投稿者: 恭平

数列などについて成立する和の公式についてまとめました。

ｎの１乗、２乗、３乗に関する和

１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＝２８です。
これは直接足し算をしてもよいのですが、じつは７×８÷２＝２８のようにも計算できます。
これは偶然ではなくて必然であるというのが、数列の和に関する公式です。
１から１００までの自然数の和も、１００×１０１÷２＝５０５０のように計算できます。

同様に１からｎまでの自然数の「２乗」や「３乗」を全て加えた時に成立する公式があります。

これらのうち、特に１＋２＋３＋・・＋ｎを表す公式は何かの個数の数え上げの際に（突然）使う時があるので、知っておくと便利な公式です。

ここで、もし１から「ｎ－１」まで加えるといった場合には、単純に上記公式でｎのところをｎ－１に置き換えれば計算可能です。例えば１～ｎ－１までの和は次のようになります。

$$\sum_{j=1}^{n-1}j=\frac{n(n-1)}{2}$$

ｎ→ｎ－１と、ｎ＋１→(ｎ－１)＋１＝ｎ の置き換えで、
結果的にｎ(ｎ－１)のように書けるという事です。

証明については高校で「証明せよ」という形で問われる事はほとんどないと思いますが、一応どういう根拠であるのかを知っておき、また計算問題の練習としてやってみるのもよいと思います。

図を使う方法も含めて複数の証明方法がありますが、例えば次のように考えます。

１＋２＋３＋４＋・・・＋ｎ－１＋ｎ＝Ｓとした時、
全く同じ式を「和の順番だけ入れ替えた」ものを考えます。

つまり、ｎ＋(ｎ－１)＋(ｎ－２)＋(ｎ－３)＋(ｎ－４)＋・・・＋２＋１＝Ｓを考えます。

２つ並べて、左辺と右辺をそれぞれについて加えます。

１＋２＋３＋４＋・・・＋ｎ－１＋ｎ＝Ｓ
ｎ＋(ｎ－１)＋(ｎ－２)＋(ｎ－３)＋(ｎ－４)＋・・・＋２＋１＝Ｓ

この時、左辺については左から見て何番目の項であるかを合わせて加えます。
例えば、左から３番目にある項は３とｎ－２なのでこれらを足し合わせる形にします。
すると、次のようになります。
(１＋ｎ)＋(１＋ｎ)＋(１＋ｎ)＋・・・＋(１＋ｎ)＝２ｓ

(１＋ｎ)という項はｎ個ある事に注意すると、
ｎ×(１＋ｎ)＝２Ｓ ⇔ Ｓ＝ｎ(ｎ＋１)／２となり、和の公式を得ます。

ここでどの項も必ず(１＋ｎ)になるという事は、
左からｍ番目の項についてｍ＋(ｎ－ｍ＋１)＝ｎ＋１となるので保証されるというわけです。
【例えばｎ＝３なら３＋(ｎ－３＋１)＝３＋(ｎー２)＝ｎ＋１です。】

では、２乗の和についてはどうでしょう。考え方は似ているのですが、少し工夫が必要です。

まず、１＋２＋３＋・・・＋ｎを考えます。
この時、最初から２乗を考えずに１乗を考えるところがポイントです。

これについては公式が得られているので１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ(１＋ｎ)／２

続いて、２＋３＋・・＋ｎを考えます。
これは全体から１を引いただけなので２＋３＋・・＋ｎ＝ｎ(１＋ｎ)／２－１です。

さらに、３＋４＋５＋・・・＋ｎなどを考えていきます。

１＋２＋３＋４＋５＋・・・＋ｎ＝ｎ(１＋ｎ)／２
２＋３＋４＋５＋・・・＋ｎ＝ｎ(１＋ｎ)／２－１
３＋４＋５＋・・・＋ｎ＝ｎ(１＋ｎ)／２－１－２
４＋５＋・・・＋ｎ＝ｎ(１＋ｎ)／２－１－２－３
５＋・・・＋ｎ＝ｎ(１＋ｎ)／２－１－２－３－４
・・・
ｎ＝ｎ(１＋ｎ)／２－１－２－３－４－・・・－(ｎ－１)
を考えます。

これらｎ個の式の両辺を全部加えて等号でつなぐと、
左辺については１が１個、２が２個、３が３個、４が４個、・・・ｎがｎ個ある事が分かります。
３が３個という事は３×３＝３^２ですから、これで「２乗」の和ができるわけです。
右辺については、まずｎ(１＋ｎ)／２がｎ個ですからｎ^２(１＋ｎ)／２という項があります。（これが公式で「ｎの３乗」がある理由です。）
続いて引き算の部分は、１乗の和で表されるものをさらに１～ｎ－１について和をとる事になります。
１～ｎ－１までの和としてΣ{ｊ(１＋ｊ)／２}を考えるという事です。
この時に「２乗の和」が発生しますが、これは左辺にもありますので移項できます。
ただし、右辺で生じるのは「１からｎ－１までの」２乗の和なので、「１からｎまでの２乗の和」からｎ^２を引いたものになります。

