面積要素の変換公式

積分変数としての面積要素dSと、x、y、zで積分した時に使うdx、dy、dzを偏微分を使って結びつける公式について説明します。
積分変数に関する公式ですからもちろん積分に関係しますが、ベクトルとも関連します。
この公式はやや特殊で、使われる場面はベクトル解析の分野のごく一部分に限定されるとも言えます。しかし特定の定理の証明・考察において重要である場合があるので、詳しく解説しておきます。

■より初歩的な内容(内部リンク):

面積要素とは

法線面積分においては曲面上の微小な領域に対する法線ベクトルを考えて、その法線ベクトルの大きさはその微小領域の面積であるとします。
そして、その面積にプラスマイナスの符号があると考えた量を特に面積要素(あるいは面積元素)と呼ぶ事があります。面積要素はdSなどの記号で書かれます。

面積元素dSを大きさとする法線ベクトル(面積要素ベクトル)

式で書くと次のようになります。
各成分は対象の曲面上の微小領域をyz平面、xz平面、xy平面へ射影した領域の面積です。$$d\overrightarrow{S}=(ds_x,ds_y,ds_z)$$ この法線ベクトル\(d\overrightarrow{S}\) の事を特に指して「面積要素ベクトル」と呼ぶ事もあります。
面積要素の絶対値は、このベクトルの大きさに等しいものとします。 \(|dS|=|d\overrightarrow{S}|\)

※「面積ベクトル」という用語は、曲面全体に対する単位ベクトルの法線面積分の事を指す場合があります。
また、法線面積分を考える時には「ベクトル場と単位法線ベクトルの内積を考え、それに面積要素を乗じるという形の形で書く」という形式もあります。ここで言う単位法線ベクトルとは「大きさが1」の法線ベクトルという事です。

法線面積分の計算を進める時には、内積を計算する形で成分ごとに分解した積分を考える事がありますが、その時に考える「スカラー場に対して、yz平面、xz平面、xy平面内の領域の面積要素を積分変数とする」形の積分を単に「面積分」と呼ぶ事もあります。

変換の公式

面積要素dSと、面積要素ベクトルの成分ds、ds、dsの間には実は変換の公式が存在し、それは曲面を表す関数に対する偏微分を使って表されます。

今、曲面を表す関数としてzがz=g(x,y)のような形で表されているとします。(これはベクトル場の成分を表す関数ではなくて、曲面を表す式です。)

面積要素ベクトルの成分dsx, dsy, dszと面積要素dSの変換公式

$$dS=ds_z\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}$$ $$ds_y=-\frac{\partial z}{\partial y}ds_z$$ $$ds_x=-\frac{\partial z}{\partial x}ds_z$$ この公式を使う時には、曲面を多面体とみなした時に微小な三角形(あるいは平行四辺形)の2辺がそれぞれxz平面上およびyz平面上にあるような分割を考えています。 (法線面積分および面積分の値は分割の仕方には依存しません。)

上記の式を組み合わせて、dsとdsについても面積要素dSとの関係式を作る事が可能です。

これらは決して使いやすい形の公式とは言えないかとは思いますが、ベクトル解析における特定の定理の証明等で使える場合もあります。

法線面積分を行う時の積分をする時の分割の仕方は任意ですが、
偏微分を使った面積要素の変換公式を考える時には
座標軸に平行な直線で区切った長方形の分割を行っています。
曲線上になっている部分は折れ線で近似して直角三角形の分割として考えます。

◆! 注意点・・・
これらの公式はあくまで
「法線面積分およびスカラー場に対する面積分における、
積分変数としての面積要素に対して成立する変換公式」であり、
通常の二重積分等での積分変数の変換(極座標変換など)では使う事はできません。
二重積分や多重積分で積分変数の変換を行う時には、関数行列式を使った変換が必要です。

また、ds/dS,ds/dS,ds/dSは図形的に余弦とみなす事ができて、方向余弦とも呼ばれます。(方向余弦は面積要素ベクトルに対してだけでなく、ベクトル一般に対して考える事ができます。)これらの面積要素ベクトルの方向余弦は、分割の方法を合わせるという前提のもとで上記の公式中の係数で表す事ができます。

余弦とは三角関数の「コーサイン」「cos」の事です。

面積要素ベクトルの方向余弦を偏微分で表す方法

角度は鋭角の場合であるとします。 $$\frac{ds_x}{dS}=\cos\alpha,\hspace{10pt}\frac{ds_y}{dS}=\cos\beta,\hspace{10pt}\frac{ds_z}{dS}=\cos\gamma \hspace{10pt}と置いた時、$$ (※これらは導関数の記号ではなく、普通の「割り算」あるいは「比」を考えています。) $$\cos\alpha=-\Large{\frac{\frac{\partial z}{\partial x}}{ \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} }}$$ $$\cos\beta=-\Large{ \frac{\frac{\partial z}{\partial y}}{ \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} } }$$ $$\cos\gamma=\frac{1}{\Large{ \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} }}$$ 曲面の分割は、前述の変換の公式を適用する時と同じであるとしています。
また、\(dS\cos\alpha=ds_x\), \(dS\cos\beta=ds_y\), \(dS\cos\gamma=ds_z\) でもあります。
角度が鈍角の場合にはプラスマイナスの符号が変わります。

公式の導出および証明

上記の公式の証明においてはベクトル場の事は考えず、曲面の事だけを考えます。

面積要素と、面積要素ベクトルの第3成分との関係式の証明

曲面Sの領域の分割が、xy平面への射影を考えた時に辺がx軸とy軸に平行な長方形になるように考えます。曲面の外周部分に関しては長方形を対角線で区切った直角三角形を考えます。

この時に分割された各領域は、1つの共有点を始点(原点と考えます)に持つxz平面上のベクトルと、yz平面上のベクトルを2辺として構成されていると考える事ができます。

それらの2つのベクトルを \(\overrightarrow{a}\) および \(\overrightarrow{b}\) とおきます。
(位置関係は、dxとdyの符号がともにプラスである時に外積ベクトルがz軸のプラス方向を向くようにします。その側が面の表側で、面積要素ベクトルが出る側として考えます。)
今、曲面の各点のz座標はz=g(x,y)のような関数で表せる事に注意すると、
2つのベクトルはzに対するxとyでの偏微分を使って表せます。
\(\overrightarrow{a}\) の(終点の)x座標をdxとして、\(\overrightarrow{b}\) のy座標をdyとすると、次のように書けます。

$$\overrightarrow{a}=\left(dx,0,\frac{\partial z}{\partial x}dx\right),\hspace{15pt}\overrightarrow{b}=\left(0,dy,\frac{\partial z}{\partial x}dy\right)$$

2つのベクトルはそれぞれx軸上およびy軸上にあります。
そのため、1つのベクトルはy成分が0で、もう片方のベクトルはx成分が0です。
曲面を表すz=g(x,y)に対する偏微分は、図形的には座標軸に平行な直線上での近似一次式の傾きを意味します。

この時にこれら2つのベクトルにより構成される平行四辺形の面積(|dS|に等しい)は、公式を使って次のように表されます。対角線で区切った三角形の面積ならその半分になります。

$$dS=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}$$

$$|ds|=\sqrt{ \left\{dx^2+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2dx^2\right\} \left\{dy^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2dy^2\right\} -\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2dx^2dy^2 }$$

【平方根の中の2つの項がちょうど同じ値で引き算されて0になります。】

$$=\sqrt{dx^2dy^2+dx^2dy^2\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2+dx^2dy^2\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}$$

ここで、平方根の中のdxdyについて2乗した形が共通してどの項にもあるのでdxdyを平方根の外に出す事もできますが、敢えてひとまずこのままにしておきます。

面積要素ベクトルの第3成分(z成分)のdsの絶対値は、微小領域をxy平面に射影した領域の面積になります。【その証明は外積ベクトルの定義からの計算と、平面上のベクトルを使った平行四辺形の面積公式から行います。】

今、微小領域をxy平面に射影すると長方形になるように分割を考えています。
よって、|ds| = |dxdy| と書けます。【外積ベクトルのz成分を考えても同じ事です。】
すると ds = dxdy という事にもなるので、
これをさきほどの計算式に代入します。

$$|dS|=\sqrt{ds_z^2+ds_z^2\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2+ds_z^2\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}$$

ここで、dsはプラスとマイナスの両方の符号の場合があり得ます。これは図形的には、実は単純な話です。面積要素ベクトルがz軸のプラス方向側に向いていればそのz成分であるdsの符号もプラスで、逆に面積要素ベクトルがz軸のマイナス方向側に向いていればそのz成分であるdsの符号もマイナスという事になります。

すると、上式ではdsを平方根の外に出す事ができますが、それが式の右辺のプラスマイナスの符号を決める唯一の量になります。よって、面積要素dSの符号はdsによって決定する事になります。式で書けば次のようになります。これで証明完了です。

$$dS=ds_z\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}$$

ここでの符号の問題についてはdxとdyを基準に考える事もできます。
外積ベクトル \(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\) が面積要素ベクトルに等しいと考えると、
そのz成分はds=dxdyー0・0=dxdyで、符号まで一致している事になります。
この時、仮にdxとdyのどちらかがマイナスになると位置関係的にも、
外積ベクトル \(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\) はz軸のマイナス側を向く事になります。

もともと符号はプラスと考えた dx と dy の符号を入れ替えた場合の3パターン。
片側だけ符号を反転させた場合のみ、外積ベクトルの方向も反転します。
この外積ベクトルが面積要素ベクトルに等しいと考えれば、
面積要素ベクトルの第3成分とdxdyの符号が一致するようになります。

面積要素ベクトルの第1成分と第2成分についての式の証明

次に、面積要素ベクトルの第1成分(x成分)と第2成分についての式も考えます。

それらを表すには外積ベクトルとして成分を計算したほうが簡単で、次のようになります。

$$再度記すと\overrightarrow{a}=\left(dx,0,\frac{\partial z}{\partial x}dx\right),\hspace{15pt}\overrightarrow{b}=\left(0,dy,\frac{\partial z}{\partial x}dy\right)としているので、$$

$$ds_x=0\cdot\frac{\partial z}{\partial y}dy- \frac{\partial z}{\partial x}dx\cdot dy=-dxdy\frac{\partial z}{\partial x}$$

ここで使っている公式は次のものです。 $$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\hspace{10pt}\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)\hspace{10pt}のもとで$$ $$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\hspace{5pt}a_3b_1-a_1b_3,\hspace{5pt}a_1b_2-a_2b_1)$$ 外積ベクトルの各成分の絶対値は、2つのベクトルを2辺とする平行四辺形を
yz平面、xz平面、xy平面に射影した領域(それも平行四辺形。この記事内での例では長方形)の面積に等しくなっています。

ここで、先ほどの証明の最後で触れましたが面積要素ベクトルを外積ベクトルとして表した場合には符号まで一致してds=dxdyと表す事ができるので、それをそのまま代入する事ができます。すると次のようになって、示すべき式が得られます。

$$ds_x=-\frac{\partial z}{\partial x}ds_z$$

面積要素ベクトルの第2成分についても同様に、
外積ベクトルの成分として計算すると次のように示すべき式を得ます。

$$ds_y=\frac{\partial z}{\partial x}dx\cdot 0\hspace{3pt} – dx\cdot\frac{\partial z}{\partial y}dy=-dxdy\frac{\partial z}{\partial y}$$

$$よって、ds_y=-\frac{\partial z}{\partial y}ds_z$$

この面積要素の変換公式は、ストークスの定理に対する証明の1つの過程で使用する事ができます。

ベクトルの相等:自由ベクトルと束縛ベクトル…【2つのベクトルが等しいとはどういう事か?】

「同じ向きで同じ大きさのベクトル」を、
「始点を基準とした向き」と「大きさ」を変えずに移動させたベクトルの扱いについて説明します。

一般的に、原則的な扱い方は大体決まっているのですが、
書籍等では少し曖昧に説明されている場合もあるので詳しく説明をします。

ベクトルの相等
・・同じベクトルと異なるベクトルの違いは?

ベクトルの始点と終点を明示した表記方法では、\(\overrightarrow{AB}\) と \(\overrightarrow{BA}\) は異なるベクトルになります。

この事は図形的に見てもそのように言えて、
「大きさは同じ」で「向きが異なる(同一直線上で逆方向)」という異なる2つのベクトルなのです。

さて、ここで問題にしてみたいものがあります。

2つのベクトルが、次のような条件を両方満たす場合です。

  • 「向きと大きさの両方が同じ」
  • 「しかし、始点と終点が異なる」

例えば、平行線の関係にある異なる線上の2つのベクトルで、大きさは同じで向いている方向も同じという場合です。
それらは、異なるベクトルと考えるべきでしょうか?

図形における線分であれば、異なる端点を持つ線分ABと線分CDは、必ず異なるものとして考えます。そうでないと、図形的に正しい議論ができないのです。

ベクトルは「大きさ」と「向き」を持つ量として考えたはずですが、
それらは同じで始点と終点が異なる場合は?

では、ベクトルの場合はどうでしょうか。同様に考えるべきでしょうか?

