投稿者: 恭平

ライプニッツ級数とは「分子が１で分母を奇数とする分数を、プラスマイナスの符号を交互に変えて加えて行くと円周率の１／４に収束する」という無限級数を指します。

この無限級数の導出方法はいくつか存在し、ここでは図形的な考察をもとにした式変形と定積分の計算、それと幾何級数展開を使った導出方法を説明します。

ライプニッツ級数の導出方法はここで説明するものだけではなく、いくつか方法があります。例えば、逆正接関数のマクローリン展開から導出する方法や、連分数展開によって得る方法などがあります。

ライプニッツ級数とは

まず、ライプニッツ級数の具体的な表式は次のようになります。

無理数を「有理数で表せる」？

ライプニッツ級数の左辺は無理数ですが右辺は「各項が有理数である無限級数」となっています。

これについては、右辺が表す無限級数は「π／４という無理数に収束するという事」すなわち 「項数を増やせばπ／４という無理数との差をいくらでも小さくできる事」を意味しています。

ですので、ライプニッツ級数の式において「無理数≠有理数」という当然の関係式は崩れてはいません。どこか有限の項数で計算をやめたら、 その値はπ／４には一致しない事になります。しかし項数を増やせばπ／４との差はいくらでも縮まります。それが、ライプニッツ級数が数式的に表すものです。

ライプニッツ級数は特徴的な式の形をしているため、「奇数だけを用いて円周率を表せる」というキャッチ―な表現が使われる事があります。 その表現自体は誤っているわけではありませんが、「無限級数が収束する値として円周率を表せる」という事を踏まえておく必要があります。

3.141592・・・をライプニッツ級数で出せる？

円周率の 3.141592・・・の値を計算する式としては、実はライプニッツ級数はあまり優れた式ではありません。無限級数の収束の速さが遅く、 項数を非常に多く増やさないと3.14・・・の値に近付いて行かないためです。（円周率の数値計算用として優れた式としては、 複数のマチン型の公式が知られています。逆三角関数の記事で解説。） 変更なし:

円周率の 3.141592・・・の値を計算する式としては、 実はライプニッツ級数はあまり優れた式ではありません。無限級数の収束の速さが遅く、項数を非常に多く増やさないと3.14・・・の値に近付いて行かないためです。 （円周率の数値計算用として優れた式としては、複数のマチン型の公式が知られています。逆三角関数の記事で解説。）

もし整数だけを準備して円周率計算が手計算で簡単にできるなら何とも便利そうですが、 式として興味深い形をしている事と色々な意味での実用性や有用性は残念な事に必ずしも重ならないという例になっています。

「奇数」が得られる根拠

ライプニッツ級数において、「奇数」以前に「整数」が得られるのはなぜでしょう。それは具体的には、単項式の微分法を根拠にしています。

ｘ^３の微分（「導関数」）は３ｘ^２になります。積分を行う場合は逆の演算です。
ｘ^２の原始関数はｘ^３／３です。 この関係によって１／３，１／５，１／７といった「分母が整数である分数」が式中に発生します。

ライプニッツ級数に限らず、計算式中の「整数」の出所が微分法や積分法であるという場合は少なからずあります。

次に、ライプニッツ級数の各項において「偶数が欠けている」理由は幾何級数展開（等比級数展開）を使う時の公比の形に由来しています。

具体的には、－ｚ^２という公比による幾何級数展開を考えて１ーｚ^２＋ｚ^４－ｚ^６＋・・・という式を得て、 さらにそれにｚ^２を乗じてｚ^２ーｚ^４＋ｚ^６－ｚ^８＋・・・の形を作ります。 そして、その各項を積分（項別積分）する事でｚ^３／３ーｚ^５／５＋ｚ^７／７－ｚ^９／９＋・・・の形の式を得ます。 これがライプニッツ級数の形を作っているわけです。無限級数の項別積分を実行可能であるには条件がありますが、ここではそれを満たします。

