投稿者: 恭平

重積分の定義と計算法、累次積分、変数変換と関数行列式について説明します。
微積分の中では、微分方程式・無限級数・偏微分の理論と並んで、応用数学でも重要です。

高校数学での１変数の積分の定義と公式は別途に詳しく説明しています。

重積分の物理学での応用としては、例えば電磁気学等で使うガウスの発散定理があります。

重積分とは「多変数関数に対する積分」

重積分とは、多変数関数に対する積分です。定積分・不定積分の両方があります。２変数の時を２重積分、３変数の時を３重積分、ｎ変数の時をｎ重積分（あるいは「多重積分」）・・と、言う事もあります。

■ 重積分の定義と表記方法
■ 積分領域が長方形ではない場合の考え方と処理
■ 重積分の簡単な計算：累次積分による例
■ 重積分と面積・体積との関係　

重積分の定義と表記方法

多変数関数Ｆ(x,y,z,・・)をｘ、ｙ、ｚ、・・のそれぞれで積分する計算を重積分と言います。
単純化のため、ここでは２変数関数Ｆ(x,y) を例にします。

計算の仕方の結論を先に言ってしまいますと、まずｘだけで積分の計算を行い、その後でｙについて積分の計算を行います。ｙの積分を先に行ってからｘで積分しても同じ結果になります。

1. まず最初は、ｙなどの変数は定数とみなしてｘで積分計算。
2. ｘに関して定積分の値を代入したら、今度はｙで積分計算。

変数を増やした場合でも表記方法は２変数の場合に準じます。
例えば３変数なら次のようになります。

$$ 定積分：\int_{z1}^{z2} \int_{y1}^{y2}\int_{x1}^{x2}F(x,y,z)dxdydz \hspace{10pt}不定積分\int \int\int F(x,y,z)dxdydz$$

積分領域が長方形ではない場合の考え方と処理

まず、いずれかの変数をもう１つの変数の関数として表して、それを区間とします。
つまり、ｘとｙの２変数で重積分をする時に、まずｘで積分をするとすれば領域の端を構成する曲線をｙの関数ｘ_１＝ｘ_１(ｙ)、ｘ_２＝ｘ_２(ｙ)として区間としておきます。

次に、ｙを定数とみなして原始関数を式で表せたとします。
その式のｘの部分に、通常の定積分計算のようにｘ＝ｘ_２(ｙ)とｘ＝ｘ_１(ｙ)を代入をして引き算します。
【例えばｘ＝２ｙであるとかｘ＝ｙ^２であるといった形を直接代入します。】
その計算の結果、変数ｘは全て消えてｙだけの関数になります。

最後に残った変数については、定数の区間の定積分を実行します。

３変数以上の場合でも考え方は同じで、変数をｘ、ｙ、ｚとして積分する場合には、最初に積分をする変数の区間は２変数関数として表され、２番目に積分する変数は区間が１変数関数で表され、最後に残った変数は区間が定数という形になります。

例えば、ｘ＝ｙ_^２とｘ＝２ｙで囲まれる領域を積分範囲を考えたとしましょう。この時に、ｙに関しては閉区間 [０,２]を考えるとします。その領域上でてきとうな２変数関数Ｆ(ｘ,ｙ)があったとして、まずｘで積分をする前提であるなら重積分は次のように計算します。

$$\int_{y1}^{y2}\int_{x1}^{x2}F(x,y)dxdy=\int_0^2\int_{\large{y^2}}^{\large{2y}}F(x,y)dxdy$$

一度そのように具体的な関数を区間に代入して表した場合には、積分の順番はｘ→ｙのようにきちんと決めて計算を行います。

$$つまり、\int_0^2\left(\int_{\large{y^2}}^{\large{2y}}F(x,y)dx\right)dyのような形で計算を行います。$$

重積分の簡単な計算：累次積分による例

もう少し簡単な例として、てきとうな２変数関数としてF(x, y) ＝ xy というものを考えて、重積分してみましょう。

この時、定積分の場合は x の範囲と y の範囲の両方が指定される必要があります。ここでは、例として x の積分区間は [0, 1]、y の積分区間は [4, 5] という範囲であるとします。【つまり積分する領域が長方形である場合です。】
【★数学では、この２つの範囲を表記する為に [0, 1] × [4, 5] と書く場合があります。この場合の「×」記号は、掛け算ではなくて「直積集合」を表すための記号です。】

では、その設定で重積分してみます。

$$ \int_{4}^{5}\int_{0}^{1} F(x, y) dxdy＝ \int_{4}^{5}\int_{1}^{2} xy dxdy = \int_{4}^{5} \left[\frac{yx^2}{2}\right]_0^1dy= \int_{4}^{5} \frac{y}{2}dy=\left[\frac{y^2}{4}\right]_4^5=\frac{9}{4} $$

まずｙを定数とみなして計算を進める事がポイントです。
１変数の積分の計算さえできれば、計算の考え方としては難しくないはずです。

重積分と面積・体積との関係

１変数の関数の積分には、グラフで表した関数の「面積」という意味がありました。

では多変数の重積分には何の意味があるかというと、２変数関数の重積分には「体積」としての意味があります。この時、積分変数の側のｄｘｄｙを面積要素と呼ぶ事があり、物理などで用いる場合はｄＳと書く場合もあります。(Ｓ は surface の頭文字です。)
◆参考：ベクトル解析における法線面積分の考え方

ｘとｙが直交座標の変数であるとき、ｄｘｄｙは（微小な）長方形の面積というわけです。累次積分によって重積分を計算する場合は、１回目にｘで積分することで、各ｄｙに対する非常に薄い板のような立体ができあがり、それをｙで積分して全体の体積になるというイメージです。

他方、３変数関数の重積分の場合は、空間上に分布する何らかの値を、特定の領域全体に渡って合計したものという意味があります。この場合、ｄｘｄｙｄｚを体積要素と呼ぶ事があり、物理などではｄｖで表記する事もあります。（ｖは volume の頭文字。）

１変数の積分にも言える事ですが、多変数の重積分においても、不定積分がうまく導出できない場合があります。しかし、積分は「和」の極限値であり、近似できるという考え方によって、コンピュータ（プログラミング）による「数値計算」で積分値を計算する事が可能です。

変数が増えても、物理的な意味付けができる場合には dX₁dX₂dX₃dX₄・・・といった積分変数の積を考えて重積分を行う場合もあります。

重積分の変数変換論

重積分の積分変数の変換は、偏微分の理論と深い関係があります。

■ 変数変換の公式と、基本的な考え方：曲線に沿った積分
■ 変数変換の理論と関数行列式：２変数の場合
■ ３変数以上の場合の重積分の変数変換　

変数変換の公式と、基本的な考え方：曲線に沿った積分

通常の重積分を累次積分で計算する時には、まずｘ軸に沿って関数の積分値を、各ｙの値に対して計算し、次にｙ軸に沿って積分をするわけです。

そこで、ｘ＝２ｕ＋ｖ, ｙ＝ ｕ＋３ｖ　のような変数変換をするとします。この時、ｘとｙではなくてｕとｖで積分する事を考えてみます。

この場合、 じつはｘｙ平面上の「ｕ曲線」と「ｖ曲線」に沿って積分を行う事になります。上記のように変数変換がｕとｖの１次式である場合は曲線ではなく直線になりますから斜交座標のようなります。

物理などで使われる変換の代表的なものは、極座標変換です。この場合、ｘ＝ｒcosθ,　ｙ＝ｒsinθ　という変換を行いますが、ｒとθで積分をする場合には θ 曲線（ｒが一定：つまり同心円）とｒ曲線（θが一定：つまり原点から伸びる放射状の直線）に沿って重積分を行うというわけです。

ただし、変換の式を直接代入するだけではじつは不十分で、次に述べますように「関数行列式」と呼ばれるものを掛け算しないと、計算がうまく行かないのです。

変数変換の理論と関数行列式：２変数の場合

１変数の積分での ｘ＝ｘ（ｔ） という変数変換では、積分時に（ｄｘ／ｄｔ）というオマケが必ずついてきました。では、多変数の重積分の場合は、このオマケの部分はどうなるのでしょうか？

この場合は、ｘ＝ｘ（u、v）, ｙ＝ｙ（u, v）である時の長方形の面積 ｄｕｄｖと、それに対応するｘｙ平面での領域の面積比が、積分計算の時に必ず乗じられるのです。この計算を行うには、偏微分を用います。

平面の領域にてきとうにたくさんの点を打って結び合わせる事で、領域を小さな三角形の集まりに近似できます。（もちろん数学的には、正確な領域の面積との差を無限に小さくできるという事です。）

今、それらの点がｘｙ平面上のｕ曲線、ｖ曲線上に打たれていると考えます。 ｕ曲線とｖ曲線を、非常に細かい「折れ線」であると考えます。
ここでのポイントは、１つ１つの微小な線分を「偏微分係数」であると考える事です。ｄｕに対してｘ方向には （∂ｘ／∂ｕ）ｄｕ 、ｙ方向には（∂ｙ／∂ｕ）ｄｕの変化があるベクトルが伸びるわけです。【具体的な点では偏導関数の変数に値を代入。】これは図で考えたほうが分かりやすいと思います。