１^２＋２^２＋３^２＋４^２＋・・・＋ｎ^２＝Ｓとして、

$$S=n\cdot\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{j=1}^{n-1}\frac{j(j+1)}{2}=\frac{n^2(n+1)}{2}-\frac{(S-n^2)}{2}-\frac{n(n-1)}{4}$$

⇔３Ｓ／２＝ｎ^２(ｎ＋１)／２＋ｎ^２／２－ｎ(ｎ－１)／４
＝(２ｎ^３＋３ｎ^２＋ｎ)／４
＝ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)／４　【うまい具合に因数分解できます。】
⇔Ｓ＝ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)／６

３乗の和の公式も同じようにできて、今度は２乗の和から１つずつ項を引いたｎ個の式を加えます。

１＋２^２＋３^２＋４^２＋５^２＋・・・＋ｎ^２＝ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)／６
２^２＋３^２＋４^２＋５^２＋・・・＋ｎ^２＝ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)／６－１
３^２＋４^２＋５^２＋・・・＋ｎ^２＝ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)／６－１－２^２
４^２＋５^２＋・・・＋ｎ^２＝ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)／６－１－２^２－３^２
５^２＋・・・＋ｎ^２＝ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)／６－１－２^２－３^２－４^２
・・・
ｎ＝ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)／６－１－２^２－３^２－４^２－・・・－(ｎ－１)^２

３^２が３個あれば３×３^２＝３^３、ｍ^２がｍ個あればｍ×ｍ^２＝ｍ^３ですから、
左辺の合計は３乗の和になります。
右辺は、ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)／６がｎ個と、「２乗の和」の形の数列をさらに１～ｎ－１まで和をとったものを引いたものになります。ｊ(ｊ＋１)(２ｊ＋１)／６＝(２ｊ^３＋３ｊ^２＋１)／６なので、これについて１～ｎ－１まで和をとり、引き算するという事です。
少し長ったらしいですが式を整理すると次のようになります。

１＋２^３＋３^３＋４^３＋・・・＋ｎ^３＝Ｓとして、

$$S=\frac{n^2(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{S-n^3}{3}-\frac{n(n-1)(2n-1)}{12}-\frac{n(n-1)}{12}$$

$$\Leftrightarrow \frac{4S}{3}=\frac{4n^4+8n^3+4n^2}{12}=\frac{n^2(n+1)^2}{3}$$

$$\Leftrightarrow S=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$

等比数列の和

何かと重要になるのは「等比数列の和」です。これは次のようにします。

Ｓ＝ａ＋ａｒ＋ａｒ^２＋ａｒ^３＋・・・＋ａｒ^ｎ－１

これの両辺にｒを掛けます。

ｒＳ＝ａｒ＋ａｒ^２＋ａｒ^３＋・・・＋ａｒ^ｎ－１＋ａｒ^ｎ

ＳとｒＳは、項数は同じで、途中のａｒ＋ａｒ^２＋ａｒ^３＋・・・＋ａｒ^ｎ－１が共通しています。
共通する項は差し引けばもちろん０になるので、
Ｓ－ｒＳ＝ａ＋ａｒ^ｎ ⇔ Ｓ(１－ｒ)＝ａ＋ａｒ^ｎ

ｒ＝１の時は単にｎ個のａの和なのでＳ＝ｎａで、ｒ≠１のときはＳ＝(ａ＋ａｒ^ｎ)／(１－ｒ)です。

これは、ｒ＝１／２のときなど、ｎ→∞のときにｒ^ｎ→０となる場合が特に重要です。そのように項数を無限個にした場合の等比数列の和は、等比級数あるいは幾何級数と言います。

階差数列の和

ｂ_ｎ＋１＝ａ_ｎ＋１－ａ_ｎのような形の数列（「階差数列」）の和を考えるとき、
ｂ_ｎ＋２＝ａ_ｎ＋２－ａ_ｎ＋１のようになりますから、
ｂ_ｎ＋２＋ｂ_ｎ＋１＝ａ_ｎ＋２－ａ_ｎになります。
中間の項がプラスマイナスでちょうど消えるという事です。

さらにｂ_ｎ＋３＝ａ_ｎ＋３－ａ_ｎ＋２を加えれば、
ａ_ｎ＋２が消えてｂ_ｎ＋３＋ｂ_ｎ＋２＋ｂ_ｎ＋１＝ａ_ｎ＋３－ａ_ｎになります。

このような形で、階差数列の和を計算する事ができます。具体的に書きだすと、多少分かりやすいでしょう。

ｂ_２＝ａ_２－ａ_１,
ｂ_３＝ａ_３－ａ_２,
ｂ_４＝ａ_４－ａ_３,
ｂ_ｎ－１＝ａ_ｎ－２－ａ_ｎ－３,
ｂ_ｎ＝ａ_ｎ－１－ａ_ｎ－２

ｂ_１＝ａ_１とすると、
ｂ_１＋ｂ_２＋ｂ_３＋・・・＋ｂ_ｎ
＝ａ_１
＋(ａ_２－ａ_１)
＋(ａ_３－ａ_２)
＋(ａ_４－ａ_３)
＋(ａ_５－ａ_４)
＋・・・
＋(ａ_ｎ－２－ａ_ｎ－３)
＋(ａ_ｎ－１－ａ_ｎ－２)
＝ａ_ｎ－１

