カテゴリー: 図形・平面幾何

体積の意味と考え方、柱体や錐体などの立体の体積の計算の仕方などについて説明します。

このページでは、「高さ」と言ったら断りのない限りは、底面から見た「立体的な意味での高さ」の事を意味しています。

立方体と柱体の体積

基本的には、１辺の長さが１の立方体の体積を１として、これが何個分あるかで立体の体積とします。それが２個分あれば体積は２、半分であれば１／２という具合です。面積が「広さ」を表す量であるのに対し、体積は大きさを表します。この時、１つの辺の長さが何倍かになれば、同じ割合で体積も増加します。

■ 体積とは？　■ 体積の単位　■ 柱体の体積の考え方　

体積とは？

その意味で、１辺の長さがａの立方体の体積は、ａ３になります。例えば１辺が２であれば２×２×２＝８が体積で、「１辺が１の立方体」の８個分の大きさであるという事です。

また、直方体の体積は互いに垂直な方向に伸びた３つの辺の長さの積になります。底面が辺の長さａとｂの長方形で、立体的な高さがｃである直方体の体積はａ×ｂ×ｃ（＝ａｂｃ）となります。

体積の単位

３つの辺の長さが掛けられるので、その意味で辺の長さに単位がついている場合には、例えばセンチメートルｃｍに対しては体積の単位はｃｍ^３と書き、「立方センチメートル」と読みます。
単位がメートルであれば体積の単位はｍ^３と書き「立方メートル」と読みます。

この時の単位の換算は、１ｍ^３＝（１００ｃｍ）^３と考えて、１ｍ^３＝１００００００ｃｍ^３(＝１０^６ｃｍ^３)というふうにします。１立方メートルの体積は、１００万立方センチメートルの体積に等しいという事です。これは、計算上の見かけはそうなるという事ではなくて、実際に立方メートルの体積の箱には１立方センチメートルのサイコロが１００万個入る大きさであるという事です。

「え、そんなにたくさん入りますか・・？」

数字だけ見ると、確かにそんなに数が大きくなるだろうか？と、思ってしまいますね。しかし、１００が１００個あれば１万で、１万が１００個あれば１００万ですから、確かにそのような事になるのです。１ｃｍのサイコロを１ｍの中に並べると、１００個です。１ｍの長さの正方形には、それが１００列ありますから１万個入ります。１ｍの長さの立方体には、それが１００段ですから１００万個になるという事です。身近な例で、計算してみると「意外と」大きくなるという例かもしれません。箱などの入れ物の体積を、特に「容積」と呼ぶ場合もありますが、数値として扱う時には体積と全く同じ単位や計算法を使います。

実用上の体積の単位として、「リットル」があります。記号ではℓ（「エル」の筆記体）を使います。【Ｌやｌ(小文字の「エル」)なども使われます。】これは牛乳などにも書いてある事もあるのでなじみがある人も多いかと思います。

実際、これは基本的には液体の体積を表すのに使われる事が多いものです。１リットルは、１０００ｃｍ^３に等しい体積です。液体の体積や、液体を入れる容器の体積を特に「容量」と言う場合もあります。

化学などでは「ミリリットル」という単位もよく使います。記号は、ｍℓもしくはｍｌのように書きます。この「ミリ」は、「１ミリメートル【ｍｍ】」のミリと同じで、千分の１という意味です。【１０ｍｍは１ｃｍですが、本来は１ｍ＝１０００ｍｍという換算です。】

つまり、１０００ｍℓ＝１ℓですが、１ℓ＝１０００ｃｍ^３でしたから、じつのところ１ｍℓと１ｃｍ^３は、体積としては全く同じです。ただ、ミリリットルのほうは液体の容量を指す事が多いという点が実用上の違いです。

柱体の体積の考え方

面積の場合、三角形の面積は
三角形→平行四辺形→長方形→「正方形が何個分詰まっている広さか」
という考え方のもとで計算していました。立体の体積も、基本的に同じ考え方です。

