程式のうち３つを使う事になります。

電場についての波動方程式を導出する時には、まず電磁誘導の法則の式から始めます。

以上の式では、ε_０μ_０の項が出てきた時点で
光の速さｃを使った形である１／(ｃ^２)に直して計算を進める事もできます。結果は同じです。

磁場についての波動方程式の導出

磁場についてもアンペールの法則から始めて。同様の手順でやれば波動方程式を導出できます。

ポテンシャルによる電磁場の波動方程式の導出

電場のスカラーポテンシャルと磁場のベクトルポテンシャルから波動方程式（および一般の形の方程式）を作る事もできます。

この場合、まず電磁誘導の法則の微分形をベクトルポテンシャルを使った形にします。

ここで、静電場に対する渦無しの法則を考えた時と同様に
「回転が０であるベクトル場」は何かのスカラー場の勾配として書けます。

そのスカラー場を考えて磁場の時間変化が無い時は電位に等しくなるように－Φとします。そのようにおいた式の両辺の発散を考えると式をラプラス演算子で表せます。

ところでベクトルポテンシャルのゲージ条件はまだ何も決めていないので、少し唐突で無理やり感もあるように見えるかもしれませんが次のゲージ条件を課します。

磁場に関するガウスの法則はベクトルポテンシャルを考える事自体に使っている事に注意すると、先ほどの電磁誘導の法則をポテンシャルで考えた式を考えた時点でまだ使っていないマクスウェル方程式は電場に関するガウスの法則とアンペールの法則です。

そこで電磁誘導の法則から得られたベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルの関係式を、同じくポテンシャルで表した電場に関するガウスの法則とアンペールの法則に代入して上記のゲージ条件を適用すると波動方程式が得られます。

電場のスカラーポテンシャルの場合

この結果は、ベクトルではなくスカラー場の波動方程式になっています。

また、ポテンシャルで考える場合には電磁場を考える地点での電荷密度を０と考えずに一般形のまま計算をする事がよくあります。さらに、後述するこの微分方程式の解となる式においては電磁場およびポテンシャルを考えている地点とは別の領域に存在する電荷密度の分布を考えます。
それは電位やベクトルポテンシャルを考える時にも使う考え方ではありますが、紛らわしい事もあり注意が必要な点とも言えます。

磁場のベクトルポテンシャルの場合

磁場の場合はアンペールの法則の微分形から始めて、計算式が一見少し複雑になりますが波動方程式の形に変形できます。

平面波解として得られる電磁波の式

ベクトルに対する偏微分方程式も、
成分ごとに見ればスカラー関数に対する偏微分方程式になります。例えば、
\(\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\right)E_x=0\)などです。

これの解の１つとして比較的簡単で代表的なものは次のような平面波です。
（以下、ｃ＝１／\(\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\)であるとします。）

これは一体何を言っているのかという話ですが、U(ｚ－ｃｔ)は進行波でW(ｚ＋ｃｔ)が反射波を表します。さらにｘとｙは変数ではないという関数形である事は「ｚ軸方向に進行していく」事を表します。

上記の式が確かに波動方程式の解になっているかどうかについては直接計算すればよいのですが、意外と少し面倒くさくて変数と微分の関係などに注意する必要があります。（微分をしていくだけの計算問題になるので、記述は後回しにします。）

電場のｘ成分とｙ成分が平面電磁波を表す形であるとして、
磁場に関してもｘ瀬尾文とｙ成分が同様の形であるとします。
∂E_ｘ／∂ｘ＝０と∂E_ｘ／∂ｙ＝０および∂E_ｙ／∂ｘ＝０と∂E_ｙ／∂ｙ＝０などの関係をマクスウェル方程式に戻って当てはめていくと、他の成分についても決定するものが複数あります。
それらを整理すると次のようになります。

∂Ｅ_ｚ／∂ｚ＝０である事を踏まえて、
さらにＥ_ｚがｘとyに関しても定数だとしても波動方程式を満たすのでそのようなものを考えます。
つまりその場合は∂Ｅ_ｚ／∂ｘ＝∂Ｅ_ｚ／∂ｙ＝０です。

その条件下では、電磁誘導の法則のｘ成分とｙ成分から
∂E_ｙ／∂ｚ＝∂B_ｘ／∂ｔ
∂E_ｘ／∂ｚ＝－∂B_ｙ／∂ｔ
という関係が得られます。

その事から、その条件下で電場と磁場のｘ成分とy成分の関係は次のようになります。

もし進行波と反射波が別々のベクトルであるとするなら、電磁波の進行方向に対して垂直な平面内で進行波における電場と磁場は直交し、反射波における電場と磁場も直交する事になります。

電磁波における電場と磁場の成分が正弦波あるいはその重ね合わせであると考えると、平面電磁波の電場と磁場の成分が進行方向に垂直である事は「波数ベクトル」との内積が０になる事でも示せます。

ポテンシャルによる計算から得られる電磁波の式

ポテンシャルを使ったほうの波動方程式を解くと、少し別の形の数式での電磁波の式を得ます。

スカラーポテンシャルにしてもベクトルポテンシャルにしても、静電場と静磁場の場合には積分の形はとるけれども一応微分方程式の解としてポテンシャルを数式で表す事は可能です。

そして前述のポテンシャルの波動方程式および一般の形の式（ρ≠０等の場合）でも、実はかなり似た形の式が解になります。

静電場や静磁場に限定した時と異なる点は、電荷密度と電流密度に変数として加わる「時間」の部分です。そしてその時間変数は、空間中で電磁波による電磁場を考えている地点と、電磁場を作っている電荷や電流がある領域との時間変化における「時刻」のずれが反映された形にする必要がある事が知られています。

具体的には、まず平面波を表す解で得られた電磁波の速さｃ＝\(\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\)が一般に適用できるものだと仮定して、電荷や電流の各位置から電磁場を考える位置までの距離をｒとします（これは関数）。

そして、電荷や電流の時間変数をｔとした時に、その変数をｔ－ｒ／ｃに置き換えたものを考えます。
これはｒという位置座標の関数を含むのでｘ，ｙ，ｚ，ｔの関数です。
そこでＴ(ｘ，ｙ，ｚ，ｔ)＝ｔ－ｒ／ｃとおいておきます。

前述のポテンシャルで表した場合の真空中の波動方程式、および電荷密度あるいは電流密度が０でない場合の式における解の１つは次式で表されます。

また、ポテンシャルから計算できる電場と磁場は次のようになります。

遅延ポテンシャルが解となっている事の確認計算

先ほどの「遅延ポテンシャル」が波動方程式を作るポテンシャルの式を満たすのかどうかは、少々長ったらしい計算が必要ですが確認する事ができます。

まず、スカラーポテンシャルのほうを見ます。ベクトルポテンシャルについても、成分ごとに見ればスカラーポテンシャルの時と同様に計算ができます。

∇^２と発散、勾配はいずれもｘ，ｙ，ｚの変数での偏微分を行うものとします。

勾配ベクトルの内積部分の計算

勾配ベクトルの内積部分の計算を先に見ます。

積分内のρの変数であるX，Y，Z，Tのうち
ｘ，ｙ，ｚの関数であるのはＴだけです。
∂ρ／∂ｘ＝(∂ρ／∂Ｔ) (∂T／∂ｘ)
【本来、数学的な計算としては∂ρ／∂ｘ＝(∂ρ／∂Ｔ) (∂T／∂ｘ)＋(∂ρ／∂X) (∂X／∂ｘ)＋・・・で、
∂X／∂ｘ＝０，∂Y／∂ｘ＝０，∂Z／∂ｘ＝０なので(∂ρ／∂X)(∂X／∂ｘ)等の項は０】

ここでＴ＝ｔ－ｒ／ｃなので、
∂T／∂ｘ＝－(∂／∂ｘ) (ｒ／ｃ)＝－(ｘ－X)／(ｒｃ) であり、
∂ρ／∂ｘ＝(∂ρ／∂Ｔ) (∂T／∂ｘ)＝－｛(ｘ－X)／(ｒｃ)｝(∂ρ／∂Ｔ)

他方でＴ＝ｔ－ｒ／ｃをｔで偏微分すると∂Ｔ／∂ｔ＝１であり、
∂ｘ／∂ｔや∂Ｘ／∂ｔ等は０なので
∂ρ／∂ｔ＝(∂ρ／∂Ｔ) (∂Ｔ／∂ｔ)＋(∂ρ／∂ｘ) (∂ｘ／∂ｔ)＋(∂ρ／∂ｙ) (∂ｙ／∂ｔ)＋・・・
＝(∂ρ／∂Ｔ) (∂Ｔ／∂ｔ)
＝∂ρ／∂Ｔ

つまり∂ρ／∂ｔ＝∂ρ／∂Ｔの関係があるので
先ほどの式は
∂ρ／∂ｘ＝－｛(ｘ－X)／(ｒｃ)｝(∂ρ／∂ｔ)と書けます。
【Tによる偏微分ではなくｔによる偏微分でも同じ結果になるという事。】

これらの事はｙやｚについても同様の計算で、時間変数による偏微分はｔで書けます。
∂ρ／∂ｙ＝－(ｙ－Y)(∂ρ／∂ｔ)／(ｒｃ)
∂ρ／∂ｚ＝－(ｚ－Ｚ)(∂ρ／∂ｔ)／(ｒｃ)となるので
\(\overrightarrow{R}=\frac{\Large 1}{\Large r}(x-X,y-Y,z-Z)\) とすると、
gradρ＝－(１／ｃ) (∂ρ／∂ｔ)\(\overrightarrow{R}\)

ここで、grad(１／ｒ)＝－\(\overrightarrow{R}\)／(ｒ^２)であり、
\(\overrightarrow{R}\)の大きさは１である事に注意すると∇^２(Φ／ｒ)の式中の内積計算は
２{grad(1／ｒ) }・(gradρ)＝{－２／(ｒ^２) } {－(１／ｃ) (∂ρ／∂ｔ) }
＝{２／(ｃｒ^２) } (∂ρ／∂ｔ)
【この項は、あとで消えます。】

電荷密度に対する∇^２ρの部分の計算

また、スカラー関数については∇^２ρ＝div(gradρ)なので、div(gradρ)を計算します。
grad(∂ρ／∂ｔ)については先ほどのgradρ＝－(１／ｃ) (∂ρ／∂ｔ)\(\overrightarrow{R}\)と同じ形の計算が可能で、
grad(∂ρ／∂ｔ)gradρ＝－(１／ｃ) (∂^２ρ／∂ｔ^２)\(\overrightarrow{R}\)

\(\overrightarrow{R}\) の大きさはｒ／ｒ＝１である事に注意して、
公式div(φ\(\overrightarrow{F}\))=(gradφ)・\(\overrightarrow{F}\)＋Φdiv\(\overrightarrow{F}\) および
div\(\overrightarrow{R}\)=２／ｒも使用すると次のようになります。

$$\nabla^2\left(\mathrm{grad}\rho\right)=\mathrm{div}\left(\mathrm{grad}\rho\right)$$

$$=\mathrm{div}\left\{-\frac{1}{c}\frac{\partial \rho}{\partial t}\overrightarrow{R}\right\}=-\frac{1}{c}\left\{\left(\mathrm{grad}\frac{\partial \rho}{\partial t}\right)\cdot\overrightarrow{R}+\frac{\partial \rho}{\partial t}\mathrm{div}\overrightarrow{R}\right\}$$

$$=-\frac{1}{c}\left\{-\frac{1}{c}\left(\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}\overrightarrow{R}\right)\cdot\overrightarrow{R}+\frac{2}{r}\frac{\partial \rho}{\partial t}\right\}$$

$$=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}-\frac{2}{cr}\frac{\partial \rho}{\partial t}$$

これを見ると、式の最後の形の２項目の－{２／(ｃｒ)} (∂ρ／∂ｔ)に１／ｒを乗じると
先ほどの２{grad(1／ｒ)}・(gradρ)＝{２／(ｃｒ^２)} (∂ρ／∂ｔ)に加えれば０になる事が分かります。

よって、ここで式を一度整理すると次式になります。

$$\nabla^2\left(\frac{\rho}{r}\right)=\frac{1}{r}\nabla^2\left(\mathrm{grad}\rho\right)+2\left\{\mathrm{grad}\left(\frac{1}{r}\right)\right\}\cdot(\mathrm{grad}\rho)+\rho\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)$$

$$=\frac{1}{c^2r}\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}+\rho\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)$$

この式に１／(4πε_０)を乗じて領域Vで体積積分します。
【ベクトルポテンシャルの成分の時には、ここでμ_０／(４π)を乗じます。】

$$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\nabla^2\left(\frac{\rho}{r}\right)dv=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\left\{\frac{1}{c^2r}\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}+\rho\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)\right\}dv$$

$$整理すると、\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\frac{\rho}{r}dv\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\rho\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)dv$$

ｒ≠０の時はρ∇^２(1／ｒ)＝０なので波動方程式の形を満たす事が分かります。

$$r\neq 0であるなら、\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\frac{\rho}{r}dv\right)=0$$

ではｒ＝０になるような点を含む場合ではどうかというと、その場合でも遅延ポテンシャルの形の式は積分をした時に極限を考える形でρ≠０の場合の方程式を満たします。（デルタ関数で考える事も多い。）また、遅延ポテンシャルによる解は実はかなり一般性を持った形の解でもあります。

電磁誘導（「でんじゆうどう」）は「磁場が変化する事で起電力が生じる」事を表す現象で、発電機や変圧器の原理です。電磁誘導の法則はマクスウェル方程式の１つで、数式的には磁場の時間変化と電場の回転を含む式になっています。

電磁誘導の法則は、アンペールの法則と組み合わせて電磁波を表す式を導出するための法則でもあります。また、電磁誘導の法則はマクスウェル方程式の中では電気回路論との直接的な関係が強い法則であるとも言えます。そのため、この記事では電磁誘導に関連した回路論の事項もいくつか含まれます。

電磁誘導を考えるにあたって重要となる「誘導起電力」について、記号はVでもEでもεでも何でもよいのですが、この記事では統一してV_eという記号で書いておきます、（それほど深い意味はなく、電場等との記号と混同しないようにという意味合いです。）

電磁誘導という現象

直流電源（起電力の向きが一定）をつないだ回路と電源が無い回路を用意して、電源を入れると電源が無いほうの回路にも一瞬だけ電流が発生します。この現象が電磁誘導です。

この現象は、電源をつないでいない回路に磁石を近づけたり遠ざけたりする時にも起こります。つまり磁場が関係している事が分かります。１つの回路が別の回路に電流を発生させているのは、片方の回路の電流によって発生した磁場であると言えます。

