カテゴリー: 微分積分学・解析学

ライプニッツ級数とは「分子が１で分母を奇数とする分数を、プラスマイナスの符号を交互に変えて加えて行くと円周率の１／４に収束する」という無限級数を指します。

この無限級数の導出方法はいくつか存在し、ここでは図形的な考察をもとにした式変形と定積分の計算、それと幾何級数展開を使った導出方法を説明します。

ライプニッツ級数の導出方法はここで説明するものだけではなく、いくつか方法があります。例えば、逆正接関数のマクローリン展開から導出する方法や、連分数展開によって得る方法などがあります。

ライプニッツ級数とは

まず、ライプニッツ級数の具体的な表式は次のようになります。

無理数を「有理数で表せる」？

ライプニッツ級数の左辺は無理数ですが右辺は「各項が有理数である無限級数」となっています。

これについては、右辺が表す無限級数は「π／４という無理数に収束するという事」すなわち 「項数を増やせばπ／４という無理数との差をいくらでも小さくできる事」を意味しています。

ですので、ライプニッツ級数の式において「無理数≠有理数」という当然の関係式は崩れてはいません。どこか有限の項数で計算をやめたら、 その値はπ／４には一致しない事になります。しかし項数を増やせばπ／４との差はいくらでも縮まります。それが、ライプニッツ級数が数式的に表すものです。

ライプニッツ級数は特徴的な式の形をしているため、「奇数だけを用いて円周率を表せる」というキャッチ―な表現が使われる事があります。 その表現自体は誤っているわけではありませんが、「無限級数が収束する値として円周率を表せる」という事を踏まえておく必要があります。

3.141592・・・をライプニッツ級数で出せる？

円周率の 3.141592・・・の値を計算する式としては、実はライプニッツ級数はあまり優れた式ではありません。無限級数の収束の速さが遅く、 項数を非常に多く増やさないと3.14・・・の値に近付いて行かないためです。（円周率の数値計算用として優れた式としては、 複数のマチン型の公式が知られています。逆三角関数の記事で解説。） 変更なし:

円周率の 3.141592・・・の値を計算する式としては、 実はライプニッツ級数はあまり優れた式ではありません。無限級数の収束の速さが遅く、項数を非常に多く増やさないと3.14・・・の値に近付いて行かないためです。 （円周率の数値計算用として優れた式としては、複数のマチン型の公式が知られています。逆三角関数の記事で解説。）

もし整数だけを準備して円周率計算が手計算で簡単にできるなら何とも便利そうですが、 式として興味深い形をしている事と色々な意味での実用性や有用性は残念な事に必ずしも重ならないという例になっています。

「奇数」が得られる根拠

ライプニッツ級数において、「奇数」以前に「整数」が得られるのはなぜでしょう。それは具体的には、単項式の微分法を根拠にしています。

ｘ^３の微分（「導関数」）は３ｘ^２になります。積分を行う場合は逆の演算です。
ｘ^２の原始関数はｘ^３／３です。 この関係によって１／３，１／５，１／７といった「分母が整数である分数」が式中に発生します。

ライプニッツ級数に限らず、計算式中の「整数」の出所が微分法や積分法であるという場合は少なからずあります。

次に、ライプニッツ級数の各項において「偶数が欠けている」理由は幾何級数展開（等比級数展開）を使う時の公比の形に由来しています。

具体的には、－ｚ^２という公比による幾何級数展開を考えて１ーｚ^２＋ｚ^４－ｚ^６＋・・・という式を得て、 さらにそれにｚ^２を乗じてｚ^２ーｚ^４＋ｚ^６－ｚ^８＋・・・の形を作ります。 そして、その各項を積分（項別積分）する事でｚ^３／３ーｚ^５／５＋ｚ^７／７－ｚ^９／９＋・・・の形の式を得ます。 これがライプニッツ級数の形を作っているわけです。無限級数の項別積分を実行可能であるには条件がありますが、ここではそれを満たします。

具体的には、－ｚ^２という公比による幾何級数展開を考えて１ーｚ^２＋ｚ^４－ｚ^６＋・・・という式を得て、 さらにそれにｚ^２を乗じてｚ^２ーｚ^４＋ｚ^６－ｚ^８＋・・・の形を作ります。 そして、その各項を積分（項別積分）する事でｚ^３／３ーｚ^５／５＋ｚ^７／７－ｚ^９／９＋・・・の形の式を得ます。 これがライプニッツ級数の形を作っているわけです。無限級数の項別積分を実行可能であるには条件がありますが、ここではそれを満たします。

幾何級数展開の式を使用する事は「無限級数が得られる事」と「プラスとマイナスが交互に出てくる事」の根拠でもあります。 そのため、次に述べて行くライプニッツ級数の導出方法では微積分の基本計算と並んで幾何級数展開が非常に重要な要素となっています。但し、 この幾何級数展開を使用するには「公比の絶対値が１未満である」という条件があるので注意が必要です。

証明と導出【四分円の面積を利用する方法】

全体の流れ

大きく分けて記すと次のようになります。

$$四分円y=\sqrt{2x-x^2}に対してy=\frac{dy}{dx}x+zという式変形を考えるとx=\frac{2z^2}{1+z^2}$$

$$|z|<1のもとで幾何級数展開により\frac{1}{1+z^2}=1-z^2+z^4-z^6+\cdots$$

$$部分積分と置換積分により\int \left(\frac{dy}{dx}x+z\right) dx=\frac{1}{2}\left(xy+zx-\int x dz\right)と変形できる。$$

その後、幾何級数展開した箇所について項別積分を行い積分区間の端点の極限を考慮したうえで計算を進め、 得られる無限級数の収束値が半径１の四分円の面積π／４に等しいという形でライプニッツ級数を導出できます。

$$\lim_{\epsilon \to 0, \delta \to 1}\int_\epsilon^\delta y dx=1-\lim_{\epsilon \to 0, \delta \to 1} \left[\frac{z^3}{3}-\frac{z^5}{5}+\frac{z^7}{7}-\frac{z^9}{9}+\cdots\right]_\epsilon^\delta$$

$$=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$$

$$これが半径１の四分円の面積\int _0^1y dx=\frac{\pi}{4}に等しい。$$

以下、各過程を詳しく見て行きます。

1. 円の式と導関数
2. 円の接線の式を利用して関係式を作る
3. 積分においてｙの形を変形する（面積変換定理）
4. 幾何級数展開を適用
5. 定積分の計算と極限の考察
6. 参考：（アーベルの）連続性定理

①円の式と導関数

具体的な計算としては半径が１の四分円（半円のさらに半分）の面積を定積分で計算します。
しかし円を表す式を使って普通に定積分の計算をする （置換積分か逆三角関数を使用）と、π／４という値は出ますが１－１／３＋１／５－・・・という無限級数の式は出てきません。

微分の計算は次のようにしています。合成関数の微分法を使います。（ここでの場合は、後述する図形的考察でもこの導関数は導出可能です。）

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\sqrt{2x-x^2}=\frac{d}{dx}\left(2x-x^2\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(2x-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot (2-2x)=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$$

半径１の円の面積は１×１×π＝πです。その１／４である四分円の面積はπ／４です。この値が無限級数１ー１／３＋１／５－１／７＋・・・の収束値である事を積分を使って証明して行きます。

しかしｙ≧０における円の式をそのままｘで定積分するとπ／４の値は得られますが無限級数の式は得られません。何か別の方法で円の面積を計算する必要があります。

②円の接線の式を利用して関係式を作る

そこで、実は「円の接線の式」を利用すると通常とは異なる形で面積の積分計算ができます。

但し積分を行う対象の関数は円の式なので、接線上の点を考えるわけではなく「円周上の点（ｘ，ｙ）に対して成立する関係式」を接線の式を利用して作ります。

円周上の点（ｘ，ｙ）における接線の傾きはｄｙ／ｄｘで表される導関数です。そして、接線のｙ切片（接線とｙ軸の交点）をｚとします。この時にｙ＝(ｄｙ／ｄｘ)ｘ＋ｚが成立します。

この時にｚはｘの関数です。そのようなｚ＝ｚ(ｘ)という関数がｘの開区間（１，０）の範囲内において円周上の点（ｘ，ｙ）に対して必ず存在できます。 このｚの値が存在できる事は図形的に見ても確認できますが、式でも確かに示せます。

$$y>0においてy=\frac{dy}{dx}x+zとすると、\frac{dy}{dx}=\frac{1-x}{y}であるので$$

$$y=\frac{x-x^2}{y}+z\Leftrightarrow zy=y^2-(x-x^2)=y^2-x+x^2$$

$$円の式y^2 +x^2 -2x=0より、zy=x$$

$$y>0であればz=\frac{x}{y}=\frac{x}{\sqrt{2x-x^2}}$$

この時にｘをｚで表す事もでき、後の計算で重要です。

$$z=\frac{x}{\sqrt{2x-x^2}}=\sqrt{\frac{x}{2-x}}から、z^2(2-x)=x$$

$$\Leftrightarrow x=\frac{2z^2}{1+z^2}$$

この後の計算では、このｚを変数として四分円の面積を積分計算する事を考えて行きます。ｘをｚで表した式を見ると分母が１＋ｚ２となっており、これが幾何級数展開可能な式の形になっています。

（補足）図形的にｙ切片と導関数を計算する場合

上記の計算でｚの具体的な形としてｚ＝ｘ／ｙが得られましたが、この関係は平面幾何的にも導出できます。ここで考えている円はｙ軸が原点における接線となっているので、「接線のｙ切片と接点と円の中心」で作られる三角形を考えて合同関係に着目すれば三平方の定理によってｚとｘおよびｙとの関係式を作る事ができます。

同じく図形的考察からｙ＞０において接線の傾きは（ｙーｚ）／ｘ＝(ｙ^２ーｘ)／(ｘｙ)です。そしてｙをｘで表すと、微分により得る導関数と同じ式を得ます。

$$y>0の時、接線の傾きは\frac{y-z}{x}=\frac{y-\frac{x}{y}}{x}=\frac{y^2-x}{xy}$$

$$=\frac{2x-x^2-x}{x\sqrt{2x-x^2}}=\frac{x-x^2}{x\sqrt{2x-x^2}}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\left(=\frac{dy}{dx}\right)$$

③積分においてｙの形を変形する（面積変換定理）

次に四分円の面積を積分によって考えます。この時に、積分変数ｘでｙを積分する計算において
ｙ＝(ｄｙ／ｄｘ)ｘ＋ｚの式変形をしてｚを積分計算に持ち込みます。以下、まず積分区間に依存せずに不定積分で可能なところまで式変形の計算を進めて行きます。

$$\int ydx=\int\left(\frac{dy}{dx}x+z\right)dx$$

次に２つの項のそれぞれについて積分変数の変換を考えます。

まず（ｄｙ／ｄｘ）ｘの項については部分積分の公式を適用して変形をします。

$$\int\frac{dy}{dx}xdx=xy-\int y\left(\frac{d}{dx}x\right)dx=xy-\int ydx$$

この部分積分による式変形は、定積分で計算した時には長方形領域の面積を曲線で分割した時の関係を表す意味を持ちます。

同様の部分積分の適用の仕方でｚの項についても式変形し、
さらに置換積分によって「積分変数ｚでｘを積分する」形に変形します。

$$\int z dx=\int z \left(\frac{d}{dx}x\right)dx=zx-\int\frac{dz}{dx}xdx=zx-\int x dz$$

式を整理すると、積分変数ｘによるｙの積分の項が２つあるのでまとめる事ができます。

$$\int y dx=xy-\int y dx+zx-\int x dz$$

$$\Leftrightarrow 2\int y dx=xy+zx-\int x dz$$

$$\Leftrightarrow \int y dx=\frac{1}{2}\left(xy+zx-\int x dz\right)$$

ここで式中のｘｙととｚｘは積分変数をｘとして考えた時の原始関数です。但し上記の補足説明のように積分変数をｙやｚで計算した場合はｙやｚの原始関数として端点の値を代入する必要があります。

④幾何級数展開を適用

「ｘを積分変数ｚで積分する」項について、０＜ｘ＜１の時に０＜ｚ＜１であるので１／(１＋ｚ^２)の部分に対して幾何級数展開を適用できます。公比は－ｚ^２です。

$$\int y dx=\frac{1}{2}\left(xy+zx-\int x dz\right)において、$$

$$\int x dz=\int \frac{2z^2}{1+z^2}dz=2\int z^2\cdot\frac{1}{1+z^2}dz$$

$$=2\int z^2(1-z^2+z^4-z^6+\cdots)dz=2\int(z^2-z^4+z^6-z^8+\cdots)dz$$

$$=2\left(\frac{z^3}{3}-\frac{z^5}{5}+\frac{z^7}{7}-\frac{z^9}{9}+\cdots\right)$$

よって、次式が成立します。

$$\int y dx=\frac{1}{2}\left(xy+zx-\int x dz\right)=\frac{1}{2}\left(xy+zx\right)-\left(\frac{z^3}{3}-\frac{z^5}{5}+\frac{z^7}{7}-\frac{z^9}{9}+\cdots\right)+C$$

（この段階ではまだ不定積分で考えているので、積分定数Cを加えた形にしています。）

⑤定積分の計算と極限の考察

ライプニッツ級数は「四分円の面積π／４が無限級数１ー１／３＋１／５－・・・に等しい」という式であり、四分円の面積は円の上半分の式\(y=\sqrt{2x-x^2}\)をｘ＝０からｘ＝１まで定積分すれば得られます。そのため本来は、上記で得られた積分の変形式でも積分変数ｘに対して積分区間を [0,1] としたいところです。簡易的な方法としてはそれでライプニッツ級数を導出可能です。

すなわち、ｘ＝０の時にｙ＝ｚ＝０，ｘ＝１の時にｙ＝ｚ＝１の関係から、得られている不定積分を定積分に変える事でライプニッツ級数を得ます。（積分中のｘｙ，ｚｘは共に積分変数をｘとしている原始関数であり、例えばｘ＝１を代入してｙについてもその時にｙ＝１なのでｘｙ＝１という計算。）

$$\frac{1}{2}\left([xy]_0^1+[zx]_0^1\right)-\left[\frac{z^3}{3}-\frac{z^5}{5}+\frac{z^7}{7}-\frac{z^9}{9}+\cdots\right]_0^1=\frac{1}{2}\left(1+1\right)-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$$

$$=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$$

$$これが\int_0^1 y dx=\frac{\pi}{4}に等しいとすると\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$$

しかしここでは一応、積分区間にｘ＝０とｘ＝１を含める事はできないとした場合の計算も記します。

• ｘ＝０を含めないのは、式変形で使用したｄｙ／ｄｘがｘ＝０で無限大となるため
• ｘ＝１を含めないのは、幾何級数展開時に|ｚ|＜１の条件が必要なため

０＜ε＜δ＜１であるεとδを考え、積分区間を[ε，δ]と置きます。そして計算結果においてε→０，δ→１の極限を考えます。ε→０の時ｙ→０およびｚ→０であり、δ→１の時ｙ→１およびｚ→１です。

$$\int_\epsilon^\delta y dx=\frac{1}{2}\left([xy]_\epsilon^\delta+[zx]_\epsilon^\delta\right)-\left[\frac{z^3}{3}-\frac{z^5}{5}+\frac{z^7}{7}-\frac{z^9}{9}+\cdots\right]_\epsilon^\delta$$

$$\lim_{\epsilon \to 0, \delta \to 1}[xy]_\epsilon^\delta=1\cdot1-0\cdot0=1,\hspace{7pt}\lim_{\epsilon \to 0, \delta \to 1}[xy]_\epsilon^\delta=1\cdot1-0\cdot0=1$$

幾何級数展開した部分についての極限については、何が問題なのかを整理しておきます。

• 幾何級数が収束する事が保証されるのは|ｚ|＜１の範囲（０＜ｘ＜１）であり、級数が収束しないなら項別積分もできない。
• ｚ＝０（ｘ＝０）の時には幾何級数展開自体は可能で、１／(１＋ｚ^２)に対して初項１だけが残り、ｚ^２＝０を乗じて全体が０になる。従って、ε→０の時の全体の極限値も０。

つまり、考察が複雑になるのは積分区間の端点を１に近付けて行く場合です。より具体的には
ｚ^３／３ーｚ^５／５＋ｚ^７／７＋・・・に「ｚ＝１を代入してみた場合の式」が収束するかどうかの判定が曖昧になっています。

この時にｚ^３／３ーｚ^５／５＋ｚ^７／７ー・・・の形の無限級数が収束するかどうかは、実は独立に確かめる方法があります。ｚ＝１を代入してみた時の形１／３ー１／５＋１／７ー・・・は収束する事を確認できます。（但し、その方法では１ー１／３＋１／５ー・・・がπ／４に収束するかどうかは判定できません。）

この判定方法によれば、１／３ー１／５＋１／７ー・・・は「収束する」事が分かります。

■参考：交代級数の収束性の検証（１／３ー１／５＋１／７ー・・・の場合。逆三角関数によるライプニッツ級数の導出過程にて。）

このような時にｚ^３／３ーｚ^５／５＋ｚ^７／ー・・・はｚ→１の時に収束し、
その極限値は１／３ー１／５＋１／７ー・・・の極限値に等しくなる事を保証する定理（連続性定理）がまた別に存在します。そのため、幾何級数展開した部分の極限は次のようになります。

$$\lim_{\epsilon \to 0, \delta \to 1}\left[\frac{z^3}{3}-\frac{z^5}{5}+\frac{z^7}{7}-\frac{z^9}{9}+\cdots\right]_\epsilon^\delta=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots\right)-0$$

$$=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots$$

$$よって、\lim_{\epsilon \to 0, \delta \to 1}\int_\epsilon^\delta y dx=\frac{1}{2}\left([xy]_\epsilon^\delta+[zx]_\epsilon^\delta\right)-\left[\frac{z^3}{3}-\frac{z^5}{5}+\frac{z^7}{7}-\frac{z^9}{9}+\cdots\right]_\epsilon^\delta$$

$$=\frac{1}{2}(1+1)-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots\right)=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$$

$$同時に、\lim_{\epsilon \to 0, \delta \to 1}\int_\epsilon^\delta y dx=\int_0^1 y dx=\frac{\pi}{4}であるから$$

$$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$$

■参考：（アーベルの）連続性定理

積分区間の端点の極限の考察で使用した連続性定理は次のようなものです。

４つのマクスウェル方程式からは電磁波の式を得るための波動方程式およびそのもとになっている一般形の方程式の導出されます。

電場と磁場の波動方程式

結論を先に述べると、マクスウェル方程式からは
次のような電場と磁場のそれぞれについての波動方程式を導出できます。

このように電場と磁場のそれぞれについて全く同じ形の式がマクスウェル方程式から導出されるわけですが、「真空中」という条件がついています。

これらの波動方程式には、もとになっている形があります。

マクスウェル方程式から法則と数学的な変形だけで直接的に導出される式は、
真空中に限らず一般の場合に成立する式です。

また、電場に対するスカラーポテンシャル（時間変動も含めた一般的な形）と磁場に対するベクトルポテンシャルを使った形の波動方程式と、そのもとになっている関係式もあります。

