カテゴリー: 微分積分学・解析学

曲率円そのものについては高校ではあまり扱いませんが、内容としては高校数学のまとめのような所もあるので、高校数学としても勉強になる題材かもしれません。より一般的には、曲線・曲面論の初歩的な事項の１つになります。

曲線の曲がり具合と曲率円

平面上の曲線について、緩やかに曲がっているものもあれば、急激な曲がり方をしているものもあります。

その曲り方の度合いを定量的に調べる方法としては、まず微分によって傾きを調べる方法が１つあります。

他方で、「曲線のある箇所に接する事のできる円の半径の最大値」によってその曲がり具合を調べる方法もあります。その目的で用意する円の事を「曲率円」と言い、曲率円の半径の事を「曲率半径」と言います。
この曲率円は、調べようとしている点以外の場所で曲線と交わっていても構いません。

曲率円の中心座標と曲率半径の公式

曲線上のある点に注目した時には、
「曲率円の中心座標と半径（「曲率半径」）は曲線を表す関数の２階までの導関数（微分）の微分係数を使って表す事ができる」という公式が存在します。

◆証明：円の式(ｘ－ａ)^２＋(ｙ－ｂ)^２＝ｒ^２と、両辺の１階微分および２階微分の３式を使います。

微分なし：(ｘ－ａ)^２＋(ｙ－ｂ)^２＝ｒ^２

１階微分：２(ｘ－ａ)＋２ｙ’ (ｙ－ｂ)＝０　⇔　(ｘ－ａ)＋ｙ’ (ｙ－ｂ)＝０
【ｙの所は合成関数の微分公式使用】

２階微分：１＋ｙ”(ｙ－ｂ)＋ｙ’^２＝０
【ｙの所は積の微分公式使用】

実は、これらの式からａ、ｂ、ｒについて解くというだけで証明は十分です。

以下、上記３式に、ｘ＝ｃを代入し、ｙにはｙ＝ｆ(ｃ)を代入している【煩雑さを避けるためにｙのままで表記しておきます】と考えます。

まず、２階微分の式からｂをすぐに出せます。

$$1+y’\hspace{1pt}'(y-b)+y’\hspace{1pt}^2\Leftrightarrow y-b=-\frac{1+y’\hspace{1pt}^2}{y’\hspace{1pt}’}\Leftrightarrow b=y+\frac{1+y’\hspace{1pt}^2}{y’\hspace{1pt}’}$$

次に、ｙ－ｂを１階微分の式に代入します。

$$(c-a)+y’\left(-\frac{1+y’\hspace{1pt}^2}{y’\hspace{1pt}’}\right)=0\Leftrightarrow a=c-\frac{(1+y’\hspace{1pt}^2)y’}{y’\hspace{1pt}’}$$

この式からｃ－ａも分かるので、ｙ－ｂと合わせて微分前の式に代入してｒを出します。

$$(c-a)^2+(y-b)^2=r^2\Leftrightarrow \left(y’\cdot\frac{1+y’\hspace{1pt}^2}{y’\hspace{1pt}’}\right)^2+\left(-\frac{1+y’\hspace{1pt}^2}{y’\hspace{1pt}’}\right)^2=r^2$$

$$\Leftrightarrow r^2=\frac{y’\hspace{1pt}^2
(1+y’\hspace{1pt}^2)^2+(1+y’\hspace{1pt}^2)^2}{y’\hspace{1pt}’\hspace{1pt}^2}=\frac{(1+y’\hspace{1pt}^2) (1+y’\hspace{1pt}^2)^2}{y’\hspace{1pt}’\hspace{1pt}^2}=\frac{(1+y’\hspace{1pt}^2)^3}{y’\hspace{1pt}’\hspace{1pt}^2}$$

$$【r＞０だから】\Leftrightarrow r=\frac{(1+y’\hspace{1pt}^2)^{\large{\frac{3}{2}}}}{|y’\hspace{1pt}’|}$$