ただし磁場さえあれば同じ現象が起きるかというと実はそうではなく、
「磁場の変化」（つまり増加か減少）があるとそのような事が起きます。また、電源をつないでいない回路に発生する電流の大きさは回路の導線の長さ・断面積・材質で変化します。つまり回路の抵抗に依存します。そのため、磁場の変化によって誘起されるのは電流を生じさせる「起電力」（電源としての電位差）であると考えられるわけです。

• 電磁誘導が起きるのは「磁場の変化」が起きる時
• 磁場の変化によって誘導されるのは回路全体に電位差を作る「起電力」（回路全体の電圧）

電磁誘導は１つの回路の電流による磁場が、電気的には絶縁されている他の回路に対して誘電起電力および結果としての電流を生じさせています。これについては、切り離された２つの電気回路が磁気回路によって接続されているという見方もできます。確かに直流電流が発生させる誘導起電力は「電源を入れた時と切った時だけ」の一瞬ですが、交流電流であれば継続的な交流の誘導起電力を発生し続ける事ができます。

しかも、次に見て行くように発生する誘導起電力は「磁場の変化」の大小で決定し、直接的には電流の大きさには依存しません。すると、何らかの方法で局所的に磁場の変化量を増やせば回路の電圧の調整が可能になります。（具体的には導線をコイル状にして、さらに中に鉄心を入れます。）それを実用化しているのが変電所等に設置されている変圧器です。電磁誘導は発電機の原理でもありますが、変圧器の原理でもあるわけです。

法則の積分形（固定回路で磁場の時間変動がある時）

電磁誘導の法則は、磁束と誘導起電力との関係を表した式です。磁束とは磁場の法線面積分で表される量を言います。（\(\overrightarrow{B}\) を「磁束密度」として考える事があるのは磁束の定義に由来します。ただし当サイトではそれを磁場として扱う方式で記述をしています。）

そして誘電起電力を「電気回路一周分で電荷が受ける事になる仕事」として捉えると、電磁誘導の法則は「電場の回転」と「磁場の時間変化」の関係を表す式であるとみなす事ができます。

他の３つのマクスウェル方程式同様に、電磁誘導の法則にも積分形と微分形が存在します。法則の直接的な意味が分かりやすいのは積分形であり、次のようになります。

電磁誘導の法則について、発生する誘電起電力の「向き」に着目したものを特にレンツの法則と呼ぶ事もあります。

起電力の発生とは回路全体に電位差が生じる事です。その結果として回路には電流が発生します。この時に回路の導線に沿って電場が発生していると考えて、それを特に誘導電場と呼ぶ事があります。

この時に、＋１ [C]の電荷を置いてみた時に誘導電場から受ける仕事が「回路全体に生じている電位差」（＝起電力）であるので、それは回路１周分の電場（＝＋１ [C]の電荷が受ける電気力）の接線線積分で表す事ができます。

閉曲線Cは導線でできた回路を考えてもいいし、空間内のてきとうな任意の閉曲線を考えても良い事になります。導線の回路とは無関係に閉曲線を考えた場合でも、磁場の時間変動（および磁束の時間変動）があるなら起電力に相当する電位差は発生していると見るわけです。

回路として導体でできたものを指定しなくても閉曲線として形状さえ指定すればよいという意味では、確かに物理的には「より一般的な式」であるという事は言えそうです。

法則の微分形

電場と磁場の関係で表した電磁誘導の法則の積分形にストークスの定理を適用すると、法則の微分形を得る事ができます。

ストークスの定理を適用するのは、電場のほうの項です。それが循環（周回の接線線積分）の形になっているので、「電場の回転」の法線面積分として書けます。

$$\oint_C\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_{S_0}\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}$$

開曲面をS_０としていますがこれは磁場のほうに対する開曲面と同じである必然性がないので予めそう書いただけであり、本質的にはあまり関係ありません。

$$電磁誘導の法則により\oint_C\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=-\int_S \frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot d\overrightarrow{s}であるから$$

$$\int_{S_0}\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=-\int_S \frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot d\overrightarrow{s}$$

開曲面S_０とSは任意にとれるので、式が成立するには被積分関数が同一でなければなりません。
よって、電磁誘導の法則の微分形が成立する事になります。

これは他のマクスウェル方程式の積分形から微分形への変形の時と同じやり方です。

電磁波の式を導出する時にマクスウェル方程式を組み合わせる時には、基本的に微分形のほうの式を使います。電磁誘導の法則と組み合わせるのはアンペールの法則の微分形です。

時間変動しない磁場中で回路が動く時の法則の形

ところで各位置における磁場が時間的に一定である時に、回路自体を動かしても「回路を通過する磁束」は変化する事になります。（磁場の分布と運動の仕方によっては変化しない事もありますが、一般的に言えば変化をします。）

実際、そのような場合でも電磁誘導は起きます。ただし、その時に電磁誘導の積分形の見た目が違った形で書かれる事があります。

それは接線線積分で書かれる事になりますが、上述の電磁誘導の法則の積分形をストークスの定理等を使って変換したものとは異なります。

電磁誘導の法則の積分形の元の形に即して言えば考え方自体は固定された回路において磁場が時間変動する時と同じで、回路を周・外縁とする開曲面の磁束の変化を計算していると見る事ができます。

回路を閉曲線Cとして、それを外縁とする開曲面Sを考えます。

回路が移動あるいは変形すると、そもそもの閉曲線が変わるので開曲面に対する磁束も変化します。（平行移動や回転で開曲面の形状を変えていなくても。）

１つの閉曲線Cに対しては開曲面Sは任意に選べるので、なるべく大きくならないものを選びます。例えば閉曲線の各点を直線で結ぶ事で形成される曲面などです。

最初に存在する閉曲面S_１と、移動後の閉曲面S_２を考えて、
それと移動の軌跡で作られる側面の閉曲面S_ｄも考えます。
次に、速度ベクトルがS_１の表面とのなす角が１８０°以下の時を見てみます。これは速度ベクトルがS_１の表面側を向いている状況です。

任意の時刻で静磁場に関するガウスの法則が成立しているとすれば、
閉曲面全体での磁場の法線面積分（＝磁束）の合計は０です。
（この事は、電磁誘導の積分形のところで触れた「磁束は１つの閉曲線を外縁として共有している条件のもと任意の開曲面で考えても同じ値になる」という話と同じです。）

その内訳を見ると、最初のS₁の表面が「閉曲面の裏面」になる事に由来してS_１に対する磁束Φ₁とS_２に対する磁束Φ_２が互いに異符号で存在します。それと軌跡で作られた側面S_ｄにおける速度ベクトルと接線ベクトルの外積が閉曲線の内側を向いています。

するとΦ_２－Φ_１－Φ_ｄ＝０ ⇔ Φ_２－Φ_１＝Φ_ｄ　です。

非常に短い時間では、Φ_ｄは「速度ベクトル（どの位置でも同じ）と接線ベクトルが作る平行四辺形」を面積に持つ面積要素ベクトルと、磁場との内積を考えた法線面積分です。

しかしこの時の面積要素ベクトルは「速度ベクトルと接線ベクトルの外積ベクトル」に等しく、それを閉曲線C（最初の位置での閉曲線）において周回ですればよい事になります。上記の式で言う２段目の形です。その式をさらにベクトルの外積の公式で変形すると上記の１段目の形が得られます。

$$移動の軌跡で作られる面の磁束\Phi_d=\int_{S2} \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}=-\oint_C \overrightarrow{B}\cdot\left(\overrightarrow{v}\times d\overrightarrow{l}\right)$$

$$=\oint_C \left(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}\right)\cdot d\overrightarrow{l}$$

曲線の一部だけが移動すると考えれば、
回路の形状が微小に変化する場合にも同様に考える事ができます。

次に、S_１の表面と速度ベクトルのなす角が１８０°を超える時、つまり速度ベクトルがS_１の裏面側に伸びている状況を考えます。この時は、閉曲面を考える事で表が裏に転じるのはS_２のほうになります。さらに、速度ベクトルと接線ベクトルの外積は今度は閉曲面の外側（＝表側）を向くようになります。

従ってその場合はΦ_１－Φ_２＋Φ_ｄ＝０となり、
Φ_１－Φ_２=－Φ_ｄ ⇔ Φ_２－Φ_１＝Φ_ｄ となって
先ほどと同じ関係式になったので同様に考える事ができます。

自己インダクタンスと逆起電力

「１つの回路による電流による磁場の変化が、もう１つの回路に誘導起電力を発生させる」という理論をよく考えてみると、磁場を生じている元の回路を通過する磁場も変化しているはずではないのか？と思えるかもしれません。

そして実はそれは正しくて、一般的に電気回路は
「それ自身に発生している電流による磁場の変化があった時」
にはそれに由来する誘導起電力が発生するのです。
そしてその部類の誘電起電力は特に逆起電力と呼ばれます。
それは直流回路で電源を入れた時などは無視できる大きさですが、交流電気回路では考慮に入れる必要があります。特にコイルがある場合には基本的に無視する事はできない事が多いです。

実験によって（あるいはアンペールの法則やビオ・サバールの法則から）直線電流によって生じる磁場は電流の大きさに比例します。これは交流電流のように電流が時間変化する場合でも、各時刻で考えると同じ事が言えます。

そこで主に逆起電力を考える場合に特に多く使う考え方として、
比例定数Lを使って磁束をΦ＝L I と表現する事が多くあります。
この比例定数Lを、考えている回路の自己インダクタンスと呼びます。
この形の磁束の式を使って逆起電力を表す場合の電磁誘導の法則の式を書くと、
V_e＝－(ｄΦ／ｄｔ)＝－L (ｄI／ｄｔ)となります。

その形の式は、電気回路に限定した議論のように空間的な電場や磁場のベクトルを考えなくてもよい場合によく使われます。回路で考えている場合の電流は時間に依存する事はあっても、空間的な位置座標には依存しません。

自己インダクタンスを使った考え方は回路論以外で使ってはいけないわけでは無いですが、
基本的に「電流が作っている磁場が、その電流が生じている回路に及ぼす誘電起電力（＝逆起電力）」
を考えているので必然的に電気回路で使う事が多くなるわけです。

ここで、回路にV sin(ωｔ)で表される交流電源があって、回路素子としては無視できないインダクタンスを持つコイルだけがある状況を考えてみます。
（全ての導線にもコイルにも抵抗成分は必ずありますが、ここでは簡単のためにそれらは無視できる大きさとして考えます。）

すると、キルヒホッフの法則（回路の電圧降下の合計は起電力に等しいというもの）を考えると
「電源の起電力＝逆起電力の大きさ」という事になってV sin(ωｔ)＝L (ｄI／ｄｔ)です。
（向きまで含めて考えれば電源の起電力とここでの逆起電力は符号が異なります。）
このｔに関する微分方程式は比較的簡単に解く事ができます。
任意定数が０になるように初期条件を考えると、Ｉ＝－｛１／(Ｌω)｝cos(ωｔ) となります。
【合成関数の微分を考えて(ｄ／ｄｔ){cos(ωｔ)}＝－ωsin(ωｔ)となる事に注意。】

－cos(ωｔ)＝－sin(π／２－ωｔ）＝sin(ωｔ－π／２）でもあるので、
コイルの端子間電圧（ここでは電源電圧に等しい）V sin(ωｔ)に対して
コイルに生じている電流は「位相がπ／２遅れている」という表現もされます。これは交流回路論においては割と重要です。

使われ方:１発電機における電磁誘導

電磁誘導を利用して発電を行う発電機にはいくつか種類がありますが、
実はいずれも電動機（モーター）と対になった分類になっています。発電所で従来から使われてきた発電機で多いものは同期発電機（synchronous generator）と呼ばれます。以下、積分などの計算はありませんがいわゆる電気機器・電気機械の理論独特の多少込み入ったな話も一部含まれます。

• 同期発電機：発電所で多く使われてきた発電機。火力発電などでは一般的に巨大。
• 直流発電機：交流ではなく直流の電源として使える発電機。
• 誘導発電機：誘導電動機という種類の電動機を発電機として使ったもの。やや稀なタイプ。

原理的には交流の電源を作るには磁場を回転させてもよいし,

磁場を固定して回路の一部であるコイルのほうを回してもよいのですが、火力発電に使われるような大型の同期発電機では磁場を発生させる電磁石（以下、「磁極」と呼びます）のほうをタービンの軸に接続して回転させます。

この場合、誘電起電力を発生させるコイルは回転する磁極を囲むようにして固定されます。
磁極は通常の磁石のようにNとSに相当する部分が対になりますが、この対を複数設置して同時回転させる事もできます。火力発電では２極（つまりNとSの１対だけ）の事が多く、小規模の水力発電などでは多くの極（例えば多いものでは４８極）などが使われる傾向があります。

発生する起電力の計算に使うのは、
電磁誘導の法則において「磁束の時間変化」を直接使うパターンです。

磁極を回転させる時にはコイル面に対する磁場の垂直成分が理想的には時間を変数として正弦関数と嬉しいのですが、実はコイルの配置などを工夫しないと歪んだ台形のような波形になってしまいます。（周期関数を正弦波の和で表す考え方だと「高調波」成分が多くなる事を意味します。）
ここではそのような工夫が既にされているとして、誘導起電力を発生させるコイルにおける磁場の波形が正弦波に近似できるものとします。また、磁束を考える面は長方形状のコイルの平らな面であるとして、その面積をＳとします。

さてそのような時には考察は比較的簡単で、
コイルの面の面積要素ベクトルと磁場のなす角度が回転磁極の角速度ωと時間ｔの積ωｔで表せる事になります。

今、磁場ベクトルの大きさが一定でBであるとします。
コイル面に対する垂直成分Ｂ_０が正弦波で表されるとすると
Ｂ_０＝Bsin(ωｔ)で、ωｔ＝π／２の時に最大値です。
（磁場とコイル面の面積要素ベクトルとのなす角θを使えばＢ_０＝Ｂcosθであり、
位置関係としてはθ＋ωｔ＝π／２です。）

