角運動量の数学

物理学で考える「角運動量」は回転運動を表す物理量です。外積ベクトルを使って表します。

◆関連:ベクトルの基本事項と内積

角運動量ベクトル

角運動量ベクトル(angular momentum)の定義

角運動量ベクトルは、次のように外積ベクトルによって定義されます。 $$角運動量ベクトル:\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}×\overrightarrow{p}$$ $$物体の位置ベクトル:\overrightarrow{r}=(x,y)$$ $$運動量ベクトル:\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$$ $$\left(物体の質量:m\hspace{10pt}速度ベクトル:\overrightarrow{v}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)\right)$$

◆これに対して、「角速度ベクトル」(あるいは「回転ベクトル」)は
「物体が回転軸周りの同一平面内で回転運動をしている時に、向きは物体の回転方向が右ねじを締める向きに一致するの軸方向で、大きさは角速度ω【rad/s】に等しい」というベクトルです。$$角速度ベクトルの大きさ:|\overrightarrow{\omega}|=\omega【rad/s】$$$$角速度ベクトルの向き:\overrightarrow{\omega}の向きは軸方向で、右ネジを締めた向きが回転方向に一致する向き$$ 回転面の中心を基準点とした場合には、角速度ベクトルと角運動量ベクトルの向きは一致します。

角運動量を外積ベクトルで表す事には幾つかの意味があります。

まず、回転の向きに関しては時計回り(順方向)と反時計回り(逆方向)という事もありますが、回転している「面」の事も含みます。例えば、空間内にxyzの直交座標を考えた時に、同じ速さで同じの形の軌道を描いて回転している場合であっても、「xy平面での回転」「yz平面での回転」は当然「異なる運動」であると言えます。

そこで外積ベクトルの向きは、回転面の「軸」の向きに相当する方向を表す事になります。物体の運動方向が基準点から見て時計回り方向なのか、それとも反時計回り方向なのかも外積ベクトルの向きで表す事ができるわけです。(外積ベクトルの符号が反転すると運動量ベクトルの符号が反転し、全く反対の方向への運動を表す事になります。)

角運動量ベクトルと外積
角運動量ベクトルは外積ベクトル(ベクトル積、クロス積)で表します。
角速度ベクトルと角運動量ベクトル
角速度ベクトルと角運動量ベクトルの違いに注意。

また、ある点を基準として同じ角速度で回転をしていても、その点の近くを回転している時と遠くを回転している時とでは、物体の速度は異なります。
「物体の位置ベクトル」\(\overrightarrow{r}\) は、回転の中心からの「距離」も情報として含むので角運動量ベクトルを構成する要素として使わます。(この事は「力の能率(モーメント)」と関係します。)

外積ベクトルで表されているという事は、2つのベクトルが平行である場合(成す角度が0または \(\pi\)である場合)には値が0である事になります。これは、物体の運動がある点から直線状に遠ざかっていく、あるいは直線状に近寄ってくるような場合であり、「回転」の様子がない事を表しています。

力の能率(モーメント)

力の能率(あるいは「力のモーメント)」moment of force)は角運動量ベクトルの時間微分として表されます。ベクトルに対する微分は、具体的には成分に対する微分として定義されます。

ここで角運動量ベクトルの定義通りの式に時間微分をすると考えると、外積ベクトルに対する微分をするいう事になりますが、これは通常の積の形に対する微分公式と同じ形が成立します。【証明は外積の成分表示を使うと比較的簡単です。】

すなわち、次式のように書けます。

$$\frac{d}{dt}\overrightarrow{L}=\frac{d}{dt}\left(\overrightarrow{r}×\overrightarrow{p}\right)=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}×\overrightarrow{p}+\overrightarrow{r}×\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$$

【ここで、位置ベクトルの時間微分は速度ベクトル\(\overrightarrow{v}\)である事に注意します。】

$$=\overrightarrow{v}×\overrightarrow{p}+\overrightarrow{r}×\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=m\left(\overrightarrow{v}×\overrightarrow{v}\right)+\overrightarrow{r}×\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\overrightarrow{r}×\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$$

【最初のtで微分した後の第1項は0になり、第2項だけが残るという事です。】

ところで、運動量ベクトルの時間微分とは何であったかというと「力ベクトル」\(\overrightarrow{F}\)であったわけです。(それが運動方程式が表現している事そのものです。)

という事は、角運動量ベクトルの時間微分は結局「位置ベクトル」と「力ベクトル」との外積という事になるわけです。

$$\frac{d}{dt}\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}×\overrightarrow{F}$$

この外積ベクトルの事を、「力の能率」あるいは「力のモーメント」と呼びます。

積の形に対する微分公式と同じ形の公式が外積ベクトルを構成するベクトルにも成立します。

力の能率は、意味としては「大きさを持つ物体に力を働かせる時、ある支点から距離が離れているほど回転させる効果は大きい」というものですが、より詳しくは角運動量ベクトルの時間変化という事になるわけです。

力の能率(モーメント)
「てこ」(レバー)を使う時などに、支点からの距離があったほうが回しやい事を表現します。

角運動量の保存則

物体に働く力が「中心力」で、原点を中心にとった時には角運動量は保存量となります(角運動量保存則)。

この時には、角運動量ベクトルがどちらに向いているかはその時々によって異なりますが、
「力」の向き――つまり「運動量ベクトルの時間微分」の向きは、常に中心を向いている事を意味します。

従って、角運動量ベクトルが具体的にどう表されるかはその時々により異なりますが、
力の能率は中心力のもとでは常にゼロベクトルである」と言えるわけです。

$$中心力が物体に働く時:\overrightarrow{r}×\overrightarrow{F}=0【ゼロベクトル。\overrightarrow{F}=C\overrightarrow{r}と書けるから。】$$

ところで、力の能率は角運動量ベクトルの時間微分であったわけですから、中心力のもとではそれが0になる事を意味します。

$$\frac{d}{dt}\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}×\overrightarrow{F}=0$$

時間微分が0であるという事は、「時間によって変化しない」事を意味します。(実際、ベクトルの各々の成分に対して、その形の微分方程式の解は時間に関して「定数」という事になります。「時間に依存しない」形となるわけです。)

$$\frac{d}{dt}\overrightarrow{L}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{L}は定ベクトル(時間に依存しない。「保存」する)$$

この事を、「中心力のもとで角運動量は保存する」と表現します。
その事を、力学では角運動量保存則とも言います。

中心力と角運動量の保存

中心力のもとで軌道が円ではなく楕円のようになる場合にでもこの角運動量保存則は成立するので、中心力の発生源に近い場所では物体の運動量(および速さ)が大きくなり、発生源から離れているほど物体の運動量(および速さ)は小さくなる事を表しています。

剛体の角運動量

さて、では大きさを持った立体的な球とか円盤とか(変形しない事を仮定した場合に剛体と呼びます)が、
中心に立てた軸周りに「自転」している形式の回転の場合にはどうなるでしょうか。

この場合には、微小な体積領域で通常の角運動量を考えて、質量を位置の関数としての「密度」で表し、それに体積要素を乗じる事で表現します。それを領域全体で積分する事で「全角運動量」を計算するという形の理論になっています。

$$微小領域の質量:m=\rho dv【mと\rhoは\overrightarrow{r}の関数】$$

$$微小領域の角運動量ベクトル:\overrightarrow{r}×(\rho dv\overrightarrow{v})=\rho(\overrightarrow{r}×\overrightarrow{v}) dv$$

ここでは自転的な運動、つまり回転軸の方向が不変である場合を考えます。
その場合は、速度ベクトル\(\overrightarrow{v}\)は「角速度ベクトル」\(\overrightarrow{\omega}\)と位置ベクトル\(\overrightarrow{r}\)の外積として表せるという公式を使えるので、角運動量ベクトルの式を変形できます。

$$公式:\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\overrightarrow{\omega}×\overrightarrow{r}を使えるので、$$

$$\rho(\overrightarrow{r}×\overrightarrow{v}) dv=\rho\left(\overrightarrow{r}×(\overrightarrow{\omega}×\overrightarrow{r})\right) dv$$

この関係式は、より一般的に角速度ベクトルが定ベクトルではなく時間的に変化する関数になっている場合でも成立します。

角速度ベクトルの公式
原点を回転軸上にとった時、角速度ベクトルと位置ベクトルが作る平面と、速度ベクトルとは常に垂直になっています。

外積ベクトルの公式(「ベクトル三重積」)を使うと、もう少し計算を進められます。

$$\rho\left(\overrightarrow{r}×(\overrightarrow{\omega}×\overrightarrow{r})\right) dv=\rho\left(|\overrightarrow{r}|^2\overrightarrow{\omega}-(\overrightarrow{\omega}\cdot\overrightarrow{r})\overrightarrow{r}\right) dv$$

これを領域内で積分(体積分)したものが、剛体全体での角運動量の合計(全角運動量)になります。
積分する領域はVと置いておきます。
◆参考:ガウスの発散定理(体積分の考え方と公式)

$$全角運動量:\overrightarrow{L}=\int_V\rho(\overrightarrow{r}×\overrightarrow{v}) dv=\int_V\rho\left(|\overrightarrow{r}|^2\overrightarrow{\omega}-(\overrightarrow{\omega}\cdot\overrightarrow{r})\overrightarrow{r}\right) dv$$

内積はスカラーである事に注意して、位置ベクトルの成分表示を(x,y,z)とし、角速度ベクトルの成分表示を(ω,ω,ω)とするとさらに次のように書けます。

$$\overrightarrow{L}=\int_V\rho(x^2+y^2+z^2)\overrightarrow{\omega}dv+\int_V\rho(x\omega_x+y\omega_y+z\omega_z)\overrightarrow{r}dv$$

ここで全角運動量のベクトルも成分ごとに分けると、それら各成分は角速度ベクトルの成分の線型結合で表せるという、ちょっとした規則性を見出せます。全角運動量ベクトルのx成分を例として書いてみると、次のようになります。

$$\overrightarrow{L}のx成分:L_x=\int_V\rho\omega_x(x^2+y^2+z^2)dv-x\int_V\rho(x\omega_x+y\omega_y+z\omega_z)dv$$

$$=\omega_x\int_V\rho(x^2+y^2+z^2)dv-\int_V\rho(x^2\omega_x+xy\omega_y+xz\omega_z)dv$$

$$=\omega_x\int_V(y^2+z^2)\rho dv-\omega_y\int_Vxy\rho dv-\omega_z\int_Vxz\rho dv$$

【xの項が引き算で消える形になっています。】

全角運動量ベクトルのy成分とz成分についても同様の形の式になり、全角運動量はある正方行列Iと角速度ベクトルの積で表現できる事が言えます。その行列の成分Iijの事を「慣性テンソル」と呼び、その対角成分【I11,22,I33】は特に「慣性能率」とも呼ばれます。

$$ある3×3行列Iを使って、\overrightarrow{L}=I\overrightarrow{\omega}とも書ける。$$

一様な材質でできた対称性のある剛体の場合(球、円柱、円盤等)、具体的な積分の計算を手計算でも実行する事ができて、慣性能率は比較的簡単な形で表す事ができます。

これらの事は、物理学を専攻する学生さん以外にも、ベクトルやベクトルの外積の応用例を見るのに非常に良い題材の1つになっていると思います。

【証明】ガウスの発散定理

電磁気学などでよく使う「ガウスの発散定理」(「発散定理」「ガウスの定理」とも)の証明をします。
ベクトル解析の分野の中の基礎的で重要な定理の1つになります。

電磁気学の「ガウスの法則」は、「ガウスの発散定理」と関係が深いですが、あくまで静電場に関して成立する事実関係としての「法則」を表すものとして用語の使い分けがなされるのが一般的です。

関連事項(内部リンク)

定理の内容

$$以下、ベクトル場を\overrightarrow{F}=(F_1,\hspace{2pt}F_2,\hspace{2pt}F_3)=(F_1(x,y,z),\hspace{2pt}F_2(x,y,z),\hspace{2pt}F_3(x,y,z))\hspace{2pt}とします。$$

ガウスの発散定理とは次のようなものです。

ガウスの発散定理

ある閉曲面内の体積分と法線面積分について、次の関係式が成立します。 $$\int_V \mathrm{div}\overrightarrow{F} dv = \int_S \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}$$ $$あるいは、\int\int\int_V \mathrm{div}\overrightarrow{F} dxdydz = \int\int_S F_1 dzdy + \int\int_S F_2 dzdx+ \int\int_S F_3 dydx$$ $$S:閉曲面 V:閉曲面で囲まれた空間領域 $$ $$d\overrightarrow{s}=(ds_x,ds_y,ds_z)【成分には正負の符号がある事に注意】$$ 法線面積分を考えた時に使う面積要素 dxdy 等は、dsx 等と同じく、符号を持つので注意。曲面に表と裏を必ず決め、「裏→表」の向きに面積要素のベクトル\(d\overrightarrow{s}\) を立てて向きと成分の符号を考えます。

特に、次の3式が同時に成立し、加え合わせる事で定理全体が成立する事になります。$$\int\int\int_V\frac{\partial F_1}{\partial x}dxdydz=\int\int_S F_1 dydz$$ $$\int\int\int_V\frac{\partial F_2}{\partial y}dxdydz=\int\int_S F_2 dzdx$$ $$\int\int\int_V\frac{\partial F_3}{\partial z}dxdydz=\int\int_S F_3 dydx$$

積分の表記の仕方としては、次のように記す事もあります。これらは書き方を変えているだけで、全く同じ積分を表すという意味です。dxdyなどの表記の場合に積分記号を2つ重ねる表記にするのは、具体的な計算をする時には重積分の形になる事によります。$$\int_SF_1ds_x=\int\int_SF_1dydz$$ $$\int_SF_2ds_y=\int\int_SF_2dzdx$$ $$\int_SF_3ds_y=\int\int_SF_3dxdy$$

基本的な考え方は、複素関数論におけるグリーンの公式に似ています。要するに、ある多変数のスカラー関数について、変数が2つの特定の値の時に差をとったものは「その関数の偏微分の定積分」に等しいはず・・という発想を使います。