【途中の箇所では、分子の因数分解をすると結果的に３乗の形になっているという事です。】

得られたこれらの式のｙ、ｙ’、ｙ” の所にｆ(ｃ)、ｆ'(ｃ)、ｆ”(ｃ) を代入すれば公式の形になります。

簡単な例としては、２次関数ｙ＝ｘ^２とその１階微分と２階微分ｙ’＝２ｘ、ｙ’＝２を考えてみて、
ｘ＝０でそれらの値はそれぞれ０、０、２ですから公式に当てはめると曲率円の中心は（０，１／２）で曲率半径は１／２になります。

曲線の「曲率」と公式

さて、曲率半径ｒの逆数、つまり１／ｒの事を曲線のある点での「曲率」と呼びます。
なぜわざわざ逆数を考えるのかというと、次の公式が成立し、平面での図形的な意味も持つためです。

|ｄθ／ｄｓ|という導関数は、図形的に考えると曲線の「曲がり具合」を表す量になります。
接線ベクトルの導関数も同じく曲がり具合の度合いを表すと考えられますが、それは|ｄθ／ｄｓ|に実は等しくなります。
それが曲率半径の逆数に等しいという事については、逆三角関数を利用して証明します。

◆ベクトルの微分については、ベクトルの各成分を同じ変数で微分したものと定義されます。

証明（前半）

まず次式から証明します。

$$\left|\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\right|=\left|\frac{d\theta}{ds}\right|$$

証明方法の１つは、図形的な考察をしてから
「角度θが小さい時には sinθ≒θ」という近似式が成立する事を使うものです。

曲線の接線ベクトルは、大きさについては１に揃えるものを考えても角度には影響しません。そこで、曲線上の任意の点において接線ベクトルは長さ１であるとします。

すると、接線ベクトルを\(\overrightarrow{T}(s)\) とした時、\(\overrightarrow{T}(s+\Delta s)-\overrightarrow{T}(s)\) というベクトルを考えた時に、これは二等辺三角形の底辺になっています。【２辺の長さが１で、それらのはさむ角度がθ】

すると、その底辺の長さ |\(\overrightarrow{T}(s+\Delta s)-\overrightarrow{T}(s)\)| は実は簡単な図形的な考察からθで表す事ができます。
それは余弦定理で表す事もできますが、もっと単純に直角三角形の辺の比から正弦で表す事もできます。
結果は２sin(Δθ／２)になります。【長さ１の斜辺の正弦sin(Δθ／２)の２個分を考えただけです。】

$$|\overrightarrow{T}(s+\Delta s)-\overrightarrow{T}(s)|=2\left|\sin\frac{\Delta\theta}{2}\right|$$

【左辺が絶対値（プラスの値）なので、右辺にも絶対値をつけてあります。】

今、ｓ→０の時にΔθ→０なので、sin(Δθ／２)≒Δθ／２となります。

$$|\overrightarrow{T}(s+\Delta s)-\overrightarrow{T}(s)|=2\left|\sin\frac{\Delta\theta}{2}\right|≒2\left|\frac{\Delta\theta}{2}\right|=|\Delta\theta|$$

$$\Leftrightarrow \frac{|\overrightarrow{T}(s+\Delta s)-\overrightarrow{T}(s)|}{\Delta s}≒\frac{\Delta\theta}{\Delta s}$$

$$\Delta s\to 0 の極限を取る事で【その時\Delta\theta \to 0】\left|\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\right|=\frac{d\theta}{ds}$$