「2つの異なるベクトルが等しい事」を指して数学ではベクトルの相等と呼ぶ事があります。
ここでは、ベクトルの相等が始点と終点の位置に関係するか?
それともそれらには無関係で向きと大きさだけに依存するものか?
という事を考えています。

実のところ、それに対する答えには2つの立場があって扱いが異なるのです。
ただし数学上の考察を含めて一般的に、何の断りもなければ原則としてどちらの立場で考える事が普通であると言う事はできます。

基本的にはベクトルは「自由ベクトル」

ベクトルの場合は、向きと大きさを持つ「量」として考えている事もあって、
実は「向きと大きさの両方が同じ」であれば、「始点と終点が異なる」場合でも同じベクトルであると考えるのです。
特に断り書きが無ければそれが基本的な考え方になります。
ただしそのように考えるベクトルである事を強調して、特に自由ベクトルと呼ぶ事もあります。

自由ベクトルは、向きと大きさを保ったまま自由に動かす事ができます。
(そのような移動を「平行移動」と言います。)

普通、数学的な考察の中で何のことわりもなく「ベクトル」と言ったらそれは自由ベクトルを指しています。つまり向きと大きさを保ったまま始点と終点を変更しても、移動前と移動後のベクトルは等号で結べるという事です。

自由ベクトルとして考える場合には、ベクトルの相等は向きと大きさにだけ依存し、始点と終点の位置には依存しないと言う事もできます。

ベクトルの相等についての基本的な考え方
  • 原則として、何も断り書きが無ければベクトルは自由ベクトルとして扱う。
  • ベクトルの相等は「向き」と「大きさ」だけで決まり、
    始点(および終点)が異なっていても同一のベクトルとみなし、等号で結ぶ事ができる。

例えば「始点が同一である」力ベクトルは合成する事ができて、数式的にはベクトルの合成(足し算と引き算)で考える事になります。すこの時に、片方のベクトルを平行移動させて平行四辺形を作って合成を考えます。つまりその時にはそのベクトルを自由ベクトルとして考えているわけです。

ベクトルの加算で片方のベクトルを平行移動して「平行四辺形」を作る図形的な考察は、ベクトルを自由ベクトルとみなしている場合の代表的な例の1つです。

ベクトルに関して数学的な一般論として考察や計算を考える時には、
基本的にはベクトルは自由ベクトルとして考えます。

始点の位置を問題にする「束縛ベクトル」

それに対して、状況によっては始点が特定の場所に固定されていると考える必要がある場合があります。つまり、始点が異なれば別のベクトルとみなす必要がある場合です。そのように考えるベクトルは、特に束縛ベクトルと呼ばれる事があります。

例えば現実に2本の綱があったとしましょう。
それらを2人の人が引けば2つの力ベクトルを考える事ができます。
しかしそれらの力ベクトルの始点(力の作用点)は異なります。
そういった場合に、仮に2つの力ベクトルを平行移動でぴたりと重ね合わせる事ができたとしても、それらを「同一の力」と評するには違和感があります。
その違和感は、ベクトルの始点が異なっている事に由来するのです。

力が作用している点が異なれば、大きさと始点からの向きが等しいベクトルであっても別々の力であり、同一の力ベクトルとは考えない事が普通です。
そのような場合でも、力ベクトルの大きさに関して F1 = F2 のように書けます。

束縛ベクトルを考える場合には、
必ずしもベクトルの始点が「同一の点」ではなくてもよい事もあります。
例えば「同一の線上」「同一の面上」であればよいとする事もあるのです。

いずれにしても、ベクトルの始点が具体的にどこにあるのか範囲が限定されているベクトルが束縛ベクトルであり、ベクトルの相等が「向き」と「大きさ」と「ベクトルの始点が存在する位置」に依存するわけです。

ただし、考察対象のベクトルが自由ベクトルであるか束縛ベクトルであるかの区別は、数学的というよりは物理的な解釈により判断する事が普通であると思われます。
例えば異なる物体に作用している複数の力ベクトルであれば、「別々の物に加わっている別々の力なのだから、その時点でベクトルを等号としては結べる事はない」と解釈しても何の支障もありません。

具体的な状況下で複数の束縛ベクトルを考えた場合でも、その時に考えている始点を基準にして限られた範囲で自由ベクトルのように考える事ができます。例えば、ある力の作用点に対して重力と摩擦力が働いている場合には、元々ベクトルの始点は同一である事は大前提にしたうえで、ベクトルを平行移動させてベクトルの「平行四辺形」を考えて力ベクトルを合成するといった計算ができます。

自由ベクトルは始点が原点である場合を基準にできる

始点を原点としてベクトルを考える場合にはベクトルは座標で表すか、終点が分かる文字で代表させる表記方法ができます。
この時には始点が皆共通ですから、向きと大きさが一致すれば終点も必ず一致します。

さてそこで、自由ベクトルとして考えているベクトルでは向きと大きさを保てば自由に移動させて構わないので、始点を原点にそろえる事もできるわけです。

この考え方のもとでは、
平面上あるいは空間内の任意のベクトルは座標を使って表す事ができる事になります。

例えば次の2つのベクトルを考えます。

  • 原点を始点とした(1,1)というベクトル
  • (2,1)を始点としてx方向とy方向にそれぞれ1ずつ進み、
    (3,2)に向かうベクトル

これらは、自由ベクトルとしては全く同一のベクトルとしてみなせるのです。

☆ベクトルの減算を使うと、
2番目のベクトルは(3,2)-(2,1)=(1,1)と計算して表す事ができ、
確かに1番目のベクトル(1,1)に一致する事を見れます。

ここでの例で、点(2,1)をAとして、点(3,2)をBとすれば
\(\overrightarrow{AB}=(1,1)\) と書く事ができます。

つまりベクトルを自由ベクトルとして考える前提のもとでは、
\(\overrightarrow{AB}\) のような始点と終点を明記した形のベクトルも、
原点を基準とした座標成分による表記方法と、数学的に等号で結べるという事を意味するのです。
この時には、平面上あるいは空間内の具体的な2点間のベクトルである事を明示しつつ、
「向きと大きさは原点を基準とした時の(1,1)というベクトルに等しい」という事を表現しているとも解釈できます。

今回のまとめ
  • 基本的にはベクトルは自由ベクトルとして考えて、
    「向き」と「大きさ」が等しければ、始点の位置によらずに同じベクトルであると考えて等号で結ぶ事ができる。
  • 特に断りが無ければ、数学的な計算や考察ではベクトルは自由ベクトルであると考える。
  • ただし物理学等での個別の考察を行っている時には、
    始点が限定された範囲内にないと、向きと大きさが等しくても同一のベクトルとはみなせない束縛ベクトルとして実質的に考える事もある。
  • ベクトルが自由ベクトルであれば、
    始点と終点を明記する表記と原点を基準にした表記は同一視する事ができ、
    等号で結ぶ事もできる。

スカラー場に対する線積分【定義と積分の仕方】

線積分という言葉は、ベクトル場に対する接線線積分と、スカラー場に対する線積分の両方に対して使われます。ここでは、スカラー場に対する線積分についての定義と積分の考え方について説明します。

接線線積分と同様に、スカラー場に対する線積分も電磁気学等での理論計算に使われます。

接線線積分の内積計算を行う過程で、
座標変数であるx、y、zを積分変数とする線積分を考える事もあります。

基本的な考え方

スカラー場 f(x, y, z) に対する「線積分」の基本的な考え方は、次のようになります。

基本的な考え方:スカラー場に対する「線積分」
  • 積分の対象となる関数がスカラー場(座標成分を変数とするスカラー関数)
  • 積分範囲が平面上または空間内の曲線上の経路

積分経路の表記は、ベクトル場に対する接線線積分と同じで、曲線上の2点PとQを決めてPQと書いたり、経路をCなどの名称で表したりします。(その書き方は、積分変数が座標変数が弧長の場合でも座標変数の場合でも、どちらでも同じです。) $$積分変数が弧長の場合:\int_{PQ}f(x,y,z)dl$$ $$積分変数がxの場合:\int_{PQ}f(x,y,z)dx$$ $$積分変数がyの場合:\int_{PQ}f(x,y,z)dy$$ $$積分変数がzの場合:\int_{PQ}f(x,y,z)dz$$

積分変数となる変数は弧長(曲線の長さ)であるとする場合と、
x,y,zの座標成分である場合があります。
どちらの場合でも線積分という語が使われる事が一般的です。
ただし、後述しますように両者で積分方向と積分の符号に関する規定に相違点があります。

積分対象の関数がスカラー場の場合には、
積分変数が弧長の場合と、座標変数x,y,zの場合の両方に対して「線積分」が定義できます。

積分変数が弧長の場合

積分変数が弧長である場合には、積分経路が曲線上の点Pから点Qまでの経路である時に、点Pにおいて弧長が0、点Qにおいてある長さLであるとして積分を行います。

弧長とは「曲線の長さ」の事です。基本的に、折れ線で近似した時の極限値を指しています。

$$\int_{PQ}f(x,y,z)dl=\int_0^Lf(x,y,z)dl$$

ただし、右辺のように表して具体的に原始関数を探して計算するといった場合には、後述するようにスカラー場は \(l\) の関数の形になっている必要があります。

弧長を表す文字としては、sやtが使われる事もあります。

弧長(曲線の長さ)を積分変数として線積分を考える事ができます。
折れ線で近似をして合計し、極限を考えて積分するという考え方です。

この時に弧長は点Pから測って決めているので、
同じスカラー場に対して点Pからではなくて
「点Qから線積分を行う場合」には、積分全体の符号が変わります。
積分の向きと積分全体の符号の関係の考え方は、接線線積分の場合と同様になっています。

$$\int_{QP}f(x,y,z)dl=\int_L^0A(x,y,z)dl=-\int_0^Lf(x,y,z)dl=-\int_{PQ}f(x,y,z)dl$$

このように書けるわけですが、
線積分を具体的な定積分として計算する場合にはx、y、zが弧長を変数とした関数で表されている事が必要な場合が多いです。
すなわち、指定された曲線上の経路では特定の点からの弧長によって点が一意に確定するわけですから、具体的に容易に書けるかは別問題として、理論上は座標変数を弧長の1変数関数として表せるはずであるという事です。

$$x=x(l), \hspace{5pt}y=y(l),\hspace{5pt}z=z(l)\hspace{5pt}であれば$$

$$f(x,y,z)=f(x(l),y(l),z(l))となり、$$

$$\int_{PQ}f(x,y,z)dl=\int_0^Lf(x(l),y(l),z(l))dlとして計算可能になる場合もあります。$$

積分変数が座標変数の場合

積分変数が座標変数x、y、zの場合でも、曲線を経路とする積分を指して「線積分」と呼びます。
この場合には、弧長を変数とする場合やベクトル場に対する接線線積分とは少し考え方が変わります。

まず、積分変数がxの場合を考えてみます。yやzに対しても考え方は同じです。

積分の元々の和としての定義を考えてみると、積分変数をxとするという事は「対象となる関数の値と分割された区間の長さΔxとの積」を合計して極限値をとるはずであり、実際その場合の線積分もそのように定義されるのです。

つまり、曲線上の各点において「曲線の分割された(微小な)経路分のx軸への射影」を考えてスカラー場との積を合計して積分するといった形になります。

$$積分変数がxの場合の線積分の表記:\int_{PQ}f(x,y,z)dx$$

ただし、具体的にxに関する原始関数を探して定積分したい場合には、yとzがxだけの関数で表されている必要があります。

$$具体的な計算をするには、y=y(x),\hspace{5pt}z=z(x)\hspace{5pt}として表されて、$$

$$\int_{PQ}f(x,y(x),z(x))dxの形にする必要があります。$$

◆特定の曲線上の点という条件がある事によって、このようなxだけで表されるy=y(x),z=z(x)のような関数は必ず、存在はします。ただし、そのような関数が簡単な形で書けるかどうかは別の問題になります。特定の曲線上の点を考えるという条件のもとで、x、y、zは独立な変数ではなく、互いに従属の関係にあります。

この時に、曲線の形状によっては単純に1つの積分区間でのxによる定積分としては書けない場合があり、積分をいくつかに分割する必要がある場合があります。

例えば円等の閉曲線では、ある所まではxが増加するように曲線が進んでいき、あるところで逆にxが減少する方向に曲がる事になります。xが減少する方向に積分していく場合には積分の符号も逆向きになりますが、それは通常の1変数の定積分の考え方で符号を考えればよい事になります。

その場合には例えばPQの間にいくつかの適切な点、
例えばAやBを決めて次のように積分を分割します。

$$\int_{PQ}f(x,y,z)dx=\int_{PA}f(x,y,z)dx+\int_{AB}f(x,y,z)dx+\int_{BQ}f(x,y,z)dx$$

この時に、例えばP→Aまではxが増加する方向で、A→Bはxが減少する方向、B→Qで再びxが増加する方向であるなら、yとzがxの関数として表されている前提で、各点のx座標を使って線積分は次のようにも書けます。

積分変数をx、y、z等の座標変数とする場合で具体的な定積分をしようとする時には、
積分する向きと符号に気を付ける必要がある場合もあります。

具体例としてPのx座標が0、Aのx座標が3、Bのx座標が1、Qのx座標が5である場合で線積分を書いてみます。

$$\int_{PQ}f(x,y,z)dx=\int_0^3f(x,y,z)dx+\int_3^1f(x,y,z)dx+\int_1^5f(x,y,z)dx$$

この例の右辺の2項目の定積分は、通常のxが増える方向へのx=1からx=3までの定積分とは符号が逆向きになっているわけです。

$$\int_3^1f(x)dx=-\int_1^3f(x)dx\hspace{5pt}です。$$

これらの符号の扱いについては、分割された区間の(微小な)長さΔxについて、プラスとマイナスの符号を持っていると解釈して定義しておく方法も存在します。

弧長と座標成分の、余弦を使った積分変数の変換

曲線上で積分する方向(弧長が0から何かの値Lまで伸びる方向)を決めたうえで、
「曲線上の各点の接線ベクトルと座標軸のなす角\(\theta\)」の余弦を考えると、
弧長と座標変数との関係を余弦で結ぶ事ができます。

$$角度を\theta として、例えばdx=ds\cos\theta$$

考えているこの角度\(\theta\)は一般的に当然一定値ではなくて曲線上の位置によって異なりますから、
それを明確にするなら例えば \(\theta (l)\) のように書くことになります。