階差数列および類似の形の数列には色々なパターンがあるので、公式を覚えるというよりは、和をとる事で度の項が消えてどの項が残るのかを個々の計算ごとに把握するとよいでしょう。

一般の和について成立する公式

特定の形の数列に限らず、一般に和に関して成立する公式というか関係式には次のようなものがあります。

これらのうち、最初の２つは通常の足し算の性質を式の形で書いてあるだけなのであまり公式としては認識する必要はないですが、３番目の式は注意する必要があり、しかも重要です。

「和同士の積」の計算の場合は、ｎとｍのうちまずｎだけ全部足してｍは変数扱いにしておき、
その後でさらにｍを動かして全体の合計の和を計算してもよいという事です。

これは、次の計算を考えると式の展開の計算通りにすると(ｎ,ｍ)＝(１,１), (１,２), (１,３), (２,１), (２,２), (２,３),・・・の全ての組が\(\large{a_ib_j}\)の項の中に出てくる事によります。

$$(a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n)(b_1+b_2+b_3+\cdots +b_n)$$

$$=a_1b_1+a_1b_2+a_1b_3+\cdots+a_2b_1+a_2b_2+a_2b_3+\cdots +a_3b_1+a_3b_2+a_3b_3+\cdots$$

高校数学ではほとんど扱いませんが、変数が複数ある時にシグマ記号をやたらと多く組み合わせる場合には、この「和同士の積」に関する性質を把握しておく事は結構重要になります。

等比数列の和を無限個で考えたものを、「等比級数」または「幾何級数」と言います。
【有限の項数の和のものを同じ名称で呼ぶ事もありますが、ここでは無限級数の場合を扱います。】

収束・発散の条件と計算の仕方

等比数列の和を考え、項数を無限大にしたものはどのようになるかをまとめると次のようになります。

この「等比数列の和のｎ→無限大の極限をとったもの」を「等比級数」と言い、
「幾何級数（geometric series）」という呼び方をする時もあります。
【高校ではこの幾何級数という呼び名はあまり使わないのですが、物理などでは使用する場合もあります。】

具体的に、ａ_ｎ＝(１／２)^ｎ－１で表されるような等比数列の和はｎ→∞の時に収束し、
ｂ_ｎ＝３^ｎで表される等比数列の和はｎ→∞の時に無限大に発散します。

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{1-\large{\frac{1}{2}}}=2$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}3^n=+\infty$$

この時に指数の部分がｎ－１ではなくｎで表されている場合には注意が必要で、例えばｃ_ｎ＝(１／３)^ｎなどと表されている時には計算にｎ＝１の時の「初項」が必要ですので、ｃ_ｎ＝(１／３)・(１／３)^ｎ－１のように考える必要があります。（あるいは、初項ｃ_１＝１／３である事をきちんと把握して計算します。）

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{\large{\frac{1}{3}}}{1-\large{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}$$

公比が負の数である場合にも、公比の絶対値が１未満であれば同じ公式を使えます。
例えば公比が－１／２などの場合にも和を無限大にとったものは収束します。各項はプラスとマイナスが次々と入れ替わりますが、全体の和は一定値に近づいていくという事です。この場合、上記公式の公比の部分にマイナス符号の公比をそのまま代入します。

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{1+\large{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\large{\frac{3}{2}}}=\frac{2}{3}$$

ところで、これらの無限級数を「幾何級数」とも呼ぶと上述しましたが、「幾何」に何か関係あるのかという話になります。一応、式に平面幾何的な意味を持たせる事は可能です。

適当な図形・・例えば長方形を考えた時に、図形の面積の１／２倍、そのさらに１／２倍、
そしてそのさらに１／２倍、・・の図形を加えていくと、全体の面積は無限には大きくならずに一定の範囲内で収まる事を確認できます。

ａ_ｎ＝(１／２)^ｎ－１の各項はａ_１＝１，ａ_２＝１／２，ａ_３＝１／４，ａ_４＝１／８，ａ_５＝１／１６，・・
のようになりますが、これらの項の和は平面図形で言うと、１つの長方形などの面積に対しておおもとの面積の１倍、１／２倍、１／４倍、１／８倍、１／１６倍、・・を加え合わせていく事に対応します。
この時、項数を増やしても全体の面積は必ず「２未満」におさまり、無限個に増やした場合は収束値である「２」に限りなく近づく事になります。

他方、ａ’_ｎ＝(１／２)^ｎに対する幾何級数を考えた時は収束値は１になる事は上述しましたが、これは平面図形ではａ_ｎ＝(１／２)^ｎ－１に対する幾何級数の収束値２から１を引いた場合に等しく、平面図形では図形の面積の１倍を除いた部分に相当します。

無限小数の級数としての扱い

循環小数を和で表すと？

１÷９＝０.１１１１１１１１１・・・や、１÷３＝０.３３３３３３３３・・・などの
無限循環小数は、幾何級数により表す事ができます。

０.１とは１／１０の事であり、０.０１とは１／１００の事、
そして０.１１とは０.１＋０.０１である事を考えると分かりやすいと思います。

無限循環小数には、０.１２３１２３１２３１２３・・・のように、「１２３」のような複数の番号の組み合わせが繰り返されるものも含まれるわけですが、このようなものも同様に考える事ができます。

