カテゴリー: 高校数学

余弦定理とは、三角形の３辺と１つの角の余弦について成立する関係式です。
（英：cosine rule）

特別な場合として余弦定理を直角に対して適用すると三平方の定理の形になります。
（ただし、余弦定理一般を証明するには普通は三平方の定理を使います。）

★三角比の余弦（コサイン）と三角関数の余弦関数については別途に述べています。

定理の内容

余弦定理の内容は次のようなものです。

三角形のある１辺の具体的な値を知りたい時には「２辺の長さと１つの角度の『余弦』の値が分かれば計算は可能である」という事が、余弦定理の意味と使い方です。

余弦定理を証明する一番シンプルな方法は三平方の定理を使う方法です。（三平方の定理は相似条件・合同条件といった条件だけで証明できます。）

ここでは、対象の角の大きさが鋭角か鈍角で場合分けをして証明します。
式変形も含めてやや詳しく説明していますが、要するに三平方の定理を適切に適用すると関係式を導出できるというのが証明の流れになります。

証明①：鋭角の場合

まず対象の角度の大きさが鋭角の場合です。

この場合、もう１つの角についても鋭角か鈍角かで場合分けしますが、得られる結果は同じになります。どちらの場合でも、三角比の関係を使って上手に直角三角形の辺の関係を作ります。

下図で、∠ＢＡＣ＝θが鋭角のもとで、∠ＡＢＣが鋭角か鈍角かを見ます。

∠ＡＢＣが鋭角の場合（図の上側）、直角三角形を作るように線分ＡＢを延長して点Ｈをとります。この時、直角三角形である△ＡＣＨの底辺部分ＡＨの長さは余弦を使ってｂcosθで表せます。

他方、高さ部分もＣＨ＝ｈは正弦を使ってｈ＝ｂsinθと表せますが、単純にこれに三平方の定理を適用してもじつはうまくいきません。そこで、△ＡＣＨだけでなく、△ＢＨＣも直角三角形である事に注目します。すると、ＢＨ＝ｂcosθ－ｃになる事に注するとうまくいきます。

ＢＨ^２＋ｈ^２＝ａ^２ ⇔ (ｂcosθ－ｃ)^２＋ｈ^２＝ａ^２

他方、△ＡＣＨについてＡＨ＝ｂcosθ 、ＣＨ＝ｈのもとで三平方の定理を適用します。

(ｂcosθ)^２＋ｈ^２＝ｂ^２　⇔　ｈ^２＝ｂ^２－ｂ^２cos^２θ

つまり、未知数のｈは代入して消す事ができます。

(ｂcosθ－ｃ)^２＋ｈ^２＝ａ^２ に ｈ^２＝ｂ^２－ｂ^２cos^２θを代入すると、ｂ^２cos^２θ－２ｂｃcosθ＋ｃ^２＋ｂ^２－ｂ^２cos^２θ＝ａ^２
⇔ ａ^２＝ｂ^２＋ｃ^２－２ｂｃcosθ　【ｂ^２cos^２θの項が消えてあとは順番だけ整理しただけです。】

つまりこの場合では余弦定理が確かに成立する事になります。

次に∠ＢＡＣ＝θと∠ＡＢＣが両方とも鋭角の場合（図の下側）には、点Ｃから辺ＡＢに垂線を下ろせます。その垂線の足をＨとおきます。この場合も先ほどとやり方自体は同じで、△ＡＨＣと△ＣＨＢの２つが直角三角形になり、ＣＨ＝ｈとして余弦と組み合わせて三平方の定理で関係式を作ります。

ＡＨ＝ｂcosθ、ＣＨ＝ｈ、ＢＨ＝ｃ－ＡＨ＝ｃ－ｂcosθ のもとで、

(ｂcosθ)^２＋ｈ^２＝ｂ^２　かつ　(ｃ－ｂcosθ)^２＋ｈ^２＝ａ^２　

前者のほうの式を後者のほうの式にｈ^２を代入して消します。
(ｃ－ｂcosθ)^２＋ｂ^２－(ｂcosθ)^２＝ａ^２ ⇔ ａ^２＝ｂ^２＋ｃ^２－２ｂｃcosθ

よって、この場合でも余弦定理が確かに成立する事になります。

証明②：鈍角の場合

では、∠ＢＡＣが鈍角の場合はどうするかというと、この場合には余弦に鈍角を入れる必要があるので三角関数として余弦を考える必要があります。結論を先に言うとcos(ｘ＋\(\pi\)／２）＝－sinｘの公式を使います。この関係を認めるうえで、余弦定理の形で辺の長さの関係を表せるという事です。

この時、鋭角である角度 φ を使って、θ ＝ φ＋９０°と表すとこの時の証明はしやすいです。ただ、三角関数を使うので、ここで角度は弧度法で表してθ ＝ φ＋\(\pi\)／２と書く事にします。

この時、図のように△ＡＢＰが直角三角形になるように便宜上の点ＰをＢＣ上において、∠ＡＢＰが直角、∠ＰＢＣ＝φ（鋭角）であると捉えます。（図の位置関係はθが鋭角の場合と少し変えて描いています。）

ここで、θ＝∠ＰＢＣ＋∠ＡＢＰ＝φ＋\(\pi\)／２です。この時、ＡＢを延長しＣからその延長線に垂線を下ろして垂線の足をＨとします。

平行線の錯角の関係により∠ＢＨＣ＝∠ＰＢＣ＝φである事に注意し、△ＢＨＣは直角三角形なのでＢＨ＝ｂsinφ、ＣＨ＝ｂcosφと表せます。ここで△ＡＨＣも直角三角形なので三平方の定理で関係式を作ると次のようになります。