電磁波と光の関係

真空中の光の速さをｃとすると実は数値的にε_０μ_０＝１／(ｃ²) が成立しています。

ε_０＝8.8542×10^－１２
μ_０＝1.2566×10^－６
ｃ＝2.9979×10^８です。

１／(ε_０μ_０)≒１／(１１．１２６１８７×１０^－１８)≒８．９８７８×１０^１６で、この平方根を考えると確かに真空中の光の速さとほぼ同じになります。
（物質中では光の速さは変わります。また、同じく誘電率と透磁率の値も物質中では変わります。）

さらに、波動方程式の解から分かる波（電磁波）が進行する速さは１／\(\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\) です。

ε_０μ_０＝１／(ｃ²) からｃ＝１／\(\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\) なので、
電磁波が真空中を伝わる速さは光の速さに等しいという結果が得られます。

ところで光はマクロで見ると波なので、
物理学的には電磁波と光は波動として同じものであると捉えられています。
上記の関係式は、偶然にもほぼ一致するという事では無くて
「理論的にも実験的にも必ず成立する式である」
というのが物理学における解釈であるわけです。

いわゆる「目に見える光」は可視光とも呼ばれ、光の波長によって見える範囲が限定されている事が分かっています。（人と動物ではその範囲が違っていたりします。）

電磁波が光であるというのは基本的には「波動としては」という事であり、光は粒子（光子）でもあります。より詳しく言うと光は１つ１つは粒子として振る舞うけれども、それが多数集まると波として振る舞うようになります（干渉などの現象を起こすようになる）。ただし、電磁波と光を同一視できる関係は通常のマクロなスケールにおいてだけでなく、ミクロのスケールにおいても電場と磁場（のポテンシャル）から考えて光を量子力学的に考察する事がなされます。

導出に必要な式および法則・記号・公式等

まず、マクスウェル方程式のうち時間微分を含む２式であるアンペールの法則と電磁誘導の法則の式に着目します。それらは、発散と回転の分類から言うと膜ウェル方程式の中で電場と磁場の回転に関する２式でもあります。

「ベクトル場の回転に対する回転」はベクトル解析での公式によりラプラス演算子（ｘ，ｙ，ｚでの２階偏微分を内積的な計算で作用させる演算子）を含む形になり、さらに途中計算で出てくる発散の項をガウスの法則（電場と磁場両方を使用）によって変形する事で波動方程式の形の微分方程式が得られる、というのが基本的な理論の流れです。

さらに「真空中」という条件を付ける事で電流密度の項を無視できるとすると比較的見やすい形の微分方程式となります。また、電場に対するスカラーポテンシャル（＝電位）と磁場に対するベクトルポテンシャルからも同じく波動方程式を作る事ができて、特定の解を導出するにはそちらを使う方が簡単である場合もあります。

ナブラを使って書いた場合は次のようになります。

電場についての波動方程式の導出

電場と磁場の両方についてかなり似た操作でそれぞれについての波動方程式を導出できます。電磁誘導の法則とアンペールの法則をそれぞれ使いますが、実は計算の過程において電場と磁場の場合の両方でマクスウェル方程式のうち３つを使う事になります。

電場についての波動方程式を導出する時には、まず電磁誘導の法則の式から始めます。

電磁誘導の法則の微分形	\(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=-\frac{\Large\partial\overrightarrow{B}}{\Large\partial t}\)
両辺に回転を作用させる → 右辺は磁場の回転に対する 時間微分として書ける	\(\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\right)=-\mathrm{rot}\left(\frac{\Large\partial\overrightarrow{B}}{\Large\partial t}\right)\) \(\Leftrightarrow\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\right)=-\frac{\Large\partial}{\Large\partial t}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)\)
アンペールの法則を 右辺に代入して 電場だけの式にする ◆時間による２階微分は ここで生じます。	\(\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\right)=-\frac{\Large\partial}{\Large\partial t}\left\{\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}\right)\right\}\) \(=-\mu_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{j}}{\Large\partial t}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{E}}{\Large\partial t^2}\)
左辺に公式を適用して変形	\(\mathrm{grad}\left(\mathrm{div}\overrightarrow{E}\right)-\nabla^2\overrightarrow{E}=-\mu_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{j}}{\Large\partial t}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{E}}{\Large\partial t^2}\)
電場に関する ガウスの法則を左辺に代入	\(\mathrm{grad}\left(\frac{\Large\rho}{\Large\epsilon_0}\right)-\nabla^2\overrightarrow{E}=-\mu_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{j}}{\Large\partial t}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{E}}{\Large\partial t^2}\) \(\Leftrightarrow\frac{\Large 1}{\Large\epsilon_0}\mathrm{grad}\rho-\nabla^2\overrightarrow{E}=-\mu_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{j}}{\Large\partial t}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{E}}{\Large\partial t^2}\)
電場の項とその他を 左辺と右辺に分けて整理	\(\Leftrightarrow\frac{\Large 1}{\Large\epsilon_0}\mathrm{grad}\rho+\mu_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{j}}{\Large\partial t}=\nabla^2\overrightarrow{E}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{E}}{\Large\partial t^2}\) \(\Leftrightarrow\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\right)\overrightarrow{E}=\frac{\Large 1}{\Large\epsilon_0}\mathrm{grad}\rho+\mu_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{j}}{\Large\partial t}\)
真空中で電荷密度と 電流密度が０であると すると、 ３次元の波動方程式 の形になる	真空中を想定してρ＝０および\(\overrightarrow{j}\)＝０であるとすると \(\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\right)\overrightarrow{E}=0\) \(\left(\Leftrightarrow\nabla^2\overrightarrow{E}=\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\overrightarrow{E}としても可\right)\)

以上の式では、ε_０μ_０の項が出てきた時点で
光の速さｃを使った形である１／(ｃ^２)に直して計算を進める事もできます。結果は同じです。

磁場についての波動方程式の導出

磁場についてもアンペールの法則から始めて。同様の手順でやれば波動方程式を導出できます。

アンペール法則の微分形	\(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}=\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}\right)\)
両辺に回転を作用させる → 右辺は電場の回転に対する 時間微分として書ける	\(\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)=\mathrm{rot}\left\{\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}\right)\right\}\) \(\Leftrightarrow\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)=\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}+\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial}{\Large\partial t}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\right)\)
電磁誘導の法則を 右辺に代入して 磁場だけの式にする ◆時間による２階微分は 先ほどと同じく ここで生じます。	\(\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)=\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}+\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial}{\Large\partial t}\left(-\frac{\Large\partial\overrightarrow{B}}{\Large\partial t}\right)\) \(=\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{B}}{\Large\partial t^2}\)
左辺に公式を適用して変形	\(\mathrm{grad}\left(\mathrm{div}\overrightarrow{B}\right)-\nabla^2\overrightarrow{B}=\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{B}}{\Large\partial t^2}\)
磁場に関する ガウスの法則を左辺に代入 （勾配の項は０になる。）	\(\mathrm{grad}0-\nabla^2\overrightarrow{B}=\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{B}}{\Large\partial t^2}\) \(\Leftrightarrow-\nabla^2\overrightarrow{B}=\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{B}}{\Large\partial t^2}\)
磁場だけの項と それ以外を分けて 式を整理	\(\Leftrightarrow-\nabla^2\overrightarrow{B}+\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{B}}{\Large\partial t^2}=\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}\) \(\Leftrightarrow\nabla^2\overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{B}}{\Large\partial t^2}=-\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}\)
真空中で電荷密度と 電流密度が０であると すると、 ３次元の波動方程式 の形になる	真空中を想定して\(\overrightarrow{j}\)＝０であるとすると \(\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\right)\overrightarrow{B}=0\) \(\left(\Leftrightarrow\nabla^2\overrightarrow{B}=\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\overrightarrow{B}としても可\right)\)

ポテンシャルによる電磁場の波動方程式の導出

電場のスカラーポテンシャルと磁場のベクトルポテンシャルから波動方程式（および一般の形の方程式）を作る事もできます。

この場合、まず電磁誘導の法則の微分形をベクトルポテンシャルを使った形にします。

ベクトルポテンシャルで 表した磁場	電磁誘導の法則の微分形	ベクトルポテンシャルで 表した電磁誘導の法則
\(\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}\)	\(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=-\frac{\Large\partial\overrightarrow{B}}{\Large\partial t}\)	\(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}= -\frac{\Large\partial}{\Large\partial t}\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\) \(\Leftrightarrow\hspace{2pt} \mathrm{rot} \left(\overrightarrow{E}+\ \frac{\Large\partial\overrightarrow{A}}{\Large\partial t}\right)=0\)

ここで、静電場に対する渦無しの法則を考えた時と同様に
「回転が０であるベクトル場」は何かのスカラー場の勾配として書けます。

そのスカラー場を考えて磁場の時間変化が無い時は電位に等しくなるように－Φとします。そのようにおいた式の両辺の発散を考えると式をラプラス演算子で表せます。

スカラー場Φを考えます。 （一般の場合の電場に対する スカラーポテンシャル）	\(-\mathrm{grad}\phi=\overrightarrow{E}+ \frac{\Large\partial\overrightarrow{A}}{\Large\partial t}\)となるΦが存在する。
両辺の発散を考えます。 すると、左辺は ラプラス演算子∇２で 表す事ができます。	\(-\mathrm{div}\left(\mathrm{grad}\phi\right)=\mathrm{div}\left(\overrightarrow{E}+\frac{\Large\partial\overrightarrow{A}}{\Large\partial t}\right)\) \(\Leftrightarrow -\nabla^2\phi=\mathrm{div}\left(\overrightarrow{E}+\ \frac{\Large\partial\overrightarrow{A}}{\Large\partial t}\right)\) （※スカラー場に対しては∇２Φ＝div(gradΦ)が成立。 ベクトルに対しては同様の簡単な関係式は作れません。）

ところでベクトルポテンシャルのゲージ条件はまだ何も決めていないので、少し唐突で無理やり感もあるように見えるかもしれませんが次のゲージ条件を課します。

磁場に関するガウスの法則はベクトルポテンシャルを考える事自体に使っている事に注意すると、先ほどの電磁誘導の法則をポテンシャルで考えた式を考えた時点でまだ使っていないマクスウェル方程式は電場に関するガウスの法則とアンペールの法則です。

そこで電磁誘導の法則から得られたベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルの関係式を、同じくポテンシャルで表した電場に関するガウスの法則とアンペールの法則に代入して上記のゲージ条件を適用すると波動方程式が得られます。

電場のスカラーポテンシャルの場合

電場に関するガウスの法則（微分形）	\(\mathrm{div}\overrightarrow{E}=\frac{\Large\rho}{\Large\epsilon_0}\)
一般形のスカラーポテンシャルで表した 電場に関するガウスの法則	\(-\mathrm{div}\left(\mathrm{grad}\phi+\frac{\Large\partial\overrightarrow{A}}{\Large\partial t}\right)=\frac{\Large\rho}{\Large\epsilon_0}\)
【ゲージ条件から】 \(\mathrm{div}\frac{\Large\partial\overrightarrow{A}}{\Large\partial t}=-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\phi}{\Large\partial t^2}\) 【スカラー場で成立する式】 ∇２Φ＝div(gradΦ)	\(-\nabla^2\phi+\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\phi}{\Large\partial t^2}=\frac{\Large\rho}{\Large\epsilon_0}\) \(\Leftrightarrow\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\right)\phi=-\frac{\Large\rho}{\Large\epsilon_0}\)
電荷密度を０とみなせる 場合には波動方程式の形	\(\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\right)\phi=0\)

この結果は、ベクトルではなくスカラー場の波動方程式になっています。

また、ポテンシャルで考える場合には電磁場を考える地点での電荷密度を０と考えずに一般形のまま計算をする事がよくあります。さらに、後述するこの微分方程式の解となる式においては電磁場およびポテンシャルを考えている地点とは別の領域に存在する電荷密度の分布を考えます。
それは電位やベクトルポテンシャルを考える時にも使う考え方ではありますが、紛らわしい事もあり注意が必要な点とも言えます。

磁場のベクトルポテンシャルの場合

磁場の場合はアンペールの法則の微分形から始めて、計算式が一見少し複雑になりますが波動方程式の形に変形できます。

アンペールの法則の微分形	\(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}=\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}\right)\)
\(\overrightarrow{B}=\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\)を代入 回転に関する公式により変形	\(\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\right)=\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}\right)\) \(\Leftrightarrow\mathrm{grad}\left(\mathrm{div}\overrightarrow{A}\right)-\nabla^2\overrightarrow{A}=\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}\right)\)
【ゲージ条件から】 \(\mathrm{grad}\left(\mathrm{div}\overrightarrow{A}\right)\) \(=\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}+\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{A}}{\Large\partial t^2}\) 代入すると電場の項 （変位電流の部分） が消えます。	\(\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}+\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{A}}{\Large\partial t^2}-\nabla^2\overrightarrow{A}\) \(=\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}\right)\) 両辺に同じ係数の変位電流の項があり、消える。 \(\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{A}}{\Large\partial t^2}-\nabla^2\overrightarrow{A}=\mu_0\overrightarrow{j}\)
整理するとこの形	\(\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial}{\Large\partial t^2}\right)\overrightarrow{A}=-\mu_0\overrightarrow{j}\)
電流密度を０とみなせる 場合には波動方程式の形	\(\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial}{\Large\partial t^2}\right)\overrightarrow{A}=0\)

平面波解として得られる電磁波の式

ベクトルに対する偏微分方程式も、
成分ごとに見ればスカラー関数に対する偏微分方程式になります。例えば、
\(\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\right)E_x=0\)などです。

これの解の１つとして比較的簡単で代表的なものは次のような平面波です。
（以下、ｃ＝１／\(\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\)であるとします。）

これは一体何を言っているのかという話ですが、U(ｚ－ｃｔ)は進行波でW(ｚ＋ｃｔ)が反射波を表します。さらにｘとｙは変数ではないという関数形である事は「ｚ軸方向に進行していく」事を表します。

上記の式が確かに波動方程式の解になっているかどうかについては直接計算すればよいのですが、意外と少し面倒くさくて変数と微分の関係などに注意する必要があります。（微分をしていくだけの計算問題になるので、記述は後回しにします。）

電場のｘ成分とｙ成分が平面電磁波を表す形であるとして、
磁場に関してもｘ瀬尾文とｙ成分が同様の形であるとします。
∂E_ｘ／∂ｘ＝０と∂E_ｘ／∂ｙ＝０および∂E_ｙ／∂ｘ＝０と∂E_ｙ／∂ｙ＝０などの関係をマクスウェル方程式に戻って当てはめていくと、他の成分についても決定するものが複数あります。
それらを整理すると次のようになります。

∂Ｅ_ｚ／∂ｚ＝０である事を踏まえて、
さらにＥ_ｚがｘとyに関しても定数だとしても波動方程式を満たすのでそのようなものを考えます。
つまりその場合は∂Ｅ_ｚ／∂ｘ＝∂Ｅ_ｚ／∂ｙ＝０です。

その条件下では、電磁誘導の法則のｘ成分とｙ成分から
∂E_ｙ／∂ｚ＝∂B_ｘ／∂ｔ
∂E_ｘ／∂ｚ＝－∂B_ｙ／∂ｔ
という関係が得られます。

その事から、その条件下で電場と磁場のｘ成分とy成分の関係は次のようになります。

Ｅｘ ＝Uｘ(ｚ－ｃｔ)＋Wｘ(ｚ＋ｃｔ)	Bｘ ＝(１／ｃ){－Uｙ(ｚ－ｃｔ)＋Wｙ(ｚ＋ｃｔ)｝	∂Eｙ／∂ｚ ＝∂Bｘ／∂ｔ
Ｅｙ ＝Uｙ(ｚ－ｃｔ)＋Wｙ(ｚ＋ｃｔ)	Bｙ ＝(１／ｃ){Uｘ(ｚ－ｃｔ)－Wｘ(ｚ＋ｃｔ)｝	∂Eｘ／∂ｚ ＝－∂Bｙ／∂ｔ

もし進行波と反射波が別々のベクトルであるとするなら、電磁波の進行方向に対して垂直な平面内で進行波における電場と磁場は直交し、反射波における電場と磁場も直交する事になります。

進行波と反射波が 別々のベクトル という仮定	電場	磁場	進行方向に垂直な 平面内での電場と磁場の内積
入射波	Eｘ１＝Uｘ Eｙ１＝Uｙ	Bｘ１＝－Uｙ／ｃ Bｙ１＝Uｘ／ｃ	(１／ｃ)（－UｘUｙ＋UｘUｙ）＝０
反射波	Eｘ２＝Wｘ Eｙ２＝Wｙ	Bｘ２＝Wｙ／ｃ Bｙ２＝－Wｘ／ｃ	(１／ｃ)（WｘWｙ－WｘWｙ）＝０

電磁波における電場と磁場の成分が正弦波あるいはその重ね合わせであると考えると、平面電磁波の電場と磁場の成分が進行方向に垂直である事は「波数ベクトル」との内積が０になる事でも示せます。

ポテンシャルによる計算から得られる電磁波の式

ポテンシャルを使ったほうの波動方程式を解くと、少し別の形の数式での電磁波の式を得ます。

スカラーポテンシャルにしてもベクトルポテンシャルにしても、静電場と静磁場の場合には積分の形はとるけれども一応微分方程式の解としてポテンシャルを数式で表す事は可能です。

そして前述のポテンシャルの波動方程式および一般の形の式（ρ≠０等の場合）でも、実はかなり似た形の式が解になります。

静電場や静磁場に限定した時と異なる点は、電荷密度と電流密度に変数として加わる「時間」の部分です。そしてその時間変数は、空間中で電磁波による電磁場を考えている地点と、電磁場を作っている電荷や電流がある領域との時間変化における「時刻」のずれが反映された形にする必要がある事が知られています。

具体的には、まず平面波を表す解で得られた電磁波の速さｃ＝\(\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\)が一般に適用できるものだと仮定して、電荷や電流の各位置から電磁場を考える位置までの距離をｒとします（これは関数）。

そして、電荷や電流の時間変数をｔとした時に、その変数をｔ－ｒ／ｃに置き換えたものを考えます。
これはｒという位置座標の関数を含むのでｘ，ｙ，ｚ，ｔの関数です。
そこでＴ(ｘ，ｙ，ｚ，ｔ)＝ｔ－ｒ／ｃとおいておきます。

前述のポテンシャルで表した場合の真空中の波動方程式、および電荷密度あるいは電流密度が０でない場合の式における解の１つは次式で表されます。

また、ポテンシャルから計算できる電場と磁場は次のようになります。

遅延ポテンシャルが解となっている事の確認計算

先ほどの「遅延ポテンシャル」が波動方程式を作るポテンシャルの式を満たすのかどうかは、少々長ったらしい計算が必要ですが確認する事ができます。

まず、スカラーポテンシャルのほうを見ます。ベクトルポテンシャルについても、成分ごとに見ればスカラーポテンシャルの時と同様に計算ができます。

∇^２と発散、勾配はいずれもｘ，ｙ，ｚの変数での偏微分を行うものとします。

勾配ベクトルの内積部分の計算

勾配ベクトルの内積部分の計算を先に見ます。

積分内のρの変数であるX，Y，Z，Tのうち
ｘ，ｙ，ｚの関数であるのはＴだけです。
∂ρ／∂ｘ＝(∂ρ／∂Ｔ) (∂T／∂ｘ)
【本来、数学的な計算としては∂ρ／∂ｘ＝(∂ρ／∂Ｔ) (∂T／∂ｘ)＋(∂ρ／∂X) (∂X／∂ｘ)＋・・・で、
∂X／∂ｘ＝０，∂Y／∂ｘ＝０，∂Z／∂ｘ＝０なので(∂ρ／∂X)(∂X／∂ｘ)等の項は０】