０.１２３１２３１２３＝０.１２３＋０.１２３×０.００１＋０.１２３×(０.００１)^ｎ
のようになるので、この場合は公比を０.００１と考えればよいわけです。このようにして、小数が循環する限りは、無限小数は幾何級数とみなす事が可能です。

無理数のように循環しない無限小数は、小数点ごとに項を分けて無限級数で表す事は可能ですが幾何級数として表す事はできません。

0.999999・・・は、「１に等しい」？

「無限級数展開」が意外と身近にある例として、ちょっとしたクイズを考えてみます。

クイズ：「無限小数０.９９９９９９９９・・・・は『１に等しい』ですか？」

もしかすると、意見が割れるかも・・しれませんね。結論を先に言いますと、答えは「１に等しい」、です。

・・すると、「いや、１ではないやろ！？？？」と、怒られるかもしれません。
では、同じ質問を、表現だけ変えてみます：

$$「無限級数 0.9+0.09+0.009+0.0009+・・・=\sum_{n=1}^{\infty}\left\{(0.9)\cdot\left(\frac{1}{10}\right)^{n-1}\right\}は『１に等しい』ですか」 $$

これだと、幾何級数ですね。
これは、明確に答えは「１」なのです。

どういう事かというと、「１に『収束する』」「『極限値と』して１に等しい」という意味において等しくなるという事です。０.９９９９９９９９・・・は、１に限りなく近づくという意味です。

０.９９９９９９９９・・・が１に等しいか・等しくないかで意見が割れてしまうのは、小学校でも教わる無限小数が数学的にはどのような意味を持つかが曖昧な形で教えられている事によります。
前述のように無限小数は正確には無限級数であり、無限循環小数であれば公比の絶対値が１未満の幾何級数になるので１つの値に収束する事になります。

ところで、では例えば１／３＝１÷３＝０.３３３３３３・・・・について、この左辺の分数・割り算の形は本当に幾何級数の公式を使って出てくるでしょうか？試してみると次のようになります。

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left\{(0.3)\cdot\left(\frac{1}{10}\right)^{n-1}\right\}=\frac{0.3}{1-\large{\frac{1}{10}}}=\frac{3}{10-1}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

このように、無事に１／３（＝１÷３）に収束する結果となります。

１÷９＝０.１１１１１１１・・・についてもやってみると次のようになります。

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left\{(0.1)\cdot\left(\frac{1}{10}\right)^{n-1}\right\}=\frac{0.1}{1-\large{\frac{1}{10}}}=\frac{1}{10-1}=\frac{1}{9}$$

無限級数展開としての位置付け

幾何級数は、数学的には１／(ｘ－１)という関数のマクローリン展開と、本質的に同じ無限級数です。
（|x|＜１の範囲でのみ収束するという点まで、本質的に同じです。）

|x|＜１の公比、初項が１の幾何級数を考えると、

$$\lim_{n\to\infty}(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n)=\frac{1}{1-x}$$

これを逆手にとるというか、逆に１／(１－ｘ)という関数を|x|＜１の範囲に限定するという条件付きで無限級数として表すのが、「幾何級数展開」です。本質的には幾何級数の計算と全く同じもので、使い方による名称の違いです。

$$\frac{1}{1-x}=\lim_{n\to\infty}(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n)$$

$$無限大まで和をとる事を前提に、\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdotsと書く事も多いです。$$

これは無限級数展開の中では非常に簡単に理解できるものの１つです。にもかかわらず、大学範囲の数学や物理でも要所で使用します。知っておくと、学習がスムーズになり便利です。

幾何級数展開は、数学の複素関数論で用いられたり、物理では黒体放射の理論で「エネルギーが離散的な値をとること」（つまり量子的である事）の根拠のひとつとして用いられたりもします。他にも、使われ方は色々あります。割と重要なところで突然出てくるのが特徴かもしれません。

ただしそれらは教科書等の中では「幾何級数」「等比級数」である事の説明なしに、唐突に「１／(１－ｘ)＝１＋ｘ＋ｘ^２＋ｘ^３＋ｘ^４＋・・・と『展開』すると・・」などと書かれる事が結構多くあるので、その点だけ注意しましょう。

和（足し算）を表すのに使うシグマ記号について説明します。

$$英：\sum_{j=1}^n \hspace{10pt}\mathrm{summation\hspace{3pt}notation}$$

記号の意味と使い方

数学で、いくつかの項の和（足し算、合計）を表す時に次の記号を使う事があります。

$$\Large{\Sigma}$$

これはギリシャ文字の「シグマ」の大文字で、英語のアルファベットのＳに相当します。
【ギリシャ語だと実際に「ｓ」の発音らしいです。】
和を表す語（英語だと sum）の頭文字として使っていると言われます。

シグマ記号というものは、数学の教科書や本の中でも使われますが、
表計算ソフトの Excel で見た事がある人もいるかもしれません。
使い方はまさしく指定した範囲の数の「合計」の値を計算するというものです。