まず、三角柱を考えると、これは２個合わせれば底面が平行四辺形である四角柱になります。その四角柱は、出っ張っている部分を切り取って反対側にくっつければ、直方体になります。

つまり、底面の三角形の面積を出して、立体的な意味での高さを掛ければ、体積１の立方体が何個分あるかという意味での体積に等しくなります。

さらに、任意の多角柱は、三角柱に分割できます。という事は、角柱の場合には
「底面の図形の面積（＝底面積）」×「立体的な意味での高さ」
によって体積が計算できるという事を意味します。

円柱や、さらには任意の閉曲面を底面とする柱体でも考え方は同じで、無数の細かい三角柱の体積の和の極限を考えます。一般に柱体の体積は「底面積」×「立体的な意味での高さ」で計算します。

平行６面体のような立体の体積も、「底面×立体的な意味での高さ」で計算できます。底面に平行な平面で各高さの断面を見ると平行四辺形である事によります。【そのような薄い四角柱の合計の極限・積分として考えると導出は楽です。】

錐体の体積

三角錐、多角錐、円錐の体積の場合は、底面積×高さ÷３で計算します。（これを使った計算は、中学校の数学や高校入試の問題でも問われる事があります。）

この「÷３」あるいは「×１／３」は一体どこから出てくるのかというと、一番簡単な導出方法は積分を使う方法ですが、それを使わないでも導出は可能です。

まず、三角錐からです。三角柱を考えて、これを体積が等しくなるように３分割する方法を考えます。この時に三角柱を、ちょうど体積が等しい三角錐３つで分割できます。三角柱の体積は「底面積×立体的な高さ」ですから、それを３で割って三角錐の体積になるというわけです。あるいは、三角錐を基準に考えるのであれば、「底面を共有し高さが等しく、かつ３倍の体積を持つ三角柱」を必ず考える事ができるので３で割ればよいというわけです。

三角錐の体積については、底面積と立体的な意味の高さが分かっていれば、三角錐である限りどんな形状であっても公式を使えます。また、三角錐には４つの面がありますが、どの面を底面としても、そこから高さを測れば体積の公式を使えます。

四角錐以上の多角錐は、全て底面を三角形の和として考える事ができます。そのため、多角錐の体積も同じく「底面積×立体的な高さ÷３」で計算できます。円も多角形で近似できるので、円錐の体積も同様になります。

柱体の時と同じ考え方で、多角錐と円錐についても同じく底面を三角形に分割して考えます。ただし四角錐以上の場合は、公式を使う時にどの面を底面として考えてもよいわけではなく、四角錐であれば四角形の面を、円錐であれば円の面を底面として、そこから高さを測ります。

球の体積については、図形だけから考えるのはかなり難しいので、積分によって体積の公式を出すのが普通です。結果は、半径をＲとして(４／３)×Ｒ×円周率になります。

２つの三角形が合同であるとは、形も大きさも全く同じである事を言います。
形も大きさも同じという事は、面積も等しくなります。

合同な三角形であっても、向きなどが別々の方向を向いていて「見た目」が異なってる場合もあります。２つの三角形が合同であるかを調べるには次の３つの条件を満たしているかを調べます：

合同である三角形は、この３つの条件全てを満たします。つまり、１つの条件を満たせば他の２つの条件も同時に満たされるという事です。合同である事を証明するには１つの条件が満たされている事を示せば十分という事になります。

合同の関係と似ているものとして、相似の関係があります。相似とは「形だけが同じで大きさは違う」というものです。

形も大きさも同じである場合が合同の関係であり、２つの三角形が合同である場合は相似である条件も満たしています。つまり、合同と相似は無関係なものではなくて、形も大きさも等しくなるためのやや厳しい条件が課されるのが合同で、形だけが等しい緩い条件だけが課されているのが相似というわけです。

