カテゴリー: 微分積分学・解析学

ここでは複素関数論におけるグリーンの公式と呼ばれる式について説明します。
同じ名前の公式はいくつもあって大変紛らわしいのですが、ここでは複素関数論の、複素数の積分に関して成立する関係式について述べます。

この公式は、複素関数論で重要なコーシーの積分定理を証明するのに必要です。

複素数の定義と基本事項については別途に詳しくまとめています。

グリーンの公式とは？

■ 公式の内容　■ 公式の別の表記法　■ 複素関数論の中での位置付け　

公式の内容

複素関数論におけるグリーンの公式とは、次の複素数の積分に関する関係式を言います。

$$ここで、\left(i\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial y}\right)f(x,y)=\left(i\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)\hspace{5pt}の事です。$$

また、ここでのｘやｙでの偏微分は、
これらの変数を「独立変数であるように見なした時の」偏微分の計算を指します。

そのように言うのは、ここでは積分の経路として閉曲線を指定しますから、ｘとｙは独立変数ではなく従属関係にあるからです。（例えばｙ＝２ｘなど。これについてはこのページの後半でも再度触れます。 ）

ただし、ここでの偏微分で表される計算は、通常の独立多変数に対する偏微分の時と同じく、「ｙを固定してｘだけで微分操作をする」という意味である・・という事です。

公式の別の表記法

全く同じ公式を、別の表記で表す事もあります。

これは、形式的には「複素変数ｚで偏微分する」形で表されますが、じつはこれは普通の意味での偏微分ではなく、複素関数論において特別に定義される記号です。

この記号を使うと、上記のグリーンの公式は次のように書けます。

どちらの表記法でも問題ないですが、記号の定義を知らないと、「共役複素数で偏微分って何の事・・？？」と、思ってしまうかもしれませんね。その記号は、あくまで定義によって特別に意味が約束されているものです。

複素関数論の中での位置付け

冒頭で少し触れていますが複素関数論の複素数の積分論の中で、「コーシーの積分定理」というものがあります。これは、正則関数を閉曲線に沿って定積分すると必ず０になるというもので、これをもとに種々の複素数の積分の理論は組み立てられています。

それで、その積分定理は自明な事かというと、そうではありません。その定理の証明のためにグリーンの公式が使用されます。

ですから複素関数論におけるグリーンの公式とは、言ってみれば理論上重要な定理の「補題」的な位置付けにあると言えると思います。

もちろん、必要があれば他の用途に使う事もできます。また、考え方自体は多変数関数の線積分や、ベクトル解析に共通するところがあるのでそれらの分野にも考え方を適用できます。

グリーンの公式の証明

■ 証明のポイント　■ 積分経路と媒介変数　■ 証明の計算　

証明のポイント

積分の経路として「閉曲線」考えている事と、定積分を行う場合には複素数の実部と虚部に分けて考えてよい事がポイントです。

公式の内容を見ると、曲線上の積分を領域内の重積分で表せるという事であるわけですが、ある関数はその導関数の定積分として上手く表せる事を利用します。この考え方はベクトル解析での定理の一部を示す時にも使用されます。

定積分を考える時には項が２つ出てきてしまいますが、閉曲線を考えている事がポイントで、上手い具合に閉曲線の「上部分」「下部分」等の２つの部分に分けて必要な項を作れるのです。この時、後述しますがｘとｙによる積分それぞれについてそれらを考えるので、少なくとも４つの経路を考え、最後に合算します。

証明の後半では重積分の結果は積分変数の順序によらない事も使用します。

積分経路と媒介変数

ｄｚ＝ｄｘ＋iｄｙ において、閉曲線Ｃを指定する場合はｘとｙに従属関係があって、
１つの媒介変数ｔで表す事ができます。

$$x=x(t),\hspace{5pt}y=y(t)$$

そこで、微分についても ｚ＝ｚ(ｘ,ｙ) に対して次の関係があるわけです：

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}dt+ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}dt $$

ここで、ｘ、ｙによる偏微分は
「あたかも独立変数であるように、１つの変数のみで微分する」操作の意味です。

ｔによる微分の部分は、媒介変数が１つだけですので、
偏微分として書かなくてもよく通常の微分になります。

さて、となると、ｚ＝ｘ＋iｙ ですから、

$$ \frac{\partial z}{\partial x} =1,\hspace{10pt} \frac{\partial z}{\partial y} =i $$

となるので結局、

$$dz=\frac{dx}{dt}dt+ i\frac{dy}{dt}dt $$

という事になり、ｔで定積分を行う場合には１変数の合成関数の積分公式がそのまま使えて、結局ｘとｙのそれぞれで積分して加えればよいという事です。

もともとｄｚ＝ｄｘ＋iｄｙなので最初から積分する時には定積分を２つの部分の和にできると考えてもよいのですが、ここでは積分経路上でｙとｘには従属関係がある点に注意して説明をしておきました。

証明の計算

【グリーンの公式の証明】

さて、閉曲線上を経路として定積分する時にｘとｙに分けて定積分すればよいわけですが、ここでさらに、積分経路もｘとｙの各々について２つ以上に分けます。少なくとも４つの定積分を考える事がポイントです。

まずｘについて。
閉曲線を切断するような、ｙが一定の直線分と、平面図上で閉曲線の上側の部分と下側の部分を考えます。この時、直線分に対して必ず上下に閉曲線の一部が対になって存在するようにします。このような閉曲線の分割を最低でも１つ行い、ものによっては２つ以上行います。

ここで、ｆ(ｚ)＝ｆ(ｘ,ｙ)＝ｆ(ｘ＋iｙ) である事に注意します。まず「直線状の線分と閉曲線の下側の経路」（必ずしもつながってなくてもいい）で構成されるｘによる定積分を、ぐるりと反時計周りに１周するように考えます。

$$\int_{C1}f(z)dx-\int_{CX}f(z)dx=\int_{X1}^{X2}f(x+iy)dx- \int_{X1}^{X2}f(x+iY_1)dx $$

$$=\int_{X1}^{X2} \left( – \int_ {y(x)}^{Y1} \frac{\partial}{ \partial y}f(x+iy)dy\right)dx = -\int_{X1}^{X2} \left(\int_ {y(x)}^{Y1} \frac{\partial}{ \partial y}f(x+iy)dy\right)dx $$

分割に使う直線分が２つ以上の場合も同様に定積分を考えておきます。

関数ｆ(ｘ,ｙ)＝ｆ(ｘ＋iｙ) を、積分変数のみに着目した意味での（偏）導関数を定積分したものと考えるわけです。（プライスマイナスの符号に注意。）この考え方はベクトル解析などでも使います。

次に、 「直線分と閉曲線の上側の経路」で構成されるｘによる定積分を、反時計周りに１周するように考えます。この時、直線部分は上記と同じものを共有してますが、積分の方向が逆です。曲線部分も積分の方向が逆なので符号が変わる点がポイントです。

$$-\int_{C2}f(z)dx+\int_{CX}f(z)dx=-\int_{X1}^{X2}f(x+iy)dx+\int_{X1}^{X2}f(x+iY_1)dx $$

$$= -\int_{X1}^{X2} \left( \int_{Y1}^{Y(x)}\frac{\partial}{ \partial y}f(x+iy)dy\right)dx $$

