投稿者: 恭平

三角形の相似条件は高校入試を始めとして中学数学では重要事項の１つです。

図形問題を解くために必要という事でもありますが、三平方の定理などの重要な定理が成立するための根拠の１つになっている事なども重要と言えるでしょう。

平面において２つの三角形が「相似【そうじ】」であるとは、
ごく簡単に言うと「大きさは違うが形は同じ」であるという事です。

もっとも、単に見た目が似ているというだけでは相似であるとは言わず、きちんと数学的な条件があります。

相似条件と証明での使い方

次の３つの条件の「いずれか」を満たす２つの三角形は互いに相似であると言います。「いずれか」という事は、「１つでも当てはまればよい」という事です。

三角形同士が相似である事がひとたび判明すれば、これら３つの条件は全て成立します。つまり、例えば２組の角度が等しいという条件が成立すれば、３組の辺の長さの比もそれぞれ等しいという事です。

ただし、相似である事を証明するためにはどれか１つだけ判明していればよいという事です。

★比較する２つの三角形が直角三角形であれば、その時点で「対応する１つの角がそれぞれ等しい（９０°で等しい）」事は言えているので、もう１つだけ等しい角度を見つければよいといった作業になります。

繰り返しますが合同条件と似ていますが違うもの（相似条件のほうが制約が緩い）なので注意しましょう。
例えば、辺の長さが分からないけれど角度だけで比較できるのは相似条件のほうであって、合同条件にはそのような条件はないのです。（暗記するのではなく意味を考えてみると分かりやすいと思います。角度だけが分かっている場合、形は同じであっても辺の長さは伸び縮み可能なのです。）

２つの三角形が相似である事を正確に見るには、「証明」が必要です。これは、見た感じ「同じ形」に見えるけれど実際は違う（辺の比が一定にならない、角度が異なる）という事があるからです。

高校入試の出題として多いのは「２組の角の大きさがそれぞれ等しい」事を使うパターンです。これは、同じ大きさの角度である部分が２つ見つかればよいという事です。
より具体的には、対頂角の関係、平行線の同位角・錯角の関係、円周角の定理などを使って「角度の大きさが等しい」事を示します。また、共有する角がある場合にはもちろんその角度は２つの三角形で等しいのです。

残りの２条件は証明の時に使う事もありますが、むしろ相似である事が証明された後に辺の比や面積比を計算させる問いで使われる事が多いように思います。

相似な三角形の面積比

三角形の相似比（辺の長さの比）が１：ｎの場合、面積比は１：ｎ^２になります。
これは、例えば１つの三角についての底辺がｎ倍、高さについてもｎ倍になるためです。

高校入試ではよく問われる事項です。

例えば底辺が２、高さが３の三角形の面積は２×３÷２＝３ですが、
各辺の長さが２倍になったとすると、高さも２倍になる事に注意して
面積は（２×２）×（３×２）÷２＝１２
つまり２×２＝４倍になるという事です。

これは公式として関係式を暗記するのではなく、図に描いてイメージしながら練習してみたほうがよいと思います。

辺の長さの比が１：３ではなく２：３のような場合は面積比は２^２：３^２＝４：９です。

$$辺の長さの比が2:3であれば大きい三角形の面積は小さい三角形の\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}倍$$

辺の比に関する補足説明

相似な三角形の辺の比に関して、補足的な説明をします。

三角形同士が相似である場合に「対応する辺同士の比」は等しくこれを相似比と言うのは前述の通りです。

他方で「同じ三角形の中の辺同士の比」も、相似な２つの三角形で等しくなるのです。これは１つの三角形の中で３通りの比がありますからもちろん一定ではなく、一般的に相似比とも異なる値になります。

しかし、例えば△ＡＢＣでＡＢ：ＢＣ＝１：３であったとすると、それに相似な三角形△ＤＥＦがあったときにＤＥ：ＥＦ＝１：３という事も同じく言えるという意味です。
この時、ＡＣ：ＡＢ＝２：５であれば同様にＤＦ：ＤＥ＝２：５という事です。
（※この場合、この条件だけから具体的な相似比は分からない事には注意。互いの対応する辺の長さの比に関して、相似比という一定の比がある事だけ分かります。）

式で書くと、△ＡＢＣ∽△ＤＥＦであれば、
ＡＢ／ＤＥ＝ＡＣ／ＤＦという比の関係（この一定の比が相似比）に加えて
ＡＢ／ＡＣ＝ＤＥ／ＤＦ　という関係も成り立つという事です。