(ｃ＋ｂsinφ)^２＋(ｂcosφ)^２＝ａ^２ ⇔ ｃ^２＋２ｂｃsinφ＋ｂ^２sin^２φ＋ｂ^２cos^２φ＝ａ^２

ここでまず、sin^２φ＋cos^２φ＝１の公式により
ｂ^２sin^２φ＋ｂ^２cos^２φ＝ｂ^２(sin^２φ＋cos^２φ)＝ｂ^２

すると、ｃ^２＋２ｂｃsinφ＋ｂ^２＝ａ^２

「余弦」定理の証明なのに正弦が出てきてしまったという話ですが、cosθ ＝ cos(φ＋\(\pi\)／２)＝－sinφ　つまりsinφ＝－cosθとなるので、ａ^２＝ｂ^２＋ｃ^２－２ｂｃcosθ　となり、この場合も余弦定理が成立します。

これは三角関数の定義に従って余弦の値を決める時に成り立つもので、具体的な鈍角の値を余弦関数に入れると必ず負の値ですから、符号は必ず反転してプラスになる事に注意する必要もあります。

例えば１２０°（２\(\pi\)／３ [rad]） を角度として代入するなら、
ａ^２＝ｂ^２＋ｃ^２－２ｂｃ・(－１／２)＝ｂ^２＋ｃ^２＋ｂｃ　のようになります。

理解の仕方としては、θが鋭角であろうと鈍角であろうと、三角関数の定義に従って余弦の値を考える限りは気にせずに余弦定理を使って計算をしてよい、という事になります。

角度の範囲が実数全体の場合

三角関数の定義域（実数全体）を当てはめるのであれば、上記以外の場合にはどうなるでしょう？

まず鋭角でも鈍角でもない角度として「直角」がありますが、これは冒頭でも触れた通り三平方の定理そのものになりますので、別途に証明できて成立します。

次に、０と１８０°（\(\pi\)）の場合ですが、仮に成立するとすると次のような式になります。

θ＝０とき、ａ^２＝ｂ^２＋ｃ^２－２ｂｃ＝(ｂ－ｃ)^２　より、ａ＝ｂ－ｃまたはｃ－ｂ

θ＝\(\pi\)のとき、ａ^２＝ｂ^２＋ｃ^２＋２ｂｃ＝(ｂ＋ｃ)^２　より、ａ＝ｂ＋ｃ

（もちろん、ａ≧０、ｂ≧０、ｃ≧０という条件のもとでこうなります。）

問題はこれに図形的な意味があるかという事ですが、じつは確かにあります。これらはいずれも、３点Ａ、Ｂ，Ｃが一直線上に並んだ時にあり得る関係式です。そのため、これらの角度においては「三角形はできない」という図形的な意味付けをするのであれば、各点間の距離を表す式として余弦定理は確かに成立すると言えます。

では、１８０°（\(\pi\)）を超える場合はどのように考えられるでしょう。この場合、三角関数の考え方では負の角度が０～－\(\pi\)の場合と同じなので負の角度の場合を考えると、余弦関数の値はマイナス符号をつけない正の値の時と同じ値です。cos(－θ)＝cosθと、三角関数では定義されます。

このような場合に図形上での意味としては、座標やベクトルの関係において角度に反時計回り・時計回りの区別をつける時の事が想定できます。しかしその場合でも「２点間の距離」自体は正の値として考えます。例えば座標上でｘ軸に平行な直線に関して図形を反転させた場合に、座標の符号が変わる事はあっても各点を結ぶ辺の「長さ」自体は変わりません。

この事が、負の値を角度として適用した場合の図形的な意味になります。０≦θ≦\(\pi\) の場合には余弦定理は適用可能ですから、－θを考えた時には cos(－θ)＝cosθ により角度が正の値の時と全く同じ辺の長さの関係式になります。これが、「底辺を軸として三角形を反転させた時にも辺の『長さ』自体については変わらない」事に対応するのです。この意味において、座標上などで角度に向きをつける場合でも、辺の長さの関係だけを問題にする時には余弦定理に負の角度を入れても正しく関係式を作れるという事です。

\(\pi\)を超える角度の図形的な意味は負の角度の場合と同じとすると、これも余弦定理の角度部分に代入しても三角形の辺の長さの関係は正しく表されている事になります。

三角関数の周期性により、３６０°（２\(\pi\)）を超える角度では１周して全く同じ点に戻るという図形的な解釈のもとでは、それらの角度を代入したとしても同じく三角形の辺の長さの関係は同じく正しく表されます。

以上から、余弦定理は一般的な鋭角、鈍角、直角の三角形を考える場合にも、図形上の適切な意味付けを与える限りにおいては実数全体を余弦の角度として代入しても成立する関係式である、という事になります。

正弦定理は、三角形の辺の長さおよび外接円の半径（あるいは直径）と、三角比の正弦の間に成立する関係式です。（英：sine rule）

三角比を使うという事で高校で教えられる事が多いですが、内容としてはどちらかというと平面の図形問題の色彩が濃く、中学校で教わる平面幾何の内容に近いかもしれません。

定理の内容

定理の内容は次の通りです。

このように１つの式で表されていますが、２つのグループに分かれていると考える事もできます。１つは辺の長さと正弦の関係、もう１つは辺の長さと正弦と外接円の半径の関係です。（後者については証明を見ると分かるように図形上の意味として肝心なのは「直径」との関係です。）