「スカラー関数の偏微分」を「微分する変数で定積分」する事により、特定の値のスカラー関数の差を作る事ができます。重積分の中でこの考え方を使う時は、偏微分に対する定積分の積分区間の端は一般には「関数の形」になります(yで積分するなら例えばy1=y1(x)というxの関数)。

発想自体は実はすごくシンプルなのですが、幾つか知っておかないとならない定義や公式がある事が「難しい」要因になります。特に必要になる事項を4つほど簡単に整理しておきます。

使う定義と公式の整理
①ベクトル場の「発散」の定義

ベクトル場\(\overrightarrow{F}\) に対する「発散」は次のようなスカラー関数です。 $$\mathrm{div}\overrightarrow{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y} +\frac{\partial F_3}{\partial z}$$

②法線面積分の定義

法線面積分は、次のように計算できるものとして定義されます。 $$\int_S \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_S (F_1 ds_z + F_2 ds_y + F_3 ds_z)=\int_SF_1 ds_x+\int_SF_2 ds_y+\int_SF_3 ds_z$$積分記号に添えてあるSは、「特定の閉曲面S」の表面の全域(あるいはそれに対応する領域)に渡って積分をするという意味です。dsz および dxdy 等を面積要素とも言います。(dsz および dxdy は共にxy平面上の領域の面積要素。)

③ \(d\overrightarrow{s} \)の座標成分と射影面積の関係

$$ d\overrightarrow{s}=( ds_x , ds_y , ds_z ) $$

  • \(|ds_x| \):微小領域の「yz平面」への射影領域の面積
  • \(|ds_y| \):微小領域の「xz平面」への射影領域の面積
  • \(|ds_z| \) :微小領域の「xy平面」への射影領域の面積

特に三角形の微小領域を考えると、外積ベクトルの性質によりこれらの関係が明確になります。

④体積分と重積分の関係

体積分は、特定の空間領域の全域に渡ってスカラー関数を積分するものです $$\int_V G(x,y,z) dv=\int\int\int_V G(x,y,z) dxdydz$$。dv =dxdydz を体積要素とも呼びます。
特別な場合では体積要素 dv のまま具体的な計算もできますが、通常は体積要素を dxdydz の形にして重積分にしないと計算は難しい事が多いです。
具体的な関数があって積分の値を計算する時は、次のように、通常の重積分と同じく累次積分を行います。 $$\int\int\int_V G(x,y,z) dxdydz=\int_{Z1}^{Z2}\int_{Y1}^{Y2}\int_{X1}^{X2} G(x,y,z) dxdydz$$ この時に積分する変数の順番は変えられますが、積分する領域の形状によっては、初めに積分する2つの積分区間は定数ではなくて関数になります。ここでの例だと X1=X1(y,z), Y1=Y1(z) 等です。

発散定理(ガウスの定理)の考え方②

発散定理における閉曲面の扱い

積分する範囲が「閉曲面」である事は定理の性質・証明において重要です。

閉曲面とは球や楕円体などの閉じられた曲面の事です。
(ただし直方体等の「角ばった箇所」がある閉じられた立体においても、定理は成立します。証明の過程を見ると、その事は分かりやすいかと思います。)

閉曲面は、凹んだような箇所がある曲面である場合もあります。
しかし、発散定理の証明においては実は「凹みがない」球のような曲面で成立する事を示せば十分です。それは、面積分に関して曲面は分割するできるからです。

例えば閉曲面を平面で真っ二つにした場合には、切断面の部分(2つに分かれた閉曲面の共有部分)では2つの積分の値が絶対値は同じで逆符号になります。それを加え合わせるとゼロになります。これは、共有される切断面においては「ベクトル場は同じ」で分割された2つの閉曲面同士で「法線ベクトルが絶対値は同じで逆符号」である事に起因します。

そのため、凹みのある閉曲面は出っ張ったところで切断して2つ以上の閉曲面に分けてしまう事により、法線面積分も2つの「凹みのない」閉曲面での法線面積分の和にできるのです。
(体積分に関しても、閉曲面を分割すると分割した領域での体積分を加えれば全体になります。)

つまり、発散定理の証明は「凹みのない」閉曲面で示されれば、凹みのある閉曲面で成立する事も示されるという事です。

発散定理(ガウスの定理)における閉曲面の扱い

証明

まず、次式から証明します。閉曲面は凹みがないものとします。

$$\int\int\int_V\frac{\partial F_1}{\partial x}dxdydz=\int\int_S F_1 dydz$$

これ1つが証明できれば、他の2式も同じ形なので全く同様に証明できます。
最後に3式を加え合わせれば発散定理の形になります。

積分する前の段階で微小領域を考えると、\(d\overrightarrow{s}=( ds_x , ds_y , ds_z )\)の第1成分dsの絶対値は微小領域のyz平面への射影面積になります。

ところで、yz平面への「同じ射影の領域」を持つ閉曲面の微小領域は必ず2つ存在し、それらの第1成分は必ず符号のプラスマイナスが異なります。同じ射影の領域を持ちますから\(d\overrightarrow{s}\)の第1成分は「同じ大きさで異符号」です。

しかも、その組み合わせの合計で閉曲面は全て覆える事になります。ベクトル場の第1成分Fとdsの積を合計したものはyz平面上の積分になります。【Fは関数F(x,y,z) である事に注意。】
ただし、yz平面上で積分をすると、対応する閉曲面の領域は2つありますから、dsの符号がプラスになる部分とマイナスになる部分に分けられます。

射影領域と閉曲面の関係
凹みのない閉曲面ではxy平面への同一の射影領域を持つ部分が2つ存在し、それらの微小領域に対する法線ベクトルのz成分は互いに異符号になります。yz平面、xz平面への射影についても全く同様に考える事ができます。

ここで、閉曲面Sのyz平面への射影領域であり、yz平面での積分範囲でもある領域をSyzと置きます。
この平面領域Syzは、「表と裏」に関して次の約束事をしておきます:

◆約束事:平面領域Syz
x方向のプラス方向に面した部分が「表」でx方向のマイナス方向に面した部分が「裏」
と決めます。
つまりこの領域Syz上での面積要素のベクトルは\(d\overrightarrow{s}=(ds_x,0,0)\) であり「ds およびdydzの符号は、必ずプラス符号として考える」という事です。
発散定理(ガウスの定理)の証明
ベクトル場の第3成分とxy平面(の射影)での積分を考えた場合はこの図のようになります。図の下側の領域では「もとの閉曲面Sでの面積要素」の符号が全てマイナスなので、「面積要素がプラス符号の平面領域(図のSxy)」での積分として表記する場合には積分全体に対してマイナス符号をつける形になります。

またyとzの関数X(y,z)とX(y,z)を考えて、
それらは各々「yz平面への同じ射影領域を持つ」2つの微小領域でのx座標であるとします。
(領域を2分割して考える時に「x座標の『yとzによる関数』の形」が違うためにそのように考えます。)
すると、閉曲面全体のベクトル場の第1成分Fのyz平面上の領域Syzでの積分は、
次のように差の形で表せる事になります。

$$\int_SF_1ds_x=\int\int_{Syz}F_1(X_B,y,z)dydz-\int\int_{Syz}F_1(X_A,y,z)dydz$$

第1項目はもとの閉曲面で面積要素のベクトルの成分dsがプラス符号である領域の積分です。
第2項目はもとの閉曲面で面積要素のベクトルの成分dsがマイナス符号である領域の積分であり、
領域Syzでの積分では面積要素はプラス符号で扱うと約束しているので「マイナス」は積分全体につける形をとっているわけです。

ここで、差の形になっている部分を、「x方向の『偏微分の定積分』」として考える事ができます。

$$\int\int_{Syz}F_1(X_B,y,z)dydz-\int\int_{Syz}F_1(X_A,y,z)dydz=\int\int_{Syz}\left(\int_{\large{X_B}}^{\large{X_A}}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x}dx\right)dydz$$

領域Syzでの積分についてもy方向とz方向の積分区間を書くと次のようになります。

$$\int\int_{Syz}\left(\int_{\large{X_B}}^{\large{X_A}}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x}dx\right)dydz=\int_{\large{Z_B}}^{\large{Z_A}}\int_{\large{Y_B}}^{\large{Y_A}}\int_{\large{X_B}}^{\large{X_A}}\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x}dxdydz$$

$$=\int\int\int_V\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x}dxdydz$$

ここで重積分の形にした箇所のdx、dy、dzは全てプラス符号です。つまり「積分変数自体の符号は気にしない」で計算可能な、通常の積分として考えてよい事になります。(体積要素としてdxdydzをdvと置き、1つの塊として見た時も符号はプラスだけで考えます。)

重積分を累次積分する時の積分の順番は入れ替え可能ですが、積分区間は最後に積分するところを除いて一般には関数になります。
例えば上記の場合の重積分の箇所においてx→y→zの順で累次積分をする場合、積分区間に入っているXとXはyとzの関数【定数である事もあり得る】であり、YとYはzの関数、ZとZは何らかの定数という事になります。
累次積分の順番を変えるとどの積分区間が何の変数のどういう関数形になっているかは変わりますが、同じ関数を同じ領域で積分すれば同じ値を得ます。

これで証明の大体の部分は完了しています。

ところで一番最初の積分については、dsをdydzの形で表記する事もできます。(dxdyの形にする時は、積分記号は重積分のように2つ重ねる表記にします。)

$$\int_SF_1ds_x=\int\int_SF_1dydz$$

これらの結果を等号で結ぶと、証明すべき式になります。

$$\int\int\int_V\frac{\partial F_1}{\partial x}dxdydz=\int\int_SF_1dydz【証明終り】$$

同様に、Fについてはxz平面上の積分を考えて、差の形をyでの偏微分の定積分で表します。Fについてはxy平面上の積分を考えて、差の形をxでの偏微分の定積分で表します。

$$\int\int\int_V\frac{\partial F_2}{\partial y}dxdydz=\int\int_SF_2dzdx$$

$$\int\int\int_V\frac{\partial F_3}{\partial z}dxdydz=\int\int_SF_3dxdy$$

3式を加え合わせると次のようになります。

$$\int\int\int_V\left(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\right)dxdydz=\int\int_S(F_1dydz+F_2dzdx+F_3dxdy)$$

$$\Leftrightarrow \int_V \mathrm{div}\overrightarrow{F} dv = \int_S \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}【発散定理の形】$$

上記の発散定理における閉曲面の扱いで記したように、閉曲面に凹みがある場合でも領域を切断して分割する事で定理が成立します。

外積ベクトルの定義と公式【3次元】

3次元ベクトルに対しては、「外積」と呼ばれるベクトルを考えます。
外積ベクトルは、物理学で力のモーメントや角運動量、電磁気学での特定の法則などの定式化に使用したりします。また幾何的には「平行六面体」の体積を表す公式に使用もされます。

◆「微分形式」という数学分野の演算でも「外積代数」という用語を使います。その3次元版では確かに「外積ベクトル」との共通性がありますが、一般には区別されており、微分形式の外積代数で使う記号【∧】による演算を「ウェッジ積」と呼び、
3次元ベクトルに対して外積ベクトルを作る時の記号【×】による演算は「クロス積」もしくは「べクトル積」と呼ぶ事もあります。
(英語の場合、3次元ベクトルの外積ベクトルを指す語としては、「べクトル積」に該当する vector product という表現を使う事が多いです。)

高校では数学でも物理でも外積を直接計算する事はほとんどないと思いますが、力と磁場と電流の向きの関係などで間接的に関わっています。そういった関係を、数学的にもう少し詳しく定式化したものが外積ベクトルになります。

定義と考え方

外積ベクトルは、3次元空間内の2つのベクトルから作られる別のもう1つのベクトルの事で、次のような定義のもとで使用します。

外積ベクトルの定義

3次元の空間ベクトル \(\overrightarrow{a}と\overrightarrow{b}\) とから作られる外積ベクトル(あるいは単に「外積」)は、次のように$$\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}$$と書き、向きと大きさを次のように定義します:

  • 大きさ:\(\overrightarrow{a}と\overrightarrow{b}\) が作る平行四辺形の面積に等しいとする
  • 向き:\(\overrightarrow{a}と\overrightarrow{b}\) が作る平面に対して垂直
    【\(\overrightarrow{a}から\overrightarrow{b}\)に向けてより小さい角度で「右ねじ」を締める時のネジ回しの先端の方向】
外積(ベクトル積、クロス積)の定義

通常のスカラー値やスカラー関数の場合、掛け算の記号はA×B、A・B、ABのいずれでも同じ計算を表すと約束しますが、ベクトルの場合には、「\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)は必ず内積」「\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)は必ず外積」を表すものと定義します。

外積ベクトルの大きさに関しては、2つのベクトルが作る平行四辺形の面積ですから、ベクトルの成分さえ分かれば一応計算できる事になります。

外積ベクトルの「向き」については、2ベクトルが作る平面(平行四辺形も含めて)に「垂直」という定義ですが、この時に表側の方向への垂直なのか、裏側の方向への垂直なのか2パターン存在します。
そのどちらかに必ず1つに決めるための基準が「右ネジを回す方向」というわけです。(これは少し直感的な説明の仕方ではあるのですが、物理学でもよくなされます。)

ネジを締める時に、時計回りにネジ回しを回せば締まっていくタイプのネジを考えます。
(反時計回りに回すと締まる「逆ネジ」も存在しますが、それは考えない。)
普通は上から見下ろしてネジを回しますが、仮に天井に向けてネジを回して締める時には「下から見れば時計回り」ですが、「上から見ると反時計回り」に見える事に注意します。

右ねじと外積ベクトルの向き①

外積ベクトル\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)の始めに書かれているほう(ここでは\(\overrightarrow{a}\)のほう)から、「時計回りに回せば『より小さい角度で』もう1つのベクトルに辿り着く」視線の方向を考えます。2つベクトルが作る平面の「表」から見るか、「裏」から見るかという事です。z軸のプラスマイナスを基準として上側(プラス方向)から見るか、下側(マイナス方向)から見るかの違いとも言えます。

z軸を基準にした時に上から見た時に、\(\overrightarrow{a}\)から時計回りに(ネジを締める方向に)回して「より小さい角度」で\(\overrightarrow{b}\)に至る状況だったとしましょう。この時は、外積ベクトル\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)の向きは、斜めになりながらもz軸の上から下に向かう方向に向いています。(実際、外積ベクトルのz成分の符号はマイナスになります。)

右ねじと外積ベクトルの向き②
画面や紙面に対して「奥→手前」「手前→奥」を表す記号は、
弓矢の「矢」の矢先が眼前に飛んでくるイメージで「丸に点・」の記号で「奥→手前」を表し、
矢の後部についている「羽」が後ろから見えているイメージで「丸にバツ×」の記号で「手前→奥」の向きを表します。

演算と基本公式

外積ベクトルに関しては、幾つかの簡単な公式が成立します。

公式
  • \(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{a}=0\) 【一応「ゼロベクトル」。平行四辺形が潰れてしまうので】
  • 2つのベクトルが平行であれば\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}=0\) 
  • 2つのベクトルが直角であれば \(|\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\) 【平行四辺形が長方形となるためです。】
  • k を実数として、\((k\overrightarrow{a})×\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}×(k\overrightarrow{b})=k(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b})\) 【ベクトルの定数倍に対する扱い】
  • \(\overrightarrow{a}×(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}×\overrightarrow{c}\) 【分配則】
  • \(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}×\overrightarrow{a}\) 【交代性。可換でない(交換則が成立しない)事に注意】

これらのうちの交代性と分配則については、もう少し詳しく述べます。

外積ベクトルの交代性

外積ベクトル\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\) に対して、外積を構成するベクトルの配置は全く同じで式の中の順番だけ入れ替えた\(\overrightarrow{b}×\overrightarrow{a}\) という外積を考えると考えるとどうなるでしょうか?