これは、じつは結構単純な話です。
ＡＢ／ＤＥ＝ＡＣ／ＤＦ　の両辺をＡＣで割り、両辺にＤＥをかける事で得られます。
式変形をしなくても相似関係にあるという事は同じ形で大きさだけが異なると意味を考えれば分かりやすいかと思います。

証明問題も含めて、図形問題が得意になるコツはあまり難しく考えない事です。
意味を考えながら図を描いてみましょう。

他に図形問題として関連が深いのは角の二等分線と三角形の辺の比の関係などで、これは三角形の相似を根拠として成立します。三角形の相似についてじゅうぶん理解していれば、関係式を暗記せずにその場で導出する事も可能なのです。

「形」さえ同じであれば、三角形の中の２辺の「比」が一定であるという事は、三角比の考え方の基礎となっています。これは、直角三角形に限定して、特定の角度に対しては２つの辺の長さは一定になる事を利用して決められるものです。高校数学で教えられるものですが、考え方としては三角形の相似の考え方が分かっていれば理解できる内容になります。

図形問題としての円に対する接線の考え方と、それとセットになる内接・外接の考え方を説明します。

学校で教わる内容としては中学数学・高校入試の範囲ですが、一部はそれ以降の話にもつながる重要事項も含んでいます。なぜかというと微積分での微分係数は関数をグラフ上で図形的に見た場合の「接線」の傾きだからです。また、高校数学では直線を一次関数とみなして種々の考察をして問題を解かせる場合も多いので、円と関わりを持たせた接線の話は中学校以降でも出てくるのです。

円に対する接線の性質

まず「接線」とは何かと言いますと、
「ぴったりくっつくように１点のみで交点を持つ直線」の事を言います。

また、そのよう形で図形同士が交わる時に「接する」という言葉を使います。「直線 L は円Oに接する、接している」といった具合です。（「接線」は必ず直線を指しますが、「接する」という言葉は曲線同士に対しても使います。例えば円と円が「接する」場合というのもあり得ます。）

図形同士が接する点を、「接点」と言います。

同じ１点で交わる場合でも、突き抜けるように交わる直線は接線とは言わないのです。その場合は単純に、１点で交わる交点です。

「接する」という事は数学的に厳密にはどのような条件を要請する事なのか？という事についてはここで触れないで置きますが、図で見れば分かると思います。中学校の範囲では、見て分かるという程度でじゅうぶんです。それで図形問題は解けるからです。

円に対する接線の重要な性質の１つとして、「接点と中心を通る直線は接線と垂直になる」というものがあります。接点を通り接線に垂直な線を法線と言うので「円に対する法線は中心を必ず通る」とも言えます。

どういう理由で１つの接点を通る法線は中心を通るのかというと、図形的には次の通りです。

まず、円周上の２点Ａ、Ｂと円の中心Oからなる三角形は二等辺三角形なので∠AOBが直角になる事はあり得ても、残りの２角は直角にはなり得ません。（三角形の内角の和は１８０°、つまり２直角であるため。）

すると、点Ａに直線が接するには、その直線と線分AOは直角でなければなりません。もし直角でなかったら、その直線上で点Ａ以外にＯまでの距離が等しい点、つまり円周上の点が存在する事になり接線ではなくなってしまいます。

という事は、接線に垂直で接点を通る法線は、接点と中心の両方を通る事になるので題意は示されます。

簡単に言うと、円周上のある点を通る直線は、その点と中心を通る線分に対して垂直である場合に限りその１点のみで交わり、垂直以外の角度の場合には別の円周上の点と必ず交わってしまう（そのような円周上の点が必ず存在する）という事です。

内接と外接

また、図形問題でよく取り上げられますが、円に内接する図形、外接する図形というものがあります。ここで、「外接」の場合は特定の図形が必ず円に「接している」事が要求されますが、「内接」の場合は必ずしも接していなくてもよくて頂点などが全て円を突き抜けない形で触れていれば要請を満たします。

図で見ると分かりやすいでしょう。例えば内接三角形と外接三角形の違いを見てみましょう。

円以外の図形側から見た時、言葉の使い方として内接と外接は逆になります。

つまり、円に内接する三角形側から見れば「円は外接」しています。

三角形に対して円が内接していると言う場合は、円に対しては三角形は外接しているのです。

これらの内接・外接の関係は、図形問題として出題される場合には別の事項と組み合わされる事がほとんどです。例えば、円に内接する三角形・四角形は円周角の定理と組み合わせて問われる事が多いです。円に外接する三角形を考える場合には、中心から接点に向けての線分が接線と直角になる事実を使わせる事が多いです。