ここでＴ＝ｔ－ｒ／ｃなので、
∂T／∂ｘ＝－(∂／∂ｘ) (ｒ／ｃ)＝－(ｘ－X)／(ｒｃ) であり、
∂ρ／∂ｘ＝(∂ρ／∂Ｔ) (∂T／∂ｘ)＝－｛(ｘ－X)／(ｒｃ)｝(∂ρ／∂Ｔ)

他方でＴ＝ｔ－ｒ／ｃをｔで偏微分すると∂Ｔ／∂ｔ＝１であり、
∂ｘ／∂ｔや∂Ｘ／∂ｔ等は０なので
∂ρ／∂ｔ＝(∂ρ／∂Ｔ) (∂Ｔ／∂ｔ)＋(∂ρ／∂ｘ) (∂ｘ／∂ｔ)＋(∂ρ／∂ｙ) (∂ｙ／∂ｔ)＋・・・
＝(∂ρ／∂Ｔ) (∂Ｔ／∂ｔ)
＝∂ρ／∂Ｔ

つまり∂ρ／∂ｔ＝∂ρ／∂Ｔの関係があるので
先ほどの式は
∂ρ／∂ｘ＝－｛(ｘ－X)／(ｒｃ)｝(∂ρ／∂ｔ)と書けます。
【Tによる偏微分ではなくｔによる偏微分でも同じ結果になるという事。】

これらの事はｙやｚについても同様の計算で、時間変数による偏微分はｔで書けます。
∂ρ／∂ｙ＝－(ｙ－Y)(∂ρ／∂ｔ)／(ｒｃ)
∂ρ／∂ｚ＝－(ｚ－Ｚ)(∂ρ／∂ｔ)／(ｒｃ)となるので
\(\overrightarrow{R}=\frac{\Large 1}{\Large r}(x-X,y-Y,z-Z)\) とすると、
gradρ＝－(１／ｃ) (∂ρ／∂ｔ)\(\overrightarrow{R}\)

ここで、grad(１／ｒ)＝－\(\overrightarrow{R}\)／(ｒ^２)であり、
\(\overrightarrow{R}\)の大きさは１である事に注意すると∇^２(Φ／ｒ)の式中の内積計算は
２{grad(1／ｒ) }・(gradρ)＝{－２／(ｒ^２) } {－(１／ｃ) (∂ρ／∂ｔ) }
＝{２／(ｃｒ^２) } (∂ρ／∂ｔ)
【この項は、あとで消えます。】

電荷密度に対する∇^２ρの部分の計算

また、スカラー関数については∇^２ρ＝div(gradρ)なので、div(gradρ)を計算します。
grad(∂ρ／∂ｔ)については先ほどのgradρ＝－(１／ｃ) (∂ρ／∂ｔ)\(\overrightarrow{R}\)と同じ形の計算が可能で、
grad(∂ρ／∂ｔ)gradρ＝－(１／ｃ) (∂^２ρ／∂ｔ^２)\(\overrightarrow{R}\)

\(\overrightarrow{R}\) の大きさはｒ／ｒ＝１である事に注意して、
公式div(φ\(\overrightarrow{F}\))=(gradφ)・\(\overrightarrow{F}\)＋Φdiv\(\overrightarrow{F}\) および
div\(\overrightarrow{R}\)=２／ｒも使用すると次のようになります。

$$\nabla^2\left(\mathrm{grad}\rho\right)=\mathrm{div}\left(\mathrm{grad}\rho\right)$$

$$=\mathrm{div}\left\{-\frac{1}{c}\frac{\partial \rho}{\partial t}\overrightarrow{R}\right\}=-\frac{1}{c}\left\{\left(\mathrm{grad}\frac{\partial \rho}{\partial t}\right)\cdot\overrightarrow{R}+\frac{\partial \rho}{\partial t}\mathrm{div}\overrightarrow{R}\right\}$$

$$=-\frac{1}{c}\left\{-\frac{1}{c}\left(\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}\overrightarrow{R}\right)\cdot\overrightarrow{R}+\frac{2}{r}\frac{\partial \rho}{\partial t}\right\}$$

$$=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}-\frac{2}{cr}\frac{\partial \rho}{\partial t}$$

これを見ると、式の最後の形の２項目の－{２／(ｃｒ)} (∂ρ／∂ｔ)に１／ｒを乗じると
先ほどの２{grad(1／ｒ)}・(gradρ)＝{２／(ｃｒ^２)} (∂ρ／∂ｔ)に加えれば０になる事が分かります。

よって、ここで式を一度整理すると次式になります。

$$\nabla^2\left(\frac{\rho}{r}\right)=\frac{1}{r}\nabla^2\left(\mathrm{grad}\rho\right)+2\left\{\mathrm{grad}\left(\frac{1}{r}\right)\right\}\cdot(\mathrm{grad}\rho)+\rho\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)$$

$$=\frac{1}{c^2r}\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}+\rho\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)$$

この式に１／(4πε_０)を乗じて領域Vで体積積分します。
【ベクトルポテンシャルの成分の時には、ここでμ_０／(４π)を乗じます。】

$$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\nabla^2\left(\frac{\rho}{r}\right)dv=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\left\{\frac{1}{c^2r}\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}+\rho\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)\right\}dv$$

$$整理すると、\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\frac{\rho}{r}dv\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\rho\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)dv$$

ｒ≠０の時はρ∇^２(1／ｒ)＝０なので波動方程式の形を満たす事が分かります。

$$r\neq 0であるなら、\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\frac{\rho}{r}dv\right)=0$$

ではｒ＝０になるような点を含む場合ではどうかというと、その場合でも遅延ポテンシャルの形の式は積分をした時に極限を考える形でρ≠０の場合の方程式を満たします。（デルタ関数で考える事も多い。）また、遅延ポテンシャルによる解は実はかなり一般性を持った形の解でもあります。

電磁誘導（「でんじゆうどう」）は「磁場が変化する事で起電力が生じる」事を表す現象で、発電機や変圧器の原理です。電磁誘導の法則はマクスウェル方程式の１つで、数式的には磁場の時間変化と電場の回転を含む式になっています。

電磁誘導の法則は、アンペールの法則と組み合わせて電磁波を表す式を導出するための法則でもあります。また、電磁誘導の法則はマクスウェル方程式の中では電気回路論との直接的な関係が強い法則であるとも言えます。そのため、この記事では電磁誘導に関連した回路論の事項もいくつか含まれます。

電磁誘導を考えるにあたって重要となる「誘導起電力」について、記号はVでもEでもεでも何でもよいのですが、この記事では統一してV_eという記号で書いておきます、（それほど深い意味はなく、電場等との記号と混同しないようにという意味合いです。）

電磁誘導という現象

直流電源（起電力の向きが一定）をつないだ回路と電源が無い回路を用意して、電源を入れると電源が無いほうの回路にも一瞬だけ電流が発生します。この現象が電磁誘導です。

この現象は、電源をつないでいない回路に磁石を近づけたり遠ざけたりする時にも起こります。つまり磁場が関係している事が分かります。１つの回路が別の回路に電流を発生させているのは、片方の回路の電流によって発生した磁場であると言えます。

ただし磁場さえあれば同じ現象が起きるかというと実はそうではなく、
「磁場の変化」（つまり増加か減少）があるとそのような事が起きます。また、電源をつないでいない回路に発生する電流の大きさは回路の導線の長さ・断面積・材質で変化します。つまり回路の抵抗に依存します。そのため、磁場の変化によって誘起されるのは電流を生じさせる「起電力」（電源としての電位差）であると考えられるわけです。

• 電磁誘導が起きるのは「磁場の変化」が起きる時
• 磁場の変化によって誘導されるのは回路全体に電位差を作る「起電力」（回路全体の電圧）

電磁誘導は１つの回路の電流による磁場が、電気的には絶縁されている他の回路に対して誘電起電力および結果としての電流を生じさせています。これについては、切り離された２つの電気回路が磁気回路によって接続されているという見方もできます。確かに直流電流が発生させる誘導起電力は「電源を入れた時と切った時だけ」の一瞬ですが、交流電流であれば継続的な交流の誘導起電力を発生し続ける事ができます。

しかも、次に見て行くように発生する誘導起電力は「磁場の変化」の大小で決定し、直接的には電流の大きさには依存しません。すると、何らかの方法で局所的に磁場の変化量を増やせば回路の電圧の調整が可能になります。（具体的には導線をコイル状にして、さらに中に鉄心を入れます。）それを実用化しているのが変電所等に設置されている変圧器です。電磁誘導は発電機の原理でもありますが、変圧器の原理でもあるわけです。

法則の積分形（固定回路で磁場の時間変動がある時）

電磁誘導の法則は、磁束と誘導起電力との関係を表した式です。磁束とは磁場の法線面積分で表される量を言います。（\(\overrightarrow{B}\) を「磁束密度」として考える事があるのは磁束の定義に由来します。ただし当サイトではそれを磁場として扱う方式で記述をしています。）

そして誘電起電力を「電気回路一周分で電荷が受ける事になる仕事」として捉えると、電磁誘導の法則は「電場の回転」と「磁場の時間変化」の関係を表す式であるとみなす事ができます。

他の３つのマクスウェル方程式同様に、電磁誘導の法則にも積分形と微分形が存在します。法則の直接的な意味が分かりやすいのは積分形であり、次のようになります。

電磁誘導の法則について、発生する誘電起電力の「向き」に着目したものを特にレンツの法則と呼ぶ事もあります。

起電力の発生とは回路全体に電位差が生じる事です。その結果として回路には電流が発生します。この時に回路の導線に沿って電場が発生していると考えて、それを特に誘導電場と呼ぶ事があります。

この時に、＋１ [C]の電荷を置いてみた時に誘導電場から受ける仕事が「回路全体に生じている電位差」（＝起電力）であるので、それは回路１周分の電場（＝＋１ [C]の電荷が受ける電気力）の接線線積分で表す事ができます。

閉曲線Cは導線でできた回路を考えてもいいし、空間内のてきとうな任意の閉曲線を考えても良い事になります。導線の回路とは無関係に閉曲線を考えた場合でも、磁場の時間変動（および磁束の時間変動）があるなら起電力に相当する電位差は発生していると見るわけです。

回路として導体でできたものを指定しなくても閉曲線として形状さえ指定すればよいという意味では、確かに物理的には「より一般的な式」であるという事は言えそうです。

法則の微分形

電場と磁場の関係で表した電磁誘導の法則の積分形にストークスの定理を適用すると、法則の微分形を得る事ができます。

ストークスの定理を適用するのは、電場のほうの項です。それが循環（周回の接線線積分）の形になっているので、「電場の回転」の法線面積分として書けます。

$$\oint_C\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_{S_0}\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}$$

開曲面をS_０としていますがこれは磁場のほうに対する開曲面と同じである必然性がないので予めそう書いただけであり、本質的にはあまり関係ありません。

$$電磁誘導の法則により\oint_C\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=-\int_S \frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot d\overrightarrow{s}であるから$$

$$\int_{S_0}\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=-\int_S \frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot d\overrightarrow{s}$$

開曲面S_０とSは任意にとれるので、式が成立するには被積分関数が同一でなければなりません。
よって、電磁誘導の法則の微分形が成立する事になります。

これは他のマクスウェル方程式の積分形から微分形への変形の時と同じやり方です。

電磁波の式を導出する時にマクスウェル方程式を組み合わせる時には、基本的に微分形のほうの式を使います。電磁誘導の法則と組み合わせるのはアンペールの法則の微分形です。

時間変動しない磁場中で回路が動く時の法則の形

ところで各位置における磁場が時間的に一定である時に、回路自体を動かしても「回路を通過する磁束」は変化する事になります。（磁場の分布と運動の仕方によっては変化しない事もありますが、一般的に言えば変化をします。）

実際、そのような場合でも電磁誘導は起きます。ただし、その時に電磁誘導の積分形の見た目が違った形で書かれる事があります。

それは接線線積分で書かれる事になりますが、上述の電磁誘導の法則の積分形をストークスの定理等を使って変換したものとは異なります。

電磁誘導の法則の積分形の元の形に即して言えば考え方自体は固定された回路において磁場が時間変動する時と同じで、回路を周・外縁とする開曲面の磁束の変化を計算していると見る事ができます。

回路を閉曲線Cとして、それを外縁とする開曲面Sを考えます。

回路が移動あるいは変形すると、そもそもの閉曲線が変わるので開曲面に対する磁束も変化します。（平行移動や回転で開曲面の形状を変えていなくても。）

１つの閉曲線Cに対しては開曲面Sは任意に選べるので、なるべく大きくならないものを選びます。例えば閉曲線の各点を直線で結ぶ事で形成される曲面などです。

最初に存在する閉曲面S_１と、移動後の閉曲面S_２を考えて、
それと移動の軌跡で作られる側面の閉曲面S_ｄも考えます。
次に、速度ベクトルがS_１の表面とのなす角が１８０°以下の時を見てみます。これは速度ベクトルがS_１の表面側を向いている状況です。

任意の時刻で静磁場に関するガウスの法則が成立しているとすれば、
閉曲面全体での磁場の法線面積分（＝磁束）の合計は０です。
（この事は、電磁誘導の積分形のところで触れた「磁束は１つの閉曲線を外縁として共有している条件のもと任意の開曲面で考えても同じ値になる」という話と同じです。）

その内訳を見ると、最初のS₁の表面が「閉曲面の裏面」になる事に由来してS_１に対する磁束Φ₁とS_２に対する磁束Φ_２が互いに異符号で存在します。それと軌跡で作られた側面S_ｄにおける速度ベクトルと接線ベクトルの外積が閉曲線の内側を向いています。

するとΦ_２－Φ_１－Φ_ｄ＝０ ⇔ Φ_２－Φ_１＝Φ_ｄ　です。

非常に短い時間では、Φ_ｄは「速度ベクトル（どの位置でも同じ）と接線ベクトルが作る平行四辺形」を面積に持つ面積要素ベクトルと、磁場との内積を考えた法線面積分です。

しかしこの時の面積要素ベクトルは「速度ベクトルと接線ベクトルの外積ベクトル」に等しく、それを閉曲線C（最初の位置での閉曲線）において周回ですればよい事になります。上記の式で言う２段目の形です。その式をさらにベクトルの外積の公式で変形すると上記の１段目の形が得られます。

$$移動の軌跡で作られる面の磁束\Phi_d=\int_{S2} \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}=-\oint_C \overrightarrow{B}\cdot\left(\overrightarrow{v}\times d\overrightarrow{l}\right)$$

$$=\oint_C \left(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}\right)\cdot d\overrightarrow{l}$$

曲線の一部だけが移動すると考えれば、
回路の形状が微小に変化する場合にも同様に考える事ができます。

次に、S_１の表面と速度ベクトルのなす角が１８０°を超える時、つまり速度ベクトルがS_１の裏面側に伸びている状況を考えます。この時は、閉曲面を考える事で表が裏に転じるのはS_２のほうになります。さらに、速度ベクトルと接線ベクトルの外積は今度は閉曲面の外側（＝表側）を向くようになります。

従ってその場合はΦ_１－Φ_２＋Φ_ｄ＝０となり、
Φ_１－Φ_２=－Φ_ｄ ⇔ Φ_２－Φ_１＝Φ_ｄ となって
先ほどと同じ関係式になったので同様に考える事ができます。

自己インダクタンスと逆起電力

「１つの回路による電流による磁場の変化が、もう１つの回路に誘導起電力を発生させる」という理論をよく考えてみると、磁場を生じている元の回路を通過する磁場も変化しているはずではないのか？と思えるかもしれません。

そして実はそれは正しくて、一般的に電気回路は
「それ自身に発生している電流による磁場の変化があった時」
にはそれに由来する誘導起電力が発生するのです。
そしてその部類の誘電起電力は特に逆起電力と呼ばれます。
それは直流回路で電源を入れた時などは無視できる大きさですが、交流電気回路では考慮に入れる必要があります。特にコイルがある場合には基本的に無視する事はできない事が多いです。

実験によって（あるいはアンペールの法則やビオ・サバールの法則から）直線電流によって生じる磁場は電流の大きさに比例します。これは交流電流のように電流が時間変化する場合でも、各時刻で考えると同じ事が言えます。

そこで主に逆起電力を考える場合に特に多く使う考え方として、
比例定数Lを使って磁束をΦ＝L I と表現する事が多くあります。
この比例定数Lを、考えている回路の自己インダクタンスと呼びます。
この形の磁束の式を使って逆起電力を表す場合の電磁誘導の法則の式を書くと、
V_e＝－(ｄΦ／ｄｔ)＝－L (ｄI／ｄｔ)となります。

その形の式は、電気回路に限定した議論のように空間的な電場や磁場のベクトルを考えなくてもよい場合によく使われます。回路で考えている場合の電流は時間に依存する事はあっても、空間的な位置座標には依存しません。

自己インダクタンスを使った考え方は回路論以外で使ってはいけないわけでは無いですが、
基本的に「電流が作っている磁場が、その電流が生じている回路に及ぼす誘電起電力（＝逆起電力）」
を考えているので必然的に電気回路で使う事が多くなるわけです。

ここで、回路にV sin(ωｔ)で表される交流電源があって、回路素子としては無視できないインダクタンスを持つコイルだけがある状況を考えてみます。
（全ての導線にもコイルにも抵抗成分は必ずありますが、ここでは簡単のためにそれらは無視できる大きさとして考えます。）

すると、キルヒホッフの法則（回路の電圧降下の合計は起電力に等しいというもの）を考えると
「電源の起電力＝逆起電力の大きさ」という事になってV sin(ωｔ)＝L (ｄI／ｄｔ)です。
（向きまで含めて考えれば電源の起電力とここでの逆起電力は符号が異なります。）
このｔに関する微分方程式は比較的簡単に解く事ができます。
任意定数が０になるように初期条件を考えると、Ｉ＝－｛１／(Ｌω)｝cos(ωｔ) となります。
【合成関数の微分を考えて(ｄ／ｄｔ){cos(ωｔ)}＝－ωsin(ωｔ)となる事に注意。】

－cos(ωｔ)＝－sin(π／２－ωｔ）＝sin(ωｔ－π／２）でもあるので、
コイルの端子間電圧（ここでは電源電圧に等しい）V sin(ωｔ)に対して
コイルに生じている電流は「位相がπ／２遅れている」という表現もされます。これは交流回路論においては割と重要です。

使われ方:１発電機における電磁誘導

電磁誘導を利用して発電を行う発電機にはいくつか種類がありますが、
実はいずれも電動機（モーター）と対になった分類になっています。発電所で従来から使われてきた発電機で多いものは同期発電機（synchronous generator）と呼ばれます。以下、積分などの計算はありませんがいわゆる電気機器・電気機械の理論独特の多少込み入ったな話も一部含まれます。

• 同期発電機：発電所で多く使われてきた発電機。火力発電などでは一般的に巨大。
• 直流発電機：交流ではなく直流の電源として使える発電機。
• 誘導発電機：誘導電動機という種類の電動機を発電機として使ったもの。やや稀なタイプ。