ここでは２つの部分に分けますが、２つ目のほうを使って最初から全て証明する事も可能です。

証明①：三角形の辺と正弦に関する部分

まず、１つ目の辺の長さと正弦の関係です。
定理の中で言うと、とりあえず外接円の部分は無視した次の部分になります。

$$まずこれを証明します：\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

２つの等号に関して一度に示す事はできないので、１つずつ証明して最後に全部を結ぶという形になります。

これは、一言で言うと、三角形ＡＢＣの「面積」を３通りの方法で表してみると成立する事が分かる関係式です。本来の「面積」の形の等号関係は次のようになります。

$$\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}$$

発想はじつに単純で、三角形の面積「底辺×高さ÷２」において、底辺を辺ＡＢ、ＢＣ、ＡＣのそれぞれとした場合に面積の計算をしてみようという、それだけのものです。

まず。底辺をＡＣ＝ａとした時です。面積を出すには高さが必要ですが、これを三角比の関係を使って表します。ＡＢ＝ｃの斜辺と∠ＡＢＣ＝Ｂの正弦によって、高さはｃsinＢになります。これで、面積の１つが表されるわけです。

$$S=\frac{ac\sin B}{2}$$

底辺をＡＣ＝ｂの部分とみなす場合には、高さがｃsinＡになります。これで面積の２つ目の表し方です。

$$S=\frac{bc\sin A}{2}$$

ここで、いったん２つの式を等号で結びます。
もちろん、同じ面積Ｓを表すので等号で結べます。

$$\frac{ac\sin B}{2}=\frac{bc\sin A}{2}$$

この式で、両辺でｃと１／２は共通しているので掛け算割り算で「消せる」事になり、さらに正弦の部分を両辺で割ると正弦定理の関係式の１つになります。

$$\frac{ac\sin B}{2}=\frac{bc\sin A}{2}\Leftrightarrow a\sin B=b\sin A$$

$$\Leftrightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$$

ここでもう１つ関係式がほしいわけですが、∠ＡＣＢ＝Ｃに関する正弦が足りないので、再びＢＣ＝ａを底辺とする場合に戻って、高さを今度はｂsinＣと考えます。

$$するとS=\frac{ab\sin C}{2}とも表せる事により、\frac{ab\sin C}{2}=\frac{bc\sin A}{2}$$

$$\Leftrightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$$

これで２つの等号関係を結べます。

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}【証明終り】$$

理解の仕方としては、図を見てもっと単純に直観的にという事でもよいと思います。

証明②：外接円に関わる部分

次に、正弦定理の内容のうち、外接円の半径を含むほうの部分です。

一体どこから円が関係するのかと思われるかもしれませんが、じつはこの後半部分のほうが、図形的な特徴に気付くと直ちに証明されるので簡単なのです。

この場合には面積を考える必要はなく、三角比の関係だけを使います。

まず外接円を考えるのですが、この時に三角形の１つの頂点から「円の中心を通るように」直線を引きます。それが円周の向かい側とぶつかる点に注目します。

図では、点Ｃから中心に向かって直線を引き、円周との交点をＡ’ としています。

すると、まず円周角の定理により、新しくできた図の∠ＣＡ’Ｂの大きさは∠ＣＡＢ＝Ａと同じ大きさです。（弧ＣＢの円周角なので。）よって∠ＣＡ’Ｂ＝Ａです。

また、図のＣＡ’ は円の直径ですから、その円周角について∠Ａ’ＢＣ＝９０° となります。（これも本質的には円周角の定理によるものです。）

という事は、Ａという大きさの角を含む直角三角形を考える事ができます。斜辺は円の直径（２Ｒ）で、辺ＢＣの長さがａですから両者を三角比の関係で結べます。じつは、これで１つの関係の証明が終りです。

$$三角比の関係により、2R\sin A=a\Leftrightarrow \frac{a}{\sin A}=2R$$

同様にして、頂点Ａや頂点Ｂからも補助線を中心に向かって引く事で残り２つの関係式も得られますが、ａ／(sinＡ)＝ｂ／(sinＢ)＝Ｃ／(sinＣ)を既に証明しているので、これで正弦定理の証明完了としても可です。

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}と合わせて、\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R【証明終り】$$

★こちらのほうの定理の後半の内容について最初に証明する事で前半部分も一度に証明する事もできます。
その場合には頂点と中心を通る補助線を３パターン全て作って、
ａ／(sinＡ)＝２Ｒかつｂ／(sinＢ)＝２ＲかつＣ／(sinＣ)＝２Ｒよりａ／(sinＡ)＝ｂ／(sinＢ)＝Ｃ／(sinＣ)であるとして、定理の前半部分もまとめて証明できます。
手間としては、どちらの方法でもあまり変わらないと思います。

この記事では証明を詳しく記しましたが、理解としてはもっと直感的でよいと思います。

さてこの「正弦定理」、別途に「余弦定理」というものがあるので対として教科書の中で教えられる事も多いのですが、大学入試での出題の可能性を除くと重要度はやや低いものがあるかもしれません。

証明の方法から見ても分かる通り、正弦定理とは本質的には三角形の面積に関する平面幾何の基本事項や、円周角の定理から直結する関係式です。そのためこの定理は直接的というよりは、三角形に関わる多くの事項と間接的に関わっているものと言えるかもしれません。

三角比とは直角三角形の２つの辺の比の事で、どの２つの辺を考えるかによって
正弦（「せいげん」）、余弦（「よげん」）正接（「せいせつ」）の基本的な３種類があり、記号ではそれぞれ sin（サイン）, cos（コーサイン）, tan（タンジェント）で表します。また、その逆数として「余割」「正割」「余接」をもし必要があれば使う事もあります。三角比は図形問題を考える時にも使えますがベクトルを考えるうえでも重要で、ベクトルを力学等で活用する時にも使用されます。

三角形の角の角度は基本的には０度より大きく１８０度未満ですが、それを拡張して三角比に対して変数を任意の実数としたものは特に三角関数と呼ばれます。三角関数は周期関数として代表的なものであり、数学的にも物理的にも応用の範囲が広い初等関数の１つです。

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三角比（正弦・余弦・正接）の図形的な定義

三角比は直角三角形の辺の比であり、角度を変数として表されます。

三角形の各辺の比は相似である別の三角形でも同じ値ですから、三角比は直角三角形の大きさにはよらず角度によってのみ確定する値になります。角度によって１つの値が決まる事を意味します。