さきほどとは曲線が別のものになるので、y = y(x) ではなく y = Y(x) という形に書いて区別しています。

ここで、上記の２つのｘについての「反時計回り」の定積分を加え合わせると、

$$\left( \int_{C1}f(z)dx-\int_{CX}f(z)dx \right)+ \left( -\int_{C2}f(z)dx+\int_{CX}f(z)dx \right) = \int_{C1}f(z)dx -\int_{C2}f(z)dx $$

$$= -\int_{X1}^{X2} \left( \int_ {y(x)}^{Y1} \frac{\partial}{ \partial y}f(x+iy)dy\right)dx -\int_{X1}^{X2} \left( \int_{Y1}^{Y(x)}\frac{\partial}{ \partial y}f(x+iy)dy\right)dx $$

$$= -\int_{X1}^{X2} \int_{y(x)}^{Y1} \frac{\partial f(x+iy) }{ \partial y}dxdy- \int_{X1}^{X2} \int_{Y1}^{Y(x)} \frac{\partial f(x+iy) }{ \partial y}dxdy $$

$$ =-\int_{X1}^{X2} \int_{y(x)}^{Y(x)} \frac{\partial f(x+iy) }{ \partial y}dxdy=-\int\int_D \frac{\partial f(x,y) }{ \partial y}dxdy $$

このように、もとの関数を（１つの変数以外は固定する意味で）偏微分したものの領域内に渡って重積分したものになるわけです。結果的にマイナス符号がついたのは「反時計回り」を考えた事に由来し、仮に「時計回り」を考えるならこの符号は逆になりプラスになります。ｘが変数の場合、右から左と、左から右に積分する場合では符号は逆になります。

上記のように重積分の形になると、それを「領域全体にわたって行う積分」とみなせます。

分割が２つ以上の場合でも、定積分を全て加え合わせて閉曲線が全てつながるようにします。（補助的に考えている直線状の線分の部分は、分割がいくつであっても全てプラスマイナスが打ち消し合って定積分の合計は０になります。）

今度は、ｙについての定積分についても同じ事をやります。途中の計算は全く同じなので少々省きますが、次のようになるのです。

$$\left( \int_{C3}f(z)dy-\int_{CY}f(z)dy \right)+ \left( -\int_{C4}f(z)dy+\int_{CY}f(z)dy \right) = \int_{C3}f(z)dy -\int_{C4}f(z)dy $$

$$ =\int_{Ya}^{Yb} \int_{x(y)}^{X(y)} \frac{\partial f(x+iy) }{ \partial x}dxdy=\int\int_D \frac{\partial f(x+iy) }{ \partial x}dxdy $$

ｙのほうには i を添えたうえで、得られた結果を合わせると次のようになります。

$$ \int_{C1}f(z)dx -\int_{C2}f(z)dx + i\int_{C3}f(z)dy -i\int_{C4}f(z)dy $$

$$= \int\int_D \left( – \frac{\partial }{ \partial y} +i\frac{\partial }{ \partial x} \right) f(x+iy) dxdy= \int\int_D \left( i\frac{\partial }{ \partial x} – \frac{\partial }{ \partial y} \right) f(x,y) dxdy $$

分割した部分がｘとｙについて合わせて４つを超える場合でも同じで、全て加え合わせます。

再びｄｚ＝ｄｘ＋ i ｄｙに戻ると、閉曲線Ｃ上で反時計周りに定積分を行う場合は次のようになります。

$$\int_Cf(z)dz=\int_Cf(x,y)dx+i\int_Cf(x,y)dy$$

$$= \int_{C1}f(z)dx -\int_{C2}f(z)dx + i\int_{C3}f(z)dy -i\int_{C4}f(z)dy $$

分割の部分が多い場合も同様です。もとの閉曲線の曲線部分が全て入るようにします。

ｘについては、左→右：＋符号　右→左：逆で－符号
ｙについては下→上：＋符号　上→下：－符号　として部分ごとに定積分を対応させます。

これによって、結局公式の通りの関係式が成立する事になります。

$$ \int_Cf(z)dz=\int_Cf(x,y)dx+i\int_Cf(x,y)dy = \int\int_D \left( i\frac{\partial }{ \partial x} – \frac{\partial }{ \partial y} \right) f(x,y) dxdy 【証明終り】$$

参考：長方形による近似を使う証明の方法

参考までに、積分経路として小さな「長方形」を考えて、これの合計として任意の閉曲線を経路とする時も成立するという証明の仕方もあります。

こちらの考え方だと、長方形ですので最初からｘのみ、ｙのみという考え方が使えて、積分の計算がらくです。積分の方向を反時計回りという事で決めておけば、ぴったり隣り合う長方形同士の接する辺同士は積分が打ち消し合って周囲だけの分が経路として残るというわけです。

ただしこの方法の場合、じつは経路自体の形が「長方形 → 任意の（滑らかな）閉曲線」に移行する段階の時の話が少し面倒です。実際、円のような曲線を多角形で近似するような事は珍しくありませんが、「長方形」で近似するという事は、他の数学の分野ではあまり多くやらない事かと思います。一般の多くの複素関数論の教科書では、この詳細をあまり書きたがらない傾向があるように思います。

本質的には上記で述べた証明方法と比べて、やる事はそんなに変わりません。

前述の通り、複素関数論におけるグリーンの公式は、コーシーの積分定理に結びつく事で、さらなる積分の理論を組み立てる事に使われていきます。

物理の理論では、微分とは少し意味合いが異なる変分という計算が行われる事があります。

変分とは？例①：光の屈折

■ 汎関数という考え方　■ ２点間を進むための最小時間と光の屈折　■ 変分の記号と計算　

汎関数という考え方

ある関数 y = F(x) があった時、それをグラフに描いたとして、グラフの「弧長」ｓを決定する事ができます。この弧長ｓは、もちろん関数によって異なります。２端点が決まっている場合、 y = F(x) が どのような関数であるかに依存してｓが決まるわけで、ｓ＝ｓ(y) という関数であると考える事もできるわけです。このようなタイプの関数を汎関数と言います。

関数は通常Ｆ(x) などのように書きますが、汎関数である事を強調する場合には Ｆ[y] のように書かれる場合もあります。

２点間を進むための最小時間と光の屈折

通常の空間（ﾕｰｸﾘｯﾄﾞ空間）で２点を結ぶ最短距離は、２点間を結ぶ直線の距離です。同じ速さの物体を考える時にも、２点間を進むときの最短の時間となるのは直線軌道を通る時です。

しかし、領域によって速さが変わってしまう場合などは、じつは最短の時間となるのは直線軌道ではなく、折れ曲がったような経路になってしまいます。

どのような折れ線になるのかという問題自体は、普通の微分法で解く事ができます。ただし直交座標の平面を設定して軌道を関数と捉えた場合は関数形が変化して最短距離が決定すると見なせる事が重要で、それが変分の基本的な考え方であるというわけです。

光の屈折は、この問題の結果として表されると考えられています。
【※相対性理論で光線の軌道が曲がるという考え方は、これとはまた少し違った理論なので注意。】

変分の記号と計算

変分を表す時には、δ（デルタ）という記号を使います。これは、微分を表すためにｄという記号を使うのと区別する意味があります。

ある汎関数Ｉ[y] があった時、 その変分 δ Ｉ[y] は、
δ Ｉ[y] = Ｉ[y+δy]－Ｉ[y] で表されます。
（この定義の仕方で考えられた変分を、特に「第１変分」とも言います。）
δy は様々な形の任意の（微小な）関数です。

変分の定義から、例えば２つの汎関数の和ついては
δ( Ｉ[y]＋Ｊ[y] ) = ( Ｉ[y+δy]＋Ｊ[y+δy] ) － ( Ｉ[y]＋Ｊ[y] )＝ Ｉ[y+δy]－Ｉ[y] ＋ ( Ｊ[y+δy]－Ｊ[y] ）＝δＩ＋δＪ
が成立します。差についても同様です。