原理的には交流の電源を作るには磁場を回転させてもよいし,

磁場を固定して回路の一部であるコイルのほうを回してもよいのですが、火力発電に使われるような大型の同期発電機では磁場を発生させる電磁石（以下、「磁極」と呼びます）のほうをタービンの軸に接続して回転させます。

この場合、誘電起電力を発生させるコイルは回転する磁極を囲むようにして固定されます。
磁極は通常の磁石のようにNとSに相当する部分が対になりますが、この対を複数設置して同時回転させる事もできます。火力発電では２極（つまりNとSの１対だけ）の事が多く、小規模の水力発電などでは多くの極（例えば多いものでは４８極）などが使われる傾向があります。

発生する起電力の計算に使うのは、
電磁誘導の法則において「磁束の時間変化」を直接使うパターンです。

磁極を回転させる時にはコイル面に対する磁場の垂直成分が理想的には時間を変数として正弦関数と嬉しいのですが、実はコイルの配置などを工夫しないと歪んだ台形のような波形になってしまいます。（周期関数を正弦波の和で表す考え方だと「高調波」成分が多くなる事を意味します。）
ここではそのような工夫が既にされているとして、誘導起電力を発生させるコイルにおける磁場の波形が正弦波に近似できるものとします。また、磁束を考える面は長方形状のコイルの平らな面であるとして、その面積をＳとします。

さてそのような時には考察は比較的簡単で、
コイルの面の面積要素ベクトルと磁場のなす角度が回転磁極の角速度ωと時間ｔの積ωｔで表せる事になります。

今、磁場ベクトルの大きさが一定でBであるとします。
コイル面に対する垂直成分Ｂ_０が正弦波で表されるとすると
Ｂ_０＝Bsin(ωｔ)で、ωｔ＝π／２の時に最大値です。
（磁場とコイル面の面積要素ベクトルとのなす角θを使えばＢ_０＝Ｂcosθであり、
位置関係としてはθ＋ωｔ＝π／２です。）

よってこの時のコイル１巻き分の磁束はΦ＝SBsin(ωｔ)で、１巻きのコイルに対する誘電起電力は
V_e＝－(ｄΦ／ｄｔ)＝－ωＳＢcos(ωｔ)＝ωＳＢsin(π／２－ωｔ)です。
自己インダクタンスを使った計算時のように合成関数の微分になります。

$$合成関数の微分である事に注意して、V_e=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d}{dt}\left\{SB\sin (\omega t)\right\}=-\omega SB\cos (\omega t)$$

速度ではなく周波数ｆ[Hz] で考えるならω＝２πｆなのでV_e＝－２πｆＳＢcos(ωｔ)です。
実効値で考えるのであれば最大値（つまり正弦または余弦が１の時）の絶対値を\(\sqrt{2}\)で割って
V ＝\(\sqrt{2}\pi\)ｆＳＢ です。
（SもBも定数であるのでまとめて\(\phi\)＝ＳＢとおいてしまう事もあります。)

以上の結果はコイル１巻きに対してなので、ｎ回巻かれていればｎ倍になります。
その他、導線の結線方法やコイルの巻き方に由来して所定の値や係数が乗じられます。
ただし発電機の誘電起電力は高ければ高いほど良いというものでも無いので、用途に応じて所定の電圧の電源になるように構造が決定されています。

• 磁場の大きさの波形を正弦波に近付けるために１箇所にコイルの巻きを集中させない方式（分布巻、短節巻等）を使った場合は誘電起電力が理論値より少し減るので巻線係数ｋを乗じます。
  ｋは基本的におおよそ０．８７～１未満の値です。
  さらに細かく見るとこの巻線係数は別の２つの係数の積です。
• ３つの正弦波の位相が互いに１２０°ずれた「三相三線」の線路として出力する場合は、
  ２本の導線の「線間電圧」は１相で考えた場合の\(\sqrt{3}\)倍になります。

使われ方２：変圧器における電磁誘導

変圧器は変電所に設置されている装置であり、電柱の上にも設置されています。
２つの電気回路を接続し、それぞれの接続部分にコイルがあります。電柱に張り巡らされた電線の２線間の電圧は高圧の６６００[V] であり、それを家庭で使う１００Vに下げます（降圧）。逆に、発電所から鉄塔の送電線に向けては特別高圧の範囲の１万～５０万[V] にまで電圧を上げます（昇圧）。

変圧器の原理は発電機と同じく電磁誘導であり、交流回路においてのみ機能します。理論的には前述の逆起電力の考え方が重要な部分の１つでもありますが、変圧に関する結果の式は非常に簡単で２つのコイルの電圧の比は「コイルの巻き数の比に等しい」というものです。

結果の式は簡単ですが、導出する時には実は少し注意が必要な点もいくつかあります。
以下、導出の概略について説明します。

１次側のコイルによる電誘誘導によって２次側の回路に誘導起電力が生じるわけですが、この時に実は２次側のコイルによる磁束の変化が１次側に逆に影響を及ぼします。
ただし１次側に変化があるのは実は電圧ではなく電流のほうで、２次側からの電磁誘導に由来する電流が逆起電力を発生させて結果的に１次側の電圧の変化を打ち消す仕組みになっています。

そのため、変圧器で２つの回路を接続した時には１次側には２種類の電流があると考えます。「励磁電流」はであり、「１次負荷電流」は２次側のコイルからの電磁誘導に由来する電流です。しかし大きさ的には一般的に後者のほうが大きくなります。

• 「励磁電流」：２次側の回路に誘導起電力を発生させる電流。大きさ的には小さい。
• 「１次負荷電流」：２次側のコイルからの電磁誘導に由来する電流。
  ただし逆起電力によって、結果的に１次側のコイルの端子間電圧に基本的に影響を与えない。

１次側の励磁電流によって、１次側のコイルには巻き数Nに比例する磁場が発生します。
そこで、この励磁電流による磁束は励磁電流の大きさと１次コイルの巻き数に比例するとして
Φ_０＝ｋNI とおけます。

ここで、自己インダクタンスLの定義は
「電流が発生させた磁束について」Φ＝LIとなるような定数の事でしたが、
電流がコイルの１つ１つの輪に作用して逆起電力を発生させている事を考えると
実はこの場合の磁束は「Φ_０のN個分の合計」として考える必要があります。
そのために１次コイルのに対して励磁電流が発生させた磁束の合計は Φ＝ｋN^２I であり、
自己インダクタンスはL_１＝ｋＮ^２となるのです。

この時に回路の抵抗成分は小さいとすると、逆起電力V_１の大きさは電源電圧とほぼ同じになります。（向きは互いに逆です。）
電源の起電力をVsin(ωｔ)とすると、
Vsin(ωｔ)＝－L_１(ｄＩ／ｄｔ）により（あるいはリアクタンスL_１ωを使って）
励磁電流は I＝－{Vcos(ωｔ)}／(L_１ω)＝－V{cos(ωｔ)}／(ｋＮ^２ω)です。
つまり、少し妙な感じもするかもしれませんが
「励磁電流の大きさは１次コイルの巻き数の２乗に反比例する」というわけです。
【逆起電力は、ここでは大きさが電源の起電力に等しく向きが逆でV_１＝－Vsin(ωｔ)です。】

ここで改めて１次コイルが近似的にソレノイド同様の磁場を作ると考えると、先ほどと同じように考えてΦ_０＝ｋNI＝－V{cos(ωｔ)}／(Ｎω)の磁束が発生しますが今度はこれは１次コイルではなく２次コイルのほうに作用している状況を考えます。

２次コイルでの誘電起電力Ｖ_２は電磁誘導の法則により －(ｄΦ／ｄｔ)を計算する式で考えます。
１巻きではNに反比例し、２次コイルでM巻きの導線の輪があるのでM倍します。

つまり、Φ_０＝－V{cos(ωｔ)}／(Ｎω)をｔで微分して符号を変えてからＭ倍する事によって、
V_２＝－M(ｄΦ_０／ｄｔ)＝－VM{sin(ωｔ)}／Ｎです。
（結果的にωは式から無くなります。）

よって、V_１≒－VのもとでV_２／V_１＝{－VM{sin(ωｔ)}／Ｎ}／{－V{sin(ωｔ)}＝M／Ｎとなります。
（実効値をE_１およびE_２として、E_２／E_１で考えたとしても同じようにE_２／E_１＝M／Nとなります。）
以上の事は、交流回路における複素数法（交流の電流と電圧は複素数として直流回路同様に計算しても正しい結果を得る）を使うと少しだけ計算は見やすくなります。

逆三角関数とは「三角関数の逆関数」で、正弦、余弦、正接のそれぞれに対して存在し、
それぞれ「逆正弦関数」「逆余弦関数」「逆正接関数」と呼んで Arcsinｘ，Arccosｘ，Arctanｘ
もしくは sin^－１ｘ，cos^－１ｘ，tan^－１ｘ のように書きます。
あるいは arcsinｘ，arccosｘのように書く事もできますが、
それらは記述法によっては Arcsinｘ等と区別して意味を持たせる事もあります。

逆三角関数が使われる事が比較的多いのは微積分においてです。そのため、この記事の後半では微積分的な内容がやや多くなります。また、どちらかというと数学的な内容が中心になりますが逆三角関数のいくつかの使用例についても説明します。

種類と基本的性質

通常の正弦関数ｙ＝sinｘに対してはｘの値を決めればｙが定まるわけですが、理論的にはｙに対してｘの値も計算できるというふうにも見れます。つまりｘ＝f(ｙ) のように考えるわけです。これが一般的な逆関数の考え方ですが、それを三角関数について考えたものが逆三角関数です。

例えばｙ＝sinｘに対して
ｘ＝π／２の時にはｙ＝sin(π／２)＝１であるので、π／２＝Arcsin１のようになります。
同様に、例えばｘ＝π／４の時にtanｘ＝１なので π／４＝Arctan１のようになります。
つまり「三角関数あるいは三角比のある値を与える角度は何か？」
という事を表したのが逆三角関数です。

ですので具体的な意味としては実は難しくないのですが、
数学的には注意点は２つほどあります。

ｙとｘの文字の使い分けの関係は混乱を生じやすいかもしれませんが、
何の文字を使っているかに関わらずに Arcsin 等の逆三角関数を使う時には
変数とその定義域は「通常の三角関数の値」であり、
逆三角関数の値とその値域は「角度」を考えています。

多くの場合、三角関数ｙ＝sinｘなどを使っている中で逆三角関数を考える場合には
変数と関数を表す文字を区別するためにｘ＝Arcsinｙのように書いて、
微積分などで単独で逆三角関数を最初から使う時にはｙ＝Arcsinｘのように書いたりします。
（後述で少し触れますが同じく逆関数の関係にある指数関数と対数関数の関係と同じように捉えると分かりやすいかもしれません。）

文字としてはｘでなくてもθなどを使っても同じです。

逆三角関数の「主値」について

逆三角関数の変数の定義域および値域としての「三角関数の１周期分」については無限個の区間からどこを切り取っても同じですが、普通は逆三角関数が単調増加または単調減少となるように考えます。
例えば sinx に対しては [－π／２，π／２]で考えれば十分とするわけです。（これは三角関数の定義域で、逆三角関数から見れば値域になります。）

また、普通は三角関数の１周期分を０を含む範囲で考えて、先ほども触れましたが逆三角関数の値がそこに含まれる事を指して主値と呼ぶ事があります。例えば sinｘ＝０となるｘは０，π、２π、・・・のように無限にあり得るわけですが、主値を使うなら Arcsin０＝０です。
何のことわり書きも無ければ、普通は逆三角関数は主値で考えられています。

３つの逆三角関数で共通して主値で値を考える場合には、
同じ三角関数の値ｘ（これは変数ではなく関数値）に対するArcsinｘとArccosｘについて
sin(Arcsinｘ)＝cos(Arccosｘ)＝sin(π／２－Arccosｘ)であり、
Arcsinｘ＝π／２－Arccosｘ ⇔ Arcsinｘ＋Arccosｘ＝π／２の関係式が成立します。
ここで主値におけるArccosｘの値域は [０，π]、でArcsinｘの値域が [－π／２，π／２]なので
範囲の整合性はとれているわけです。

初等関数としての逆三角関数の位置付け

逆三角関数は、分類としては実は初等関数に含まれます。
少し妙に思えるかもしれませんが、一応それには理由があります。

初等関数とは、程度の低い関数という意味では無くて数学において基礎となっていて非常に多く使う種類の関数をまとめて呼ぶ総称です。そこに実は逆三角関数も含まれるわけです。（初等関数に対する語は「特殊関数」です。多くは積分や級数で表され、ベータ関数、ガンマ関数、ゼータ関数など多数あります。）

具体的には、次の関数およびその四則演算（平方根なども含む）と逆関数、合成関数を指します。

• 単項式ｘ^a（aは実数）
• 三角関数 sinｘなど
• 指数関数 e^ｘなど

さてここで「対数関数」lnｘ＝log_eｘを敢えて入れませんでしたが、対数関数も初等関数の１つです。ただし、対数関数は指数関数の逆関数です。（指数関数が対数関数の逆関数であると言っても正しい。）そのため、同じ初等関数の中でそれら２つは対になっているわけです。
【双曲線関数 sinhｘなども初等関数の１つですが、指数関数によって定義されます。】

また、単項式についてもｘ^aとｘ^１／aが互いに逆関数の関係になっています。
例えばｘ≧０におけるｙ＝ｘ^２の逆関数はｙ＝ｘ^１／２＝\(\sqrt{x}\) です。

そこで「じゃあ三角関数の逆関数ってどういうものか？」というところにつながるわけです。

指数関数にも単項式にも逆関数を考える事ができて、それではつまり、初等関数という枠組みで見ると三角関数だけ逆関数を敢えて考えない数学的な理由は無くて、むしろ考えておいたほうが整合性が色々ととれる事になります。

ただし、指数関数と対数関数の関係のように逆三角関数にも単独で積極的に活用できる性質があるのかというと、他の初等関数と比べるとそういう面は「やや弱い」と言えそうです。

確かに逆三角関数の性質として「角度が値として分かる」というのはあるのですが、そもそも角度というものが特別ないくつかの値以外は把握も測定もしづらいところがあるから三角比や三角関数を考えているのでもあります。

しかし次に見るように、微分と積分について考えると少なくとも数学上の活用方法は出てきます。

逆三角関数の微分の公式

値域を主値で考えた時の逆三角関数の微分公式を挙げておきます。（ただし、微分そのものが積極的に使われるというよりは、むしろその逆演算である積分のほうでの使い道がやや多いです。）

Arcsinｘの微分などと聞くといかにも面倒くさそうですが、実は三角関数の微分に対して逆関数の微分公式を適用するとすぐに導出できるのです。ｘやｙの変数の扱いにだけ注意すれば意外と難しくないのではないかと思います。

通常の三角関数の微分によって得られる導関数はそれぞれ次のようになります。

• (ｄ／ｄｘ)sinｘ ＝cosｘ
• (ｄ／ｄｘ)cosｘ＝－sinｘ
• (ｄ／ｄｘ)tanｘ ＝１＋tan^２ｘ＝１／(cos^２ｘ)

これらに対して逆関数の微分公式を使うと、変数の表記方法に注意して３つの逆三角関数の微分公式を導出する事ができます。

これらの公式は比較的簡単な計算により導出できます。
Arcsinｘ と Arccosｘの導関数が符号だけの違いである理由も導出の過程を見ると分かるでしょう。
計算の注意点としては例えば逆正弦関数ではｙ＝Arcsinｘとした時、sinｙ＝ｘであるので逆関数の微分公式にもそれを当てはめる必要があるといった事です。

$$\frac{d}{dx}\mathrm{Arcsin}x=\frac{1}{\frac{d}{dy}\sin y}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin ^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$\frac{d}{dx}\mathrm{Arccos}x=\frac{1}{\frac{d}{dy}\cos y}=-\frac{1}{\sin y}=\frac{1}{\sqrt{1-\cos ^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$\frac{d}{dx}\mathrm{Arctan}x=\frac{1}{\frac{d}{dy}\tan y}=\frac{1}{1+\tan^2y}=\frac{1}{1+x^2}$$

ArcsinｘとArccosｘの微分の途中の計算では sin^２ｘ＋cos^２ｘ＝１の関係を使っています。
Arctanｘの微分においては、途中計算では微分の公式以外には特に何も使わずに
ｙ＝Arctanｘ から tanｙ＝ｘであるという関係だけを使っています。

逆三角関数の積分の公式

さて、微分が分かれば積分のほうも分かる事になりますが、逆三角関数の導関数は意外にも「式としては三角関数が全然関係ない」という形になっています。ですので図形問題や三角関数を考えているわけではなくても積分に使える場合があるのです。

このような形の関数の積分を考える時には置換積分や部分積分を考える必要はなくて、そのまま逆三角関数を当てはめる事ができます。

例１：逆正接関数のマクローリン展開と角度計算

逆三角関数はある三角関数の値から角度を逆算できる関数ではありますが、関数としての実態が分からないと結局特別な値以外は簡単には計算できない事になってしまいます。

「それでも別に支障ない」と言ってしまえばそれまでですが一応、マクローリン展開（ｘ＝０におけるテイラー展開）を使えば逆三角関数の近似値をｘから直接計算する事は可能です。

ただし、計算しやすい形になっているのは逆正接関数Arctanｘのマクローリン展開ですので、
それについて説明をします。

展開式（無限級数展開）の内容

Arctanｘのマクローリン展開は、意外かもしれませんが正弦関数や余弦関数のマクローリン展開に形は似ていて、式自体はそれほど複雑ではありません。

この式で、てきとうにｘ＝１／５などどしてみると、
Arctanｘ＝１／５－１／(５^３・３)＋１／(５^５・５)－・・・
４項目以降はほぼ０であると考えると、
Arctanｘ＝１／５－１／３７５＋１／１５６２５－・・・≒０．１９７４≒０．０６２８π
これは度数法で言うとおおよそですが１８０×０．０６３５８≒１１．３°です。

このような数値の計算は、計算ソフトや関数電卓で直接的に計算できるならそれを使えばよいという話でもあるのですが、一応このように計算もできるという事です。（また、ソフト等を使うにしても逆三角関数によって「角度」を計算できる事は理系の人であれば一応知っておいてもよいのではないかと思います。）参考までにおおよその値の例をいくつか挙げておきます。

tanｘ	Arctanｘ（＝弧度法での角度）	\(a\pi\)の形で表す時	度数法での角度 [ °]
0.99	0.780	0.248\(\pi\)	44.71
0.9	0.733	0.233\(\pi\)	41.99
0.8	0.674	0.215\(\pi\)	38.66
0.7	0.611	0.194\(\pi\)	34.99
0.5	0.464	0.148\(\pi\)	26.57
0.3	0.291	0.093\(\pi\)	16.70
0.1	0.0997	0.032\(\pi\)	5.711

尚、tan(π／４)＝１ですので Arctan１＝π／４≒0.786[rad]で、度数法では４５°です。

また、０に近い角度であればArctanｘ≒ｘとも言えます。
ただし同じくマクローリン展開からsinｘ≒ｘも同様に分かるので、０に近い角度であれば通常の正弦関数で考えたほうがむしろ早い事にはなります。