このような考え方は、
積分変数を「座標成分から弧長に変換する」ような場合に使う事になります。

$$例えば、\int_{PQ}f(x,y,z)dx=\int_{PQ}f(x,y,z)\cos(\theta (l))ds$$

この時に、xで線積分するのであれば、曲線の形状によっては
通常のxが増加する向きでの積分に対して符号を入れ替える必要も出てくるわけですが、
弧長を積分変数とする場合には、
点P→点Qに向かう経路である限り一貫して弧長が増加していく方向で積分が行われます。
そこで、上記の余弦を乗じる事によって符号も一致するように調整されるという事になるわけです。

x、y、zを積分変数とするスカラー場に対する線積分は、ベクトル場に対する接線線積分のように内積を計算する事はありませんが、弧長を変数とする場合のスカラー場の線積分からの変換と考える場合には分割した積分の符号の扱いに関しては内積の符号の扱いと同じ考え方をしています。

接線ベクトルと軸のなす角を使った余弦 cos Θによって、
積分変数としての弧長と座標変数の関係を考える事もできます。
この時の余弦の取り方は、内積の計算に似ています。
この考え方のもとでスカラー場に対する2つの線積分の定義の、積分の符号の考え方の整合性が取れます。

ベクトルの考え方:スカラーとの違い

ベクトルの基本事項のうち、通常の数(スカラー)との違いについて説明します。

◆ベクトルの使われ方:単に数学だけの話で勉強をしていると「何のために学ぶのか?」という疑問は必ず生じると思います。
ベクトルの場合は、例えば物理学への応用では「ベクトルの微積分」の考え方が重要になります。

☆関連(ベクトルに関する記事。サイト内リンク):
ベクトルの相等:自由ベクトルと束縛ベクトル【2つのベクトルが等しいとはどういう事か?】
ベクトルの内積
外積ベクトルの定義と公式

☆物理学へのベクトルの応用
古典力学とベクトルの微分
ベクトル解析

べクトルの考え方とイメージ

基本的には、ベクトルとは「方向」と「大きさ」の2つの合わせ持つ量として考えられます。通常の正の実数や自然数などは「大きさ」しか持ちません。

◆プラスとマイナスを「互いに逆の方向」とみなせば通常の実数等も「互いに逆向きの2つの方向」を持っているとも言えますが、ベクトルは平面や空間のあらゆる向きの方向を考えます。

イメージとしては、平面上の線分が向きを持っているという感じです。
(空間内の線分でも同じです。平面上のベクトルを特に平面ベクトル、空間内のベクトルを特に空間ベクトルと呼ぶ事もあります。数学的には、より「次元の高い」ベクトルも定義できます。)

平面に点Aと点Bを結ぶ線分があった時、その線分は長さ(大きさ)を持ちます。その線分に対して、「AからBに向かうのか」「BからAに向かうのか」という事も決めたものが「ベクトル」であるというのが基本的なイメージです。

ベクトルは図形的に見れば点と点をつなぐ「矢印」として表されます。
この図では空間ベクトルの色々な表記法・計算などを図示しています。
ベクトルの矢印の始まりの点を「始点」、矢印の先端の点を「終点」と言います。ベクトルは、座標の成分でも表す事ができます。数学的には、座標成分で表す方法のほうが色々な計算で便利です。ただし、物理でベクトルを用いる場合は、図形的な考察も重要となる場合があります。

この考え方は、例えば力学の「速度ベクトル」で使います。

例えば点Aから点Bの間で物体が移動しているという時に、
「AからBに向かっているのか」「BからAに向かっているのか」で、運動の性質は当然異なります。
それを数式としてはベクトルで表現するのです。

◆より正確に言うと、
ベクトルとは「向きと大きさを持ち、加算、減算、定数倍、内積といった演算が定義できる」ものとして数学上定義されます。それらの演算もまた、物理学等への応用でも使います。

ベクトルの表記方法

ベクトルの表記方法はいくつかあります。

図形的に矢印で図示する方法、平面上または空間内の点を使って表す方法、原点を基準にした座標で表現する方法、などがあります。

①図形的に矢印で図示する方法
(始点と終点を明記する方法)

ベクトルは図形的に図示して表現する事ができます。この場合には、方向を持つ事を明確にするために、ただの線では無く「矢印」を用いるのが通例です。

この時には、向きが例えば「点Aから点B」の場合には矢印の先(矢の部分)を点Bの部分に書きます。

逆に、「点Bから点A」の向きであれば、
大きさは同じで逆向きのベクトルという意味で矢印の先を点Aに書くわけです。

点Aと点Bのどちらを始点に選ぶかで、異なるベクトルになります。

「点Xから点Y」に向かうベクトルがある時(この時に大きさも確定していますが)、
点Xをベクトルの始点、点Yをベクトルの終点と言う場合があります。

平面上だけでなく、空間内でも考える事ができます。

②平面上または空間内の点を使って表す方法

平面上または空間内において、原点Oから点Aへの向きと大きさを持つベクトルを、$$\overrightarrow{OA}$$と書く表記方法があります。

線分OA の上に「矢印」をつけるわけです。
点Oから点Aに向かう「方向付きの線分」ですよ、という意味合いです。

また、原点を基準とする事が明らかである場合は、次のようにも書きます。 $$\overrightarrow{a}$$
この場合には、点Pや点Qといった点の名称を使うよりは、何か適当な小文字(a, b, p, q, x, y, ・・・)を使う事が比較的多いように思います。

普通は \(\overrightarrow{OA}に対して\overrightarrow{a}、\overrightarrow{OB}に対して\overrightarrow{b}\) のようにアルファベットを対応させますが、これはあくまで分かり易くするためです。
「このベクトルをこの文字で表す」と明示しておけば、対応させなくても間違いではありません。

原点を基準としないベクトルも考える事ができます。
例えば、点Aから点Bに向かうベクトルは\(\overrightarrow{AB}\)と書くことができ、
逆に、点Bから点Aに向かうベクトルは\(\overrightarrow{BA}\)と書くことができます。

◆ベクトルに定数倍(スカラー倍)、加算、減算などの演算を定義すると、$$\overrightarrow{AB} =-\overrightarrow{BA}$$ という関係式が必ず成立します。(※厳密には、演算の定義が無いとマイナスの符号をつけるといった事自体に数学的な意味が発生しない事には注意。)この関係は、次に見る座標によるベクトルの表現を見る事でもイメージしやすくなります。

③座標を使った表記方法

直交座標上の原点(0, 0)を基準とする事を前提に、ベクトルを座標で表す方法があります。

この場合、「原点から特定の点まで」という「大きさ」と「方向」を定めているわけです。

例えば(1, 1)という座標は平面の直交座標において
「斜め右上45°方向の大きさ \(\sqrt{2}\) 」というベクトルを表す事ができるのです。

このようにベクトルを座標で表したとき、通常の座標のようにx成分、y成分といった言葉を使います。「あるベクトルのx成分、y成分はともに1」といった具合です。

原点を始点にするという前提で、ベクトルを座標で表す事ができます。

この方法でベクトルを考えると、(1,1) というベクトルと( -1, -1) というベクトルは、大きさは同じで向きは逆向きである事がわかります。(図示でも、計算でも示せます。)

一般に(x,y) と(-x, -y) という2つのベクトルは「同じ大きさの逆向き」のベクトルです。この「逆向き」である事を、ベクトルにおいてもマイナス符号で表現したりします。

なお、ベクトルの大きさを計算する方法は座標上の2点間距離を計算する方法と同じであり、三平方の定理を使います。

ベクトルを、始点と終点を明記して矢印で表す表記と、原点を基準にして座標で表す表記は、実は原則としては「向き」と「大きさ」を表現する方法としては同一視できるものです。ただし、ベクトルをどういうものとして考えるかの前提が必要にもなります。詳しくは「ベクトルの相等:自由ベクトルと束縛ベクトル」で説明しています。

④ボールド体表記(主に書籍等で使用)

通常の文字 a, b, x 等に対して、それらを「ボールド体」a, b, x 表記にする事でベクトルを表す場合もあります。

この表記は書籍では多用されますが、慣れてないと通常のスカラー変数なのかベクトルなのか、紛らわしいかもしれません。
ウェブ上だとさらに分かりにくい事があるので、
当サイトでは敢えてベクトルは全て「矢印」の表記にしています。

  • 矢印表記:\(\overrightarrow{a} \)
  • ボールド体表記 a・・これでベクトルを表す (通常の表記 a )

スカラーとは?ベクトルとの違い

ある量がベクトルであるか通常の数であるのか区別が必要な時には、
ベクトルに対して通常の数(実数など)をスカラーと呼びます。
(※言葉としては「ベクトル量」「スカラー量」といった言い方もします。それぞれ、「ベクトル」「スカラー」と同じです。)

また、対象が関数である場合にはベクトル関数スカラー関数と呼んで区別もします。変数、定数といった語にも同様にベクトル・スカラーの名称をつけて呼ぶ事があります。

  • \(F(x), x, a\) ・・スカラー関数、スカラー変数、スカラー定数
  • \(\overrightarrow{F}(x),\overrightarrow{x},\overrightarrow{a}\) ・・ベクトル関数、ベクトル変数、ベクトル定数(定ベクトル

★ ベクトル関数については座標成分で表す表記が分かりやすいかと思われます。
例えば変数xに対するてきとうな(x+1, x2)といったベクトルを考えると、このベクトルはxの値によってただ1つ定まります。そのようなベクトルをベクトル関数と呼ぶわけです。

いずれの場合も、「スカラー」という語を使う時には
「ベクトルではなくスカラー」という意味合いが強いです。
言い換えると、ベクトルを使わない議論をしている時にスカラーという語を敢えて使う事は少ないと言えます。

ベクトルには通常の数つまりスカラーを掛け算する事ができ、それは図形的にはベクトルの大きさだけを変化させる操作です。その事をベクトルの定数倍、あるいはスカラー倍とも言います。

$$ベクトルのスカラー倍:例えば\hspace{5pt}2\overrightarrow{AB},\hspace{5pt}-4\overrightarrow{AB},\hspace{5pt}\sqrt{3}\overrightarrow{AB}$$

関数の場合、「多変数のスカラー関数」と、ベクトル関数の違いに注意。
ベクトル関数にも1変数のもの、多変数のものがあります。
関数と区別する場合、成分が定数で構成されるベクトルを特に「定ベクトル」と呼ぶ事があります。

物理学等への応用も含めて、ベクトルに関して成立する定理、スカラー関数に関して言及している関係式などがあります。演算を組み合わせてベクトルとスカラーの関係が混じる事もあります。そういった時に、問題にしている対象がベクトルなのか「通常の実数等=スカラー」なのかが数学的な議論の際に重要となるのです。

例として、ベクトルに対して「内積」という演算をすると通常の数、つまりスカラーになります。

逆に、微積分も含んだ込み入った例ですが、3変数のスカラー関数に対して「勾配」という演算をするとベクトル関数になります。

こういった議論を物理学や工学への応用も含めてする時に、扱う対象が「ベクトルなのか?それともスカラーなのか?」という事が重要になるのです。

角運動量の数学

物理学で考える「角運動量」は回転運動を表す物理量です。外積ベクトルを使って表します。

◆関連:ベクトルの基本事項と内積

角運動量ベクトル

角運動量ベクトル(angular momentum)の定義

角運動量ベクトルは、次のように外積ベクトルによって定義されます。 $$角運動量ベクトル:\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}×\overrightarrow{p}$$ $$物体の位置ベクトル:\overrightarrow{r}=(x,y)$$ $$運動量ベクトル:\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$$ $$\left(物体の質量:m\hspace{10pt}速度ベクトル:\overrightarrow{v}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)\right)$$

◆これに対して、「角速度ベクトル」(あるいは「回転ベクトル」)は
「物体が回転軸周りの同一平面内で回転運動をしている時に、向きは物体の回転方向が右ねじを締める向きに一致するの軸方向で、大きさは角速度ω【rad/s】に等しい」というベクトルです。$$角速度ベクトルの大きさ:|\overrightarrow{\omega}|=\omega【rad/s】$$$$角速度ベクトルの向き:\overrightarrow{\omega}の向きは軸方向で、右ネジを締めた向きが回転方向に一致する向き$$ 回転面の中心を基準点とした場合には、角速度ベクトルと角運動量ベクトルの向きは一致します。

角運動量を外積ベクトルで表す事には幾つかの意味があります。

まず、回転の向きに関しては時計回り(順方向)と反時計回り(逆方向)という事もありますが、回転している「面」の事も含みます。例えば、空間内にxyzの直交座標を考えた時に、同じ速さで同じの形の軌道を描いて回転している場合であっても、「xy平面での回転」「yz平面での回転」は当然「異なる運動」であると言えます。