これらの定義や考え方は、もともとの意味での「微分」がｄF(x)＝F(x+dx)－F(x) で表される事と似ています。

ただし、微分の場合のｄｘが（小さい）実数であるのに対して、変分の場合の δy は様々な形の任意の（微小な）関数であり、ｙと全然違う形の関数も含めて考えているという点が異なります。その意味で、変分と微分は違うものである事は強調されるのです。

一度計算を始めて変化させる関数ｙを通常の実変数として動かすとみなしてよい状態に持ち込んだ時には微分計算と同じ事ができるという特徴があります。ただし、通常の１変数の微分ではなく、基本的には多変数関数の偏微分を含んだ全微分の計算になる点に注意する必要があります。

例②：解析力学　定積分に対する変分計算

■ 問題の設定　■ 計算の詳細　■ ｵｲﾗｰ・ﾗｸﾞﾗﾝｼﾞｭ方程式　

問題の設定

汎関数 I[y] が、次の形

$$I[y]＝\int_a^bF(x,y,y^{\prime})dx$$

$$条件：端点 x=a, x=b でyについての変分\delta y=0$$

で表される場合を考えます。y は x の関数であるとします。

積分などがあるといかにも話が複雑になりそうですが、じつは「部分積分」を使って式を簡単にするなど、計算上の利点も一部存在します。

このとき、Ｉ[y]の変分 δＩ[y] は次のように計算します。

計算の詳細

まず定義に従って、 \( δ I[y] = I[y+δy]－I[y]\) ですが、この先がまず第一のポイントで、積分の中身の \(F( x,y,y^{\prime}) )\) については、ｘは動かさずに、ｙだけ変化すると考えます。さらに、この時にｙの導関数は 「δｙ に対する導関数」の分だけ増減、つまり (δｙ)’ だけ増減します。

$$ δ I[y] = I[y+δy]－I[y] = \int_a^b F(x,y+\delta y,y^{\prime}+\delta y^{\prime} ) -F(x,y,y^{\prime})dx $$

続いて、ｙを通常の実数変数同様に扱えると考えて、積分の中身を全微分と同様に扱えるとみなします。この場合、ｘは動かしていませんのでｄｘに相当する項は０になります。

$$ F(x,y+\delta y,y^{\prime}+(\delta y)^{\prime} ) -F(x,y,y^{\prime}) =\delta y \frac{\partial F}{\partial y}+ (\delta y)^{\prime} \frac {\partial F}{\partial y ^{\prime} } $$

$$ δ I[y] = \int_a^b \delta y\frac{\partial F}{\partial y}+ (\delta y)^{\prime} \frac {\partial F}{\partial y ^{\prime} } dx= \int_a^b \delta y \frac{\partial F}{\partial y}dx + \int_a^b (\delta y)^{\prime} \frac {\partial F}{\partial y ^{\prime} } dx $$

次に、ｙの導関数に対する変分の項について、ｘに関して部分積分を行います。

$$(\delta y)’ =\frac{d}{dx}(\delta y)$$　

の箇所に対して部分積分を適用するという事です。
【このような事ができるのはδｙが「関数」であるからという事には一応注意。】

$$２番目の項について： \int_a^b (\delta y)^{\prime} \frac{\partial F}{\partial y ^{\prime} } dx =\left[ \delta y \frac{\partial F}{\partial y ^{\prime} } \right]_a^b- \int_a^b \delta y \frac{d}{dx}\frac {\partial F}{\partial y ^{\prime} } dx =\hspace{5pt} – \int_a^b \delta y \frac{d}{dx}\frac {\partial F}{\partial y ^{\prime} } dx $$

$$ 【∵\hspace{5pt}x=a,x=b で\delta y=0 という前提条件】$$

端点でδｙが０になるという条件をつけているので部分積分した後の第１項は０になって消えます。この条件は、要するに端点は固定して関数形を変化させるという意味です。

これにより、δＩを改めて書くと次のようになります。

$$\delta I = \int_a^b \delta y \frac{\partial F}{\partial y}dx – \int_a^b \delta y \frac{d}{dx}\frac {\partial F}{\partial y ^{\prime} } dx $$

$$= \int_a^b \delta y\left(\frac{\partial F}{\partial y} – \frac{d}{dx}\frac {\partial F}{\partial y ^{\prime} }\right) dx $$

さて、物理で使う場合は「ここまで変形できればじゅうぶん」という考え方をします。

ｵｲﾗｰ・ﾗｸﾞﾗﾝｼﾞｭ方程式

上記の条件での汎関数 I[y] に対する変分 δI[y] が０になる条件を考えると、積分の中身の

$$ \frac{\partial F}{\partial y} – \frac{d}{dx}\frac {\partial F}{\partial y ^{\prime}} $$

という部分が０であればよい事が分かります。（δｙは「任意の」(微小な)関数である事に少し注意。）

そこで、

$$ \frac{\partial F}{\partial y} – \frac{d}{dx}\frac {\partial F}{\partial y ^{\prime}} =0$$

という形の微分方程式が成立すればよいという事ですが、これは解析力学では座標系によらずこの形で使用できる運動方程式の形として知られていて、少し長ったらしい名称ですが「オイラー・ラグランジュ方程式」あるいは「オイラーの微分方程式」などとも呼ばれます。

通常のＦ＝ｍa の形の運動方程式はシンプルな形ではありますが、じつは直線直交座標を特別扱いしていて、座標系を例えば極座標に変換しただけで結構面倒で汚い形にと変わってしまいます。

これに対して上記の形の運動方程式は任意の座標系に対してこの形のまま話を進められるという事で、理論的な扱いとしては便利である場合があります。

例③：相対性理論、リーマン幾何学

一般相対性理論、リーマン幾何学で変分を使う例もあります。

１つの例は「測地線」という、曲面上の２点を「曲面に沿って最短経路で」結ぶ曲線に対して成立する式の導出です。この場合、弧長に相当する次の形の汎関数を考えます。

$$ \int_a^b \sqrt{\sum_{i,j=0}^3g_{ij}\frac{dx_i}{dr}\frac{dx_j}{dr}}dr $$

これを直接変分して計算を進めたものを０とおくか、
あるいは積分の中身の関数を上記で得られた微分方程式

$$ \frac{\partial F}{\partial y} – \frac{d}{dx}\frac {\partial F}{\partial y ^{\prime}} =0$$

に代入して計算を進めるかで、結論の式を得ます。どちらの場合も、最初一般の媒介変数ｒで計算しておいて、途中でｒがｓに比例するかｒ＝ｓとおいて式を簡単にする工夫が行われます。

重積分の定義と計算法、累次積分、変数変換と関数行列式について説明します。
微積分の中では、微分方程式・無限級数・偏微分の理論と並んで、応用数学でも重要です。

高校数学での１変数の積分の定義と公式は別途に詳しく説明しています。

重積分の物理学での応用としては、例えば電磁気学等で使うガウスの発散定理があります。

重積分とは「多変数関数に対する積分」

重積分とは、多変数関数に対する積分です。定積分・不定積分の両方があります。２変数の時を２重積分、３変数の時を３重積分、ｎ変数の時をｎ重積分（あるいは「多重積分」）・・と、言う事もあります。

■ 重積分の定義と表記方法
■ 積分領域が長方形ではない場合の考え方と処理
■ 重積分の簡単な計算：累次積分による例
■ 重積分と面積・体積との関係　

重積分の定義と表記方法

多変数関数Ｆ(x,y,z,・・)をｘ、ｙ、ｚ、・・のそれぞれで積分する計算を重積分と言います。
単純化のため、ここでは２変数関数Ｆ(x,y) を例にします。

計算の仕方の結論を先に言ってしまいますと、まずｘだけで積分の計算を行い、その後でｙについて積分の計算を行います。ｙの積分を先に行ってからｘで積分しても同じ結果になります。