この場合は、下から見て時計回りにネジを締めようとする事で条件を満たすので、向きは\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)と同一直線にあって「逆向き」になります。

言い換えると、ベクトルの外積は、演算に使う2つのベクトルの順番を変えると符号が逆転します。【内積は2つのベクトルの順序はどちらでもよい事に注意。】

公式:外積ベクトルの交代性

$$\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}×\overrightarrow{a}$$

この時に外積ベクトルの成分も各々符号が反転します。
例えば簡単な例で言うと、\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)=(1,-2,5)であったとしたら、
\(\overrightarrow{b}×\overrightarrow{a}\)=-\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)=(-1,2,-5)になるという事です。

外積ベクトルの分配則【証明】

分配則については、一見「当たり前」のようですが、外積ベクトルの定義が多少込み入ったものである事や、可換性については成立していない(代わりに交代性が成立)事から、実はそれほど自明な事ではないとも言えます。

証明は、空間の幾何を考える方法があります。

まず、\(\overrightarrow{b}と\overrightarrow{c}と(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\) の3つのベクトルで作られる三角形を考えます。そして、その三角形の各点から\(\overrightarrow{a}\) が伸びているような図を考えます。

次に、\(\overrightarrow{b}の始点から伸びる\overrightarrow{a}\)に対して\(\overrightarrow{b}\) の終点から垂線を引き、その足となる点をHとします。
同様に、\(\overrightarrow{c}の終点から伸びる\overrightarrow{a}\)に対して\(\overrightarrow{b}\) の終点(\(\overrightarrow{c}\) の始点)から垂線を引き、
その足となる点をHとします。
また、\(\overrightarrow{b}\) の終点であり\(\overrightarrow{c}\) の始点でもある点をAと置きます。

外積ベクトルの分配則

この時、AH、AH、Hはそれぞれ平行四辺形の高さになっています。
は\((\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})と\overrightarrow{a}\)が作る平行四辺形の高さです。
(\(\overrightarrow{AH_B}と\overrightarrow{AH_C}がともに\overrightarrow{a}\)に垂直なので辺Hも\(\overrightarrow{a}\)に垂直です。内積を考えると少し分かりやすい。)

そこで、3つの外積ベクトルの「大きさ」をそれらの辺の長さで表す事ができます。
(単純に「平行四辺形の面積=底辺×高さ」で計算します。)

  • \(|\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||AH_B|\)
  • \(|\overrightarrow{a}×\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}||AH_C|\)
  • \(|\overrightarrow{a}×(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})|=|\overrightarrow{a}||H_BH_C|\)

ここで、これら3つの外積ベクトルがぴったり「三角形」を作れるかが実は自明ではありません。
しかしこの計算結果から、3つの外積ベクトルの大きさの比は、三角形AHの辺の比に全く等しい事になります。つまりそれらは互いに相似な三角形になっている事を意味し、従って3つの外積ベクトルはきちんと「三角形」を形成する事になります。
さらに、\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)と\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{c}\)の2つのベクトルに対する斜辺は\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}×\overrightarrow{c}\)と(常に)表せるので、\(\overrightarrow{a}×(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}×\overrightarrow{c}\) という事になります。【証明終り】

成分表示の方法(外積ベクトルの成分と射影面積の関係)

外積ベクトルはベクトルですので【内積はスカラー】、通常のベクトルと同様にx、y、z座標の成分を持ちます。そして2つの空間ベクトル\(\overrightarrow{a}と\overrightarrow{b}\) の成分が分かっていれば、外積ベクトル\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)の成分も一意的に決定します。

まず結論は、次のようになります。

外積ベクトルの成分表示

$$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\hspace{10pt}\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)である時$$ $$\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}=(a_2b_3-b_2a_3,\hspace{5pt}a_3b_1-a_1b_3,\hspace{5pt}a_1b_2-b_1a_2)$$ ここで、
第1成分の絶対値は平行四辺形のyz平面への射影面積、
第2成分の絶対値は平行四辺形のxz平面への射影面積、
第3成分の絶対値は平行四辺形のxy平面への射影面積
になります。
(※絶対値が「面積」に必ず等しいという事であり、外積ベクトルの各成分の符号はプラスの場合もマイナスの場合もある事には注意。各成分の符号が外積ベクトルの向きも決定します。)

外積ベクトルの成分と射影面積の関係について、空間上の平行四辺形の各平面への射影もまた「平行四辺形」になっている事は、ベクトルによる平行四辺形の面積公式の形から分かります。
例えば外積ベクトルのz成分 a-aは、xy平面上の平面ベクトルが作る平行四辺形の面積公式の形そのものです。

平行四辺形の射影面積

外積ベクトルの交代制から、外積を構成するベクトルの順序を入れ替えると(ベクトルの配置自体は同じ)、次のような差の順番が入れ替わったような形の成分表示になります。$$\overrightarrow{b}×\overrightarrow{a}=(b_2a_3-a_2b_3,a_1b_3-a_3b_1,a_2b_1-b_2a_1)$$

成分表示についての証明

このように成分表示できる事の証明は、単位ベクトルによるベクトル表記と分配則を使うと意外と簡単に済みます。

$$\overrightarrow{e_1}=(1,0,0),\hspace{5pt}\overrightarrow{e_2}=(0,1,0),\hspace{5pt}\overrightarrow{e_3}=(0,0,1)\hspace{5pt}のもとで$$

$$\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3},\hspace{10pt}\overrightarrow{b}=b_1\overrightarrow{e_1}+b_2\overrightarrow{e_2}+b_3\overrightarrow{e_3}\hspace{10pt}と書けます。$$

このような表された形のもとで外積の公式を使いながら計算して整理すると、外積ベクトルの成分表示が確かに得られます。

使う公式と性質は次の通りです。

  • 「分配則」を使って、通常の展開式のように計算していきます。
    添え字の順番を変えると外積の符号が変わってしまうので注意。
  • 「同じベクトル同士の外積は0」つまり\(\overrightarrow{e_1}×\overrightarrow{e_1}=0\) のようになる事を使うと幾つかの項が0になって消えます。
  • 分配則に従って展開した後で、「交代性」\(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}×\overrightarrow{a}\)も使用して式を整理します。
  • 異なる単位ベクトル同士は、成す角度が直角であり、作る平行四辺形は正方形であって大きさは1です。さらに単位ベクトル同士の位置関係にも注意して、
    \(\overrightarrow{e_1}×\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3}\)
    \(\overrightarrow{e_2}×\overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{e_1}\)
    \(\overrightarrow{e_3}×\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_1}\hspace{5pt}\) となる事を最後に使います。
単位ベクトルの外積
通常使われる直交座標の「座標軸の向き」は、外積ベクトルの向きの決まり方を把握するうえでも意外と便利です。3つの単位ベクトルの1つ1つは他の2つの単位ベクトルの外積として表せます。

$$\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}=(a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3})×\overrightarrow{b}=b_1\overrightarrow{e_1}+b_2\overrightarrow{e_2}+b_3\overrightarrow{e_3}$$

$$=a_1b_2(\overrightarrow{e_1}×\overrightarrow{e_2})+a_1b_3(\overrightarrow{e_1}×\overrightarrow{e_3})+a_2b_1(\overrightarrow{e_2}×\overrightarrow{e_1})+a_2b_3(\overrightarrow{e_2}×\overrightarrow{e_3})+a_3b_1(\overrightarrow{e_3}×\overrightarrow{e_1})+a_3b_2(\overrightarrow{e_3}×\overrightarrow{e_2})$$

$$=(a_2b_3-a_3b_2)(\overrightarrow{e_2}×\overrightarrow{e_3})+(a_3b_1-a_1b_3)(\overrightarrow{e_3}×\overrightarrow{e_1})+(a_1b_2-a_2b_1)(\overrightarrow{e_1}×\overrightarrow{e_2})$$

$$=(a_2b_3-a_3b_2)\overrightarrow{e_1}+(a_3b_1-a_1b_3)\overrightarrow{e_2}+(a_1b_2-a_2b_1)\overrightarrow{e_3}$$

$$=
(a_2b_3-b_2a_3,\hspace{5pt}a_3b_1-a_1b_3,\hspace{5pt}a_1b_2-b_1a_2)【証明終り】$$

外積ベクトルの成分表示は、次のように証明する事もできます。
外積ベクトルの成分を(X,Y,Z)とおいて計算してみます。これらの未知数を算出する計算になります。 まず、次のように置いておきます。$$a_2b_3-a_3b_2=S_1,\hspace{5pt}a_3b_1-a_1b_3=S_2,\hspace{5pt}a_1b_2-a_2b_1=S_3$$ 外積ベクトルの定義から、構成する2つのベクトルとの直交性(内積の値が0)と、3次元の場合の平行四辺形の面積公式の3式を書きます。 $$①\overrightarrow{a}との直交性:a_1X+a_2Y+a_3Z=0$$ $$②\overrightarrow{b}との直交性:b_1X+b_2Y+b_3Z=0$$ $$③面積【2乗を計算】:X^2+Y^2+Z^2=(a_2b_3-b_2a_3)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2$$ $$\Leftrightarrow X^2+Y^2+Z^2=S_1\hspace{1pt}^2+S_2\hspace{1pt}^2+S_3\hspace{1pt}^2$$ ①式に\(b_1\)、②式に\(b_1\) を掛けて2つの式を引き算すると、
\((a_1b_2-a_2b_1)Y=(a_3b_1-a_1b_3)Z \Leftrightarrow S_3Y=S_2Z\) となります。
同じ手順で1つの変数を消去する方法を使うと、
\(S_1Y=S_2X\)および\(S_3X=S_1Z\) となります。
ここで、面積のほうの式③の両辺に\(S_1\hspace{1pt}^2\) を掛けると、次のようになります。 $$S_1\hspace{1pt}^2X^2+S_1\hspace{1pt}^2Y^2+S_1\hspace{1pt}^2Z^2=S_1\hspace{1pt}^2(S_1\hspace{1pt}^2+S_2\hspace{1pt}^2+S_3\hspace{1pt}^2)$$ $$\Leftrightarrow S_1\hspace{1pt}^2X^2+S_2\hspace{1pt}^2X^2+S_3\hspace{1pt}^2X^2=S_1\hspace{1pt}^2(S_1\hspace{1pt}^2+S_2\hspace{1pt}^2+S_3\hspace{1pt}^2)$$ $$\Leftrightarrow (S_1\hspace{1pt}^2+S_2\hspace{1pt}^2+S_3\hspace{1pt}^2)X^2=S_1\hspace{1pt}^2(S_1\hspace{1pt}^2+S_2\hspace{1pt}^2+S_3\hspace{1pt}^2)\Leftrightarrow X^2=S_1\hspace{1pt}^2$$ 同様に計算すると、\(Y^2=S_2\hspace{1pt}^2およびZ^2=S_3\hspace{1pt}^2\)となります。
X、Y、Zの値としてそれぞれプラスとマイナスの2つ候補が出てきますが、既に得られているX、Y、Zの関係式と、外積ベクトルの向きの定義に合う組み合わせから、ここでの計算の場合では「全てプラス符号」です。(具体的な値を代入して試してみると分かりやすいです。)
それにより、\(X=S_1=a_2b_3-b_2a_3,\hspace{5pt}Y=S_2=a_3b_1-a_1b_3,\hspace{5pt}Z=S_3=a_1b_2-a_2b_1\) となります。

ベクトル三重積

外積はベクトルなので、
「あるベクトルと、別の外積ベクトルとの『外積』」というのも計算としてはあり得ます。

つまり、\(\overrightarrow{A}\)×(\(\overrightarrow{B}\)×\(\overrightarrow{C}\)) のような計算も可能であるわけです。
このタイプの計算を「ベクトル三重積」と呼ぶ事があります。次の形の計算が可能です。

(公式)ベクトル三重積の計算

$$\overrightarrow{A}×(\overrightarrow{B}×\overrightarrow{C})=(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C})\overrightarrow{B}-(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B})\overrightarrow{C}$$ また、外積ベクトルを作る順番を変えると計算結果も変わり、次式になります。 $$(\overrightarrow{A}×\overrightarrow{B})×\overrightarrow{C}=-(\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{C})\overrightarrow{A}+(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C})\overrightarrow{B}$$

この公式中で、内積はスカラーなので、\((\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C})\overrightarrow{B}\) などは例えば\(3\overrightarrow{B}\) のようなベクトルの定数倍のようなものを表します。(スカラー関数倍という場合もあり得ます。)

◆ベクトルの「内積」の場合は、ベクトルとベクトルからスカラーを作る演算なので、3つ以上のベクトルに対する内積の演算は存在しないわけです。

ベクトル三重積の公式を証明するには、外積ベクトルの成分表示を使うと比較的簡単です。(少しの計算は必要ですが。)