具体的には、－ｚ^２という公比による幾何級数展開を考えて１ーｚ^２＋ｚ^４－ｚ^６＋・・・という式を得て、 さらにそれにｚ^２を乗じてｚ^２ーｚ^４＋ｚ^６－ｚ^８＋・・・の形を作ります。 そして、その各項を積分（項別積分）する事でｚ^３／３ーｚ^５／５＋ｚ^７／７－ｚ^９／９＋・・・の形の式を得ます。 これがライプニッツ級数の形を作っているわけです。無限級数の項別積分を実行可能であるには条件がありますが、ここではそれを満たします。

幾何級数展開の式を使用する事は「無限級数が得られる事」と「プラスとマイナスが交互に出てくる事」の根拠でもあります。 そのため、次に述べて行くライプニッツ級数の導出方法では微積分の基本計算と並んで幾何級数展開が非常に重要な要素となっています。但し、 この幾何級数展開を使用するには「公比の絶対値が１未満である」という条件があるので注意が必要です。

証明と導出【四分円の面積を利用する方法】

全体の流れ

大きく分けて記すと次のようになります。

$$四分円y=\sqrt{2x-x^2}に対してy=\frac{dy}{dx}x+zという式変形を考えるとx=\frac{2z^2}{1+z^2}$$

$$|z|<1のもとで幾何級数展開により\frac{1}{1+z^2}=1-z^2+z^4-z^6+\cdots$$

$$部分積分と置換積分により\int \left(\frac{dy}{dx}x+z\right) dx=\frac{1}{2}\left(xy+zx-\int x dz\right)と変形できる。$$

その後、幾何級数展開した箇所について項別積分を行い積分区間の端点の極限を考慮したうえで計算を進め、 得られる無限級数の収束値が半径１の四分円の面積π／４に等しいという形でライプニッツ級数を導出できます。

$$\lim_{\epsilon \to 0, \delta \to 1}\int_\epsilon^\delta y dx=1-\lim_{\epsilon \to 0, \delta \to 1} \left[\frac{z^3}{3}-\frac{z^5}{5}+\frac{z^7}{7}-\frac{z^9}{9}+\cdots\right]_\epsilon^\delta$$

$$=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$$

$$これが半径１の四分円の面積\int _0^1y dx=\frac{\pi}{4}に等しい。$$

以下、各過程を詳しく見て行きます。

1. 円の式と導関数
2. 円の接線の式を利用して関係式を作る
3. 積分においてｙの形を変形する（面積変換定理）
4. 幾何級数展開を適用
5. 定積分の計算と極限の考察
6. 参考：（アーベルの）連続性定理

①円の式と導関数

具体的な計算としては半径が１の四分円（半円のさらに半分）の面積を定積分で計算します。
しかし円を表す式を使って普通に定積分の計算をする （置換積分か逆三角関数を使用）と、π／４という値は出ますが１－１／３＋１／５－・・・という無限級数の式は出てきません。

微分の計算は次のようにしています。合成関数の微分法を使います。（ここでの場合は、後述する図形的考察でもこの導関数は導出可能です。）

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\sqrt{2x-x^2}=\frac{d}{dx}\left(2x-x^2\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(2x-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot (2-2x)=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$$

半径１の円の面積は１×１×π＝πです。その１／４である四分円の面積はπ／４です。この値が無限級数１ー１／３＋１／５－１／７＋・・・の収束値である事を積分を使って証明して行きます。

しかしｙ≧０における円の式をそのままｘで定積分するとπ／４の値は得られますが無限級数の式は得られません。何か別の方法で円の面積を計算する必要があります。

②円の接線の式を利用して関係式を作る

そこで、実は「円の接線の式」を利用すると通常とは異なる形で面積の積分計算ができます。

但し積分を行う対象の関数は円の式なので、接線上の点を考えるわけではなく「円周上の点（ｘ，ｙ）に対して成立する関係式」を接線の式を利用して作ります。

円周上の点（ｘ，ｙ）における接線の傾きはｄｙ／ｄｘで表される導関数です。そして、接線のｙ切片（接線とｙ軸の交点）をｚとします。この時にｙ＝(ｄｙ／ｄｘ)ｘ＋ｚが成立します。