そこで外積ベクトルの向きは、回転面の「軸」の向きに相当する方向を表す事になります。物体の運動方向が基準点から見て時計回り方向なのか、それとも反時計回り方向なのかも外積ベクトルの向きで表す事ができるわけです。(外積ベクトルの符号が反転すると運動量ベクトルの符号が反転し、全く反対の方向への運動を表す事になります。)

角運動量ベクトルと外積
角運動量ベクトルは外積ベクトル(ベクトル積、クロス積)で表します。
角速度ベクトルと角運動量ベクトル
角速度ベクトルと角運動量ベクトルの違いに注意。

また、ある点を基準として同じ角速度で回転をしていても、その点の近くを回転している時と遠くを回転している時とでは、物体の速度は異なります。
「物体の位置ベクトル」\(\overrightarrow{r}\) は、回転の中心からの「距離」も情報として含むので角運動量ベクトルを構成する要素として使わます。(この事は「力の能率(モーメント)」と関係します。)

外積ベクトルで表されているという事は、2つのベクトルが平行である場合(成す角度が0または \(\pi\)である場合)には値が0である事になります。これは、物体の運動がある点から直線状に遠ざかっていく、あるいは直線状に近寄ってくるような場合であり、「回転」の様子がない事を表しています。

力の能率(モーメント)

力の能率(あるいは「力のモーメント)」moment of force)は角運動量ベクトルの時間微分として表されます。ベクトルに対する微分は、具体的には成分に対する微分として定義されます。

ここで角運動量ベクトルの定義通りの式に時間微分をすると考えると、外積ベクトルに対する微分をするいう事になりますが、これは通常の積の形に対する微分公式と同じ形が成立します。【証明は外積の成分表示を使うと比較的簡単です。】

すなわち、次式のように書けます。

$$\frac{d}{dt}\overrightarrow{L}=\frac{d}{dt}\left(\overrightarrow{r}×\overrightarrow{p}\right)=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}×\overrightarrow{p}+\overrightarrow{r}×\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$$

【ここで、位置ベクトルの時間微分は速度ベクトル\(\overrightarrow{v}\)である事に注意します。】

$$=\overrightarrow{v}×\overrightarrow{p}+\overrightarrow{r}×\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=m\left(\overrightarrow{v}×\overrightarrow{v}\right)+\overrightarrow{r}×\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\overrightarrow{r}×\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$$

【最初のtで微分した後の第1項は0になり、第2項だけが残るという事です。】

ところで、運動量ベクトルの時間微分とは何であったかというと「力ベクトル」\(\overrightarrow{F}\)であったわけです。(それが運動方程式が表現している事そのものです。)

という事は、角運動量ベクトルの時間微分は結局「位置ベクトル」と「力ベクトル」との外積という事になるわけです。

$$\frac{d}{dt}\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}×\overrightarrow{F}$$

この外積ベクトルの事を、「力の能率」あるいは「力のモーメント」と呼びます。

積の形に対する微分公式と同じ形の公式が外積ベクトルを構成するベクトルにも成立します。

力の能率は、意味としては「大きさを持つ物体に力を働かせる時、ある支点から距離が離れているほど回転させる効果は大きい」というものですが、より詳しくは角運動量ベクトルの時間変化という事になるわけです。

力の能率(モーメント)
「てこ」(レバー)を使う時などに、支点からの距離があったほうが回しやい事を表現します。

角運動量の保存則

物体に働く力が「中心力」で、原点を中心にとった時には角運動量は保存量となります(角運動量保存則)。

この時には、角運動量ベクトルがどちらに向いているかはその時々によって異なりますが、
「力」の向き――つまり「運動量ベクトルの時間微分」の向きは、常に中心を向いている事を意味します。

従って、角運動量ベクトルが具体的にどう表されるかはその時々により異なりますが、
力の能率は中心力のもとでは常にゼロベクトルである」と言えるわけです。

$$中心力が物体に働く時:\overrightarrow{r}×\overrightarrow{F}=0【ゼロベクトル。\overrightarrow{F}=C\overrightarrow{r}と書けるから。】$$

ところで、力の能率は角運動量ベクトルの時間微分であったわけですから、中心力のもとではそれが0になる事を意味します。

$$\frac{d}{dt}\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}×\overrightarrow{F}=0$$

時間微分が0であるという事は、「時間によって変化しない」事を意味します。(実際、ベクトルの各々の成分に対して、その形の微分方程式の解は時間に関して「定数」という事になります。「時間に依存しない」形となるわけです。)

$$\frac{d}{dt}\overrightarrow{L}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{L}は定ベクトル(時間に依存しない。「保存」する)$$

この事を、「中心力のもとで角運動量は保存する」と表現します。
その事を、力学では角運動量保存則とも言います。

中心力と角運動量の保存

中心力のもとで軌道が円ではなく楕円のようになる場合にでもこの角運動量保存則は成立するので、中心力の発生源に近い場所では物体の運動量(および速さ)が大きくなり、発生源から離れているほど物体の運動量(および速さ)は小さくなる事を表しています。

剛体の角運動量

さて、では大きさを持った立体的な球とか円盤とか(変形しない事を仮定した場合に剛体と呼びます)が、
中心に立てた軸周りに「自転」している形式の回転の場合にはどうなるでしょうか。

この場合には、微小な体積領域で通常の角運動量を考えて、質量を位置の関数としての「密度」で表し、それに体積要素を乗じる事で表現します。それを領域全体で積分する事で「全角運動量」を計算するという形の理論になっています。

$$微小領域の質量:m=\rho dv【mと\rhoは\overrightarrow{r}の関数】$$

$$微小領域の角運動量ベクトル:\overrightarrow{r}×(\rho dv\overrightarrow{v})=\rho(\overrightarrow{r}×\overrightarrow{v}) dv$$

ここでは自転的な運動、つまり回転軸の方向が不変である場合を考えます。
その場合は、速度ベクトル\(\overrightarrow{v}\)は「角速度ベクトル」\(\overrightarrow{\omega}\)と位置ベクトル\(\overrightarrow{r}\)の外積として表せるという公式を使えるので、角運動量ベクトルの式を変形できます。

$$公式:\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\overrightarrow{\omega}×\overrightarrow{r}を使えるので、$$

$$\rho(\overrightarrow{r}×\overrightarrow{v}) dv=\rho\left(\overrightarrow{r}×(\overrightarrow{\omega}×\overrightarrow{r})\right) dv$$

この関係式は、より一般的に角速度ベクトルが定ベクトルではなく時間的に変化する関数になっている場合でも成立します。

角速度ベクトルの公式
原点を回転軸上にとった時、角速度ベクトルと位置ベクトルが作る平面と、速度ベクトルとは常に垂直になっています。

外積ベクトルの公式(「ベクトル三重積」)を使うと、もう少し計算を進められます。

$$\rho\left(\overrightarrow{r}×(\overrightarrow{\omega}×\overrightarrow{r})\right) dv=\rho\left(|\overrightarrow{r}|^2\overrightarrow{\omega}-(\overrightarrow{\omega}\cdot\overrightarrow{r})\overrightarrow{r}\right) dv$$

これを領域内で積分(体積分)したものが、剛体全体での角運動量の合計(全角運動量)になります。
積分する領域はVと置いておきます。
◆参考:ガウスの発散定理(体積分の考え方と公式)

$$全角運動量:\overrightarrow{L}=\int_V\rho(\overrightarrow{r}×\overrightarrow{v}) dv=\int_V\rho\left(|\overrightarrow{r}|^2\overrightarrow{\omega}-(\overrightarrow{\omega}\cdot\overrightarrow{r})\overrightarrow{r}\right) dv$$

内積はスカラーである事に注意して、位置ベクトルの成分表示を(x,y,z)とし、角速度ベクトルの成分表示を(ω,ω,ω)とするとさらに次のように書けます。

$$\overrightarrow{L}=\int_V\rho(x^2+y^2+z^2)\overrightarrow{\omega}dv+\int_V\rho(x\omega_x+y\omega_y+z\omega_z)\overrightarrow{r}dv$$

ここで全角運動量のベクトルも成分ごとに分けると、それら各成分は角速度ベクトルの成分の線型結合で表せるという、ちょっとした規則性を見出せます。全角運動量ベクトルのx成分を例として書いてみると、次のようになります。

$$\overrightarrow{L}のx成分:L_x=\int_V\rho\omega_x(x^2+y^2+z^2)dv-x\int_V\rho(x\omega_x+y\omega_y+z\omega_z)dv$$

$$=\omega_x\int_V\rho(x^2+y^2+z^2)dv-\int_V\rho(x^2\omega_x+xy\omega_y+xz\omega_z)dv$$

$$=\omega_x\int_V(y^2+z^2)\rho dv-\omega_y\int_Vxy\rho dv-\omega_z\int_Vxz\rho dv$$

【xの項が引き算で消える形になっています。】

全角運動量ベクトルのy成分とz成分についても同様の形の式になり、全角運動量はある正方行列Iと角速度ベクトルの積で表現できる事が言えます。その行列の成分Iijの事を「慣性テンソル」と呼び、その対角成分【I11,22,I33】は特に「慣性能率」とも呼ばれます。

$$ある3×3行列Iを使って、\overrightarrow{L}=I\overrightarrow{\omega}とも書ける。$$

一様な材質でできた対称性のある剛体の場合(球、円柱、円盤等)、具体的な積分の計算を手計算でも実行する事ができて、慣性能率は比較的簡単な形で表す事ができます。

これらの事は、物理学を専攻する学生さん以外にも、ベクトルやベクトルの外積の応用例を見るのに非常に良い題材の1つになっていると思います。

【証明】ガウスの発散定理

電磁気学などでよく使う「ガウスの発散定理」(「発散定理」「ガウスの定理」とも)の証明をします。
ベクトル解析の分野の中の基礎的で重要な定理の1つになります。

電磁気学の「ガウスの法則」は、「ガウスの発散定理」と関係が深いですが、あくまで静電場に関して成立する事実関係としての「法則」を表すものとして用語の使い分けがなされるのが一般的です。

関連事項(内部リンク)

定理の内容

$$以下、ベクトル場を\overrightarrow{F}=(F_1,\hspace{2pt}F_2,\hspace{2pt}F_3)=(F_1(x,y,z),\hspace{2pt}F_2(x,y,z),\hspace{2pt}F_3(x,y,z))\hspace{2pt}とします。$$

ガウスの発散定理とは次のようなものです。

ガウスの発散定理

ある閉曲面内の体積分と法線面積分について、次の関係式が成立します。 $$\int_V \mathrm{div}\overrightarrow{F} dv = \int_S \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}$$ $$あるいは、\int\int\int_V \mathrm{div}\overrightarrow{F} dxdydz = \int\int_S F_1 dzdy + \int\int_S F_2 dzdx+ \int\int_S F_3 dydx$$ $$S:閉曲面 V:閉曲面で囲まれた空間領域 $$ $$d\overrightarrow{s}=(ds_x,ds_y,ds_z)【成分には正負の符号がある事に注意】$$ 法線面積分を考えた時に使う面積要素 dxdy 等は、dsx 等と同じく、符号を持つので注意。曲面に表と裏を必ず決め、「裏→表」の向きに面積要素のベクトル\(d\overrightarrow{s}\) を立てて向きと成分の符号を考えます。

特に、次の3式が同時に成立し、加え合わせる事で定理全体が成立する事になります。$$\int\int\int_V\frac{\partial F_1}{\partial x}dxdydz=\int\int_S F_1 dydz$$ $$\int\int\int_V\frac{\partial F_2}{\partial y}dxdydz=\int\int_S F_2 dzdx$$ $$\int\int\int_V\frac{\partial F_3}{\partial z}dxdydz=\int\int_S F_3 dydx$$

積分の表記の仕方としては、次のように記す事もあります。これらは書き方を変えているだけで、全く同じ積分を表すという意味です。dxdyなどの表記の場合に積分記号を2つ重ねる表記にするのは、具体的な計算をする時には重積分の形になる事によります。$$\int_SF_1ds_x=\int\int_SF_1dydz$$ $$\int_SF_2ds_y=\int\int_SF_2dzdx$$ $$\int_SF_3ds_y=\int\int_SF_3dxdy$$

基本的な考え方は、複素関数論におけるグリーンの公式に似ています。要するに、ある多変数のスカラー関数について、変数が2つの特定の値の時に差をとったものは「その関数の偏微分の定積分」に等しいはず・・という発想を使います。

「スカラー関数の偏微分」を「微分する変数で定積分」する事により、特定の値のスカラー関数の差を作る事ができます。重積分の中でこの考え方を使う時は、偏微分に対する定積分の積分区間の端は一般には「関数の形」になります(yで積分するなら例えばy1=y1(x)というxの関数)。

発想自体は実はすごくシンプルなのですが、幾つか知っておかないとならない定義や公式がある事が「難しい」要因になります。特に必要になる事項を4つほど簡単に整理しておきます。

使う定義と公式の整理
①ベクトル場の「発散」の定義

ベクトル場\(\overrightarrow{F}\) に対する「発散」は次のようなスカラー関数です。 $$\mathrm{div}\overrightarrow{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y} +\frac{\partial F_3}{\partial z}$$

②法線面積分の定義

法線面積分は、次のように計算できるものとして定義されます。 $$\int_S \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_S (F_1 ds_z + F_2 ds_y + F_3 ds_z)=\int_SF_1 ds_x+\int_SF_2 ds_y+\int_SF_3 ds_z$$積分記号に添えてあるSは、「特定の閉曲面S」の表面の全域(あるいはそれに対応する領域)に渡って積分をするという意味です。dsz および dxdy 等を面積要素とも言います。(dsz および dxdy は共にxy平面上の領域の面積要素。)