まず、\(\overrightarrow{A}\)×(\(\overrightarrow{B}\)×\(\overrightarrow{C}\)) のx成分から計算すると次のようになります。

$$x成分:a_2(b_1c_2-c_1b_2)-a_3(b_3c_1-c_3b_1)=b_1(a_2c_2+a_3c_3)-c_1(a_2b_2+a_3b_3)$$

$$=b_1(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)-c_1(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)=(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C})b_1-(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B})c_1$$

途中の計算で、a111-a111(=0)を式に加えています。

同様の計算で、y成分とz成分は次のようになります。

$$y成分:(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C})b_2-(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B})c_2\hspace{10pt}z成分:(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C})b_3-(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B})c_3$$

よって、全て合わせると公式の形になるわけです。

ベクトル三重積の括弧の順番を変えたものは、前述の交代性の性質により証明できます。まず、括弧の部分と次の部分を入れ替えてしまいます。すると、既に得られている結果を使えます。

$$(\overrightarrow{A}×\overrightarrow{B})×\overrightarrow{C}=-\overrightarrow{C}×(\overrightarrow{A}×\overrightarrow{B})=-\{(\overrightarrow{C}\cdot\overrightarrow{B})\overrightarrow{A}-(\overrightarrow{C}\cdot\overrightarrow{A})\overrightarrow{B}\}$$

$$=-(\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{C})\overrightarrow{A}+(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C})\overrightarrow{B}$$

ここで、内積の順序に関しては可換なので、書く文字の順番の入れ替えをしただけです。外積の順序の入れ替えをする時には符号が入れ替わります。

外積ベクトルに対する微分

外積ベクトルを微分すると、通常のスカラー関数の積に対する微分公式と似た形の式が成立します。この微分操作は、物理学などでの「時間微分」として使われる事があります。

(公式)外積ベクトルに対する微分演算

$$\frac{d}{dt}(\overrightarrow{A}×\overrightarrow{B})=\frac{d\overrightarrow{A}}{dt}×\overrightarrow{B}+\overrightarrow{A}×\frac{d\overrightarrow{B}}{dt}$$ 外積ベクトルの部分の順番に注意。逆にすると符号が変わってしまいます。
足し算の部分は逆にしても大丈夫。

この式は自明ではないので(スカラー関数の積の微分公式を知っていたとしても)、証明が必要になります。

この公式も、外積ベクトルの成分表示を使う事で示すことができます。ベクトルの微分は、各々の成分に対する微分として定義されます。ここでは、ベクトルの成分は全てスカラー関数であるとします。計算としては通常の積の微分公式を使用します。

$$x成分の微分:\frac{d}{dt}(a_2b_3-a_3b_2)=\left(\frac{da_2}{dt}b_3+\frac{db_3}{dt}a_2\right)-\left(\frac{da_3}{dt}b_2+\frac{db_2}{dt}a_3\right)$$

$$=\left(\frac{da_2}{dt}b_3-\frac{da_3}{dt}b_2\right)+\left(\frac{db_3}{dt}a_2-\frac{db_2}{dt}a_3\right)=\left(\frac{da_2}{dt}b_3-\frac{da_3}{dt}b_2\right)+\left(a_2\frac{db_3}{dt}-a_3\frac{db_2}{dt}\right)$$

これは確かに公式の外積ベクトルの和の形になっています。最後の変形は、外積ベクトルの成分となる事を明確にするために積の部分の順番を入れ替えただけです。(この式中に出てくるのは全てスカラー量なので、積の順序に関して可換です。)

同様にして、y成分とz成分についても示せます。

$$y成分の微分:\frac{d}{dt}(a_3b_1-a_1b_3)=\left(\frac{da_3}{dt}b_1-\frac{da_1}{dt}b_3\right)+\left(a_3\frac{db_1}{dt}-a_1\frac{db_3}{dt}\right)$$

$$z成分の微分:\frac{d}{dt}(a_1b_2-a_2b_1)=\left(\frac{da_1}{dt}b_2-\frac{da_2}{dt}b_1\right)+\left(a_1\frac{db_2}{dt}-a_2\frac{db_1}{dt}\right)$$

このようにして証明ができるわけです。

平行四辺形の面積【ベクトルでの公式】

平行四辺形の面積は「底辺×高さ」です。(参考:台形の面積公式と同じ考え方)
他方で、「直交座標上の2つのベクトルが作る平行四辺形」の面積を、
「ベクトルの大きさと内積」あるいは「ベクトルの成分」で表す方法と公式があります。

(ベクトルが作る「三角形」の面積については、単純に平行四辺形の面積を半分個を考えます。)

ベクトルが作る平行四辺形の面積

原点を始点とする2つのベクトル\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\) と \(\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\) があり、なす角度がθであるという。
その時に、2つのベクトルを組み合わせて作られる平行四辺形の面積Sは次の公式で計算できます: $$S=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}||\sin\theta|=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}=|a_1b_2-a_2b_1|$$

後述するように、考え方は3次元での2つの空間ベクトルが作る平行四辺形にも適用できます。

平面ベクトルの場合

まず、考え方としては単純に「底辺×高さ」で行きます。

そして、「底辺」の長さについては1つのベクトルの大きさを使います。

次に、もう1つのベクトルの大きさの正弦が「高さ」になるのです。

そこで、三角比の公式 sinθ+cosθ=1を使って正弦を余弦で表します。
(この公式は三角関数の範囲の一般角でも成立します。)

$$底辺:|\overrightarrow{a}|$$

$$高さ:|\overrightarrow{b}|\sin\theta$$

$$公式から【0<\theta <\piの時】:\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}$$

$$\left(-\pi<\theta <0の時は\sin\theta=-\sqrt{1-\cos^2\theta}ですが、面積を考える時はその絶対値を考えます\right)$$

平面ベクトルが作る平行四辺形の面積

さらに余弦をベクトルの内積と大きさで表せる事に注意すると、
平行四辺形の面積を「ベクトルの大きさと内積」だけで表せます。ここで、もし2ベクトルが成す角が直角であれば直ちに長方形で面積は確定するので、直角でない時を考えます。

$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$$

$$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$$

以上の事を代入しながら繋げていって、平行四辺形の面積を計算できるわけです。
一見すると無理やり計算しても滅茶苦茶な式になってしまいそうですが、実は分母と分子がうまく噛み合って比較的単純な形になります。(sinθが負になる場合も考慮して絶対値の|sinθ|を考えますが、要するにプラスの値だけ考えるという意味になります。)

$$S=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}||\sin\theta|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1-\cos^2\theta}$$

$$=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1-\frac{(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2}}=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2\left(1-\frac{(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2}\right)}$$

$$=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}$$

平方根の根号(√)の中にベクトルの大きさを2乗の形で入れてしまう事で、このようになるわけです。
この式は、平面でも3次元の空間でも成立します。

ここで、さらにベクトルの成分を使うと別の公式を導出できます。

$$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)\hspace{10pt}\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)のもとで、$$

$$|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2=(a_1\hspace{2pt}^2+a_2\hspace{2pt}^2)(b_1\hspace{2pt}^2+b_2\hspace{2pt}^2)=(a_1b_1)^2+(a_1b_2)^2+(a_2b_1)^2+(a_2b_2)^2$$

$$(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2=(a_1b_1+a_2b_2)^2=(a_1b_1)^2+(a_2b_2)^2+2a_1b_1a_2b_2$$

一見ちょっと面倒な形になっていますが、引き算するとなくなる項が出てきます。

$$|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2=(a_1b_1)^2+(a_2b_1)^2-2a_1b_1a_2b_2=(a_1b_2-a_2b_1)^2$$

このように上手く2乗の形になるので、平行四辺形の面積は次のようにも書けるわけです。

$$S=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}=\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2}=|a_1b_2-a_2b_1|$$

最後に絶対値記号をつけているのはabーabという値がプラスかマイナスかはその時々によって違うので、どちらにせよ絶対値を考えれば面積になるという意味です。

この公式は、重積分の変数変換の公式の中で使ったりもします。

空間ベクトルの場合

3次元の空間ベクトルの場合でも、同じくベクトルの成分で平行四辺形の面積を表せます。
この場合にはまとめ方がちょっと面倒で、2乗の形の3つの式の和が平方根の中に入る形になります。

$$S=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}||\sin\theta|が空間ベクトルでも成立する事に注意して、$$

$$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\hspace{10pt}\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)のもとでは、$$

$$S=\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}$$

$$=\sqrt{(a_1b_2)^2+(b_1a_2)^2+(a_1b_3)^2+(b_3a_1)^2+(a_2b_3)^2+(a_3b_2)^2-2(a_1b_1a_2b_2+a_1b_1a_3b_3+a_2b_2a_3b_3)}$$

$$=\sqrt{(a_1b_2-b_1a_2)^2+(a_1b_3-b_3a_1)^2+(a_2b_3-a_3b_2)^2}$$

この表示は、3次元ベクトルの外積(ベクトル積、クロス積)を使用する時に使う場合もあります。

◆外積の計算で使う場合には、上記の面積の式は$$S=\sqrt{(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_1b_3-b_3a_1)^2+(a_1b_2-b_1a_2)^2}$$のように順番だけ並び替えたほうが外積ベクトルの成分との対応が明確になります。
平方根の中の2乗になっているそれぞれの項が、実は2次元平面上の「平行四辺形」の形になっている事に注意。これは、3次元空間の中でのちゃんとした幾何的な意味も持っていて、外積ベクトルを使う計算で重要になります。

3次元空間での平行四辺形の面積

法線面積分の定義と性質

ベクトル解析電磁気学の分野で使用する「法線面積分」は、閉曲面に分布するベクトル場に対して定義されるものです。ベクトル場とは、すなわちベクトルの3成分のいずれもがx、y、zのスカラー関数になっているベクトルです。

閉曲面と閉曲線
閉曲面とは、例えば球や楕円体などの、「閉じた」曲面です。(ドーナツ型・うきわ型の「トーラス」なども含みます。)また、閉曲線とは、円や楕円のように、ぐるっと一周つながった曲線を言います。

★書籍の紙面ではベクトルを表す表記として文字をボールド体にする方法が多く使われますが、このページではベクトルは一貫して文字の上に矢印を添える表記方法を採用します。
スカラー関数に対する「面積分」は似ていますが別物なので注意。具体的な計算方法も異なります。

ベクトルの内積の考え方を使用します。

法線面積分を表す式には幾つかの表記方法がありますが、次のようになります。いずれも等号で結ぶ事ができ、計算すれば同じ値になります。

「法線面積分」の定義

$$\int_S \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_S (F_1 ds_1 + F_2 ds_2 + F_3 ds_3)=\int_SF_1 ds_1+\int_SF_2 ds_2+\int_SF_3 ds_3$$ $$\overrightarrow{F}=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))$$ $$\int_S \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}を、\int_S \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}dsとも書きます。$$ 積分記号に添えてあるSは、surface(表面)からの記号として一般的に使われる記号です。
特定の閉曲面の表面全体(表側あるいは裏側のいずれかの全体)を表します。

また、二重積分で表して計算する事も可能です。その場合、各項の具体的な計算をする時には2方向の積分区間をきちんと指定します。 $$\int_S \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=\int\int_S (F_1 dydz + F_2 dzdx + F_3 dxdy)$$ $$=\int_{Y1}^{Y2}\int_{Z1}^{Z2}F_1 dydz+\int_{Z1}^{Z2}\int_{X1}^{X2}F_2 dzdx+\int_{X1}^{X2}\int_{Y1}^{Y2}F_3 dxdy$$

\(\overrightarrow{n}\) は、曲面の各点に対する単位法線ベクトルを表し、長さは1で曲面に対し垂直な向きのものです。また、\(d\overrightarrow{s}=ds\overrightarrow{n}\) になります。詳しくは次のようになります。

法線ベクトル

$$ d\overrightarrow{s}=( ds_1 , ds_2 , ds_3 ) $$ $$|\overrightarrow{n}|=1,\hspace{10pt}|d\overrightarrow{s}|=ds=\sqrt{ds_1^2 + ds_2^2 + ds_3^2},\hspace{10pt}d\overrightarrow{s}=ds\overrightarrow{n}$$ \(d\overrightarrow{s}\) および単位法線ベクトル\(d\overrightarrow{n}\) は、閉曲面上の各点から曲面の「裏側→表側」に向かう向きに伸びると約束します。
各成分は、微小面積の平面への「射影」になっています。

  • \(|ds_1| \)=「yz平面」への射影領域の面積
  • \(|ds_2| \)=「xz平面」への射影領域の面積
  • \(|ds_3| \) =「xy平面」への射影領域の面積
証明:微小面積として三角形を考えた場合、\(d\overrightarrow{s}\) は2辺を成すベクトルで作られる外積ベクトルの半分として表されます。
外積ベクトルの成分の大きさ(絶対値)はyz平面、xz平面、xy平面への三角形の射影の面積に等しくなりますから、\(d\overrightarrow{s}=( ds_1 , ds_2 , ds_3 )\) の各成分の大きさも、垂直な3つ平面への微小面積の射影面積に等しくなる事が示されます。

法線ベクトルの成分ds、ds、dsには通常のベクトルと同じく符号があります。
式としては、法線ベクトルと射影平面に垂直な軸がなす角の余弦の符号と同じプラスマイナスの符号を持つと定義します。例えば、dsであれば対応する射影平面がyz平面で、それに垂直な軸はx軸ですから、法線ベクトルとx軸がなす角を見ます。それが鋭角であればdsの符号は+で、鈍角であれば-の符号になります。その符号は、座標上の図に描いてみた時の向きから判定したものともちろん一致します。

図で状況を見ながら式の意味を考えると分かりやすいでしょう。
つまり、球面などの閉曲面の各点にベクトル場がぎっしり詰まっている感じです。それを曲面全体に渡って積分します。その際に、ベクトル場の「曲面の法線ベクトルの向きの成分だけ」を内積によって取り出したものを考えているわけです。

曲面に垂直な法線ベクトル(大きさは微小面積)を考え、ベクトル場との内積を考えます。法線ベクトルのうち、長さを1としたものを「単位法線ベクトル」と言います。

微小面積を大きさに持つ法線ベクトル\(d\overrightarrow{s}=ds\overrightarrow{n}\)と微小面積の射影面積との関係も、図に描いて外積ベクトルとして捉えると見通しがよいです。