ひねったパターンだと、角の二等分線の事項も絡めて三角形の面積比などを問う出題もあります。

複雑にしようと思えばいくらでも問題をひねれるのが内接・外接に関する図形問題の厄介なところですが、必要な定理や数学的事実は限られているという事を押さえる事が重要です。前述した事の中で言えば、「円に対する接線がある時、法線は中心を必ず通る」といった事項です。

そういった、限られた数の基礎事項を確実に押さえたうえで、いろいろなパターンの問題を解いてみる事が中学校でのこの分野を攻略する鍵と言えるでしょう。複雑な定理や人があまり知らないような定理を暗記する必要はないのです。

球の表面積と体積の公式はセットになっています。微分と積分の関係で結ばれています。
微分の公式と積分の理論については別途に詳しくまとめています。

直接的な問いとして出題されるのは高校数学の範囲ですが、球の表面積や体積を種々の理論で「使う」事は大学数学と物理学でも引き続き行われます。特に物理学で円や球がモデルとしてよく使われますが、これは単純に、半径が等しいと性質が理論を組み立てる際に非常に便利であるからです。

公式

球の表面積と体積の公式は次のようになります。

公式の導出については、じつは
円周の長さ　→　円の面積　→　球の体積　→　球の表面積　という順番です。
しかも、基本的には微分と積分の関係で結ばれているのです。ただし微積分による導出では、順番としては体積が先でその次が表面積という事になります。

表面積公式の導出

球の体積のほうの公式の「４／３」という係数が不可解で覚えにくいという人もいるかもしれませんが、微積分を考えてみてください。球の体積公式をｒで微分すると球の表面積になるのです。

これはそう考えると単に覚えやすいという事ではなくて、数学の理論としても本質的な事なのです。

$$ｒで微分する：\frac{d}{dr}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)=4\pi r^2$$

このように、初歩的な微分の公式で体積と表面積の関係が結ばれています。

逆に表面積の公式をｒで積分すれば体積の公式になりますが、これはより正確には「０からｒまで」の定積分になります。しかし０の部分は代入すると消えるので、公式を覚えるという意味では結果的に考えなくてもよい事になります。

体積公式の導出

しかし、球の体積と表面積が微積分の関係にあるとすれば、平面の円の面積と球の体積はどうつながるのか？という話になります。

微積分の関係である事は同じです。ただし、この場合は [－ｒ,ｒ] の積分区間での定積分になります。また、積分の設定をする際に１つだけ注意が必要です。そのため、定積分の結果である球の体積のほうから円の面積を推測するのは少々難しいでしょう。

基本的には、「断面の面積が分かっている立体」の体積を計算する要領で定積分を行って導出するのです。
直交座標上に立体をおいて、ｘ軸に垂直な断面積をｘで定積分します。

計算を簡単にするため、球の中心を原点におきます。すると、ｘ軸に垂直な部分の断面の円の半径が分かれば、円の面積を－ｒから＋ｒまで積分すれば球の体積となるのです。

その時に、ｘｙ平面の断面で一度考える必要があります。
注意点は、この時の球の、各ｘ座標に対する断面積（円になります）と半径の考え方です。
これは、球をちょうど半分に切った時の円に対するｘ^２＋ｙ^２＝ｒ^２の関係式を踏まえて、
ｘ座標における「ｙの値の絶対値を半径とする」円の面積を断面積として考える必要があるのです。この設定を間違えると正しく計算されないので注意が必要です。

すると、円の式におけるｙの値という事は「平方根が出てきてしまうではないか！」という事になり面倒に思えるかもしれませんが、円の面積はその２乗を考えればよいのですから、ｙ^２＝ｒ^２－ｘ^２だけ分かればじゅうぶんです。

定積分の計算は次のようにします。計算は難しくありませんが、ここでの積分変数はｘであり、ｒは定数扱いという点に少し気を付ける必要があります。

$$\int_{-r}^r\pi y^2dx=\int_{-r}^r\pi (r^2-x^2)dx=\left[r^2x-\frac{1}{3}\pi x^3\right]_{-r}^r$$

$$=r^3-\frac{1}{3}\pi r^3-\left(-r^3-\frac{-r^3}{3}\pi\right)=2r^3-\frac{2}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3$$