③ \(d\overrightarrow{s} \)の座標成分と射影面積の関係

$$ d\overrightarrow{s}=( ds_x , ds_y , ds_z ) $$

  • \(|ds_x| \):微小領域の「yz平面」への射影領域の面積
  • \(|ds_y| \):微小領域の「xz平面」への射影領域の面積
  • \(|ds_z| \) :微小領域の「xy平面」への射影領域の面積

特に三角形の微小領域を考えると、外積ベクトルの性質によりこれらの関係が明確になります。

④体積分と重積分の関係

体積分は、特定の空間領域の全域に渡ってスカラー関数を積分するものです $$\int_V G(x,y,z) dv=\int\int\int_V G(x,y,z) dxdydz$$。dv =dxdydz を体積要素とも呼びます。
特別な場合では体積要素 dv のまま具体的な計算もできますが、通常は体積要素を dxdydz の形にして重積分にしないと計算は難しい事が多いです。
具体的な関数があって積分の値を計算する時は、次のように、通常の重積分と同じく累次積分を行います。 $$\int\int\int_V G(x,y,z) dxdydz=\int_{Z1}^{Z2}\int_{Y1}^{Y2}\int_{X1}^{X2} G(x,y,z) dxdydz$$ この時に積分する変数の順番は変えられますが、積分する領域の形状によっては、初めに積分する2つの積分区間は定数ではなくて関数になります。ここでの例だと X1=X1(y,z), Y1=Y1(z) 等です。

発散定理(ガウスの定理)の考え方②

発散定理における閉曲面の扱い

積分する範囲が「閉曲面」である事は定理の性質・証明において重要です。

閉曲面とは球や楕円体などの閉じられた曲面の事です。
(ただし直方体等の「角ばった箇所」がある閉じられた立体においても、定理は成立します。証明の過程を見ると、その事は分かりやすいかと思います。)

閉曲面は、凹んだような箇所がある曲面である場合もあります。
しかし、発散定理の証明においては実は「凹みがない」球のような曲面で成立する事を示せば十分です。それは、面積分に関して曲面は分割するできるからです。

例えば閉曲面を平面で真っ二つにした場合には、切断面の部分(2つに分かれた閉曲面の共有部分)では2つの積分の値が絶対値は同じで逆符号になります。それを加え合わせるとゼロになります。これは、共有される切断面においては「ベクトル場は同じ」で分割された2つの閉曲面同士で「法線ベクトルが絶対値は同じで逆符号」である事に起因します。

そのため、凹みのある閉曲面は出っ張ったところで切断して2つ以上の閉曲面に分けてしまう事により、法線面積分も2つの「凹みのない」閉曲面での法線面積分の和にできるのです。
(体積分に関しても、閉曲面を分割すると分割した領域での体積分を加えれば全体になります。)

つまり、発散定理の証明は「凹みのない」閉曲面で示されれば、凹みのある閉曲面で成立する事も示されるという事です。

発散定理(ガウスの定理)における閉曲面の扱い

証明

まず、次式から証明します。閉曲面は凹みがないものとします。

$$\int\int\int_V\frac{\partial F_1}{\partial x}dxdydz=\int\int_S F_1 dydz$$

これ1つが証明できれば、他の2式も同じ形なので全く同様に証明できます。
最後に3式を加え合わせれば発散定理の形になります。

積分する前の段階で微小領域を考えると、\(d\overrightarrow{s}=( ds_x , ds_y , ds_z )\)の第1成分dsの絶対値は微小領域のyz平面への射影面積になります。

ところで、yz平面への「同じ射影の領域」を持つ閉曲面の微小領域は必ず2つ存在し、それらの第1成分は必ず符号のプラスマイナスが異なります。同じ射影の領域を持ちますから\(d\overrightarrow{s}\)の第1成分は「同じ大きさで異符号」です。

しかも、その組み合わせの合計で閉曲面は全て覆える事になります。ベクトル場の第1成分Fとdsの積を合計したものはyz平面上の積分になります。【Fは関数F(x,y,z) である事に注意。】
ただし、yz平面上で積分をすると、対応する閉曲面の領域は2つありますから、dsの符号がプラスになる部分とマイナスになる部分に分けられます。

射影領域と閉曲面の関係
凹みのない閉曲面ではxy平面への同一の射影領域を持つ部分が2つ存在し、それらの微小領域に対する法線ベクトルのz成分は互いに異符号になります。yz平面、xz平面への射影についても全く同様に考える事ができます。

ここで、閉曲面Sのyz平面への射影領域であり、yz平面での積分範囲でもある領域をSyzと置きます。
この平面領域Syzは、「表と裏」に関して次の約束事をしておきます:

◆約束事:平面領域Syz
x方向のプラス方向に面した部分が「表」でx方向のマイナス方向に面した部分が「裏」
と決めます。
つまりこの領域Syz上での面積要素のベクトルは\(d\overrightarrow{s}=(ds_x,0,0)\) であり「ds およびdydzの符号は、必ずプラス符号として考える」という事です。
発散定理(ガウスの定理)の証明
ベクトル場の第3成分とxy平面(の射影)での積分を考えた場合はこの図のようになります。図の下側の領域では「もとの閉曲面Sでの面積要素」の符号が全てマイナスなので、「面積要素がプラス符号の平面領域(図のSxy)」での積分として表記する場合には積分全体に対してマイナス符号をつける形になります。

またyとzの関数X(y,z)とX(y,z)を考えて、
それらは各々「yz平面への同じ射影領域を持つ」2つの微小領域でのx座標であるとします。
(領域を2分割して考える時に「x座標の『yとzによる関数』の形」が違うためにそのように考えます。)
すると、閉曲面全体のベクトル場の第1成分Fのyz平面上の領域Syzでの積分は、
次のように差の形で表せる事になります。

$$\int_SF_1ds_x=\int\int_{Syz}F_1(X_B,y,z)dydz-\int\int_{Syz}F_1(X_A,y,z)dydz$$

第1項目はもとの閉曲面で面積要素のベクトルの成分dsがプラス符号である領域の積分です。
第2項目はもとの閉曲面で面積要素のベクトルの成分dsがマイナス符号である領域の積分であり、
領域Syzでの積分では面積要素はプラス符号で扱うと約束しているので「マイナス」は積分全体につける形をとっているわけです。

ここで、差の形になっている部分を、「x方向の『偏微分の定積分』」として考える事ができます。

$$\int\int_{Syz}F_1(X_B,y,z)dydz-\int\int_{Syz}F_1(X_A,y,z)dydz=\int\int_{Syz}\left(\int_{\large{X_B}}^{\large{X_A}}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x}dx\right)dydz$$

領域Syzでの積分についてもy方向とz方向の積分区間を書くと次のようになります。

$$\int\int_{Syz}\left(\int_{\large{X_B}}^{\large{X_A}}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x}dx\right)dydz=\int_{\large{Z_B}}^{\large{Z_A}}\int_{\large{Y_B}}^{\large{Y_A}}\int_{\large{X_B}}^{\large{X_A}}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x}dxdydz$$

$$=\int\int\int_V\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x}dxdydz$$

ここで重積分の形にした箇所のdx、dy、dzは全てプラス符号です。つまり「積分変数自体の符号は気にしない」で計算可能な、通常の積分として考えてよい事になります。(体積要素としてdxdydzをdvと置き、1つの塊として見た時も符号はプラスだけで考えます。)

重積分を累次積分する時の積分の順番は入れ替え可能ですが、積分区間は最後に積分するところを除いて一般には関数になります。
例えば上記の場合の重積分の箇所においてx→y→zの順で累次積分をする場合、積分区間に入っているXとXはyとzの関数【定数である事もあり得る】であり、YとYはzの関数、ZとZは何らかの定数という事になります。
累次積分の順番を変えるとどの積分区間が何の変数のどういう関数形になっているかは変わりますが、同じ関数を同じ領域で積分すれば同じ値を得ます。

これで証明の大体の部分は完了しています。

ところで一番最初の積分については、dsをdydzの形で表記する事もできます。(dxdyの形にする時は、積分記号は重積分のように2つ重ねる表記にします。)

$$\int_SF_1ds_x=\int\int_SF_1dydz$$

これらの結果を等号で結ぶと、証明すべき式になります。

$$\int\int\int_V\frac{\partial F_1}{\partial x}dxdydz=\int\int_SF_1dydz【証明終り】$$

同様に、Fについてはxz平面上の積分を考えて、差の形をyでの偏微分の定積分で表します。Fについてはxy平面上の積分を考えて、差の形をxでの偏微分の定積分で表します。

$$\int\int\int_V\frac{\partial F_2}{\partial y}dxdydz=\int\int_SF_2dzdx$$

$$\int\int\int_V\frac{\partial F_3}{\partial z}dxdydz=\int\int_SF_3dxdy$$

3式を加え合わせると次のようになります。

$$\int\int\int_V\left(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\right)dxdydz=\int\int_S(F_1dydz+F_2dzdx+F_3dxdy)$$

$$\Leftrightarrow \int_V \mathrm{div}\overrightarrow{F} dv = \int_S \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}【発散定理の形】$$

上記の発散定理における閉曲面の扱いで記したように、閉曲面に凹みがある場合でも領域を切断して分割する事で定理が成立します。

外積ベクトル(ベクトル積、クロス積)【定義と公式】

3次元ベクトルに対しては、「外積」と呼ばれるベクトルが定義されます。
ベクトル積」「クロス積」とも呼ばれます。

◆「微分形式」という数学分野の演算でも「外積代数」という用語を使います。その3次元版では確かに「外積ベクトル」との共通性がありますが、一般には区別されており、微分形式の外積代数で使う記号【∧】による演算を「ウェッジ積」と呼び、
3次元ベクトルに対して外積ベクトルを作る時の記号【×】による演算は「クロス積」もしくは「べクトル積」と呼ぶ事もあります。
(英語の場合、3次元ベクトルの外積ベクトルを指す語としては、「べクトル積」に該当する vector product という表現を使う事が多いです。)

高校では数学でも物理でも外積を直接計算する事はほとんどないと思いますが、力と磁場と電流の向きの関係などで間接的に関わっています。そういった関係を、数学的にもう少し詳しく定式化したものが外積ベクトルになります。

定義と考え方

外積ベクトルは、3次元空間内の2つのベクトルから作られる別のもう1つのベクトルの事で、次のような定義のもとで使用します。

外積ベクトルの定義

3次元の空間ベクトル \(\overrightarrow{a}と\overrightarrow{b}\) とから作られる外積ベクトル(あるいは単に「外積」)は、次のように$$\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}$$と書き、向きと大きさを次のように定義します:

  • 大きさ:\(\overrightarrow{a}と\overrightarrow{b}\) が作る平行四辺形の面積に等しいとする
  • 向き:\(\overrightarrow{a}と\overrightarrow{b}\) が作る平面に対して垂直
    【\(\overrightarrow{a}から\overrightarrow{b}\)に向けてより小さい角度で「右ねじ」を締める時のネジ回しの先端の方向】
外積(ベクトル積、クロス積)の定義

通常のスカラー値やスカラー関数の場合、掛け算の記号はA×B、A・B、ABのいずれでも同じ計算を表すと約束しますが、ベクトルの場合には、「\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)は必ず内積」「\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)は必ず外積」を表すものと定義します。

外積ベクトルの大きさに関しては、2つのベクトルが作る平行四辺形の面積ですから、ベクトルの成分さえ分かれば一応計算できる事になります。

外積ベクトルの「向き」については、2ベクトルが作る平面(平行四辺形も含めて)に「垂直」という定義ですが、この時に表側の方向への垂直なのか、裏側の方向への垂直なのか2パターン存在します。
そのどちらかに必ず1つに決めるための基準が「右ネジを回す方向」というわけです。(これは少し直感的な説明の仕方ではあるのですが、物理学でもよくなされます。)

ネジを締める時に、時計回りにネジ回しを回せば締まっていくタイプのネジを考えます。
(反時計回りに回すと締まる「逆ネジ」も存在しますが、それは考えない。)
普通は上から見下ろしてネジを回しますが、仮に天井に向けてネジを回して締める時には「下から見れば時計回り」ですが、「上から見ると反時計回り」に見える事に注意します。

右ねじと外積ベクトルの向き①

外積ベクトル\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)の始めに書かれているほう(ここでは\(\overrightarrow{a}\)のほう)から、「時計回りに回せば『より小さい角度で』もう1つのベクトルに辿り着く」視線の方向を考えます。2つベクトルが作る平面の「表」から見るか、「裏」から見るかという事です。z軸のプラスマイナスを基準として上側(プラス方向)から見るか、下側(マイナス方向)から見るかの違いとも言えます。

z軸を基準にした時に上から見た時に、\(\overrightarrow{a}\)から時計回りに(ネジを締める方向に)回して「より小さい角度」で\(\overrightarrow{b}\)に至る状況だったとしましょう。この時は、外積ベクトル\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)の向きは、斜めになりながらもz軸の上から下に向かう方向に向いています。(実際、外積ベクトルのz成分の符号はマイナスになります。)

右ねじと外積ベクトルの向き②
画面や紙面に対して「奥→手前」「手前→奥」を表す記号は、
弓矢の「矢」の矢先が眼前に飛んでくるイメージで「丸に点・」の記号で「奥→手前」を表し、
矢の後部についている「羽」が後ろから見えているイメージで「丸にバツ×」の記号で「手前→奥」の向きを表します。

演算と基本公式

外積ベクトルに関しては、幾つかの簡単な公式が成立します。

公式
  • \(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{a}=0\) 【一応「ゼロベクトル」。平行四辺形が潰れてしまうので】
  • 2つのベクトルが平行であれば\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}=0\) 
  • 2つのベクトルが直角であれば \(|\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\) 【平行四辺形が長方形となるためです。】
  • k を実数として、\((k\overrightarrow{a})×\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}×(k\overrightarrow{b})=k(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b})\) 【ベクトルの定数倍に対する扱い】
  • \(\overrightarrow{a}×(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}×\overrightarrow{c}\) 【分配則】
  • \(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}×\overrightarrow{a}\) 【交代性。可換でない(交換則が成立しない)事に注意】

これらのうちの交代性と分配則については、もう少し詳しく述べます。

外積ベクトルの交代性

外積ベクトル\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\) に対して、外積を構成するベクトルの配置は全く同じで式の中の順番だけ入れ替えた\(\overrightarrow{b}×\overrightarrow{a}\) という外積を考えると考えるとどうなるでしょうか?