よってこの時のコイル１巻き分の磁束はΦ＝SBsin(ωｔ)で、１巻きのコイルに対する誘電起電力は
V_e＝－(ｄΦ／ｄｔ)＝－ωＳＢcos(ωｔ)＝ωＳＢsin(π／２－ωｔ)です。
自己インダクタンスを使った計算時のように合成関数の微分になります。

$$合成関数の微分である事に注意して、V_e=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d}{dt}\left\{SB\sin (\omega t)\right\}=-\omega SB\cos (\omega t)$$

速度ではなく周波数ｆ[Hz] で考えるならω＝２πｆなのでV_e＝－２πｆＳＢcos(ωｔ)です。
実効値で考えるのであれば最大値（つまり正弦または余弦が１の時）の絶対値を\(\sqrt{2}\)で割って
V ＝\(\sqrt{2}\pi\)ｆＳＢ です。
（SもBも定数であるのでまとめて\(\phi\)＝ＳＢとおいてしまう事もあります。)

以上の結果はコイル１巻きに対してなので、ｎ回巻かれていればｎ倍になります。
その他、導線の結線方法やコイルの巻き方に由来して所定の値や係数が乗じられます。
ただし発電機の誘電起電力は高ければ高いほど良いというものでも無いので、用途に応じて所定の電圧の電源になるように構造が決定されています。

• 磁場の大きさの波形を正弦波に近付けるために１箇所にコイルの巻きを集中させない方式（分布巻、短節巻等）を使った場合は誘電起電力が理論値より少し減るので巻線係数ｋを乗じます。
  ｋは基本的におおよそ０．８７～１未満の値です。
  さらに細かく見るとこの巻線係数は別の２つの係数の積です。
• ３つの正弦波の位相が互いに１２０°ずれた「三相三線」の線路として出力する場合は、
  ２本の導線の「線間電圧」は１相で考えた場合の\(\sqrt{3}\)倍になります。

使われ方２：変圧器における電磁誘導

変圧器は変電所に設置されている装置であり、電柱の上にも設置されています。
２つの電気回路を接続し、それぞれの接続部分にコイルがあります。電柱に張り巡らされた電線の２線間の電圧は高圧の６６００[V] であり、それを家庭で使う１００Vに下げます（降圧）。逆に、発電所から鉄塔の送電線に向けては特別高圧の範囲の１万～５０万[V] にまで電圧を上げます（昇圧）。

変圧器の原理は発電機と同じく電磁誘導であり、交流回路においてのみ機能します。理論的には前述の逆起電力の考え方が重要な部分の１つでもありますが、変圧に関する結果の式は非常に簡単で２つのコイルの電圧の比は「コイルの巻き数の比に等しい」というものです。

結果の式は簡単ですが、導出する時には実は少し注意が必要な点もいくつかあります。
以下、導出の概略について説明します。

１次側のコイルによる電誘誘導によって２次側の回路に誘導起電力が生じるわけですが、この時に実は２次側のコイルによる磁束の変化が１次側に逆に影響を及ぼします。
ただし１次側に変化があるのは実は電圧ではなく電流のほうで、２次側からの電磁誘導に由来する電流が逆起電力を発生させて結果的に１次側の電圧の変化を打ち消す仕組みになっています。

そのため、変圧器で２つの回路を接続した時には１次側には２種類の電流があると考えます。「励磁電流」はであり、「１次負荷電流」は２次側のコイルからの電磁誘導に由来する電流です。しかし大きさ的には一般的に後者のほうが大きくなります。

• 「励磁電流」：２次側の回路に誘導起電力を発生させる電流。大きさ的には小さい。
• 「１次負荷電流」：２次側のコイルからの電磁誘導に由来する電流。
  ただし逆起電力によって、結果的に１次側のコイルの端子間電圧に基本的に影響を与えない。

１次側の励磁電流によって、１次側のコイルには巻き数Nに比例する磁場が発生します。
そこで、この励磁電流による磁束は励磁電流の大きさと１次コイルの巻き数に比例するとして
Φ_０＝ｋNI とおけます。

ここで、自己インダクタンスLの定義は
「電流が発生させた磁束について」Φ＝LIとなるような定数の事でしたが、
電流がコイルの１つ１つの輪に作用して逆起電力を発生させている事を考えると
実はこの場合の磁束は「Φ_０のN個分の合計」として考える必要があります。
そのために１次コイルのに対して励磁電流が発生させた磁束の合計は Φ＝ｋN^２I であり、
自己インダクタンスはL_１＝ｋＮ^２となるのです。

この時に回路の抵抗成分は小さいとすると、逆起電力V_１の大きさは電源電圧とほぼ同じになります。（向きは互いに逆です。）
電源の起電力をVsin(ωｔ)とすると、
Vsin(ωｔ)＝－L_１(ｄＩ／ｄｔ）により（あるいはリアクタンスL_１ωを使って）
励磁電流は I＝－{Vcos(ωｔ)}／(L_１ω)＝－V{cos(ωｔ)}／(ｋＮ^２ω)です。
つまり、少し妙な感じもするかもしれませんが
「励磁電流の大きさは１次コイルの巻き数の２乗に反比例する」というわけです。
【逆起電力は、ここでは大きさが電源の起電力に等しく向きが逆でV_１＝－Vsin(ωｔ)です。】

ここで改めて１次コイルが近似的にソレノイド同様の磁場を作ると考えると、先ほどと同じように考えてΦ_０＝ｋNI＝－V{cos(ωｔ)}／(Ｎω)の磁束が発生しますが今度はこれは１次コイルではなく２次コイルのほうに作用している状況を考えます。

２次コイルでの誘電起電力Ｖ_２は電磁誘導の法則により －(ｄΦ／ｄｔ)を計算する式で考えます。
１巻きではNに反比例し、２次コイルでM巻きの導線の輪があるのでM倍します。

つまり、Φ_０＝－V{cos(ωｔ)}／(Ｎω)をｔで微分して符号を変えてからＭ倍する事によって、
V_２＝－M(ｄΦ_０／ｄｔ)＝－VM{sin(ωｔ)}／Ｎです。
（結果的にωは式から無くなります。）

よって、V_１≒－VのもとでV_２／V_１＝{－VM{sin(ωｔ)}／Ｎ}／{－V{sin(ωｔ)}＝M／Ｎとなります。
（実効値をE_１およびE_２として、E_２／E_１で考えたとしても同じようにE_２／E_１＝M／Nとなります。）
以上の事は、交流回路における複素数法（交流の電流と電圧は複素数として直流回路同様に計算しても正しい結果を得る）を使うと少しだけ計算は見やすくなります。

アンペールの法則は電流と磁場の関係を表す式であり、マクスウェル方程式の１つです。マクスウェル方程式の他の３式のように積分形と微分形の両方があり、数式的には微分形は磁場の回転（rot）で含む形をしています。また、時間変動（時間による偏微分）の観点からは電場の時間変動を含む式です。

この記事では、他の電磁場の法則や数学の定理との関係を中心にアンペールの法則の内容と性質について整理してまとめています。

アンペールの法則は、いくつかの条件のもとでビオ・サバールの法則と等価である事が知られています。アンペールの法則は磁場の循環（周回の接線線積分）および磁場の回転と、電流・電流密度・変位電流との関係を表す式ですが、ビオ・サバールの法則は電流または電流密度からベクトル場としての磁場を直接表す形をした法則です。

法則の内容

アンペールの法則の積分形は基本的には磁場の接線線積分（ここでは周回積分であり、循環とも言う）で書かれて、それはストークスの定理によって磁場の回転の法線面積分でも書ける事になります。それに関連して、アンペールの法則の微分形は数式的には磁場の回転を表す式です。

アンペールの法則における閉曲線Cと開曲面S（閉曲面では無く）の関係は、ある閉曲線Cがあった時にそれを外縁（外周）に持つ「任意の開曲線S」になります。つまり閉曲線Cのところで切れて開曲面になっている事を条件に、曲面Sは形状を問わないという事です。ですから１つのCに対してS₁とかS₂とかのたくさんの開曲面があり得ます。ただしここでは、左辺と右辺の両方に法線面積分の項がある時は積分領域の曲面Sは両辺で同じものを指しています。

以下、\(\overrightarrow{B}\)は磁場、\(\overrightarrow{E}\)は電場、\(\overrightarrow{j}\)は電流密度、\(I\)は電流の大きさ\(\left(=\left|\overrightarrow{j}\right|\right)\)です。

ストークスの定理によって法線面積分で表した形の式を見ると、左辺と右辺がともに法線面積分となっています。先ほど触れたように積分領域の曲面Sは閉曲線Cを外縁とする条件のもとで任意の形状なので、式が成立するには積分の中身が一致していないといけません。そしてそれがアンペールの法則の微分形になります。

これらをナブラを使って書くなら次のようになります。

定電流の時のアンペールの法則の修正版として一般形を考える場合

アンペールの法則は、基本的に電流が作る磁場の回転についての関係式です。実際、実験から元々分かっていた事は電流がその周囲に環状の磁場を作るという事でした。

上記の一般形の式を見てもらえば分かるように、定常電流（＝時間変化が無い電流）の時のほうがもちろん式が簡単で使いやすいものになります。
そのため、電流が作る静磁場を考える時には普通は定常電流の時の形を指してアンペールの法則と呼んでいるわけです。

しかし定常電流である時の式を、時間変動がある場合にそのまま当てはめると理論的に見ておかしいという事が発生します。

そのため、時間変動がある場合も含めたアンペールの法則は定常電流の場合の法則の式を「修正」したものであるとよく表現されます。

この時、微分形のほうの発散を考えると

$$\mathrm{div}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)=0\hspace{5pt}なので\hspace{5pt}\mathrm{div}\overrightarrow{j}=0$$

他方、電荷保存則の微分形に対する発散を考えて、さらに電場に関するガウスの法則の微分形を適用すると次式です。

$$\mathrm{div}\overrightarrow{j}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0\mathrm{div}\overrightarrow{E}\right)=\mathrm{div}\left(-\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\mathrm{div}\overrightarrow{E}\right)$$

$$\Leftrightarrow\mathrm{div}\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)=0$$

この発散を全体で考えた時の第２項の\(\Large\epsilon_0{\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}}\)を「変位電流」と呼ぶわけですが、話を整理するとこれは電荷保存則から出てきた量です。そのため、この時点ではアンペールの法則に無関係に考える事ができる量であると言えます。

他方で「磁場の回転」の発散は０（これは数学的にベクトル場であれば何でも瀬成立）なので、定常電流におけるアンペールの法則によればそれは電流密度の定数倍です。

ところで電流が定常電流では無い時でも、磁場の回転自体は発散をとると数学的に０になるわけですから、\(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\)を電流に関係する何かで表すとすると、とりあえず「アンペールの法則とは無関係に成立している」\(\mathrm{div}\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)=0\) の関係式は、いかにも関係がありそうであるというわけです。

そこで、定常電流の場合のアンペールの法則の電流側の項に変位電流も加わるとすれば、定常電流の時は「電荷密度の時間変化が無い⇒変位電流は０」なので元々の形の式はそのまま使えて、電流の時間変化がある時は発散を考えた時にも整合性がとれる式ができます。しかもてきとうな項を付け加えたというのではなく、電荷保存則に由来する関係式を使っています。

それで、その形を定常電流の時のアンペールの法則を「修正」したものとして、変位電流の項を加えたものが一般の場合のアンペールの法則の式の形であると考えられているわけです。

そのため、アンペールの法則の微分形の一般形を変位電流を加えた形で考える事にすると、定常電流の時の法則の積分形から微分形を導出した時の逆算で磁場の法線面積分を書くと積分形のほうの一般形になります。

$$\int_S\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)\cdot d\overrightarrow{s}=\mu_0\int_S\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)\cdot d\overrightarrow{s}$$

$$ストークスの定理により\oint_C\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_S\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)\cdot d\overrightarrow{s}なので$$

$$\oint_C\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=\mu_0\int_S\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)\cdot d\overrightarrow{s}$$

ストークスの定理を使っていますので、この時にSは開曲面であるとして閉曲線Cを外縁に持つものとします。アンペールの法則の一般形がまずあると考えてそこから微分形を導出する時と同じです。

コンデンサーにおける変位電流

前述の通り、定常電流におけるアンペールの法則に付け加わる「変位電流」自体は、電荷保存則の成立を前提とする限りはアンペールの法則とは無関係に量として想定できる性質のものです。

そこで、ここでは変位電流とは電荷の流れとしての電流そのものではないけれども「確かに物理的な意味を持つ量である」という事をより明確にするために、交流回路におけるコンデンサーの極板間の電場の時間変化（その１／ε_０倍が変位電流）を例に考えてみます。

電気回路におけるコンデンサーに電圧をかけると、
極板には電圧（＝電位差）に比例する量で電荷がたまり、極板間には電場が生じます。直流電気回路では導線に短時間だけ充電電流・放電電流が発生し、交流電気回路ではそれが短い周期で繰り返されて導線中に常に交流電流が発生します。

１つの極板上の極板間の電圧をV、電荷をQとすると、Q＝CVの比例関係があります。
交流回路で V＝CV_０sin(ωｔ)とするとQ＝CV_０sin(ωｔ)
【Cは比例定数で、電気容量とかキャパシタンスなどと呼ばれます。】

また、極板間距離が十分距離が小さくて電場の方向がほぼ一定とみなせるとすると、
電場に関するガウスの法則を使って
「電場の大きさEは極板間におけるどの位置でも同じである」と考える事ができます。
（コンデンサーにおいて電場は極板間で「一様である」とも表現されます。）

さらに同じく電場に関するガウスの法則によれば、
その電場の大きさは極板の表面にする分布する電荷の１／ε_０倍の電気量に等しい事になります。
すると、E＝Q／ε_０＝(CV_０／ε_０)sin(ωｔ)です。
【ガウスの法則は時間変化がある場合でも１つ１つの任意の時刻で考える限り成立します。】

ところでこの場合での「変位電流」については、まず向きが一定である事から大きさだけを考えます。
そして変数は時間ｔだけである事も考慮すると、変位電流の大きさは次のようになります。
ε_０(ｄＥ／ｄｔ)＝ε_０(CV_０／ε_０)sin(ωｔ)＝CV_０cos(ωｔ)

他方で、電気回路における電流は実測できるものでもありますが、コンデンサーの極板に出入りする電流を理論的にはどのように考えるかというと、実は「電荷の流れ」を電荷の時間変化と考えて、
ｄＱ／ｄｔとして表すのです。すると、Q＝CV_０sin(ωｔ)でしたので極板に出入りする電流は、
I＝ｄＱ／ｄｔ＝CV_０cos(ωｔ)