この時にｚはｘの関数です。そのようなｚ＝ｚ(ｘ)という関数がｘの開区間（１，０）の範囲内において円周上の点（ｘ，ｙ）に対して必ず存在できます。 このｚの値が存在できる事は図形的に見ても確認できますが、式でも確かに示せます。

$$y>0においてy=\frac{dy}{dx}x+zとすると、\frac{dy}{dx}=\frac{1-x}{y}であるので$$

$$y=\frac{x-x^2}{y}+z\Leftrightarrow zy=y^2-(x-x^2)=y^2-x+x^2$$

$$円の式y^2 +x^2 -2x=0より、zy=x$$

$$y>0であればz=\frac{x}{y}=\frac{x}{\sqrt{2x-x^2}}$$

この時にｘをｚで表す事もでき、後の計算で重要です。

$$z=\frac{x}{\sqrt{2x-x^2}}=\sqrt{\frac{x}{2-x}}から、z^2(2-x)=x$$

$$\Leftrightarrow x=\frac{2z^2}{1+z^2}$$

この後の計算では、このｚを変数として四分円の面積を積分計算する事を考えて行きます。ｘをｚで表した式を見ると分母が１＋ｚ２となっており、これが幾何級数展開可能な式の形になっています。

（補足）図形的にｙ切片と導関数を計算する場合

上記の計算でｚの具体的な形としてｚ＝ｘ／ｙが得られましたが、この関係は平面幾何的にも導出できます。ここで考えている円はｙ軸が原点における接線となっているので、「接線のｙ切片と接点と円の中心」で作られる三角形を考えて合同関係に着目すれば三平方の定理によってｚとｘおよびｙとの関係式を作る事ができます。

同じく図形的考察からｙ＞０において接線の傾きは（ｙーｚ）／ｘ＝(ｙ^２ーｘ)／(ｘｙ)です。そしてｙをｘで表すと、微分により得る導関数と同じ式を得ます。

$$y>0の時、接線の傾きは\frac{y-z}{x}=\frac{y-\frac{x}{y}}{x}=\frac{y^2-x}{xy}$$

$$=\frac{2x-x^2-x}{x\sqrt{2x-x^2}}=\frac{x-x^2}{x\sqrt{2x-x^2}}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\left(=\frac{dy}{dx}\right)$$

③積分においてｙの形を変形する（面積変換定理）

次に四分円の面積を積分によって考えます。この時に、積分変数ｘでｙを積分する計算において
ｙ＝(ｄｙ／ｄｘ)ｘ＋ｚの式変形をしてｚを積分計算に持ち込みます。以下、まず積分区間に依存せずに不定積分で可能なところまで式変形の計算を進めて行きます。

$$\int ydx=\int\left(\frac{dy}{dx}x+z\right)dx$$

次に２つの項のそれぞれについて積分変数の変換を考えます。

まず（ｄｙ／ｄｘ）ｘの項については部分積分の公式を適用して変形をします。

$$\int\frac{dy}{dx}xdx=xy-\int y\left(\frac{d}{dx}x\right)dx=xy-\int ydx$$

この部分積分による式変形は、定積分で計算した時には長方形領域の面積を曲線で分割した時の関係を表す意味を持ちます。

同様の部分積分の適用の仕方でｚの項についても式変形し、
さらに置換積分によって「積分変数ｚでｘを積分する」形に変形します。

$$\int z dx=\int z \left(\frac{d}{dx}x\right)dx=zx-\int\frac{dz}{dx}xdx=zx-\int x dz$$

式を整理すると、積分変数ｘによるｙの積分の項が２つあるのでまとめる事ができます。

$$\int y dx=xy-\int y dx+zx-\int x dz$$

$$\Leftrightarrow 2\int y dx=xy+zx-\int x dz$$

$$\Leftrightarrow \int y dx=\frac{1}{2}\left(xy+zx-\int x dz\right)$$

ここで式中のｘｙととｚｘは積分変数をｘとして考えた時の原始関数です。但し上記の補足説明のように積分変数をｙやｚで計算した場合はｙやｚの原始関数として端点の値を代入する必要があります。