途中の符号が入り乱れていて分かりにくい場合は、０から＋ｒまで定積分して２倍しても同じです。

$$2\int_0^r\pi y^2dx=2\int_0^r\pi (r^2-x^2)dx=2\left[r^2x-\frac{1}{3}\pi x^3\right]_0^r$$

$$=2\left(r^3-\frac{1}{3}\pi r^3\right)=2\cdot\frac{2}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3$$

この計算の仕方は球だけではなくて他の任意の立体の体積でも同じ事です。（もちろん、手計算でやる場合は原始関数を計算で出せるならの話ですが。）

物理学や工学の理論で球の表面積や体積を考える時には、特定の力等の大きさの関係と組み合わせて理論が組み立てられます。特に、距離の逆２乗に比例する（２乗に反比例する）関数と表面積の組み合わせは理論上重要な役目を果たす事になります。

円周率はなぜ３.１４なのか、なぜ「３」ではいけないかの易しい説明です。円や球に対しては「円周率」が常につきまといますが、それについての話をしましょう。

■ そもそも円周率の定義は？　■ 正確な証明の話　

そもそも「円周率」の定義は？

円周率とは、「円の直径と円周の長さの比」の事であり、値は約３.１４です。
直径が１メートルの車輪の円周の長さは、円周率を用いて
１×３.１４＝約３.１４メートルと計算できます。
円周率の正確な値は３．１４１５９２６５・・・という、循環しない無限小数であり、「無理数」です。
【無理数である事は、背理法で示します。円周率に限らず、特定の数が無理数である事を示す方法は基本的には背理法です。】

円周率の特徴

1. 「円周の長さ」÷「直径」の値の事を円周率と呼ぶ
2. 任意の円において値は一定であり、3.141592・・・・
3. 循環しない無限小数であり、無理数である

円周率を使って円の面積も計算できますが、元々は「円周」と直径の比です。
記号は、ギリシャ文字の「パイ」\(\pi\) を使います。

この「約３．１４」という半端な数はどこから出てくるのでしょう？
円に内接する正６角形を考えてみてください。
じつは、簡単な計算により、「円の直径×３」は、ちょうど「円に内接する正６角形の周の長さ」なのです。
この事実が、円周率を「約３」と教える事が、数学的に見て決して良いと言えない理由の一つです。

【多角形の円に対する内接・外接の考え方は別途にまとめています。】

★本当に大雑把な計算（例えば１００くらいになるのか、１０００くらいになるのかといった）であれば円周の長さを「大体３」の計算でやってもよいと思いますが、正確な計算にはならない事は踏まえておく必要があるという事です。実際の値よりも小さくなってしまうからです。

次に、円に内接する正１２角形の周の長さを計算してみると、おおよそ、円の直径×3.1058になります。
この「円周率に相当するような定数」は、円に内接する正２４角形の場合は約3.1326、
正４８角形の場合は約3.1393です。正９６角形まで考えると、3.14が出てきます。
じつは、角をもっと増やしていくと、その値は正確な「円周率」の値に限りなく近づくのです。

正確な証明の話

☆ここから先の内容は高校数学、さらに詳しくは大学数学の範囲です。

極限値として円周率が確かに存在する事の証明は少し面倒ですが、平面幾何と極限の基礎知識さえ知っていれば証明は可能です。
円に内接する正ｎ角形と、円に外接する正ｎ角形を考えます。
その中で、２つの頂点と円の中心で作られる三角形に注目します。
ここでじつは少し工夫が必要で、ｎに対してｎ＋１ではなく、２ｎを考えます。

すると、内接する正２ｎ角形の周の長さは
「内接する正ｎ角形の周の長さより必ず大きい事」と、
「外接する正ｎ角形の周の長さよりは必ず小さい事」が、比較的容易に示せるのです。

これは、内接する正ｎ角形の周の長さを数列として見た時、「単調増加で上に有界」である数列になっている事を示しています。
そして、そのような数列は必ず極限値を持つという定理があるので、
円に内接する正ｎ角形の周の長さは「ｎを無限大にした時に極限値を持つ」事が示されます。

同様に、円に外接する正ｎ角形の周の長さも極限値を持つ事が示せます。
ここで、証明の中で導出している関係式の一つを用いると、２つの極限値は
一致する事を示せます。その値が、円周率と呼ばれる定数です。

円周の長さが直径と円周率の積で表されるという事実は、三角関数の微分公式が成立する根拠でもあるので、理論上、かなり重要な位置にあると言えます。

★三角関数の微分公式の導出には sin x ＜ x ＜ tan x という不等式を用います。
これは実質的には、「内接正ｎ角形の周の長さ＜円周の長さ【極限値】＜外接正ｎ角形の周の長さ」という関係式と同等です。
円周や円弧の長さは極限値なので、解析学（微積分学）的には本来は多少詳しい考察や証明が必要になるというわけです。