1. まず最初は、ｙなどの変数は定数とみなしてｘで積分計算。
2. ｘに関して定積分の値を代入したら、今度はｙで積分計算。

変数を増やした場合でも表記方法は２変数の場合に準じます。
例えば３変数なら次のようになります。

$$ 定積分：\int_{z1}^{z2} \int_{y1}^{y2}\int_{x1}^{x2}F(x,y,z)dxdydz \hspace{10pt}不定積分\int \int\int F(x,y,z)dxdydz$$

積分領域が長方形ではない場合の考え方と処理

まず、いずれかの変数をもう１つの変数の関数として表して、それを区間とします。
つまり、ｘとｙの２変数で重積分をする時に、まずｘで積分をするとすれば領域の端を構成する曲線をｙの関数ｘ_１＝ｘ_１(ｙ)、ｘ_２＝ｘ_２(ｙ)として区間としておきます。

次に、ｙを定数とみなして原始関数を式で表せたとします。
その式のｘの部分に、通常の定積分計算のようにｘ＝ｘ_２(ｙ)とｘ＝ｘ_１(ｙ)を代入をして引き算します。
【例えばｘ＝２ｙであるとかｘ＝ｙ^２であるといった形を直接代入します。】
その計算の結果、変数ｘは全て消えてｙだけの関数になります。

最後に残った変数については、定数の区間の定積分を実行します。

３変数以上の場合でも考え方は同じで、変数をｘ、ｙ、ｚとして積分する場合には、最初に積分をする変数の区間は２変数関数として表され、２番目に積分する変数は区間が１変数関数で表され、最後に残った変数は区間が定数という形になります。

例えば、ｘ＝ｙ_^２とｘ＝２ｙで囲まれる領域を積分範囲を考えたとしましょう。この時に、ｙに関しては閉区間 [０,２]を考えるとします。その領域上でてきとうな２変数関数Ｆ(ｘ,ｙ)があったとして、まずｘで積分をする前提であるなら重積分は次のように計算します。

$$\int_{y1}^{y2}\int_{x1}^{x2}F(x,y)dxdy=\int_0^2\int_{\large{y^2}}^{\large{2y}}F(x,y)dxdy$$

一度そのように具体的な関数を区間に代入して表した場合には、積分の順番はｘ→ｙのようにきちんと決めて計算を行います。

$$つまり、\int_0^2\left(\int_{\large{y^2}}^{\large{2y}}F(x,y)dx\right)dyのような形で計算を行います。$$

重積分の簡単な計算：累次積分による例

もう少し簡単な例として、てきとうな２変数関数としてF(x, y) ＝ xy というものを考えて、重積分してみましょう。

この時、定積分の場合は x の範囲と y の範囲の両方が指定される必要があります。ここでは、例として x の積分区間は [0, 1]、y の積分区間は [4, 5] という範囲であるとします。【つまり積分する領域が長方形である場合です。】
【★数学では、この２つの範囲を表記する為に [0, 1] × [4, 5] と書く場合があります。この場合の「×」記号は、掛け算ではなくて「直積集合」を表すための記号です。】

では、その設定で重積分してみます。

$$ \int_{4}^{5}\int_{0}^{1} F(x, y) dxdy＝ \int_{4}^{5}\int_{1}^{2} xy dxdy = \int_{4}^{5} \left[\frac{yx^2}{2}\right]_0^1dy= \int_{4}^{5} \frac{y}{2}dy=\left[\frac{y^2}{4}\right]_4^5=\frac{9}{4} $$

まずｙを定数とみなして計算を進める事がポイントです。
１変数の積分の計算さえできれば、計算の考え方としては難しくないはずです。

重積分と面積・体積との関係

１変数の関数の積分には、グラフで表した関数の「面積」という意味がありました。

では多変数の重積分には何の意味があるかというと、２変数関数の重積分には「体積」としての意味があります。この時、積分変数の側のｄｘｄｙを面積要素と呼ぶ事があり、物理などで用いる場合はｄＳと書く場合もあります。(Ｓ は surface の頭文字です。)
◆参考：ベクトル解析における法線面積分の考え方

ｘとｙが直交座標の変数であるとき、ｄｘｄｙは（微小な）長方形の面積というわけです。累次積分によって重積分を計算する場合は、１回目にｘで積分することで、各ｄｙに対する非常に薄い板のような立体ができあがり、それをｙで積分して全体の体積になるというイメージです。

他方、３変数関数の重積分の場合は、空間上に分布する何らかの値を、特定の領域全体に渡って合計したものという意味があります。この場合、ｄｘｄｙｄｚを体積要素と呼ぶ事があり、物理などではｄｖで表記する事もあります。（ｖは volume の頭文字。）

１変数の積分にも言える事ですが、多変数の重積分においても、不定積分がうまく導出できない場合があります。しかし、積分は「和」の極限値であり、近似できるという考え方によって、コンピュータ（プログラミング）による「数値計算」で積分値を計算する事が可能です。

変数が増えても、物理的な意味付けができる場合には dX₁dX₂dX₃dX₄・・・といった積分変数の積を考えて重積分を行う場合もあります。

重積分の変数変換論

重積分の積分変数の変換は、偏微分の理論と深い関係があります。

■ 変数変換の公式と、基本的な考え方：曲線に沿った積分
■ 変数変換の理論と関数行列式：２変数の場合
■ ３変数以上の場合の重積分の変数変換　

変数変換の公式と、基本的な考え方：曲線に沿った積分

通常の重積分を累次積分で計算する時には、まずｘ軸に沿って関数の積分値を、各ｙの値に対して計算し、次にｙ軸に沿って積分をするわけです。

そこで、ｘ＝２ｕ＋ｖ, ｙ＝ ｕ＋３ｖ　のような変数変換をするとします。この時、ｘとｙではなくてｕとｖで積分する事を考えてみます。

この場合、 じつはｘｙ平面上の「ｕ曲線」と「ｖ曲線」に沿って積分を行う事になります。上記のように変数変換がｕとｖの１次式である場合は曲線ではなく直線になりますから斜交座標のようなります。

物理などで使われる変換の代表的なものは、極座標変換です。この場合、ｘ＝ｒcosθ,　ｙ＝ｒsinθ　という変換を行いますが、ｒとθで積分をする場合には θ 曲線（ｒが一定：つまり同心円）とｒ曲線（θが一定：つまり原点から伸びる放射状の直線）に沿って重積分を行うというわけです。

ただし、変換の式を直接代入するだけではじつは不十分で、次に述べますように「関数行列式」と呼ばれるものを掛け算しないと、計算がうまく行かないのです。

変数変換の理論と関数行列式：２変数の場合

１変数の積分での ｘ＝ｘ（ｔ） という変数変換では、積分時に（ｄｘ／ｄｔ）というオマケが必ずついてきました。では、多変数の重積分の場合は、このオマケの部分はどうなるのでしょうか？

この場合は、ｘ＝ｘ（u、v）, ｙ＝ｙ（u, v）である時の長方形の面積 ｄｕｄｖと、それに対応するｘｙ平面での領域の面積比が、積分計算の時に必ず乗じられるのです。この計算を行うには、偏微分を用います。

平面の領域にてきとうにたくさんの点を打って結び合わせる事で、領域を小さな三角形の集まりに近似できます。（もちろん数学的には、正確な領域の面積との差を無限に小さくできるという事です。）