この場合は、下から見て時計回りにネジを締めようとする事で条件を満たすので、向きは\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)と同一直線にあって「逆向き」になります。

言い換えると、ベクトルの外積は、演算に使う2つのベクトルの順番を変えると符号が逆転します。【内積は2つのベクトルの順序はどちらでもよい事に注意。】

公式:外積ベクトルの交代性

$$\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}×\overrightarrow{a}$$

この時に外積ベクトルの成分も各々符号が反転します。
例えば簡単な例で言うと、\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)=(1,-2,5)であったとしたら、
\(\overrightarrow{b}×\overrightarrow{a}\)=-\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)=(-1,2,-5)になるという事です。

外積ベクトルの分配則【証明】

分配則については、一見「当たり前」のようですが、外積ベクトルの定義が多少込み入ったものである事や、可換性については成立していない(代わりに交代性が成立)事から、実はそれほど自明な事ではないとも言えます。

証明は、空間の幾何を考える方法があります。

まず、\(\overrightarrow{b}と\overrightarrow{c}と(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\) の3つのベクトルで作られる三角形を考えます。そして、その三角形の各点から\(\overrightarrow{a}\) が伸びているような図を考えます。

次に、\(\overrightarrow{b}の始点から伸びる\overrightarrow{a}\)に対して\(\overrightarrow{b}\) の終点から垂線を引き、その足となる点をHとします。
同様に、\(\overrightarrow{c}の終点から伸びる\overrightarrow{a}\)に対して\(\overrightarrow{b}\) の終点(\(\overrightarrow{c}\) の始点)から垂線を引き、
その足となる点をHとします。
また、\(\overrightarrow{b}\) の終点であり\(\overrightarrow{c}\) の始点でもある点をAと置きます。

外積ベクトルの分配則

この時、AH、AH、Hはそれぞれ平行四辺形の高さになっています。
は\((\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})と\overrightarrow{a}\)が作る平行四辺形の高さです。
(\(\overrightarrow{AH_B}と\overrightarrow{AH_C}がともに\overrightarrow{a}\)に垂直なので辺Hも\(\overrightarrow{a}\)に垂直です。内積を考えると少し分かりやすい。)

そこで、3つの外積ベクトルの「大きさ」をそれらの辺の長さで表す事ができます。
(単純に「平行四辺形の面積=底辺×高さ」で計算します。)

  • \(|\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||AH_B|\)
  • \(|\overrightarrow{a}×\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}||AH_C|\)
  • \(|\overrightarrow{a}×(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})|=|\overrightarrow{a}||H_BH_C|\)

ここで、これら3つの外積ベクトルがぴったり「三角形」を作れるかが実は自明ではありません。
しかしこの計算結果から、3つの外積ベクトルの大きさの比は、三角形AHの辺の比に全く等しい事になります。つまりそれらは互いに相似な三角形になっている事を意味し、従って3つの外積ベクトルはきちんと「三角形」を形成する事になります。
さらに、\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)と\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{c}\)の2つのベクトルに対する斜辺は\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}×\overrightarrow{c}\)と(常に)表せるので、\(\overrightarrow{a}×(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}×\overrightarrow{c}\) という事になります。【証明終り】

成分表示の方法(外積ベクトルの成分と射影面積の関係)

外積ベクトルはベクトルですので【内積はスカラー】、通常のベクトルと同様にx、y、z座標の成分を持ちます。そして2つの空間ベクトル\(\overrightarrow{a}と\overrightarrow{b}\) の成分が分かっていれば、外積ベクトル\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)の成分も一意的に決定します。

まず結論は、次のようになります。

外積ベクトルの成分表示

$$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\hspace{10pt}\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)である時$$ $$\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}=(a_2b_3-b_2a_3,\hspace{5pt}a_3b_1-a_1b_3,\hspace{5pt}a_1b_2-b_1a_2)$$ ここで、
第1成分の絶対値は平行四辺形のyz平面への射影面積、
第2成分の絶対値は平行四辺形のxz平面への射影面積、
第3成分の絶対値は平行四辺形のxy平面への射影面積
になります。
(※絶対値が「面積」に必ず等しいという事であり、外積ベクトルの各成分の符号はプラスの場合もマイナスの場合もある事には注意。各成分の符号が外積ベクトルの向きも決定します。)

外積ベクトルの成分と射影面積の関係について、空間上の平行四辺形の各平面への射影もまた「平行四辺形」になっている事は、ベクトルによる平行四辺形の面積公式の形から分かります。
例えば外積ベクトルのz成分 a-aは、xy平面上の平面ベクトルが作る平行四辺形の面積公式の形そのものです。

平行四辺形の射影面積

外積ベクトルの交代制から、外積を構成するベクトルの順序を入れ替えると(ベクトルの配置自体は同じ)、次のような差の順番が入れ替わったような形の成分表示になります。$$\overrightarrow{b}×\overrightarrow{a}=(b_2a_3-a_2b_3,a_1b_3-a_3b_1,a_2b_1-b_2a_1)$$

成分表示についての証明

このように成分表示できる事の証明は、単位ベクトルによるベクトル表記と分配則を使うと意外と簡単に済みます。

$$\overrightarrow{e_1}=(1,0,0),\hspace{5pt}\overrightarrow{e_2}=(0,1,0),\hspace{5pt}\overrightarrow{e_3}=(0,0,1)\hspace{5pt}のもとで$$

$$\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3},\hspace{10pt}\overrightarrow{b}=b_1\overrightarrow{e_1}+b_2\overrightarrow{e_2}+b_3\overrightarrow{e_3}\hspace{10pt}と書けます。$$

このような表された形のもとで外積の公式を使いながら計算して整理すると、外積ベクトルの成分表示が確かに得られます。

使う公式と性質は次の通りです。

  • 「分配則」を使って、通常の展開式のように計算していきます。
    添え字の順番を変えると外積の符号が変わってしまうので注意。
  • 「同じベクトル同士の外積は0」つまり\(\overrightarrow{e_1}×\overrightarrow{e_1}=0\) のようになる事を使うと幾つかの項が0になって消えます。
  • 分配則に従って展開した後で、「交代性」\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}×\overrightarrow{a}\)も使用して式を整理します。
  • 異なる単位ベクトル同士は、成す角度が直角であり、作る平行四辺形は正方形であって大きさは1です。さらに単位ベクトル同士の位置関係にも注意して、
    \(\overrightarrow{e_1}×\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3}\)
    \(\overrightarrow{e_2}×\overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{e_1}\)
    \(\overrightarrow{e_3}×\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_1}\hspace{5pt}\) となる事を最後に使います。
単位ベクトルの外積
通常使われる直交座標の「座標軸の向き」は、外積ベクトルの向きの決まり方を把握するうえでも意外と便利です。3つの単位ベクトルの1つ1つは他の2つの単位ベクトルの外積として表せます。

$$\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}=(a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3})×\overrightarrow{b}=b_1\overrightarrow{e_1}+b_2\overrightarrow{e_2}+b_3\overrightarrow{e_3}$$

$$=a_1b_2(\overrightarrow{e_1}×\overrightarrow{e_2})+a_1b_3(\overrightarrow{e_1}×\overrightarrow{e_3})+a_2b_1(\overrightarrow{e_2}×\overrightarrow{e_1})+a_2b_3(\overrightarrow{e_2}×\overrightarrow{e_3})+a_3b_1(\overrightarrow{e_3}×\overrightarrow{e_1})+a_3b_2(\overrightarrow{e_3}×\overrightarrow{e_2})$$

$$=(a_2b_3-a_3b_2)(\overrightarrow{e_2}×\overrightarrow{e_3})+(a_3b_1-a_1b_3)(\overrightarrow{e_3}×\overrightarrow{e_1})+(a_1b_2-a_2b_1)(\overrightarrow{e_1}×\overrightarrow{e_2})$$

$$=(a_2b_3-a_3b_2)\overrightarrow{e_1}+(a_3b_1-a_1b_3)\overrightarrow{e_2}+(a_1b_2-a_2b_1)\overrightarrow{e_3}$$

$$=
(a_2b_3-b_2a_3,\hspace{5pt}a_3b_1-a_1b_3,\hspace{5pt}a_1b_2-b_1a_2)【証明終り】$$

外積ベクトルの成分表示は、次のように証明する事もできます。
外積ベクトルの成分を(X,Y,Z)とおいて計算してみます。これらの未知数を算出する計算になります。 まず、次のように置いておきます。$$a_2b_3-a_3b_2=S_1,\hspace{5pt}a_3b_1-a_1b_3=S_2,\hspace{5pt}a_1b_2-a_2b_1=S_3$$ 外積ベクトルの定義から、構成する2つのベクトルとの直交性(内積の値が0)と、3次元の場合の平行四辺形の面積公式の3式を書きます。 $$①\overrightarrow{a}との直交性:a_1X+a_2Y+a_3Z=0$$ $$②\overrightarrow{b}との直交性:b_1X+b_2Y+b_3Z=0$$ $$③面積【2乗を計算】:X^2+Y^2+Z^2=(a_2b_3-b_2a_3)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2$$ $$\Leftrightarrow X^2+Y^2+Z^2=S_1\hspace{1pt}^2+S_2\hspace{1pt}^2+S_3\hspace{1pt}^2$$ ①式に\(b_1\)、②式に\(b_1\) を掛けて2つの式を引き算すると、
\((a_1b_2-a_2b_1)Y=(a_3b_1-a_1b_3)Z \Leftrightarrow S_3Y=S_2Z\) となります。
同じ手順で1つの変数を消去する方法を使うと、
\(S_1Y=S_2X\)および\(S_3X=S_1Z\) となります。
ここで、面積のほうの式③の両辺に\(S_1\hspace{1pt}^2\) を掛けると、次のようになります。 $$S_1\hspace{1pt}^2X^2+S_1\hspace{1pt}^2Y^2+S_1\hspace{1pt}^2Z^2=S_1\hspace{1pt}^2(S_1\hspace{1pt}^2+S_2\hspace{1pt}^2+S_3\hspace{1pt}^2)$$ $$\Leftrightarrow S_1\hspace{1pt}^2X^2+S_2\hspace{1pt}^2X^2+S_3\hspace{1pt}^2X^2=S_1\hspace{1pt}^2(S_1\hspace{1pt}^2+S_2\hspace{1pt}^2+S_3\hspace{1pt}^2)$$ $$\Leftrightarrow (S_1\hspace{1pt}^2+S_2\hspace{1pt}^2+S_3\hspace{1pt}^2)X^2=S_1\hspace{1pt}^2(S_1\hspace{1pt}^2+S_2\hspace{1pt}^2+S_3\hspace{1pt}^2)\Leftrightarrow X^2=S_1\hspace{1pt}^2$$ 同様に計算すると、\(Y^2=S_2\hspace{1pt}^2およびZ^2=S_3\hspace{1pt}^2\)となります。
X、Y、Zの値としてそれぞれプラスとマイナスの2つ候補が出てきますが、既に得られているX、Y、Zの関係式と、外積ベクトルの向きの定義に合う組み合わせから、ここでの計算の場合では「全てプラス符号」です。(具体的な値を代入して試してみると分かりやすいです。)
それにより、\(X=S_1=a_2b_3-b_2a_3,\hspace{5pt}Y=S_2=a_3b_1-a_1b_3,\hspace{5pt}Z=S_3=a_1b_2-a_2b_1\) となります。

ベクトル三重積

外積はベクトルなので、
「あるベクトルと、別の外積ベクトルとの『外積』」というのも計算としてはあり得ます。

つまり、\(\overrightarrow{A}\)×(\(\overrightarrow{B}\)×\(\overrightarrow{C}\)) のような計算も可能であるわけです。
このタイプの計算を「ベクトル三重積」と呼ぶ事があります。次の形の計算が可能です。

(公式)ベクトル三重積の計算

$$\overrightarrow{A}×(\overrightarrow{B}×\overrightarrow{C})=(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C})\overrightarrow{B}-(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B})\overrightarrow{C}$$ また、外積ベクトルを作る順番を変えると計算結果も変わり、次式になります。 $$(\overrightarrow{A}×\overrightarrow{B})×\overrightarrow{C}=-(\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{C})\overrightarrow{A}+(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C})\overrightarrow{B}$$

この公式中で、内積はスカラーなので、\((\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C})\overrightarrow{B}\) などは例えば\(3\overrightarrow{B}\) のようなベクトルの定数倍のようなものを表します。(スカラー関数倍という場合もあり得ます。)