すると、各点から始まる微小三角形の面積は、平面ベクトルの公式（ベクトルによる平行四辺形の面積公式）により、次のように表せる事が分かります：

この関数行列式は、某学者のイニシャルをとってＪで表記する事もあります。

◆行列式の定義については、２変数は簡単ですが３変数以上は多少込み入った考え方をします。ただし、そのように定義する事によって、いくつかの行列式の公式が成立したりします。

十分小さな微小三角形の面積と、その領域上のある関数の値を掛け合わせて全て加え合わせたものが定積分の値であり、その値は積分を微分の逆演算と考えて計算した値と等しくなるという事は、１変数の積分と全く同じです。まとめると、２変数の場合の重積分の変数変換の公式は次のようになります：

尚、証明はやや複雑になりますが、三角形ではなく「平行四辺形」で考える事も可能です。

３変数以上の場合の重積分の変数変換

さて、では３変数の時に ｘ＝ｘ（u, v, w）, ｙ＝ｙ （u, v, w） , ｚ＝ （u, v, w ） という変換をする場合や、４変数、５変数になった場合はどうなるのでしょうか。

この場合、式自体は変数が増えるごとにどんどん複雑になっていって手計算では手に負えなくなりますが、じつは一応規則性はあるのです。結論を言いますと、「ｎ変数→別のｎ変数」の変換に対しては、ｎ次の関数行列式を乗じればいいのです。２変数の場合は２次の関数行列式というわけです。

この場合の関数行列式の作り方は、行列の行の部分にｘ、ｙ、ｚ、・・を対応させ、列の部分に対して偏微分する変数ｕ、ｖ、ｗ、・・を対応させ、行列式を作るという形になります。
３変数の場合は、次の形の行列式を考える事になります：

$$\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)} \right|=\Large{\left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial w}\\ \frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial z}{\partial u}&\frac{\partial z}{\partial v}&\frac{\partial z}{\partial w}\end{array}\right| }$$

３変数の場合には空間上の４点を結ぶ事で４面体の集まりとして近似する事が（必ず）できますが、じつは３次元空間での「平行６面体の体積」が行列式の形でうまく表現できるという命題があります。
そこで、ｄｕｄｖｄｗという「立方体」の体積と、対応するｘｙｚ空間上の領域の体積比がうまい具合に関数行列式で表せるというわけです。４変数以上の場合は図にはうまく描けなくなりますが、考え方としては同じで、ｄｕｄｖｄｗｄｔといった量と、対応する領域の量の比を考えるわけです。

ただし、これは数学的な理論としてはそうなるという事であり、実際問題として４次以上の重積分の変数変換を「手計算」でひたすらやるという作業は、応用上も純粋数学上もほとんどないと言ってよいかと思います。他方で、関数行列式を展開せずにそのままの形で数学的な議論を進める場合や、数値計算を行う場合にはｎ変数の重積分の変数変換が使われる事もあります。

物理では重積分はどう使われる？

物理で重積分を累次積分で計算する時は、変数変換してから計算する事が比較的多いかもしれません。ただし、変換の仕方は、基本的には極座標や円柱座標などの分かりやすいものが多いです。
（※理論を複雑にしてしまうと応用上の変数変換のメリットがないので、基本的に、式と計算を簡単にするために変数変換を行います。）

また、具体的な定積分の数値の計算はせずに種々の公式や命題を用いて延々と式変形を進めて、最終的には積分の計算が必要なくなる式を理論的に得てから、計算をするという事もよくあります。

例えば、電磁気学では重積分の形の式が非常に多く用いられますが、直接的に重積分を計算するというよりは、モデルの作り方を工夫 する （例えば領域を球面に選ぶなど）事によって、場面に応じて使える公式を得る目的で用いられます。
コンデンサーやソレノイドに対して成立する式などは平易なものですが、おおもとの形には多変数の微分や積分が含まれており、特別な場合をうまく考える事によって式を簡単にしているのです。

今回は、全微分という、少し聞きなれないかもしれない考え方について説明します。これは、前回の偏微分の理論と直接的に関係するものです。全微分の考え方を述べた後に、物理の熱力学での応用について述べます。

英名では、全微分は exact differential あるいは total differential と言います。

★ このページでは、「関数」と言ったら全て（偏）微分可能な関数の事を指す事にします。そのため、「連続な」「偏微分可能な」といった表現は基本的に省略いたします。解析学的に見る場合は、それらの考察も重要になります。

「全微分」とは何か？定義と考え方・偏微分との関係

初めに、数学的な定義と考え方です。本質的に、偏微分と深い関わりがあります。

■ 全微分の定義　単独で表れるｄＦ、ｄｘ、・・
■ 全微分と「合成関数に対する偏微分の公式」との関係
■ １変数の場合の dＦ や dx の元々の数学的意味は？　

全微分の定義　単独で表れるｄＦ、ｄｘ、・・

全微分とは多変数関数について定義されます。多変数関数に関しては偏微分を考える事ができますが、この偏微分による偏導関数を用いて全微分は定義されます。

この「ｄＦ」が単独で表現される事に違和感を覚えるかもしれません。実際、このままでは具体的な関数の微分計算はできません。例えば、具体的な関数 \(F(x) =e^x\) に対して dF というものを考えたとしても、それは \(dF=d(e^x)\) とだけしか表現のしようのない物でそれ以上計算はできません。導関数として計算できるのは、あくまでｄＦ／ｄｘです。

では、上記定義で表される「全微分」とは何の意味があるのでしょう？この定義の計算としての意味は、じつは合成関数に対する偏微分の公式です。

全微分と「合成関数に対する偏微分の公式」との関係

全微分の定義には偏微分が含まれていますが、本質的に、偏微分について成立する公式と直接的な対応を持っています。合成関数に対する偏微分の公式は、ｘ、ｙ、ｚ・・の各変数が、別の１つだけの変数の関数である場合は次のようになります。

さて、これを全微分の定義の式と見比べてみましょう。
すると、形式的には「全微分の定義」の式について「両辺をdtで割った」形を考えてみるとぴったりと偏微分の公式に一致する事が分かるでしょうか？
じつは全微分の定義にはこのような「意味」があるわけなのです。

多変数関数が常に合成関数として扱えるという保証はないわけですが、具体的な計算を考える時に意味を持つのは合成関数に対する偏微分の公式のほうです。

それを踏まえたうえで、多変数関数に対する全微分を考える事は割と多くあり、特に物理では使用する事が多いです。

１変数の場合の dＦ や dx の元々の数学的意味は？

物理などの応用で使う場合は、dF や dx という表記を単独で用いる場合は「微小量」を表す事が多いです。ただし、じつは数学の解析学的にもきちんと意味があります。

上記のように 多変数関数Ｆ（ｘ，ｙ，・・）に対する「全微分」ｄＦが定義されるわけですが、じつは１変数関数Ｆ（ｘ）に対しても同様にｄＦという単独の表記にも解析学での定義があります。

解析学的には、ｄＦやｄｘというのは、
じつは本来は、ある点を新しい原点として設定した時の座標軸の変数です。

その新しい原点での、関数Ｆ（ｘ）に対する接線の傾きをＡとして、
ｄＦ＝Ａ(ｄｘ)
という１次式を考えます。この１次式は、近似１次式とも呼ばれます。
解析学的に厳密には、この時のｄＦの事を１変数関数におけるＦ（ｘ）の微分と言うのです。
この意味では、接線の傾きは「割り算」によって「Ａ＝（ｄＦ）／（ｄｘ）」という事になります。

ただし、導関数として ｄＦ／ｄｘと書く時は、あくまで極限値としての導関数として、
ｄＦ／ｄｘ という表記全体で１つの意味を持つ事にしています。
（導関数に具体的な値を代入したものを微分係数と呼ばれます。）
こういった事が、決め事として少々分かりにくいところかもしれません。

じつは全微分の定義とは、この意味で用いられているものなのです。すなわち、多変数関数に対しても同様に、ｄＦ＝Ａ（ｄｘ）＋Ｂ（ｄｙ）＋Ｃ（ｄｚ）＋・・を考えるという意味です。２変数関数の場合は、３次元座標での「接平面」を考えている事になります。
★ 上記でも触れましたが、多変数の場合でも「微分」と言ってしまう場合もあります。しかしこのサイトでは、基本的に多変数の場合は「全微分」と呼ぶ事にします。

この時に、１変数関数の場合には接線の傾きと考えていたものについて、多変数関数の場合は各変数に沿った傾きとするわけです。座標上の具体的な点においては、偏導関数に特定の値を代入した偏微分係数が各傾きになります。
すなわち上の式で、Ａ＝∂Ｆ／∂ｘ、Ｂ＝∂Ｆ／∂ｙ、Ｃ＝∂Ｆ／∂ｚ、・・という事です。
意味としては、こういう事なのです。

重要公式：積の形の関数に対する全微分

２つの多変数関数Ｆ（x,y,z,・・）と Ｇ（x,y,z,・・）の積【掛け算】ＦＧに対する全微分ｄ（ＦＧ）を考えてみます。結論を先に言うと、１変数の微分の時の積の微分の時と同じ形の式が成立します。これも、物理での応用で使われます。