数学でこの記号を使う時には、もう少しごちゃごちゃと書いてある事が多いです。

$$\sum_{\large{n=1}}^5\frac{1}{n}$$

これは、記号の次に書かれた１／ｎに「ｎ＝１,２,３,４,５を代入して全部足しますよ」という意味です。
各項の和を具体的に書き下すと次のようになります。

$$\sum_{\large{n=1}}^5\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$$

変数部分はｎの代わりにｉ、ｊ、ｋなどのてきとうな別の文字を使っても表記できます。
（ｉを使う場合、虚数という事では無くてあくまで変数の番号を表します。）

数列の和を表したり、何かの数のべき乗の和を表したり、様々な和を表すのに使えます。

$$\sum_{\large{i=1}}^7\large{a_i}=\large{a_1+a_2+a_3+ a_4+a_5+a_6+a_7}$$

$$\sum_{\large{j=1}}^7\large{{e^j}}=\large{e+e^2+e^3+ e^4+e^5+e^6+e^7}$$

$$\sum_{\large{m=1}}^5\frac{1}{m^2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}$$

「１から始まってｎまで」の和を表す時には、シグマ記号の上のところの番号のところにｎと書きます。

$$\sum_{\large{i=1}}^n\large{A_i}=\large{A_1+A_2+A_3+\cdots +A_{n-2}+A_{n-1}+A_n}$$

$$\sum_{\large{j=1}}^n\large{{e^j}}=\large{e+e^2+e^3+ \cdots +e^{n-2}+e^{n-1}+e^n}$$

略記号的な書き方で、ｎなどのてきとうなところで区切る事を前提としてシグマ記号の上のところを略して書く場合もあります。表記が煩雑なときなどに使われます。どの番号までの和なのか明示したい場合には省略せずに上の番号も書きます。

$$\sum_jF_j(x)\hspace{10pt}\left(\sum_{j=1}^nF_j(x)の略記\right)$$

【※この略記法は一般の教科書などでよく使われますが、試験や入試では使わないほうがいいと思います。】

無限級数を考える場合にはシグマ記号の上のところに無限大の記号（∞）を書きますが、これはより正確に言えばまずてきとうな番号ｎまで和に対して、ｎ→∞の極限を考えたものです。

$$\sum_{\large{n=1}}^{\infty}\frac{1}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{1-n}+\frac{1}{n}\right)$$

（なお、この無限級数は収束せず無限大に発散します。）

他に、最初の番号が１ではなくて、別の番号から始める事も表記できます。
その場合は、シグマ記号の下の部分で「ｎ＝１」ではなくて例えば「ｎ＝２」と書けばｎ＝２,３,４,・・について項を加えるという意味になります。

$$\sum_{\large{n=2}}^5\frac{1}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$$

$$\sum_{\large{n=3}}^7\frac{1}{n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$$

普通は番号として自然数（正の整数）を使いますが、０も含めた負の数も含めた整数の範囲にする事もあります。その場合は、例えば－２,－１,０,１,２,・・・を順番に対象の関数などに代入して加えていきます。
（数列の場合は、ａ_ｎといった一般的な形の場合にはｎとして自然数と０を使うのが普通なので、ｎ^２のようなｎ＝・・を直接代入できる形の時に負の整数も代入する表記を使えます。また、１／ｎのように０を代入できないものについては番号として０を含むシグマ記号は使えません。）

$$\sum_{\large{n=0}}^5\frac{1}{n+2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$$

また、高校ではあまり使わないと思いますが、整数を要素とする集合の番号を足し上げるという表記も使われる事があります。例えば、説明のためのごく簡単な例としてＡ＝｛２,３,７,８,１０｝のとき、この番号にわたって和をとる事は次のように書く場合があります。

$$\sum_{\large{n\in A}}^5\frac{1}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}$$

代入する番号は整数であるという前提で、不等式で範囲を指定する表記法も一部あります。

$$\sum_{\large{1≦ i≦ 7}}\large{a_i}=\sum_{\large{ i=1}}^7\large{a_i}=\large{a_1+a_2+a_3+ a_4+a_5+a_6+a_7}$$

変数が複数ある時

やや複雑な例として、変数を２つ含む和を考える事もあります。

$$\sum_{\large{n,m=1}}^3\frac{m}{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{2}{1}+\frac{2}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{1}+\frac{3}{2}+\frac{3}{3}$$

これは、ｎ＝１,２,３とｍ＝１,２,３の「組」にわたって和をとるという意味になります。
つまり、(ｎ,ｍ)＝(１,１), (１,２), (１,３), (２,１), (２,２), (２,３), (３,１), (３,２), (３,３) の９通りについて、
９項の足し算を考えるという時です。

この時に、ｎ＝ｍとなる場合を除いた(ｎ,ｍ)＝(１,２), (１,３), (２,１), (２,３), (３,１), (３,２)の６通りだけの和を考えたいという場合には、シグマ記号の下のところにｎ≠ｍといった表記をして表現する事があります。

$$\sum_{\large{n\neq m\hspace{3pt}n,m=1}}^3\frac{m}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{2}{1}+\frac{2}{3}+\frac{3}{1}+\frac{3}{2}$$