という事は、ε_０(ｄＥ／ｄｔ)＝I＝CV_０cos(ωｔ)となり（※）、
コンデンサーを含む部分については「導線中の電流」と「極板間（絶縁部分）の変位電流」が全く同じ値で計算できる事を意味します。つまり、交流電気回路の平板コンデンサーという特別な場合である事を強調しておく必要はありますが「通常の電流と変位電流とで実質的に１つの閉回路が作られ、各時刻で同じ値として表せる」という物理的な意味を変位電流が持つ例となっています。

変位電流と磁場の関係（マクスウェル方程式での意味）

ところで、変位電流をアンペールの法則に組み込む事に関しては確かに数式的な強い関連性は伺えるものの、他の法則と比較すると少々無理やり感もあると言えるかもしれません。

疑問が残るとすれば、やはり「変位電流が、通常の電流と同じように磁場を発生させるのか」という点ではないでしょうか。前述のコンデンサーの例においても、確かに変位電流と通常の電流の数式上の強い関連性について示すものではありますが発生する磁場については何も分かるものではありません。

実の所、単独の変位電流を実験で扱う事はなかなか難しいようで少々うやむやにされている面もあると言えます。「通常の電流を完全に抜きにして、変位電流だけでアンペールの法則が記述する磁場は本当に発生するのか」という問いの解答をはっきりと実測結果で示す研究はあまり多くないようです。

ただし、間接的には変位電流を含んだアンペールの法則の一般的な形が法則として正しい事を示す実験結果は既に存在します。それが電磁波の存在と、その応用および実用です。

マクスウェル方程式から電磁波の定量的な関係式を導出する時には、実はアンペールの法則において変位電流の項がないと上手くいきません。

ここでは簡単にだけ述べますが、アンペールの法則の微分形に対してさらに回転を考えて、電磁誘導の式の微分形を代入する事で電場を含まない形に変形できます。

$$\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)=\mathrm{rot}\left\{\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)\right\}$$

$$電磁誘導の式の微分形\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}を代入して整理すると、$$

$$\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)=\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}$$

計算の続きとしては、今度は左辺のほうを回転に対して成立する式で置き換えて磁場に演算子が作用する形の微分方程式を作ります。

これに相当する式をベクトルポテンシャルで表す方法もありますが、その場合もやはりアンペールの法則の一般形の式は必要です。

電磁波の式を導出するための式は実は別の式も必要で、それは電磁誘導のほうの微分形の式の回転を考えてから、そこにアンペールの法則の微分形を代入するというものです。参考までに初めの形だけ記しておくと次のようになります。

$$\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\right)=-\mathrm{rot}\left(\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)=-\frac{\partial }{\partial t}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)$$

$$ナブラを使って書くなら、\nabla\times\left(\nabla\times\overrightarrow{E}\right)=-\nabla\times\left(\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)=-\frac{\partial }{\partial t}\left(\nabla\times\overrightarrow{B}\right)$$

アンペールの法則の微分形は最右辺の磁場の回転の部分に代入します。
すると、左辺も右辺も磁場を含まない形の式になるわけです。ここでも、変位電流の項がもし無かったらこの先の計算は上手く行きません。

このような理論のもとで得られる電磁波の定量的な性質と電磁波の実測における性質がよく合っているので、アンペールの法則を変位電流も加えた形で記述した一般形の式も正しいはずであると考えられているわけです。

アンペールの法則による磁場の計算例

アンペールの法則によって磁場を計算できる簡単な例をいくつか挙げます。
（電流が定常電流であるか、変位電流を無視できる状況だけを考えます。）

アンペールの法則を使って磁場を計算する例に多く見られる特徴は、大体が次のようなものです。

• 経路を単純なものに選ぶことで接線線積分を簡単にする事が多い
• 話を単純にする仮定や前提が必要な事が多い（長さを無限とする事や、対称性など）
• より詳細を調べるにはビオ・サバールの法則のほうが適している事がある

直線定常電流が作る磁場

まず、一番簡単な例として直線状の定常電流が作る磁場です。
導線の長さは十分に長い（無限とみなせる）とします。

電流が環状の磁場（導線に対する同心円上で同じ大きさ）を作る事は実験によって知られていたわけですが、その事実も使って計算します。あるいは、磁場の大きさに関しては対称性から同心円上で等しいと仮定します。

磁場が導線を中心とする半径ｒの円に常に接する方向を向いているとします。
接線線積分において内積はBｄｌとなり、ｌを０から２πｒまで変化するパラメータとして捉えるか、ｄｌ／ｄθ＝ｒ【半径×弧度法の角度＝円弧の長さより】と考えると計算ができます。

$$\oint_C\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_0^{2\pi}Brd\theta=[Br\theta]_0^{2\pi}=2\pi Br$$

$$アンペールの法則により\oint_C\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=\mu_0 Iなので2\pi Br=\mu_0 I\Leftrightarrow B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$$

同じ結果はビオ・サバールの法則による計算によっても得る事ができますが、いくつかの条件が分かっていればアンペールの法則を使ったほうが計算が簡単になります。いずれにしても十分に長いとみなせる直線電流が作る磁場の大きさは「導線からの距離に反比例する」という事になります。

断面積を持つ導線の場合の定常電流による磁場

同じ事は、導線が無視できない断面積Sを持っていても形状が円柱状で、定常電流である限りは導線の外側においては中心からの半径で測ると同じ結果になります。

他方で、その場合は「導体内部」の磁場を考える事もできます。

今、導体断面における電流密度ベクトルが一様であるとします。
アンペールの法則においては閉曲線の内部を通過する電流だけを考えればよい事になります。
導線の半径をR、考えている半径をｒ＜Ｒとすると半径ｒの円内の電流は全体のｒ^２／Ｒ^２倍なので導線の断面積全体の電流をIとすれば
２πBr＝μ_０I(ｒ^２／Ｒ^２) ⇔ B＝μ_０ｒＩ／(２πR^２)　

つまり、ｒを増やしていくと導体内では磁場は大きくなっていく計算です。
また、ｒ＝Ｒになった時点でB＝μ_０Ｉ／(２πｒ)という導線外部の時の式と同じになり、
そこからは磁場の大きさは距離ごとに減っていく事になります。

この結果は導線外部の磁場の大きさB＝μ_０Ｉ／(２πｒ)を考えた時に、
ｒを減らしていっても実際の所は磁場はそこまで大きくならない事も示しています。反比例の関係という事はｒが０に近ければ値はやたらと大きくなり得るわけですが、実際は導線の表面にぶつかる時点からはｒを減らすと磁場も小さくなっていくと考えられるわけです。

トロイダルコイル（環状ソレノイド）

トロイダルコイルとは、食べ物のドーナツのような立体的な形（トーラス）をしたコイルです。
「環状ソレノイド」と呼ぶこともあります。一見複雑そうにも思えますが、アンペールの法則を適用すると意外に考察がしやすい例の１つとなっています。

トロイダルコイルの断面の中心を結んだ円を考えて、これをアンペールの法則で周回の接線線積分を考える閉曲線Cとします。

すると、閉曲線C内を通過する電流は巻数の合計Nと１本の導線ごとの電流の大きさの積という簡単な式で表せます。つまり電流の合計をI_Sとすると、 I_S＝ＮＩです。

形状の対称性と、円状の電流は面に垂直な磁場を作る事（これはビオ・サバールの法則で導出するのが普通です）により、磁場の向きは考えている円（閉曲線C）に接する方向であり大きさはその円周上でどの位置でも同じと考えられます。

そこで、直線定常電流が作る磁場と同じく、ｌが０から２πｄまでの通常の積分として磁場の大きさが計算ができます。（変数変換して角度で考えても同じです。）

$$\oint_C\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_0^{2\pi R}Bdl=2\pi BR$$

$$定常電流の時のアンペールの法則により2\pi BR=\mu_0NI\Leftrightarrow B=\frac{\mu_0NI}{2\pi R}$$

断面内の任意の位置の場合は、角度のとり方に注意すると閉曲線として半径Ｒ＋ｒcosθの円を考えればよい事になります。（断面の中心よりも少し外側であればθが－９０°から＋９０°の範囲、断面の中心よりも少し内側であればθが９０°から２７０°の範囲で、Rに対してｒcosθの分だけ少し大きいか小さいかの値になります。）

この場合に磁場ベクトルが常に円に接するかどうかには気を付ける必要がありますが、ビオ・サバールの法則を考えると円電流が作る磁場は円の中心の位置では無くても円の面に垂直になる事が分かります。（磁場を考える点が円と同じ平面にあれば、円の接線ベクトルと円周上から磁場を考える点までのベクトルとの外積ベクトルは円の平面に対して垂直。）

そこでトロイダルコイル全体が持つ対称性も合わせて考えると、接線線積分も断面中心を通る円で考えた時と同様に行う事ができます。

$$2\pi B(R+r\cos \theta)=\mu_0NI\Leftrightarrow B=\frac{\mu_0NI}{2\pi R}(R+r\cos \theta)$$

トロイダルコイルの外部についても接線線積分は同じように考える事ができます。電流に関しては全巻き数について逆向きの電流が加わるので、円として考える閉曲線の半径をＲ_ｃとすると
２πBＲ_ｃ＝μ_０(ＮＩ－ＮＩ)＝０より、B＝０
この結果は、トーラスの内側の空間に対して適用しても同じ事が言えます。

電流は向きを持っていますが、電磁気学において３次元の空間の中での向きを持つベクトルとして扱う時にはむしろ電流密度ベクトルが扱われる場合が多いと言えます。「電流密度ベクトル」あるいは単に「電流密度」とも言われますが、いずれにしてもベクトルで表される量です。

電流は \(I\) の記号で書く事が多いですが、電流密度ベクトルは一般的に\(\overrightarrow{j}\) で表され、空間内の位置ごとに各成分がｘ，ｙ，ｚの関数で表されるベクトル場です。（従って電流密度ベクトルに対する発散や回転も考える事ができ、成立する諸式が存在します。）

電磁気学の中での位置付け

普通、電気回路における電流の向きは導線に沿って「片方向とその逆」だけを考えてプラスとマイナスで表します。これは、電圧との関係や電気エネルギーの消費に関して「導線の空間的な向き」というものが一般的にはほとんど影響しないためです。そのため、電気回路を考えるうえでは普通は電流を空間的な意味でのベクトルとしては扱わず、スカラー量として扱うのが基本です。

他方で、より電磁気学的に見た時には電流も「空間的な意味での向き」を持つものとして扱う事は可能であるし、理論的な整合性のために必要な事でもあります。電場や磁場などと同じく、電流もベクトル場として扱う事は可能という事です。

ただし電磁気学では普通は「電流のベクトル」は敢えて考えずに、
代わりに「大きさが単位面積当たりの電流」であり、
向きは空間的な意味での電流の向きに等しい「電流密度ベクトル」を考えます。
（電流「密度」と言いますが大きさは「単位面積あたり」で考えます。）
この「電流密度ベクトル」は、電磁気学においては特に電荷保存則の式とアンペールの法則の微分形において重要です。それら２つについてはこの記事内でも解説をします。

電流密度ベクトルは、どちらかというと電気だけの考察ではなく、磁気のほうも合わせて考える事項に対して使われる事が比較的多いと言ってもよいかもしれません。

電流密度ベクトルの定義と意味

電流密度ベクトルには一見すると２つの捉え方がありますが、それらは互いに無関係では無く、電磁気学では両方の考え方を組み合わせて考察がされます。

「単位面積あたりの電流」としての電流密度ベクトル

まず向きが空間的な意味で電流と同じで、
大きさが単位面積あたりの電流になるものを「電流密度ベクトル」と呼ぶ考え方から見てみます。

後述しますように、電流密度ベクトルは「法線面積分」を考えたいので使っているというところもあり、さらにそれによって「電流」に対して電流密度ベクトルの形で発散や回転を考えていく事も可能になるという計算上の利点が生じます。

電流を電荷の流れとして考えた時の電流密度ベクトル

電流密度ベクトルには上記の意味はあるのですが
他方で電流が「電荷の流れ」であると考えると、
電流密度ベクトルは次のように表す事もできます。

この考え方はある電荷密度の分布に存在する電荷の塊が動くという感じなのですが、一定の質量や体積を持った物体の運動と違って少しイメージが沸きにくいかもしれません。
そこで、次に見るように１つの位置の面（電流密度ベクトルに垂直とします）を基準にして
「１秒間で電荷の塊が、電気量の合計に換算してどれほどがそこを通過したか」という捉え方をすると少しは分かりやすくなります。

今、速度ベクトルの大きさ（＝速さ）をｖとします。
考えたい「面」はこの速度ベクトルに対しても垂直なものとしています。

そして面積Ｓの面のすぐ後ろに接した形で控えている電荷の分布が、
塊として面に対し垂直に「面を貫通する方向」に動くとします。
すると、１秒当たりに面を境に反対側に移動する電荷の電気量（これがすなわち電流です）は
「電荷密度ρ × 体積（ｖＳ）」としてρｖＳとなるわけです。
（単位は「１秒当たり」まで単位に含めれば [C／s]です。）

１秒間だけ電荷の塊を動かして、
止めた後に塊の先端がどこまで移動したかを計る事で「電荷密度×体積」の計算によって
「面を通過した電気量の合計」を電流は表していると捉える事ができます。

話を整理しますと、まず電流密度ベクトルを改めて次のように考えたわけです。

$$\overrightarrow{j}=\rho\overrightarrow{v}$$

この式のもとで、電流密度ベクトルの大きさは次のようになります。

$$\left|\overrightarrow{j}\right|=\rho v$$

そしてこの式の右辺ρｖは先ほどの考察により、速度ベクトル面積を乗じる事により「電流」を表すと考える事ができるのでした。そこで上式の両辺に面積Sを乗じると次のようになります。

$$\left|\overrightarrow{j}\right|S=\rho vS$$

つまり「電流密度ベクトルの大きさ」×「ベクトルに垂直な平面における面積」＝「電流」
の関係であり、最初に考えた電流密度ベクトルの定義の場合と同じ関係式が成立しているわけです。