④幾何級数展開を適用

「ｘを積分変数ｚで積分する」項について、０＜ｘ＜１の時に０＜ｚ＜１であるので１／(１＋ｚ^２)の部分に対して幾何級数展開を適用できます。公比は－ｚ^２です。

$$\int y dx=\frac{1}{2}\left(xy+zx-\int x dz\right)において、$$

$$\int x dz=\int \frac{2z^2}{1+z^2}dz=2\int z^2\cdot\frac{1}{1+z^2}dz$$

$$=2\int z^2(1-z^2+z^4-z^6+\cdots)dz=2\int(z^2-z^4+z^6-z^8+\cdots)dz$$

$$=2\left(\frac{z^3}{3}-\frac{z^5}{5}+\frac{z^7}{7}-\frac{z^9}{9}+\cdots\right)$$

よって、次式が成立します。

$$\int y dx=\frac{1}{2}\left(xy+zx-\int x dz\right)=\frac{1}{2}\left(xy+zx\right)-\left(\frac{z^3}{3}-\frac{z^5}{5}+\frac{z^7}{7}-\frac{z^9}{9}+\cdots\right)+C$$

（この段階ではまだ不定積分で考えているので、積分定数Cを加えた形にしています。）

⑤定積分の計算と極限の考察

ライプニッツ級数は「四分円の面積π／４が無限級数１ー１／３＋１／５－・・・に等しい」という式であり、四分円の面積は円の上半分の式\(y=\sqrt{2x-x^2}\)をｘ＝０からｘ＝１まで定積分すれば得られます。そのため本来は、上記で得られた積分の変形式でも積分変数ｘに対して積分区間を [0,1] としたいところです。簡易的な方法としてはそれでライプニッツ級数を導出可能です。

すなわち、ｘ＝０の時にｙ＝ｚ＝０，ｘ＝１の時にｙ＝ｚ＝１の関係から、得られている不定積分を定積分に変える事でライプニッツ級数を得ます。（積分中のｘｙ，ｚｘは共に積分変数をｘとしている原始関数であり、例えばｘ＝１を代入してｙについてもその時にｙ＝１なのでｘｙ＝１という計算。）

$$\frac{1}{2}\left([xy]_0^1+[zx]_0^1\right)-\left[\frac{z^3}{3}-\frac{z^5}{5}+\frac{z^7}{7}-\frac{z^9}{9}+\cdots\right]_0^1=\frac{1}{2}\left(1+1\right)-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$$

$$=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$$

$$これが\int_0^1 y dx=\frac{\pi}{4}に等しいとすると\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$$

しかしここでは一応、積分区間にｘ＝０とｘ＝１を含める事はできないとした場合の計算も記します。

• ｘ＝０を含めないのは、式変形で使用したｄｙ／ｄｘがｘ＝０で無限大となるため
• ｘ＝１を含めないのは、幾何級数展開時に|ｚ|＜１の条件が必要なため

０＜ε＜δ＜１であるεとδを考え、積分区間を[ε，δ]と置きます。そして計算結果においてε→０，δ→１の極限を考えます。ε→０の時ｙ→０およびｚ→０であり、δ→１の時ｙ→１およびｚ→１です。

$$\int_\epsilon^\delta y dx=\frac{1}{2}\left([xy]_\epsilon^\delta+[zx]_\epsilon^\delta\right)-\left[\frac{z^3}{3}-\frac{z^5}{5}+\frac{z^7}{7}-\frac{z^9}{9}+\cdots\right]_\epsilon^\delta$$

$$\lim_{\epsilon \to 0, \delta \to 1}[xy]_\epsilon^\delta=1\cdot1-0\cdot0=1,\hspace{7pt}\lim_{\epsilon \to 0, \delta \to 1}[xy]_\epsilon^\delta=1\cdot1-0\cdot0=1$$

幾何級数展開した部分についての極限については、何が問題なのかを整理しておきます。

• 幾何級数が収束する事が保証されるのは|ｚ|＜１の範囲（０＜ｘ＜１）であり、級数が収束しないなら項別積分もできない。
• ｚ＝０（ｘ＝０）の時には幾何級数展開自体は可能で、１／(１＋ｚ^２)に対して初項１だけが残り、ｚ^２＝０を乗じて全体が０になる。従って、ε→０の時の全体の極限値も０。