■ 積の形の関数に対する全微分の公式
■ 証明に必要な事： 積の形の関数に対する偏微分
■ 積の形の全微分の式の証明　

積の形の関数に対する全微分の公式

積の形の関数に対する全微分については、通常の１変数関数の場合の、積に関する微分公式同様の式が成立します。
これは数学の解析学ではそれほど重要な式ではありませんが、物理では使う事があるので述べておきましょう。

この公式が成立する事を示すには、「積の形の関数に対する偏微分」がどのように表されるかという事が問題になります。ただ、この問題はじつは難しくなくて、１変数の時と同じように考える事が出来ます。

証明に必要な事： 積の形の関数に対する偏微分

偏微分に関して、積の形に対する計算は通常の微分の場合と同じく次式が成立します。

$$\frac{\partial }{\partial x}(FG)= \frac{\partial F }{\partial x} G+ \frac{\partial G } {\partial x} F$$

これに対する証明は、（合成関数の場合とは違って）１変数の場合の積に対する微分公式と全く同じです。プラスマイナスでゼロになる２つの項を加える事で証明できます。式の形を見ると、本質的に１変数の時と同じである事が分かります。
２変数の場合を記しますが、何変数でも同じです。

$$ \frac{\partial }{\partial x}(F(x,y)G(x,y))= \lim_{h\to 0}\frac{F(x+h,y,)G(x+h,y)-F(x,y)G(x,y)}{h}$$

$$= \lim_{h\to 0} \frac{F(x+h,y)G(x+h,y)-F(x,y)G(x+h,y)+\{ F(x,y)G(x+h,y)- F(x,y)G(x,y)\}}{h} $$

$$= \lim_{h\to 0} G(x+h,y) \frac {F(x+h,y) – F(x,y)}{h}+ \lim_{h\to 0} F(x,y) \frac {G(x+h,y) – G(x,y)}{h}$$

$$= \frac{\partial F }{\partial x} G(x,y)+ \frac{\partial G }{\partial x} F(x,y)【証明終り】 $$

このように、１変数の時と同じです。

積の形の全微分の式の証明

では、関数が積の形の場合の全微分の式の「証明」について見てみましょう。
こういう場合、上記の定義のＦの部分に（ＦＧ）という積の形をそのまま入れて、計算が可能であれば進めていって公式を得るという方法をとります。すると、よく見ると積の部分は偏微分の計算さえできればよい事が分かります。

積の形になっている部分の偏微分を、１変数の時と同じ要領で計算していきましょう。すると・・・・。

$$d(FG)=\frac {\partial (FG) }{\partial x}dx+ \frac {\partial (FG) }{\partial y}dy$$

$$= \left(\frac{\partial F }{\partial x} G+ \frac{\partial G }{\partial x} F\right) dx+ \left(\frac{\partial F }{\partial y} G+ \frac{\partial G }{\partial y} F\right) dy$$

$$ = \left(\frac{\partial F }{\partial x}dx + \frac{\partial F }{\partial y}dy \right)G+ \left(\frac{\partial G }{\partial x}dx + \frac{\partial G }{\partial y}dy \right)F=(dF)G+(dG)F 【証明終り】$$

このように、偏微分に関して積の計算をした後、上手にＦとＧに関してまとめると、ｄＦとｄＧの定義の形が出てくるので d(FG)＝(dF)G+(dG)F という形にまとまるわけです。

つまり、結果として、多変数関数に対する全微分も、積の形の関数に対しては
１変数関数や偏微分の場合と同じ形になる、という事です。

じつは、合成関数の偏微分に対して積の形の場合を計算して対応させると考えても同じ結果を得ます。
その場合の計算も記しておきましょう。
（上記と同じく、x,y はｔだけの関数とします。つまり∂ｘ／∂ｔ＝ｄｘ／ｄｔです。）

$$\frac{d(FG)}{dt}=\frac {\partial (FG) }{\partial x}\frac{dx}{dt}+ \frac {\partial (FG) }{\partial y}dy$$

$$= \left(\frac{\partial F }{\partial x} G+ \frac{\partial G }{\partial x} F\right) \frac{dx}{dt} + \left(\frac{\partial F }{\partial y} G+ \frac{\partial G }{\partial y} F\right) \frac{dy}{dt} $$

$$= \left(\frac{\partial F }{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial F }{\partial y} \frac{dy}{dt} \right)G+ \left(\frac{\partial G }{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial G }{\partial y} \frac{dy}{dt} \right)F= \frac{dF}{dt} G+ \frac{dG}{dt} F $$

得られた式から形式的にｄｔの部分を除くと、積の形に対する全微分の式にちょうど対応します。

物理での使い方：熱力学での例

全微分の形で議論を進める分野の１つの例として、初歩的な熱力学の理論について述べます。

■ 熱力学での色々な変数
■ 内部エネルギー変化ｄＵの計算　全微分と偏微分の関係の利用
■ エンタルピーＨの変化量ｄＨ と積に対する全微分の式　

熱力学での色々な変数

熱力学とは、通常の力学や電磁気学とは少し性質が異なり、どちらかというと物理化学などの分野と相性がよい領域です。熱力学では、ある「系」（例えば容器に入った気体）について、まず次の量を考えます。

• 体積Ｖ
• 圧力Ｐ
• 温度Ｔ【これは、いわゆる絶対温度で、０[℃]を298[K]とします。】
• 内部エネルギーＵ

また、これらを組み合わせた量や、系に出入りする「熱」（温度とは別）も考えます。

• 熱 ｑ
• 仕事 ｗ【本質的には力学での仕事と同じものです。】
• エンタルピー H＝U+PV【主に発熱・吸熱として観測できる量です。】
• エントロピーＳ ・・dS = Δq ／T なるＳとして定義

これらの変化量を dV 、dP などの全微分の形で表記して議論を進めます。物理でこれらを考える場合には時間という変数で微分・積分が可能と考えられますからｄｖ／ｄｔなどを考えても同じ事ですが、導関数ではなくて全微分の形で話を進めてしまう事が普通です。

上記の量のうち、「エントロピー」（記号Ｓ）というものだけが妙な定義のされ方をされているように見えるかと思いますが、これで計算を行うという理論になります。意味としては、系の「乱雑さ」の度合いを表す量です。

$$積分によりS=\int_{T1}^{T2 } \frac{Δq}{T} dTとも表せます。【このページでは、あまり関係ありません。】$$

「エンタルピー」という量（記号Ｈ）も少し分かりにくいかもしれませんが、定圧条件（dP＝０）で ｄＨ＝Δｑ となり、発熱・吸熱として比較的観測しやすい量なので敢えて定義されるものになります。

内部エネルギー変化ｄＵの計算　全微分と偏微分の関係の利用

まず、内部エネルギーの「変化」を考えます。つまり、Ｕに対してｄＵを考えるわけです。このｄＵは、全微分です。しかし最初は、上記の全微分の定義は直接的には使わずに少しだけ計算を進めます。いくらか変形した後で適用する箇所があります。

物理的な考察から、ｄＵ＝Δｑ ＋ Δｗ 　と書いておきます。※ｄｗ、ｄｑと書いてもよいのですが、非状態量である事を強調して区別する事が多いです。

意味としては、外部からの圧力で仕事がされた、外部から熱が入ってきたという状況です。（あるいは膨張などで外部に仕事をした・熱が外に出て行ったなど。）

ここで、まずΔｗ＝－ (dV)P の関係があります。
これは、等圧（ｄｐ＝０）の条件下で、次の仮定でのモデルを考える事によります：

• 系が外部に仕事をした時は体積が増える。
• その分、内部エネルギーは減る。（温度は下がる。）

逆に、逆に外部から仕事をされた場合は体積は減りますが内部エネルギーは増えます。

また、熱の変化Δｑに関しては、
ｄＳ＝Δｑ／Ｔ　⇔　Δｑ＝（ｄＳ）Ｔ
の関係からエントロピーでの表記に直します。

組み合わせて、ｄＵ＝（ｄＳ）Ｔ －（ｄＶ）P という関係式を作っておきます。

数学的な全微分の定義の式を直接使って考察をするのはここからです。

ここで、Ｕが多変数関数Ｕ(Ｓ,Ｖ,・・)であるとして、
さらに「等圧条件」ｄＰ＝０と「等温条件」ｄＴ＝０という場合を考えます。
（このように所定の条件を加えて考察する事が多いです。）
すると、全微分としては次のようにります。

$$dU＝\frac{\partial U}{\partial S}dS+\frac{\partial U}{\partial V}dV+\frac{\partial U}{\partial T}dT+\cdots= \frac{\partial U}{\partial S}dS+\frac{\partial U}{\partial V}dV $$

普通に全微分を考える際にはｄＰ、ｄＴを含めた項も含まれますが、ｄＰ＝０、ｄＴ＝０【圧力、温度の変化は無し】という条件を設けるので式が簡単になるわけです。

成立する２式を並べて書くと次のようになります。

この事から何が言えるでしょう？
結論を言いますと、Ｕに対するＳ，Ｖの偏導関数がそれぞれＴ、Ｐであると解釈がなされるのです。

ここから先も計算による考察が続くのですが、このページではここで止めておきます。

エンタルピーＨの変化量ｄＨ と積に対する全微分の式

次の例として、エンタルピーＨの変化量ｄＨを考えてみましょう。
これに対しては、積に対する全微分の式を用いるのです。

「エンタルピー」Ｈの定義は、Ｈ＝Ｕ＋ＰＶ です。も考えておきます。

次に、Ｈの変化量（全微分）を考えます。
これは ｄＨ＝ｄＵ＋ｄ(ＰＶ) になります。

ここで上記の「積の形に対する全微分」の公式を適用しましょう。
ＰＶという、圧力と体積の積になっている部分に対して適用します。すると、
ｄＨ＝ｄＵ＋ｄ(ＰＶ) ＝ ｄＵ＋(ｄＰ)Ｖ＋(ｄＶ)Ｐ
という形になるわけです。