一見すると合同にはみえないけれどよく見ると合同であるという例は、例えば三平方の定理の証明の１つで見られます。この例では形も大きさも全く同じ三角形が存在するのですが、向いている方向が全く異なるうえに他の様々な線が入り乱れているので気付きにくいのです。

しかし、丁寧に辺の長さや角度を調べると確かに合同である事を示せます。この場合では「２辺とその挟む角が等しい」という条件を使っています。

図の３つの四角形は「正方形」であるという条件があるので、
ＡＣ＝ＡＣ’　ＡＢ＝ＡＢ’　という長さの関係がまずあります。
次に、∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＢ＋∠ＣＡＣ’＝∠ＣＡＢ＋９０°ですが、
他方で∠Ｂ’ＡＣ’＝∠ＣＡＢ＋∠Ｂ’ＡＢ＝∠ＣＡＢ＋９０°なので
∠ＢＡＣ＝∠Ｂ’ＡＣ’になります。
ゆえに、△ＡＢＣ≡△ＡＢ’Ｃ’　である、と証明されます。

こういう具合に、合同である事を示すわけです。
尚、この例の場合では、「合同ゆえに面積も等しい」と話が続いていきます。

このように「見ただけでは分かりにくい」場合であっても、辺の長さや角度を調べて合同である事を確かに示せる場合があるわけです。数学的に論証するという事を学ぶ１つの意味がここにあります。単に論理的な思考をするというだけでなくて、事実関係の検証をする１つのツールとしての意味があるという事です。

３辺が全て等しいという条件を使う場合も、たまにあります。例えば、円に外接する三角形の頂点と円の中心で構成される２つの三角形です。

上図において、△ＡＯＣと△ＢＯＣに注目します。
まず、同じ円の半径なのでＯＡ＝ＯＢです。
また、辺ＯＣは共有されているのでもちろん長さは２つの三角形で等しいのです。
さらにここで、∠ＯＡＣ＝∠ＯＢＣ＝９０°なので、三平方の定理によりＡＣ＝ＢＣになります。
よって２つの三角形の３つの辺の長さはそれぞれ等しく、確かに△ＡＯＣ≡△ＢＯＣというわけです。

逆に、見た感じ同じ形・大きさに見えるけれどもきちんと調べるとじつは合同ではないというパターンもあり得ます。描かれた図ではいかにもそれらしく見えるけれども、条件を整理すると合同の３条件のいずれにも当てはまらず「じつは形も大きさも違う」という事が判明する場合もあります。

ここでは、あくまで図形問題に限定してという話ではありますが、「見た目」で判断するのではなく論拠を備えて検証するという事が三角形の合同条件や相似条件の学習において重要なポイントの１つです。これは試験問題を解くという話の中でも重要なので、おさえておきたいところです。

三角形の相似条件は高校入試を始めとして中学数学では重要事項の１つです。

図形問題を解くために必要という事でもありますが、三平方の定理などの重要な定理が成立するための根拠の１つになっている事なども重要と言えるでしょう。

平面において２つの三角形が「相似【そうじ】」であるとは、
ごく簡単に言うと「大きさは違うが形は同じ」であるという事です。

もっとも、単に見た目が似ているというだけでは相似であるとは言わず、きちんと数学的な条件があります。

相似条件と証明での使い方

次の３つの条件の「いずれか」を満たす２つの三角形は互いに相似であると言います。「いずれか」という事は、「１つでも当てはまればよい」という事です。

三角形同士が相似である事がひとたび判明すれば、これら３つの条件は全て成立します。つまり、例えば２組の角度が等しいという条件が成立すれば、３組の辺の長さの比もそれぞれ等しいという事です。

ただし、相似である事を証明するためにはどれか１つだけ判明していればよいという事です。

★比較する２つの三角形が直角三角形であれば、その時点で「対応する１つの角がそれぞれ等しい（９０°で等しい）」事は言えているので、もう１つだけ等しい角度を見つければよいといった作業になります。