証明（後半）

次に次式を証明します。

$$\left|\frac{d\theta}{ds}\right|=\frac{1}{r}$$

証明には逆三角関数とその微分を使います。

変数がｘである状況に一度戻ると、導関数は接線の傾きを表すので、
その傾きは正接を使って tan θ ＝ y’ と書けます。

これの逆関数を考えると、θ ＝ arctan y’ と表記できます。
【これらは両辺ともにｘの関数であるとします。】

すると、これをさらにｘで微分すると次式になります。

$$\frac{d\theta}{dx}=\frac{y’\hspace{1pt}’}{1+y’\hspace{1pt}^2}$$

【逆三角関数の微分公式と、合成関数の微分公式を使用。(ｄ／ｄｘ)arctan ｘ＝１／(１＋ｘ^２)】

他方で、弧長を積分で表す公式を使うと【三平方の定理を利用した公式】次のように書けます。

$$s=\int_a^x\sqrt{1+y’\hspace{1pt}^2}dt$$

【積分の中身のｙ’ は形式上ｔの関数として書かれています。また、ａはｓ＝０となる点のｘ座標であるとします。】

このｓをｘで微分すると、微積分学の基本定理により次式になります。

$$\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+y’\hspace{1pt}^2}$$

ここで、ｄｘ／ｄｓを逆関数の微分公式により次のように表せます。

$$\frac{dx}{ds}=\frac{1}{\sqrt{1+y’\hspace{1pt}^2}}$$

ここで合成関数の微分公式を再び考えるとｄθ／ｄｓ＝(ｄθ／ｄｘ)(ｄｘ／ｄｓ) ですから、得られた関係式を組み合わせると次のように表せます。

$$\frac{d\theta}{ds}=\frac{d\theta}{dx}\cdot\frac{dx}{ds}=\frac{y’\hspace{1pt}’}{1+y’^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+y’\hspace{1pt}^2}}=\frac{y’\hspace{1pt}’}{(1+y’\hspace{1pt}^2)^{\large{\frac{3}{2}}}}$$

ところで、前述の曲率半径は y’ 等の導関数の形で書くと次のようになります。

$$r=\frac{(1+y’\hspace{1pt}^2)^{\large{\frac{3}{2}}}}{|y’\hspace{1pt}’|}$$

つまり、絶対値記号さえつければ、ｄθ／ｄｘとは丁度逆数の関係になっています。

$$よって、\left|\frac{d\theta}{ds}\right|=\frac{1}{r}が成立します。【証明終り】$$

曲率・接線・法線の関係（フルネー・セレーの公式）

さて、長さ１の接線ベクトル\(\overrightarrow{T}(s)\)を考える曲線上の点において、長さ１の法線ベクトル\(\overrightarrow{N}(s)\)も同時に考えてみます。（「法線」とはある点で接線に垂直である直線や線分の事。）

前述の曲率ｋ（＝１／ｒ）を使うと、接線ベクトルと法線ベクトルとの間に次の関係が成立します。

この内容の意味を考えてみると、曲率はただのスカラー値（あるいはスカラー関数）ですから、「接線ベクトルのｓによる微分」は法線ベクトルに平行であり、「法線ベクトルのｓによる微分」は接線ベクトルに平行であるという事を意味します。

証明（第１式）

では、本当にそうなるのかという話です。

これを見るには、「接線ベクトル同士の内積」を微分してみると上手くいきます。

同じベクトルの内積は、単にそのベクトルの大きさの２乗であって、しかもここでは |\(\overrightarrow{T}(s)\)| ＝１として考えていますから、同じ接線ベクトル同士で内積を考えると次式です。

$$\overrightarrow{T}\cdot\overrightarrow{T}=1$$

これをｓで微分してみますと、積の微分公式を成分ごとに適用すればスカラー関数同士の積の微分同様の関係になります。右辺は定数ですから微分すれば０です。

$$\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\cdot\overrightarrow{T}+\overrightarrow{T}\cdot\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}=0\Leftrightarrow 2\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\cdot\overrightarrow{T}=0 \Leftrightarrow \frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\cdot\overrightarrow{T}=0$$

【内積は可換（\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)）であるためにこうできる事に一応注意。】

$$という事は、２つのベクトル\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}と\overrightarrow{T}は互いに垂直であるという事です。$$