円周角の定理とは、円の１つの弧に対する円周角の大きさは必ず等しく、しかも中心角の半分の大きさであるというものです。言葉よりも図で見ると分かりやすいでしょう。

この定理は、高校入試（特に公立）では非常に出題頻度が高いものです。しかし逆に高校数学では重要度が減り、大学数学や物理学では基本的には使わないと言ってもよいほどその重要度が下がります。

これは、高校数学以降の話では「円に内接する三角形」よりも「円その物」のほうが対象とする図形として重要である事が大きく関わっていると思います。そのため、円周角の定理とは中学数学というか「円に内接する三角形」という話に限定する範囲においては重要な定理である、という位置付けで理解するとよいかもしれません。

定理の内容と意味

まず、「円周角」とは、円に内接する三角形の１つの角の事で、「その対辺を弦とする円弧のうち長い方（優弧）」に着目して呼ばれるものです。例えば「円弧ＡＢに対する円周角」のように使われます。図で見ましょう。一目で分かると思います。

また、「中心角」とは、ある円弧の弦の両端の点のそれぞれと円の中心を結ぶ線分によって構成される角の事です。これも、図を見ましょう。

円周角の定理の内容は、１つの円弧が固定されている時、その円弧に対する任意の円周角の大きさは等しく、しかもその円弧に対する中心角の大きさの半分であるというものです。

尚、円弧のうち短い方（劣弧）側の弦と結んでできる角も、大きさは互いに必ず等しくなります。ただし中心角との大きさの関係は２：１にはなりません。（中心角の半分を１８０°から引いた大きさになります。）

高校入試を含めて中学数学では、円周角に関する問いは三角形の相似・合同・面積比に関する事項と組み合わされる事が圧倒的に多いです。

また、円周角が直角になる場合とその条件に関しても好まれて出題がなされる傾向があるようです。

「円周角の大きさは必ず中心角の大きさの半分である」という事が定理の主張の１つですが、これを円弧が半円の場合・弦が直径の場合に適用すると円周角は必ず直角であるという事です。

これは、半円の弧の両端を直線で結ぶと必ず円の中心を通るので中心角＝１８０°とみなせる事によります。すると、その円周角はその半分の大きさで９０°つまり直角になるというわけです。後述するように証明する時にはこの事項自体を場合分けで示す必要がありますが、理屈はじつに簡単です。）

証明

円に内接する三角形が内部に中心を含むかそうでないかで場合分けします。

①内接三角形が内部に円の中心を含む場合

円に対する内接三角形が内部に円の中心を含む時、まず最初に分かるのがじつは「円周角は中心角の半分」というほうの事実です。

これは、内接三角形の１つの辺の両端と円の中心で構成される三角形が、必ず二等辺三角形になる事によるのです。

そして、１つの円弧を固定する時、もう１つの円周上の点を動かしても中心角は同じである事に注意します。これは、この条件のもとで１つの円弧に対する任意の円周角は必ず等しい事を意味し、円周角の定理の主張そのものです。

下図で言うと、次のようになります：

$$(180°-2\alpha)+(180°-2\beta)+(180°-2\gamma)=360°\Leftrightarrow 180°-2\alpha=2\beta+2\gamma$$

$$\Leftrightarrow 180°-2\alpha=2(\beta+\gamma)$$

最後の式は「中心角＝円周角の２倍」を表しています。これはこの条件下で点ＡとＢを固定しておけば、点Ｃが移動しても \(\alpha\) の値は変わらないので円周角の定理の内容が成立するのです。

②内接三角形が内部に円の中心を含む場合

次に、内接三角形が内部に円の中心を含まない場合です。この時も、中心角を構成する二等辺三角形をもとにして証明をします。この場合においても二等辺三角形を３つ作ります。

じつは相似関係などを使う必要は特になく、
「三角形の内角の和は１８０°」「四角形の内角の和は３６０°」という、より初歩的な事実関係だけでじゅうぶんなのです。

図で言うと、中心角は \(180°-2\alpha\) で、そこと隣り合う二等辺三角形の中心角に相当する角は \(180°-2\beta\) です。これらを合わせると、\(360°-2\alpha-2\beta\) となります。