繰り返しますが合同条件と似ていますが違うもの（相似条件のほうが制約が緩い）なので注意しましょう。
例えば、辺の長さが分からないけれど角度だけで比較できるのは相似条件のほうであって、合同条件にはそのような条件はないのです。（暗記するのではなく意味を考えてみると分かりやすいと思います。角度だけが分かっている場合、形は同じであっても辺の長さは伸び縮み可能なのです。）

２つの三角形が相似である事を正確に見るには、「証明」が必要です。これは、見た感じ「同じ形」に見えるけれど実際は違う（辺の比が一定にならない、角度が異なる）という事があるからです。

高校入試の出題として多いのは「２組の角の大きさがそれぞれ等しい」事を使うパターンです。これは、同じ大きさの角度である部分が２つ見つかればよいという事です。
より具体的には、対頂角の関係、平行線の同位角・錯角の関係、円周角の定理などを使って「角度の大きさが等しい」事を示します。また、共有する角がある場合にはもちろんその角度は２つの三角形で等しいのです。

残りの２条件は証明の時に使う事もありますが、むしろ相似である事が証明された後に辺の比や面積比を計算させる問いで使われる事が多いように思います。

相似な三角形の面積比

三角形の相似比（辺の長さの比）が１：ｎの場合、面積比は１：ｎ^２になります。
これは、例えば１つの三角についての底辺がｎ倍、高さについてもｎ倍になるためです。

高校入試ではよく問われる事項です。

例えば底辺が２、高さが３の三角形の面積は２×３÷２＝３ですが、
各辺の長さが２倍になったとすると、高さも２倍になる事に注意して
面積は（２×２）×（３×２）÷２＝１２
つまり２×２＝４倍になるという事です。

これは公式として関係式を暗記するのではなく、図に描いてイメージしながら練習してみたほうがよいと思います。

辺の長さの比が１：３ではなく２：３のような場合は面積比は２^２：３^２＝４：９です。

$$辺の長さの比が2:3であれば大きい三角形の面積は小さい三角形の\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}倍$$

辺の比に関する補足説明

相似な三角形の辺の比に関して、補足的な説明をします。

三角形同士が相似である場合に「対応する辺同士の比」は等しくこれを相似比と言うのは前述の通りです。

他方で「同じ三角形の中の辺同士の比」も、相似な２つの三角形で等しくなるのです。これは１つの三角形の中で３通りの比がありますからもちろん一定ではなく、一般的に相似比とも異なる値になります。

しかし、例えば△ＡＢＣでＡＢ：ＢＣ＝１：３であったとすると、それに相似な三角形△ＤＥＦがあったときにＤＥ：ＥＦ＝１：３という事も同じく言えるという意味です。
この時、ＡＣ：ＡＢ＝２：５であれば同様にＤＦ：ＤＥ＝２：５という事です。
（※この場合、この条件だけから具体的な相似比は分からない事には注意。互いの対応する辺の長さの比に関して、相似比という一定の比がある事だけ分かります。）

式で書くと、△ＡＢＣ∽△ＤＥＦであれば、
ＡＢ／ＤＥ＝ＡＣ／ＤＦという比の関係（この一定の比が相似比）に加えて
ＡＢ／ＡＣ＝ＤＥ／ＤＦ　という関係も成り立つという事です。

これは、じつは結構単純な話です。
ＡＢ／ＤＥ＝ＡＣ／ＤＦ　の両辺をＡＣで割り、両辺にＤＥをかける事で得られます。
式変形をしなくても相似関係にあるという事は同じ形で大きさだけが異なると意味を考えれば分かりやすいかと思います。

証明問題も含めて、図形問題が得意になるコツはあまり難しく考えない事です。
意味を考えながら図を描いてみましょう。

他に図形問題として関連が深いのは角の二等分線と三角形の辺の比の関係などで、これは三角形の相似を根拠として成立します。三角形の相似についてじゅうぶん理解していれば、関係式を暗記せずにその場で導出する事も可能なのです。