斜辺と底辺と高さの部分（直角以外の２つの角度のどちらを考えるかで底辺と高さは入れ替わります）を使用し、「sin（サイン）」「cos（コーサイン、コサイン）」「tan（タンジェント）」の記号を使って角度の関数として表します。

直角三角形の斜辺以外の１つの辺を底辺とした時に、斜辺と底辺のなす角度をθとします。斜辺の長さをｃ，斜辺と共に角をなす辺の長さをa（図では底辺），もう１つの辺の長さ（図では高さ）をｂとする時、三角比の基本となる正弦・余弦・正接は角度θの関数としてそれぞれ次のように表されます。

考えているのが直角三角形なので三平方の定理によりａ^２＋ｂ^２＝ｃ^２ですが、これは必要がある場合には三角比を表すのにも使用します。例えば斜辺の長さｃを使わずにａとｂだけで正弦と余弦を表すなら次のように書けます。

$$\sin\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\hspace{15pt}\cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

３０°、４５°、６０°の三角比の具体的な値は図形的な考察から導出する事ができて、整理すると次のようになります。

図形的にこれらの値を導出するには次のようにします。

６０°の場合は１辺の長さが「２」の正三角形を考えると分かりやすく、
真っ二つにすると斜辺が２、底辺が１、高さが\(\sqrt{3}\)の直角三角形ができます。
するとまず、余弦についてcos６０°＝１／２が分かります。
次に高さ部分については三平方の定理を使って \(\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\) と計算します。
それによってsin６０°＝\(\sqrt{3}\)／２およびtan６０°＝\(\sqrt{3}\)を導出できます。

３０°の場合は、直角三角形の残りの角度が９０°－６０°＝３０°である事を使います。すると底辺と高さの関係が変わるので、正弦と余弦に関しては６０°の時の値を入れ換えた形になり、正接に関しては６０°の時とは逆数の関係になるわけです。三角形の向きを変えて考えてみても同じ事になります。

４５°の場合には直角二等辺三角形を考えて、底辺と高さをそれぞれ１とすれば、まず正接について tan45°＝１が分かります。次に斜辺の長さは\(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) となるので正弦と余弦の値も導出できます。

角度を０°より大きく９０°未満とした時の三角比の取り得る範囲は次のようになります。

• ０＜sinθ＜１【θに対して単調増加】
• ０＜cosθ＜１【θに対して単調減少】
• ０＜tanθ　　【θに対して単調増加で、９０°に近付くにつれて無限に増加】

三角関数の定義と考え方

三角比に対して適用する角度の範囲を０°以下や９０°以上の値を考えた関数を三角関数と呼びます。三角関数の角度は基本的に弧度法を使って表記しますが、ここでは分かりやすさのために変数を度数法で記しておきます。また、三角関数を使う時には変数をｘとする事も多いですが、ここでは変数をθで表すとします。

任意の実数値を取り得る角度（「一般角」）は図形的には直角三角形を反転させた時に意味を持ち得ると同時に、向きも含めた回転の意味も持ちます。直交座標上で原点を中心にして見た時に反時計回りの回転がプラスの方向への角度の増加、時計回りの回転がマイナス方向への角度の減少としての意味を持ちます。

３６０°に達した時は「１周」とみなします。三角関数は３６０°を経過するごとに０°の時と同じ値になると定義します。つまり周期的に同じ値を繰り返す周期関数となるわけです。

三角関数の値は、ｘｙ直交座標上の原点を中心とした半径１の円（単位円）の円周上の点の座標として表されます。より具体的にはｘ軸のプラスの部分を０°として、角度θになる直線を円に向かって引いた時の円との交点のｘ座標を余弦関数 cosθの値として、ｙ座標を正弦関数 sinθの値とします。この時に、角度の範囲が０°より大きくて９０°未満の時には三角比と全く同じ値をとるわけです。

sin０°＝０，cos０°＝１，sin９０°＝１，cos９０°＝１のように定義します。このような定義をするのは数学的な拡張として自然であるからというのもありますが、物理的に単位円周上の等速運動に対応する単振動などを考えてみるとそれを表現する関数として適切であるといった見方もできます。

正接関数はtanθ＝(sinθ)／(cosθ)として定義します。ただし、正接関数においては cosθ＝０となるθの値においては無限大になってしまい「定義できない」とします。より具体的にはθ＝±９０°，±２７０°等は正接関数の定義域から除外する事になります。

三角関数の具体的な値を、三角比の範囲も含めて挙げてみると次のようになります。

基本的には三角比の値を使う事ができて、それがｘ軸対称やｙ軸対称の形で符号が入れ替わったり角度を１８０°から引いた形で扱うといった計算をしている事になります。

三角比と三角関数の公式

基本公式としては次のようなものがあります。三角比と三角関数とで同じ公式を適用する事ができて、違いは定義域（角度の範囲）だけになります。三角関数で統一的に考えて、三角比は範囲を限定した特別な場合と考えても同じです。

上記の公式の第１式である正接を正弦と余弦で表す関係は、単純に正弦を余弦で割ると出ます。斜辺の部分は消えてしまうわけです。

$$\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}=\frac{b}{a}=\tan\theta$$

２番目の、正弦と余弦のそれぞれの２乗の和が１になるという式は、三平方の定理により分かります。

$$(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$$

９０°－θ の角度を考えている関係式は、図を見ると分かりやすいかと思います。直角三角形の θ とは別の角度の三角比は、正弦と余弦の関係をちょうどひっくり返して表せるという事を意味します。

正接の公式tan(90°－θ)については最初の関係式 tanθ＝(sinθ)／(cosθ) も使って
{sin(90°－θ)} ／ {cos(90°－θ)} によって出しています。
正接の公式についてはいずれも同じように導出する事ができます。