面が速度ベクトルに対して斜めの時

ところで、そのように考えた時には
実は面に対して斜め方向に速度ベクトルが向いている時も同様に考える事ができます。

その場合には、面に分布している電荷が一斉に次々にそこから斜め方向に移動していくと考えます。
すると、その場合は移動した電荷の電気量は「電荷密度×面積Ｓ×斜めの立体の高さ」です。
電荷密度ρと速度ベクトルの大きさ（＝速さ）ｖの情報は電流密度ベクトルに含まれている事に注意すると、１秒間に面を通過した電荷の電気量は実は面積要素ベクトルと電流密度ベクトルとの内積で表す事ができます。「面積要素ベクトル」とは「微小領域の面に垂直で、大きさは微小面積ｄSである」というベクトルです。

これは、内積で使う余弦 cosθを速さｖに乗じる事により１秒後に電荷の塊が通過してできる体積の「高さ」が計算できて、さらに底面積のｄＳに乗じれば体積が計算されるためです。
そして、体積が分かれば電荷密度ρを乗じて「１秒当たりに面を通過した電気量」すなわち電流が分かる事になります。

ここで、内積計算では余弦を電流密度の大きさと面積要素のどちらに乗じても結果は同じです。

すると上式は数式上、
「電流密度ベクトルの、面に対する垂直成分とｄＳの積をとる（面に垂直な体積として計算）」
「面を電流密度ベクトルに対して垂直な平面に射影して、その射影面積とｖρの積をとる」
といった解釈をしてもよい事になります。

$$Q=\left|\overrightarrow{j}\right|\hspace{2pt}\left|d\overrightarrow{S}\right|\cos\theta=
\left(\left|\overrightarrow{j}\right|\cos\theta\right)
\left|d\overrightarrow{S}\right|
$$

$$=\left|\overrightarrow{j}\right|
\left(\left|d\overrightarrow{S}\right|\cos\theta\right)
$$

電流密度の法線面積分と、電流の総和との関係の式

特定の曲面を通過する電流の総和を考える時、
電流密度ベクトルによる法線面積分を使う方法があります。

これは、曲面上のある微小領域を通過する電流は、電流密度ベクトルと面積要素ベクトル（微小領域に垂直な向き）との内積で表せるという事を根拠にしています。ここでの微小領域は電流密度ベクトルに対して一般的には垂直ではなく「斜め」になっている事に注意が必要となります。

電流及び電流密度ベクトルが曲面上で連続的に分布しているとして、曲面全体で法線面積分を考える事によって曲面を通過する電流の総和を表す事ができます。

この式は、内積の見方によって２つの見方ができます。

すなわち余弦を微小面積に乗じて射影面積を考えていると見るか、電流密度ベクトルの大きさに乗じると見るかの違いですがどちらで考えても結果は同じというのが本質です。

どちらにしても、\(\overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{s}\) という量は微小領域における電流を表します。

まず、積分を行う曲面を多数の微小平面に分割します。（例えば曲面上の３点を結ぶと確実に三角形状の微小な平面領域ができるので多数の点を考えて分割します。）

微小領域の射影を考える場合

微小領域において一般的には面が電流密度ベクトルに対して垂直ではないので、単純に微小面積を乗じても正しい電流の値が出ません。しかし、前述の考察で見たように内積を考える事で、
位置関係的に微小面積ｄｓcosθは電流密度ベクトルに垂直な平面への射影面積になります。

よって、\(\overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{S}==\left|\overrightarrow{j}\right|
\left(\left|d\overrightarrow{S}\right|\cos\theta\right)\)は曲面上の微小領域あたりの電流を表します。

ただし、曲面の領域の分割を十分多くしないと微小領域を平面に近似する事はできませんから、極限をとって積分として考える必要があります。それによって曲面上に分布する（ベクトルの向きを考えれば「通過する」）電流の総和を得るわけです。

面を通過する電気量として考える場合

次に、電流密度ベクトルに対して垂直ではなく斜めになっている面に対して
「単位時間あたりに通過する電荷の電気量」を考えても同じ結果を得ます。

前述の「電流を電荷の流れと考える」時の考察により、
電流密度ベクトルと面積要素ベクトルの内積は「微小面（角度を問わず）を単位時間あたりに通過する電荷の電気量」です。すなわちそれはその微小領域における電流の大きさだと考えられるわけです。

$$\overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{S}=\left|\overrightarrow{j}\right|\hspace{2pt}\left|d\overrightarrow{S}\right|\cos\theta$$

$$=
\left(\left|\overrightarrow{j}\right|\cos\theta\right)
\left|d\overrightarrow{S}\right|=\rho (v\cos\theta)dS$$

法線面積分の内積の部分については「余弦が電流密度ベクトルの大きさに乗じられている」と見ます。
さらに、余弦が速度ベクトルの大きさ（速さ）に乗じられていると見れば、\(v\cos\theta\) が１秒あたりの電荷が通過した体積の「高さ」になっています。さらに電荷密度と面積を乗じれば電流になるわけです。

曲面全体で微小領域における電流の合計を考えて、分割を十分多くとった極限として積分を考える必要があるのは先ほどと同じです。

このようにして、\(I_S=\large{\int_S}\overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{s}\)が成立します。

電荷保存則の式

電流を電流密度ベクトルの法線面積分で表す方法において、閉曲面を考えます。
そこで、電流を電荷の流れの量として見る時には曲面の外に出ていく電気量もあるけれども内側に入って行く電気量もあり得るわけです。

いずれにしても、単位時間あたりに曲面の内側の領域全体の電荷の量には変化が生じます。
（その変化が「合計すると０」という事もあり得ますが、それも含めて「変化」としておきます。）

そこで、曲面の内側の全電荷を電荷密度で表します。
（これは電場に関するガウスの法則で行うやり方と同じです。）

$$閉曲面S内部の全領域Vの電荷の合計値は、Q_S=\int_V\rho dv$$

その量の単位時間当たりの変化量を微分によって考えます。
これは偏微分になりますが、積分変数（ｄｖ＝ｄｘｄｙｄｚ）とは異なる変数なので、「積分全体」を微分したものと「微分したものを積分」したものは同じ結果になります。（※積分領域に関数の不連続点が無ければ、これは数学的にやってよい計算です。領域の形や電荷密度の分布と関数形については不連続点が生じるような変なものを考えない必要はあります。）

$$\frac{\partial }{\partial t}Q_S=\frac{\partial }{\partial t}\int_V\rho dv=\int_V\frac{\partial \rho}{\partial t}dv$$

この式は「曲面の内部で電荷が増えたらプラス」としています。他方、電流密度の法線面積分で電流を表す方法では「曲面の外部で電荷が増えたらプラス」としています。
そのため、両者は「符合を入れ換えて」から等号で結ぶ事ができます。

$$\int_S\overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{s}=-\int_V\frac{\partial \rho}{\partial t}dv$$

これは電荷の保存を表す式であり、「電荷保存則」のように呼ぶ事もあります。
要するに、内部で減ったものは外部では増えており、逆に内部で増えたものは外部では減っており、
「内部と外部の合計では一定値が保たれる」事を意味します。

もっとも、この「電荷の保存」自体（つまり２式を等号で結んだ事）に関しては何かから導出したというよりは、基本法則として考えて式で表したという性質のものと言えます。

次に、ガウスの発散定理を使って電荷保存則の式を書き替えます。（これは「ガウスの法則」ではなく、法線面積分と体積分の関係を表す「ガウスの発散定理」です。単に「ガウスの定理」「発散定理」とも言います。）ここでの曲面は「閉曲面」としているので定理が適用できる事に注意。

$$ガウスの発散定理により、\int_S\overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_V \mathrm{div}\overrightarrow{j}dv$$

よって電荷保存則は次のようにも書けます。

$$\int_V \mathrm{div}\overrightarrow{j}dv=-\int_V\frac{\partial \rho}{\partial t}dv=\int_V\left(-\frac{\partial \rho}{\partial t}\right)dv$$

ここで、領域Vは条件を満たす範囲で（先ほどの連続に関する事など）任意の形状であり得るので、積分の中身も一致する事になります。よって、電荷保存則の微分形の形が得られます。

$$\mathrm{div}\overrightarrow{j}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}$$

この形の式は流体力学でも使われ、一般的に「連続の方程式」とも言います。

閉曲面内部の電荷の時間変化が無い場合、すなわち∂ρ／∂ｔ＝０の時（外部への電流の出入りについても大きさに時間変化が無いので定常電流の時）には電流密度ベクトルの発散も０です。
つまり電流が定常電流である時には、電流密度ベクトルはベクトル場としては「湧き出しが無い」事が式で表現されます。

アンペールの法則で使う電流密度ベクトル

アンペールの法則は、マクスウェル方程式の中でも電流密度ベクトルとの関係が深い式です。それは元々、電流と磁場の関係を表す法則である事に由来するのですが、ベクトルとしては「電流」をそのまま扱うのではなく、「電流密度ベクトル」で考えたほうが都合が良い事が式を表しやすいのです。

アンペールの法則の微分形の導出の概要

アンペールの法則の周回積分の形を変形して、
法則の微分形を導出する過程で電流密度ベクトルを考える方法があります。まず、時間変化しない定常電流の範囲でアンペールの法則の周回積分側の式をストークスの定理で書き換えます。

$$\oint_C\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_S\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)\cdot d\overrightarrow{s}(=\mu_0 I)$$

Sは開曲面で、閉曲線Cを外縁に持つ条件のもと「任意の開曲面」になります。このような形になるので、法則の微分形を得るために電流を「何かの法線面積分で書けないか」と考えるわけですが、ここで電流を電流密度ベクトルの法線面積分で表す式が使えます。

$$I=\int_S\overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{s}であるので、$$

$$\int_S\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)\cdot d\overrightarrow{s}=\mu_0 I=\int_S\left(\mu_0\overrightarrow{j}\right)\cdot d\overrightarrow{s}$$

$$Sは任意の開曲面なので\mathrm{rot}\overrightarrow{B}=\mu_0\overrightarrow{j}$$

このように、静磁場の回転が電流密度ベクトル定数倍に等しいという結果が得られました。
これが「定常電流における」アンペールの法則の微分形です。

電荷保存則にしてもアンペールの法則の微分形にしても、電流をベクトルとして直接的に扱うよりも「電流密度ベクトル」で考えたほうが計算がしやすいという事情が見えてくるのではないでしょうか。

電流の時間変化がある時のアンペールの法則の概要

ところで電流の時間変化がある時のアンペールの法則はどうなるのかというと、電場の時間変化を含む項（変位電流）が加わります。アンペールの法則の「修正」ともよく言われます。

この変位電流とは電場の変化であって「電荷の流れ」ではないので普通の電流とは区別されるものではありますが、例えば電気回路でコンデンサーによって電流としては絶縁部分になっているところの電場の変化などを指します。

簡単にだけ述べると、まず先ほどの電荷保存則の微分形において、電荷密度の部分をガウスの法則の微分形によって電場に書き換えます。（これは「ガウスの発散定理」ではなく「ガウスの法則」です。）

$$\mathrm{div}\overrightarrow{j}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}=–\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0\mathrm{div}\overrightarrow{E}\right)$$

最右辺を左辺に移行して、発散を２つの項に作用させると考えると次式です。

$$\mathrm{div}\overrightarrow{j}+\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0\mathrm{div}\overrightarrow{E}\right)=0\Leftrightarrow \mathrm{div}\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)=0$$

「磁場の回転」に対する発散は必ず０である事に注意して、定常電流におけるアンペールの法則の微分形にこの式を使い、さらに積分形のほうもこの式で書き直したものが電流の時間変化がある時のアンペールの法則の式です。

電流の時間変化がある時のアンペールの法則の微分形と積分形を書くと次のようになります。

$$\mathrm{rot}\overrightarrow{B}=\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)$$

$$\oint_C\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=\mu_0\int_S\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)\cdot d\overrightarrow{s}$$

積分形のほうに関しては、電流密度ベクトルの部分を積分すると電流の大きさになるのでその項が定常電流の場合のアンペールの法則の電流の部分になります。

補足事項

説明した式の一部のナブラ表記

以上で説明した電流密度ベクトルを含む式で、
div, rot の記号の代わりにナブラ記号で書いたものを補足としてまとめておきます。

マクスウェル方程式から電磁波の式を導出する過程などでは、電流密度ベクトルの回転を考える事もあります。それは回転を含む式であるアンペールの法則と電磁誘導の式に対して改めて回転を考える計算に由来します。

補足２：その他の電流密度ベクトルの使用例

この記事では扱っていませんが、
静磁場のベクトルポテンシャルは電流密度ベクトルを使って表されます。

また同じく、磁場に関する法則のビオ・サバールの法則は電流を使った形と
電流密度ベクトルを使った２つの形があります。

これら２つの関係式・法則はいずれもアンペールの法則との関わりがあります。

ビオ・サバールの法則とは電流が作る磁場の大きさと向きを表す法則です。
電流が作る磁場を表現する法則としてはアンペールの法則もありますが、特定の条件下でビオ・サバールの法則とアンペールの法則は等価である法則となります。

数式的には外積ベクトル（ベクトル積）を使って表現されるものであり、向きも含めて電流の向きと発生する磁場の関係が表現されます。（電流・磁場・力の関係を表す「ローレンツの力」も同様に外積ベクトルを使って表現されます。そしてその事は、ビオ・サバールの法則と無関係では無いという物理学的な見方があります。）

電磁気学での位置付け

ビオ・サバールの法則は磁場に関する法則ですが、電場で言えばクーロンの法則に対応する法則です。

磁場についてもクーロンの法則というのは実はあるのですが（後述します）、磁場に関する法則としてはビオ・サバールの法則が基本的な法則であると考えられる事が多いです。

しかしビオ・サバールの法則は、クーロンの法則（電場、磁場に関して共に）と比較すると式の形が複雑でなかなか計算もしづらいともよく言われます。実際、数式としての表され方も外積ベクトルを含む形になっており、他の電磁気学の諸法則と比べると直接的には少し扱いにくい面はあると言えます。
しかしビオ・サバールの法則には、直線電流に限らず「任意の形状」の電流が作る回路による磁場を向きも含めて表現するという意味合いががあります。

それに対して、アンペールの法則も磁場に関する法則ですが「磁場の回転（および閉曲線上での接線線積分）と電流の関係」を表す式になります。ビオ・サバールの法則そのものには回転の情報は入っておらず。むしろ「ベクトルとしての磁場を電流を使って直接計算する形」をしています。また、磁場に関するガウスの法則もやはり磁場についての法則ですが、そちらは磁場の「発散（div）」に関する法則です。