「形」さえ同じであれば、三角形の中の２辺の「比」が一定であるという事は、三角比の考え方の基礎となっています。これは、直角三角形に限定して、特定の角度に対しては２つの辺の長さは一定になる事を利用して決められるものです。高校数学で教えられるものですが、考え方としては三角形の相似の考え方が分かっていれば理解できる内容になります。

図形問題としての円に対する接線の考え方と、それとセットになる内接・外接の考え方を説明します。

学校で教わる内容としては中学数学・高校入試の範囲ですが、一部はそれ以降の話にもつながる重要事項も含んでいます。なぜかというと微積分での微分係数は関数をグラフ上で図形的に見た場合の「接線」の傾きだからです。また、高校数学では直線を一次関数とみなして種々の考察をして問題を解かせる場合も多いので、円と関わりを持たせた接線の話は中学校以降でも出てくるのです。

円に対する接線の性質

まず「接線」とは何かと言いますと、
「ぴったりくっつくように１点のみで交点を持つ直線」の事を言います。

また、そのよう形で図形同士が交わる時に「接する」という言葉を使います。「直線 L は円Oに接する、接している」といった具合です。（「接線」は必ず直線を指しますが、「接する」という言葉は曲線同士に対しても使います。例えば円と円が「接する」場合というのもあり得ます。）

図形同士が接する点を、「接点」と言います。

同じ１点で交わる場合でも、突き抜けるように交わる直線は接線とは言わないのです。その場合は単純に、１点で交わる交点です。

「接する」という事は数学的に厳密にはどのような条件を要請する事なのか？という事についてはここで触れないで置きますが、図で見れば分かると思います。中学校の範囲では、見て分かるという程度でじゅうぶんです。それで図形問題は解けるからです。

円に対する接線の重要な性質の１つとして、「接点と中心を通る直線は接線と垂直になる」というものがあります。接点を通り接線に垂直な線を法線と言うので「円に対する法線は中心を必ず通る」とも言えます。

どういう理由で１つの接点を通る法線は中心を通るのかというと、図形的には次の通りです。

まず、円周上の２点Ａ、Ｂと円の中心Oからなる三角形は二等辺三角形なので∠AOBが直角になる事はあり得ても、残りの２角は直角にはなり得ません。（三角形の内角の和は１８０°、つまり２直角であるため。）

すると、点Ａに直線が接するには、その直線と線分AOは直角でなければなりません。もし直角でなかったら、その直線上で点Ａ以外にＯまでの距離が等しい点、つまり円周上の点が存在する事になり接線ではなくなってしまいます。

という事は、接線に垂直で接点を通る法線は、接点と中心の両方を通る事になるので題意は示されます。

簡単に言うと、円周上のある点を通る直線は、その点と中心を通る線分に対して垂直である場合に限りその１点のみで交わり、垂直以外の角度の場合には別の円周上の点と必ず交わってしまう（そのような円周上の点が必ず存在する）という事です。

内接と外接

また、図形問題でよく取り上げられますが、円に内接する図形、外接する図形というものがあります。ここで、「外接」の場合は特定の図形が必ず円に「接している」事が要求されますが、「内接」の場合は必ずしも接していなくてもよくて頂点などが全て円を突き抜けない形で触れていれば要請を満たします。

図で見ると分かりやすいでしょう。例えば内接三角形と外接三角形の違いを見てみましょう。

円以外の図形側から見た時、言葉の使い方として内接と外接は逆になります。

つまり、円に内接する三角形側から見れば「円は外接」しています。

三角形に対して円が内接していると言う場合は、円に対しては三角形は外接しているのです。

これらの内接・外接の関係は、図形問題として出題される場合には別の事項と組み合わされる事がほとんどです。例えば、円に内接する三角形・四角形は円周角の定理と組み合わせて問われる事が多いです。円に外接する三角形を考える場合には、中心から接点に向けての線分が接線と直角になる事実を使わせる事が多いです。