今、それらの点がｘｙ平面上のｕ曲線、ｖ曲線上に打たれていると考えます。 ｕ曲線とｖ曲線を、非常に細かい「折れ線」であると考えます。
ここでのポイントは、１つ１つの微小な線分を「偏微分係数」であると考える事です。ｄｕに対してｘ方向には （∂ｘ／∂ｕ）ｄｕ 、ｙ方向には（∂ｙ／∂ｕ）ｄｕの変化があるベクトルが伸びるわけです。【具体的な点では偏導関数の変数に値を代入。】これは図で考えたほうが分かりやすいと思います。

すると、各点から始まる微小三角形の面積は、平面ベクトルの公式（ベクトルによる平行四辺形の面積公式）により、次のように表せる事が分かります：

この関数行列式は、某学者のイニシャルをとってＪで表記する事もあります。

◆行列式の定義については、２変数は簡単ですが３変数以上は多少込み入った考え方をします。ただし、そのように定義する事によって、いくつかの行列式の公式が成立したりします。

十分小さな微小三角形の面積と、その領域上のある関数の値を掛け合わせて全て加え合わせたものが定積分の値であり、その値は積分を微分の逆演算と考えて計算した値と等しくなるという事は、１変数の積分と全く同じです。まとめると、２変数の場合の重積分の変数変換の公式は次のようになります：

尚、証明はやや複雑になりますが、三角形ではなく「平行四辺形」で考える事も可能です。

３変数以上の場合の重積分の変数変換

さて、では３変数の時に ｘ＝ｘ（u, v, w）, ｙ＝ｙ （u, v, w） , ｚ＝ （u, v, w ） という変換をする場合や、４変数、５変数になった場合はどうなるのでしょうか。

この場合、式自体は変数が増えるごとにどんどん複雑になっていって手計算では手に負えなくなりますが、じつは一応規則性はあるのです。結論を言いますと、「ｎ変数→別のｎ変数」の変換に対しては、ｎ次の関数行列式を乗じればいいのです。２変数の場合は２次の関数行列式というわけです。

この場合の関数行列式の作り方は、行列の行の部分にｘ、ｙ、ｚ、・・を対応させ、列の部分に対して偏微分する変数ｕ、ｖ、ｗ、・・を対応させ、行列式を作るという形になります。
３変数の場合は、次の形の行列式を考える事になります：

$$\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)} \right|=\Large{\left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial w}\\ \frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial z}{\partial u}&\frac{\partial z}{\partial v}&\frac{\partial z}{\partial w}\end{array}\right| }$$

３変数の場合には空間上の４点を結ぶ事で４面体の集まりとして近似する事が（必ず）できますが、じつは３次元空間での「平行６面体の体積」が行列式の形でうまく表現できるという命題があります。
そこで、ｄｕｄｖｄｗという「立方体」の体積と、対応するｘｙｚ空間上の領域の体積比がうまい具合に関数行列式で表せるというわけです。４変数以上の場合は図にはうまく描けなくなりますが、考え方としては同じで、ｄｕｄｖｄｗｄｔといった量と、対応する領域の量の比を考えるわけです。

ただし、これは数学的な理論としてはそうなるという事であり、実際問題として４次以上の重積分の変数変換を「手計算」でひたすらやるという作業は、応用上も純粋数学上もほとんどないと言ってよいかと思います。他方で、関数行列式を展開せずにそのままの形で数学的な議論を進める場合や、数値計算を行う場合にはｎ変数の重積分の変数変換が使われる事もあります。

物理では重積分はどう使われる？

物理で重積分を累次積分で計算する時は、変数変換してから計算する事が比較的多いかもしれません。ただし、変換の仕方は、基本的には極座標や円柱座標などの分かりやすいものが多いです。
（※理論を複雑にしてしまうと応用上の変数変換のメリットがないので、基本的に、式と計算を簡単にするために変数変換を行います。）

また、具体的な定積分の数値の計算はせずに種々の公式や命題を用いて延々と式変形を進めて、最終的には積分の計算が必要なくなる式を理論的に得てから、計算をするという事もよくあります。

例えば、電磁気学では重積分の形の式が非常に多く用いられますが、直接的に重積分を計算するというよりは、モデルの作り方を工夫 する （例えば領域を球面に選ぶなど）事によって、場面に応じて使える公式を得る目的で用いられます。
コンデンサーやソレノイドに対して成立する式などは平易なものですが、おおもとの形には多変数の微分や積分が含まれており、特別な場合をうまく考える事によって式を簡単にしているのです。

今回は、全微分という、少し聞きなれないかもしれない考え方について説明します。これは、前回の偏微分の理論と直接的に関係するものです。全微分の考え方を述べた後に、物理の熱力学での応用について述べます。

英名では、全微分は exact differential あるいは total differential と言います。

★ このページでは、「関数」と言ったら全て（偏）微分可能な関数の事を指す事にします。そのため、「連続な」「偏微分可能な」といった表現は基本的に省略いたします。解析学的に見る場合は、それらの考察も重要になります。

「全微分」とは何か？定義と考え方・偏微分との関係

初めに、数学的な定義と考え方です。本質的に、偏微分と深い関わりがあります。

■ 全微分の定義　単独で表れるｄＦ、ｄｘ、・・
■ 全微分と「合成関数に対する偏微分の公式」との関係
■ １変数の場合の dＦ や dx の元々の数学的意味は？　

全微分の定義　単独で表れるｄＦ、ｄｘ、・・

全微分とは多変数関数について定義されます。多変数関数に関しては偏微分を考える事ができますが、この偏微分による偏導関数を用いて全微分は定義されます。

この「ｄＦ」が単独で表現される事に違和感を覚えるかもしれません。実際、このままでは具体的な関数の微分計算はできません。例えば、具体的な関数 \(F(x) =e^x\) に対して dF というものを考えたとしても、それは \(dF=d(e^x)\) とだけしか表現のしようのない物でそれ以上計算はできません。導関数として計算できるのは、あくまでｄＦ／ｄｘです。

では、上記定義で表される「全微分」とは何の意味があるのでしょう？この定義の計算としての意味は、じつは合成関数に対する偏微分の公式です。

全微分と「合成関数に対する偏微分の公式」との関係

全微分の定義には偏微分が含まれていますが、本質的に、偏微分について成立する公式と直接的な対応を持っています。合成関数に対する偏微分の公式は、ｘ、ｙ、ｚ・・の各変数が、別の１つだけの変数の関数である場合は次のようになります。

さて、これを全微分の定義の式と見比べてみましょう。
すると、形式的には「全微分の定義」の式について「両辺をdtで割った」形を考えてみるとぴったりと偏微分の公式に一致する事が分かるでしょうか？
じつは全微分の定義にはこのような「意味」があるわけなのです。

多変数関数が常に合成関数として扱えるという保証はないわけですが、具体的な計算を考える時に意味を持つのは合成関数に対する偏微分の公式のほうです。

それを踏まえたうえで、多変数関数に対する全微分を考える事は割と多くあり、特に物理では使用する事が多いです。

１変数の場合の dＦ や dx の元々の数学的意味は？

物理などの応用で使う場合は、dF や dx という表記を単独で用いる場合は「微小量」を表す事が多いです。ただし、じつは数学の解析学的にもきちんと意味があります。

上記のように 多変数関数Ｆ（ｘ，ｙ，・・）に対する「全微分」ｄＦが定義されるわけですが、じつは１変数関数Ｆ（ｘ）に対しても同様にｄＦという単独の表記にも解析学での定義があります。