そして、\(\overrightarrow{T}\)に垂直な長さ１のベクトルとして\(\overrightarrow{N}\)を考えていたわけですから、\(d\overrightarrow{T}／ds\) と \(\overrightarrow{N}\) は平行であって大きさだけが異なります。

しかし、上述の曲率ｋに関する公式から$$\left|\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\right|=k であったわけです。$$

$$という事は、\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}=\left|\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\right|\overrightarrow{N}=k\overrightarrow{N}$$

【\(|\overrightarrow{N}|=1\) であるのでこう書ける事に注意。】

つまり、フルネー・セレーの公式の最初のほうの式が成立するという事です。【証明終り】

証明（第２式）

続いて、フルネー・セレーの公式の２番目のほうの式の証明です。

今度は\(\overrightarrow{N}\)について内積を微分してみると同様に次式になります。

$$\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}\cdot\overrightarrow{N}=0$$

この式に、\(k\overrightarrow{T}\cdot\overrightarrow{N}=0\)を加えます。（ここでスカラーである曲率ｋはオマケとして、証明のために敢えてくっつけています。ｋがなくてもこの内積の関係は成立します。）

$$k\overrightarrow{N}\cdot\overrightarrow{T}+\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}\cdot\overrightarrow{N}=\Leftrightarrow \left(k\overrightarrow{T}+\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}\right)\cdot\overrightarrow{N}=0$$

ここで出てきた\(k\overrightarrow{T}+\large{\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}}\)というベクトルもまた、法線ベクトルに垂直（従って接線ベクトルに平行）という事になります。他方で、このベクトルは別の式からも出てきます。

それは\(\overrightarrow{T}\cdot\overrightarrow{N}=0\)を微分する事によって出てきます。

$$\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\cdot\overrightarrow{N}+\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}\cdot\overrightarrow{T}=0\Leftrightarrow (k\overrightarrow{N})\cdot\overrightarrow{N}+\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}\cdot\overrightarrow{T}=0$$

$$\Leftrightarrow k+\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}\cdot\overrightarrow{T}=0\Leftrightarrow (k\overrightarrow{T})\cdot\overrightarrow{T}+\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}\cdot\overrightarrow{T}=0$$

$$\Leftrightarrow \left(k\overrightarrow{T}+\frac{\overrightarrow{N}}{ds}\right)\cdot\overrightarrow{T}=0$$

【既に得られている関係の代入と、\(\overrightarrow{N}\cdot\overrightarrow{N}=\overrightarrow{T}\cdot\overrightarrow{T}=1\)を利用した細工を行っています。】

という事は、\(k\overrightarrow{T}+\large{\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}}\)というベクトルは接線ベクトルにも垂直である事になります。これは、法線ベクトルにも接線ベクトルにも垂直である事を意味しますが、平面上でそのようなベクトルはゼロベクトルしかありませんから、次のようになります。

$$k\overrightarrow{T}+\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}=0\Leftrightarrow \frac{d\overrightarrow{N}}{ds}=-k\overrightarrow{T}$$

これはフルネー・セレーの公式の２番目のほうの式になっています。【証明終り】

円周率は無理数です。つまり、整数の比（分数）では表せない実数であるという事です。

その証明方法は１つではありませんが、一般的な２つの方法は次の通りです。

２番目の方法は計算自体は比較的簡単ですが、まず「ライプニッツ級数」「無限連分数」といったものが何なのかという話にもなるので、その意味では分かりにくいかもしれません。
そのため、背理法のほうを先に述べます。背理法での一般的な証明では計算は少しごちゃごちゃしますが、使うものは高校数学の知識で済むのです。

背理法と部分積分による証明

この背理法による証明は、円周率は「有理数ではないでしょう」という予想はあらかじめつけたうえで、矛盾が生じてしまうような関数を敢えて探してくるという方法になります。

まず、円周率そのものを式でどう表すかという問題があります。これには、ライプニッツ級数やマチンの公式をはじめ様々なものがありますが、背理法で示す場合にはむしろ三角関数を使ったほうが比較的簡単である事が知られています。