◆ベクトルの「内積」の場合は、ベクトルとベクトルからスカラーを作る演算なので、3つ以上のベクトルに対する内積の演算は存在しないわけです。

ベクトル三重積の公式を証明するには、外積ベクトルの成分表示を使うと比較的簡単です。(少しの計算は必要ですが。)

まず、\(\overrightarrow{A}\)×(\(\overrightarrow{B}\)×\(\overrightarrow{C}\)) のx成分から計算すると次のようになります。

$$x成分:a_2(b_1c_2-c_1b_2)-a_3(b_3c_1-c_3b_1)=b_1(a_2c_2+a_3c_3)-c_1(a_2b_2+a_3b_3)$$

$$=b_1(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)-c_1(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)=(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C})b_1-(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B})c_1$$

途中の計算で、a111-a111(=0)を式に加えています。

同様の計算で、y成分とz成分は次のようになります。

$$y成分:(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C})b_2-(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B})c_2\hspace{10pt}z成分:(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C})b_3-(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B})c_3$$

よって、全て合わせると公式の形になるわけです。

ベクトル三重積の括弧の順番を変えたものは、前述の交代性の性質により証明できます。まず、括弧の部分と次の部分を入れ替えてしまいます。すると、既に得られている結果を使えます。

$$(\overrightarrow{A}×\overrightarrow{B})×\overrightarrow{C}=-\overrightarrow{C}×(\overrightarrow{A}×\overrightarrow{B})=-\{(\overrightarrow{C}\cdot\overrightarrow{B})\overrightarrow{A}-(\overrightarrow{C}\cdot\overrightarrow{A})\overrightarrow{B}\}$$

$$=-(\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{C})\overrightarrow{A}+(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C})\overrightarrow{B}$$

ここで、内積の順序に関しては可換なので、書く文字の順番の入れ替えをしただけです。外積の順序の入れ替えをする時には符号が入れ替わります。

外積ベクトルに対する微分

外積ベクトルを微分すると、通常のスカラー関数の積に対する微分公式と似た形の式が成立します。この微分操作は、物理学などでの「時間微分」として使われる事があります。

(公式)外積ベクトルに対する微分演算

$$\frac{d}{dt}(\overrightarrow{A}×\overrightarrow{B})=\frac{d\overrightarrow{A}}{dt}×\overrightarrow{B}+\overrightarrow{A}×\frac{d\overrightarrow{B}}{dt}$$ 外積ベクトルの部分の順番に注意。逆にすると符号が変わってしまいます。
足し算の部分は逆にしても大丈夫。

この式は自明ではないので(スカラー関数の積の微分公式を知っていたとしても)、証明が必要になります。

この公式も、外積ベクトルの成分表示を使う事で示すことができます。ベクトルの微分は、各々の成分に対する微分として定義されます。ここでは、ベクトルの成分は全てスカラー関数であるとします。計算としては通常の積の微分公式を使用します。

$$x成分の微分:\frac{d}{dt}(a_2b_3-a_3b_2)=\left(\frac{da_2}{dt}b_3+\frac{db_3}{dt}a_2\right)-\left(\frac{da_3}{dt}b_2+\frac{db_2}{dt}a_3\right)$$

$$=\left(\frac{da_2}{dt}b_3-\frac{da_3}{dt}b_2\right)+\left(\frac{db_3}{dt}a_2-\frac{db_2}{dt}a_3\right)=\left(\frac{da_2}{dt}b_3-\frac{da_3}{dt}b_2\right)+\left(a_2\frac{db_3}{dt}-a_3\frac{db_2}{dt}\right)$$

これは確かに公式の外積ベクトルの和の形になっています。最後の変形は、外積ベクトルの成分となる事を明確にするために積の部分の順番を入れ替えただけです。(この式中に出てくるのは全てスカラー量なので、積の順序に関して可換です。)

同様にして、y成分とz成分についても示せます。

$$y成分の微分:\frac{d}{dt}(a_3b_1-a_1b_3)=\left(\frac{da_3}{dt}b_1-\frac{da_1}{dt}b_3\right)+\left(a_3\frac{db_1}{dt}-a_1\frac{db_3}{dt}\right)$$

$$z成分の微分:\frac{d}{dt}(a_1b_2-a_2b_1)=\left(\frac{da_1}{dt}b_2-\frac{da_2}{dt}b_1\right)+\left(a_1\frac{db_2}{dt}-a_2\frac{db_1}{dt}\right)$$

このようにして証明ができるわけです。

平行四辺形の面積【ベクトルでの公式】

平行四辺形の面積は「底辺×高さ」です。(参考:台形の面積公式と同じ考え方)
他方で、「直交座標上の2つのベクトルが作る平行四辺形」の面積を、
「ベクトルの大きさと内積」あるいは「ベクトルの成分」で表す方法と公式があります。

(ベクトルが作る「三角形」の面積については、単純に平行四辺形の面積を半分個を考えます。)

ベクトルが作る平行四辺形の面積

原点を始点とする2つのベクトル\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\) と \(\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\) があり、なす角度がθであるという。
その時に、2つのベクトルを組み合わせて作られる平行四辺形の面積Sは次の公式で計算できます: $$S=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}||\sin\theta|=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}=|a_1b_2-a_2b_1|$$

後述するように、考え方は3次元での2つの空間ベクトルが作る平行四辺形にも適用できます。

平面ベクトルの場合

まず、考え方としては単純に「底辺×高さ」で行きます。

そして、「底辺」の長さについては1つのベクトルの大きさを使います。

次に、もう1つのベクトルの大きさの正弦が「高さ」になるのです。

そこで、三角比の公式 sinθ+cosθ=1を使って正弦を余弦で表します。
(この公式は三角関数の範囲の一般角でも成立します。)

$$底辺:|\overrightarrow{a}|$$

$$高さ:|\overrightarrow{b}|\sin\theta$$

$$公式から【0<\theta <\piの時】:\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}$$

$$\left(-\pi<\theta <0の時は\sin\theta=-\sqrt{1-\cos^2\theta}ですが、面積を考える時はその絶対値を考えます\right)$$

平面ベクトルが作る平行四辺形の面積

さらに余弦をベクトルの内積と大きさで表せる事に注意すると、
平行四辺形の面積を「ベクトルの大きさと内積」だけで表せます。ここで、もし2ベクトルが成す角が直角であれば直ちに長方形で面積は確定するので、直角でない時を考えます。

$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$$

$$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$$

以上の事を代入しながら繋げていって、平行四辺形の面積を計算できるわけです。
一見すると無理やり計算しても滅茶苦茶な式になってしまいそうですが、実は分母と分子がうまく噛み合って比較的単純な形になります。(sinθが負になる場合も考慮して絶対値の|sinθ|を考えますが、要するにプラスの値だけ考えるという意味になります。)

$$S=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}||\sin\theta|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1-\cos^2\theta}$$

$$=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1-\frac{(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2}}=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2\left(1-\frac{(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2}\right)}$$

$$=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}$$

平方根の根号(√)の中にベクトルの大きさを2乗の形で入れてしまう事で、このようになるわけです。
この式は、平面でも3次元の空間でも成立します。

ここで、さらにベクトルの成分を使うと別の公式を導出できます。

$$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\hspace{10pt}\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)のもとで、$$

$$|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2=(a_1\hspace{2pt}^2+a_2\hspace{2pt}^2)(b_1\hspace{2pt}^2+b_2\hspace{2pt}^2)=(a_1b_1)^2+(a_1b_2)^2+(a_2b_1)^2+(a_2b_2)^2$$

$$(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2=(a_1b_1+a_2b_2)^2=(a_1b_1)^2+(a_2b_2)^2+2a_1b_1a_2b_2$$

一見ちょっと面倒な形になっていますが、引き算するとなくなる項が出てきます。

$$|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2=(a_1b_1)^2+(a_2b_1)^2-2a_1b_1a_2b_2=(a_1b_2-a_2b_1)^2$$

このように上手く2乗の形になるので、平行四辺形の面積は次のようにも書けるわけです。

$$S=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}=\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2}=|a_1b_2-a_2b_1|$$

最後に絶対値記号をつけているのはabーabという値がプラスかマイナスかはその時々によって違うので、どちらにせよ絶対値を考えれば面積になるという意味です。

この公式は、重積分の変数変換の公式の中で使ったりもします。

空間ベクトルの場合

3次元の空間ベクトルの場合でも、同じくベクトルの成分で平行四辺形の面積を表せます。
この場合にはまとめ方がちょっと面倒で、2乗の形の3つの式の和が平方根の中に入る形になります。

$$S=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}||\sin\theta|が空間ベクトルでも成立する事に注意して、$$

$$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\hspace{10pt}\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)のもとでは、$$

$$S=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}$$

$$=\sqrt{(a_1b_2)^2+(b_1a_2)^2+(a_1b_3)^2+(b_3a_1)^2+(a_2b_3)^2+(a_3b_2)^2-2(a_1b_1a_2b_2+a_1b_1a_3b_3+a_2b_2a_3b_3)}$$

$$=\sqrt{(a_1b_2-b_1a_2)^2+(a_1b_3-b_3a_1)^2+(a_2b_3-a_3b_2)^2}$$

この表示は、3次元ベクトルの外積(ベクトル積、クロス積)を使用する時に使う場合もあります。

◆外積の計算で使う場合には、上記の面積の式は$$S=\sqrt{(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_1b_3-b_3a_1)^2+(a_1b_2-b_1a_2)^2}$$のように順番だけ並び替えたほうが外積ベクトルの成分との対応が明確になります。
平方根の中の2乗になっているそれぞれの項が、実は2次元平面上の「平行四辺形」の形になっている事に注意。これは、3次元空間の中でのちゃんとした幾何的な意味も持っていて、外積ベクトルを使う計算で重要になります。

3次元空間での平行四辺形の面積

法線面積分の定義と性質

ベクトル解析電磁気学の分野で使用する「法線面積分」は、閉曲面に分布するベクトル場に対して定義されるものです。ベクトル場とは、すなわちベクトルの3成分のいずれもがx、y、zのスカラー関数になっているベクトルです。

閉曲面と閉曲線
閉曲面とは、例えば球や楕円体などの、「閉じた」曲面です。(ドーナツ型・うきわ型の「トーラス」なども含みます。)また、閉曲線とは、円や楕円のように、ぐるっと一周つながった曲線を言います。

★書籍の紙面ではベクトルを表す表記として文字をボールド体にする方法が多く使われますが、このページではベクトルは一貫して文字の上に矢印を添える表記方法を採用します。
スカラー関数に対する「面積分」は似ていますが別物なので注意。具体的な計算方法も異なります。

ベクトルの内積の考え方を使用します。

法線面積分を表す式には幾つかの表記方法がありますが、次のようになります。いずれも等号で結ぶ事ができ、計算すれば同じ値になります。

「法線面積分」の定義

$$\int_S \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_S (F_1 ds_1 + F_2 ds_2 + F_3 ds_3)=\int_SF_1 ds_1+\int_SF_2 ds_2+\int_SF_3 ds_3$$ $$\overrightarrow{F}=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))$$ $$\int_S \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}を、\int_S \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}dsとも書きます。$$ 積分記号に添えてあるSは、surface(表面)からの記号として一般的に使われる記号です。
特定の閉曲面の表面全体(表側あるいは裏側のいずれかの全体)を表します。

また、二重積分で表して計算する事も可能です。その場合、各項の具体的な計算をする時には2方向の積分区間をきちんと指定します。 $$\int_S \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=\int\int_S (F_1 dydz + F_2 dzdx + F_3 dxdy)$$ $$=\int_{Y1}^{Y2}\int_{Z1}^{Z2}F_1 dydz+\int_{Z1}^{Z2}\int_{X1}^{X2}F_2 dzdx+\int_{X1}^{X2}\int_{Y1}^{Y2}F_3 dxdy$$

\(\overrightarrow{n}\) は、曲面の各点に対する単位法線ベクトルを表し、長さは1で曲面に対し垂直な向きのものです。また、\(d\overrightarrow{s}=ds\overrightarrow{n}\) になります。詳しくは次のようになります。

法線ベクトル

$$ d\overrightarrow{s}=( ds_1 , ds_2 , ds_3 ) $$ $$|\overrightarrow{n}|=1,\hspace{10pt}|d\overrightarrow{s}|=ds=\sqrt{ds_1^2 + ds_2^2 + ds_3^2},\hspace{10pt}d\overrightarrow{s}=ds\overrightarrow{n}$$ \(d\overrightarrow{s}\) および単位法線ベクトル\(d\overrightarrow{n}\) は、閉曲面上の各点から曲面の「裏側→表側」に向かう向きに伸びると約束します。
各成分は、微小面積の平面への「射影」になっています。

  • \(|ds_1| \)=「yz平面」への射影領域の面積
  • \(|ds_2| \)=「xz平面」への射影領域の面積
  • \(|ds_3| \) =「xy平面」への射影領域の面積
証明:微小面積として三角形を考えた場合、\(d\overrightarrow{s}\) は2辺を成すベクトルで作られる外積ベクトルの半分として表されます。
外積ベクトルの成分の大きさ(絶対値)はyz平面、xz平面、xy平面への三角形の射影の面積に等しくなりますから、\(d\overrightarrow{s}=( ds_1 , ds_2 , ds_3 )\) の各成分の大きさも、垂直な3つ平面への微小面積の射影面積に等しくなる事が示されます。