平方根の考え方と基本計算について説明します。

英：平方根 square root

定義と記号の書き方

まずは定義と記号からです。

「平方」とは要するに「２乗」の事で、「平方根」の事を「２乗根」とも言います。
２^２＝２×２＝４、３^２＝３×３＝９の「２乗」の事です。
長さの単位で、１平方センチメートル１ｃｍ^２というのがありますね。
あれに使われている「平方」です。

平方根の整数倍、例えば２倍、３倍などは \(2\sqrt{2}\) , \(3\sqrt{2}\) のように書きます。
文字式のａの２倍や３倍を２ａ、３ａと書く感覚です。

小数で表すとどのような大きさ？

「２乗すると２になる数」である \(\sqrt{2}\) とは具体的にはどのような大きさの数でしょう？

\(\sqrt{2}\) の大きさは小数で表すと約１.4142135・・・になります。
この小数点は無限に循環しない形で続き、\(\sqrt{2}\) は無理数になります。

てきとうなところで小数点を四捨五入したもの、例えば「1.414」として２乗してみると
1.414 × 1.414＝1.999396 であり確かに２に近い数になります。

いくつか例を挙げてみると次のようになります。

• \(\sqrt{2}\)＝1.4142135・・・
• \(\sqrt{3}\)＝1.7320508・・・
• \(\sqrt{4}\)＝2
• \(\sqrt{5}\)＝2.2360679・・・
• \(\sqrt{6}\)＝2.4494897・・・
• \(\sqrt{7}\)＝2.6457513・・・
• \(\sqrt{8}\)＝2.8284271・・・
• \(\sqrt{9}\)＝3
• \(\sqrt{10}\)＝3.162276・・・

これらのうち、２^２＝２×２＝４、３^２＝３×３＝９ですから、
４の平方根と９の平方根を考えた時にはぴったりと整数の値になります。

これら平方根の小数の値は、\(\sqrt{2}\) や \(\sqrt{3}\) に関しては「1.414」「1.732」といった数値を覚えておくと便利な事もありますが、他のものはそれほど覚える必要はありません。
（ましてや、延々と続く小数を覚える必要はありません。）

それよりも重要なのは、平方根の値がどれくらいの大きさなのかを見積もる方法です。

例えば \(\sqrt{7}\) の大きさを知りたい時に「２以上３以下」といった事を知るのはじつは簡単で、
２^２＜７＜３^２という不等式によってその事を知れるのです。
もちろんこれは４＜７＜９という事です。
この不等式の各値の平方根（のプラスの値）を考えると２＜\(\sqrt{7}\)＜３となるので、
\(\sqrt{7}\) を小数で表した時の１以上の部分の値は２になると判定できるというわけです。
（実際の値は\(\sqrt{7}\)＝2.6457513・・・）

そう考えると、\(\sqrt{5}\), \(\sqrt{6}\), \(\sqrt{7}\), \(\sqrt{8}\) の小数での値がいずれも 2.23・・などの、
「２より大きく３より小さい」値になるのは偶然ではなく必然という事になります。
５、６、７、８はいずれも４より大きく９より小さいからです。

この考え方は、何かてきとうな自然数の平方根に対して一般的に適用できます。
\(\sqrt{17}\) の大きさを見積もる時には
１６＜１７＜２５、つまり４^２＜１７＜５^２ですから
４＜\(\sqrt{17}\)＜５といった感じになります。（実際の値は\(\sqrt{17}\)＝4.1231・・）

また、てきとうな\(\sqrt{151}\) といった数の大きさを見積もる時には
１４４＜１５１＜１６９、つまり１２^２＜１５１＜１３^２により、１２＜\(\sqrt{151}\)＜１３なので
\(\sqrt{151}\)＝１２.・・・・といった数になる事が分かります。（実際は12.2882・・）

この不等式の作り方・使い方に関しては高校入試でも問われる可能性はあります。

平方根に関する計算・公式

\(\sqrt{2}\) と \(\sqrt{8}\) の小数での値を比較すると、じつはちょうど２倍の関係になっています。

• \(\sqrt{2}\)＝1.4142135・・・
• \(\sqrt{8}\)＝2.8284271・・・＝２×1.4142135・・・＝\(2\sqrt{2}\)

これは偶然ではなく、８＝２^２×２という関係があるのでそうなるのです。
\(2\sqrt{2}\) を２乗すると、確かに２^２×２＝８になります。

一般的に、平方根の中に「何かの数の２乗」がある場合にこのような計算ができます。

いくつか具体例を挙げると次のような感じです。

• \(\sqrt{8}\) ＝ \(2\sqrt{2}\)
• \(\sqrt{12}\) ＝ \(2\sqrt{3}\)
• \(\sqrt{18}\) ＝ \(3\sqrt{2}\)
• \(\sqrt{24}\) ＝ \(2\sqrt{6}\)
• \(\sqrt{27}\) ＝ \(3\sqrt{3}\)
• \(\sqrt{32}\) ＝ \(4\sqrt{2}\)
• \(\sqrt{4x}\) ＝ \(2\sqrt{x}\)