しかし、その角度はよく見ると \(180°-2\gamma\) に等しいのです。よって、次の関係が成立しています。

$$180°-2\gamma=360°-2\alpha-2\beta\Leftrightarrow 2(\beta -\gamma)=180°-2\alpha$$

ここで、式に出てくる \(\beta -\gamma\) は何かというと、これはじつは図の円弧ＡＢの円周角です。つまり、この場合でも「中心角＝円周角の２倍」が成立します。

そして、上記２つの場合において点ＡとＢは固定したままでよいという事に注意しましょう。移動するのは、円周角をなす点Ｃだけなのです。中心角は変化しません。という事は、上記２つの場合の円周角は、いずれも中心角の大きさの半分であり、ともに一致するのです。

ゆえに、内接三角形が円の中心を内部に含むかどうかは気にしなくてよい（その事が示された）という事です。

③内接三角形の１辺上に円の中心がある場合

さて、このように場合分けすると、「だったら三角形の１つの辺が『中心を通る場合』も考えなければだめではないか？」という話になります。実際その通りです。

ただし、この第３の場合が、じつは最も簡単なのです。

円周角をつくる頂点から中心に向かって線分を引きます。すると、二等辺三角形が２つできます。ここで、円周角をなす頂点と直径からなる三角形は、２つの二等辺三角形の角だけから構成されるのです。

すると、三角形の内角の和が１８０°である事から、この場合の円周角の大きさは９０°である事が分かるという計算です。

それゆえ、このような場合でも定理の内容は成立しているので、上記２つの場合と合わせてまとめてよいという事になります。

関連事項：円に内接する四角形

同じく中学数学と高校入試で問われる内容として、
「円に内接する四角形の対角線上で向かい合う角の和は１８０°である」というものがあります。

この理由については、円周角の定理を使うとすぐに分かります。

図のように、補助線として対角線を引きます。この時、内接四角形の１つの角が２つの部分から構成されていると考えます。図で言うと ｘとｙで表しています。

$$\alpha=x+yとおきます。$$

それらｘとｙについて、それぞれ異なる円周角であるとみなす事ができるので、それぞれについて定理を適用します。すると、対角線上で向かい合う内接四角形の角の大きさは、１８０°－（ｘ＋ｙ）という事になります。（「三角形の内角の和は１８０°」を使用。）

しかし \(\alpha=x+y\) でしたから、\(\alpha+180°-(x+y)=\alpha+180°-\alpha =180°\) です。これで題意は示された事になります。

円周角の定理は、高校数学での正弦定理を証明するために使われたりもします。

三角形の角を二等分する線を引いた時に成立する１つの図形的性質があります。

これは高校入試の図形問題でよく出題され、場合によっては大学入試で部分的に扱われる事もあります。

まず、三角形の１つの角を二等分する線を引きます。これは、例えば６０°の角度であれば３０°と３０°に分割する線を引くという意味です。

次に、その線が１つの辺とぶつかる交点を考えます。すると、じつはその交点は、他の２辺の長さの「比」でその辺を分割しているのです。こういったものは、図で見たほうが多分分かりやすいでしょう。

これを証明するのは比較的簡単です。次のようにします。
（★ただし、入試の問題を解くという観点からは結果の関係式を確実に覚えておいたほうがよいです。しかし仮に忘れた時でも証明は難しくないという事です。）

まず、二等分する角につながる三角形の辺の１つを延長します。次に、二等分する角の対辺の１端から、角の二等分線に「平行」な直線を引きます。すると三角の相似関係により証明ができるというのが簡単な流れです。この時、二等辺三角形ができる事に気付く事も１つの重要な点です。

この関係が中学校の数学、特に高校入試で問われる場合は、単独ではなくて他の図形上の関係と合わせて計算をさせる事が多いと思います。例えば、三角形の相似問題の１つの条件として使われたり、三角形の面積比を計算させるといった具合です。

また、円周角関連の事項と合わせた出題もあり得ます。この手の問題は計算を面倒にさせようと思えばいくらでもそのように問いを作れるので、いくらか練習しておかないといきなり問われた時になかなかうまくいかない事もあろうかと思います。

さて、この三角形の二等分線に関する問いは多いですが、中学での勉強を終えて高校での学習に移る時、そんなに使うのかというと正直あまり使わないと思います。ただし、図形の平行・直角・相似・合同といった考え方は引き続き使用される事があります。

そのため、試験問題を解くという事を抜きにして語るのであれば、重要なのは関係式が成立する「理由」のところだと思います。平行線の性質や相似関係によってこのような事が言えるという事が、本当は一番覚えて理解しておきたいところかとは思います。