前述でも触れましたように、この部分の計算は１変数関数の積に対する微分公式と同じ形になるので「通常の微分（変数は時間）」と捉えて計算しても結果的に差し支えない箇所です。
ただし、本質的にこれらのＰ、Ｖ、Ｕ、Ｓなどは多変数関数である事に注意も必要です。そのため、一応多変数関数の全微分と捉えたほうがよいとは思います。

この他に、Ａ＝Ｕ－ＴＳ、Ｇ＝Ｈ－ＴＳといった量を考えます。（いずれもエネルギーとして考えられます。）ｄＡやｄＧも、ｄＨと同じく積に関する全微分の式を考えて変形を行う事ができます。

熱力学というのは決して分かりやすい分野ではなく、この他にも色々な面倒な計算の理論があったりします。しかし、数学の偏微分や全微分の理論を踏まえておくと、初歩的な部分に関しては大分分かりやすくなるのではないかと思います。

参考文献・参考資料

■ 参考文献のリンクは、外部リンクになります。

• 
  微分積分学〈2〉多変数の微分積分
• 
  熱力学 (基礎物理学選書)
• 

この記事では、偏微分について説明します。

★ 英名は、「偏微分」の演算の事を partial differentiation、
偏微分によって得る「偏導関数」を partial derivative と言います。

この偏微分の考え方は、解析学・微分積分学的にも重要ですが、特に物理での応用で重要です。大学の物理学では割と初歩的な理論の中でも偏微分を普通に使いますので、ぜひ知っておきましょう。まずは記号に慣れていただく事が大事かと思います。
合成関数に対して成立する偏微分の公式も、
物理学の種々の分野の要所で用いられる重要公式です。

偏微分の定義と使い方

では、まず偏微分の定義と簡単な計算方法、物理等での基本的な使い方を見てみましょう。「偏『微分』」という名の通り、微分の仲間です。

■ 偏微分の定義　■ 偏微分の簡単な計算例　■ 物理での偏微分の使われ方の例　

偏微分の定義

偏微分の定義自体は非常に簡単で、要するに、多変数の関数において、「１つの変数だけに着目し、他の変数は定数とみなして微分の計算をする事」です。

偏導関数に特定の値を代入した「偏微分係数」は
$$\large \frac{\partial F}{\partial x}(a,b,c)\hspace{5pt}や\hspace{5pt}\partial xF(a,b,c)$$のように書きます。

偏微分の簡単な計算例

例として、てきとうな関数 F(x,y,z)= xy + z をｘで偏微分してみましょう。この時、ｙとｚは定数扱いにしてｘだけで「微分」すればよいのです。

$$\frac{\partial}{\partial x}F(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x} (xy + z) =y $$

この場合、xy の部分はｘでの偏微分ではｘの部分だけ微分してｙは定数係数扱いです。
ｚ項の部分はｘに関しては定数と考えて、
ｚをｘで偏微分すると０になるわけです。（∂／∂ｘ）ｚ＝０ という事です。
基本的な考え方は簡単ではないでしょうか？

もう１つ例として、極座標の形で表した関数の偏微分を考えてみます。Ｆ（ｒ,θ）＝ｒcos θ とします。これに対するｒの偏微分と、θの偏微分を考えてみましょう。

$$ \frac{\partial}{\partial r}F(r,\theta)= \frac{\partial}{\partial r} (r\cos \theta)= \cos \theta $$

$$ \frac{\partial}{\partial \theta}F(r,\theta)= \frac{\partial}{\partial \theta} (r\cos \theta)= -r\sin \theta $$

偏微分のラウンドディーの記号に慣れてないと難しく見えるかもしれませんが、やってる事は通常の微分と計算と同じなので、じつは単純なのです。

物理での偏微分の使われ方の例

物理では、関数が座標成分と時間の両方の関数である場合に、「時間だけの変化率」を考えたい時に時間による偏微分を行います。

例えば電磁誘導は磁場の変化（時間微分）によって起電力が発生するというものですが、
電場は時間以外に位置座標 x, y , z の関数でもあるので「時間変化」という事を明確にするために時間による偏微分で表現します。

$$電磁誘導の式：\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\hspace{10pt} \overrightarrow{E} ：電場　 \overrightarrow{B}：磁場【あるいは磁束密度】 $$

時間ではなくて位置座標による変化という事を明確にするのであれば、位置座標による偏微分を考えます。
例えば、磁場に関しては次の式が必ず成立します。 「単独で存在する磁荷」は無い事を表現します。

$$ \large \frac{ \partial B_X}{\partial x}+ \frac{ \partial B_Y}{\partial y} + \frac{ \partial B_Z}{\partial z} =0 \hspace{10pt} \overrightarrow{B}=(B_X,B_Y,B_Z) $$

このように、意味としては「どの変数に着目してるのか？」それを明示しているのが偏微分というものです。使われ方としては、基本的には単純なのです。
（※微分方程式の解き方も含めて、計算は面倒になる場合も確かにありますが、偏微分そのものが複雑な演算というわけではないという事です。）

工学の場合は、分野によってはそれほど偏微分の理論を使わずに通常の微分で大体足りるものも中にはありますが、物理では力学などの基礎的な部分も含めて、偏微分の考え方は非常に多く用います。

重要公式：合成関数に対する偏微分

合成関数を考える場合、じつは合成関数に対する偏微分の公式は、通常の１変数の時の合成関数の微分公式と形が異なります。この点を誤解すると物理などの理論で混乱を招くので、公式の形が変わるという点は偏微分の基礎理論の重要ポイントの１つです。

■ 多変数関数の合成関数の考え方　■ 合成関数に対する偏微分の公式　■ 公式の証明　

多変数関数の合成関数の考え方

１変数の場合、例えば F(x) に対して x = G(t) であれば F(G(t)) という合成関数になります。

これに対して、多変数の場合は、例えば F(x,y) について、ｘとｙのそれぞれについて、別の多変数 u, v を用いて x = X(u, v) , y = Y(u, v) で表し、
F(x,y) = F( X(u, v) , Y(u, v) ) となるという考え方をします。これは、慣れないと少し分かりにくいかもしれません。

考え方としては、３変数を２変数による合成関数として考えたり、２変数を３変数による合成関数と考える事もできます。

これは、例えば位置座標 x, y, z で表される関数を３次元の極座標で表すために r, θ, φ という別の３つの変数を用いた合成関数として表す事が可能です。（計算は、一般的に結構面倒くさくなります。）

合成関数に対する偏微分の公式

公式は、次の通りです。変数を１つだけと考えると、通常の合成関数の微分公式になります。

何変数でも同じ事ですが、例えば２変数に対して２変数による合成関数を考える時、つまり F(x,y) に対して x = X(u,v), y = Y(u,v) の時に、F に対して u, v で偏微分する時は次のようになります。

$$\frac{\partial}{\partial u}F(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$$

$$\frac{\partial}{\partial v}F(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}$$

１変数に対して別の１変数の合成関数であれば、次のように、通常の１変数の合成関数の公式と一致します。

$$１変数の場合は \frac{\partial}{\partial t}F(x)= \frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{dF}{dx} \frac{dx}{dt} $$

公式の証明

合成関数に対して偏微分を考える場合、なぜ和が出てくるのか？という話ですね。基本的の証明の方法は、１変数の場合の、積や商の微分公式の証明と似ています。プラスとマイナスがゼロになって「隠れている」項があるわけです。