法線ベクトルと外積の関係
平行四辺形で考えても本質は同じです。外積を使うと少見通しはよくなります。内積がスカラーであるのに対し、外積はベクトルである事に注意。微小な三角形の面積を外積ベクトルの大きさで表すと、そのベクトルの各成分は微小三角形のyz、xz、xy平面への射影面積になります。

法線ベクトル\(d\overrightarrow{s}\)の成分の符号については、個々の法線ベクトルについて例えば(-1,2,1)といった成分表示となる事からプラスマイナスの符号を持ちます。各成分の「大きさ」については、微小面積のyz平面、xz平面、xy平面への射影面積に等しくなるという事です。

法線ベクトルの成分の符号
法線ベクトルの向きは「閉曲面の裏から表に向かう方向」にとります。その成分は法線ベクトルの具体的な向きによって+か―の符号があります。式で書く場合は、法線ベクトルと軸とのなす角の余弦によって符号を判定します。

積分内の内積の部分については、余弦を使ったほうの内積の定義として書く場合もあります。

$$\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=|\overrightarrow{F}||\overrightarrow{s}|\cos \theta$$

ただし、電磁気学などで法線面積分を考える場合では、特別な形のモデルで最初から考える場合も多いのです。例えば、ベクトル場が曲面に全て垂直であれば公式を使わなくても角度は0とすぐに判断できて、余弦は1になります。

和積・積和・倍角・半角の公式

三角関数の積和の公式、和積の公式、倍角の公式、半角の公式という一連の公式は互いに本質的に異なるものではなく、全て三角関数の加法定理から導出されるものです。
(英:倍角の公式 double-angle formula 半角の公式 half-angle formula)
(和積の公式と積和の公式は、英語では加法定理の一部だと捉えられる事も多いようです。)

★高校数学の中の位置付けだと、まずこれらの公式よりも大事なのは加法定理であると言えます。これらの公式は、じつは加法定理さえ覚えていれはその場で割と簡単に導出が可能であるからです。
これらの和積の公式等を暗記するにしても、まずは加法定理との形との対応から慣れていき、入試問題などを解いて練習しながら覚えていくのがよいと思います。

公式の内容

積和の公式、和積の公式、倍角の公式、半角の公式の内容を順に記すと次のようになります。これらは切り離された別々の公式ではなくて、本質的には加法定理を目的に応じて使いやすいように変形したものです。

積和の公式

次の正弦と余弦の「積」に関する4式を言います。【三角関数の積の形を和にする公式です。】$$\sin A \cos B=\frac{\sin (A+B)+\sin (A-B)}{2}$$ $$\cos A \sin B=\frac{\sin (A+B)-\sin (A-B)}{2}$$ $$\cos A \cos B =\frac{\cos (A+B)+\cos (A-B)}{2}$$ $$\sin A \sin B =-\frac{\cos (A+B)-\cos (A-B)}{2}$$

和積の公式

次の正弦と余弦に関する4式を言います。【三角関数の和や差の形を積にする公式です。】$$\sin C +\sin D =2\sin\left(\frac{C+D}{2}\right)\cos\left(\frac{C-D}{2}\right)$$ $$\sin C -\sin D =2\cos\left(\frac{C+D}{2}\right)\sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$$ $$\cos C +\cos D =2\cos\left(\frac{C+D}{2}\right)\cos\left(\frac{C-D}{2}\right)$$ $$\cos C -\cos D =-2\sin\left(\frac{C+D}{2}\right)\sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$$ 後述しますが、ここで使っているCやDは、加法定理や上記の積和の公式でのAとBを使ってC=A+B, D=A-Bとおいたものです。

倍角の公式

正弦と余弦に関する倍角の公式は次の2式です。 $$\sin 2A=2\sin A\cos A$$ $$\cos 2A=\cos ^2A-\sin ^2A$$ 余弦のほうはcos2A=2cosA-1=1-2sinAとも表せます。
正接の倍角の公式は tan2A=(sin2A)/(cos2A)で計算します。

半角の公式

正弦と余弦に関する半角の公式は次の2式です。 $$\cos A=\pm\sqrt{\frac{1+\cos 2A}{2}}$$ $$\sin A=\pm\sqrt{\frac{1-\cos 2A}{2}}$$ プラスマイナスの符号は角度に応じて適切なほうを選びます。
A=X/2といった置き換えをすると「半角」という事をより明確にもできます。
正接の半角の公式も正弦を余弦で割って計算できます。

ところで、これらの式の数を合計すると12個ありますね。これらを1つ1つ、別々の公式として暗記するのは大変です。そのため、もとになっている加法定理を変形したものであるという見方のほうが勧められます。

公式の導出①
積和の公式、和積の公式、倍角の公式などは、加法定理をもとにして作る公式です。

三角関数の加法定理については証明も含めて別途に詳しく述べていますが、正弦と余弦について結果だけ記すと次のようになります。

加法定理
  1. sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
  2. sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
  3. cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
  4. cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

これらを組み合わせると和積・積和の公式が導出され、角度の1つを置き換えると倍角の公式になります。
半角の公式については倍角の公式を変形して導出する事になります。

証明①:積和の公式

加法定理の4式のうち、正弦同士、余弦同士を見ると、2つの項は符号が違うだけで同じ形をしています。この事を使います。

まず、正弦についての加法定理の2式を加えてみましょう。

sin(A+B)+sin(A-B)=sinAcosB+cosAsinB+sinAcosB-cosAsinB=2sinAcosB

本質的にはこれだけでよくて、和積の公式も積和の公式も、本質的には本来はこの同じ形の関係式です。ただ、三角関数の積を和に直すか、和を積に直すかで少しだけ形を変えて「公式」としているだけです。まず、積和の公式は上記の式の両辺を単純に2で割って、積が和の形になるようにします。

$$\sin A \cos B=\frac{\sin (A+B)+\sin (A-B)}{2}$$

他の3式も、加法定理の2式を加える・2式の差をとる事で導出します。

$$\sin (A+B)-\sin (A-B)=2\cos A \sin B\Leftrightarrow\cos A \sin B=\frac{\sin (A+B)-\sin (A-B)}{2}$$

$$\cos (A+B)+\cos (A-B)=2\cos A \cos B\Leftrightarrow\cos A \cos B =\frac{\cos (A+B)+\cos (A-B)}{2}$$

$$\cos (A+B)-\cos (A-B)=-2\sin A \sin B\Leftrightarrow\sin A \sin B =-\frac{\cos (A+B)-\cos (A-B)}{2}$$

証明②:和積の公式

では、和の形を積に直している和積の公式は、どのように出すのでしょう。

じつは使う式は全く同じで「変数の置き換え」をするのです。

一般的には次のようにします。
まずA+B=C,A-B=Dのようにおき直します。
次にこの2式を加えると 2A=C+D ⇔ A=(C+D)/2
片方からもう片方を引くと2B=C-D ⇔ (C-D)/2 
このようになる事を使って、式を整理して公式としています。

$$\sin (A+B)+\sin (A-B)=2\sin A \cos B においてA=\frac{C+D}{2}, \hspace{5pt}B=\frac{C-D}{2}とおくと$$

$$\sin C +\sin D =2\sin\left(\frac{C+D}{2}\right)\cos\left(\frac{C-D}{2}\right)$$

加法定理の2式の和ではなく「差」をとると、正弦の差を積に直す形の公式が得られます。

$$\sin (A+B)-\sin (A-B)=2\cos A \sin B においてA=\frac{C+D}{2}, \hspace{5pt}B=\frac{C-D}{2}を代入します。$$

$$\sin C -\sin D =2\cos\left(\frac{C+D}{2}\right)\sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$$

余弦のほうについても、加法定理の2式を加える・差をとる事で公式を導出します。まず余弦に関する和積の公式の和の形のほうのものは次のようになります。

$$\cos (A+B)+\cos (A-B)=2\cos A \cos B においてA=\frac{C+D}{2}, \hspace{5pt}B=\frac{C-D}{2}を代入します。$$

$$\cos C +\cos D =2\cos\left(\frac{C+D}{2}\right)\cos\left(\frac{C-D}{2}\right)$$

差の形のほうは次のようになります。

$$\cos (A+B)-\cos (A-B)=2\cos A \cos B においてA=\frac{C+D}{2}, \hspace{5pt}B=\frac{C-D}{2}を代入します。$$

$$\cos C -\cos D =-2\sin\left(\frac{C+D}{2}\right)\sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$$

具体例:
例えば、唐突に sin75°+sin15°の値はいくらかと聞かれたらこの公式を使えば即座に答えは出るという事です。(こういう問いは理解度を試すための問題で、高校数学以外ではあまりやりません。)
(75°+15°)÷2=45° と (75°-15°)÷2=30° の正弦の値を使います。$$\sin 75°+\sin 15°=2(\sin 45°)(\cos 30°)=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$ 加法定理で75°=30°+45°などとして加法定理を使って計算しても結果は同じです。ただ、和積の公式を知っていると多少計算は速く済みます。

証明③:倍角と半角の公式

次に倍角の公式と半角の公式と呼ばれる式の導出方法です。
これらもまた別々のものではなく、本質的には同じ式であるものを変形したものです。

公式の導出②
余弦の半角の公式は余弦の倍角の公式から得ますが、正弦の半角の公式も同様に余弦の倍角の公式から導出されます。

まずは倍角の公式から見ましょう。

sin2A=2sinAcosA という式ですが、
じつはこれは、加法定理で2つの角度についてA=Bとしているだけなのです。
余弦のほうの倍角の公式も、やり方は同じです。

つまり次のようにします。
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB において A=Bとして sin2A=2sinAcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB において A=Bとして cos2A=cosA-sin

余弦のほうは、cosA+sinA=1を使ってcosA=2cosA-1、もしくはcosA=1-2sinAとも表せます。

次に半角の公式の導出です。

このページで紹介している公式のうち半角の公式についてだけは加法定理から直ちには出せず、余弦のほうの倍角の公式を変形する事になります。
(ただし倍角の公式が簡単に出るので、導出に手間はかからないはずです。)

cos2A=2cosA-1 ⇔ cosA=(cos2A+1)/2 から余弦の半角の公式、
cos2A=1-2sinA ⇔ sinA=(cos2A-1)/2 から正弦の半角の公式を得ます。
2乗がありますので、平方根を考える事になります。

$$\cos A=\pm\sqrt{\frac{1+\cos 2A}{2}}$$

$$\sin A=\pm\sqrt{\frac{1-\cos 2A}{2}}$$

平方根をとる時に一般の場合では符号が確定しませんが、具体的に例えばプラスの鋭角に対する「半分の角度」を考えるのであれば、余弦も正弦もプラスのはずなので、プラス符号のほうをとります。

このように倍角・半角の公式もまた、基本は本質的に加法定理によるものであるわけです。加法定理さえ覚えておけば、例えば倍角の公式は暗記しなくても即座に出てきますし、半角の公式で正弦・余弦の公式がともに余弦を使って表される事も理解できて覚えやすいはずなのです。

尚、角度Aに対する3倍の3Aを考えた3倍角の公式、4倍角の公式、・・なども一応存在します。
ただしこれらも同様に、いずれも加法定理から出せる関係式ですので一般的には暗記しなくてもよい場合も多いと思われる事項です。
参考までに、複素数に関するド・モアブルの定理を使うと、そういった三角関数の3倍角の公式などの形を比較的容易に知る事も可能です。

積和の公式や倍角の公式などは、大学入試で直接計算を問われる場合以外には、三角関数に関する積分の計算に使う事が比較的多いように思います。例えば、sinxcosxの原始関数(微分すると対象の関数となる関数)は微分の公式だけからは即座には分かりにくいので、倍角の公式を思い出してこれを (sin 2x)/2の形にして積分の計算をするといったものです。

また、物理学で2つの正弦波の重ね合わせをするときも、和積の公式を知っていると即座に結果を計算できるので便利です。

この手の三角関数の微積分での変形計算は大学入試でも問われるかもしれませんが、大学数学の微積分の一部でも重要である場合があります。ただし繰り返しになりますが、加法定理とこれらの公式の導出の方法の大筋さえ覚えておけば、もし公式を忘れてしまってもすぐにその場で計算できるようになります。

ベクトルと内積【基本事項】

ベクトルの基本事項を説明します。

ベクトルを「何のために学ぶのか」という事はよく言われますが、ここでは物理学で使用する観点から、
なぜ・どのように使われるのかを説明します。
ベクトル単独では無く、「ベクトルの微積分」の考え方が重要になります。

「べクトル」って何?