ビオ・サバールの法則は物理学での「法則」ですので、本質的にはそれを１つの「事実」と考えて必要に応じて使えばよいという性質のものです。
ただし、この法則は単独で実験データのみから得られる式であるというよりは、別の実験事実や理論を数式的に整理して改めて１つの法則と考える見方もできます。

そこで、この記事の後半ではビオ・サバールの法則を「導出」する２つの考え方も紹介します。そこではローレンツ力、磁場に関するクーロンの法則、ベクトルポテンシャル（間接的にアンペールの法則とガウスの法則）とビオ・サバールの法則との関係を物理学的な見方も含めて数式で説明します。

ビオ・サバールの法則の式

ビオ・サバールの法則とは数式としては次のように電流とそれによって作られる磁場（基本的には静磁場）の定量的な関係を、外積ベクトルを使って表現したものです。

電流素片\(Id\overrightarrow{l}\)の事は「電流要素」と呼ぶ事もあります。

ビオ・サバールの法則には見かけ上分母に距離の３乗が入っていますが、１つは位置ベクトルを「方向だけを表す単位ベクトル」として表すために付けているだけなので本質はｒの「２乗」です。もしベクトルの大きさ（「強度」とも言う）だけに着目するなら、電流素片のベクトルと位置ベクトルのなす角をΘとして次の形になります。

$$\left| \frac{\overrightarrow{r}}{r}\right|=1\hspace{5pt}に注意して、\hspace{5pt}\left|d\overrightarrow{l}\times \frac{\overrightarrow{r}}{r}\right|=dl\sin\theta\hspace{5pt}であるから$$

$$dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idl\sin\theta}{r^2}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{j\sin\theta dv}{r^2}$$

また、後述する事にも関係しますがビオ・サバールの法則の係数μ_０／(４π)は磁場に関するクーロンの法則の比例定数や、静磁場のベクトルポテンシャルを積分で表した式における係数と同じものになっています。

実際にこの法則を使って具体的な計算をする時には基本的に積分の形にします。
電流素片を集めて積分にする場合には
「曲線状の積分路に対して外積を微小量とした積分（内積ではなく）」を考えて、
電流密度を使った式の場合には体積積分を考えます。

いずれの場合も、ビオ・サバールの法則の基本の形に積分を付けて考えればよいのですが積分変数が何であるかには注意する必要もあります。磁場を考える座標は基本的には「積分の中では定数扱い」です。積分変数として考えるのは、積分の経路となる導線等における接線ベクトル（あるいはその始点の座標）を区別する必要があります。

混乱しやすい点をあらかじめ整理しておくと次のようになります。

• 磁場に関しては「磁場を表すベクトル場」と、
  その始点となっている位置座標の２つを考えている。
• 電流が生じている導線等においても「電流素片のベクトル」（向きは導線の接線ベクトル）と、
  その始点となっている位置座標の２つを考えている。電流密度ベクトルを考えている場合も同じです。

変数の表記については\(\overrightarrow{B}(x,y,z)=\overrightarrow{B}\left(\overrightarrow{R_B}\right)\)のようにも書けます。

多少煩雑になりますが変数などをより明確にして書くなら次のようになります。

$$\overrightarrow{B}\left(\overrightarrow{R_B}\right)=\overrightarrow{B}(x,y,z)=
\frac{\mu_0I}{4\pi }\int_C
\frac{d\overrightarrow{l}\left(\overrightarrow{R_L}\right)\times \left(\overrightarrow{R_B}-\overrightarrow{R_B}\right)}
{\left|\overrightarrow{R_B}-\overrightarrow{R_L}\right|^3}$$

$$=\frac{\mu_0I}{4\pi }\int_C
\frac{d\overrightarrow{l}(X,Y,Z)\times \left(x-X,y-Y,z-Z\right)}
{\left(\sqrt{(x-X)^2+(y-Y)^2+(z-Z)^2}\right)^3}$$

（※ただし、もしこの形の積分を普通の定積分として具体的に計算するなら基本的に３変数としてではなく曲線Cの各位置に対応するパラメーターとしての１つの実変数が必要になります。）

電流密度を使った場合も、「敢えて書くと」次式です。
（積分の区間の端点についてはてきとうな文字で置いています。）

$$\overrightarrow{B}(x,y,z)=
\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V
\frac{\overrightarrow{j}\left(\overrightarrow{R_L}\right)\times \left(\overrightarrow{R_B}-\overrightarrow{R_B}\right)dv}
{\left|\overrightarrow{R_B}-\overrightarrow{R_L}\right|^3}$$

$$=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_a^b\int_c^d\int_u^w
\frac{\overrightarrow{j}(X,Y,Z)\times \left(x-X,y-Y,z-Z\right)}
{\left(\sqrt{(x-X)^2+(y-Y)^2+(z-Z)^2}\right)^3}dXdYdZ$$

しかし次に具体例で説明するように、なるべく簡単なモデルを考えて変数の撮り方も工夫する事によって積分は３変数ではなく１変数で計算できる事もあります。

具体的にビオ・サバールの法則で計算をする例

実際問題としてビオ・サバールの法則から積分で直接的に磁場のベクトルを計算する場合には、できるだけ分かりやすい図のモデルを用意して「方向」と「大きさ」も分けて考えて、角度を変数として考えれるように変数変換する事で（１変数の積分で）計算をするといった工夫をしたりします。

比較的簡単な例として、直線状の導線上における定常電流が導線の周囲に作る磁場をビオ・サバールの法則を使って計算してみます。積分する範囲も「曲線」ではなくて直線で考えて、さらに電流も当然それに沿った向きなので、積分に関してはベクトルではなくて１変数の積分区間として考えてしまうわけです。（図での位置関係に関してはベクトル的な関係も考慮する必要があります。）

積分をする前に、法則の基本となる形のほうで状況を整理します。電流の向きを画面上の左から右に向かう方向にとると、ビオ・サバールの法則が言うには磁場の方向は「電流素片のベクトル×導線から磁場の位置までのベクトル」という外積ベクトルの方向であるから、「画面奥から画面手前」の向きです。そこで、向きは確定したので次は大きさだけを見るという流れになるのです。

1. まず磁場の「向き」を確定させます。（ビオ・サバールの法則により外積ベクトルの向き。）
2. 次に、磁場の大きさだけを積分で計算します。

磁場を考える位置から導線に向かって垂線をおろして、その足（交点）を原点とします。そして、そこから磁場を考える位置までの距離をR_０とします。このR_０は定数です。

大きさだけに着目すると、平面幾何的な角度の関係に注意すると次の式が成立します。これは前述の、ベクトルの大きさだけに着目した場合のビオ・サバールの法則の式です。法則の外積ベクトルに由来する角度をΘとして、計算をしやすくするために補足的に考えた「原点・磁場を考える位置・電流素片（の始点）の位置」で作られる角度ωとしています。

$$dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idl\sin\theta}{r^2}=\frac{\mu_0I}{4\pi r^2}\sin\left(\omega+\frac{\pi}{2}\right) dl=\frac{\mu_0I}{4\pi r^2}\cos\omega\hspace{3pt} dl$$

途中計算には三角関数の公式を使用しています。

ここで、積分する時の変数は導線の長さを表す位置ですが、これは１変数として扱えます。しかし図の位置関係から、ωやｒは変数\(l\)に対して独立ではないので定数扱いはできない事になります。
この場合では、ωやｒを\(l\)に変換するよりも、統一してωの関数に変換して積分をするほうが簡単です。ただし、この変換をする時は最初から微小量で考えるのではなく、普通の関数として考えてから微分をする必要がありますので注意。

定積分を\(l\)＝aからbまで行うとして、対応するωをω₁ とω₂とします。

\(\left|\overrightarrow{B}\right|=B\) とすると、計算は次のようになります。

$$\cos\omega=\frac{R_0}{r}\Leftrightarrow \frac{1}{r}=\frac{\cos\omega}{R_0}\hspace{15pt}l=R_0\tan\omega\hspace{15pt}\frac{dl}{d\omega}=\frac{R_0}{\cos^2\omega}\hspace{3pt}であるので、$$

$$B=\int_a^bdB=\int_a^b\frac{\mu_0I}{4\pi r^2}\cos\omega dl=\frac{\mu_0I}{4\pi }\int_{\omega 1}^{\omega 2}\frac{\cos^2\omega}{R_0\hspace{1pt}^2}\cos\omega\frac{dl}{d\omega}d\omega$$

$$=\frac{\mu_0I}{4\pi }\int_{\omega 1}^{\omega 2}\frac{\cos^3\omega}{R_0\hspace{1pt}^2}\frac{R_0}{\cos^2\omega}d\omega=\frac{\mu_0I}{4\pi R_0}\int_{\omega 1}^{\omega 2}\cos\omega d\omega$$

$$=\frac{\mu_0I}{4\pi R_0}(\sin\omega_2 -\sin\omega_1)$$

使用した微分に関する公式等は次の２つです。

• 正接関数（tan x）の微分の公式
• 置換積分の公式

式が一見込み入るようですが丁寧に計算すると単独の余弦関数を積分すればよいだけになり、このように結果を出せるわけです。この結果でω_１→－π／２とω_２→π／２の極限を考えると、
「導線が無限に（十分に）長いとみなせる場合」の結果となり、またアンペールの法則から計算した結果にも一致するようになります。

このように、想定するモデルを工夫すると一見複雑であるビオ・サバールの法則の式の計算を、通常の１変数の定積分にまで簡略化できたりするわけです。こういった手法は電磁気学で（あるいは物理学全般で）使用され、物理現象の考察に活用されます。

法則の由来①：ローレンツ力や磁場に関するクーロンの法則等の組み合わせによる帰結と解釈する方法

電流と磁場の関係については次のような事実が実験によって知られています。

• 直線電流の周りには環状の磁場が作られる。（エールステッドによる実験）
• 電流が生じている２本の平行導線には互いに力が働く。
  ２つの導線の電流が同じ向きなら引力であり、
  向きが互いに逆なら力は斥力（反発する力）。（アンペールなどによる実験）
• 磁場の中で運動している電荷は力を受ける。（「ローレンツの力」）
• 磁気を帯びた物体同士には電気を帯びた物体同士同様の力が働く。
  （磁場に関するクーロンの法則）

直線電流が作る環状の磁場は、アンペールの法則から得られる結果の１つと捉える事が可能です。

これらの実験事実やその理論の組み合わせの帰結としてビオ・サバールの法則の式が得られるという物理学的な解釈の方法があります。ここではその導出過程を詳しく見ます。

電流が生じている平行な導線（以下、簡単のために「平行電流」と書きます）の相互に働く力は、２つの電流の大きさのそれぞれに比例し、導線の長さにも比例し、さらに平行電流間の距離ｄに反比例するというデータが得られていました。

平行電流に働く力は、電流による環状磁場とローレンツの力の組み合わせで生じるという見方ができます。さらに、そこに磁場に関するクーロンの法則を組み合わせて少し考察するとビオ・サバールの法則を積分したものと同じ形の式ができます。そしてそれがビオ・サバールの法則の電流素片による表記の由来となっていて、法則が成立する理論的な裏付けの１つであるという見方も可能であるわけです。

まず電荷密度ρがある速度で動いている時に、これを電流密度として解釈します。ローレンツの力は磁場中で導線自体が動いている時に働く力でもありますが、導線に沿って電荷が動いて流れになっている（すなわち電流が発生している）時にも同様に成立すると見るわけです。

$$\overrightarrow{j}=\rho\overrightarrow{v}$$

これを、単位体積（１ｍ^３）当たりで考えたローレンツの力の磁場だけの式に代入します。

$$\overrightarrow{F}=\rho\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}=\overrightarrow{j}\times\overrightarrow{B}$$

これは１ｍ^３の式なので、Ｓ [ｍ^２]×ｄｌ[m]＝Ｓｄｌ[m^３]（これは外積ではなく普通の掛け算）の場合を書きます。ここではＳｄｌという量はスカラー扱いになりますから、特に順番も気にせずに単に乗じれば良い事になります。その場合の力を\(d\overrightarrow{F}\)とします。

$$d\overrightarrow{F}=\overrightarrow{j}\times\overrightarrow{B}Sdl=\left(S\overrightarrow{j}\right)\times\overrightarrow{B}dl$$

ここでの電流密度は「電荷密度×速度」で最初考えましたが、これを「電流ベクトル×面積」で表します。普通、電流はベクトルでは考えませんがここでは敢えて電流密度ベクトルに合わせたものを考えるという事です。

$$\overrightarrow{j}=\frac{\overrightarrow{I}}{S}\Leftrightarrow \overrightarrow{I}=S\overrightarrow{j}により、$$

$$d\overrightarrow{F}=\left(S\overrightarrow{j}\right)\times\overrightarrow{B}dl=\overrightarrow{I}\times\overrightarrow{B}dl$$

ここでｄｌはスカラーとしてきたわけですが「大きさはｄｌで方向は電流ベクトルに等しいベクトル」を改めて\(d\overrightarrow{l}\)とします。これを使うと「電流ベクトル」の向きはそのベクトルに含めてしまって、電流をスカラーとして扱えます。

$$d\overrightarrow{F}=\overrightarrow{I}\times\overrightarrow{B}dl=\left(dl\overrightarrow{I}\right)\times\overrightarrow{B}ですが、$$

$$dl\overrightarrow{I}=Id\overrightarrow{l}となるd\overrightarrow{l}を考える事ができるので$$

$$d\overrightarrow{F}=\left(dl\overrightarrow{I}\right)\times\overrightarrow{B}=Id\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{B}$$

この式は、途中で考えていた「断面積S」が小さい値であるとすると一般的な導線における状況と解釈する事ができて、「電流素片が磁場から受ける力」と捉える事ができます。

次に、これを磁場に関するクーロンの法則と組み合わせます。

電流が生じている導線があって、曲線Cの形をしているとします。そこから離れた位置に磁気量ｑ[Wb] の磁気を帯びた小さな物体があるとして、近似的に点とみなせるとします。この物体は周囲に磁場を作り、大きさ等は磁場に関するクーロンの法則を使うとします。そこで物体から曲線C上のある電流素片の位置までのベクトルを\(\overrightarrow{R}\)とすると、電流素片が受ける力は次のように書けます。

$$d\overrightarrow{F}=Id\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{B}=Id\overrightarrow{l}\times\frac{kq\overrightarrow{r}}{R^3}=kqI\frac{d\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{R}}{R^3}$$

$$曲線C全体では、積分して\overrightarrow{F}=kqI\int_C\frac{d\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{R}}{R^3}$$