特に三角関数に対しては次の式が成立する、あるいは定義が行われます。

その他、重要となる（他の色々な場面で使う）主な公式や定理には次のようなものがあります。

初等関数（英：elementary function）とは、大雑把に言うと「高校までに教わる関数」の事です。要するに、具体的には高校数学で扱っている関数が該当するのです。

例えば２次関数や、三角関数、それと指数関数と対数関数などが該当します。

★もう少し詳しく言うと「初等関数」とは、いわゆる高校で教わる関数の「加減乗除の組み合わせ」およびそれらの「合成関数」「逆関数」を指すとされますが、これはあまり気にしなくてよいでしょう。（ただし高校数学でも微積分までやる時は気にしてください。合成関数の微分や、逆関数の微分に対して特定の公式が成立するからです。）

初等関数は「特殊関数」に対する語でもあります。特殊関数とは具体的にはガンマ関数、ベータ関数、ゼータ関数のように積分や極限によって定義される関数が該当し、初等関数では表せない事を１つの特徴とします。

高校で教わる関数まとめ

さて、初等関数とは高校数学での関数と言い換えてもそんなに間違いはないので、初等関数とはどういうものかを見ると高校で教わる関数というものが見えてきます。

初等関数というものは、じつはまとめるとこれだけしかないのです。
もちろん、これらの組み合わせも初等関数であり、例えば１次関数と三角関数の組み合わせの ｘsin ｘ なども該当します。また、高校ではこれらの関数の他に数列やベクトルや微積分や順列・確率等も教えますので、これら初等関数の一覧が高校数学の内容全てを網羅しているという意味ではありません。

しかしそれでも、高校で教わる具体的な関数というのは大別すると「じつはこれだけ」であるというのは少し意外であるという人もいるのではないでしょうか。高校数学でも、大学入試などでは確かに初見で時間内に正確に解くのはなかなか難しい「難問」や複雑な計算は存在しますが、それらも原則としてはじつは「基礎事項」の組み合わせなのです。

つまり学ぶべき基礎事項をしっかり整理して把握したうえで、それらを組み合わせて問題を解く練習をしてみる事が高校数学を得意にする鍵になります。

単項式と多項式

単項式とはｘのａ乗の形、つまりｘ^ａの単独の形です。
これらが和や差で組み合わさったｘ^２＋ｘ＋１などが多項式です。
ｘ^ａのａを「指数」とも言います。単項式や多項式での指数の値は、高校数学では実数全体を取り得ます。

ｘ^０＝１で、つまり定数関数は単項式に含めている形になります。

ｘ^ａのａが負の値の時は分母に関数を持っていき反比例の形にしたものです。この時、ｘ＝０を定義域（変数ｘの値の範囲の事）から必ず除外して考えます。

$$x^{-1}=\frac{1}{x},\hspace{5pt}x^{-2}=\frac{1}{x^2}$$

ｘ^ａのａが分数になる時は、自然数ｎを使って１／ｎの形になる時は「ｎ乗根」（の正の値）を表します。この場合には、ａがｍ／ｎのような形の時は、「ｘのｍ乗とｘのｎ乗根の掛け算」であると考えます。

$$x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x},\hspace{10pt}x^{\frac{1}{3}}=^3\sqrt{x}$$

また、高校数学ではあまり気にする必要はないですがｘ^ａのａは無理数でもよくて、じつはさらに別途にａが複素数の場合も定義可能です。

こうしてみるとｘの「何乗」の部分が自然数、負の数、有理数・・の場合があって複雑に見えるかもしれませんが、重要なのはそれらをｘ^ａという形で統一的な演算が可能であるという事です。

指数関数

指数関数とは、２次関数や３次関数などとは異なり、「２のｘ乗」２^ｘなどの関数です。基本的な考え方はｘ^ａの場合と同じで、指数関数２^ｘなどの変数ｘの定義域は実数全体とする事ができます。

指数関数のグラフの形は、関数自体にマイナス符号がついていなければ正の値を常にとるという特徴があります。これは単項式や多項式で表される関数との大きな違いです。具体的な値を代入してみたりグラフに描いてみたりすると分かりやすいでしょう。

指数関数で重要なのは、ｅ＝2.718・・という無理数のｘ乗、ｅ^ｘです。ただし、これが重要なのは微積分においてなので、もしも高校数学の範囲で微積分を除いて考えるのであればあまり気にしなくてよい事です。

対数関数

対数関数とは、指数関数の逆関数であり、log_ａｘという記号で（正の数）ａを「何乗するとｘになるか」という値を関数とするものです。ここでのａの事を対数の「底」と言います。この時、ｘ＝ａであれば log_ａｘ＝１,　ｘ＝ａ^２であればlog_ａｘ＝２です。

log_ａｘにおいて、ａ＝１０の時を特に常用対数と言い、ａ＝ｅ＝2.718・・の時を特に自然対数と言います。高校数学ではあまり気にしなくてよいのですが、常用対数を log ｘ、自然対数を ln ｘ（こちらをlog ｘとする人も）で記す場合があります。対数関数の場合、関数の値自体は負の数でもあり得ますが、変数の範囲は「正の数」という点がひとつ注意点です。

対数関数も指数関数と同じく、高校数学ではどちらかというと微積分との関連のほうが重要になってきます。

三角関数

三角関数は、弧度法で表した三角形の角度を変数とした辺の比（三角比）を基本とする関数で、正弦関数（sin x）、余弦関数（cos x）、正接関数（tan x）の３つが基本です。角度を０から直角までに限定した場合して平面図形に使うなどには特に三角比と呼ぶ場合もあります。

必要に応じてこれらの逆数（例えば余接関数 cot ｘ＝１／(tanｘ)）を考える事もありますが、高校数学では重要ではないでしょう。まず初めに学習すべき事を絞る事も大事である場合もあります。高校数学での基本は sin, cos, tan の３つだと思ってよいです。