基本的には、ベクトルとは「方向」と「大きさ」の2つの合わせ持つ量として考えられます。通常の正の実数や自然数などは「大きさ」しか持ちません。
プラスとマイナスを「互いに逆の方向」とみなせば通常の実数等も「互いに逆向きの2つの方向」を持っているとも言えますが、ベクトルは平面や空間のあらゆる向きの方向を考えるわけです。

結論を先に言うと、ベクトルは原点を基準にした座標で表現します。例えば、(1, 1)という座標はベクトルでもあり、平面の直交座標において「斜め右上45°方向の大きさ \(\sqrt{2}\) 」という量を表します。
この時、ベクトルには「いくつかの数の組み合わせ」という意味と、「図形的に方向と大きさを持った量」という両方の意味を同時に持ちます。
図形的に見る場合、方向を持つ事を明確にするために、ただの線では無く「矢印」を用いるのが通例です。

ベクトルは図形的に見れば点と点をつなぐ「矢印」として表されます。ベクトルの矢印の始まりの点を「始点」、矢印の先端の点を「終点」と言います。ベクトルは、座標の成分でも表す事ができます。数学的には、座標成分で表す方法のほうが色々な計算で便利です。ただし、物理でベクトルを用いる場合は、図形的な考察も重要となる場合があります。

原点O(0,0,0)を基準にした時、点A(0,1,1)と点B(-1,-1,0)は、原点から見ると「違う向き」ですね。他方で、原点からの「距離」は等しいですね。(後述しますが、距離は、単純に三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いればよいのです。)

原点を基準にした時、点A(0,1,1)をベクトルと見なす場合は、$$\overrightarrow{OA}$$と書きます。OA の上に「矢印」をつけるわけです。
点Oから点Aに向かう「方向付きの線分」ですよ、というわけです。
また、原点を基準とする事が明らかである場合は、次のようにも書きます。 $$\overrightarrow{a}$$

普通は、\(\overrightarrow{OA}に対して\overrightarrow{a}、\overrightarrow{OB}に対して\overrightarrow{b}\) のようにアルファベットを対応させますが、これは分かり易くするためであって、「このベクトルをこれで表す」と断っておけば、別に対応させなくても構いません。

原点を基準とした時、平面の直交座標(x, y)で表される向きと大きさをもった量を「平面ベクトル」または「2次元ベクトル」と言い、座標を1つ増やした3次元空間の直交座標(x, y, z)で表される向きと大きさをもった量を「空間ベクトル」または「3次元ベクトル」と言います。同様に、n個の数による座標で表された (x1, x2, x3,x4,x5,・・・,xn)を、「n次元ベクトル」と呼びます。

★より数学的に正確には、これらの数の組み合わせに対して、大きさ、加減の演算、内積の定義等が定められているものをベクトルと呼びます。
★相対性理論で用いられる「4元ベクトル」は通常の「4次元ベクトル」とは少し異なっています。4元ベクトルでは4成分あるだけでなく、空間成分と時間成分が混じり合います。
★ベクトルの成分として複素数を考える事もできますが、このページの内容ではベクトルの成分は全て実数であるとします。その事を区別する時、ベクトルの成分が実数であるものを「実ベクトル」、ベクトルの成分が複素数であるベクトルを「複素ベクトル」とも言います。

また、通常の文字に対して、「ボールド体」にする事でベクトルを表す場合もあります。この表記は、慣れてないと通常のスカラー変数なのかベクトルなのか、紛らわしいかもしれません。

  • \(F(x), x, a\) ・・スカラー関数、スカラー変数、スカラー定数(通常の変数)
  • \({\bf F(x), x, a}\) ・・ベクトル関数、ベクトル変数、ベクトル定数(定ベクトル)

★ 関数に関しては、変数はスカラーで関数はベクトルであるとか、変数がベクトル(つまり複数の成分で決まる)で関数がスカラーという場合もあり得ます。

このページでは、ベクトルは全て矢印表記で表します。(他のページで、ベクトルのボールド体表記をする場合は、最初にその事を明示します。)

ベクトルの大きさ(長さ) = 2点間の距離 !

原点を基準とした時の、
平面ベクトル\(\overrightarrow{A} = (x, y)\)  と空間ベクトル \(\overrightarrow{B} = (x, y, z)\)の大きさは、位置座標として見た時の原点からの距離であり、 絶対値記号を付けて\(|\overrightarrow{A}|, |\overrightarrow{B}|\) で表します。 $$|\overrightarrow{A}| = \sqrt{x^2+ y^2}$$ $$|\overrightarrow{B} | = \sqrt{x^2+ y^2+z^2}$$ また、一般のn次元のベクトル \(\overrightarrow{X_n} = (x_1, x_2, x_3,x_4,x_5\cdots,x_n)\) の大きさも定義されます。 $$|\overrightarrow{X_n}| = \sqrt{x_1^2+ x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+\cdots+x_n^2}$$ この定義のもとでは、任意のn次元のベクトルに対して一般化された「三角不等式」が数学的に成立します。
(この一般のベクトルに対する大きさの定義は「距離」の定義の1つであり、別の定義の仕方も存在します。その場合、大きさの事を「ノルム」と呼ぶ事があります。)

ベクトルの大きさの定義は、初歩的な平面幾何の定理をもとになされています。
もっとも、ベクトルの成分が4つ以上の場合にはベクトルの大きさはあくまで「新たに定義するもの」という事になります。ベクトルの大きさの考え方も、ベクトルの微積分で用います。ベクトルを微分したあとで大きさを考える事があるためです。

原点を基準としないベクトルも考える事ができます。ただし、その場合のベクトルは、「別基準点を新しい原点とみなした場合のベクトル」に等しいものと定義します。この事を、ベクトルは「平行移動」が可能であると言います。

ベクトル同士の加算は、単に成分同士を加えればよいというものです。減算も同じようにします。例えば、(1,0,2)+( -2,1,2) = (1-2,0+1,2+2)=(-1,1,4)です。これは、図形で言うと矢印を結び合わせて、最初の始点と最後の終点を結んだ新しい矢印を考える事に相当します。物理で重要な事は、2つの方向への力同士の「合力」は、このベクトルの加算・減算によって計算すればうまく行く事が実験で確かめられているという事です。運動方程式により加速度は力に比例しますから、加速度の加減乗除もベクトルで行う事ができます。(また、速度に関しても同じようにベクトルで考えて良い事になります。)

ベクトルの内積

ベクトルのもうひとつ重要な計算規則として、「内積」があります。これは各成分同士の積を加え合わせるというもので、数学的には何次元のベクトルでも定義する事ができます。

この内積の計算も、物理で使います。 しかも理論的に結構重要です。 具体的には、仕事とエネルギーという、物理や工学の基礎となる理論の形成に用います。ベクトルの微積分にも直接関わるので、このページで後述します。

ベクトルの内積の定義 2つのベクトルの「『各成分の積』の和」を内積と言います。記号は、「・(ドット)」を用いて、\(\overrightarrow{A}・\overrightarrow{B}\) のように書きます。 $$2次元:\overrightarrow{A}・\overrightarrow{B}=a_1b_1+a_2b_2 $$ $$3次元:\overrightarrow{A}・\overrightarrow{B}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 $$ $$n次元:\overrightarrow{A}・\overrightarrow{B}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+a_4b_4+\cdots+a_nb_n $$ $$=\sum_{j=1}^n a_jb_j$$ ★ ベクトルの内積は、スカラー量です。つまり通常の実数などの値になります。
★ ベクトルの内積は、必ず2つのベクトルについて計算されるもので、3つ以上のベクトルの内積というのは考えません。
★ 数学的には、じつは内積はもっと抽象的ないくつかの演算条件を満たす計算であると定義されますが、このページの内容にはあまり関係ないので記載は省略します。

内積の計算を行う事を、習慣的に「内積をとる」という表現で表す事も多いです。
内積は必ず2つのベクトルに対して考えるものですが、内積自体は「スカラー量」であるという事は、理論が色々と複雑になってくる時に重要になってきます。

ベクトルの内積の表し方は2つの方法がありますが、物理で使う時は両方の表し方が重要です。平面や空間での図形的な考察をする時は余弦 cosθ を用いる表し方が重要であり、式変形や計算を進める時は成分による表し方を用いる事が多いです。このページでは、後半で「仕事とエネルギー」の関係が、内積とベクトルの微積分によって導出される過程を詳しく見ます。

2次元の平面ベクトルや3次元の空間ベクトルの場合、余弦定理を使う事によって内積は図形的な意味も持つようになります。物理では、こちらの形式での内積の表現も結構重要です。
具体的には、内積が2つのベクトルの大きさと「なす角の余弦」の積に必ず等しくなります。平面や空間において、物理で内積が重要になるのは、この図形的な意味によるところが大きい場合が多いのです。

ベクトルの内積の別の表現 $$2次元:\overrightarrow{A}・\overrightarrow{B}=a_1b_1+a_2b_2=|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{B}|\cos \theta $$ $$3次元:\overrightarrow{A}・\overrightarrow{B}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{B}|\cos \theta $$ ★ n次元の場合でも新たに「角度」とその余弦を(半ば無理やりに)定義すれば同じ事が言えますが、その事は必ずしも重要ではないのでここでは記さないでおきます。

内積の成分による表し方と、余弦を使った表し方が「同じ値」になるという事は、もちろん自明ではありません。証明は難しくないので、記しておきます。余弦定理を用いて余弦を成分で表現すれば証明できます。
余弦定理は、鋭角・鈍角三角形の辺の長さの関係を三平方の定理によって表現する事で得ます。)

証明:内積の2つの表し方は同じものである

\(|\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}|=c\)とします。
これは2つのベクトルが作る三角形の斜辺です。
余弦定理(任意の角度で成立)により、
$$c^2=|\overrightarrow{A}|^2+|\overrightarrow{B}|^2-2|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{B}|\cos \theta$$ $$\Leftrightarrow |\overrightarrow{A}||\overrightarrow{B}|\cos \theta=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{A}|^2+|\overrightarrow{B}|^2-c^2)$$ ですので、余弦をつかったほうの内積は次のように表せるわけです。 $$\overrightarrow{A}・\overrightarrow{B} =|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{B}|\cos \theta =\frac{1}{2}(|\overrightarrow{A}|^2+|\overrightarrow{B}|^2-c^2)$$ $$=\frac{1}{2}\left\{(a_1^2+a_2^2+a_3^2)+(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-(a_1-b_1)^2-(a_2-b_2)^2-(a_3-b_3)^2\right\}$$ $$=\frac{1}{2}(2a_1b_1+2a_2b_2+2a_3b_3)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3【証明終】$$ 途中で成分がたくさん出てきますが、2乗の項は+-を差し引いて全て消えてしまうので、成分同士を乗じたものの和になるという結果が得られるわけです。

また、3次元ベクトルの独特な計算規則として、「外積」があります。この計算は、数学の解析学の理論的な観点よりも、むしろ物理での応用のほうが重要とも言えるかもしれないですね。角運動量を論じる時や電磁気学で用いたりします。3次元的な直交する方向同士の関係を適切に表すために有効な計算方法です。

ベクトルの外積について、定義だけ簡単に記します。
2つのベクトル\(\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}\) の外積 \(\overrightarrow{A}×\overrightarrow{B}\) は、次のような3次元空間のベクトルとして定義されます。

  • 大きさは、\(\overrightarrow{A}と\overrightarrow{B}\) が作る「平行四辺形の面積」
  • 向きは、\(\overrightarrow{A}と\overrightarrow{B}\) の両方に垂直で、\(\overrightarrow{A}から\overrightarrow{B}\)に(180°以下の角度の方向に)向かって右ねじを回した時に、ねじ回しが向いている方向

外積の「向き」については、文章だとちょっと分かりにくいと思いますが、要は、1つの平面に対して垂直な向きは2方向考えられるのですが、そのうちの1方向だけを必ず指定できるようにするためにこのような定義をしています。


この外積の考え方は、基本的に高校では使わないので高校生の人は覚える必要はありません。また、物理学を学ぶ時にはベクトルの外積は非常に重要ですが、他の工学等を学ぶ場合にはそれほど重要でないという場合もあります。
これはなぜかというと、物理学で外積を使う主な理由は角運動量や電磁気力の位置関係を3次元的に捉えるのに有効な計算方法であるためで、言い換えるとそれらを扱わない場合にはそれほど多く使う計算ではないためです。

偏微分の応用の例:位置エネルギーと保存力の関係

合成関数に関する偏微分の公式の物理での使用例を、ここでは1つ述べます。

★ このページではベクトル解析で使用する「勾配」という考え方を使用します。
これは、多変数関数(多変数のスカラー関数)に対する偏微分によって表されるものです。

保存力の力ベクトルは、位置エネルギーの勾配ベクトルで表せる

先に結論の式を書きますと、力が「保存力」である場合に、位置エネルギーのxでの偏微分をx成分、yでの偏微分をy成分、zでの偏微分をz成分に持つベクトルは、保存力の力ベクトルに等しいという関係式があります。【※保存力で無い場合は成立しませんので注意。】

保存力の力ベクトルは、位置エネルギーの勾配ベクトルで表せる

まず、「位置エネルギー」(あるいはポテンシャルエネルギー)U(x,y,z) を次のように定義します。これはベクトルでは無く、スカラー関数です。 $$\large U(x,y,z)=-\int_{\overrightarrow{R_O}}^{\overrightarrow{R}}\overrightarrow{F}(x,y,z)\cdot d\overrightarrow{r}$$ $$\large \mathrm{grad} U(x,y,z)=\left(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y},\frac{\partial U}{\partial z}\right)$$ 力ベクトル F(x,y,z) が保存力である場合、次式が成立します:$$\large -\mathrm{grad} U(x,y,z)=\overrightarrow{F}(x,y,z) $$

★ プラスマイナスの符号の関係が、ちょっとごちゃごちゃするので注意。

「勾配」grad (または∇「ナブラ」)については、詳しくはベクトル解析という分野で説明されます。

この関係式は、古典力学の理論としては仕事とエネルギーの関係の話の延長線上にあります。

これは要するに数学的には、
「接線線積分の形の多変数関数の勾配ベクトルは、もとのベクトル関数と同じ形になる」
という事を言っています。通常の不定積分(あるいは積分区間に変数が入った定積分)は、通常の微分を考える事で元の関数に戻るという「微積分学の基本定理」がありました。それと似た形の式という事になります。

この関係式の証明のポイントは、合成関数の偏微分公式です。
ベクトルの内積の計算も直接的に関わります。

\(-\mathrm{gradU(x,y,z)}= \overrightarrow{F}(x,y,z)\) の証明

まず通常の微積分学の基本定理を用いたうえで、ベクトルの内積と合成関数の 偏微分の公式をうまくかみ合わせます。

位置座標は全て「物体の位置」であるとして、位置座標に対応する時間成分tを考えます。
力ベクトルの成分についても同様に tの関数であると考えます。

$$\large \overrightarrow{F}(t)=(F_X(t),F_Y(t),F_Z(t))$$

$$\large 点\overrightarrow{R} での時刻をt、点\overrightarrow{R_O} での時刻を t_O とします。$$

最初のステップ $$\large -U(x,y,z)=\int_{ \overrightarrow{R_O}}^{\overrightarrow{R}} \overrightarrow {F} (x,y,z) \cdot d\overrightarrow{r}=\int_{t_O}^{t} \overrightarrow {F} (\tau) \cdot \frac{d \overrightarrow{r} }{d\tau}d\tau$$ $$\large =\int_{t_O}^{t}F_X(\tau) \frac{dx}{d\tau} d \tau + \int_{t_O}^{t}F_Y(\tau) \frac{dy}{d \tau } d \tau + \int_{t_O}^{t} F_Z(\tau) \frac{dz}{d \tau } d \tau $$ $$★ 時間についての積分変数の表記はt → \tau (タウ)に変えています。$$