形としてはかなりビオ・サバールの法則に近くなったように見えます。しかし、ここで考えている磁場は磁気を帯びた物体が作る磁場であって、電流が作る磁場ではないので注意。また、得られている式が表す量も「磁場によって電流素片が受ける力」です。磁場は、1[Wb] の磁気量を持つ試験磁荷（仮想的ですが）が他の物体由来の磁気から受けるです。

では次にどのように考えるのかというと、電流が磁場を発生させる事はエールステッドの実験や平行電流に関する考察から事実と受け取れるので、曲線C上の電流素片もまた周囲に磁場を作ると考えられます。さらにその磁場は、磁気を帯びた物体に力を及ぼすはずです。

ここで、数学ではなく物理的な見方になりますが力学の作用反作用の法則が、ここでも成立するはずだと見ると「電流素片がｑ[wb]の磁気量の物体に及ぼす力」は「ｑ[wb]の磁気量の物体が電流素片に及ぼす力」と大きさは同じで向きが逆の力ベクトル（数式ではマイナス符号が付く）になっていると予想できます。電流素片が作る磁場を\(\overrightarrow{B_I}\)とすると、磁気を帯びた物体が受ける力は\(q\overrightarrow{B_I}\)となります。そこで、これがさきほどの「ｑ[wb]の磁気量の物体が電流素片に及ぼす力」にマイナス符号を付けたものだとして式を作ると次式です。

$$q\overrightarrow{B_I}=-kqI\int_C\frac{d\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{R}}{R^3}$$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow{B_I}=-kI\int_C\frac{d\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{R}}{R^3}$$

さらに、\(\overrightarrow{R}\)は「物体から電流素片」へのベクトルでしたから、「電流素片から物体」に向けてのベクトルとして\(\overrightarrow{r}=-\overrightarrow{R}\)に置き換えます。

$$ \overrightarrow{B_I}=-kI\int_C\frac{d\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{R}}{R^3}=-kI\int_C\frac{d\overrightarrow{l}\times\left(-\overrightarrow{r}\right)}{r^3}=kI\int_C\frac{d\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{r}}{r^3}$$

$$=k\int_C\frac{Id\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{r}}{r^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_C\frac{Id\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{r}}{r^3}$$

つまり、電流素片に関するビオ・サバールの法則を曲線Cに関して積分した式と全く同じものが得られました。この事から、もとのビオ・サバールの法則の式が成立する事の「理論的根拠」も得られたと捉える事もできるわけです。

この捉え方のもとでは、ビオ・サバールの法則の「距離の２乗に反比例」（ベクトル表記の時に書かれる３乗というのは形式上なので本質は２乗）という部分は磁場におけるクーロンの法則と同じ由来のものであり、外積の形になっている事はローレンツの力に由来すると考える事ができます。

法則の由来②：ベクトルポテンシャルから導出する方法

他方で、アンペールの法則のほうがまず成立していると考えて、静磁場のベクトルポテンシャルからビオ・サバールの法則の式を導出するという事もできます。電流密度を使ったほうのビオ・サバールの法則を積分で書いた式は、ベクトルポテンシャルを表す式に何となく形が似ています。そしてそれは偶然ではなくきちんと関係があると解釈できるという事です。

まず（静磁場の）ベクトルポテンシャルの式は次のような形です。

$$\overrightarrow{A}(x,y,z)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\overrightarrow{j}}
{r}dv$$

$$\left(\overrightarrow{R_B}=(x,y,z),\hspace{5pt}\overrightarrow{j}の各始点\overrightarrow{R_L}=(X,Y,Z)\hspace{3pt}のもとで\hspace{3pt}r=\left|\overrightarrow{r}\right| =\left|\overrightarrow{R_B}-\overrightarrow{R_L}\right|\right)$$

次に「ベクトルポテンシャルの回転が静磁場になる」ので、回転 rot を考えます。ただし、偏微分を行う対象はベクトルポテンシャルのほうですからここでの変数で言うと（ｘ，ｙ，ｚ）のほうです。積分変数として考えている（Ｘ，Ｙ，Ｚ）ではありません。
そこで、ここではその事を強調して回転の記号を rot_A と書いておきます。

$$\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}であり、x,y,zでの偏微分を行う事を強調し回転を\mathrm{rot_A}と書くと$$

$$\overrightarrow{B}=\mathrm{rot_A}\overrightarrow{A}=\mathrm{rot_A}\left(\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\overrightarrow{j} }{r}dv\right)$$

$$\mathrm{rot_A}=\left( \frac{\partial A_3}{\partial y}-\frac{\partial A_2}{\partial z},\hspace{3pt}\frac{\partial A_1}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial x},\hspace{3pt}\frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y}\right)\hspace{10pt}dv=dXdYdZ$$

前述のように、回転における偏微分を行う変数は積分変数ではなく「ベクトルポテンシャルを考えている位置を表す３変数」です。
そこで、積分を考える範囲で電流密度の分布と関数形が連続的なものであれば、積分変数でない変数で「積分の中身」を微分しても結果に影響を与えません。（※数学の解析学的な補足説明は後述。）

$$\overrightarrow{B}=\mathrm{rot_A}\left(\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\overrightarrow{j} }{r}dv\right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\mathrm{rot_A}\frac{\overrightarrow{j} }{r}dv$$

さてそこで、ベクトル解析における簡単な公式を２つほど使用して変形を行います。

さきほどの計算に戻ると、まず電流密度ベクトルは定ベクトルとみなせます（変数はX，Y，Zであり、これらはｘ，ｙ，ｚから見ると定数とみなせるので。）そして分母のｒについては計算上ｘ，ｙ，ｚに関するスカラー場と見なせますので１つ目の公式を適用できます。この時の外積の順序は電流密度ベクトルを先にしておきます。つまり公式で言うとマイナス符号が付いたほうを使います。

$$\mathrm{rot_A}\frac{\overrightarrow{j} }{r}dv=-\overrightarrow{j}\times\mathrm{grad}\frac{1}{r}$$

つまり、式の演算としては回転がなくなって外積に変わっているわけです。

ビオ・サバールの法則の式の形に近づいていますが、代わりに勾配 grad が入ってしまっています。
そこで\(\overrightarrow{r}=(x-X,y-Y,z-Z)\)において同じくX，Y，Zを定数とみなせば、公式を適用できて次式が成立します。

$$\mathrm{grad}\frac{1}{r}=-\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$$

これによって数式上、勾配もなくなります。
整理すると、磁場が電流密度を用いたビオ・サバールの法則を積分で書いた形で表せる事になります。

$$\overrightarrow{B}=\mathrm{rot_A}\overrightarrow{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\mathrm{rot_A}\frac{\overrightarrow{j} }{r}dv$$

$$=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V- \overrightarrow{j}\times \mathrm{grad}\frac{1}{r}dv= \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V- \overrightarrow{j}\times \left(-\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\right)dv$$

$$=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \overrightarrow{j}\times \frac{\overrightarrow{r}}{r^3}dv= \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\overrightarrow{j}\times\overrightarrow{r}}{r^3}dv$$

この式で表される磁場はベクトルポテンシャルと同じくｘ，ｙ，ｚによるベクトル場です。
つまり\(\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}(x,y,z)\)です。

以上の事は、アンペールの法則（変位電流を含まない形）が成立する→静磁場のベクトルポテンシャルを放射ゲージ条件のもとで式で表せる→ビオ・サバールの法則を積分した形の式が成立するという流れです。そのため、ビオ・サバールの法則をアンペールの法則から導出するという見方とも言えます。
また、ベクトルポテンシャルを考えるうえでは磁場に関するガウスの法則も前提条件でしたから、上記の導出方法によれば磁場に関するガウスの法則も間接的に関わっていると言えます。

静磁場では電場の場合のようにスカラーポテンシャルに相当する量を考えても統一的な物理的意味を与える事が難しくなります。（特に静磁場が電流により作られる場合。）

しかしその代わりに静磁場は発散が０になります（磁場に関するガウスの法則）。
そのため、任意の「ベクトル場の回転」の発散は０になるという公式と合わせて「回転が静磁場になるようなベクトル場」を考える事ができます。一般にそれをベクトルポテンシャルと呼びます。これはスカラーポテンシャルに対する用語というわけです。

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• ガウスの法則
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• 外積ベクトル（ベクトル積、クロス積）

磁場に関するベクトルポテンシャルは計算を便利にするという意味合いもありますが、量子論などのように物理量としてポテンシャルのほうが重要になる場合などには本質的な重要性も持つようになったりします。

ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルの関係

静磁場に対するベクトルポテンシャルを作れる数式的根拠

静電場の場合は、電位という「スカラーポテンシャル」を考えて「＋1[C]の電気量の試験電荷の位置エネルギー」として物理的な意味付けもする事ができます。

それに対して静磁場の場合はポテンシャルを考える場合には普通、次のように考えます。

磁場に関するガウスの法則の微分形と、「任意のベクトル場の回転に対する発散は０になる」という公式をそれぞれ書きますと次のようになります。

$$（磁場に関するガウスの法則）\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0$$

$$（公式）\mathrm{div}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\right)=0$$

これらの式を見比べて、「回転が静磁場に等しくなるようなベクトル場」を考えます。それをベクトルポテンシャルと呼びます。

$$\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}となるような「ベクトルポテンシャル」\overrightarrow{A}を考えます。$$

「回転の発散はゼロになる」公式の証明

上記で使った公式の証明はベクトル場\(\overrightarrow{F}=(F_1,F_2,F_3)\) の回転と発散を直接計算すると得られます。ただし、F1, F2, F3 は対象の領域でそれぞれ２階まで偏微分可能であるとします（偏微分の順序を入れ換えてよい条件。通常の関数であればあまり気にしなくて問題無し）。

$$\mathrm{rot}\overrightarrow{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right) なので$$

$$\mathrm{div}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{F}\right)=\frac{\partial^2 F_3}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 F_2}{\partial x\partial z}+\frac{\partial^2 F_1}{\partial y \partial z}-\frac{\partial^2 F_3}{\partial y\partial x}+\frac{\partial^2 F_2}{\partial z\partial x}-\frac{\partial^2 F_1}{\partial z\partial y}=0$$

静磁場に対するベクトルポテンシャルを考える場合は、偏微分を行う対象はベクトルポテンシャルのほうなので多価関数などの通常と異なる関数などを考えない限りは問題なくこの公式も成立します。

ベクトルポテンシャルの任意性（ゲージ不変性）

ところで、上記のように想定したベクトルポテンシャルは１つだけに定まるとは限らず、むしろ何の制限もなければ非常に多くのものが存在できるのです。

例えば次のようなものです。
あるベクトル \(\overrightarrow{A}\)が静磁場のベクトルポテンシャルになる事が分かったとしましょう。次に、そのベクトル場に渦無しの条件を満たす（つまり回転が０となる）別のベクトル場\(\overrightarrow{P}\)を加えます。すると、両者の合計\(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{P}\)もまた「回転が静磁場を表す」ベクトル場となります。

$$\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}かつ\mathrm{rot}\overrightarrow{P}=0である時$$

$$\mathrm{rot}(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{P})=\mathrm{rot}\overrightarrow{A}+\mathrm{rot}\overrightarrow{P}=\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}$$

すなわち、\(\overrightarrow{A}\) はベクトルポテンシャルであるけれども
\(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{P}\)もまたベクトルポテンシャルであると言えるわけです。

このようにベクトルポテンシャルを考えた時には複数の多くのベクトル場がそれに該当し得るわけで、言い換えると無条件では１つに限定できないという事も意味します。

上記の例のようにベクトルポテンシャルに対し１つのベクトル場を付け加える「自由度」がある時（回転＝０となるものを加える場合は実質的に１つのスカラー場）、その事を指して「ゲージ不変性」と呼ぶ事があります。また、一定の条件のもとでゲージ不変性を利用してベクトルポテンシャルの変換を行う事をゲージ変換と呼びます。

$$「ゲージ変換」の１つ：\mathrm{rot}\overrightarrow{A}→\overrightarrow{A}+\mathrm{grad}\phi$$

$$（変換前と変換後とで、どちらも回転をとる操作で同じ静磁場を表します。）$$

関連して、ベクトルポテンシャルそのものに対して\(\overrightarrow{B}=\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\) 以外に課す具体的な条件をゲージ条件と呼ぶ事があります（後述の「放射ゲージ条件」のように名前を付けて使う事が多い）。普通は、ゲージ条件を課す事によってゲージ変換の自由度が制限され、ベクトルポテンシャルも特定の形に制限されるようになります。

放射ゲージ条件（発散が０の条件）

様々なベクトル場がポテンシャルとしてあり得てしまうと理論的にかえって扱いにくくなる事もあるので、静磁場の理論においては「発散が０である」というゲージ条件を課します。
この条件を放射ゲージ条件、あるいはクーロンゲージ条件などと言います。
（「クーロンゲージの条件」のように言う事も。）

放射ゲージ条件を考える場合もそうですが、基本的にはそれ以外の場合でもベクトルポテンシャルに対しては「回転が０」という条件は付けません。「ベクトルポテンシャルの回転が静磁場に等しい」という条件をまず大前提として考えていますから、ベクトルポテンシャルの回転が０であったらそれは「磁場が無い（ゼロベクトルである）」事を表すものでしかないためです。

$$静磁場においては\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}の条件も、そもそも存在します。$$

静磁場に対しては発散が常に０（静磁場に関するガウスの法則）であるわけですが、放射ゲージ条件は静磁場と同じ条件をベクトルポテンシャルに対しても考えていると見る事もできます。尚、大元の静磁場の発散が０になるという条件（物理的には「湧き出しを持たない事」）は数学上は実は重要で、ベクトルポテンシャルがベクトルとして存在できる事を保証する条件になっています。

放射ゲージ条件のもとでのベクトルポテンシャルの式

放射ゲージ条件を課した状態でベクトルポテンシャルに関する式を作ると、各法則による条件等から解を出せる微分方程式を作る事ができ、その解としてベクトルポテンシャルを具体的な式で表せます。（ただしそれでも式に積分が入ってしまいます。）