ひねったパターンだと、角の二等分線の事項も絡めて三角形の面積比などを問う出題もあります。

複雑にしようと思えばいくらでも問題をひねれるのが内接・外接に関する図形問題の厄介なところですが、必要な定理や数学的事実は限られているという事を押さえる事が重要です。前述した事の中で言えば、「円に対する接線がある時、法線は中心を必ず通る」といった事項です。

そういった、限られた数の基礎事項を確実に押さえたうえで、いろいろなパターンの問題を解いてみる事が中学校でのこの分野を攻略する鍵と言えるでしょう。複雑な定理や人があまり知らないような定理を暗記する必要はないのです。

円周率はなぜ３.１４なのか、なぜ「３」ではいけないかの易しい説明です。円や球に対しては「円周率」が常につきまといますが、それについての話をしましょう。

■ そもそも円周率の定義は？　■ 正確な証明の話　

そもそも「円周率」の定義は？

円周率とは、「円の直径と円周の長さの比」の事であり、値は約３.１４です。
直径が１メートルの車輪の円周の長さは、円周率を用いて
１×３.１４＝約３.１４メートルと計算できます。
円周率の正確な値は３．１４１５９２６５・・・という、循環しない無限小数であり、「無理数」です。
【無理数である事は、背理法で示します。円周率に限らず、特定の数が無理数である事を示す方法は基本的には背理法です。】

円周率の特徴

1. 「円周の長さ」÷「直径」の値の事を円周率と呼ぶ
2. 任意の円において値は一定であり、3.141592・・・・
3. 循環しない無限小数であり、無理数である

円周率を使って円の面積も計算できますが、元々は「円周」と直径の比です。
記号は、ギリシャ文字の「パイ」\(\pi\) を使います。

この「約３．１４」という半端な数はどこから出てくるのでしょう？
円に内接する正６角形を考えてみてください。
じつは、簡単な計算により、「円の直径×３」は、ちょうど「円に内接する正６角形の周の長さ」なのです。
この事実が、円周率を「約３」と教える事が、数学的に見て決して良いと言えない理由の一つです。

【多角形の円に対する内接・外接の考え方は別途にまとめています。】

★本当に大雑把な計算（例えば１００くらいになるのか、１０００くらいになるのかといった）であれば円周の長さを「大体３」の計算でやってもよいと思いますが、正確な計算にはならない事は踏まえておく必要があるという事です。実際の値よりも小さくなってしまうからです。

次に、円に内接する正１２角形の周の長さを計算してみると、おおよそ、円の直径×3.1058になります。
この「円周率に相当するような定数」は、円に内接する正２４角形の場合は約3.1326、
正４８角形の場合は約3.1393です。正９６角形まで考えると、3.14が出てきます。
じつは、角をもっと増やしていくと、その値は正確な「円周率」の値に限りなく近づくのです。

動画声優担当ステ♪様　http://sute.tabigeinin.com/

この動画は極限値としての円周率の存在証明の記事にも載せています。

正確な証明の話

☆ここから先の内容は高校数学、さらに詳しくはそれ以上の数学の範囲です。

極限値として円周率が確かに存在する事の証明は少し面倒ですが、平面幾何と極限の基礎知識さえ知っていれば証明は可能です。
円に内接する正ｎ角形と、円に外接する正ｎ角形を考えます。
その中で、２つの頂点と円の中心で作られる三角形に注目します。
ここでじつは少し工夫が必要で、ｎに対してｎ＋１ではなく、２ｎを考えます。

すると、内接する正２ｎ角形の周の長さは
「内接する正ｎ角形の周の長さより必ず大きい事」と、
「外接する正ｎ角形の周の長さよりは必ず小さい事」が、比較的容易に示せるのです。