Arctanｘのマクローリン展開の導出

この式は、前述の微分公式を使って普通にマクローリン展開を考えて導出しようとすると、実は結構大変です。というのも、１階と２階の微分はよいとしても、３階、４階・・・と高階微分を計算していくと形が複雑になるためです。

しかし実は、１階の微分後に幾何級数展開（等比級数による展開）する事でArctanｘのマクローリン展開は導出できるのです。また、それによって各高階導関数のｘ＝０における微分係数も判明する事になります。（これは、そのように考えてよいという定理があります。）

まず(ｄ／ｄｘ)Arctanｘ＝１／(１＋ｘ^２)であるわけですが、
|ｘ|＜１であればこれは幾何級数が収束する値として考える事ができて、
具体的には次のようになります。
１－ｘ^２＋ｘ^４－ｘ^６＋・・・＝１＋(－ｘ^２)＋(－ｘ^２)^２＋(－ｘ^２)^３＋(－ｘ^２)^４＋・・・
これは、「公比が－ｘ^２である等比級数」「公比が－ｘ^２である等比数列の項数を無限大にした極限」と言っても同じです。

よって、|ｘ|＜１の範囲では(ｄ／ｄｘ)Arctanｘ＝１－ｘ^２＋ｘ^４－ｘ^６＋・・・

そこで、この関数については項別積分が可能なので（※無限級数に対して項別積分が可能であるのは「収束円の内部においてだけ」という条件が必要なので注意）、|ｘ|＜１のもとで各項を積分すると次のようになります。積分変数をｔとして、０からｘまでの定積分という形にします。

$$\int_0^x\left(\frac{d}{dt}\mathrm{Arctan}t\right)dt=\int_0^x\left(1-t^2+t^4-t^6+\cdots\right)dt$$

$$\mathrm{Arctan}0=0に注意すると\int_0^x\left(\frac{d}{dt}\mathrm{Arctan}t\right)dt=\mathrm{Arctan}xであるので$$

$$\mathrm{Arctan}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$$

このようにして得られた級数は、実はマクローリン展開に等しくなります。
（無条件にではなく、ここでの場合はそうなります。）

例２：ライプニッツ級数の導出

ライプニッツ級数とは、数学的に成立するという事以上の意味はそれほど無いとも言われますが円周率を無限級数で表す式です。さらに、各項は簡単な有理数で表されているという「不思議な式」です。

ライプニッツ級数を導出する方法は複数ありますが、実は逆正接関数を使う方法がその１つです。

ところで、この式に非常に似た形の式をこの記事内で先ほど考察していて、
それが逆正接関数 Arctanｘのマクローリン展開です。実の所、Arctanｘのマクローリン展開で
「ｘ＝１と置いたもの」はライプニッツ級数に他なりません。

それは偶然ではなく、きちんと証明できます。ただし Arctanｘのマクローリン展開を幾何級数から導出する時には |ｘ|＜１の条件をつけていましたから、単純に「ｘ＝１を代入」するのは少し危ない操作であると言えます。もしかしたら、ｘ＝１では無限級数は無限大に発散するかもしれないからです。

しかし実際は、ｘ→１とした時にもｘ－ｘ^３／３＋ｘ^５／５－ｘ^７／７＋・・・は収束します。

ライプニッツ級数が収束する事自体は実は比較的簡単な考察により分かる事で、ｎ項目までの和Ｓ_ｎについて奇数番目と偶数番目を分けて考える事で証明できます。

Arctanｘ自体はｘ＝１以上でも全実数において値を持ちます。Arctan１＝π／４です。
（π／４は度数法で言えば４５°の角度です。）

そこで|a| ＜１に対してπ／４－（a－a^３／３＋a^５／５－a^７／７＋・・・）を考えます。
Arctan１＝π／４であり、
|a| ＜１に対してはマクローリン展開により、
Arctan a＝a－a^３／３＋a^５／５－a^７／７＋・・・です。
よって、π／４－（a－a^３／３＋a^５／５－a^７／７＋・・・）＝Arctan１－Arctan a となります。

ここでa→１の極限を考えますが、
Arctanｘは連続関数なのでa→１の極限ではArctan a→Arctan１です。
それは当然と言えば当然の関係ではあるのですが、
それによってマクローリン展開の式もArctan１に収束する事が分かります。
つまりはa→１で a－a^３／３＋a^５／５－a^７／７＋・・・→π／４となるわけです。

さてここで、「aを１に置き換えて１－１／３＋１／５－１／７＋・・・＝π／４」としても大体合っているのですが、より正確にやるのであればここでは概略だけに留めますが次の定理を使います。おそらく聞き慣れないかもしれませんが、連続性定理とかアーベルの連続性定理などと呼ばれます。

ライプニッツ級数を導出する他の方法としては、４分円（円の１／４）の面積を積分で計算する方法があります。ただし通常のｘ軸方向の積分ではなく、ｙ軸を利用した少し工夫が凝らされた計算になります。実はその場合でもArctanｘのマクローリン展開を考えた時と同様に幾何級数展開による計算を行います。

例３：マチンの公式による円周率の表現

再び数学的な話ではありますが、円周率を表す式は実は１つではなくたくさんあります。ライプニッツ級数は「その１つ」であり、不思議な式ではありますが「収束の速さが遅い」事でも実は知られています。収束の速さが遅いという事は、直接計算してもなかなか「３．１４・・・」が出てこない事を意味します。

他方で収束が速い円周率の公式も知られていて、その１つがマチンの公式という逆三角関数で表されるものです。ここでは通常の三角関数における正接の加法定理を使った証明方法を簡単に説明します。

ここではこの奇怪な式が「確かにπ／４に一致する」事の確認を優先する形で証明を述べます。

最初に結論を言うと、マチンの公式の左辺は正接関数に対する「角度」であり、その角度を持つ正接の値が１になる事で「角度＝π／４」という事が言えます。

$$示すべき式：\tan\left(4\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{5}\right)-\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{239}\right)\right)=1$$

普通の角度で考えるなら tan(４θ_１＋θ_２)＝１となる事を証明する事になります。

加法定理を使うと、tan(４θ_１＋θ_２)＝｛tan(４θ_１)－tanθ_２｝／[１＋{tan(４θ_１)}(tanθ_２)}ここで、少し面倒ですが４θ_１に対して倍角の公式（加法定理でも同じ）を２回使います。
tanθ_１＝１／５とすると上手く行くのでその値を代入します。

$$\tan(2\theta_1)=\frac{2\tan\theta_1}{1-\tan^2\theta_1}=\frac{2}{5}\cdot\frac{25}{24}=\frac{5}{12}$$

再度、倍角の公式を使います。具体的な数値を入れます。

$$\tan(4\theta_1)=\frac{2\cdot\frac{5}{12}}{1-\left(\frac{5}{12}\right)}=\frac{5}{6}\cdot\frac{144}{119}=\frac{120}{119}$$

これを、最初のtan(４θ_１＋θ_２)＝｛tan(４θ_１)－tanθ_２｝／[１＋{tan(４θ_１)}(tanθ_２)}に代入します。
θ_２の値は結論から言えば１／２３９ですが、ちょっとここでは「確かにその値にすればよい」という事を式を解く形で見てみる事にしましょう。
tanθ_２＝Xとおきます。

$$\frac{\frac{120}{119}-X}{1+X\frac{120}{119}}=1\Leftrightarrow\frac{120}{119}-X=1+X\frac{120}{119}$$

$$\Leftrightarrow X\frac{239}{119}=\frac{1}{119}\Leftrightarrow X=\frac{1}{239}$$

これを見ると、「２３９」という謎の半端な数字が１２０＋１１９である事が分かります。以上から、結論が完全に分かっている前提での証明でしたが確かにマチンの公式が成立している事が分かります。

$$\frac{\frac{120}{119}-\frac{1}{239}}{1+\frac{1}{239}\frac{120}{119}}=\frac{28680-119}{28441+120}=\frac{28561}{28561}=1$$

$$よって、\tan\left(4\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{5}\right)-\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{239}\right)\right)=1なので$$

$$4\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{5}\right)-\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{239}\right)=\frac{\pi}{4}$$

Arctanｘのマクローリン展開からマチンの公式の左辺を計算すると、
おおよそ４×０．１９７４－１／２３９≒０．７８５≒π／４となり、確かに公式の内容が成立している事を見れます。【Arctan(１／２３９)≒１／２３９としました。】
しかし上式を見れば分かるようにマチンの公式自体は近似式ではなく「等式」であり、しかも極限を含んでいない事が特徴です。

実は円周率を表す式としては「マチン型」というタイプのものが複数あって、比較的有名なものだとオイラーによるものとガウスによるものがあります。いずれもπ／４を逆正接関数の具体的な値の和や差で表す公式です。

例４：有理関数の積分に関する定理

これもまた数学の理論的な話ではありますが、間接的には応用にも関わる問題として
「有理関数（多項式の分数で表される関数）の一般的な積分は原始関数としてどのように表せるか」
というものがあります。

実はそれは初等関数のみで表す事ができ、しかも有理関数、対数関数、逆正接関数とそれらの合成関数さえあれば（理論上は）足りる」という結果を述べる定理があります。
意外かもしれませんが「逆正接関数Arctanｘ」が必要な関数として入っているわけです。

ここで「理論上」という語を付したのは「数学的に可能であるという事」と「それが便利であるか・使いやすいか」という事は別の問題である事も多いからです。

しかし理論上の話ではあっても、「原始関数を探す形で積分はどこまで計算できるのか？」という疑問に対して「三角関数の使用も含めて有理関数の範囲では、原始関数は初等関数の組み合わせで必ず導出する事が一応可能である」という一定の答えを述べている定理でもあります。

定理の証明の概略を記すと、まず分子の次数のほうが分母よりも大きい場合には多項式の割り算をして、分母の次数のほうが大きい状態にします。

次に分母の多項式を因数分解して、そこから部分分数展開をする事を考えます。

「因数分解と言うができないような多項式だったらどうするのか」と思われるかもしれませんが、実は任意の多項式は何かしらの複素数（実数を含めて）を用いて理論上は因数分解できる事が知られています。それはいわゆる代数学の基本定理による帰結です。

計算をすると、任意の多項式は次の３つの項に分類して分ける事ができます。

• 分母が定数である（１を含めて）多項式
• 分母が１次式のベキ乗で分子は定数である項
• 分母が２次式のベキ乗で分子は１次式である項

因数分解をした時に実数以外の複素数が含まれている場合には共役を上手く使って虚数単位が式に現れないように工夫します。分母が２次式のベキ乗の項にはその意味があります。

さてその段階に至ると原始関数を探す形で積分ができます。この時に、使用する初等関数の種類は理論上３つであるという事が言えるのです。

• 単項式と多項式および有理関数：
  分母に分母に定数以外が含まれない多項式および１／{(ｘ－a)^ｎ}【ｎ≧２】、
  分母が２次の項に由来するｘ／{(ｘ^２＋１)^ｎ}【ｎ≧２】
• 対数関数：１／(ｘ－a)および分母が２次の項に由来するｘ／(１＋ｘ^２)の項
• 逆正接関数：２次の項に由来する１／(１＋ｘ^２)の項

こうして見ると積分をする時に問題が生じるのが「分母の式」であって、１／(１＋ｘ^２)の項を処理する時にどうしても必要なのが逆正接関数という事になります。
その項の不定積分は前述のように Arctanｘ＋Ｃです。

アンペールの法則は電流と磁場の関係を表す式であり、マクスウェル方程式の１つです。マクスウェル方程式の他の３式のように積分形と微分形の両方があり、数式的には微分形は磁場の回転（rot）で含む形をしています。また、時間変動（時間による偏微分）の観点からは電場の時間変動を含む式です。

この記事では、他の電磁場の法則や数学の定理との関係を中心にアンペールの法則の内容と性質について整理してまとめています。

アンペールの法則は、いくつかの条件のもとでビオ・サバールの法則と等価である事が知られています。アンペールの法則は磁場の循環（周回の接線線積分）および磁場の回転と、電流・電流密度・変位電流との関係を表す式ですが、ビオ・サバールの法則は電流または電流密度からベクトル場としての磁場を直接表す形をした法則です。

法則の内容

アンペールの法則の積分形は基本的には磁場の接線線積分（ここでは周回積分であり、循環とも言う）で書かれて、それはストークスの定理によって磁場の回転の法線面積分でも書ける事になります。それに関連して、アンペールの法則の微分形は数式的には磁場の回転を表す式です。

アンペールの法則における閉曲線Cと開曲面S（閉曲面では無く）の関係は、ある閉曲線Cがあった時にそれを外縁（外周）に持つ「任意の開曲線S」になります。つまり閉曲線Cのところで切れて開曲面になっている事を条件に、曲面Sは形状を問わないという事です。ですから１つのCに対してS₁とかS₂とかのたくさんの開曲面があり得ます。ただしここでは、左辺と右辺の両方に法線面積分の項がある時は積分領域の曲面Sは両辺で同じものを指しています。

以下、\(\overrightarrow{B}\)は磁場、\(\overrightarrow{E}\)は電場、\(\overrightarrow{j}\)は電流密度、\(I\)は電流の大きさ\(\left(=\left|\overrightarrow{j}\right|\right)\)です。

ストークスの定理によって法線面積分で表した形の式を見ると、左辺と右辺がともに法線面積分となっています。先ほど触れたように積分領域の曲面Sは閉曲線Cを外縁とする条件のもとで任意の形状なので、式が成立するには積分の中身が一致していないといけません。そしてそれがアンペールの法則の微分形になります。

これらをナブラを使って書くなら次のようになります。

定電流の時のアンペールの法則の修正版として一般形を考える場合

アンペールの法則は、基本的に電流が作る磁場の回転についての関係式です。実際、実験から元々分かっていた事は電流がその周囲に環状の磁場を作るという事でした。

上記の一般形の式を見てもらえば分かるように、定常電流（＝時間変化が無い電流）の時のほうがもちろん式が簡単で使いやすいものになります。
そのため、電流が作る静磁場を考える時には普通は定常電流の時の形を指してアンペールの法則と呼んでいるわけです。

しかし定常電流である時の式を、時間変動がある場合にそのまま当てはめると理論的に見ておかしいという事が発生します。

そのため、時間変動がある場合も含めたアンペールの法則は定常電流の場合の法則の式を「修正」したものであるとよく表現されます。

この時、微分形のほうの発散を考えると

$$\mathrm{div}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)=0\hspace{5pt}なので\hspace{5pt}\mathrm{div}\overrightarrow{j}=0$$

他方、電荷保存則の微分形に対する発散を考えて、さらに電場に関するガウスの法則の微分形を適用すると次式です。

$$\mathrm{div}\overrightarrow{j}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0\mathrm{div}\overrightarrow{E}\right)=\mathrm{div}\left(-\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\mathrm{div}\overrightarrow{E}\right)$$

$$\Leftrightarrow\mathrm{div}\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)=0$$

この発散を全体で考えた時の第２項の\(\Large\epsilon_0{\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}}\)を「変位電流」と呼ぶわけですが、話を整理するとこれは電荷保存則から出てきた量です。そのため、この時点ではアンペールの法則に無関係に考える事ができる量であると言えます。

他方で「磁場の回転」の発散は０（これは数学的にベクトル場であれば何でも瀬成立）なので、定常電流におけるアンペールの法則によればそれは電流密度の定数倍です。

ところで電流が定常電流では無い時でも、磁場の回転自体は発散をとると数学的に０になるわけですから、\(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\)を電流に関係する何かで表すとすると、とりあえず「アンペールの法則とは無関係に成立している」\(\mathrm{div}\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)=0\) の関係式は、いかにも関係がありそうであるというわけです。

そこで、定常電流の場合のアンペールの法則の電流側の項に変位電流も加わるとすれば、定常電流の時は「電荷密度の時間変化が無い⇒変位電流は０」なので元々の形の式はそのまま使えて、電流の時間変化がある時は発散を考えた時にも整合性がとれる式ができます。しかもてきとうな項を付け加えたというのではなく、電荷保存則に由来する関係式を使っています。

それで、その形を定常電流の時のアンペールの法則を「修正」したものとして、変位電流の項を加えたものが一般の場合のアンペールの法則の式の形であると考えられているわけです。

そのため、アンペールの法則の微分形の一般形を変位電流を加えた形で考える事にすると、定常電流の時の法則の積分形から微分形を導出した時の逆算で磁場の法線面積分を書くと積分形のほうの一般形になります。

$$\int_S\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)\cdot d\overrightarrow{s}=\mu_0\int_S\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)\cdot d\overrightarrow{s}$$

$$ストークスの定理により\oint_C\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_S\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)\cdot d\overrightarrow{s}なので$$

$$\oint_C\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=\mu_0\int_S\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)\cdot d\overrightarrow{s}$$

ストークスの定理を使っていますので、この時にSは開曲面であるとして閉曲線Cを外縁に持つものとします。アンペールの法則の一般形がまずあると考えてそこから微分形を導出する時と同じです。

コンデンサーにおける変位電流

前述の通り、定常電流におけるアンペールの法則に付け加わる「変位電流」自体は、電荷保存則の成立を前提とする限りはアンペールの法則とは無関係に量として想定できる性質のものです。

そこで、ここでは変位電流とは電荷の流れとしての電流そのものではないけれども「確かに物理的な意味を持つ量である」という事をより明確にするために、交流回路におけるコンデンサーの極板間の電場の時間変化（その１／ε_０倍が変位電流）を例に考えてみます。

電気回路におけるコンデンサーに電圧をかけると、
極板には電圧（＝電位差）に比例する量で電荷がたまり、極板間には電場が生じます。直流電気回路では導線に短時間だけ充電電流・放電電流が発生し、交流電気回路ではそれが短い周期で繰り返されて導線中に常に交流電流が発生します。

１つの極板上の極板間の電圧をV、電荷をQとすると、Q＝CVの比例関係があります。
交流回路で V＝CV_０sin(ωｔ)とするとQ＝CV_０sin(ωｔ)
【Cは比例定数で、電気容量とかキャパシタンスなどと呼ばれます。】

また、極板間距離が十分距離が小さくて電場の方向がほぼ一定とみなせるとすると、
電場に関するガウスの法則を使って
「電場の大きさEは極板間におけるどの位置でも同じである」と考える事ができます。
（コンデンサーにおいて電場は極板間で「一様である」とも表現されます。）

さらに同じく電場に関するガウスの法則によれば、
その電場の大きさは極板の表面にする分布する電荷の１／ε_０倍の電気量に等しい事になります。
すると、E＝Q／ε_０＝(CV_０／ε_０)sin(ωｔ)です。
【ガウスの法則は時間変化がある場合でも１つ１つの任意の時刻で考える限り成立します。】

ところでこの場合での「変位電流」については、まず向きが一定である事から大きさだけを考えます。
そして変数は時間ｔだけである事も考慮すると、変位電流の大きさは次のようになります。
ε_０(ｄＥ／ｄｔ)＝ε_０(CV_０／ε_０)sin(ωｔ)＝CV_０cos(ωｔ)

他方で、電気回路における電流は実測できるものでもありますが、コンデンサーの極板に出入りする電流を理論的にはどのように考えるかというと、実は「電荷の流れ」を電荷の時間変化と考えて、
ｄＱ／ｄｔとして表すのです。すると、Q＝CV_０sin(ωｔ)でしたので極板に出入りする電流は、
I＝ｄＱ／ｄｔ＝CV_０cos(ωｔ)