三角関数は基本的には「角度」を変数とするのですが、プラスマイナスの値と対称性を考えて三角関数の変数の範囲は実数全体とします。（tan ｘだけは\(\pi\)／２ の奇数倍を定義域から除きます。）

前述の通り、逆三角関数については最近の高校ではほとんど問われないので、原則として気にする必要はありません。大学数学で扱う微積分の特定の計算で、逆三角関数を使う事が有用である場合があります。

以上、初等関数の一覧と重要な点を列挙しましたが、①：まずは学習すべき内容を整理し全体像をつかむ → ②：各関数についての細かい規定や計算方法を知る → ③：それらを組み合わせた問題（主に大学入試問題）を解く練習を積んでみる　という手順が高校数学を得意にする勉強のやり方の１つです。

球の表面積と体積の公式はセットになっています。微分と積分の関係で結ばれています。
微分の公式と積分の理論については別途に詳しくまとめています。

直接的な問いとして出題されるのは高校数学の範囲ですが、球の表面積や体積を種々の理論で「使う」事は大学数学と物理学でも引き続き行われます。特に物理学で円や球がモデルとしてよく使われますが、これは単純に、半径が等しいと性質が理論を組み立てる際に非常に便利であるからです。

公式

球の表面積と体積の公式は次のようになります。

公式の導出については、じつは
円周の長さ　→　円の面積　→　球の体積　→　球の表面積　という順番です。
しかも、基本的には微分と積分の関係で結ばれているのです。ただし微積分による導出では、順番としては体積が先でその次が表面積という事になります。

表面積公式の導出

球の体積のほうの公式の「４／３」という係数が不可解で覚えにくいという人もいるかもしれませんが、微積分を考えてみてください。球の体積公式をｒで微分すると球の表面積になるのです。

これはそう考えると単に覚えやすいという事ではなくて、数学の理論としても本質的な事なのです。

$$ｒで微分する：\frac{d}{dr}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)=4\pi r^2$$

このように、初歩的な微分の公式で体積と表面積の関係が結ばれています。

逆に表面積の公式をｒで積分すれば体積の公式になりますが、これはより正確には「０からｒまで」の定積分になります。しかし０の部分は代入すると消えるので、公式を覚えるという意味では結果的に考えなくてもよい事になります。

体積公式の導出

しかし、球の体積と表面積が微積分の関係にあるとすれば、平面の円の面積と球の体積はどうつながるのか？という話になります。

微積分の関係である事は同じです。ただし、この場合は [－ｒ,ｒ] の積分区間での定積分になります。また、積分の設定をする際に１つだけ注意が必要です。そのため、定積分の結果である球の体積のほうから円の面積を推測するのは少々難しいでしょう。

基本的には、「断面の面積が分かっている立体」の体積を計算する要領で定積分を行って導出するのです。
直交座標上に立体をおいて、ｘ軸に垂直な断面積をｘで定積分します。

計算を簡単にするため、球の中心を原点におきます。すると、ｘ軸に垂直な部分の断面の円の半径が分かれば、円の面積を－ｒから＋ｒまで積分すれば球の体積となるのです。

その時に、ｘｙ平面の断面で一度考える必要があります。
注意点は、この時の球の、各ｘ座標に対する断面積（円になります）と半径の考え方です。
これは、球をちょうど半分に切った時の円に対するｘ^２＋ｙ^２＝ｒ^２の関係式を踏まえて、
ｘ座標における「ｙの値の絶対値を半径とする」円の面積を断面積として考える必要があるのです。この設定を間違えると正しく計算されないので注意が必要です。

すると、円の式におけるｙの値という事は「平方根が出てきてしまうではないか！」という事になり面倒に思えるかもしれませんが、円の面積はその２乗を考えればよいのですから、ｙ^２＝ｒ^２－ｘ^２だけ分かればじゅうぶんです。

定積分の計算は次のようにします。計算は難しくありませんが、ここでの積分変数はｘであり、ｒは定数扱いという点に少し気を付ける必要があります。

$$\int_{-r}^r\pi y^2dx=\int_{-r}^r\pi (r^2-x^2)dx=\left[r^2x-\frac{1}{3}\pi x^3\right]_{-r}^r$$

$$=r^3-\frac{1}{3}\pi r^3-\left(-r^3-\frac{-r^3}{3}\pi\right)=2r^3-\frac{2}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3$$

途中の符号が入り乱れていて分かりにくい場合は、０から＋ｒまで定積分して２倍しても同じです。

$$2\int_0^r\pi y^2dx=2\int_0^r\pi (r^2-x^2)dx=2\left[r^2x-\frac{1}{3}\pi x^3\right]_0^r$$

$$=2\left(r^3-\frac{1}{3}\pi r^3\right)=2\cdot\frac{2}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3$$

この計算の仕方は球だけではなくて他の任意の立体の体積でも同じ事です。（もちろん、手計算でやる場合は原始関数を計算で出せるならの話ですが。）

物理学や工学の理論で球の表面積や体積を考える時には、特定の力等の大きさの関係と組み合わせて理論が組み立てられます。特に、距離の逆２乗に比例する（２乗に反比例する）関数と表面積の組み合わせは理論上重要な役目を果たす事になります。

円周率はなぜ３.１４なのか、なぜ「３」ではいけないかの易しい説明です。円や球に対しては「円周率」が常につきまといますが、それについての話をしましょう。

■ そもそも円周率の定義は？　■ 正確な証明の話　

そもそも「円周率」の定義は？

円周率とは、「円の直径と円周の長さの比」の事であり、値は約３.１４です。
直径が１メートルの車輪の円周の長さは、円周率を用いて
１×３.１４＝約３.１４メートルと計算できます。
円周率の正確な値は３．１４１５９２６５・・・という、循環しない無限小数であり、「無理数」です。
【無理数である事は、背理法で示します。円周率に限らず、特定の数が無理数である事を示す方法は基本的には背理法です。】