つまり、考察が複雑になるのは積分区間の端点を１に近付けて行く場合です。より具体的には
ｚ^３／３ーｚ^５／５＋ｚ^７／７＋・・・に「ｚ＝１を代入してみた場合の式」が収束するかどうかの判定が曖昧になっています。

この時にｚ^３／３ーｚ^５／５＋ｚ^７／７ー・・・の形の無限級数が収束するかどうかは、実は独立に確かめる方法があります。ｚ＝１を代入してみた時の形１／３ー１／５＋１／７ー・・・は収束する事を確認できます。（但し、その方法では１ー１／３＋１／５ー・・・がπ／４に収束するかどうかは判定できません。）

この判定方法によれば、１／３ー１／５＋１／７ー・・・は「収束する」事が分かります。

■参考：交代級数の収束性の検証（１／３ー１／５＋１／７ー・・・の場合。逆三角関数によるライプニッツ級数の導出過程にて。）

このような時にｚ^３／３ーｚ^５／５＋ｚ^７／ー・・・はｚ→１の時に収束し、
その極限値は１／３ー１／５＋１／７ー・・・の極限値に等しくなる事を保証する定理（連続性定理）がまた別に存在します。そのため、幾何級数展開した部分の極限は次のようになります。

$$\lim_{\epsilon \to 0, \delta \to 1}\left[\frac{z^3}{3}-\frac{z^5}{5}+\frac{z^7}{7}-\frac{z^9}{9}+\cdots\right]_\epsilon^\delta=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots\right)-0$$

$$=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots$$

$$よって、\lim_{\epsilon \to 0, \delta \to 1}\int_\epsilon^\delta y dx=\frac{1}{2}\left([xy]_\epsilon^\delta+[zx]_\epsilon^\delta\right)-\left[\frac{z^3}{3}-\frac{z^5}{5}+\frac{z^7}{7}-\frac{z^9}{9}+\cdots\right]_\epsilon^\delta$$

$$=\frac{1}{2}(1+1)-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots\right)=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$$

$$同時に、\lim_{\epsilon \to 0, \delta \to 1}\int_\epsilon^\delta y dx=\int_0^1 y dx=\frac{\pi}{4}であるから$$

$$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$$

■参考：（アーベルの）連続性定理

積分区間の端点の極限の考察で使用した連続性定理は次のようなものです。

４つのマクスウェル方程式からは電磁波の式を得るための波動方程式およびそのもとになっている一般形の方程式の導出されます。

電場と磁場の波動方程式

結論を先に述べると、マクスウェル方程式からは
次のような電場と磁場のそれぞれについての波動方程式を導出できます。

このように電場と磁場のそれぞれについて全く同じ形の式がマクスウェル方程式から導出されるわけですが、「真空中」という条件がついています。

これらの波動方程式には、もとになっている形があります。

マクスウェル方程式から法則と数学的な変形だけで直接的に導出される式は、
真空中に限らず一般の場合に成立する式です。

また、電場に対するスカラーポテンシャル（時間変動も含めた一般的な形）と磁場に対するベクトルポテンシャルを使った形の波動方程式と、そのもとになっている関係式もあります。

電磁波と光の関係

真空中の光の速さをｃとすると実は数値的にε_０μ_０＝１／(ｃ²) が成立しています。

ε_０＝8.8542×10^－１２
μ_０＝1.2566×10^－６
ｃ＝2.9979×10^８です。

１／(ε_０μ_０)≒１／(１１．１２６１８７×１０^－１８)≒８．９８７８×１０^１６で、この平方根を考えると確かに真空中の光の速さとほぼ同じになります。
（物質中では光の速さは変わります。また、同じく誘電率と透磁率の値も物質中では変わります。）

さらに、波動方程式の解から分かる波（電磁波）が進行する速さは１／\(\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\) です。

ε_０μ_０＝１／(ｃ²) からｃ＝１／\(\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\) なので、
電磁波が真空中を伝わる速さは光の速さに等しいという結果が得られます。

ところで光はマクロで見ると波なので、
物理学的には電磁波と光は波動として同じものであると捉えられています。
上記の関係式は、偶然にもほぼ一致するという事では無くて
「理論的にも実験的にも必ず成立する式である」
というのが物理学における解釈であるわけです。