という事は、ε_０(ｄＥ／ｄｔ)＝I＝CV_０cos(ωｔ)となり（※）、
コンデンサーを含む部分については「導線中の電流」と「極板間（絶縁部分）の変位電流」が全く同じ値で計算できる事を意味します。つまり、交流電気回路の平板コンデンサーという特別な場合である事を強調しておく必要はありますが「通常の電流と変位電流とで実質的に１つの閉回路が作られ、各時刻で同じ値として表せる」という物理的な意味を変位電流が持つ例となっています。

変位電流と磁場の関係（マクスウェル方程式での意味）

ところで、変位電流をアンペールの法則に組み込む事に関しては確かに数式的な強い関連性は伺えるものの、他の法則と比較すると少々無理やり感もあると言えるかもしれません。

疑問が残るとすれば、やはり「変位電流が、通常の電流と同じように磁場を発生させるのか」という点ではないでしょうか。前述のコンデンサーの例においても、確かに変位電流と通常の電流の数式上の強い関連性について示すものではありますが発生する磁場については何も分かるものではありません。

実の所、単独の変位電流を実験で扱う事はなかなか難しいようで少々うやむやにされている面もあると言えます。「通常の電流を完全に抜きにして、変位電流だけでアンペールの法則が記述する磁場は本当に発生するのか」という問いの解答をはっきりと実測結果で示す研究はあまり多くないようです。

ただし、間接的には変位電流を含んだアンペールの法則の一般的な形が法則として正しい事を示す実験結果は既に存在します。それが電磁波の存在と、その応用および実用です。

マクスウェル方程式から電磁波の定量的な関係式を導出する時には、実はアンペールの法則において変位電流の項がないと上手くいきません。

ここでは簡単にだけ述べますが、アンペールの法則の微分形に対してさらに回転を考えて、電磁誘導の式の微分形を代入する事で電場を含まない形に変形できます。

$$\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)=\mathrm{rot}\left\{\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)\right\}$$

$$電磁誘導の式の微分形\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}を代入して整理すると、$$

$$\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)=\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}$$

計算の続きとしては、今度は左辺のほうを回転に対して成立する式で置き換えて磁場に演算子が作用する形の微分方程式を作ります。

これに相当する式をベクトルポテンシャルで表す方法もありますが、その場合もやはりアンペールの法則の一般形の式は必要です。

電磁波の式を導出するための式は実は別の式も必要で、それは電磁誘導のほうの微分形の式の回転を考えてから、そこにアンペールの法則の微分形を代入するというものです。参考までに初めの形だけ記しておくと次のようになります。

$$\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\right)=-\mathrm{rot}\left(\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)=-\frac{\partial }{\partial t}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)$$

$$ナブラを使って書くなら、\nabla\times\left(\nabla\times\overrightarrow{E}\right)=-\nabla\times\left(\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)=-\frac{\partial }{\partial t}\left(\nabla\times\overrightarrow{B}\right)$$

アンペールの法則の微分形は最右辺の磁場の回転の部分に代入します。
すると、左辺も右辺も磁場を含まない形の式になるわけです。ここでも、変位電流の項がもし無かったらこの先の計算は上手く行きません。

このような理論のもとで得られる電磁波の定量的な性質と電磁波の実測における性質がよく合っているので、アンペールの法則を変位電流も加えた形で記述した一般形の式も正しいはずであると考えられているわけです。

アンペールの法則による磁場の計算例

アンペールの法則によって磁場を計算できる簡単な例をいくつか挙げます。
（電流が定常電流であるか、変位電流を無視できる状況だけを考えます。）

アンペールの法則を使って磁場を計算する例に多く見られる特徴は、大体が次のようなものです。

• 経路を単純なものに選ぶことで接線線積分を簡単にする事が多い
• 話を単純にする仮定や前提が必要な事が多い（長さを無限とする事や、対称性など）
• より詳細を調べるにはビオ・サバールの法則のほうが適している事がある

直線定常電流が作る磁場

まず、一番簡単な例として直線状の定常電流が作る磁場です。
導線の長さは十分に長い（無限とみなせる）とします。

電流が環状の磁場（導線に対する同心円上で同じ大きさ）を作る事は実験によって知られていたわけですが、その事実も使って計算します。あるいは、磁場の大きさに関しては対称性から同心円上で等しいと仮定します。

磁場が導線を中心とする半径ｒの円に常に接する方向を向いているとします。
接線線積分において内積はBｄｌとなり、ｌを０から２πｒまで変化するパラメータとして捉えるか、ｄｌ／ｄθ＝ｒ【半径×弧度法の角度＝円弧の長さより】と考えると計算ができます。

$$\oint_C\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_0^{2\pi}Brd\theta=[Br\theta]_0^{2\pi}=2\pi Br$$

$$アンペールの法則により\oint_C\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=\mu_0 Iなので2\pi Br=\mu_0 I\Leftrightarrow B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$$

同じ結果はビオ・サバールの法則による計算によっても得る事ができますが、いくつかの条件が分かっていればアンペールの法則を使ったほうが計算が簡単になります。いずれにしても十分に長いとみなせる直線電流が作る磁場の大きさは「導線からの距離に反比例する」という事になります。

断面積を持つ導線の場合の定常電流による磁場

同じ事は、導線が無視できない断面積Sを持っていても形状が円柱状で、定常電流である限りは導線の外側においては中心からの半径で測ると同じ結果になります。

他方で、その場合は「導体内部」の磁場を考える事もできます。

今、導体断面における電流密度ベクトルが一様であるとします。
アンペールの法則においては閉曲線の内部を通過する電流だけを考えればよい事になります。
導線の半径をR、考えている半径をｒ＜Ｒとすると半径ｒの円内の電流は全体のｒ^２／Ｒ^２倍なので導線の断面積全体の電流をIとすれば
２πBr＝μ_０I(ｒ^２／Ｒ^２) ⇔ B＝μ_０ｒＩ／(２πR^２)　

つまり、ｒを増やしていくと導体内では磁場は大きくなっていく計算です。
また、ｒ＝Ｒになった時点でB＝μ_０Ｉ／(２πｒ)という導線外部の時の式と同じになり、
そこからは磁場の大きさは距離ごとに減っていく事になります。

この結果は導線外部の磁場の大きさB＝μ_０Ｉ／(２πｒ)を考えた時に、
ｒを減らしていっても実際の所は磁場はそこまで大きくならない事も示しています。反比例の関係という事はｒが０に近ければ値はやたらと大きくなり得るわけですが、実際は導線の表面にぶつかる時点からはｒを減らすと磁場も小さくなっていくと考えられるわけです。

トロイダルコイル（環状ソレノイド）

トロイダルコイルとは、食べ物のドーナツのような立体的な形（トーラス）をしたコイルです。
「環状ソレノイド」と呼ぶこともあります。一見複雑そうにも思えますが、アンペールの法則を適用すると意外に考察がしやすい例の１つとなっています。

トロイダルコイルの断面の中心を結んだ円を考えて、これをアンペールの法則で周回の接線線積分を考える閉曲線Cとします。

すると、閉曲線C内を通過する電流は巻数の合計Nと１本の導線ごとの電流の大きさの積という簡単な式で表せます。つまり電流の合計をI_Sとすると、 I_S＝ＮＩです。

形状の対称性と、円状の電流は面に垂直な磁場を作る事（これはビオ・サバールの法則で導出するのが普通です）により、磁場の向きは考えている円（閉曲線C）に接する方向であり大きさはその円周上でどの位置でも同じと考えられます。

そこで、直線定常電流が作る磁場と同じく、ｌが０から２πｄまでの通常の積分として磁場の大きさが計算ができます。（変数変換して角度で考えても同じです。）

$$\oint_C\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_0^{2\pi R}Bdl=2\pi BR$$

$$定常電流の時のアンペールの法則により2\pi BR=\mu_0NI\Leftrightarrow B=\frac{\mu_0NI}{2\pi R}$$

断面内の任意の位置の場合は、角度のとり方に注意すると閉曲線として半径Ｒ＋ｒcosθの円を考えればよい事になります。（断面の中心よりも少し外側であればθが－９０°から＋９０°の範囲、断面の中心よりも少し内側であればθが９０°から２７０°の範囲で、Rに対してｒcosθの分だけ少し大きいか小さいかの値になります。）

この場合に磁場ベクトルが常に円に接するかどうかには気を付ける必要がありますが、ビオ・サバールの法則を考えると円電流が作る磁場は円の中心の位置では無くても円の面に垂直になる事が分かります。（磁場を考える点が円と同じ平面にあれば、円の接線ベクトルと円周上から磁場を考える点までのベクトルとの外積ベクトルは円の平面に対して垂直。）

そこでトロイダルコイル全体が持つ対称性も合わせて考えると、接線線積分も断面中心を通る円で考えた時と同様に行う事ができます。

$$2\pi B(R+r\cos \theta)=\mu_0NI\Leftrightarrow B=\frac{\mu_0NI}{2\pi R}(R+r\cos \theta)$$

トロイダルコイルの外部についても接線線積分は同じように考える事ができます。電流に関しては全巻き数について逆向きの電流が加わるので、円として考える閉曲線の半径をＲ_ｃとすると
２πBＲ_ｃ＝μ_０(ＮＩ－ＮＩ)＝０より、B＝０
この結果は、トーラスの内側の空間に対して適用しても同じ事が言えます。

部分積分の公式は「部分積分法」もしくは単に「部分積分」とも言い、置換積分と同じく積分において関数の原始関数（＝微分するとその関数が得られる）を探すのに使われる基本公式の１つです。
英語名：integration by parts

公式の内容

関数が次の形をしている時には部分積分の公式を適用して積分の計算ができます。
この公式は不定積分でも定積分でもどちらでも使えて、
具体的な例に適用して計算していく場合はどちらの場合の形も使用します。

部分積分の公式を適用する事を指して「部分積分する」というふうにもよく言います。
文章の表現としては例えば「左辺を部分積分すると次のようになる」などといった具合に使います。

証明については次に述べますが、積の微分公式を変形したものを積分して公式が得られます。

また具体例についても後述しますが、部分積分の公式を実際の計算で適用する時には
まずてきとうなｈ(ｘ)ｇ(ｘ)の形の関数に対する積分があって、
何か別の関数ｆ(ｘ)を考えると「ｈ(ｘ)＝(ｄ／ｄｘ)ｆ(ｘ)となるようだ」と気付く事で部分積分の公式を適用してみるといった流れになる事が多いと言えます。

$$計算で使う時は主に、\int h(x)g(x)dxの形の式に対して、$$

$$h(x)=\frac{d}{dx}f(x)となるようなf(x)を見つけて公式を適用します。$$

導出・証明

実は、部分積分の公式を導出する方法は微分の公式を知っていれば非常に簡単です。

置換積分法が合成関数の微分公式を根拠に成立しているのに対して、
部分積分法は積の微分公式を根拠に成立しています。

積の微分公式を書くと次のようになります。

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=\left(\frac{d}{dx}f(x)\right)g(x)+f(x)\left(\frac{d}{dx}g(x)\right)$$

積の微分公式において、
右辺の片方の項（ここでは第２項）を左辺に移行します。

$$\left(\frac{d}{dx}f(x)g(x)\right)-f(x)\left(\frac{d}{dx}g(x)\right)=\frac{d}{dx}(f(x)g(x))$$

これを右辺＝左辺の形に入れ換えます。

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=\left(\frac{d}{dx}f(x)g(x)\right)-f(x)\left(\frac{d}{dx}g(x)\right)$$

次に両辺をｘに関して積分し、(ｄ／ｄｘ){ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)}のところは積分するとｆ(ｘ)ｇ(ｘ)になります。

$$\int \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)g(x)dx=\int\frac{d}{dx}(f(x)g(x))dx-\int f(x)\left(\frac{d}{dx}g(x)\right)dx$$

$$=f(x)g(x)-\int f(x)\left(\frac{d}{dx}g(x)\right)dx$$

すると、全体を見ると部分積分の公式になっています。（不定積分の項が残っているので任意定数はここではつけていません。）
ですので、積の微分公式を知っていれば非常に簡単な成り立ちの積分公式であると言えます。

定積分の場合も同じように部分積分の公式の内容を得られます。
不定積分の場合の最後から１つ前の式から考えると比較的分かりやすいかと思います。

$$\int_a^b \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)g(x)dx=\int_a^b\frac{d}{dx}(f(x)g(x))dx-\int_a^b f(x)\left(\frac{d}{dx}g(x)\right)dx$$

$$=\large{[f(x)g(x)]}_a^b-\int_a^b f(x)\left(\frac{d}{dx}g(x)\right)dx$$

部分積分によって計算できる積分の例

初等関数の簡単な組み合わせであっても、
原始関数を直接探す事で積分を計算する事は一般的に非常に難しい事が知られています。

ですが、一部の関数については部分積分や置換積分によって原始関数が分かる場合があります。ここでは、部分積分の公式が使える代表的な例をいくつか挙げて説明します。

指数関数や三角関数との積になった関数

以下、指数関数と言ったら自然対数の底 e に対する e^ｘを考えるとします。
これは単独では(ｄ／ｄｘ)e^ｘ＝e^ｘなので積分も直接計算できますが、別の関数がくっついていると話が変わってきます。三角関数についても似た事が言えます。

例えば次のような関数です。

• ｘe^ｘ
• ｘ^２e^ｘ
• ｘsinｘ
• e^ｘsinｘ

こういった形の関数の積分は、部分積分の公式を使う事によって原始関数が分かるようになり、それで積分を計算する事ができます。

１つ１つ具体的に見て行きますが、基本的な考え方は「積を構成している個々の関数に着目し、微分を上手く使って原始関数が明らかに分かるような形に変形していく」事になります。

まずｘe^ｘという関数について見てみましょう。これは部分積分の公式を適用して計算ができます。まず(ｄ／ｄｘ)e^ｘ＝e^ｘである事から部分積分の公式を使える形である事に着目します。具体的に不定積分を計算すると次の通りです。（最後の結果に加えてあるCは任意定数です。）

$$\int xe^xdx=\int x\left(\frac{d}{dx}e^x\right)dx=xe^x-\int \left(\frac{d}{dx}x\right)e^xdx$$

$$=xe^x-\int e^xdx=xe^x -e^x +C$$

得られた結果が本当にｘe^ｘの原始関数なのかを確かめると、
(ｄ／ｄｘ)(ｘe^ｘ－e^ｘ)＝e^ｘ＋ｘe^ｘ－e^ｘ＝ｘe^ｘ となっていますので大丈夫という事になります。

定積分の場合は、例えば積分区間が [0, 1] であれば次のようにします。

$$\int_0^1 xe^xdx=\int_0^1 x\left(\frac{d}{dx}e^x\right)dx=\left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1 \left(\frac{d}{dx}x\right)e^xdx$$

$$=e–\int_0^1 e^xdx=e-\left[e^x\right]_0^1=e-(e-1)=1$$

不定積分で最後の結果の原始関数を出してから、積分区間の端点を代入して計算しても同じ結果です。
（任意定数の部分は定積分では必ずC－C＝０になって無くなります。）

次にｘ^２e^ｘの不定積分は、部分積分の公式を２回使って計算をします。
あるいは、ｘe^ｘの不定積分が分かっている前提なら、それも途中で直接的に計算に出てくるので結果を利用できます。ここではそれで計算します。もしｘe^ｘの不定積分の結果が不明な状態であればそこで２度目の部分積分を行うわけです。

$$\int x^2e^2dx=\int x^2\left(\frac{d}{dx}e^x\right)dx=x^2e^x-\int \left(\frac{d}{dx}x^2\right)e^xdx$$

$$x^2e^x-2\int xe^xdx=x^2e^x-2(xe^x -e^x)+C$$

$$=(x^2-2x+2)e^x+C$$

このように見ると、ｘsinｘなども同様に部分積分の公式で計算できる事が分かります。
その場合は、sinｘ＝(ｄ／ｄｘ)(－cosｘ)のように考えます。

$$\int x\sin xdx=\int x\left(-\frac{d}{dx}\cos x\right)dx=x(-\cos x)-\int \left(\frac{d}{dx}x\right)(-\cos x)dx$$

$$=-x\cos x+\int \cos x dx=–x\cos x+\sin x +C$$

結果が合っているか確かめると、
(ｄ／ｄｘ)(－ｘcosｘ＋ sinｘ)＝－cosｘ＋ｘsinｘ＋cosｘ＝ｘsinｘ となります。
よって、大丈夫という事になります。

では、e^ｘsinｘのような場合はどうでしょうか。これに関しては、実は部分積分を複数回行っても原始関数が直接的に分かる形には変形ができません。しかし、sinｘとcosｘに対して微分を行うとsinｘ→cosｘ→－sinｘ→－cosｘ→sinｘのように周期的に同じ形になるので、部分積分で計算を進めた後に簡単な方程式を解く形で原始関数を導出できます。

$$\int e^x\sin x dx=\int \left(-\frac{d}{dx}\cos x\right)e^xdx=-e^x\cos x-\int (-\cos x)\left(\frac{d}{dx}e^x\right)dx$$

$$=-e^x\cos x+\int e^x\cos xdx=-e^x\cos x+\int e^x\left(\frac{d}{dx}\sin x\right)dx$$

$$=-e^x\cos x+e^x\sin x-\int \sin x\left(\frac{d}{dx}e^x\right)dx$$

$$=-e^x\cos x+e^x\sin x-\int e^x\sin xdx$$

この段階でまだ残っている不定積分の項は「最初の不定積分の符号だけ変えたもの」なので、
「方程式を解く形」で原始関数が分かる形になるパターンなのです。

これを不定積分の項に関して解いて、任意定数（C_０およびC）も加えると次のようになります。

$$\int e^x\sin x dx=-e^x\cos x+e^x\sin x-\int e^x\sin xdx\hspace{2pt}となっているので$$

$$2\int e^x\sin x dx=-e^x\cos x+e^x\sin x +C_0$$

$$よって、\int e^x\sin x dx=\frac{e^x}{2}\left(-\cos x+\sin x\right)+C$$

結果が合っているか確かめると、
(ｄ／ｄｘ){(e^ｘ／２)(－cosｘ＋ sinｘ)}＝(e^ｘ／２)(－cosｘ＋ sinｘ)＋(e^ｘ／２)(sinｘ＋cosｘ )＝e^ｘsinｘとなっていて大丈夫である事が分かります。

「ｘの微分」が１として隠れている例

同じように部分積分の公式を使って原始関数を探す形で積分を計算する例として、ある関数に「ｘの微分」つまり(ｄ／ｄｘ)ｘ＝１が乗じられていると見て部分積分の公式を適用する事があります。

これは一見すると数学上だけの技巧的な手段に思えるかもしれませんが、対数関数などの基本的な初等関数の原始関数を見つけるにあたっても重要な計算ですので知っておくと便利です。