証明は、偏微分の定義の式に戻って計算を進めます。１つの変数 u で偏微分する時は、v, w,・・等は計算に影響しないので、ここでの証明では v, w 等の記載を省かせていただきます。本質的には、それらの変数もあると思ってください。

$$F(X(u+h),Y(u+h),Z(u+h))-F(X(u),Y(u),Z(u))に対して、$$

$$F(X(u),Y(u+h),Z(u+h))- F(X(u),Y(u+h),Z(u+h)) および$$

$$F(X(u),Y(u),Z(u+h))- F(X(u),Y(u),Z(u+h)) を加えます。 $$

すると、Ｆに対する u の偏導関数は次の和の形になります。
途中で平均値の定理を用いていて、ｘに対して特定の値を代入している部分があります。

$$ \large \frac{\partial}{\partial u}F(x,y,z) $$

$$= \large \lim_{h\to 0}\frac{F(X(u+h),Y(u+h),Z(u+h))-F(X(u,v),Y(u,v),Z(u,v))}{h} $$

$$ \large =\lim_{h\to 0} \frac{F(X(u+h),Y(u+h),Z(u+h))- F(X(u),Y(u+h),Z(u+h))}{h} $$

$$ \large + \lim_{h\to 0} \frac {F(X(u),Y(u+h),Z(u+h))- F(X(u),Y(u),Z(u+h))}{h} $$

$$ \large + \lim_{h\to 0} \frac{F(X(u),Y(u),Z(u+h))- F(X(u),Y(u),Z(u))}{h} $$

$$ \large =\lim_{h\to 0} \frac {\{X(u+h)-X(u)\} \partial x F(\phi_X,Y(u+h),Z(u+h))}{h} 【平均値の定理】$$

$$ \large +\lim_{h\to 0} \frac {\{Y(u+h)-Y(u)\}\partial y F(X(u),\phi_Y,Z(u+h))}{h}$$

$$ \large +\lim_{h\to 0} \frac {\{Z(u+h)-Z(u)\} \partial z F(X(u),Y(u), \phi_Z) }{h}$$

$$ \large =\lim_{h\to 0} \left\{\frac {X(u+h)-X(u)}{h} \partial x F(\phi_X,Y(u+h),Z(u+h))\right\} $$

$$ \large +\lim_{h\to 0} \left\{\frac {Y(u+h)-Y(u)}{h} \partial x F(X(u),\phi_Y,Z(u+h))\right\} $$

$$ \large +\lim_{h\to 0} \left\{\frac {Z(u+h)-Z(u)}{h} \partial x F(X(u),Y(u),\phi_Z)\right\} $$

$$ \large = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial F}{\partial z}= \frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u} 【証明終り】$$

一番最後のところは掛け算の順番を入れ替えて書き直しただけです。

１変数の場合は上記のようにプラスマイナス０を利用した項の付け加えが必要なかったので、和の形ではなく１項だけになります。

合成関数の偏微分は物理の中では様々な箇所で用いられますが、例えば全微分というものとの関連で熱力学や流体力学の理論で用いたり、リーマン幾何学との関連で相対論で計算を考える時もあります。また、基本分野の古典力学の理論でも使用する事があります。得られた結果は電磁気学等でも使用します。

★ 関連記事：偏微分の応用の例：位置エネルギーと保存力の関係

今回は、高階微分と、その応用として重要なテイラー展開、マクローリン展開と呼ばれる無限級数展開について説明します。大学で物理や工学を学ぶ場合などは、非常に重要となる項目です。

★このページの中盤以降では、マクローリン展開の事は Mcl .展開と略記します。

まず、高階微分について簡単に説明し、その応用としてテイラー展開とマクローリン展開について述べます。最後に、関数がテイラー展開可能である条件として、数学的には剰余項と呼ばれるものが収束する必要があるので、その問題について述べます【これは数学上の問題で、物理等にはあまり関係のない問題です】。

後半、数学的にかなり詳しく述べている部分もありますが、詳しい証明や導出を知りたい人向けです。
そうでない場合は参考までに眺めていただければじゅうぶんです。

高階微分とは？

「高階微分」＝「１つの関数を何度も微分する事」です。意味としては簡単ですので具体例などを見てみましょう。記号で書かれるとややこしく見えるところにだけ注意しましょう。

■ ２階微分とは？高階微分（２階微分、３階微分・・）について
■ 極限としての２階微分（２階導関数）および高階導関数の定義

２階微分とは？高階微分（２階微分、３階微分・・）について

２階微分とは、「２回」微分操作をするという事です。 同じく、３回微分操作した場合を３階微分、ｎ回微分したも場合をｎ階微分と言い、まとめて高階微分と呼びます。導関数については、「ｎ階導関数」のように表現します。
※たまたま日本語では「２階」と「２回」が同じ読み方なのでどちらで表現してもほとんど誤解はないと思いますが、一応用語としては区別されています。

例えば sin x の通常の微分（１階微分）は cos x ですが、
２階微分は -sin x で、３階微分は -cos x 、４階微分は sin x です。

1. sin x → cos x　[1回目の微分（＝通常の微分、１階微分）]
2. cos x → -sin x　[2回目の微分（＝２階微分）]
3. -sin x → -cos x　[3回目の微分（＝３階微分）]
4. -cos x → sin x　[4回目の微分（＝４階微分）]※元の関数に戻るわけです。

\(x^2\)の通常の微分（１階微分）は 2x であるわけですが、
２階微分は 2 で、３階微分は 0 です。（４階以上の微分も、全て 0 です。）

1. \(x^2 \rightarrow 2x\)　[1階微分]
2. 2x → 2　[２階微分]
3. 2 → 0　[３階微分]※定数の微分ですから、０ですね。

\(e^x\)は、１回微分すると \(e^x\) で元の関数と同じなので、
それをさらに微分した２階導関数も３階導関数も、全ての高階導関数について同じ形で \(e^x\) です。

このように、続けて公式を適用していけばいいだけなので、計算としては特別難しいものではありません。

ただ、数式としての表記方法だけ見ると、慣れないと少し難しく「見える」かもしれません。 しかし、意味するものは通常の微分の延長にあるだけという事が分かると、なじみやすいかと思います。

極限としての２階微分（２階導関数）および高階導関数の定義

極限として２階微分を考えた時の定義は次のようになります。「通常の微分（導関数）」をさらに微分するわけですので、１階微分の定義の関数の部分に、１階導関数を当てはめれば２階微分により得る２階導関数になります。

高階導関数の表記方法を用いると、具体的な初等関数の２階微分やｎ階微分も、 $$\frac{d^2}{dx^2}\sin x=\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\hspace{10pt}\frac{d^n}{dx^n}e^x=e^x$$ ・・というふうに書けます。こういう書き方をすると難しく見えてしまうかもしれませんが、
重要なのは「決められた回数だけ微分操作を繰り返している」という事なのです。
もしとっつきにくいと感じた方も、そのように易しい形で理解していただければと思います。

テイラー展開とマクローリン展開

高階微分の応用として重要なテイラー展開とマクローリン展開について述べましょう。
数学的には、１段階前のテイラー公式というものがある事が重要です。

微分法はそもそも、関数のある点の近傍における近似１次式としての意味があります。そこで、１次式だけでなく、２次式、３次式の近似や、最終的には無限項の多項式で関数を近似しようという発想で、関数を多項式によって無限級数展開するのが、テイラー展開です。（平均値の定理の拡張と見る事もできます。）

■ テイラー展開とは？　■ マクローリン展開の一覧表　■ テイラー公式の証明

関数の x = a における「テイラー展開」とは？

このテイラー展開では、通常の微分と、高階微分による微分係数（x = a におけるf'(a), f”(a)など）が用いられます。一見とっつきにくいかもしれませんが、具体的な初等関数のテイラー展開は、このページの前半でも述べた微分公式を使って係数を出していけばいいだけですので、決して難しいわけではありません。

テイラー展開の式に \(a=0\)を代入したものがマクローリン展開と呼ばれる公式です。

★以下、マクローリン展開の事は Mcl .展開と略記します。

Mcl . 展開は、「テイラー展開の中でも、特によく用いられる形」・・という事になりますが、その理由は単純で、式の形が簡易になるためです。x = 0 という使いやすい場所での計算をしたいがため、物理などでも多く使われるのです。
物理等では、よほどの精度を求めない限り、３次や４次などの高階の部分は「ほとんど０」とみなせる場合をわざと考察する事も多いです。

指数関数や三角関数の Mcl .展開は、物理等への応用でも純粋数学的にも重要です。
例えば、ほんの１例ですが、自然対数の底 e の値が2.718・・である事や無理数・超越数である事の証明には Mcl .展開を用います。半端な変数における三角関数の具体的な値を知るのにも Mcl .展開を使えます。

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$$

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$$

参考までに、テイラー展開には、大学数学の解析学的には「一意性」がある事が重要です。どういう事かと言いますと、同じ「『多項式の形』の無限級数」（整級数と言います）で表される関数がある場合、同じ関数を表すのであれば、各\(x, x^2, x^3, \cdots\)の係数の表し方は「１通りしかない」という数学的事実があるのです。
（※微分以外の方法では決して表せないという事ではなくて、微分以外の方法で表せたとしても、じつは微分で表したテイラー展開に一致する、という意味です。）
これは、微分の範囲を複素数まで広げた場合などで、結構理論的には重要になります。

マクローリン展開の一覧表

物理等では重要なので、主要な初等関数の Mcl. 展開をいくつか表にまとめてあります。x = 0 での f(0) と、微分係数 f ‘ (0), f ‘ ‘ (0),・・を具体的に計算し、 Mcl. 展開の式に代入すれば公式が得られます。
表にある「収束半径」とは、無限級数が有限の値に収束する「変数 x の範囲」の事で、ここでのより具体的な意味としては剰余項が収束するかという事です。これについては、初等関数の中でも、あまり気にしなくてよいものと、気にしたほうがよいものがあります。

テイラー展開の式は、どのように導出する？？

証明の方法はいくつかありますが、ここでは積分の公式である「部分積分」を使う方法を、述べます。（積分区間に変数を含んだ形の計算になるので注意してください。

ここで具体的に述べますのは、「剰余項」を含んだ「テイラー公式」の証明です。
そして個々の関数について、剰余項が n→∞ でゼロになる事を示して個々の関数についてのテイラー展開と Mcl. 展開が証明されるという流れです。剰余項の収束問題については後述します。