ｆ(ｘ)sinｘで表される関数の定積分の、部分積分を考えます。

$$\int_0^{\pi}f(x)\sin xdx\hspace{10pt}の部分積分を考えます。$$

$$\int_0^{\pi}f(x)\sin xdx=-\left[f(x)\cos x\right]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}f^{\prime}(x)\cos xdx$$

$$=-\left[f(x)\cos x\right]_0^{\pi}+\left[f^{\prime}(x)\sin x\right]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}f^{\prime\prime}(x)\sin xdx$$

$$=-\left[f(x)\cos x\right]_0^{\pi}+\left[f^{\prime}(x)\sin x\right]_0^{\pi}+\left[f^{\prime\prime}(x)\cos x\right]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}f^{\prime\prime\prime}(x)\cos xdx=\cdots$$

という感じで、これは延々と続いていくタイプの部分積分です。ここで、sinｘに０と円周率を代入する箇所はゼロになる事に注意し、ｆ⁽ⁿ⁾(\(\pi\))＋ｆ⁽ⁿ⁾(0)＝Ｃ_ｎとおきます。【ｆ⁽ⁿ⁾(ｘ)はｆ(ｘ)のｎ階導関数です。】

$$-\left[f^{(2n)}(x)\cos x\right]_0^{\pi}=f^{(2n)}(\pi)+f^{(2n)}(0)=C_{2n}$$

$$\left[f^{(2n+1)}(x)\sin x\right]_0^{\pi}=0$$

すると、上記部分積分はてきとうなところで部分積分を止めて次のように表せます：

$$\int_0^{\pi}f(x)\sin xdx=C_0-C_2+C_4-C_6+\cdots\pm\int_0^{\pi}f^{(n)}(x)\sin xdx$$

今、ｆ(ｘ)の形は特に指定しておらず、円周率がどんな値であるかに関わらずこの式は成立します。

ここで、ｆ(x)がｎ次の多項式の形で定数項が特定の値のもの、例えばｆ(x)＝ａｘ^ｎなどといったものであれば、有限回の微分操作で０になり、しかも上記の部分積分の途中の項で円周率が直接式に出てきます。
ｆ(x)がそのような条件を満たす多項式であるとして、まず、有限回の微分操作でｆ⁽ⁿ⁺¹⁾(ｘ)＝０になるので、
上記の部分積分では最後の積分の形の項が消えて次のように有限項の和として書けます。

$$\int_0^{\pi}f(x)\sin xdx=C_0-C_2+C_4-C_6+\cdots\pm C_{2n}$$

このＣ_ｎは、上でも定義したようにｆ⁽ⁿ⁾(\(\pi\))＋ｆ⁽ⁿ⁾(0)＝Ｃ_ｎとおいたものです。

ここで、各項はＣ_ｍ＝ｆ^(ｍ)(\(\pi\))＋ｆ^(ｍ)(0)＝ａ\(\pi\)^ｎのように表されるので、円周率のベキ乗に係数を掛けたものの和になっています。さらに、ａをてきとうな有理数に選べば、円周率が有理数であると仮定した時に【これが誤りであるわけですが】もとの定積分が整数となるようにできます。
例えばｆ(x)＝ａｘ^ｎとして、ｐとｑを自然数として\(\pi\)＝ｐ／ｑとおいた時に、ａをｑ^ｎの倍数にとってａ＝ｍｑ^ｎのようにすれば\(\pi\)^ｎａ＝ｍｐ^ｎとなり、整数となるわけです。
【※円周率は３．１４・・・という正の数である事は確定しているとしています。】
後述しますがそのようにするためのａの値はもっと小さい有理数でもよく、それが証明の根拠になります。