解析学的には、ｄＦやｄｘというのは、
じつは本来は、ある点を新しい原点として設定した時の座標軸の変数です。

その新しい原点での、関数Ｆ（ｘ）に対する接線の傾きをＡとして、
ｄＦ＝Ａ(ｄｘ)
という１次式を考えます。この１次式は、近似１次式とも呼ばれます。
解析学的に厳密には、この時のｄＦの事を１変数関数におけるＦ（ｘ）の微分と言うのです。
この意味では、接線の傾きは「割り算」によって「Ａ＝（ｄＦ）／（ｄｘ）」という事になります。

ただし、導関数として ｄＦ／ｄｘと書く時は、あくまで極限値としての導関数として、
ｄＦ／ｄｘ という表記全体で１つの意味を持つ事にしています。
（導関数に具体的な値を代入したものを微分係数と呼ばれます。）
こういった事が、決め事として少々分かりにくいところかもしれません。

じつは全微分の定義とは、この意味で用いられているものなのです。すなわち、多変数関数に対しても同様に、ｄＦ＝Ａ（ｄｘ）＋Ｂ（ｄｙ）＋Ｃ（ｄｚ）＋・・を考えるという意味です。２変数関数の場合は、３次元座標での「接平面」を考えている事になります。
★ 上記でも触れましたが、多変数の場合でも「微分」と言ってしまう場合もあります。しかしこのサイトでは、基本的に多変数の場合は「全微分」と呼ぶ事にします。

この時に、１変数関数の場合には接線の傾きと考えていたものについて、多変数関数の場合は各変数に沿った傾きとするわけです。座標上の具体的な点においては、偏導関数に特定の値を代入した偏微分係数が各傾きになります。
すなわち上の式で、Ａ＝∂Ｆ／∂ｘ、Ｂ＝∂Ｆ／∂ｙ、Ｃ＝∂Ｆ／∂ｚ、・・という事です。
意味としては、こういう事なのです。

重要公式：積の形の関数に対する全微分

２つの多変数関数Ｆ（x,y,z,・・）と Ｇ（x,y,z,・・）の積【掛け算】ＦＧに対する全微分ｄ（ＦＧ）を考えてみます。結論を先に言うと、１変数の微分の時の積の微分の時と同じ形の式が成立します。これも、物理での応用で使われます。

■ 積の形の関数に対する全微分の公式
■ 証明に必要な事： 積の形の関数に対する偏微分
■ 積の形の全微分の式の証明　

積の形の関数に対する全微分の公式

積の形の関数に対する全微分については、通常の１変数関数の場合の、積に関する微分公式同様の式が成立します。
これは数学の解析学ではそれほど重要な式ではありませんが、物理では使う事があるので述べておきましょう。

この公式が成立する事を示すには、「積の形の関数に対する偏微分」がどのように表されるかという事が問題になります。ただ、この問題はじつは難しくなくて、１変数の時と同じように考える事が出来ます。

証明に必要な事： 積の形の関数に対する偏微分

偏微分に関して、積の形に対する計算は通常の微分の場合と同じく次式が成立します。

$$\frac{\partial }{\partial x}(FG)= \frac{\partial F }{\partial x} G+ \frac{\partial G } {\partial x} F$$

これに対する証明は、（合成関数の場合とは違って）１変数の場合の積に対する微分公式と全く同じです。プラスマイナスでゼロになる２つの項を加える事で証明できます。式の形を見ると、本質的に１変数の時と同じである事が分かります。
２変数の場合を記しますが、何変数でも同じです。

$$ \frac{\partial }{\partial x}(F(x,y)G(x,y))= \lim_{h\to 0}\frac{F(x+h,y,)G(x+h,y)-F(x,y)G(x,y)}{h}$$

$$= \lim_{h\to 0} \frac{F(x+h,y)G(x+h,y)-F(x,y)G(x+h,y)+\{ F(x,y)G(x+h,y)- F(x,y)G(x,y)\}}{h} $$

$$= \lim_{h\to 0} G(x+h,y) \frac {F(x+h,y) – F(x,y)}{h}+ \lim_{h\to 0} F(x,y) \frac {G(x+h,y) – G(x,y)}{h}$$

$$= \frac{\partial F }{\partial x} G(x,y)+ \frac{\partial G }{\partial x} F(x,y)【証明終り】 $$

このように、１変数の時と同じです。

積の形の全微分の式の証明

では、関数が積の形の場合の全微分の式の「証明」について見てみましょう。
こういう場合、上記の定義のＦの部分に（ＦＧ）という積の形をそのまま入れて、計算が可能であれば進めていって公式を得るという方法をとります。すると、よく見ると積の部分は偏微分の計算さえできればよい事が分かります。

積の形になっている部分の偏微分を、１変数の時と同じ要領で計算していきましょう。すると・・・・。

$$d(FG)=\frac {\partial (FG) }{\partial x}dx+ \frac {\partial (FG) }{\partial y}dy$$

$$= \left(\frac{\partial F }{\partial x} G+ \frac{\partial G }{\partial x} F\right) dx+ \left(\frac{\partial F }{\partial y} G+ \frac{\partial G }{\partial y} F\right) dy$$

$$ = \left(\frac{\partial F }{\partial x}dx + \frac{\partial F }{\partial y}dy \right)G+ \left(\frac{\partial G }{\partial x}dx + \frac{\partial G }{\partial y}dy \right)F=(dF)G+(dG)F 【証明終り】$$

このように、偏微分に関して積の計算をした後、上手にＦとＧに関してまとめると、ｄＦとｄＧの定義の形が出てくるので d(FG)＝(dF)G+(dG)F という形にまとまるわけです。

つまり、結果として、多変数関数に対する全微分も、積の形の関数に対しては
１変数関数や偏微分の場合と同じ形になる、という事です。

じつは、合成関数の偏微分に対して積の形の場合を計算して対応させると考えても同じ結果を得ます。
その場合の計算も記しておきましょう。
（上記と同じく、x,y はｔだけの関数とします。つまり∂ｘ／∂ｔ＝ｄｘ／ｄｔです。）

$$\frac{d(FG)}{dt}=\frac {\partial (FG) }{\partial x}\frac{dx}{dt}+ \frac {\partial (FG) }{\partial y}dy$$

$$= \left(\frac{\partial F }{\partial x} G+ \frac{\partial G }{\partial x} F\right) \frac{dx}{dt} + \left(\frac{\partial F }{\partial y} G+ \frac{\partial G }{\partial y} F\right) \frac{dy}{dt} $$

$$= \left(\frac{\partial F }{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial F }{\partial y} \frac{dy}{dt} \right)G+ \left(\frac{\partial G }{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial G }{\partial y} \frac{dy}{dt} \right)F= \frac{dF}{dt} G+ \frac{dG}{dt} F $$

得られた式から形式的にｄｔの部分を除くと、積の形に対する全微分の式にちょうど対応します。

物理での使い方：熱力学での例

全微分の形で議論を進める分野の１つの例として、初歩的な熱力学の理論について述べます。

■ 熱力学での色々な変数
■ 内部エネルギー変化ｄＵの計算　全微分と偏微分の関係の利用
■ エンタルピーＨの変化量ｄＨ と積に対する全微分の式　

熱力学での色々な変数

熱力学とは、通常の力学や電磁気学とは少し性質が異なり、どちらかというと物理化学などの分野と相性がよい領域です。熱力学では、ある「系」（例えば容器に入った気体）について、まず次の量を考えます。