比較的重要な次の２つの例で計算をしてみます。
２つのうち後者のほうの例は、置換積分によっても積分を計算できます。

• ln x（＝log_eｘ）
• \(\sqrt{a^2-x^2}\)　（定義域は|a| ≧ |x|の範囲）

まずln xについて、これをln x＝{(ｄ／ｄｘ)ｘ} lnｘと考えるなら。対数関数の微分のほうについては(ｄ／ｄｘ)ln x＝１／ｘですので積分は部分積分法により上手く行きそうだと予想するわけです。

$$\int \mathrm{ln}x \hspace{1pt}dx=\int\left(\frac{d}{dx}x\right)\mathrm{ln}x \hspace{1pt}dx$$

$$=x\mathrm{ln}x-\int x\left(\frac{d}{dx}\mathrm{ln}x\right)dx=x\mathrm{ln}x-\int x\cdot\frac{1}{x}dx$$

$$=x\mathrm{ln}x-\int dx=x\mathrm{ln}x-x+C$$

$$\left(\int dx\hspace{2pt}は\hspace{2pt}\int 1 dx\hspace{2pt}の事です。\right)$$

結果が正しいか微分して確認すると、
(ｄ／ｄｘ)(ｘlnｘ－ｘ)＝lnｘ＋ｘ・(１／ｘ)－１＝lnｘ＋１－１＝lnｘとなり、
合っている事が分かります。

次に、比較的計算は込み入りますが後者のほうの例\(\sqrt{a^2-x^2}\) の積分についてです。置換積分でも積分を計算できますが、部分積分を使うと実は一般的な原始関数の形が分かります。結論を先に言うと、この関数の積分は逆正弦関数 Arcsinｘを含んだ形で表されます。（逆三角関数の１つです。）
|ｘ| ＜１のもとで
(ｄ／ｄｘ)Arcsinｘ＝１／\(\sqrt{1-x^2}\)であり、
(ｄ／ｄｘ)Arcsin(ｘ／a)＝１／\(\sqrt{a^2-x^2}\)（a≠０の時）なので、
その形を作れないかどうかを考えると計算が理解しやすくなります。

自然対数関数に対する積分の時と同じく、ｘの微分としての「１」が隠れていると見ます。

$$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\int \left(\frac{d}{dx}x\right)\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}-\int x\left(\frac{d}{dx}\sqrt{a^2-x^2}\right)dx$$

$$=x\sqrt{a^2-x^2}-\int x\left(-2x\cdot\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\right)dx$$

$$=x\sqrt{a^2-x^2}+\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+\int \frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$$

$$=x\sqrt{a^2-x^2}+\int \left(\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}-\sqrt{a^2-x^2}\right)dx$$

a≠０の時は、積分の中の第１項をｘ／a を変数とする Arcsin(ｘ／a)で表せます。
また、その段階で式を整理すると実は「積分の項に関して移項して解く」タイプの形になっている事が分かるので積分の結果が分かります。

$$a\neq 0 の時、\int \sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\mathrm{Arcsin}\frac{x}{a}-\int \sqrt{a^2-x^2}dxであるので$$

$$2\int \sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\mathrm{Arcsin}\frac{x}{a}+C_0$$

$$よって、\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\mathrm{Arcsin}\frac{x}{a}\right)+C$$

細かい事ですがもしa＝０であれば定義域は|a| ≧ |x|でしたから、定義域はｘ＝０となり関数の値も０です。従って、もしそれをｘで積分をするとしてもその値も０となります。ですので積分を考える場合には最初から|a|＞０として考える、という事もできます。

以上の２例については一応結果をまとめておきましょう。
（結果を覚える必要があるというよりは、「部分積分法を使えばこのように結果を出せる」という事のほうが重要と思われます。）

応用例１：テイラー展開を部分積分から導出する方法

関数のテイラー展開と、その特別な場合であるマクローリン展開は微分係数を使った多項式の形により関数を近似する関係式で、数学上も物理等での応用においても非常に有用でよく使われる式です。

例えば自然対数の底による指数関数e^xのマクローリン展開（「ｘ＝０における」テイラー展開）は次のような無限級数になります。（この無限級数は収束します。）

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$$

この式の出し方は色々あるのですが、実は部分積分の公式を使って導出可能です。e^xの式を見ると３！とか４！とかの階乗の部分が一体なぜ出て来るのか疑問に思われるかもしれませんが、部分積分の観点から言うとその部分の根拠は関数ｘ^ｎの微分です。正確に言えばその積分をする事で出てくるので自然数の係数は全て分母についています。

少し工夫は必要ですが、e^x ＝「ｘ＝０の値」＋「ｘ＝０での微分係数」ｘ＋「ｘ＝０での２階導関数の微分係数」ｘ^２＋「ｘ＝０での３階導関数の微分係数」ｘ^３＋・・・のような形にする事を考えます。
つまり、積分の計算をするために部分積分の公式を使う時と違って、式の項をどんどん増やしていきます。以下、少し詳しく丁寧に見ていきます。

まず、e⁰＝１である事を踏まえて次のようにします。

$$e^x=1+\int_0^xe^td=\hspace{5pt}\left(=1+\large{\left[e^t \right]_0^x}=1+e^x-1\right)$$

ここで、積分の項は「ｘの関数」として扱いたいので変数ｘと「積分変数ｔ」を敢えて分けて考えています。（この考え方は元々の定積分や不定積分を定義dする段階で実は存在します。）

次に定積分の項に関して部分積分の結果を考えながら、「ｔ＝ｘを代入すると０になり、ｔ＝０を代入すると－ｘになる関数」を考えます。ちょっと妙な気もするかもしれませんが、これはｔ－ｘという関数が該当します。これにe^ｔが乗じられた(ｔ－ｘ)e^ｔが部分積分の結果として出てくる事を予想します。

そこで、積分変数ｔに関して１＝(ｄ／ｄｔ)(ｔ－ｘ)が乗じられていると見ます。
ここで、ｘをｔに関する定数とするので(ｄ／ｄｔ)ｘ＝０です。対数関数の積分を部分積分によって計算する時と同じ考え方です。

「隠れた１がある」として考えた時、計算は次のようになります。

$$e^x=1+\int_0^xe^td=1+\int_0^x\left\{\frac{d}{dt}(t-x)\right\}e^tdt$$

$$=1+\large{\left[(t-x)e^t\right]_0^x}-\int_0^x(t-x)\left(\frac{d}{dt}e^t\right)dt$$

$$\large{=1+\{0-(-x)e^0\}-\int_0^x(t-x)e^tdt}$$

$$\large{=1+x+\int_0^x(x-t)e^tdt}$$

さらに、この後も同じような部分積分を続けて項を増やします。
ただし、ここから先は次のように考えます。

• 部分積分の２項目で必ずマイナス符号が出てくる事をあらかじめ予測する
• 操作を続けて行くにあたり、「最後の項が０に収束する」事を期待する

そこで、部分積分の操作を続けて行くと「分母の値が大きくなる」事を期待してｔではなくｔ^２の微分が乗じられている形の項を考えます。そのような項の条件を整理しておきます。

• ｘを定数としてｔで微分すると－(ｔ－ｘ)＝ｘ－ｔになる
• ｔ＝ｘで０になる
• ｔ＝０でｘの関数になる

すると、具体的には－(ｘ－ｔ)^２／２の形を考えると、
ｘを定数扱いとしてｔで微分すると
－{－２(ｘ－ｔ)}／２＝ｘ－ｔとなるので、まず微分に関する条件は満たします。
また ｔ＝ｘでは－(ｘ－ｔ)^２／２＝０であり、
ｔ＝０としてマイナス符号を付けると－{－(ｘ－０)^２／２}＝ｘ^２／２です。
そこで、上記の積分の項において
－(ｘ－ｔ)^２／２のｔによる微分とe^ｔが乗じられていると見て部分積分を続けます。

$$\large{e^x=1+x-\int_0^x(x-t)e^tdt=1+xe^x+\int_0^x\left\{\frac{d}{dt}\frac{-(x-t)^2}{2}\right\}e^tdt}$$

$$=1+x+\large{\left[-\frac{(x-t)^2}{2}e^t\right]_0^x}-\int_0^x\frac{-(x-t)^2}{2}\left(\frac{d}{dt}e^t\right)dt$$

$$\large{=1+x-\left\{\frac{-(x-0)^2}{2}e^0\right\}-\int_0^x\frac{-(x-t)^2}{2}e^tdt}$$

$$\large{=1+x+\frac{x^2}{2}+\int_0^x\frac{(x-t)^2}{2}e^tdt}$$

定積分の項に対してさらに部分積分を続けます。
微分して(ｘ－ｔ)^２／２になる関数を考えると－(ｘ－ｔ)^３／(２・３)が該当するので、
e^ｔに対して(ｄ／ｄｔ){－(ｘ－ｔ)^３／(２・３)}＝(ｄ／ｄｔ){－(ｘ－ｔ)^３／(３！)}
が乗じられていると見ます。
そしてその次は、e^ｔに対して
(ｘ－ｔ)^３／(３！)＝(ｄ／ｄｔ){－(ｘ－ｔ)^４／(４！)}が乗じられていると見ると、
部分積分によりｘ^４／(４！)の項が付け加わります。

$$\large{e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\int_0^x\frac{(x-t)^2}{2}e^tdt}$$

$$\large{=1+x+\frac{x^2}{2}+\int_0^x\left\{\frac{d}{dt}\frac{-(x-t)^3}{3!}\right\}e^tdt}$$

$$\large{ =1+x+\frac{x^2}{2}+\left[\frac{-(x-t)^3}{3!}e^t\right]_0^x-\int_0^x\frac{-(x-t)^3}{3!}\left(\frac{d}{dt}e^t\right)dt }$$

$$\large{ =1+x+\frac{x^2}{2}-\left\{\frac{-(x-0)^3}{3!}e^0\right\}-\int_0^x\frac{-(x-t)^3}{3!}e^tdt }$$

$$\large{ =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\int_0^x\frac{(x-t)^3}{3!}e^tdt }$$

$$\large{ =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\int_0^x\left\{\frac{d}{dt}\frac{-(x-t)^4}{4!}\right\}e^tdt }$$

$$\large{ =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\left[\frac{-(x-t)^4}{4!}e^t\right]_0^x-\int_0^x\frac{-(x-t)^4}{4!}\left(\frac{d}{dt}e^t\right)dt }$$

$$\large{ =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\int_0^x\frac{(x-t)^4}{4!}e^tdt }$$

ここでは計算を少し詳しく書いていますが、要所以外は省略してももちろん可です。

これの次は e^ｔに (ｘ－ｔ)^４／(４！)＝(ｄ／ｄｔ){－(ｘ－ｔ)^５／(５！)}が乗じられていると見て
これまで同様にしてｘ^５／(５！)の項が付け加わります。
その後も部分積分の計算をずっと繰り返していきます。

このようにして
e^ｘ＝１＋ｘ＋ｘ^２／２＋ｘ^３／(３！)＋ｘ^４／(４！)＋ｘ^５／(５！)＋・・・＋「最後の項」
が出てくるわけです。結果だけ見ると不思議な事ですが指数関数を多項式の形に変形できています。
この、有限の値の「最後の項」を含む段階の関係式をテイラー公式と言います。

指数関数に限らず、ｎ階までの微分が可能な関数は同じ計算でテイラー公式を導出可能です。
また、部分積分法を使う計算以外にもテイラー公式を導出する方法は存在します。その場合は最後の剰余項が異なる形になりますが、指数関数や三角関数においてはその時の剰余項もｎ→∞で０に収束し、部分積分で計算した時と同じく全実数の範囲でテイラー展開が可能です。

応用例２：近似式の導出（スターリングの公式での例）

スターリングの公式は、十分大きい自然数に対する階乗N！についての
自然対数 ln(N！)に対する近似式です。

この近似式の導出過程には主に２つあって１つはガンマ関数を使う方法ですが、
もう１つは階乗に対する対数を近似的な「面積」と見て、自然対数関数の積分で近似する方法です。

ところで前述のように、e を底とする単独の自然対数関数の積分は部分積分によって計算するやり方が見やすいのでした。ここでの使用例は、割と普通に定積分の計算を普通にするために部分積分の公式を使うというものになります。

そこで、積分を考えたところから部分積分を使って具体的に導出過程を見てみます。積分区間は、十分大きい自然数Nと、何か小さい実数 a（ ＞０）を使って [a, N ＋a]で考えます。

$$\mathrm{ln}(N!)≒\int_a^{N+a}\mathrm{ln}x\hspace{2pt}dx=\int_a^{N+a}\left(\frac{d}{dx}x\right)\mathrm{ln}x\hspace{2pt}dx$$

$$=\large{[x\mathrm{ln}x]_a^{N+a}}-\int_a^{N+a}x\cdot\frac{1}{x}\hspace{2pt}dx$$

$$=\large{[x\mathrm{ln}x]_a^{N+a}}-\int_a^{N+a}dx=\large{[x\mathrm{ln}x+x]_a^{N+a}}$$

$$=(N+a)\mathrm{ln}(N+a)+(N+a)-a\mathrm{ln}a-a=(N+a)\mathrm{ln}(N+a)+N-a\mathrm{ln}a$$

ここで、a が小さくてNは十分大きいとするとN＋a ≒N と考えて、
また a ln a の項も他項に比べて小さく無視できるとします。

すると、残った項により式を次のように近似できます。

$$\mathrm{ln}(N!)≒(N+a)\mathrm{ln}(N+a)-a\mathrm{ln}a+N≒N\mathrm{ln}N +N$$

これがスターリングの公式あるいはスターリングの近似式と呼ばれる近似式です。
主に統計力学などで使用されます。

応用例３：変分問題での例
（オイラー・ラグランジュ方程式）

理論物理学で非常に重要となる変分に関する基本的な問題（と言っても決して易しくありませんが）であるオイラー・ラグランジュ方程式（あるいは「オイラー方程式」）の導出過程では、実は計算としては部分積分を使います。しかも、使うと計算が便利というだけでなく関係式を導出するにあたって肝心となる式の変形を担っています。これは数学の問題でもありますが、むしろ物理学等のほうに関連が深い話となります。

部分積分を使う箇所に絞って取り上げると、次のような計算問題です。

具体的な関数の形が一部の条件以外は何もありませんから、普通に定積分をこのまま計算するという事はできません。しかし、定積分の中身にη(ｘ)という関数の導関数ｄη(ｘ)／ｄｘと、別の関数F_２(ｘ)の積の形が含まれている事に注意すると、部分積分の公式を使う事ができるのです。

そこで、(ｄη(ｘ)／ｄｘ)F_２(ｘ) の項について部分積分の公式に当てはめて計算を進めてみます。

$$\int_a^b\frac{d\eta(x)}{dx}F_2(x)dx=\large{[\eta(x)F_2(x)]_a^b}-\int_a^b\eta(x)\frac{dF_2(x)}{dx}dx$$

$$=\eta(b)F_2(b)-\eta(a)F_2(a)–\int_a^b\eta(x)\frac{dF_2(x)}{dx}dx$$

$$\eta(a)=\eta(b)=0の条件により、\int_a^b\frac{d\eta(x)}{dx}F_2(x)dx=-\int_a^b\eta(x)\frac{dF_2(x)}{dx}dx$$

つまり、積分区間の端点における条件η(a)＝η(b)＝０がありましたから、
部分積分の行った後の第１項（値を代入する部分）は０となって「消える」わけです。
すると、実質的には元の定積分の中身に対して符号を入れ換えたうえで「微分する対象を入れ換える」
という変形ができた事も意味します。

部分積分を行っていない項と合わせると、次のようになります。

$$\int_a^b\left\{\eta(x)F_1(x)+\frac{d\eta(x)}{dx}F_2(x)\right\}dx=\int_a^b\left\{\eta(x)F_1(x)-\eta(x)\frac{dF_2(x)}{dx}\right\}dx$$

$$=\int_a^b\eta(x)\left(F_1(x)-\frac{dF_2(x)}{dx}\right)dx$$

$$今、\int_a^b\left\{\eta(x)F_1(x)+\frac{d\eta(x)}{dx}F_2(x)\right\}dx=0という条件であり、$$

$$\eta(x)は端点での条件を満たす「任意」の関数形なのでF_1(x)-\frac{dF_2(x)}{dx}=0$$

つまり、F_１(ｘ)－(ｄ／ｄｘ)Ｆ_２(ｘ)＝０が、η(ｘ)を含まない形でのF_１(ｘ)とＦ_２(ｘ)が満たす微分方程式である、という事になります。（※η(ｘ)が「任意」でなかったら、積分全体が０であるからといって被積分関数またはその一部が０だとは言えませんので注意も必要です。）

応用例４：遠方で０になる関数の積分（量子力学など）

変分問題と同部類の部分積分の応用例としては、他にも
無限遠で０に収束する関数の積に対する（－∞，＋∞）の範囲で行う積分などがあります。
量子力学で扱う波動関数（あるいは「状態」を表す関数）に対する積分計算はその例です。

波動関数の場合で言うと、無限遠と言っても正確には「ミクロのスケールから見て十分遠方の位置」を指しており、つまりメートル単位の遠方はそのような「十分な遠方」に該当します。ただし数式的にはとりあえず、それを無限大として扱うわけです。

そのような時、２つの波動関数Ψ_１とΨ_２があるとします。（あるいは波動関数でなくても、遠方での条件が類似するような関数。）そのうちの片方の位置による微分（偏微分）による導関数と、もう片方の積(∂Ψ_１／∂ｘ)Ψ_２を考えて積分を（－∞，＋∞）で行うとしましょう。部分積分に関しては積の微分を根拠にした公式ですので、偏微分で行っても１変数の微分でも同じ形になります。また、量子力学では波動関数は一般的には複素数関数ですが、やはり部分積分は適用可能です。

(∂Ψ_１／∂ｘ)Ψ_２に対する積分を、部分積分によって変形すると次のようになります。

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial \psi_1}{\partial x}\psi_2 dx=\large{[\psi_1\psi_2]_{-\infty}^{\infty}}-\int_{-\infty}^{\infty}\psi_1\frac{\partial \psi_2}{\partial x} dx$$

$$=-\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial \psi_2}{\partial x} \psi_1dx$$

無限遠方でΨ_１とΨ_２は０と考えているので、部分積分を行った後の第１項は０になって「消える」わけです。すると、符号の入れ替えはありますが「微分する対象が入れ替わった積分」として式を変形できるという結果を得ます。

これを利用して近似式を考えたり、微分を含む演算子の作用の関係を考察できたりします。
量子力学における波動関数でなくても、類似の条件の関数に対する積分を計算する時は部分積分による近似計算は全く同じように可能となります。ただしそういった条件の関数に対して上記のような積分を行う典型例としては、量子力学の波動関数を挙げる事ができるという事です。

ここでは簡単のために上記のような例で考えましたが、先ほど触れたように波動関数は一般に複素数関数ですので多くの場合では波動関数Ψに対する「共役」\(\overline{\psi}\)（概略としてはいわゆる複素共役）も考えて理論を展開します。

応用例５：ガンマ関数の関係式の導出

より数学的な話ですが、ガンマ関数（特殊関数の１つ）に対して成立する関係式
Γ(ｘ＋１)＝ｘΓ(ｘ)は、実は部分積分の公式を使った比較的簡単な直接計算によって導出されます。