ところでもとの定積分は、正弦関数の絶対値が１以下なので、積分区間でｆ(ｘ)が正の数であれば次の不等式が成立します。

$$0＜\int_0^{\pi}f(x)\sin xdx≦\int_0^{\pi}f(x)dx$$

という事は、もし何らかの関数ｆ(ｘ)でこの定積分の値が「１未満」になるものが存在すれば、もとの定積分は０より大きく１未満という事になって自然数ではあり得ないという事になります。
この事との「矛盾」がこの背理法での証明で使われます。
【こちら側の事実は円周率が有理数・無理数であるかに関わらず常に成立する正しい関係式です。】

問題の定積分をＣ_０－Ｃ_２＋Ｃ_４－・・・±Ｃ_２ｎの形で表すところに戻って、
ｆ(ｘ)としてできるだけ「小さい値」をとるような関数が何かないかと考えます。
【多分あるはずだという予測のもとでそう考えるわけです。】
結論を言いますと、ｘ＝０とｘ＝\(\pi\) でゼロの値をとるような２ｎ次の多項式ｆ(ｘ)＝ａｘ^ｎ(\(\pi\)－ｘ)^ｎを考えるとうまくいきます。このようなｆ(ｘ)について、ｆ(０)＝０かつｆ(\(\pi\))＝０です。
定義域を [０，\(\pi\)]とすると、ａ＞０であればこの関数ｆ(ｘ)はプラスの値です。

ここでｆ(ｘ)のｋ階導関数について、１≦ｋ≦ｎ－１のとき、積の微分公式を考えれば、ｆ^(k)(ｘ)はｘ(\(\pi\)－ｘ)を因数に持つ事が分かります。【因数分解できるという事です。】
という事は、その時にはｆ^(k)(０)＝０かつｆ^(k)(\(\pi\))＝０という事になります。
Ｃ_ｋについて言えば、Ｃ_ｋ＝ｆ^(ｋ)(\(\pi\))＋ｆ^(ｋ)(０)でしたから、Ｃ_０＝Ｃ_２＝Ｃ_４＝・・・＝Ｃ_ｎ－２＝０となるという事です。次に、ｎ≦ｋ≦２ｎの時はどうかというと、この時にはｘ(\(\pi\)－ｘ)の形の項で全体を因数分解はできません。しかし、ａｘ^ｎ(\(\pi\)－ｘ)^ｎの形の関数をｎ回以上微分しているので式全体がｎ！を因数に持ちます。
何らかのｎ次以下の多項式で、全体がｎ！を因数に持つという事になります。

よってこの時、
Ｃ_０－Ｃ_２＋Ｃ_４－・・・±Ｃ_２ｎ＝±(Ｃ_２ｍ－Ｃ_２ｍ＋２＋Ｃ_２ｍ＋４－・・・±Ｃ_２ｎ)＝ｎ！ａｇ(\(\pi\))という形になり
ここでのｇ(\(\pi\))の部分は、ｎ次以下の整数係数の多項式に円周率を代入した形です。
【ｎ＝２ｍとおいています。符号が入り乱れますがここであまり本質的ではありません。】

$$g(\pi)=b_n\pi^n+b_{n-1}\pi^{n-1}+\cdots+b_2\pi^2+b_1\pi+b_0\hspace{10pt}【係数b_jは全て整数】$$

$$n!ag(\pi)=n!a(b_n\pi^n+b_{n-1}\pi^{n-1}+\cdots+b_2\pi^2+b_1\pi+b_0)$$

さて、とすると、ｆ(ｘ)＝ａｘ^ｎ(\(\pi\)－ｘ)^ｎにおいて、
「自然数ｐとｑを使って \(\pi\)＝ｐ／ｑ で表せるという（誤った）仮定」をすると、
Ｃ_０－Ｃ_２＋Ｃ_４－・・・±Ｃ_２ｎ全体を整数にするためには、ａをｑ^ｎ／ｎ！のようにした場合でも可能です。
この時の分母のｎ！の階乗がなくてもそれは成立しますが、できるだけ小さい値の関数を考える時に、少なくともここまで小さい物を考える事が確かに可能だという事です。