• 体積Ｖ
• 圧力Ｐ
• 温度Ｔ【これは、いわゆる絶対温度で、０[℃]を298[K]とします。】
• 内部エネルギーＵ

また、これらを組み合わせた量や、系に出入りする「熱」（温度とは別）も考えます。

• 熱 ｑ
• 仕事 ｗ【本質的には力学での仕事と同じものです。】
• エンタルピー H＝U+PV【主に発熱・吸熱として観測できる量です。】
• エントロピーＳ ・・dS = Δq ／T なるＳとして定義

これらの変化量を dV 、dP などの全微分の形で表記して議論を進めます。物理でこれらを考える場合には時間という変数で微分・積分が可能と考えられますからｄｖ／ｄｔなどを考えても同じ事ですが、導関数ではなくて全微分の形で話を進めてしまう事が普通です。

上記の量のうち、「エントロピー」（記号Ｓ）というものだけが妙な定義のされ方をされているように見えるかと思いますが、これで計算を行うという理論になります。意味としては、系の「乱雑さ」の度合いを表す量です。

$$積分によりS=\int_{T1}^{T2 } \frac{Δq}{T} dTとも表せます。【このページでは、あまり関係ありません。】$$

「エンタルピー」という量（記号Ｈ）も少し分かりにくいかもしれませんが、定圧条件（dP＝０）で ｄＨ＝Δｑ となり、発熱・吸熱として比較的観測しやすい量なので敢えて定義されるものになります。

内部エネルギー変化ｄＵの計算　全微分と偏微分の関係の利用

まず、内部エネルギーの「変化」を考えます。つまり、Ｕに対してｄＵを考えるわけです。このｄＵは、全微分です。しかし最初は、上記の全微分の定義は直接的には使わずに少しだけ計算を進めます。いくらか変形した後で適用する箇所があります。

物理的な考察から、ｄＵ＝Δｑ ＋ Δｗ 　と書いておきます。※ｄｗ、ｄｑと書いてもよいのですが、非状態量である事を強調して区別する事が多いです。

意味としては、外部からの圧力で仕事がされた、外部から熱が入ってきたという状況です。（あるいは膨張などで外部に仕事をした・熱が外に出て行ったなど。）

ここで、まずΔｗ＝－ (dV)P の関係があります。
これは、等圧（ｄｐ＝０）の条件下で、次の仮定でのモデルを考える事によります：

• 系が外部に仕事をした時は体積が増える。
• その分、内部エネルギーは減る。（温度は下がる。）

逆に、逆に外部から仕事をされた場合は体積は減りますが内部エネルギーは増えます。

また、熱の変化Δｑに関しては、
ｄＳ＝Δｑ／Ｔ　⇔　Δｑ＝（ｄＳ）Ｔ
の関係からエントロピーでの表記に直します。

組み合わせて、ｄＵ＝（ｄＳ）Ｔ －（ｄＶ）P という関係式を作っておきます。

数学的な全微分の定義の式を直接使って考察をするのはここからです。

ここで、Ｕが多変数関数Ｕ(Ｓ,Ｖ,・・)であるとして、
さらに「等圧条件」ｄＰ＝０と「等温条件」ｄＴ＝０という場合を考えます。
（このように所定の条件を加えて考察する事が多いです。）
すると、全微分としては次のようにります。

$$dU＝\frac{\partial U}{\partial S}dS+\frac{\partial U}{\partial V}dV+\frac{\partial U}{\partial T}dT+\cdots= \frac{\partial U}{\partial S}dS+\frac{\partial U}{\partial V}dV $$

普通に全微分を考える際にはｄＰ、ｄＴを含めた項も含まれますが、ｄＰ＝０、ｄＴ＝０【圧力、温度の変化は無し】という条件を設けるので式が簡単になるわけです。

成立する２式を並べて書くと次のようになります。

この事から何が言えるでしょう？
結論を言いますと、Ｕに対するＳ，Ｖの偏導関数がそれぞれＴ、Ｐであると解釈がなされるのです。

ここから先も計算による考察が続くのですが、このページではここで止めておきます。

エンタルピーＨの変化量ｄＨ と積に対する全微分の式

次の例として、エンタルピーＨの変化量ｄＨを考えてみましょう。
これに対しては、積に対する全微分の式を用いるのです。

「エンタルピー」Ｈの定義は、Ｈ＝Ｕ＋ＰＶ です。も考えておきます。

次に、Ｈの変化量（全微分）を考えます。
これは ｄＨ＝ｄＵ＋ｄ(ＰＶ) になります。

ここで上記の「積の形に対する全微分」の公式を適用しましょう。
ＰＶという、圧力と体積の積になっている部分に対して適用します。すると、
ｄＨ＝ｄＵ＋ｄ(ＰＶ) ＝ ｄＵ＋(ｄＰ)Ｖ＋(ｄＶ)Ｐ
という形になるわけです。

前述でも触れましたように、この部分の計算は１変数関数の積に対する微分公式と同じ形になるので「通常の微分（変数は時間）」と捉えて計算しても結果的に差し支えない箇所です。
ただし、本質的にこれらのＰ、Ｖ、Ｕ、Ｓなどは多変数関数である事に注意も必要です。そのため、一応多変数関数の全微分と捉えたほうがよいとは思います。

この他に、Ａ＝Ｕ－ＴＳ、Ｇ＝Ｈ－ＴＳといった量を考えます。（いずれもエネルギーとして考えられます。）ｄＡやｄＧも、ｄＨと同じく積に関する全微分の式を考えて変形を行う事ができます。

熱力学というのは決して分かりやすい分野ではなく、この他にも色々な面倒な計算の理論があったりします。しかし、数学の偏微分や全微分の理論を踏まえておくと、初歩的な部分に関しては大分分かりやすくなるのではないかと思います。

参考文献・参考資料

■ 参考文献のリンクは、外部リンクになります。

• 
  微分積分学〈2〉多変数の微分積分
• 
  熱力学 (基礎物理学選書)
• 

この記事では、偏微分について説明します。

★ 英名は、「偏微分」の演算の事を partial differentiation、
偏微分によって得る「偏導関数」を partial derivative と言います。

この偏微分の考え方は、解析学・微分積分学的にも重要ですが、特に物理での応用で重要です。大学の物理学では割と初歩的な理論の中でも偏微分を普通に使いますので、ぜひ知っておきましょう。まずは記号に慣れていただく事が大事かと思います。
合成関数に対して成立する偏微分の公式も、
物理学の種々の分野の要所で用いられる重要公式です。

偏微分の定義と使い方

では、まず偏微分の定義と簡単な計算方法、物理等での基本的な使い方を見てみましょう。「偏『微分』」という名の通り、微分の仲間です。

■ 偏微分の定義　■ 偏微分の簡単な計算例　■ 物理での偏微分の使われ方の例　

偏微分の定義

偏微分の定義自体は非常に簡単で、要するに、多変数の関数において、「１つの変数だけに着目し、他の変数は定数とみなして微分の計算をする事」です。

偏導関数に特定の値を代入した「偏微分係数」は
$$\large \frac{\partial F}{\partial x}(a,b,c)\hspace{5pt}や\hspace{5pt}\partial xF(a,b,c)$$のように書きます。

偏微分の簡単な計算例

例として、てきとうな関数 F(x,y,z)= xy + z をｘで偏微分してみましょう。この時、ｙとｚは定数扱いにしてｘだけで「微分」すればよいのです。

$$\frac{\partial}{\partial x}F(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x} (xy + z) =y $$

この場合、xy の部分はｘでの偏微分ではｘの部分だけ微分してｙは定数係数扱いです。
ｚ項の部分はｘに関しては定数と考えて、
ｚをｘで偏微分すると０になるわけです。（∂／∂ｘ）ｚ＝０ という事です。
基本的な考え方は簡単ではないでしょうか？