これは、内接する正ｎ角形の周の長さを数列として見た時、「単調増加で上に有界」である数列になっている事を示しています。
そして、そのような数列は必ず極限値を持つという定理があるので、
円に内接する正ｎ角形の周の長さは「ｎを無限大にした時に極限値を持つ」事が示されます。

同様に、円に外接する正ｎ角形の周の長さも極限値を持つ事が示せます。
ここで、証明の中で導出している関係式の一つを用いると、２つの極限値は
一致する事を示せます。その値が、円周率と呼ばれる定数です。

円周の長さが直径と円周率の積で表されるという事実は、三角関数の微分公式が成立する根拠でもあるので、理論上、かなり重要な位置にあると言えます。

★三角関数の微分公式の導出には sin x ＜ x ＜ tan x という不等式を用います。
これは実質的には、「内接正ｎ角形の周の長さ＜円周の長さ【極限値】＜外接正ｎ角形の周の長さ」という関係式と同等です。
円周や円弧の長さは極限値なので、解析学（微積分学）的には本来は多少詳しい考察や証明が必要になるというわけです。

円周角の定理とは、円の１つの弧に対する円周角の大きさは必ず等しく、しかも中心角の半分の大きさであるというものです。言葉よりも図で見ると分かりやすいでしょう。

この定理は、高校入試（特に公立）では非常に出題頻度が高いものです。しかし逆に高校数学では重要度が減り、大学数学や物理学では基本的には使わないと言ってもよいほどその重要度が下がります。

これは、高校数学以降の話では「円に内接する三角形」よりも「円その物」のほうが対象とする図形として重要である事が大きく関わっていると思います。そのため、円周角の定理とは中学数学というか「円に内接する三角形」という話に限定する範囲においては重要な定理である、という位置付けで理解するとよいかもしれません。

定理の内容と意味

まず、「円周角」とは、円に内接する三角形の１つの角の事で、「その対辺を弦とする円弧のうち長い方（優弧）」に着目して呼ばれるものです。例えば「円弧ＡＢに対する円周角」のように使われます。図で見ましょう。一目で分かると思います。

また、「中心角」とは、ある円弧の弦の両端の点のそれぞれと円の中心を結ぶ線分によって構成される角の事です。これも、図を見ましょう。

円周角の定理の内容は、１つの円弧が固定されている時、その円弧に対する任意の円周角の大きさは等しく、しかもその円弧に対する中心角の大きさの半分であるというものです。

尚、円弧のうち短い方（劣弧）側の弦と結んでできる角も、大きさは互いに必ず等しくなります。ただし中心角との大きさの関係は２：１にはなりません。（中心角の半分を１８０°から引いた大きさになります。）

高校入試を含めて中学数学では、円周角に関する問いは三角形の相似・合同・面積比に関する事項と組み合わされる事が圧倒的に多いです。

また、円周角が直角になる場合とその条件に関しても好まれて出題がなされる傾向があるようです。

「円周角の大きさは必ず中心角の大きさの半分である」という事が定理の主張の１つですが、これを円弧が半円の場合・弦が直径の場合に適用すると円周角は必ず直角であるという事です。

これは、半円の弧の両端を直線で結ぶと必ず円の中心を通るので中心角＝１８０°とみなせる事によります。すると、その円周角はその半分の大きさで９０°つまり直角になるというわけです。後述するように証明する時にはこの事項自体を場合分けで示す必要がありますが、理屈はじつに簡単です。）

証明

円に内接する三角形が内部に中心を含むかそうでないかで場合分けします。

①内接三角形が内部に円の中心を含む場合

円に対する内接三角形が内部に円の中心を含む時、まず最初に分かるのがじつは「円周角は中心角の半分」というほうの事実です。

これは、内接三角形の１つの辺の両端と円の中心で構成される三角形が、必ず二等辺三角形になる事によるのです。

そして、１つの円弧を固定する時、もう１つの円周上の点を動かしても中心角は同じである事に注意します。これは、この条件のもとで１つの円弧に対する任意の円周角は必ず等しい事を意味し、円周角の定理の主張そのものです。