掛け算に慣れていないと少し分かりにくいかもしれませんが、
例えば３２なら３２＝１６×２＝４^２×２のように考えるのです。それで\(\sqrt{32}\) ＝ \(4\sqrt{2}\)になります。
（※入試対策としては、これを頭の中でできるようにするのが望ましいです。）

次に、「分母の有理化」という計算も重要です。
これは、分母に平方根がある場合には、分子と分母の両方にその平方根を掛ける事で
「分母を有理数にできる」という計算です。

１つめの式は、\(a=\sqrt{a}×\sqrt{a}\) を式変形して考えても同じです。

２つめの式は(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)＝ａ^２－ｂ^２の関係を使っています。
同じ関係を使って、分母が平方根の差の場合には次のようにできます。$$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$$

具体例では、例えば次のようになります。

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\hspace{20pt}\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\hspace{20pt}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}$$

$$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$$

$$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{1}=\sqrt{2}+1$$

この具体例のように「分母の有理化」を行う事で分母が１になり実質的に「分母が消える」場合もあります。
慣れてくると、途中の計算は暗算でできるようにもなると思います。

平方根同士の掛け算・割り算と足し算・引き算については次のような規則が成立します。

平方根の掛け算については、(\(\sqrt{a}×\sqrt{b}\))^２＝\(\sqrt{a}×\sqrt{a}×\sqrt{b}×\sqrt{b}＝ab\) なので、
\(\sqrt{a}×\sqrt{b}＝\sqrt{ab}\) としてよいという事です。

割り算のほうについては「分母の有理化」もできますが、分子と分母の両方に単独の平方根がある場合には先に割り算をして平方根をとる事も可能である、という意味です。

$$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}\hspace{15pt}\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{6}{3}}=\sqrt{2}$$

分母と分子にある平方根が単独ではなく和や差の形になっている場合には、項を分ける・分母の有理化をするなどの計算が必要になります。

$$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=2+\sqrt{3}$$

$$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{6}(\sqrt{3}+\sqrt{2})=\sqrt{18}+\sqrt{12}=3\sqrt{2}+2\sqrt{3}$$

平方根の足し算や引き算は、基本的には文字式の足し算引き算のように考えるという事です。
例えば、文字式の場合には ２ａ＋３ａ＋ｂ＝５ａ＋ｂのようにして、ａとｂの具体的な値が分からない限りはそこで計算はストップしますが、それと同じように考えるという事です。$$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\sqrt{3}=5\sqrt{2}+\sqrt{3}【この先は平方根を含んだままの形では計算しない】$$

各平方根を有限の小数に近似する（つまり有理数に近似する）のであれば、さらに計算をする事が可能です。

対数【たいすう】関数 ｙ＝ log_ａｘ について説明します。
関数ではなく、何か１つの値log_ａｂについて考えた時は単に「対数」と呼びます。

英：対数関数・・logarithmic function 　
対数・・logarithm【「比」と「数」を意味するギリシャ語から作った造語と言われる】

定義と表記

対数関数とは、ある正の数ａを「何乗したら」ｘになるのかを、ｘの関数として表したものです。
log_ａｘと表記し、対数関数と呼びます。これは、指数関数の逆関数になります。

例として「１０という数を何乗したらｘになるか」を考えた時、
その値が 「１０を底とする対数関数」であり、log₁₀ｘと書きます。１０が対数関数の底【てい】です。

数学の応用や、理論の多くの場合でも「底」として使われる数は大体決まっている事が多く、
それは１０とｅ(≒２.７１８・・) と２です。
（もちろん必要があれば他の値を底として考える事ができます。）

これらのうち、１０を底とする対数を常用対数 (common logarithm)と言い、
log₁₀ｘを略記して logｘと書く事があります。桁数がやたらと大きい場合に使われる事が多いようです。

また、ｅを底とする対数を自然対数（natural logarithm）と言い、
log_ｅｘを略記して lnｘと書く事があります。（「ログ・ナチュラル」と読む事があります。）
これはｅの指数関数とともに微積分の理論で重要です。

他方、情報理論などでは２を底とする対数を使う事があります。
これは、０と１の２進数を扱う事と関連があります。

log_aｘ の底ａは「正の数」で「１ではない」値を考えるというルールがあります。
もし底が１の場合には、１を何乗しても１になってしまうためで、０の場合も同様です。
またもし底が負の数の場合を考えると、ところどころで「穴」が生じます。
例えば－２の２乗は４ですが、３乗すると－８になります。
という事は実数の範囲で考えれば(－２)^ｙ＝８になるｙは存在しないという事になり、関数として見た時にｘ＝８のところが存在しない事になってしまいます。
そのため、負の数のｘが取り得る範囲からは除外するという考え方をします。

少しややこしいですが、次に具体例でも示すように対数関数自体の値は０や負の数もとり得ます。ｙ＝log_ａｘについてｘ＞０で、ｙは実数全域の値をとり得るという事です。

具体例とグラフ

２を底とした時、
ｘ＝２は「２の１乗」
ｘ＝４は「２の２乗」ｘ＝８は「２の３乗」
ｘ＝１は「２の０乗」
ｘ＝１／２は「２の『－１乗』」
ｘ＝１／４は「２の『－２乗』」