ガンマ関数は次のようにそもそもが積分で表される関数です。定義域はｘ＞０として必ず考えます。
そのため、積分区間の端点の「０」のほうも「０への極限を考える」という意味になります。

$$\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$$

変数をｘ＋１に置き換えたΓ(ｘ＋１)について、積分中の指数関数のほうに対して部分積分を考える事で変形ができます。（前述のｘe^ｘのような関数の積分に対して部分積分を行う時と同じ考え方です。）

$$\Gamma(x+1)=\int_{0}^{\infty}t^xe^{-t}dt=\int_{0}^{\infty}t^x\left(\frac{d}{dt}-e^{-t}\right)dt$$

$$=\large{\left[-e^{-t}t^x\right]_0^{\infty}}-\int_{0}^{\infty}\left(\frac{d}{dt}t^x\right)\left(-e^{-t}\right)dt$$

$$=-\lim_{t\to\infty}\frac{t^x}{e^t}+\lim_{t\to 0}\frac{t^x}{e^t}+\int_{0}^{\infty}xt^{x-1}e^{-t}dt$$

$$\lim_{t\to\infty}\frac{t^x}{e^t}=0\hspace{2pt}であり、\hspace{2pt}\lim_{t\to 0}\frac{t^x}{e^t}=0\hspace{2pt}なので$$

$$\Gamma(x+1)=\int_{0}^{\infty}xt^{x-1}e^{-t}dt=x\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt=x\Gamma(x)$$

最後の箇所では、ｘはここでの積分においては定数扱いとなるので積分全体に乗じられる定数としています。（テイラー公式を部分積分で導出した計算と同じ考え方です。）

このような計算によって導出がされるわけで、Γ(ｘ＋１)＝ｘΓ(ｘ)の関係において
「１」という自然数がどこから出てくるのかというと、ｘを定数扱いする時に
「ｔによる微分計算でｔ^ｘの指数が１減る事」つまり(ｄ／ｄｔ)ｔ^ｘ＝ｔ^ｘ－１という、微分の計算方法を知っていれば非常に単純な式に由来する事が分かります。

また、この計算では部分積分の公式を適用した時の第１項が０になる事（ここでは極限値として０）を利用しているとも言えるので、広い意味では前述の変分問題や波動関数に対する積分での部分積分法の使い方と同部類のものであるとも言えるでしょう。

電流は向きを持っていますが、電磁気学において３次元の空間の中での向きを持つベクトルとして扱う時にはむしろ電流密度ベクトルが扱われる場合が多いと言えます。「電流密度ベクトル」あるいは単に「電流密度」とも言われますが、いずれにしてもベクトルで表される量です。

電流は \(I\) の記号で書く事が多いですが、電流密度ベクトルは一般的に\(\overrightarrow{j}\) で表され、空間内の位置ごとに各成分がｘ，ｙ，ｚの関数で表されるベクトル場です。（従って電流密度ベクトルに対する発散や回転も考える事ができ、成立する諸式が存在します。）

電磁気学の中での位置付け

普通、電気回路における電流の向きは導線に沿って「片方向とその逆」だけを考えてプラスとマイナスで表します。これは、電圧との関係や電気エネルギーの消費に関して「導線の空間的な向き」というものが一般的にはほとんど影響しないためです。そのため、電気回路を考えるうえでは普通は電流を空間的な意味でのベクトルとしては扱わず、スカラー量として扱うのが基本です。

他方で、より電磁気学的に見た時には電流も「空間的な意味での向き」を持つものとして扱う事は可能であるし、理論的な整合性のために必要な事でもあります。電場や磁場などと同じく、電流もベクトル場として扱う事は可能という事です。

ただし電磁気学では普通は「電流のベクトル」は敢えて考えずに、
代わりに「大きさが単位面積当たりの電流」であり、
向きは空間的な意味での電流の向きに等しい「電流密度ベクトル」を考えます。
（電流「密度」と言いますが大きさは「単位面積あたり」で考えます。）
この「電流密度ベクトル」は、電磁気学においては特に電荷保存則の式とアンペールの法則の微分形において重要です。それら２つについてはこの記事内でも解説をします。

電流密度ベクトルは、どちらかというと電気だけの考察ではなく、磁気のほうも合わせて考える事項に対して使われる事が比較的多いと言ってもよいかもしれません。

電流密度ベクトルの定義と意味

電流密度ベクトルには一見すると２つの捉え方がありますが、それらは互いに無関係では無く、電磁気学では両方の考え方を組み合わせて考察がされます。

「単位面積あたりの電流」としての電流密度ベクトル

まず向きが空間的な意味で電流と同じで、
大きさが単位面積あたりの電流になるものを「電流密度ベクトル」と呼ぶ考え方から見てみます。

後述しますように、電流密度ベクトルは「法線面積分」を考えたいので使っているというところもあり、さらにそれによって「電流」に対して電流密度ベクトルの形で発散や回転を考えていく事も可能になるという計算上の利点が生じます。

電流を電荷の流れとして考えた時の電流密度ベクトル

電流密度ベクトルには上記の意味はあるのですが
他方で電流が「電荷の流れ」であると考えると、
電流密度ベクトルは次のように表す事もできます。

この考え方はある電荷密度の分布に存在する電荷の塊が動くという感じなのですが、一定の質量や体積を持った物体の運動と違って少しイメージが沸きにくいかもしれません。
そこで、次に見るように１つの位置の面（電流密度ベクトルに垂直とします）を基準にして
「１秒間で電荷の塊が、電気量の合計に換算してどれほどがそこを通過したか」という捉え方をすると少しは分かりやすくなります。

今、速度ベクトルの大きさ（＝速さ）をｖとします。
考えたい「面」はこの速度ベクトルに対しても垂直なものとしています。

そして面積Ｓの面のすぐ後ろに接した形で控えている電荷の分布が、
塊として面に対し垂直に「面を貫通する方向」に動くとします。
すると、１秒当たりに面を境に反対側に移動する電荷の電気量（これがすなわち電流です）は
「電荷密度ρ × 体積（ｖＳ）」としてρｖＳとなるわけです。
（単位は「１秒当たり」まで単位に含めれば [C／s]です。）

１秒間だけ電荷の塊を動かして、
止めた後に塊の先端がどこまで移動したかを計る事で「電荷密度×体積」の計算によって
「面を通過した電気量の合計」を電流は表していると捉える事ができます。

話を整理しますと、まず電流密度ベクトルを改めて次のように考えたわけです。

$$\overrightarrow{j}=\rho\overrightarrow{v}$$

この式のもとで、電流密度ベクトルの大きさは次のようになります。

$$\left|\overrightarrow{j}\right|=\rho v$$

そしてこの式の右辺ρｖは先ほどの考察により、速度ベクトル面積を乗じる事により「電流」を表すと考える事ができるのでした。そこで上式の両辺に面積Sを乗じると次のようになります。

$$\left|\overrightarrow{j}\right|S=\rho vS$$

つまり「電流密度ベクトルの大きさ」×「ベクトルに垂直な平面における面積」＝「電流」
の関係であり、最初に考えた電流密度ベクトルの定義の場合と同じ関係式が成立しているわけです。

面が速度ベクトルに対して斜めの時

ところで、そのように考えた時には
実は面に対して斜め方向に速度ベクトルが向いている時も同様に考える事ができます。

その場合には、面に分布している電荷が一斉に次々にそこから斜め方向に移動していくと考えます。
すると、その場合は移動した電荷の電気量は「電荷密度×面積Ｓ×斜めの立体の高さ」です。
電荷密度ρと速度ベクトルの大きさ（＝速さ）ｖの情報は電流密度ベクトルに含まれている事に注意すると、１秒間に面を通過した電荷の電気量は実は面積要素ベクトルと電流密度ベクトルとの内積で表す事ができます。「面積要素ベクトル」とは「微小領域の面に垂直で、大きさは微小面積ｄSである」というベクトルです。

これは、内積で使う余弦 cosθを速さｖに乗じる事により１秒後に電荷の塊が通過してできる体積の「高さ」が計算できて、さらに底面積のｄＳに乗じれば体積が計算されるためです。
そして、体積が分かれば電荷密度ρを乗じて「１秒当たりに面を通過した電気量」すなわち電流が分かる事になります。

ここで、内積計算では余弦を電流密度の大きさと面積要素のどちらに乗じても結果は同じです。

すると上式は数式上、
「電流密度ベクトルの、面に対する垂直成分とｄＳの積をとる（面に垂直な体積として計算）」
「面を電流密度ベクトルに対して垂直な平面に射影して、その射影面積とｖρの積をとる」
といった解釈をしてもよい事になります。

$$Q=\left|\overrightarrow{j}\right|\hspace{2pt}\left|d\overrightarrow{S}\right|\cos\theta=
\left(\left|\overrightarrow{j}\right|\cos\theta\right)
\left|d\overrightarrow{S}\right|
$$

$$=\left|\overrightarrow{j}\right|
\left(\left|d\overrightarrow{S}\right|\cos\theta\right)
$$

電流密度の法線面積分と、電流の総和との関係の式

特定の曲面を通過する電流の総和を考える時、
電流密度ベクトルによる法線面積分を使う方法があります。

これは、曲面上のある微小領域を通過する電流は、電流密度ベクトルと面積要素ベクトル（微小領域に垂直な向き）との内積で表せるという事を根拠にしています。ここでの微小領域は電流密度ベクトルに対して一般的には垂直ではなく「斜め」になっている事に注意が必要となります。

電流及び電流密度ベクトルが曲面上で連続的に分布しているとして、曲面全体で法線面積分を考える事によって曲面を通過する電流の総和を表す事ができます。

この式は、内積の見方によって２つの見方ができます。

すなわち余弦を微小面積に乗じて射影面積を考えていると見るか、電流密度ベクトルの大きさに乗じると見るかの違いですがどちらで考えても結果は同じというのが本質です。

どちらにしても、\(\overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{s}\) という量は微小領域における電流を表します。

まず、積分を行う曲面を多数の微小平面に分割します。（例えば曲面上の３点を結ぶと確実に三角形状の微小な平面領域ができるので多数の点を考えて分割します。）

微小領域の射影を考える場合

微小領域において一般的には面が電流密度ベクトルに対して垂直ではないので、単純に微小面積を乗じても正しい電流の値が出ません。しかし、前述の考察で見たように内積を考える事で、
位置関係的に微小面積ｄｓcosθは電流密度ベクトルに垂直な平面への射影面積になります。

よって、\(\overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{S}==\left|\overrightarrow{j}\right|
\left(\left|d\overrightarrow{S}\right|\cos\theta\right)\)は曲面上の微小領域あたりの電流を表します。

ただし、曲面の領域の分割を十分多くしないと微小領域を平面に近似する事はできませんから、極限をとって積分として考える必要があります。それによって曲面上に分布する（ベクトルの向きを考えれば「通過する」）電流の総和を得るわけです。

面を通過する電気量として考える場合

次に、電流密度ベクトルに対して垂直ではなく斜めになっている面に対して
「単位時間あたりに通過する電荷の電気量」を考えても同じ結果を得ます。

前述の「電流を電荷の流れと考える」時の考察により、
電流密度ベクトルと面積要素ベクトルの内積は「微小面（角度を問わず）を単位時間あたりに通過する電荷の電気量」です。すなわちそれはその微小領域における電流の大きさだと考えられるわけです。

$$\overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{S}=\left|\overrightarrow{j}\right|\hspace{2pt}\left|d\overrightarrow{S}\right|\cos\theta$$

$$=
\left(\left|\overrightarrow{j}\right|\cos\theta\right)
\left|d\overrightarrow{S}\right|=\rho (v\cos\theta)dS$$

法線面積分の内積の部分については「余弦が電流密度ベクトルの大きさに乗じられている」と見ます。
さらに、余弦が速度ベクトルの大きさ（速さ）に乗じられていると見れば、\(v\cos\theta\) が１秒あたりの電荷が通過した体積の「高さ」になっています。さらに電荷密度と面積を乗じれば電流になるわけです。

曲面全体で微小領域における電流の合計を考えて、分割を十分多くとった極限として積分を考える必要があるのは先ほどと同じです。

このようにして、\(I_S=\large{\int_S}\overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{s}\)が成立します。

電荷保存則の式

電流を電流密度ベクトルの法線面積分で表す方法において、閉曲面を考えます。
そこで、電流を電荷の流れの量として見る時には曲面の外に出ていく電気量もあるけれども内側に入って行く電気量もあり得るわけです。

いずれにしても、単位時間あたりに曲面の内側の領域全体の電荷の量には変化が生じます。
（その変化が「合計すると０」という事もあり得ますが、それも含めて「変化」としておきます。）

そこで、曲面の内側の全電荷を電荷密度で表します。
（これは電場に関するガウスの法則で行うやり方と同じです。）

$$閉曲面S内部の全領域Vの電荷の合計値は、Q_S=\int_V\rho dv$$

その量の単位時間当たりの変化量を微分によって考えます。
これは偏微分になりますが、積分変数（ｄｖ＝ｄｘｄｙｄｚ）とは異なる変数なので、「積分全体」を微分したものと「微分したものを積分」したものは同じ結果になります。（※積分領域に関数の不連続点が無ければ、これは数学的にやってよい計算です。領域の形や電荷密度の分布と関数形については不連続点が生じるような変なものを考えない必要はあります。）

$$\frac{\partial }{\partial t}Q_S=\frac{\partial }{\partial t}\int_V\rho dv=\int_V\frac{\partial \rho}{\partial t}dv$$

この式は「曲面の内部で電荷が増えたらプラス」としています。他方、電流密度の法線面積分で電流を表す方法では「曲面の外部で電荷が増えたらプラス」としています。
そのため、両者は「符合を入れ換えて」から等号で結ぶ事ができます。

$$\int_S\overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{s}=-\int_V\frac{\partial \rho}{\partial t}dv$$

これは電荷の保存を表す式であり、「電荷保存則」のように呼ぶ事もあります。
要するに、内部で減ったものは外部では増えており、逆に内部で増えたものは外部では減っており、
「内部と外部の合計では一定値が保たれる」事を意味します。

もっとも、この「電荷の保存」自体（つまり２式を等号で結んだ事）に関しては何かから導出したというよりは、基本法則として考えて式で表したという性質のものと言えます。

次に、ガウスの発散定理を使って電荷保存則の式を書き替えます。（これは「ガウスの法則」ではなく、法線面積分と体積分の関係を表す「ガウスの発散定理」です。単に「ガウスの定理」「発散定理」とも言います。）ここでの曲面は「閉曲面」としているので定理が適用できる事に注意。

$$ガウスの発散定理により、\int_S\overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_V \mathrm{div}\overrightarrow{j}dv$$

よって電荷保存則は次のようにも書けます。

$$\int_V \mathrm{div}\overrightarrow{j}dv=-\int_V\frac{\partial \rho}{\partial t}dv=\int_V\left(-\frac{\partial \rho}{\partial t}\right)dv$$

ここで、領域Vは条件を満たす範囲で（先ほどの連続に関する事など）任意の形状であり得るので、積分の中身も一致する事になります。よって、電荷保存則の微分形の形が得られます。

$$\mathrm{div}\overrightarrow{j}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}$$

この形の式は流体力学でも使われ、一般的に「連続の方程式」とも言います。

閉曲面内部の電荷の時間変化が無い場合、すなわち∂ρ／∂ｔ＝０の時（外部への電流の出入りについても大きさに時間変化が無いので定常電流の時）には電流密度ベクトルの発散も０です。
つまり電流が定常電流である時には、電流密度ベクトルはベクトル場としては「湧き出しが無い」事が式で表現されます。

アンペールの法則で使う電流密度ベクトル

アンペールの法則は、マクスウェル方程式の中でも電流密度ベクトルとの関係が深い式です。それは元々、電流と磁場の関係を表す法則である事に由来するのですが、ベクトルとしては「電流」をそのまま扱うのではなく、「電流密度ベクトル」で考えたほうが都合が良い事が式を表しやすいのです。

アンペールの法則の微分形の導出の概要

アンペールの法則の周回積分の形を変形して、
法則の微分形を導出する過程で電流密度ベクトルを考える方法があります。まず、時間変化しない定常電流の範囲でアンペールの法則の周回積分側の式をストークスの定理で書き換えます。

$$\oint_C\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_S\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)\cdot d\overrightarrow{s}(=\mu_0 I)$$

Sは開曲面で、閉曲線Cを外縁に持つ条件のもと「任意の開曲面」になります。このような形になるので、法則の微分形を得るために電流を「何かの法線面積分で書けないか」と考えるわけですが、ここで電流を電流密度ベクトルの法線面積分で表す式が使えます。

$$I=\int_S\overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{s}であるので、$$

$$\int_S\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)\cdot d\overrightarrow{s}=\mu_0 I=\int_S\left(\mu_0\overrightarrow{j}\right)\cdot d\overrightarrow{s}$$

$$Sは任意の開曲面なので\mathrm{rot}\overrightarrow{B}=\mu_0\overrightarrow{j}$$

このように、静磁場の回転が電流密度ベクトル定数倍に等しいという結果が得られました。
これが「定常電流における」アンペールの法則の微分形です。

電荷保存則にしてもアンペールの法則の微分形にしても、電流をベクトルとして直接的に扱うよりも「電流密度ベクトル」で考えたほうが計算がしやすいという事情が見えてくるのではないでしょうか。

電流の時間変化がある時のアンペールの法則の概要

ところで電流の時間変化がある時のアンペールの法則はどうなるのかというと、電場の時間変化を含む項（変位電流）が加わります。アンペールの法則の「修正」ともよく言われます。

この変位電流とは電場の変化であって「電荷の流れ」ではないので普通の電流とは区別されるものではありますが、例えば電気回路でコンデンサーによって電流としては絶縁部分になっているところの電場の変化などを指します。

簡単にだけ述べると、まず先ほどの電荷保存則の微分形において、電荷密度の部分をガウスの法則の微分形によって電場に書き換えます。（これは「ガウスの発散定理」ではなく「ガウスの法則」です。）

$$\mathrm{div}\overrightarrow{j}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}=–\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0\mathrm{div}\overrightarrow{E}\right)$$

最右辺を左辺に移行して、発散を２つの項に作用させると考えると次式です。

$$\mathrm{div}\overrightarrow{j}+\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0\mathrm{div}\overrightarrow{E}\right)=0\Leftrightarrow \mathrm{div}\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)=0$$

「磁場の回転」に対する発散は必ず０である事に注意して、定常電流におけるアンペールの法則の微分形にこの式を使い、さらに積分形のほうもこの式で書き直したものが電流の時間変化がある時のアンペールの法則の式です。

電流の時間変化がある時のアンペールの法則の微分形と積分形を書くと次のようになります。

$$\mathrm{rot}\overrightarrow{B}=\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)$$

$$\oint_C\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=\mu_0\int_S\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)\cdot d\overrightarrow{s}$$

積分形のほうに関しては、電流密度ベクトルの部分を積分すると電流の大きさになるのでその項が定常電流の場合のアンペールの法則の電流の部分になります。

補足事項

説明した式の一部のナブラ表記

以上で説明した電流密度ベクトルを含む式で、
div, rot の記号の代わりにナブラ記号で書いたものを補足としてまとめておきます。

マクスウェル方程式から電磁波の式を導出する過程などでは、電流密度ベクトルの回転を考える事もあります。それは回転を含む式であるアンペールの法則と電磁誘導の式に対して改めて回転を考える計算に由来します。

補足２：その他の電流密度ベクトルの使用例

この記事では扱っていませんが、
静磁場のベクトルポテンシャルは電流密度ベクトルを使って表されます。

また同じく、磁場に関する法則のビオ・サバールの法則は電流を使った形と
電流密度ベクトルを使った２つの形があります。

これら２つの関係式・法則はいずれもアンペールの法則との関わりがあります。