下図で言うと、次のようになります：

$$(180°-2\alpha)+(180°-2\beta)+(180°-2\gamma)=360°\Leftrightarrow 180°-2\alpha=2\beta+2\gamma$$

$$\Leftrightarrow 180°-2\alpha=2(\beta+\gamma)$$

最後の式は「中心角＝円周角の２倍」を表しています。これはこの条件下で点ＡとＢを固定しておけば、点Ｃが移動しても \(\alpha\) の値は変わらないので円周角の定理の内容が成立するのです。

②内接三角形が内部に円の中心を含む場合

次に、内接三角形が内部に円の中心を含まない場合です。この時も、中心角を構成する二等辺三角形をもとにして証明をします。この場合においても二等辺三角形を３つ作ります。

じつは相似関係などを使う必要は特になく、
「三角形の内角の和は１８０°」「四角形の内角の和は３６０°」という、より初歩的な事実関係だけでじゅうぶんなのです。

図で言うと、中心角は \(180°-2\alpha\) で、そこと隣り合う二等辺三角形の中心角に相当する角は \(180°-2\beta\) です。これらを合わせると、\(360°-2\alpha-2\beta\) となります。

しかし、その角度はよく見ると \(180°-2\gamma\) に等しいのです。よって、次の関係が成立しています。

$$180°-2\gamma=360°-2\alpha-2\beta\Leftrightarrow 2(\beta -\gamma)=180°-2\alpha$$

ここで、式に出てくる \(\beta -\gamma\) は何かというと、これはじつは図の円弧ＡＢの円周角です。つまり、この場合でも「中心角＝円周角の２倍」が成立します。

そして、上記２つの場合において点ＡとＢは固定したままでよいという事に注意しましょう。移動するのは、円周角をなす点Ｃだけなのです。中心角は変化しません。という事は、上記２つの場合の円周角は、いずれも中心角の大きさの半分であり、ともに一致するのです。

ゆえに、内接三角形が円の中心を内部に含むかどうかは気にしなくてよい（その事が示された）という事です。

③内接三角形の１辺上に円の中心がある場合

さて、このように場合分けすると、「だったら三角形の１つの辺が『中心を通る場合』も考えなければだめではないか？」という話になります。実際その通りです。

ただし、この第３の場合が、じつは最も簡単なのです。

円周角をつくる頂点から中心に向かって線分を引きます。すると、二等辺三角形が２つできます。ここで、円周角をなす頂点と直径からなる三角形は、２つの二等辺三角形の角だけから構成されるのです。

すると、三角形の内角の和が１８０°である事から、この場合の円周角の大きさは９０°である事が分かるという計算です。

それゆえ、このような場合でも定理の内容は成立しているので、上記２つの場合と合わせてまとめてよいという事になります。

関連事項：円に内接する四角形

同じく中学数学と高校入試で問われる内容として、
「円に内接する四角形の対角線上で向かい合う角の和は１８０°である」というものがあります。

この理由については、円周角の定理を使うとすぐに分かります。

図のように、補助線として対角線を引きます。この時、内接四角形の１つの角が２つの部分から構成されていると考えます。図で言うと ｘとｙで表しています。

$$\alpha=x+yとおきます。$$

それらｘとｙについて、それぞれ異なる円周角であるとみなす事ができるので、それぞれについて定理を適用します。すると、対角線上で向かい合う内接四角形の角の大きさは、１８０°－（ｘ＋ｙ）という事になります。（「三角形の内角の和は１８０°」を使用。）

しかし \(\alpha=x+y\) でしたから、\(\alpha+180°-(x+y)=\alpha+180°-\alpha =180°\) です。これで題意は示された事になります。

円周角の定理は、高校数学での正弦定理を証明するために使われたりもします。