Uの定義(力学での定義です)にマイナス符号があるので、
ここでは最初から「-U」を考えて、積分での表記をプラス符号で考えています。

★ 後述しますが、力が「保存力」であるという条件がないと、じつはまずこの式変形ができません。なぜかというと一般の接線線積分は、2つの端点だけでなく、その2点を結ぶ経路によって値が変わってしまうからです。力が保存力であるという条件は、この値が経路によらず一定の値であるとしてよいという条件です。

★ 古典力学の理論の中では、もともとは一般の力に対して時間で表したほうの式が先にあって、次に「保存力」という位置座標のみで決定するものを考えます。

★ 積分区間にベクトルが入っている部分は、次の意味になります。 $$\large \int_{ \overrightarrow{R_O} }^{\overrightarrow{R}} \overrightarrow {F} (x,y,z) \cdot{d\overrightarrow{r}} $$ $$\large =\int_{x_O}^{x}F_X(x,y,z)dx+ \int_{y_O}^{y}F_Y(x,y,z)dy+ \int_{z_O}^{z}F_Z(x,y,z)dz $$ $$\large \overrightarrow {F}=(F_X,F_Y,F_Z),\hspace{10pt}\overrightarrow{R_O}=(x_O,y_O,z_O),\hspace{10pt}\overrightarrow{R}=(x,y,z)$$ dx の部分は x に関してだけ積分し、yやzは定数同様に扱います。つまり、偏微分と同じような考え方をするわけです。この場合の微積分学の基本定理は、積分と「偏微分」との関係になります。

次に、時間成分tで U(x,y,z) = U(x(t), y(t), z(t)) を微分します。
内積計算で3つの項の和にした部分は共通の積分変数tでの積分になっているので、通常の微積分学の基本定理がそのまま使えます。

この時、積分する対象として $$\large F_X(t) \frac{dx}{dt}$$ を1つの関数と捉える事がポイントです。
積分中の表記では$$\large {F_X( \tau ) \frac{dx}{d\tau}}$$ にしています。

成立する式:その①

$$\large\frac{dU}{dt}= \frac{d}{dt}\left(\int_{t_O}^{t}F_X( \tau ) \frac{dx}{d\tau} d \tau + \int_{t_O}^{t}F_Y( \tau ) \frac{dy}{d \tau } d \tau + \int_{t_O}^{t} F_Z( \tau ) \frac{dz}{d \tau } d \tau \right)$$

$$\large = F_X(t) \frac{dx}{dt} + F_Y(t) \frac{dy}{dt} + F_Z(t) \frac{dz}{dt}=\overrightarrow{F}(x,y,z)\cdot \frac{ d\overrightarrow {R}}{dt} $$

他方で、合成関数の偏微分公式を使うと U の時間微分の計算を別途に表現できるのです。
この場合、多変数 x、y、z が1つだけの変数tの合成関数になっているという事なので、表記としては$$\large \frac{\partial U}{\partial t}=\frac{dU}{dt}です。$$

ただし、もとの関数が U(x,y,z) という多変数関数なので、偏微分のほうの合成関数の微分公式を使う点に注意しましょう。

成立する式:その②

$$\large \frac{\partial U}{\partial t}=\frac{dU}{dt}= \frac{\partial U}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t}+ \frac{\partial U}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial U}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial t} $$ $$\large = \frac{\partial U}{\partial x} \frac{dx}{dt}+ \frac{\partial U}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial U}{\partial z} \frac{dz}{dt} =(\mathrm{gradU})\cdot \left( \frac{ d\overrightarrow {R}}{dt}\right) $$

最後の結果は「Uの勾配ベクトル」と「速度ベクトル」との内積です。
内積はスカラーであり、勾配はスカラー関数をベクトルの関数変換する演算である事を意識すると分かりやすいと思います。

同じものを2通りの数式で表せる事になるので、等号で結ぶ事ができます。
これによって、次の関係式が成立する事になります。

$$\large – \overrightarrow{F}(x,y,z)\cdot \frac{ d\overrightarrow {R}}{dt} = \mathrm{gradU}\cdot \frac{ d\overrightarrow {R}}{dt} $$

$$これは、\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow {C} = \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow {C} という関係になっています。 $$

これが証明の根拠になるわけですが、数学的には
\(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow {C} = \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow {C} \) から直ちに\(\overrightarrow{A}= \overrightarrow{B}\) とは言えない事には注意しましょう。
そうならない場合もあるのです。
しかし、この場合は \(\overrightarrow {R}\) が特定の座標点では無くて「任意の座標点」です
特定の点だけではなく、どんな座標の点を考えたとしてもこの関係式は成り立つ、という意味です。
ですから、\(\overrightarrow {R}\) に対して内積をとると等しい値になる2つのベクトル\(– \overrightarrow{F}(x,y,z)と\mathrm{gradU(x,y,z)}\) は、全く同じ関数でなければならないのです。

$$ つまり 、- \overrightarrow{F}(x,y,z)\cdot \frac{ d\overrightarrow {R}}{dt} = \mathrm{gradU}\cdot \frac{ d\overrightarrow {R}}{dt} かつ 「\overrightarrow {R} は任意の(実)ベクトル」なので、$$

$$-\overrightarrow{F}(x,y,z)=\mathrm{gradU}(x,y,z)\Leftrightarrow -\mathrm{gradU}(x,y,z)= \overrightarrow{F}(x,y,z) という事です。【証明終り】$$

「保存力」の物理的な意味

保存力とは力がなす仕事が経路に依存せず、始点と終点の位置だけに依存する力を言います。これは結構強い条件が課されている事になりますが、万有引力、重力(地表面での万有引力を近似したもの)、ばねの力、クーロン力などは保存力になるので、物理の理論の中では結構使い物になります。

逆に、保存力でない力の簡単な例は摩擦力などです。

一般の力ベクトルに対しては、少しだけ上述でも触れましたが、
次の形の時間変数による積分が先にあります。

$$\large T(t)-T(t_O)=\int_{t_O}^{t} \overrightarrow {F} (\tau) \cdot \frac{d \overrightarrow{r} }{d\tau}d\tau$$

ここで、1変数の通常の積分であれば積分変数をtからxに変換できます。

しかし、この場合は「接線線積分」なので、経路は1通りでは無く様々なものがあるのです。

経路によって値が異なりますから、同じ値の定積分になるという意味での積分変数の変換は無条件にはできない・・という事です。

ベクトルに対する一般の接線線積分の場合、値が始点と終点だけでは決定しないので次のように表記します:

$$一般の接線線積分の表記:\int_C \overrightarrow {F} \cdot d \overrightarrow {r}\hspace{10pt}Cは特定の関数で表される経路 $$

ここで、経路によらず「経路の始点と終点だけをしていれば値が定まる」という条件をつけると、もちろん数学的な扱いは簡単になります。
そのような条件がつけられた種類の力が保存力であり、上記のように具体的に当てはまる力も存在するというわけです。

保存力がなす仕事の値(仕事量)は始点と終点の位置だけで決まります。これを「位置エネルギー」あるいは「ポテンシャルエネルギー」などと呼びます。
これは運動エネルギーに対する用語です。位置エネルギーと運動エネルギーの合計を、力学的エネルギーと呼びます。
尚、保存力ではない摩擦力などの力に対しては、位置エネルギーは考えないのです。

これを数学的に取り扱った場合、上述いたしましたように、合成関数に対する偏微分の公式などが重要な役割を担っているというわけです。

ベクトル解析と勾配・回転・発散・・grad, rot, div

このページでは、電磁気学などで使われる「ベクトル解析」という数学の分野について説明します。
その中でも特に、勾配・発散・回転と呼ばれるものについての説明を行います。

これは「ベクトルの微積分・力学での応用」の延長線上にある理論です。純粋数学よりも、応用数学の色彩の濃い微積分学の分野になります。(もちろん、純粋数学的・解析学的に考察する事も可能です。)

★ このページは大学数学の微積分学の入門講座の10回目です。

★ このページで述べる理論では偏微分を使います。
力学での勾配についての1つの応用例も、そこで詳しく述べてあります。(これは電磁気学でも使えます。)

スカラー関数の変数が特に位置座標である事を強調する場合には「スカラー場」と言う事もあります。このページではスカラー場という名称を使います。

はじめに:「場」という考え方とベクトル解析

勾配(grad)、発散(div)、回転(rot)は「スカラー場」や「ベクトル場」というものに対して考えます。それらはいずれもスカラーやベクトルの仲間なのですが、特にどのようなスカラーやベクトルをそのように呼ぶのかを最初に述べておきます。

ベクトル場
スカラー場
電磁気学でのベクトル場とスカラー場の例 

ベクトル場

てきとうな電荷があって、まわりに別の電荷を持ってくると、電荷同士に力が働きます。この時に、後から持ってきたほうの電荷を置く場所によって働く力が変わってきます。これは数式で表すと、電荷が受ける力が座標上の点ごとに異なると考える事もできて、力を座標変数の関数で表されたベクトルで表せます。このように表されるベクトルを、「ベクトル場」と呼びます。ベクトル場の各成分は、座標成分による多変数関数になっています。(必要に応じて時間変化もするとして時間成分も加えます。)

このようなベクトル場の微積分を扱う数学の分野をベクトル解析と呼んだりします。後述するスカラー場の微積分も合わせて考えます(スカラーをベクトルに変換する操作などが含まれます) 。

★ ベクトル場の事を「ベクトル界」と言う事もあります。ベクトル界という呼び方は工学系で使われる事が多いとも言われますが、基準はありません。しかしこのサイトでは、一貫して「ベクトル場」と呼ぶ事にします。「場(field)」という語は単独でも使う事があるのに対して『界』という語は単独では普通は使わない事などは、ちょっとした理由の1つです。

「ベクトル場」の意味

x, y, z の直交座標上で、
次のように各成分が x, y, z の関数として表される空間ベクトルを「ベクトル場」と呼びます: $$\overrightarrow {F}(x,y,z)=(\hspace{3pt}F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z)\hspace{3pt})$$ $$ベクトルの各成分\hspace{3pt}F_1(x,y,z)などは、x,y,z の多変数関数(スカラー関数)$$ 平面ベクトルで考えたとしても、成分が1つ減るだけで同様にベクトル場を考える事ができます。4成分以上の場合も理論的には考える事は可能ですが、普通はあまり考えません。ここでは基本的に3成分の空間ベクトルのベクトル場を考えます。

ベクトル場自体は多変数関数を成分とする「ベクトル」とも言えるので、上記の形が「ベクトル場の『定義』」であるというよりは、ベクトルのうち「このような形で表されるものを特にベクトル場と呼ぶ」という感じだと言えます。

物体の軌道をベクトルで表す時に、物体の位置座標を「時間の関数」として表す方法があったわけですが、それとの違いは、成分となる関数の変数に「座標成分が含まれている」という事です。

$$\overrightarrow {X}(t)=(x(t),y(t),z(t)) といったベクトルとは少し区別されるのです。$$

2つの電荷プラス同士であれば反発し、プラスとマイナスであれば引き合います。
向きは2つの電荷を結ぶ直線に沿い、遠くに離れるほど力の大きさは弱くなります。
「電荷に働く力を「場」として見る場合は「電場」と呼びます。

スカラー場

もう1つ、ベクトル解析では「スカラー場」というものも考えて、ベクトル場との使い分けを上手に行う事が理解のポイントになっていきます。

スカラー場とは、数式的には座標成分 x, y, z を変数とする多変数関数の事です。意味としては何ら難しくないのですが、電磁気学等の理論ではベクトル場と入り乱れる形で使われるので、物理の理論の中では慣れないと少し難しく感じると思います。

「スカラー場」の意味

x, y, z の直交座標上で、
次のように x, y, z の関数として表される多変数関数を「スカラー場」と呼びます: $$\phi= \phi (x,y,z)$$ 記号はここでは「\(\phi\)ファイ」を用いていますが、別に何でも構いません。 これは数学的に見れば通常の多変数関数であって、これをスカラー場と呼ぶのは基本的には x, y, z が空間上の直交座標の成分である事が明確であって物理等で用いられる場合、特にベクトル場と区別する場合です。

電磁気学でのベクトル場とスカラー場の例

+1[C] の電荷をある場所に置いたときに、その電荷が受ける力ベクトルを位置座標の関数で表したものはベクトル場であり、特に電場と呼びます。電気だけでなく磁気についても同じ考え方ができます。磁気の場合は単独の「磁荷」は存在しないと言われていますが、仮想的に単独の「磁荷」を考えて、磁荷が受ける力のベクトル場の事を磁場と呼びます。

電磁気学では、これを総称して電磁場と呼んだりもします。磁場は電流によって作られ、電流を生じさせる電圧(起電力)は磁場の変化によって作られるという関係が知られています。電磁気学は、観測によって得られたそれらの関係を定量的に表せるように数式で整理する物理学の分野です。

ベクトル場の具体例として、+1[C] の電荷のまわりの電場は次のように表せます(その付近に、別の+1[C] の電荷を持ってくると考えます。k は比例定数です。 ):

$$\overrightarrow {E}(x,y,z)=\left(\frac{kx}{r^3}, \frac{ky}{r^3}, \frac{kz}{r^3} \right)= \left (\frac{kx}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}, \frac{ky}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}, \frac{kz}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \right )$$

$$r= \sqrt{x^2+y^2+z^2} = (x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}の関係で処理しています。 \frac{kx}{r^3} =\frac{k}{r^2}\cdot \frac{x}{r}という事です。 $$

$$詳細は別途に記しますが、ここでの電場の「大きさ」は| \overrightarrow {E} |=\frac{k}{r^2}になります。$$

ただし、このように具体的な座標成分で記すと計算が面倒なので、大枠となる理論ではベクトル場という事だけ踏まえて数式的な処理を加えていく事が行われます。個々の具体的な事例の考察では具体的な関数にして考えたりします。

このようなベクトル場である電場に対して、ある位置での+1[C]の電荷が持つ事になる位置エネルギー(または「ポテンシャル」)を電位と言います。これは日常でもよく耳にすると思われる電圧と本質的には同じものです。電位は、ベクトルでは無く、スカラー場になります。つまり、x, y, z という3つの変数によって決まる1つの値が決まるという3変数関数になります。

$$「電位」V(x,y,z) はべクトル場ではなく、スカラー場です。$$

これらのベクトル場やスカラー場の微積分を考えられる時に使われるのが、次に記す「勾配」「発散」「回転」というものです。

ベクトル場の発散(div)と回転(rot)、スカラー場の勾配(grad)

ではここで、ベクトル解析で重要な 勾配、発散、回転 と呼ばれるものの説明をします。

div, rot, grad ・・定義と考え方
図形的にはどのような意味を持つ?