円周率の特徴

1. 「円周の長さ」÷「直径」の値の事を円周率と呼ぶ
2. 任意の円において値は一定であり、3.141592・・・・
3. 循環しない無限小数であり、無理数である

円周率を使って円の面積も計算できますが、元々は「円周」と直径の比です。
記号は、ギリシャ文字の「パイ」\(\pi\) を使います。

この「約３．１４」という半端な数はどこから出てくるのでしょう？
円に内接する正６角形を考えてみてください。
じつは、簡単な計算により、「円の直径×３」は、ちょうど「円に内接する正６角形の周の長さ」なのです。
この事実が、円周率を「約３」と教える事が、数学的に見て決して良いと言えない理由の一つです。

【多角形の円に対する内接・外接の考え方は別途にまとめています。】

★本当に大雑把な計算（例えば１００くらいになるのか、１０００くらいになるのかといった）であれば円周の長さを「大体３」の計算でやってもよいと思いますが、正確な計算にはならない事は踏まえておく必要があるという事です。実際の値よりも小さくなってしまうからです。

次に、円に内接する正１２角形の周の長さを計算してみると、おおよそ、円の直径×3.1058になります。
この「円周率に相当するような定数」は、円に内接する正２４角形の場合は約3.1326、
正４８角形の場合は約3.1393です。正９６角形まで考えると、3.14が出てきます。
じつは、角をもっと増やしていくと、その値は正確な「円周率」の値に限りなく近づくのです。

正確な証明の話

☆ここから先の内容は高校数学、さらに詳しくは大学数学の範囲です。

極限値として円周率が確かに存在する事の証明は少し面倒ですが、平面幾何と極限の基礎知識さえ知っていれば証明は可能です。
円に内接する正ｎ角形と、円に外接する正ｎ角形を考えます。
その中で、２つの頂点と円の中心で作られる三角形に注目します。
ここでじつは少し工夫が必要で、ｎに対してｎ＋１ではなく、２ｎを考えます。

すると、内接する正２ｎ角形の周の長さは
「内接する正ｎ角形の周の長さより必ず大きい事」と、
「外接する正ｎ角形の周の長さよりは必ず小さい事」が、比較的容易に示せるのです。

これは、内接する正ｎ角形の周の長さを数列として見た時、「単調増加で上に有界」である数列になっている事を示しています。
そして、そのような数列は必ず極限値を持つという定理があるので、
円に内接する正ｎ角形の周の長さは「ｎを無限大にした時に極限値を持つ」事が示されます。

同様に、円に外接する正ｎ角形の周の長さも極限値を持つ事が示せます。
ここで、証明の中で導出している関係式の一つを用いると、２つの極限値は
一致する事を示せます。その値が、円周率と呼ばれる定数です。

円周の長さが直径と円周率の積で表されるという事実は、三角関数の微分公式が成立する根拠でもあるので、理論上、かなり重要な位置にあると言えます。

★三角関数の微分公式の導出には sin x ＜ x ＜ tan x という不等式を用います。
これは実質的には、「内接正ｎ角形の周の長さ＜円周の長さ【極限値】＜外接正ｎ角形の周の長さ」という関係式と同等です。
円周や円弧の長さは極限値なので、解析学（微積分学）的には本来は多少詳しい考察や証明が必要になるというわけです。

実数に関する絶対値の意味と、高校数学の範囲で想定される問題について説明します。

絶対値とは？

■ 実数の「絶対値」の意味
■ 文字式に対する絶対値
■ 絶対値記号がついた関数のグラフ　

実数の「絶対値」の意味

絶対値とは、意味としては向きに関わらず正の値として特徴づけられる「大きさ」のようなものです。

実数の場合、正の数の絶対値はその値そのもの、負の数の絶対値は符号を取り除いて正の数に直したものを指します。記号は、数を２本の縦棒｜｜で挟んだようなものを使います。例えば次の通りです。

$$実数+3の絶対値\hspace{10pt}|3|=3$$

$$実数-3の絶対値\hspace{10pt}|-3|=3$$

後述もしますが、負の数の「絶対値」は、－１を掛ける事で正の数にしたものでもあります。文字式や関数の絶対値を考える場合は、こちらの考え方のほうが重要になります。

尚、複素数に関しても絶対値というものもあり、ベクトルの場合は絶対値ではなく「大きさ」とか「距離」とか言いますが、記号は実数に関する絶対値と同じ記号を使います。

$$参考：複素数の絶対値\hspace{5pt}|1+2i|\hspace{15pt}ベクトルの「大きさ」|\overrightarrow{AB}|$$

文字式に対する絶対値

さて、という事は実数に関する絶対値というのは要するに正の数だろうが負の数であろうがとにかく符号はプラスにするというものですので、「大した意味を持つものではなく簡単ではないか」という話にもなります。実際、意味自体は簡単である事は事実です。

ただ、高校数学の場合、くせものなのは文字式や関数に絶対値記号をつける場合なのです。

例えば、実数変数ｘに絶対値記号をつけた |ｘ| については次のように処理せねばなりません。

$$①x≧0 の時、 |x|=x,\hspace{10pt}②x＜0 の時、 |x|=-x$$

注意が必要なのは、変数ｘが「負の数」の範囲にある場合で、絶対値記号を「外す」時にはマイナス記号を添えねばなりません。これは、ｘが負の数であるのだから、反転して正の数にするためには数学的な操作としてはマイナスを掛ける必要があるという事です。

$$x＜0 の時,|x|=-x\hspace{10pt}例えばx=-2なら、|x|=-x=-(-2)=2$$

人間が自分の感覚でやる時には「マイナス記号を取り払う」事で負の数を正の数にできますが、数学的な演算としては負の数を正の数にするには「－１を掛ける」操作が必要であるという事なのです。