法線ベクトルの成分ds、ds、dsには通常のベクトルと同じく符号があります。
式としては、法線ベクトルと射影平面に垂直な軸がなす角の余弦の符号と同じプラスマイナスの符号を持つと定義します。例えば、dsであれば対応する射影平面がyz平面で、それに垂直な軸はx軸ですから、法線ベクトルとx軸がなす角を見ます。それが鋭角であればdsの符号は+で、鈍角であれば-の符号になります。その符号は、座標上の図に描いてみた時の向きから判定したものともちろん一致します。

図で状況を見ながら式の意味を考えると分かりやすいでしょう。
つまり、球面などの閉曲面の各点にベクトル場がぎっしり詰まっている感じです。それを曲面全体に渡って積分します。その際に、ベクトル場の「曲面の法線ベクトルの向きの成分だけ」を内積によって取り出したものを考えているわけです。

曲面に垂直な法線ベクトル(大きさは微小面積)を考え、ベクトル場との内積を考えます。法線ベクトルのうち、長さを1としたものを「単位法線ベクトル」と言います。

微小面積を大きさに持つ法線ベクトル\(d\overrightarrow{s}=ds\overrightarrow{n}\)と微小面積の射影面積との関係も、図に描いて外積ベクトルとして捉えると見通しがよいです。

法線ベクトルと外積の関係
平行四辺形で考えても本質は同じです。外積を使うと少見通しはよくなります。内積がスカラーであるのに対し、外積はベクトルである事に注意。微小な三角形の面積を外積ベクトルの大きさで表すと、そのベクトルの各成分は微小三角形のyz、xz、xy平面への射影面積になります。

法線ベクトル\(d\overrightarrow{s}\)の成分の符号については、個々の法線ベクトルについて例えば(-1,2,1)といった成分表示となる事からプラスマイナスの符号を持ちます。各成分の「大きさ」については、微小面積のyz平面、xz平面、xy平面への射影面積に等しくなるという事です。

法線ベクトルの成分の符号
法線ベクトルの向きは「閉曲面の裏から表に向かう方向」にとります。その成分は法線ベクトルの具体的な向きによって+か―の符号があります。式で書く場合は、法線ベクトルと軸とのなす角の余弦によって符号を判定します。

積分内の内積の部分については、余弦を使ったほうの内積の定義として書く場合もあります。

$$\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=|\overrightarrow{F}||\overrightarrow{s}|\cos \theta$$

ただし、電磁気学などで法線面積分を考える場合では、特別な形のモデルで最初から考える場合も多いのです。例えば、ベクトル場が曲面に全て垂直であれば公式を使わなくても角度は0とすぐに判断できて、余弦は1になります。

和積・積和・倍角・半角の公式

三角関数の積和の公式、和積の公式、倍角の公式、半角の公式という一連の公式は互いに本質的に異なるものではなく、全て三角関数の加法定理から導出されるものです。
(英:倍角の公式 double-angle formula 半角の公式 half-angle formula)
(和積の公式と積和の公式は、英語では加法定理の一部だと捉えられる事も多いようです。)

★高校数学の中の位置付けだと、まずこれらの公式よりも大事なのは加法定理であると言えます。これらの公式は、じつは加法定理さえ覚えていれはその場で割と簡単に導出が可能であるからです。
これらの和積の公式等を暗記するにしても、まずは加法定理との形との対応から慣れていき、入試問題などを解いて練習しながら覚えていくのがよいと思います。

公式の内容

積和の公式、和積の公式、倍角の公式、半角の公式の内容を順に記すと次のようになります。これらは切り離された別々の公式ではなくて、本質的には加法定理を目的に応じて使いやすいように変形したものです。

積和の公式

次の正弦と余弦の「積」に関する4式を言います。【三角関数の積の形を和にする公式です。】$$\sin A \cos B=\frac{\sin (A+B)+\sin (A-B)}{2}$$ $$\cos A \sin B=\frac{\sin (A+B)-\sin (A-B)}{2}$$ $$\cos A \cos B =\frac{\cos (A+B)+\cos (A-B)}{2}$$ $$\sin A \sin B =-\frac{\cos (A+B)-\cos (A-B)}{2}$$

和積の公式

次の正弦と余弦に関する4式を言います。【三角関数の和や差の形を積にする公式です。】$$\sin C +\sin D =2\sin\left(\frac{C+D}{2}\right)\cos\left(\frac{C-D}{2}\right)$$ $$\sin C -\sin D =2\cos\left(\frac{C+D}{2}\right)\sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$$ $$\cos C +\cos D =2\cos\left(\frac{C+D}{2}\right)\cos\left(\frac{C-D}{2}\right)$$ $$\cos C -\cos D =-2\sin\left(\frac{C+D}{2}\right)\sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$$ 後述しますが、ここで使っているCやDは、加法定理や上記の積和の公式でのAとBを使ってC=A+B, D=A-Bとおいたものです。

倍角の公式

正弦と余弦に関する倍角の公式は次の2式です。 $$\sin 2A=2\sin A\cos A$$ $$\cos 2A=\cos ^2A-\sin ^2A$$ 余弦のほうはcos2A=2cosA-1=1-2sinAとも表せます。
正接の倍角の公式は tan2A=(sin2A)/(cos2A)で計算します。

半角の公式

正弦と余弦に関する半角の公式は次の2式です。 $$\cos A=\pm\sqrt{\frac{1+\cos 2A}{2}}$$ $$\sin A=\pm\sqrt{\frac{1-\cos 2A}{2}}$$ プラスマイナスの符号は角度に応じて適切なほうを選びます。
A=X/2といった置き換えをすると「半角」という事をより明確にもできます。
正接の半角の公式も正弦を余弦で割って計算できます。

ところで、これらの式の数を合計すると12個ありますね。これらを1つ1つ、別々の公式として暗記するのは大変です。そのため、もとになっている加法定理を変形したものであるという見方のほうが勧められます。

公式の導出①
積和の公式、和積の公式、倍角の公式などは、加法定理をもとにして作る公式です。

三角関数の加法定理については証明も含めて別途に詳しく述べていますが、正弦と余弦について結果だけ記すと次のようになります。

加法定理
  1. sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
  2. sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
  3. cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
  4. cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

これらを組み合わせると和積・積和の公式が導出され、角度の1つを置き換えると倍角の公式になります。
半角の公式については倍角の公式を変形して導出する事になります。

証明①:積和の公式

加法定理の4式のうち、正弦同士、余弦同士を見ると、2つの項は符号が違うだけで同じ形をしています。この事を使います。

まず、正弦についての加法定理の2式を加えてみましょう。

sin(A+B)+sin(A-B)=sinAcosB+cosAsinB+sinAcosB-cosAsinB=2sinAcosB

本質的にはこれだけでよくて、和積の公式も積和の公式も、本質的には本来はこの同じ形の関係式です。ただ、三角関数の積を和に直すか、和を積に直すかで少しだけ形を変えて「公式」としているだけです。まず、積和の公式は上記の式の両辺を単純に2で割って、積が和の形になるようにします。

$$\sin A \cos B=\frac{\sin (A+B)+\sin (A-B)}{2}$$

他の3式も、加法定理の2式を加える・2式の差をとる事で導出します。

$$\sin (A+B)-\sin (A-B)=2\cos A \sin B\Leftrightarrow\cos A \sin B=\frac{\sin (A+B)-\sin (A-B)}{2}$$

$$\cos (A+B)+\cos (A-B)=2\cos A \cos B\Leftrightarrow\cos A \cos B =\frac{\cos (A+B)+\cos (A-B)}{2}$$

$$\cos (A+B)-\cos (A-B)=-2\sin A \sin B\Leftrightarrow\sin A \sin B =-\frac{\cos (A+B)-\cos (A-B)}{2}$$

証明②:和積の公式

では、和の形を積に直している和積の公式は、どのように出すのでしょう。

じつは使う式は全く同じで「変数の置き換え」をするのです。

一般的には次のようにします。
まずA+B=C,A-B=Dのようにおき直します。
次にこの2式を加えると 2A=C+D ⇔ A=(C+D)/2
片方からもう片方を引くと2B=C-D ⇔ (C-D)/2 
このようになる事を使って、式を整理して公式としています。

$$\sin (A+B)+\sin (A-B)=2\sin A \cos B においてA=\frac{C+D}{2}, \hspace{5pt}B=\frac{C-D}{2}とおくと$$

$$\sin C +\sin D =2\sin\left(\frac{C+D}{2}\right)\cos\left(\frac{C-D}{2}\right)$$

加法定理の2式の和ではなく「差」をとると、正弦の差を積に直す形の公式が得られます。

$$\sin (A+B)-\sin (A-B)=2\cos A \sin B においてA=\frac{C+D}{2}, \hspace{5pt}B=\frac{C-D}{2}を代入します。$$

$$\sin C -\sin D =2\cos\left(\frac{C+D}{2}\right)\sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$$

余弦のほうについても、加法定理の2式を加える・差をとる事で公式を導出します。まず余弦に関する和積の公式の和の形のほうのものは次のようになります。

$$\cos (A+B)+\cos (A-B)=2\cos A \cos B においてA=\frac{C+D}{2}, \hspace{5pt}B=\frac{C-D}{2}を代入します。$$

$$\cos C +\cos D =2\cos\left(\frac{C+D}{2}\right)\cos\left(\frac{C-D}{2}\right)$$

差の形のほうは次のようになります。

$$\cos (A+B)-\cos (A-B)=2\cos A \cos B においてA=\frac{C+D}{2}, \hspace{5pt}B=\frac{C-D}{2}を代入します。$$

$$\cos C -\cos D =-2\sin\left(\frac{C+D}{2}\right)\sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$$

具体例:
例えば、唐突に sin75°+sin15°の値はいくらかと聞かれたらこの公式を使えば即座に答えは出るという事です。(こういう問いは理解度を試すための問題で、高校数学以外ではあまりやりません。)
(75°+15°)÷2=45° と (75°-15°)÷2=30° の正弦の値を使います。$$\sin 75°+\sin 15°=2(\sin 45°)(\cos 30°)=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$ 加法定理で75°=30°+45°などとして加法定理を使って計算しても結果は同じです。ただ、和積の公式を知っていると多少計算は速く済みます。

証明③:倍角と半角の公式

次に倍角の公式と半角の公式と呼ばれる式の導出方法です。
これらもまた別々のものではなく、本質的には同じ式であるものを変形したものです。

公式の導出②
余弦の半角の公式は余弦の倍角の公式から得ますが、正弦の半角の公式も同様に余弦の倍角の公式から導出されます。

まずは倍角の公式から見ましょう。

sin2A=2sinAcosA という式ですが、
じつはこれは、加法定理で2つの角度についてA=Bとしているだけなのです。
余弦のほうの倍角の公式も、やり方は同じです。

つまり次のようにします。
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB において A=Bとして sin2A=2sinAcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB において A=Bとして cos2A=cosA-sin

余弦のほうは、cosA+sinA=1を使ってcosA=2cosA-1、もしくはcosA=1-2sinAとも表せます。

次に半角の公式の導出です。

このページで紹介している公式のうち半角の公式についてだけは加法定理から直ちには出せず、余弦のほうの倍角の公式を変形する事になります。
(ただし倍角の公式が簡単に出るので、導出に手間はかからないはずです。)

cos2A=2cosA-1 ⇔ cosA=(cos2A+1)/2 から余弦の半角の公式、
cos2A=1-2sinA ⇔ sinA=(cos2A-1)/2 から正弦の半角の公式を得ます。
2乗がありますので、平方根を考える事になります。

$$\cos A=\pm\sqrt{\frac{1+\cos 2A}{2}}$$

$$\sin A=\pm\sqrt{\frac{1-\cos 2A}{2}}$$

平方根をとる時に一般の場合では符号が確定しませんが、具体的に例えばプラスの鋭角に対する「半分の角度」を考えるのであれば、余弦も正弦もプラスのはずなので、プラス符号のほうをとります。

このように倍角・半角の公式もまた、基本は本質的に加法定理によるものであるわけです。加法定理さえ覚えておけば、例えば倍角の公式は暗記しなくても即座に出てきますし、半角の公式で正弦・余弦の公式がともに余弦を使って表される事も理解できて覚えやすいはずなのです。

尚、角度Aに対する3倍の3Aを考えた3倍角の公式、4倍角の公式、・・なども一応存在します。
ただしこれらも同様に、いずれも加法定理から出せる関係式ですので一般的には暗記しなくてもよい場合も多いと思われる事項です。
参考までに、複素数に関するド・モアブルの定理を使うと、そういった三角関数の3倍角の公式などの形を比較的容易に知る事も可能です。

積和の公式や倍角の公式などは、大学入試で直接計算を問われる場合以外には、三角関数に関する積分の計算に使う事が比較的多いように思います。例えば、sinxcosxの原始関数(微分すると対象の関数となる関数)は微分の公式だけからは即座には分かりにくいので、倍角の公式を思い出してこれを (sin 2x)/2の形にして積分の計算をするといったものです。

また、物理学で2つの正弦波の重ね合わせをするときも、和積の公式を知っていると即座に結果を計算できるので便利です。

この手の三角関数の微積分での変形計算は大学入試でも問われるかもしれませんが、大学数学の微積分の一部でも重要である場合があります。ただし繰り返しになりますが、加法定理とこれらの公式の導出の方法の大筋さえ覚えておけば、もし公式を忘れてしまってもすぐにその場で計算できるようになります。