いわゆる「目に見える光」は可視光とも呼ばれ、光の波長によって見える範囲が限定されている事が分かっています。（人と動物ではその範囲が違っていたりします。）

電磁波が光であるというのは基本的には「波動としては」という事であり、光は粒子（光子）でもあります。より詳しく言うと光は１つ１つは粒子として振る舞うけれども、それが多数集まると波として振る舞うようになります（干渉などの現象を起こすようになる）。ただし、電磁波と光を同一視できる関係は通常のマクロなスケールにおいてだけでなく、ミクロのスケールにおいても電場と磁場（のポテンシャル）から考えて光を量子力学的に考察する事がなされます。

導出に必要な式および法則・記号・公式等

まず、マクスウェル方程式のうち時間微分を含む２式であるアンペールの法則と電磁誘導の法則の式に着目します。それらは、発散と回転の分類から言うと膜ウェル方程式の中で電場と磁場の回転に関する２式でもあります。

「ベクトル場の回転に対する回転」はベクトル解析での公式によりラプラス演算子（ｘ，ｙ，ｚでの２階偏微分を内積的な計算で作用させる演算子）を含む形になり、さらに途中計算で出てくる発散の項をガウスの法則（電場と磁場両方を使用）によって変形する事で波動方程式の形の微分方程式が得られる、というのが基本的な理論の流れです。

さらに「真空中」という条件を付ける事で電流密度の項を無視できるとすると比較的見やすい形の微分方程式となります。また、電場に対するスカラーポテンシャル（＝電位）と磁場に対するベクトルポテンシャルからも同じく波動方程式を作る事ができて、特定の解を導出するにはそちらを使う方が簡単である場合もあります。

ナブラを使って書いた場合は次のようになります。

電場についての波動方程式の導出

電場と磁場の両方についてかなり似た操作でそれぞれについての波動方程式を導出できます。電磁誘導の法則とアンペールの法則をそれぞれ使いますが、実は計算の過程において電場と磁場の場合の両方でマクスウェル方程式のうち３つを使う事になります。

電場についての波動方程式を導出する時には、まず電磁誘導の法則の式から始めます。

電磁誘導の法則の微分形	\(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=-\frac{\Large\partial\overrightarrow{B}}{\Large\partial t}\)
両辺に回転を作用させる → 右辺は磁場の回転に対する 時間微分として書ける	\(\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\right)=-\mathrm{rot}\left(\frac{\Large\partial\overrightarrow{B}}{\Large\partial t}\right)\) \(\Leftrightarrow\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\right)=-\frac{\Large\partial}{\Large\partial t}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)\)
アンペールの法則を 右辺に代入して 電場だけの式にする ◆時間による２階微分は ここで生じます。	\(\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\right)=-\frac{\Large\partial}{\Large\partial t}\left\{\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}\right)\right\}\) \(=-\mu_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{j}}{\Large\partial t}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{E}}{\Large\partial t^2}\)
左辺に公式を適用して変形	\(\mathrm{grad}\left(\mathrm{div}\overrightarrow{E}\right)-\nabla^2\overrightarrow{E}=-\mu_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{j}}{\Large\partial t}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{E}}{\Large\partial t^2}\)
電場に関する ガウスの法則を左辺に代入	\(\mathrm{grad}\left(\frac{\Large\rho}{\Large\epsilon_0}\right)-\nabla^2\overrightarrow{E}=-\mu_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{j}}{\Large\partial t}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{E}}{\Large\partial t^2}\) \(\Leftrightarrow\frac{\Large 1}{\Large\epsilon_0}\mathrm{grad}\rho-\nabla^2\overrightarrow{E}=-\mu_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{j}}{\Large\partial t}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{E}}{\Large\partial t^2}\)
電場の項とその他を 左辺と右辺に分けて整理	\(\Leftrightarrow\frac{\Large 1}{\Large\epsilon_0}\mathrm{grad}\rho+\mu_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{j}}{\Large\partial t}=\nabla^2\overrightarrow{E}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{E}}{\Large\partial t^2}\) \(\Leftrightarrow\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\right)\overrightarrow{E}=\frac{\Large 1}{\Large\epsilon_0}\mathrm{grad}\rho+\mu_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{j}}{\Large\partial t}\)
真空中で電荷密度と 電流密度が０であると すると、 ３次元の波動方程式 の形になる	真空中を想定してρ＝０および\(\overrightarrow{j}\)＝０であるとすると \(\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\right)\overrightarrow{E}=0\) \(\left(\Leftrightarrow\nabla^2\overrightarrow{E}=\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\overrightarrow{E}としても可\right)\)