この他に、計算は結構面倒なのですが、逆三角関数の Mcl.展開はじつは数学的には特徴的な形になって、円周率を表す式の導出に使えたります。ただしこれは、物理等への応用ではあまり重要ではないです。

剰余項の収束問題

上記のような部分積分による方法でも他の方法でも、テイラー展開を導出すると最後のｎを含んだオマケの項である「剰余項」がくっついてきます。

結論を言うと指数関数や三角関数などの初等関数においては剰余項はｎ→∞で０に収束するので、無限級数の形で問題なくテイラー展開・ Mcl.展開を、使う事ができます。ここでは、その事の証明を記しておきます。結構面倒な部分も含まれるので、参考までに見てください。

■ \(e^x,\sin x,\cos x\) の剰余項の収束問題　■ 関数 \((1+x)^{\alpha}\) の剰余項の収束問題

\(e^x,\sin x,\cos x\) の剰余項の収束問題

上記で、理論的にはまずテイラー公式というものがあって、ｎ→∞で剰余項が０に収束するものが「テイラー展開可能」という事でした。

e の指数関数や三角関数については、剰余項が収束する事を証明してみましょう。

前半でも触れましたように e の指数関数や三角関数はｎ階導関数を容易に表せます。これによってまず、剰余項のｎ階微分のところが具体的になります。
まず最初は、e の指数関数です。

$$e^x のテイラー公式の積分型の剰余項は：R_n(x)=\int_a^x\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}e^tdt$$

$$注目すべきところはｎに関する部分、つまり \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}です。$$

具体的な関数の部分については各々の変数について「ｎに関しては定数」という扱いになり、積分も各々のｘに対して有限の区間内の定積分とみなせますから、積分の中身がｎ→∞で０に収束すれば定積分も０に収束するのです。

$$よって、\lim_{n\to \infty}\frac{x^n}{n!}=0を示せばよく、 $$

$$それによりe^x は全実数の範囲でテイラー展開可能である事が示されます。 $$

ｎをじゅうぶん大きくすればおそらく０に収束する「だろう」事が予想されますが、具体的にそれを示しましょう。まずｘが正の範囲の時に示します。ｘよりも大きいてきとうな自然数 Ｍを考えます。n＝２Ｍを考えると、分母には、Ｍ＋１、Ｍ＋２、・・Ｍ＋Ｍという、Ｍ個のＭより大きい数が因数として含まれています。

他方、分子にあるのはＭよりも小さいｘという正の実数のＭ乗です。この時点でまず分子よりも分母が確実に大きい事が分かりますが、このｎ＝ ２Ｍよりもさらにｎを大きくすると、ｎが１増えるごとに分子はｘが１つ乗じられ、分母は２Ｍ＋１、２Ｍ＋２、・・などの数が乗じられます。つまり、ｎを大きくすれば、どのような小さい正の実数よりも \(\frac{x^n}{n!}\) を小さくできます。

$$ｘ＞０の時、任意の正の実数\epsilon に対し\frac{x^n}{n!}＜ \epsilon つまり \lim_{n\to \infty}\frac{x^n}{n!} =0 です。$$

ｘが負の場合も、絶対値は変わりませんから符号が入れ替わりながら０に収束します。ｘ＝０の場合は\(\frac{0^{n-1}}{(n-1)!}=0\) ですから、この場合も組み込む事ができます。

$$ よって、任意の実数ｘに対して\lim_{n\to \infty}\frac{x^n}{n!}=0であり、 \lim_{n\to \infty} R_n(x) =0【証明終り】 $$

三角関数の場合は、ｎ階微分も三角関数の形ですから、絶対値は１よりも小さい事を用いて不等式を作ります。そして指数関数の時と同様の極限を考える事で剰余項がｎ→∞で０に収束する事になるのです。

関数 \((1+x)^{\alpha}\) の剰余項の収束問題

じつは剰余項の収束問題に関しては、e の指数関数や三角関数よりも\((1+x)^{\alpha}\)といった一見簡単な関数のほうが、証明が面倒です。
おそらく、このページの内容の中では問題としてはここが一番難しいです。
上手に不等式を使って値の大きさを評価しないと、なかなかうまくいきません。
ここでは、次の事を示します：

$$任意の実数\alpha に対して(1+x)^{\alpha} は、|x|＜1ならば Mcl. 展開可能$$

「|x|＜1 の範囲で、ｘ＝０のまわりでテイラー展開可能」と言っても同じです。
以下、ｘ＝０のまわりでのテイラー公式について考えます。Mcl.展開の形で「無限級数ではなく剰余項が残ったままの状態」と考えてもよいと思います。

$$ f(x)=(1+x)^{\alpha} の積分型の剰余項：R_n(x)=\int_0^x\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n)}(t)dt$$

$$f(x)=(1+x)^{\alpha}とすると、 f^{(n)}(t)=\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots(\alpha -n+1) (1+t)^{\alpha -n} $$

積分変数（ここではｔ）に対する定数となる部分は、積分記号の前に持っていきましょう。

$$ R_n(x)= \frac{ \alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots(\alpha -n+1) }{ (n-1)! } \int_a^x (x-t)^{n-1} (1+t)^{\alpha -n} dt $$

不等式をうまく使うために、２つほど、それほど難しくない関係式を示します。まず、１つ目です。

これによって剰余項を次のように変形したうえで不等式で評価できます。

$$ R_n(x)= \frac{ \alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots(\alpha -n+1) }{ (n-1)! } \int_a^x (x-t)^{n-1} (1+t)^{\alpha -n} dt$$

$$= \frac{ \alpha (\alpha -1)(\alpha -2) \cdots (\alpha -n+1) }{ (n-1)! } \hspace{5pt}\int_a^x \left(\frac{x-t}{1+t}\right)^{n-1} (1+t)^{\alpha -1} dt $$

これに絶対値をつけます。不等式を作りやすくなるためです。
次の式の２段目から３段目への不等式を作るために上記の補題の結果を用いています。

$$ |R_n(x) |= \left | \frac{ \alpha (\alpha -1)(\alpha -2) \cdots (\alpha -n+1)}{ (n-1)! } \hspace{5pt} \int_a^x \left(\frac{x-t}{1+t}\right)^{n-1} (1+t)^{\alpha -1} dt\right|$$

$$＜ \frac{ | \alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots(\alpha -n+1) |}{ (n-1)! } \int_a^x \left| \frac{x-t}{1+t}\right|^{n-1} |1+t|^{\alpha -1}dt $$

$$＜ \frac{| \alpha (\alpha -1)(\alpha -2) \cdots (\alpha -n+1)|}{ (n-1)! } \hspace{5pt} \int_a^x |x|^{n-1} |1+t|^{\alpha -1}dt $$

$$=\frac{| \alpha (\alpha -1)(\alpha -2) \cdots (\alpha -n+1)|}{ (n-1)! } |x|^{n-1} \hspace{5pt} \int_a^x |1+t|^{\alpha -1}dt $$

この最後の式には積分の中身にはｎが入っていませんから、ｎに関しては定数であると考えて（もちろん各々のｘに対しては別々の値になります）、てきとうにＣとおけます。絶対値を外せば積分の計算も直接できてしまいますが、ここでは「ｎに関して定数」である事が分かればじゅうぶんなのです。まとめると次のようになります。

$$|R_n(x)|＜ \frac{ |\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -n+1) |}{ (n-1)! } |x|^{n-1} C$$

この不等式の右辺側をもう少し変形します。

$$\frac{ |\alpha (\alpha -1)(\alpha -2) \cdots (\alpha -n+1) |}{ (n-1)! } |x|^{n-1} C$$

$$=\frac{| \alpha (\alpha -1)(\alpha -2) \cdots (\alpha -n+1) |}{ 1・2・3・4 \cdots (n-2)(n-1)} |x|^{n-1} C$$

$$＜ \frac{| \alpha (\alpha +1)(\alpha +2) \cdots (\alpha +n-1) |}{ 1・2・3・4 \cdots (n-2)(n-1)} |x|^{n-1} C $$

$$=|\alpha|\left(1+\frac{| \alpha |}{1} \right ) \left (1+\frac{| \alpha |}{2} \right ) \left (1+\frac{| \alpha |}{3} \right ) \cdots \left (1+\frac{| \alpha |}{n-1} \right ) |x|^{n-1} C $$

ここで、先に進むにはもう１つ補題が必要です。

これによって、さらに別の不等式で評価ができます。0＜|x|＜r＜1を満たすてきとうな実数 r を想定します。

$$1+\frac{|\alpha|}{N}＜\frac{1}{r} となる自然数Nが存在し、n≧N ならば 1+\frac{|\alpha|}{n}＜\frac{1}{r}でもある。$$

$$n≧N の時、R_n(x)＜|\alpha|\left(1+\frac{| \alpha |}{1} \right ) \left (1+\frac{| \alpha |}{2} \right ) \left (1+\frac{| \alpha |}{3} \right ) \cdots \left (1+\frac{| \alpha |}{N} \right ) \cdots \left (1+\frac{| \alpha |}{n-1} \right ) |x|^{n-1} C$$

$$＜ |\alpha|\left(1+\frac{| \alpha |}{1} \right) \left (1+\frac{| \alpha |}{2} \right ) \left(1+\frac{| \alpha |}{3} \right) \cdots \left(1+\frac{| \alpha |}{N-1} \right) |x| ^{N-1} \left(\frac{ |x| }{r}\right)^{n-N-1} C $$