ところが、ｆ(ｘ)＝(ｑ^ｎ／ｎ！)ｘ^ｎ(\(\pi\)－ｘ)^ｎ であるとすると、０≦ｘ≦\(\pi\)においてはｘ^ｎ(\(\pi\)－ｘ)^ｎ≦\(\pi\)^ｎ・\(\pi\)^ｎ＝\(\pi\)^２ｎとなるのでｆ(ｘ)≦\(\pi\)^２ｎｑ^ｎ／ｎ！

という事は、問題の定積分の不等式に再度戻ると次のようになります。

$$0＜\int_0^{\pi}f(x)\sin xdx≦\int_0^{\pi}f(x)dx≦\int_0^{\pi}\frac{\pi^{2n}q^n}{n!}dx=\frac{\pi^{2n+1}q^n}{n!}$$

この最後のところの式は、テイラー展開の剰余項問題のところでも出てくるような形の式ですが、ｎをじゅうぶん大きくすると極限値を０にできるものであり、１未満になるようなｎも確かに存在できます。
【ここでのｑがどのような自然数でも、\(\pi\)^２ｎｑ^ｎ／ｎ！＜１になるような自然数ｎが存在するという事です。また、ここでのｎは、てきとうなところで部分積分を打ち切った自然数であり任意にとれるので「じゅうぶん大きいｎ」を考えてよいという事です。】

つまり結果は次式です。

$$0＜\int_0^{\pi}f(x)\sin xdx≦\int_0^{\pi}f(x)dx≦\int_0^{\pi}\frac{\pi^{2n}q^n}{n!}dx=\frac{\pi^{2n+1}q^n}{n!}＜１となる自然数nが存在$$

$$かつ、\int_0^{\pi}f(x)\sin xdx=C_0-C_2+C_4-C_6+\cdots\pm C_{2n}\in \mathbb{Z}【整数】$$

これは「矛盾」なので、円周率は有理数ではあり得ない、という事です。

一体どこがおかしくて矛盾が出たのかというと、\(\pi\)＝ｐ／ｑ とした時に「ｐとｑは自然数」としたところがおかしい事になります。その仮定を設けずに単に\(\pi\)＝ｐ／ｑ とおいてｆ(ｘ)＝(ｑ^ｎ／ｎ！)ｘ^ｎ(\(\pi\)－ｘ)^ｎとする事【そのようなｆ(ｘ)を考える事】自体には問題はありません。
そのｆ(ｘ)のもとで問題の定積分を部分積分したものについてＣ_０－Ｃ_２＋Ｃ_４－・・・±Ｃ_２ｎ＜１となる【そのようになるようなｆ(ｘ)が存在する】という事自体も正しい式で、「そのような制限が必ず付くので、円周率を有理数とする事はできない」というようにも言えます。

証明において、どこからどこまでが「もともと正しい関係式」であって、どこからが「誤った仮定により導出される間違った式」なのかを整理すると見通しはよくなるでしょう。

ここでは説明のために長く文章も書きましたが、やり方をふまえて式だけ書いていくと、やっている事自体は結構簡単である事が分かると思います。
一番難しいのは、「問題の定積分が０より大きく１未満になり、かつ誤った仮定をするとその定積分が整数になってしまうという関数」を「(自力で)見つける」事だと思います。しかし一般的には、事実としてこうなる事を知っておけばそれでじゅうぶんでしょう。

連分数とライプニッツ級数による証明

もう１つの証明方法は、円周率を連分数で表すと、有限の連分数にならず、無限連分数になってしまう事から「無理数である」と判定するものです。

しかし、まず「連分数」とは何かという話になります。ここでごく簡単に述べると、次のように分母の中に「整数＋分数【有理数】」の形を作っていき数を表示するものです。

$$ b_0+ \frac{a_1} {b_1+\Large{\frac{a_2} {b_2+\frac{a_3} {b_3+\frac{a_4} {\Large{\frac{\cdots}{b_{n-1}+\frac{a_n}{b_n}}} } } } }} $$