もう１つ例として、極座標の形で表した関数の偏微分を考えてみます。Ｆ（ｒ,θ）＝ｒcos θ とします。これに対するｒの偏微分と、θの偏微分を考えてみましょう。

$$ \frac{\partial}{\partial r}F(r,\theta)= \frac{\partial}{\partial r} (r\cos \theta)= \cos \theta $$

$$ \frac{\partial}{\partial \theta}F(r,\theta)= \frac{\partial}{\partial \theta} (r\cos \theta)= -r\sin \theta $$

偏微分のラウンドディーの記号に慣れてないと難しく見えるかもしれませんが、やってる事は通常の微分と計算と同じなので、じつは単純なのです。

物理での偏微分の使われ方の例

物理では、関数が座標成分と時間の両方の関数である場合に、「時間だけの変化率」を考えたい時に時間による偏微分を行います。

例えば電磁誘導は磁場の変化（時間微分）によって起電力が発生するというものですが、
電場は時間以外に位置座標 x, y , z の関数でもあるので「時間変化」という事を明確にするために時間による偏微分で表現します。

$$電磁誘導の式：\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\hspace{10pt} \overrightarrow{E} ：電場　 \overrightarrow{B}：磁場【あるいは磁束密度】 $$

時間ではなくて位置座標による変化という事を明確にするのであれば、位置座標による偏微分を考えます。
例えば、磁場に関しては次の式が必ず成立します。 「単独で存在する磁荷」は無い事を表現します。

$$ \large \frac{ \partial B_X}{\partial x}+ \frac{ \partial B_Y}{\partial y} + \frac{ \partial B_Z}{\partial z} =0 \hspace{10pt} \overrightarrow{B}=(B_X,B_Y,B_Z) $$

このように、意味としては「どの変数に着目してるのか？」それを明示しているのが偏微分というものです。使われ方としては、基本的には単純なのです。
（※微分方程式の解き方も含めて、計算は面倒になる場合も確かにありますが、偏微分そのものが複雑な演算というわけではないという事です。）

工学の場合は、分野によってはそれほど偏微分の理論を使わずに通常の微分で大体足りるものも中にはありますが、物理では力学などの基礎的な部分も含めて、偏微分の考え方は非常に多く用います。

重要公式：合成関数に対する偏微分

合成関数を考える場合、じつは合成関数に対する偏微分の公式は、通常の１変数の時の合成関数の微分公式と形が異なります。この点を誤解すると物理などの理論で混乱を招くので、公式の形が変わるという点は偏微分の基礎理論の重要ポイントの１つです。

■ 多変数関数の合成関数の考え方　■ 合成関数に対する偏微分の公式　■ 公式の証明　

多変数関数の合成関数の考え方

１変数の場合、例えば F(x) に対して x = G(t) であれば F(G(t)) という合成関数になります。

これに対して、多変数の場合は、例えば F(x,y) について、ｘとｙのそれぞれについて、別の多変数 u, v を用いて x = X(u, v) , y = Y(u, v) で表し、
F(x,y) = F( X(u, v) , Y(u, v) ) となるという考え方をします。これは、慣れないと少し分かりにくいかもしれません。

考え方としては、３変数を２変数による合成関数として考えたり、２変数を３変数による合成関数と考える事もできます。

これは、例えば位置座標 x, y, z で表される関数を３次元の極座標で表すために r, θ, φ という別の３つの変数を用いた合成関数として表す事が可能です。（計算は、一般的に結構面倒くさくなります。）

合成関数に対する偏微分の公式

公式は、次の通りです。変数を１つだけと考えると、通常の合成関数の微分公式になります。

何変数でも同じ事ですが、例えば２変数に対して２変数による合成関数を考える時、つまり F(x,y) に対して x = X(u,v), y = Y(u,v) の時に、F に対して u, v で偏微分する時は次のようになります。

$$\frac{\partial}{\partial u}F(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$$

$$\frac{\partial}{\partial v}F(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}$$

１変数に対して別の１変数の合成関数であれば、次のように、通常の１変数の合成関数の公式と一致します。

$$１変数の場合は \frac{\partial}{\partial t}F(x)= \frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{dF}{dx} \frac{dx}{dt} $$

公式の証明

合成関数に対して偏微分を考える場合、なぜ和が出てくるのか？という話ですね。基本的の証明の方法は、１変数の場合の、積や商の微分公式の証明と似ています。プラスとマイナスがゼロになって「隠れている」項があるわけです。

証明は、偏微分の定義の式に戻って計算を進めます。１つの変数 u で偏微分する時は、v, w,・・等は計算に影響しないので、ここでの証明では v, w 等の記載を省かせていただきます。本質的には、それらの変数もあると思ってください。

$$F(X(u+h),Y(u+h),Z(u+h))-F(X(u),Y(u),Z(u))に対して、$$

$$F(X(u),Y(u+h),Z(u+h))- F(X(u),Y(u+h),Z(u+h)) および$$

$$F(X(u),Y(u),Z(u+h))- F(X(u),Y(u),Z(u+h)) を加えます。 $$

すると、Ｆに対する u の偏導関数は次の和の形になります。
途中で平均値の定理を用いていて、ｘに対して特定の値を代入している部分があります。

$$ \large \frac{\partial}{\partial u}F(x,y,z) $$

$$= \large \lim_{h\to 0}\frac{F(X(u+h),Y(u+h),Z(u+h))-F(X(u,v),Y(u,v),Z(u,v))}{h} $$

$$ \large =\lim_{h\to 0} \frac{F(X(u+h),Y(u+h),Z(u+h))- F(X(u),Y(u+h),Z(u+h))}{h} $$

$$ \large + \lim_{h\to 0} \frac {F(X(u),Y(u+h),Z(u+h))- F(X(u),Y(u),Z(u+h))}{h} $$

$$ \large + \lim_{h\to 0} \frac{F(X(u),Y(u),Z(u+h))- F(X(u),Y(u),Z(u))}{h} $$

$$ \large =\lim_{h\to 0} \frac {\{X(u+h)-X(u)\} \partial x F(\phi_X,Y(u+h),Z(u+h))}{h} 【平均値の定理】$$

$$ \large +\lim_{h\to 0} \frac {\{Y(u+h)-Y(u)\}\partial y F(X(u),\phi_Y,Z(u+h))}{h}$$

$$ \large +\lim_{h\to 0} \frac {\{Z(u+h)-Z(u)\} \partial z F(X(u),Y(u), \phi_Z) }{h}$$

$$ \large =\lim_{h\to 0} \left\{\frac {X(u+h)-X(u)}{h} \partial x F(\phi_X,Y(u+h),Z(u+h))\right\} $$

$$ \large +\lim_{h\to 0} \left\{\frac {Y(u+h)-Y(u)}{h} \partial x F(X(u),\phi_Y,Z(u+h))\right\} $$

$$ \large +\lim_{h\to 0} \left\{\frac {Z(u+h)-Z(u)}{h} \partial x F(X(u),Y(u),\phi_Z)\right\} $$

$$ \large = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial F}{\partial z}= \frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u} 【証明終り】$$

一番最後のところは掛け算の順番を入れ替えて書き直しただけです。

１変数の場合は上記のようにプラスマイナス０を利用した項の付け加えが必要なかったので、和の形ではなく１項だけになります。

合成関数の偏微分は物理の中では様々な箇所で用いられますが、例えば全微分というものとの関連で熱力学や流体力学の理論で用いたり、リーマン幾何学との関連で相対論で計算を考える時もあります。また、基本分野の古典力学の理論でも使用する事があります。得られた結果は電磁気学等でも使用します。

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