この不等式評価は、ある自然数Ｎについて、Ｎ－１までの項はそのままにして、Ｎ以降の項は１／ｒよりも小さいとしているのです。

ここで、Ｎ－１までの項の積は、ｎに関して定数である事に注意します。

$$つまり、 |\alpha|\left(1+\frac{| \alpha |}{1} \right ) \left ( 1+\frac{| \alpha |}{2} \right ) \left (1+\frac{| \alpha |}{3} \right ) \cdots \left (1+\frac{| \alpha|}{N-1} \right ) |x| ^{N-1} =K（ｎに関して定数）とおけます。$$

$$よって、|R_n(x)|＜KC \left(\frac{ |x| }{r}\right)^{n-N-1}で、 \frac{ |x| }{r}＜1 ですから、$$

$$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{ |x| }{r}\right)^{n-N-1} =0,　従って \lim_{n\to \infty} |R_n(x)| =0 $$

よって、ｎ→∞で剰余項が０に収束するので |x|＜１の時 、ｘ＝０においてテイラー展開可能（つまり Mcl. 展開可能）です。【証明終り】

このように\((1+x)^{\alpha}\)の形の多項式に関するMcl.展開可能性の理論は、厳密に見ると意外に細かくて面倒ですが、これによって一般２項定理が成立する事が確かに分かります。
また、物理等でも平方根や分数の形を無限級数の形にして（多くの場合３次以降等の高次項は０とみなして）理論を分析する事がよくありますが、そこで使われるのがMcl.展開です。平方根は「１／２乗」、分数は「－１乗」でもあるので、そのような事ができるのです。

今回は、極限について、より数学的に考えた場合にはどのような定義になるのかといった事を紹介します。じつはこのページで語られる内容が、大学の学部での一般的な解析学・微積分学で最初に教えられるものです。そのため、今回の内容は数学科で教わるような「解析学の初歩」をかなり分かりやすく説明した内容にもなっています。その内容を見てみましょう。

解析学的な極限の厳密な定義は？

■ 数列の極限の定義とε-N論法 　■ 実数の性質　有理数にない性質は？　■ 有界性と上界 下界 上限 下限　

数列の極限の定義とε-N論法

解析学での極限の理論は、数列の極限が初歩的で基本的内容となるので、まずそれを述べましょう。
\(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\)といった数列は、限りなく０に近づきます。
この事について、極限値である０を基準にして考えた時、０を含む任意の区間（普通、開区間を考えます）内にある番号以降の数列がおさまる事を意味するのです。

「任意の区間」とは、「任意の『小さな』区間」を想定しています。
例えば、( -0.001 , 0.001 ) のような開区間です。数列１／ｎであれば、ｎ＝1001以上であれば、全てこの小さな区間内に入るわけです。
数列の、ある番号以上の「全ての」要素を考える理由は、「振動」の可能性を除くためです。振動してしまう場合は、収束では無く発散の部類に区分します。

この時、別の ( -0.0001 , 0.0001 ) のような、さらに小さい開区間を考えると、ｎ＝10001 以上でなければ要件を満たしません。そのため、数学的には次のように考えます。

• まず、値ｃを含む開区間 U を考え、ある番号以上では全てそこに含まれるとする
• どんな小さな開区間 U を考えても、対応する番号 N が存在するとする（これを、「任意の開区間Ｕに対し、ある自然数Ｎが存在する」などと表現します）
• そのような条件を満たす時、数列はｎ→∞で「極限値ｃを持つ」と呼ぶ事にする（定義する）

多くの微積分学・解析学の教科書では、同じ内容を不等式で書く事も多いです。その場合、「任意の正の（小さい）実数」をギリシャ文字の「イプシロン」ε で表すのが通例です。

これらの定義は、分かりにくい事で悪名高いものでもあります。（意味としては難しくないのですが。）
実際、物理などで関数等の極限を考える時は、これらの定義はあまり重要でない事も多いです。
例えば、１／ｎ や １／ｘ などの数列や関数は、直感的に捉えても上記の定義を使っても結局「極限値は０」という結果は同じなのです。そのため、同じ結果を得るのであればよりシンプルな考え方をすべきだ・・とも、言えるわけです。

数学的に厳密に考える利点があるのは、収束するのか発散するのかすごく微妙で、直感的には判定しがたいという場合です。そのような場合は、物理や工学などでの応用よりも、純粋数学的な議論において多いと思われます。

実数の性質　有理数にない性質は？

次に、極限に関する基礎的な理論を下支えするものとして、実数が持つ性質が重要です。実数とは有理数に無理数を合わせたものですが、無理数とは「実数のうち有理数でないもの」・・などと説明されますから、これでは実数とは何なのか？という事の説明としては不足するものがあります。

結論を言うと、次の有理数の性質は、実数も共有するものです。

では実数にしかない性質は何だろう？と考えると、次の「切断」(Schnitt これはドイツ語由来です)と呼ばれる、部分集合の分け方において成立する事が、じつは有理数と異なるのです。
「切断」とは、ごく簡単に言うと１箇所だけ境を決めて、１つの集合を２つの部分集合に分けるという操作です。例えば実数全体を「０以上」と「０未満」に分ける事は「切断」に該当します。（必ずしもその集合に属する「１点」で分けない場合も含みます。）

有理数の場合、じつは有理数全体における「切断」を考えた時には、切断で作った部分集合ＡとＢについて「A の最大値 と B の最小値も両方しない」という事が起こります。

これを見るには、例えば \(q^2＜2\) と \(q^2＞2\) を満たす２つの部分集合に有理数を分けます。これはじつはきちんと「切断」に該当するのです。ところが \(q^2=2\) を満たす有理数は存在しませんから、これらの部分集合に最大値も最小値も存在しないという事です。
それに対して、これが実数の切断であれば \(r^2=2\) を満たす \(r=\sqrt{2}\) が存在しますからどちらかの部分集合に最大値か最小値が存在できるわけです。

有界性と上界、下界、上限、下限

さて、次に実数の中の部分集合（具体的には数列や関数）に対する、極限に関連する用語で重要なものを見ていきます。
これらも、意味としては簡単です。
ただし、記号などでごちゃごちゃ書かれると分かりにくいですから、意味を理解する事が重要です。

次に、上界と下界です。これらはそれぞれ、上に有界である集合、下に有界である集合について考えられます。要するに、数列や関数よりも「必ず大きくなる集合」と「必ず小さくなる」集合です。

定義の説明としては最後に、上限と下限を見てみましょう。これらも意味としては簡単で、それぞれ「上界の最小値」「下界の最大値」という意味で使います。

さてここで、上界が存在するなら上限は必ず存在し、下界が存在するなら下限は必ず存在するという事実があります。特に名前はついていない定理ですが、重要なので述べておきましょう。

これは自明な事ではないので証明が一応必要です。実数の完備性を用いる事で確かに成立する事を示せます。参考までに、記しておきます。

解析学の基本的な定理：有界な単調数列は収束列である

数列や関数が特定の極限において収束するのか発散するのかを調べて理論を形成する事が、解析学では行われます。その１つとして、「有界である単調数列は収束列である」という事実（「定理」）は重要ですので見ておきましょう。単調数列とは単調増加あるいは単調減少数列という事です。収束列とは、単純に「収束する数列」という意味です。この時、もちろん上に有界である数列が収束する条件（の１つ）は単調増加である事、という意味です。

円周率や自然対数の底といった重要な定数が極限値として存在する事の根拠は、この定理です。

■ 証明の流れと概要　
■ 定理の証明：上限あるいは下限が極限値となる事を示す　
■ 具体的な「有界な単調数列」にはどんなものがある？　

証明の流れと概要

まず、証明の流れを見ておきましょう。有界には上に有界と下に有界である場合（あるいは両方）がありますから、それぞれの場合に分けます。

• 上に有界である単調増加数列
• 下に有界である単調減少数列

証明の方法は全く同じなので、片方だけ示せばもう片方も全く同じように証明できます。ここでは、上に有界な単調増加数列の場合を考えます。

1. 数列が上に有界であるから、上限（最小の上界）が存在する事実を確認
2. 上限を含む任意の（小さな）開区間\(U_{\epsilon}\)を考える
3. 少なくとも１つ、数列の要素がその開区間内に含まれる事を示す
4. 単調増加関数である条件を適用すると、数列の上限が極限値の定義を満たす事が分かるので、これが極限値であると判定。→ 証明完了

要するに、上に有界である場合は「上限」が必ず存在するわけですが、その上限が数列の極限値に（必ず）なる、という事です。その詳しい証明を次に見ましょう。これはそれほど難しい証明ではなく、事実関係や極限の定義を丁寧に整理すれば「確かにそうである」事が言えるというものです。

定理の証明：上限あるいは下限が極限値となる事を示す

まず、単調増加数列が上に有界である時、それがどんな数列であろうともｎ→∞で収束する事を証明しましょう。上に有界という条件ですから、まず無限大に発散はしない事は明らかですが、明確に「極限値」が存在するかどうかが曖昧なので明確にしようというわけです。