より複雑な文字式に絶対値記号をつける場合も考え方は同じで、不等式に関する問題も絡んできます。

$$|A-2B|=A-2B【A≧2B】\hspace{10pt}|A-2B|=-(A-2B)=-A+2B【A＜2B】$$

関数に絶対値記号をつける場合は、その関数がどの変数の領域（「定義域」）で正の数になるのか、負の数になるのかという問題が直接的に絡みます。

$$|x^2-3x-4|=|(x-4)(x+1)|から、x^2-3x-4の正負の状況が分かる。$$

$$x≦-1またはx≧4の時、|x^2-3x-4|=x^2-3x-4$$

$$-1＜ｘ＜4の時、|x^2-3x-4|=-x^2+3x+4$$

このように、絶対値記号とは意味自体は簡単なのですが、出題する問題として話を複雑にしようと思えばいくらでもできるような性質のものでもあるので、いくらか慣れておく必要もあると思います。

絶対値記号がついた関数のグラフ

上記のように関数に絶対値記号をつける事もできるわけですが、この時にグラフを描くと、関数が０の値をとる点を境にｘ軸に反射するように折れ曲がるグラフになります。

例えば、次の３つの絶対値記号がついた関数のグラフは図のようになります。

$$y=|x|, \hspace{10pt}y=|x-1|, \hspace{10pt}y=|x^2-1|$$

２次関数に絶対値符号をつけた関数に関しては、因数分解する（本質的には解を計算する）事でグラフの形が分かります。

$$x^2-1=(x+1)(x-1)から、もとの２次関数の正負の範囲が分かります。$$

高校数学で問われる事は少ないと思いますが、三角関数に絶対値記号をつけた形の波形のグラフというものも想定できます。通常は負の数の部分が反転して周期的に山がいくつも連なるようなグラフになります。

参考までに、この類の波形は、電圧や電流として正弦関数等を考える時には実際に作れるもので、交流を直流に変換するための古典的な技術の１つです。半導体素子を上手に回路に組み合わせると実現可能となります。

応用：どういった出題があるのでしょう？

■ 直線との交点の問題など　■ 微積分との複合問題

直線との交点の問題など

上述の通り、関数に絶対値記号をつけると、グラフ上では形が変わってしまう場合があります。

そうすると、例えば同じ「２次関数と直線の交点の状況を調べる」という問題であっても、関数部分に絶対値記号をつける事で計算の手間が１つ増えてランクが少しだけ上がるわけです。

$$■問い：直線y=x+Cと図形y=|x^2-5x+4|が３点で交わるCの値は何ですか。$$

こういった問いの場合、少し引っかけどころがあって、ｘ軸に対して反転した部分に「接する」ことで３点で交わるパターンと、ちょうどｘ軸で反転する１点と、突き破るように関数と交わる他の２点と合わせて３点という場合があります。仮にこういう問題が出題された時には、どちらの場合も述べないと完全な正答にならないところがくせものです。

この問いに関しては、図に描いてみると状況を把握しやすいと思います。

Ａ．まず、２点および接点によって３点で交わるパターンです。

この場合には、接する部分は２次関数の部分が反転していますから、

$$y=x+Cと、y=-(x^2-5x+4)=-x^2+5x-4が接する状況を考えます。$$

$$x+C=-x^2+5x-4\Leftrightarrow -x^2+4x-4-C=0$$

$$\Leftrightarrow -(x-2)^2-C=0$$

よって、ちょうどＣ＝０であればそのような状況になります。これがまず１つです。

Ｂ．もう１つの場合。この場合、絶対値記号の中の２次関数が０になる部分の片側（値が小さいほう）を直線が通る事になります。

$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)なのでx^2-5x+4=0\Leftrightarrow x=1またはx=4$$

直線のほうのｙ＝ｘ＋Ｃが、点（１,０）を通ればよいわけです。この場合、ｙ切片であるＣを知るのは簡単で、Ｃ＝－１です。（分かりにくければ図を見てください。）

よって、題意を満たすＣの値はＣ＝０,－１です。【解答】

この問いの場合は直線のほうの傾きが固定されているので比較的状況を把握しやすく、逆に傾きのほうが変化する場合には状況はやや複雑になります。さらに、直線の式のほうに絶対値記号がつく場合も同様に複雑になります。いずれにしても、グラフの図形的状況を丁寧・正確に把握する事がポイントとなります。

この問いと同じ部類で、より平易なパターンはｘ軸に平行なｙ＝Ｃのような直線と、２次関数が一部反転した関数との交点を調べさせる問題です。その場合、反転した頂点部分より上とｘ軸で２交点、頂点の座標では３点、ｘ軸から頂点までの間では４点、ｙ座標が負の部分では０点で交わるという事になります。

微積分との複合問題

微積分の問題で、絶対値記号がついた関数の微分や積分を問うという出題も一応あり得るものではあります。いずれの場合も、絶対値記号がついたままでは微分も積分もできません。

まず絶対値の中身の正負の状況を正確に把握して、絶対値記号を外すという操作が必要になります。それから、微積分の操作をします。

上記の２次関数に絶対値記号をつけた関数に直線が接する条件を微分で出す場合には、ｘ軸に対して反転した部分で接するため、マイナスをつけて絶対値記号をはずした２次関数を微分する事になります。微分の場合は、関数の正負が反転する部分は導関数の正負も反転するだけという性質をうまく使える場合もあります。

定積分であれば積分区間を分割する事になります。本来マイナスになる部分の定積分がプラスに転じるので全体の値も当然変わってきます。

いずれにしても、通常の形の関数を微積分するよりも一手間かかる問題になりやすいのです。

参考までに、絶対値記号がついた関数がｘ軸で反射するように折れ曲がる点は、微積分学では関数が「連続であるけれども微分不可能である」点の例の１つとしてよく取り上げられます。これは、その点に変数ｘを近づける時に、大きい側から近づける場合と、小さい側から近づける場合とで微分係数に相当する極限値が異なる値になってしまうためです。