これら「○乗」の部分が対数関数の値となり、log_２ｘの表記で書くと次のようになります。

log_２２＝１
log_２４＝２
log_２８＝３
log_２１＝０
log_２(１／２)＝log_２(２^－１)＝－１
log_２(１／４)＝log_２(２^－２)＝－２

点を座標上にプロットしてｙ＝log_２ｘのグラフを描くと次のようになります。

この時、２は正の数ですから、ｘ＝０やｘ＝－１のような場合、２を何乗してもそれらの値にならないので、ｘ≦０については考えない・・対数関数の定義域から除外するという考え方をします。

１０を底にして考えた時は
ｘ＝１０は「１０の１乗」
ｘ＝１００は「１０の２乗」
ｘ＝１０００は「１０の３乗」
ｘ＝１は「１０の０乗」
ｘ＝０.１（＝１／１０）は「１０の『－１乗』」
ｘ＝０.０１（＝１／１００）は「１０の『－２乗』」
ｘ＝\(\sqrt{10}\)（≒3.162）は「１０の『１／２乗』」

これらを log₁₀ｘの表記を使って書くと、次のように表現できます。

log₁₀１０＝１
log₁₀１００＝２
log₁₀１０００＝３
log₁₀１００００＝４
log₁₀１＝０
log₁₀0.1＝－１
log₁₀0.01＝－２
log₁₀\(\sqrt{10}\)＝１／２

基本公式

対数関数に関して成立する基本公式には次のようなものがあります。

①対数の和に関する公式：
ａ^ｕ＝ｘ,　ａ^ｗ＝ｚとすると、ｘｚ＝ａ^ｕａ^ｗ＝ａ^ｕ＋ｗなので、log_ａ(ｘｚ)＝ｕ＋ｗで、
ａ^ｕ＝ｘ ⇔ log_ａｘ＝ｕ, ａ^ｗ＝ｚ ⇔ log_ａｚ＝ｗ なので
log_ａ(ｘｚ)＝ｕ＋ｗ＝log_ａｘ＋log_ａｚとなります。
もっと直感的には、例えば２^３×２^４＝２^７となるので底を２としたときには
log_２(２^３・２^４)＝log_２２^３＋log_２２^４＝３＋４＝７と計算してよいという事です。

②逆数に関する対数の公式：
ｙ＝log_ａ(１／ｘ) とすると、ａ^ｙ＝１／ｘ
⇔ １／(ａ^ｙ)＝ｘ ⇔ ａ^－ｙ＝ｘ ⇔ logａｘ＝－ｙ＝－log_ａ(１／ｘ)
もっと直感的には、２の３乗は８で、２の「－３乗」は１／８なので
log_２(１／８)＝－log_２８＝－３と計算してよいという事です。

③対数の差に関する公式：
上記２つの公式を組み合わせると、
log_ａｘ－log_ａｚ＝log_ａｘ＋log_ａ(１／ｚ)＝log_ａ(ｘ／ｚ)となります。

④ベキ乗に対する対数の公式：
ｙ＝log_ａｘ, ｚ＝log_ａ(ｘ^ｂ) とすると、ａ^ｙ＝ｘ,　ａ^ｚ＝ｘ^ｂ＝(ａ^ｙ)^ｂ_＝ａ^ｙｂ　なので
ｚ＝ｙｂ つまりlog_ａ(ｘ^ｂ)＝ｂlog_ａｘです。
ここで(２^２)^３＝４^３＝２^６のような計算をしています。
log_２{(２^２)^３}＝３log_ａ(２^２)＝３・２＝６のようになるという事です。

⑤「底の変換公式」：
これが最も分かりにくいかもしれませんが、使用頻度は少ないかもしれません。
理屈としては、次のように考えます。
log_ａｘ＝ｙ, log_ｂｘ＝ｚとすると、ａ^ｙ＝ｘ, ｂ^ｚ＝ｘ,
よってａ^ｙ＝ｂ^ｚで、ａ＞０, ｂ＞０なのでｂ＝ａ^ｙ／ｚです。
これは「ａのｙ／ｚ乗がｂになる」という事になり
log_ａｂ＝ｙ／ｚ＝(log_ａｘ)／(log_ｂｘ)
⇔ log_ｂｘ＝(log_ａｘ)／(log_ａｂ) という底の変換公式になります。
例えば、log_３５＝(log_２５)／(log_２３)という計算が可能であるという意味です。

途中の式でａ＝ｂ^ｚ／ｙと考えると、log_ｂｘ＝(log_ａｘ)(log_ｂａ)という関係式になります。
これら２式の両辺の比を考えると、(log_ａｂ)(log_ｂａ)＝１という関係も得られます。
log_ａｂ＝ｙつまりａのｙ乗がｂである時、
ｂのｙ乗根(のうち正の数)がａなのでｂを１／ｙ乗すればａになる・・
つまりlog_ｂａ＝１／ｙとなるという事です。
具体的には、log_２８＝３, log₈２＝１／３より、(log_２８)(log₈２)＝１といった計算です。