前述のように、上に有界であれば上限すなわち「上界の最小値」が必ず存在します。結論は、この上限が数列の極限値という事になります。

$$\sup A_n=c とおくと任意の自然数ｎに対してA_n＜c$$

ここで、このページの最初のほうでも述べた、極限値の定義を考えましょう。この場合は、不等式も使ったほうが簡単です。任意の小さい正の実数εを考え、区間 \(U_\epsilon =（ c －\epsilon ,\hspace{5pt}c ] \)を考えます。
【※c －ε 側は開区間、ｃ側は閉区間という事です。(c －ε ,c + ε) を考えても別に構いません。ここでの場合は単純に、ｃより大きい範囲は考える必要はないというだけです。】

この時、区間 \(U_\epsilon =（ c －\epsilon ,c ] \) 内に数列の要素が含まれないという事はあり得ないのです。なぜなら、もしそのような事が起こるなら任意の自然数ｎに対して \(A_n ≦ c －\epsilon\) という事になり\(c －\epsilon\)も上界の１つという事になりますが、ｃが「最小の」上界なのですからそれはあり得ない、という事です。
【ここの部分に関しては、そのように仮定すると矛盾するから、という背理法の論法でも同じです。】

すると、少なくともある１つのｎ＝Ｎについて、 \(A_N\in U_\epsilon（ c －\epsilon ,c ] \) という事は言えるわけです。
ここで、\(A_n\) は単調増加数列という条件であれば、
任意のｎ≧Ｎを満たす自然数について、 \(A_n\in U_\epsilon（ c －\epsilon ,c ] \) という事になります。
【ｃ は上界の１つですから、ｎをどれだけ大きくしてもｃを超える事はありません。】

さて、これで一体何が言えたのかと言うと、
「ｃは\(A_n\) 極限値の定義の条件としてぴったり当てはまる」事が言えたのです。
つまり \(A_n\) はｎ→∞で極限値ｃを持つ事が証明された、という事になるのです。
【証明終り】

このように、定義や事実関係を丁寧に当てはめていく事でこの定理は証明されます。下に有界である単調減少数列も、全く同様に下限を極限値として持つ事を証明できます。

具体的な「有界な単調数列」にはどんなものがある？

では、有界な単調数列とは具体的にはどんなものがあるでしょう。抽象的には表せるけれども具体例が全く見つからない・・というのでは、純粋数学的にもあまり有意義とは言えません。具体的には、１／ｎなどのごく簡単な数列は下に有界で単調減少である数列の１つです。この他にも、有界な単調数列というのは少し考えれば具体的にたくさん見つかるのです。

問題はむしろ、特定の数列が「有界な単調数列」かどうかの判定が分かりにくい場合でしょう。

$$例えば、\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \hspace{5pt}や \hspace{5pt} \sum_{j=1}^n\frac{1}{n}-\ln n \hspace{5pt} などの数列です。$$

これらは、見た目では有界なのかも単調数列なのかも、ちょっと分かりにくいですね。結論を言うとこれらはどちらも有界な単調数列であり、それぞれ極限値を持ち e（自然対数の底、ﾈﾋﾟｱ定数）, γ（ガンマ、ｵｲﾗｰ定数） で表される事が普通です。

円周率も、特定の数列の極限値です。この場合、円に内接および外接する正ｎ角形の周の長さを数列として表した時に有界な単調数列になります。半径が１の円の円周の長さが円周率の２倍になります。【極限値が存在する事が分かれば定数倍に関しては調整できるので、円周率に関してはそのように定義しておくという事です。】

実関数の場合の極限と連続の定義

最後に、変数が実数である一般の関数（実関数）の場合の極限の定義なども整理しておきます。数列の場合は、言わば「変数が自然数」であるわけです。変数が実数になる事で、極限の定義なども１つ２つ文言が増えますが、基本的な考え方は同じです。

■ 関数の場合の極限の定義： ε-δ論法　■ 関数が連続であることの定義　■ 微分と関数の連続性の関係　

関数の場合の極限の定義： ε-δ論法

まず、極限値となる値を含む任意の開区間を考える点は、数列の時と全く同じです。異なるところは、数列の場合において「ｎ≧Ｎとなる任意のｎについて」の箇所で、これを関数の場合にはどうするかという事が、問題になります。これに対しては、変数を無限大にする時と、特定の値に近づける時とで２つ定義を設けます。（本質的な意味は同じです。）

• 変数を無限大にする時の関数の極限：\(\lim_{x\to \infty}f(x)\)
• 変数を有限の値に近づける時の関数の極限：\(\lim_{x\to a}f(x)\)

数列の場合はｎ＝１が変数の最小値ですが、関数の場合は x → 0 の時の極限なども考える事ができる、という事です。

特定の有限の値に変数を近づける場合、対象が変な関数だと変数を「a より大きい側から近づけた時」と「 a より小さい側から近づけた時」に、極限値が異なる場合があります。そのような事があるので、解析学で厳密な考察をする場合は両者の極限を区別し、両者が一致する場合にその極限での「極限値」が存在すると呼ぶ事にしています。

尚、もし「右極限」と「左極限」の値が異なる場合には上記の という条件は満たされないのです。

$$「c を含む任意の開区間 U に対して、x \in V_{\delta} ならば f(x)\in U となる a を含む開区間V_{\delta} が『存在できない』」$$

それは、a を含む開区間の中で a よりも「大きい側」と「小さい側」とで、関数が別々の \(c_1 と c_2\) という値を含む開区間に含まれる事になってしまうからです。
参考までに、右極限と左極限が存在するけれども異なる値になる場合は上記の関数の極限の定義に当てはまらず、「極限値が存在しない」判定になる事を、一応式でも記しておきましょう。

関数が連続であることの定義

関数が連続である事の定義も、極限の定義の延長線上にあります。三角関数や指数関数などの初等関数は連続関数です。
連続性の厳密な数学的定義は、物理などへの数学の応用ではそれほど重要ではないと思います。ただし、数学の解析学・微積分学の中では重要な基礎理論になりますので、考え方だけは見ておきましょう。

関数が連続であるかどうかという事は、関数自体の性質を探求する事以外に、微分の理論においても重要な位置付けにあります。ある点で微分可能であるかどうかと関数の連続性が深く関わるからです。

微分と関数の連続性の関係

さて、微分や積分も極限の一種です。ここでは、微分について考察してみましょう。初等関数の微分を考える時は、前述の厳密な極限の定義を考える事よりも、上手な式変形をして明らかに極限値が分かるようにする事のほうが重要である場合が多いです。

他方で、変な関数も含めた一般の関数を数学的に考える場合は、どのような場合に微分が可能で、どのような場合に微分が不可能なのか？といった事を明確にしておくことも、理論的な位置付けとして重要なのです。

結論を言うと、定義域内での特定の点での微分可能性と連続性については、次の関係があります：

• ある点で微分可能ならば、連続でもある
• ある点で連続であっても、微分不可能な場合がある

「連続であっても、微分不可能な場合」とはどういう事かと言いますと、一番簡単な例は f(x) = |x| という関数です。これは、グラフで見るとｘ＝０の点で「尖っている」関数です。このように、ある点で必ずしも「なめらかでない」場合でも、つながっていれば「連続である」という判定になります。（もちろん厳密には上記の定義に当てはまるか、式を使って判定します。）

しかし、 f(x) = |x| のｘ＝０における状況を見ると、微分係数とは「傾き」であったはずですが、ｘ＝０では傾き＋１と－１のどちらを採用するのかという話になります。このような場合、その点では「微分不可能」という判定をするのです。そのため、「関数 f(x) = |x| はｘ＝０ で連続であるが微分不可能である」という事です。尚、「ｘ≠０の任意の点で、 関数 f(x) = |x| は『連続であり微分も可能』 」です。

前述の極限と連続性の定義から考えると、 f(x) = |x| の微分係数はｘ＝０ において、

$$右極限\lim_{h\to +0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}と左極限 \lim_{h\to -0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} は共に存在するが値は異なる$$

というパターンに該当します。
\(右極限\lim_{h\to +0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=+1, 左極限 \lim_{h\to -0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =-1\) で、異なる値というわけです。
そのため、極限値として厳密に定義に当てはめた場合、極限値としての微分係数も存在しない、という判定になります。

$$ f(x) = |x| の時、極限値としてのx=0での微分係数\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}は存在しない。 $$

つまり、直感的に考えて「傾きが一意的に定まらない」という事と、数学的に考えて極限値が存在しないという判定になる事は、一応調和しているわけです。

このような場合以外に、関数自体が無限大に発散する点においても、微分係数も無限大に発散し、微分不可能という判定にします。そのような点では、関数は「不連続かつ微分も不可能」という事になります。
尚、一応これは「微分可能ならば連続である」という事実の対偶命題を考える事により「不連続ならば微分不可能」と言う事もできます。不連続点では、どのような場合でも微分不可能というわけです。

今回お話した内容は、上記でも少し触れましたように、物理等への応用よりも、純粋数学的な内容の基礎事項という側面が強いです。ただし、有界な単調数列は収束列であるといった事は、円周率や自然対数の底といった重要な定数の極限値としての存在の根拠でもあり、これらの定数は物理や工学でも使用しますから、大まかな事は知っておいてよいのではないかと思います。

参考文献・参考資料

微分積分学〈1〉1変数の微分積分