電流の周囲に同心円ごとに一定の静磁場ができる事を表すアンペールの法則を考えます。これは微分形で書くと磁場の回転が電流密度ベクトルに等しいという式になります。マクスウェル方程式全体を考える時には変位電場を考える必要がありますがそれは０であるものを考えます。

$$アンペールの法則（微分形）：\mathrm{rot}\overrightarrow{B}=\mu_0\overrightarrow{j}$$

アンペールの法則の式に、静磁場をベクトルポテンシャルで表した式を代入します。

$$\mathrm{rot}\overrightarrow{B}=\mu_0\overrightarrow{j}に\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}を代入すると$$

$$\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\right)=\mu_0\overrightarrow{j}$$

ところで、この場合においてはナブラを使って式を書いたほうが左辺を展開するうえで見通しがよくなります。「『ベクトル場の回転』の回転」に対する公式は存在するのですが、実は外積ベクトルの計算「『ベクトル同士の外積』との別のベクトルとの外積」に対する公式と形が一致するのです。
（ただし計算の順番に注意。\(\overrightarrow{P}\times\left(\overrightarrow{Q}\times\overrightarrow{R}\right)\) の順番での場合の公式に対応します。）

そこでナブラ記号を使って計算を進めると次のようになります。

$$\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\right)=\nabla\times(\nabla\times\overrightarrow{A})=\nabla\left(\nabla\cdot\overrightarrow{A}\right)-\nabla^2\overrightarrow{A}=-\nabla^2\overrightarrow{A}$$

$$\left( 放射ゲージ条件\nabla\cdot\overrightarrow{A}=0により\nabla\left(\nabla\cdot\overrightarrow{A}\right)=0\right)$$

$$よって、-\nabla^2\overrightarrow{A}=\mu_0\overrightarrow{j}\Leftrightarrow\nabla^2\overrightarrow{A}=-\mu_0\overrightarrow{j}$$

この式は成分ごとに見れば３つの偏微分方程式です。
これを数学的に解析する手段はありますが、物理学的に考える時はむしろ次のように解釈します。

今は静磁場について考えていますが、静電場のスカラーポテンシャル（電位）についても実は同じ形の式が成立するのです。具体的には、電場が電位の勾配を使って表される式をガウスの法則の微分形に代入します。

$$\overrightarrow{E}=-\mathrm{grad}\phi\hspace{5pt}かつ\hspace{5pt}\mathrm{div}\overrightarrow{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}\hspace{5pt}により、$$

$$-\mathrm{div}(\mathrm{grad}\phi)=\frac{\rho}{\epsilon_0}\Leftrightarrow\nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$$

$$\left(\mathrm{div}(\mathrm{grad}\phi)=\mathrm{div}\left(\frac{\partial\phi}{\partial x},\frac{\partial\phi}{\partial y},\frac{\partial\phi}{\partial z}\right)=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+
\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+
\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}=\nabla^2\phi\right)$$

ところで無限遠（電荷から十分離れた位置）を基準にすれば電位φは点電荷に対して普通に計算ができて次のようになります。

$$\phi=\int_0^{\infty}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{r}=\int_0^{\infty}\left|\overrightarrow{E}\right|dr=\frac{kQ}{r}$$

接線線積分の段階で見れば、点電荷が複数あってそれらが作る電場の合計\(\overrightarrow{E_1}+\overrightarrow{E_2}+\overrightarrow{E_3}+\cdots\) を考えたとしても項別の積分を行って加えれば良い事が分かります。つまり複数の点電荷による電位は個々の点電荷による電位の「重ね合わせ」（スカラーの和）で計算して良い事になります。そこで、電荷が連続的に分布しているとみなせて電荷密度ρで表せるとすると次のように積分を使って書けます。

$$\phi=k\int_V\frac{\rho}{R}dv$$

この積分において R は「電位を考える点（ｘ，ｙ，ｚ）」と個々の微小領域ｄｖ（＝ｄＸｄＹｄＺ）の座標との距離です。

さて、そのように電位が表せるわけですが、
この直接計算によるφは同時に先ほどの微分方程式∇^２φ＝－ρ／ε_０を満たすわけです。
言い換えると「微分方程式の解になっている」という事になります。そして静磁場のベクトルポテンシャルに関しても成分ごとに見れば∇^２A_１＝－ｊ_１μ_０という形であるわけですから、定数の違いを除くと「同じ形の微分方程式」であり、解も「電位を電荷密度で表す式と同じ形になる」と見るのです。
（これらのような∇^２u(x,y,z)＝－v(x,y,z) の型の微分方程式を総称して「ポアソン型の微分方程式」とか「ポアソン方程式」などと呼ぶ事もあります。）

$$ベクトルポテンシャルの成分ごとにA_1=K\int_V\frac{j_1}{R}dvの形になるはずであり、$$

$$ベクトルでは\overrightarrow{A}=K\int_V\frac{\overrightarrow{j}}{R}dv$$

これが放射ゲージ条件のもとでの静磁場のベクトルポテンシャルを表す式になります。より具体的な関数形は、電流密度の関数形と分布領域によって変わってきます。
（数式だけでポアソン型の微分方程式を解く場合には、ガウスの発散定理から証明できる「（実関数についての）グリーンの定理」を使用します。）

上式では比例定数はｋおよびＫなどと書きましたが、真空の誘電率と透磁率を使って改めて書いて整理すると次のようになります。

静止した電荷あるいは電荷の分布が作る静電場（時間による値の変動がない電場）についてはクーロンの法則と、その一般的な形であるガウスの法則が成立します。そしてもう一つ、「渦無しの法則」というものも成立します。

渦無しの法則とは

ここで言う電場の「渦」というのは数式としては流体力学等で想定されるものと同じ形の式です。すなわち、数式的にはベクトル場の「回転」（「カール」「ローテーション」とも）によって表す量です。

静電場を構成するものが静電荷あるいはその分布であるときには、電場が定義される任意の位置において電場の回転\(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\)はゼロベクトルになる事が数式的に証明できます。それが静電場の渦無しの法則と呼ばれるものです。

また、それと同時に循環と呼ばれる量も０になる事が示されて、それを静電場の渦無しの法則と呼ぶ事もあります。この循環という量は、数式的にはベクトル場の閉曲線に対する接線線積分です。２つの事実関係はストークスの定理によって結び付けられるので、どちらの事を渦無しの法則と呼んでも同じ事になります。

実は電場の循環は、閉曲線Cに沿って単位電荷が１周分する時の「電場が行った仕事」です。渦無しの法則は、静電荷が作る静電場においてはそれが任意の閉曲線で０になる事を言っています。その事は電磁誘導によって回路等に起電力と誘導電場が生じる時には渦無しの法則が成立しない事との関係が大いにあります。

また、後述する事に関係しますが定電流によって作られる静磁場の場合には回転も循環も０にはなりません。つまり点電荷による静電場では渦無しの法則が成立し、逆に定電流による静磁場では渦無しの法則は成立せず「渦」がある状態になります。

渦無しの法則における回転と循環の関係

渦無しの法則における回転と循環の関係について先に示しておきましょう。
ストークスの定理により次式が成立します。

$$\oint_C\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_S\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}$$

ここで、まず回転に関して渦無しの法則が成立するならストークスの定理の右辺（法線面積分の項）は０ですから、左辺の循環もそのまま０になるわけです。

$$\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=0であるとき\oint_C\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_S\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=0$$

次に循環に関して渦無しの法則が成立する時にはストークスの定理の右辺が０という事になりますが、これは法線面積分が０という事であって積分対象の\(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\)が０という事を直ちには示しません。しかし、渦無しの法則が意味するところは閉曲線Cが特定のものではなく「任意」であるという事なので、積分対象の関数が高等的に０である事を意味します。

$$\oint_C\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=0の時には\oint_C\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_S\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=0$$

$$この式は「任意の」閉曲線Cで成立するので\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=0$$

（ストークスの定理における曲面Sは、閉曲線Cを外縁に持つ任意の開曲線。）

この論法はガウスの発散定理を使って静磁場の発散について積分形から微分形を導出する時のやり方に似ています。

これにより、点電荷が作る静電場の回転が０である事と、循環が０である事のどちらを指して渦無しの法則と呼んでも数式的には同じであると言えるわけです。

静電場の回転の直接計算による導出

静止した点電荷が作る電場について渦無しの法則が成立すれば電荷が複数あってもベクトル場は重ね合わせ（ベクトルの和）で計算されるので同じく渦無しの法則が成立する事になります。

考え方や導出・証明方法はたくさんあるのですが、実は電場の回転を定義に従って普通に計算しても意外に簡単に結果が出ます。そこで、まず偏微分の直接計算によって回転が０になる事を示し、次にそれが「偶然なのか必然だったのか」について考察してみましょう。

点電荷の電気量をＱ【Ｃ】、比例定数はまとめてｋとして、座標を使った電場ベクトルを成分で書きます。見やすくするようにｋで割ったものを考えると次のようになります。

$$\frac{1}{k}\overrightarrow{E}=\left(\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}},\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}},\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\right)$$

他方、電場の回転\(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\)は次のようなベクトルです。

$$\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=\left( \frac{\partial E_3}{\partial y}-\frac{\partial E_2}{\partial z} ,\hspace{5pt} \frac{\partial E_1}{\partial z}-\frac{\partial E_3}{\partial x} ,\hspace{5pt} \frac{\partial E_2}{\partial x}-\frac{\partial E_1}{\partial y} \right)$$

一見計算するにならないかもしれませんが、商の微分公式と合成関数の微分公式を使って回転の第３成分を計算してみると次のようになります。上記と同じく比例定数ｋで割った状態で計算します。

$$\frac{1}{k}\mathrm{rot}\overrightarrow{E}の第３成分\frac{\partial E_2}{\partial x}-\frac{\partial E_1}{\partial y}$$

$$=\frac{-2x\cdot\frac{3}{2}\cdot(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2} } y}{(x^2+y^2+z^2)^3}+\frac{2y\cdot\frac{3}{2}\cdot(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2} } x}{(x^2+y^2+z^2)^3}$$

$$=\frac{-3xy}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}+\frac{3xy}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}=0$$

このように、意外にそこまで複雑というわけでもなく第３成分は０になると言う結果を得ます。
全く同じように計算すると第１成分と第２成分も０になるので、渦無しの法則の式 \(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=0\) が導出されます。

勾配と回転の関係からの導出

さて「計算したら上手い具合に０になった」というのは偶然でしょうか？

実の所、「ある程度は必然の結果であった」と言えるのです。これは、スカラー場の勾配ベクトルに対する回転は必ず０（ゼロベクトル）になるという公式が存在するためです。

この公式の証明は直接計算でできます。これも、意外と複雑ではないのです。

$$\mathrm{grad}\phi=\left(\frac{\partial \phi}{\partial x},\frac{\partial \phi}{\partial y},\frac{\partial \phi}{\partial z}\right)なので$$

$$\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\phi)= \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial y\partial z}- \frac{\partial^2 \phi}{\partial z\partial y} , \frac{\partial^2 \phi}{\partial z\partial x}- \frac{\partial^2 \phi}{\partial x\partial z} , \frac{\partial^2 \phi}{\partial x\partial y}- \frac{\partial^2 \phi}{\partial y\partial x} \right)$$

$$= \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial y\partial z}- \frac{\partial^2 \phi}{\partial y\partial z} , \frac{\partial^2 \phi}{\partial z\partial x}- \frac{\partial^2 \phi}{\partial z\partial x} , \frac{\partial^2 \phi}{\partial x\partial y}- \frac{\partial^2 \phi}{\partial x\partial y} \right)=(0,0,0)$$

つまり、回転ベクトルの成分の構成が規則的である事と、偏微分を複数回行う時には順序によらず同じ結果となるという条件のもとで公式が成立するわけです。

さて、公式 rot(gradφ)＝０の意味を考えてみると、
あるベクトル場が「何らかのスカラー場の勾配ベクトルになっていて偏微分に関する条件も満たす」のであれば回転ベクトルは０になるという事になります。さらに言い換えると、そのようなスカラー場が存在するならば\(\mathrm{rot}\overrightarrow{F}=0\) が成立すると言えるのです。

静電場の渦無しの法則に戻ると、点電荷が作る電場に対してはそのようなスカラー場が存在する事ができて、それがいわゆる「電位」です。静電場においては電位は「単位電気量（1[C]）の電荷の位置エネルギー」であるという意味付けができます。（２地点の電位の差である「電位差」がいわゆる「電圧」です。）

静電場から電位を計算する時には接線線積分を考えますが、無限遠を基準にとれば点電荷からの距離を変数とする変数の定積分として計算ができます。その結果として得られるスカラー場の勾配ベクトルを考えると、それはもとの静電場に戻るのです。ですので、実は成分の直接計算をしなくても、点電荷が作る静電場には電位が存在する事から渦無しの法則も成立すると言う事もできるのです。

$$\mathrm{grad}V=\overrightarrow{E}となる電位Vが存在し、これは所定の条件を満たすので\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=0$$

また、静止した点電荷に対する電位を具体的に計算すると点電荷からの距離ｒ【ｍ】に反比例する形になりますので、その関数は点電荷自身の位置を除けば任意の点で何回でも偏微分可能ですから先ほど少し触れた「偏微分の順序」についても気にしなくてよい事になります。

電磁場で「渦」がある場合

逆に渦無しの法則が成立しない状況は電磁場においてどのようなものがあるかというと、ここでは簡単にだけまとめておくと代表的なものとして次のようなものがあります。

• 磁場の時間変動がある場合のおける電場（電磁誘導の法則により起電力が発生します。）
• 定常電流および変位電流が作る静磁場（アンペールの法則によります。特に電流が生じている導線を囲む閉曲線に対して。）

まず磁場の時間変動がある場合には電場にの回転はゼロではなくなります。これが電磁誘導の法則の内容であり、起電力が生じる事を意味しています。

次に、定電流が作る静磁場についても電流が生じている導線まわりの閉曲線においてはアンペールの法則により接線線積分の値はゼロにならず、渦ができていると考えられます。（ただし、この時の回転ベクトルと接線線積分に関する数学的な扱いには少し注意する必要もあります。）この場合には、アンペールの法則の意味としては電流もそうですが電場の時間変化（変位電流）にも起因して磁場の回転が発生する事を意味します。その事を指して起磁力と言う言葉が使われる事もあります。（起電力に対応する語）。

つまりごく簡単に言うと電場の時間変動（あるいは電流）によって磁場が作られて、磁場の時間変動によって電場（あるいは電流）が作られる関係があります。そしてその時に、循環の形の接線線積分で表される「渦」が生じるという体系になっていると言えます。

また電流の種類で「渦電流」というものも存在しますが、それはまた別の扱いが必要になってきます。