※ここでの「発散」は、「無限大に発散」という意味ではなく、また別のものです。少々分かりにくいかもしれませんが、同じ用語を使う習慣があります。
※「回転」は「循環」と呼ばれる場合もあります。

勾配、発散、回転の定義には偏微分を用います。
ベクトル場、スカラー場ともに多変数関数である事が直接的に関わっています。

div, rot, grad ・・定義と考え方

あるベクトル場 \(\overrightarrow {F}\) があったとき、それに対する発散、回転を考える事になります。(成分が x, y, z の関数になっていない通常の「ベクトル」に対しては基本的に考えないので注意。)

他方、勾配についてはスカラー場に対して定義します。

$$ベクトル場\overrightarrow {F}(x,y,z)に対して、発散:\mathrm{div} \overrightarrow {F},\hspace{10pt} 回転:\mathrm{rot} \overrightarrow {F},\hspace{10pt} を定義します。$$

$$また、スカラー場\phi (x,y,z)に対して、 勾配:\mathrm{grad} \phi ,\hspace{10pt} を定義します。$$

定義
勾配(gradient)【グレディエント】
  • スカラー場 \(\phi (x,y,z)\)に対して次のベクトル(関数)を勾配(勾配ベクトル)と呼びます。
    $$\mathrm{grad} \phi=\left(\frac{\partial \phi}{\partial x},\frac{\partial \phi}{\partial y},\frac{\partial \phi}{\partial z}\right)$$
  • \(\mathrm{grad}\phiの代わりに\nabla \phi とも書きます。\)
発散(divergence)【ダイヴァージェンス】
  • ベクトル場 \(\overrightarrow {F}(x,y,z)=(F_1,F_2,F_3)\) に対する次のスカラー(関数)を発散と呼びます。
    $$\mathrm{div} \overrightarrow {F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}$$
  • \(\mathrm{div}\overrightarrow {A}の代わりに\nabla \cdot \overrightarrow {A} とも書きます。\)
    \((F_1,F_2,F_3)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))\) です。
回転(rotation,curl)【ローテイション、カール】(あるいは「循環」)
  • ベクトル場 \(\overrightarrow {F}(x,y,z)=(F_1,F_2,F_3)\) に対する次のベクトル(関数)を回転と呼びます。$$\mathrm{rot} \overrightarrow {A}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}, \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}, \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)$$
  • \(\mathrm{rot}\overrightarrow {A}の代わりに\mathrm{curl}\overrightarrow {A}、あるいは\nabla × \overrightarrow {A} とも書きます。\)

★ 見ての通り、いずれも偏微分を用いて定義されます。
偏微分とは、1つの変数だけに着目し、他の変数は定数扱いにして微分操作を行う演算です。
★ \(\nabla \cdot \overrightarrow {A},\nabla × \overrightarrow {A}\) という表記については、これらの定義による式の形がベクトルの内積や外積の計算規則と似ている事からそのようにも書く習慣があります。
★ 勾配・発散・回転自体も x, y, z を変数とするベクトルや実関数ですからベクトル場とスカラー場という事になりますが、勾配・発散・回転自体に対してはあまり「場」とは言わない事が多いです。

このように定義した時、
勾配と回転はベクトルであり、発散はスカラーである事に、少し注意してみてください。

同時に、勾配を考える対象はスカラー場であり、
発散と回転を考える対象はベクトル場であるわけです。少し整理しましょう。

対象の関数 勾配・発散・回転 ベクトル・スカラーの区別
スカラー場\(\phi (x,y,z)\) \(\mathrm{grad}\phi \) 勾配:ベクトル(成分は関数)
ベクトル場 \(\overrightarrow {F}(x,y,z)\) \(\mathrm{div}\overrightarrow {F}\) 発散:スカラー(関数)
ベクトル場 \(\overrightarrow {F}(x,y,z)\) \(\mathrm{rot}\overrightarrow {F}\) 回転:ベクトル(成分は関数)

★ 尚、発散と回転については、上記で定義した数式を「積分した形」を発散および回転と呼ぶ場合もありますが、このサイトでは一貫して上記の形の定義を用いる事にします。

図形的にはどのような意味を持つ?

こういった色々見慣れない記号をなぜ考えるのか?という話にもなるかと思いますが、これらに関しては基本的に「3次元の空間」の中のベクトルの理論ですので、図形的を持っている事が理解の1つのポイントです。

まず勾配については、偏微分を考えている事に注目すると、あるスカラー場が x方向、y方向、z方向に対して、その向きだけの変化率をベクトルで表したものになります。

次に、ベクトル場の発散についてです。これは位置が微小変化した時に、特定の量が全体として「周りからどれだけ出入りするか」の変化率を表します。単位体積から出入りする流量(※1)を表すとも言えます。
ベクトル場の発散に体積要素(dv = dxdydz)を掛け算すると、微小な領域に出入りする流量を表します。発散を面積分と重積分(※2) を結びつける公式(発散定理、ガウスの定理)もあり、それも物理で重要です。

(※1)もう少し詳しく言いますと、電磁気学の理論の一部は、流体力学の理論とのアナロジー(類似性)から類推して組み立てられています。「流量」とは流体力学で使われる用語であり、ある断面を1秒間あたりに通過する流体の体積を表します。
(※2)この場合、dv = dxdydz を考えるので体積積分とも言います)

回転については、定義式からは少し分かり辛いと思いますが、じつはこれを積分(「法線面積分」という種類の積分)をした時に文字通りの意味を表します。公式(「ストークスの定理」)を用いる事で、あるベクトル場の回転の面積分は、そのベクトル場に対して閉曲線を1周するように接線線積分したものに等しくなるのです。ベクトル場の回転は流体力学では「渦」を表現するのに使い、電磁気学などの領域でも使用します。

これらの図形的な意味を捉える時は、積分を考える必要がある場合もあります。

勾配・発散・回転に関するいくつかの公式

最後に、いくつかの公式について紹介をしておきましょう。

勾配・発散・回転の公式①:色々な組み合わせによる関係式
勾配・発散・回転の公式②:積分を含む公式 

勾配・発散・回転の公式①:色々な組み合わせによる関係式

ベクトル場の勾配・発散・回転を使ってどういう理論が展開されるのかを軽く見るために、いくつかの公式を挙げてみます。これらは、一般的には暗記するほど重要ではないと思いますが、簡単なものや特徴的なものは知っておくと物理学全般を学ぶ時に便利です。

勾配・発散・回転のいくつかの公式

\(\phi\) などはスカラー場、\(\overrightarrow {F}\) などはベクトル場であるとします。

  1. \(\mathrm{grad}(\phi_1\phi_2)=\phi_1(\mathrm{grad}\phi_2)+\phi_2(\mathrm{grad}\phi_1)\)
  2. \(\mathrm{div}(\phi\overrightarrow {F})=\mathrm{div}(\overrightarrow {F}\cdot \mathrm{grad}\phi)+\phi\mathrm{div}\overrightarrow {F}\)
  3. \(\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\phi)=0\)
  4. \(\mathrm{div}(\mathrm{rot}\overrightarrow {F})=0\)
  5. \(\mathrm{rot}(\mathrm{rot}\overrightarrow {F})=\mathrm{grad}(\mathrm{div}\overrightarrow {F})-\left(\frac{\partial ^2F_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F_2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 F_3}{\partial z^2}\right)\)

\(\phi_1\phi_2\) は2つのスカラー場の積(普通の掛け算)であり、\(\phi\overrightarrow {F}\) はベクトル場の各成分に(同一の)スカラー場を掛け算したものです。\(\overrightarrow {F}\cdot \mathrm{grad}\phi\) は、内積です。
電磁気学の理論では、3番目と4番目の関係は特に重要です。
5番目の形の式は、回転はベクトル場から別のベクトル(場)を作る操作であるために考える事ができる点に注意。(勾配や発散では同じような事はできません。)

これらの公式の証明は、基本的には定義に直接当てはめて、積の微分公式などの基本公式を使って丁寧に計算する事で得られます。例えば、1番目の公式は各成分ごとに積の微分公式を使うだけです。
(偏微分の場合も通常の微分の場合と同じ形の積の微分公式が成立します。)

$$\mathrm{grad}(\phi_1\phi_2)=\left(\frac{\partial (\phi_1\phi_2) }{\partial x},\frac{\partial (\phi_1\phi_2) }{\partial y},\frac{\partial \ (\phi_1\phi_2) }{\partial z}\right)$$

$$= \left( \phi_1 \frac{\partial \phi_2}{\partial x}+ \phi_2 \frac{\partial \phi_1}{\partial x} , \phi_1 \frac{\partial \phi_2}{\partial y}+ \phi_2 \frac{\partial \phi_1 }{\partial y} , \phi_1 \frac{\partial \phi_2 }{\partial z}+ \phi_2 \frac{\partial \phi_1 }{\partial z} \right) $$

$$= \left( \phi_1 \frac{\partial \phi_2}{\partial x} , \phi_1 \frac{\partial \phi_2}{\partial y} , \phi_1 \frac{\partial \phi_2 }{\partial z}\right) + \left(\phi_2 \frac{\partial \phi_1}{\partial x} , \phi_2 \frac{\partial \phi_1 }{\partial y}, \phi_2 \frac{\partial \phi_1 }{\partial z} \right) $$

$$=\phi_1(\mathrm{grad}\phi_2)+\phi_2(\mathrm{grad}\phi_1)【1番目の公式の証明終り】$$

2番目の公式も、積の微分公式を用いるだけです。

$$\mathrm{div}(\phi\overrightarrow {F})=\frac{\partial (\phi F_1)}{\partial x}+\frac{\partial (\phi F_2)}{\partial y}+\frac{\partial (\phi F_3)}{\partial z} $$

$$ = \left( \phi \frac{\partial F_1}{\partial x}+ F_1 \frac{\partial \phi }{\partial x} \right) + \left( \phi \frac{\partial F_2}{\partial y}+ F_2 \frac{\partial \phi }{\partial y} \right) + \left( \phi \frac{\partial F_3}{\partial z} +F_3 \frac{\partial \phi }{\partial z} \right) $$

$$ = \phi \left( \frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+ \frac{\partial F_3}{\partial z}\right) + F_1 \frac{\partial \phi }{\partial x} + F_2 \frac{\partial \phi }{\partial y} + F_3 \frac{\partial \phi }{\partial z} $$

$$= \phi \mathrm{div} \overrightarrow {F}+ \overrightarrow {F} \cdot \mathrm{grad}\phi 【2番目の公式の証明終り】 $$

3番目と4番目の式は、2つの変数で続けて偏微分を行う時には偏微分の順番は関係なく同じ結果になる(※)という事を使って示します。【※解析学的に厳密に言うと条件がありますが、通常の連続関数であれば基本的に問題ありません。】

3成分のそれぞれについて0になる事を示す必要がありますが、変数が入れ替わるだけで同じ形・同じ計算ですので、第1成分(x成分)についてのみ記します。

$$\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\phi)の第1成分=\frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial \phi}{\partial z}\right)- \frac{\partial}{\partial z} \left (\frac{\partial \phi}{\partial y} \right) = \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial y }- \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial z }=0 $$

$$【3番目の公式(第1成分)証明終り】 $$

$$\mathrm{div}(\mathrm{rot}\overrightarrow {F})の第1成分= \mathrm{div} \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},
\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)$$

$$= \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right) $$

$$= \left( \frac{\partial^2 F_3 }{\partial x \partial y }- \frac{\partial^2 F_3 }{\partial y \partial x } \right) + \left( \frac{\partial^2 F_1 }{\partial y \partial z }- \frac{\partial^2 F_1 }{\partial z \partial y } \right) + \left( \frac{\partial^2 F_2 }{\partial z \partial x }- \frac{\partial^2 F_2 }{\partial x \partial z } \right) =0 $$

$$【4番目の公式(第1成分)証明終り】(最後の式では消える項ごとにまとめました。) $$

5番目の公式に関しては少々計算が面倒ですが、定義に当てはめて丁寧に計算する事で結果が得られます。特別な定理や計算技巧は必要ありません。

この他にも、勾配・発散・回転の組み合わせによる色々な公式が存在します。

勾配・発散・回転の公式②:積分を含む公式

勾配・発散・回転のいずれも微分(偏微分)を使って定義されるものであるわけですが、発散と回転に関してはそれらに対する積分を考える事で独特な形の公式が成立します。しかも、それらは物理の理論の中でも重要です。

2つの公式を、ごく簡単にですが挙げておきます。上記でも少し触れた「発散定理(ガウスの定理)」と「ストークスの定理」です。これらは積分を含む公式であり、通常の積分ではなく「法線面積分」「接線線積分」「体積積分」という種類の積分が含まれます。

$$発散定理:\int_V \mathrm{div}\overrightarrow{F} dv = \int_S \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}$$ $$ストークスの定理:\int_S \mathrm{rot}\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{s} = \int_C \overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{r}$$

ここでは、C:閉曲線、S:閉曲面の表面、V:閉曲面内の領域 を表しています。

接線線積分については力学でも使う考え方ですが、法線面積分については初歩的な運動の解析にはあまり使わないかもしれません。基本的な考え方は共通していて、微小な領域において内積の計算をしてから積分をする(合計する)というものです。

体積積分は重積分で表す事もでき、法線面積分も内積の処理をした後に重積分として表す事もできます。(しかも、その事が証明で重要です。)

初見だと得体の知れない式に見えるかと思いますが、意味するものはそれほど複雑ではないのです。

このベクトル解析の領域は、物理の電磁気学や流体力学と合わせて学んでみる事がおすすめです。数学的に詳しい考察が必要な部分と、応用で重要になる部分との関連がよく分かるようになると思います。