これは見慣れない人も多いと思います。実際、物理などへの応用では基本的には使わず、数学に特有のものでしかも数学の中でも限られた分野でたまに使うというものです。
特定の有理数を連分数で表す時、その中の数列{ａ_ｎ}と{ｂ_ｎ}は有限で終わります。他方、無理数であると無限に続いてしまうというのが証明の考え方です。
考え方としては「ある実数が有理数」⇒「連分数が有限で終わる」が正しいので、「ある実数を表す連分数が有限で終わらない」⇒「その実数は有理数ではない（＝無理数である）」というものです。
【※ある連分数が無理数に収束するための条件は、じつのところもう少し複雑です。】

次に、円周率を何らかの形で分数として表す手段が必要です。ここでの証明では、ライプニッツ級数を使うと比較的簡単です。しかしこの公式がどのように出てくるのかという問題もありますが、ここでは結果のみを使います。
【ライプニッツ級数は、扇形の面積を少し工夫した積分で出す方法や、逆正接関数のマクローリン展開などによって導出できます。】

$$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$$

これを連分数にしてみようというわけです。有限の数列の和を連分数にするにはじつは公式があって、結論を数列の隣り合う項の比を考えるとうまくいきます。

簡単のため、まず３項目までやってみて、次に一般の場合を記します。

$$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{1}{1+\Large{\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2}}}}=\frac{1}{1+\Large{\frac{1}{2+\frac{3^2}{2}}}}$$

これは、じつは次のように数列を計算しているのです。
ａ_１＝１【初項】，ｂ_１＝１【必ず１】，
ａ_２＝－(－１／３)／１＝１／３【－第２項／第１項】，
ｂ_２＝１－ａ_２＝２／３，
ａ_３＝－(１／５)／(－１／３)＝３／５【－第３項／第２項】，
ｂ_３＝１－ａ_３＝２／５

同じ具合に計算して、分母を上手に整理すると、第ｎ項までの結果は次のようになります。

$$ \frac{1} {1+\Large{\frac{1} {2+\frac{3^2} {2+\frac{5^2} {\Large{\frac{\cdots}{2+\frac{(2n-3)^2}{2}}} } } } }} $$

このようになるのは、次のように計算できるためです。
ａ_ｍ＝－{－１／(２ｍ－１)}／{１／(２ｍ－３)}＝(２ｍ－３)／(２ｍ－１)
【もしくは－{１／(２ｍ－１)}{－１／(２ｍ－３)}＝(２ｍ－３)／(２ｍ－１)】
ｂ_ｍ＝１－ａ_ｍ＝２／(２ｍ－１)となり、
ｍ≧２の時、
ｂ_ｍ＋ａ_ｍ＋１／(・・・)＝２／(２ｍ－１)＋(２ｍ－１)／{(２ｍ－３)(・・・)}
＝２＋(２ｍ－１)^２／{(２ｍ－３)(２ｍ－１)(・・・)}

すると、ｎを増やしていくとこの連分数は無限に続いていく事になります。そのため、円周率は無理数であると判定されるという具合です。

このように、連分数が「規則正しく」続いていくと、かえってｎを増やすごとに延々と続いて終わらないので特定の収束する無限級数が「無理数」であるという事を意味するわけです。
円周率だけでなく、２の平方根や自然対数の底ｅなどが無理数である事を見るのにも、じつはこの連分数の方法を使う事が可能です。

ここで使っているものは、分数計算とちょっとした数列の計算だけなので、計算自体は前述の背理法の場合よりもずっと簡単だと思います。しかしいかんせん、この連分数というものの表記も理屈も、結構分かりにくいものだと思います。また、ライプニッツ級数で円周率を表せる事を前提にしていますから、その事が確かに成立する事を納得していないと、ここでの証明も少々「腑に落ちない」ものだと思います。

いずれにしても、これらのような形で円周率は確かに「無理数である」という事が言えるという事です。