以上の式では、ε_０μ_０の項が出てきた時点で
光の速さｃを使った形である１／(ｃ^２)に直して計算を進める事もできます。結果は同じです。

磁場についての波動方程式の導出

磁場についてもアンペールの法則から始めて。同様の手順でやれば波動方程式を導出できます。

アンペール法則の微分形	\(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}=\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}\right)\)
両辺に回転を作用させる → 右辺は電場の回転に対する 時間微分として書ける	\(\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)=\mathrm{rot}\left\{\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}\right)\right\}\) \(\Leftrightarrow\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)=\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}+\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial}{\Large\partial t}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\right)\)
電磁誘導の法則を 右辺に代入して 磁場だけの式にする ◆時間による２階微分は 先ほどと同じく ここで生じます。	\(\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}\right)=\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}+\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial}{\Large\partial t}\left(-\frac{\Large\partial\overrightarrow{B}}{\Large\partial t}\right)\) \(=\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{B}}{\Large\partial t^2}\)
左辺に公式を適用して変形	\(\mathrm{grad}\left(\mathrm{div}\overrightarrow{B}\right)-\nabla^2\overrightarrow{B}=\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{B}}{\Large\partial t^2}\)
磁場に関する ガウスの法則を左辺に代入 （勾配の項は０になる。）	\(\mathrm{grad}0-\nabla^2\overrightarrow{B}=\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{B}}{\Large\partial t^2}\) \(\Leftrightarrow-\nabla^2\overrightarrow{B}=\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{B}}{\Large\partial t^2}\)
磁場だけの項と それ以外を分けて 式を整理	\(\Leftrightarrow-\nabla^2\overrightarrow{B}+\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{B}}{\Large\partial t^2}=\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}\) \(\Leftrightarrow\nabla^2\overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{B}}{\Large\partial t^2}=-\mu_0\mathrm{rot}\overrightarrow{j}\)
真空中で電荷密度と 電流密度が０であると すると、 ３次元の波動方程式 の形になる	真空中を想定して\(\overrightarrow{j}\)＝０であるとすると \(\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\right)\overrightarrow{B}=0\) \(\left(\Leftrightarrow\nabla^2\overrightarrow{B}=\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\overrightarrow{B}としても可\right)\)

ポテンシャルによる電磁場の波動方程式の導出

電場のスカラーポテンシャルと磁場のベクトルポテンシャルから波動方程式（および一般の形の方程式）を作る事もできます。

この場合、まず電磁誘導の法則の微分形をベクトルポテンシャルを使った形にします。

ベクトルポテンシャルで 表した磁場	電磁誘導の法則の微分形	ベクトルポテンシャルで 表した電磁誘導の法則
\(\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}\)	\(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=-\frac{\Large\partial\overrightarrow{B}}{\Large\partial t}\)	\(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}= -\frac{\Large\partial}{\Large\partial t}\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\) \(\Leftrightarrow\hspace{2pt} \mathrm{rot} \left(\overrightarrow{E}+\ \frac{\Large\partial\overrightarrow{A}}{\Large\partial t}\right)=0\)

ここで、静電場に対する渦無しの法則を考えた時と同様に
「回転が０であるベクトル場」は何かのスカラー場の勾配として書けます。

そのスカラー場を考えて磁場の時間変化が無い時は電位に等しくなるように－Φとします。そのようにおいた式の両辺の発散を考えると式をラプラス演算子で表せます。

スカラー場Φを考えます。 （一般の場合の電場に対する スカラーポテンシャル）	\(-\mathrm{grad}\phi=\overrightarrow{E}+ \frac{\Large\partial\overrightarrow{A}}{\Large\partial t}\)となるΦが存在する。
両辺の発散を考えます。 すると、左辺は ラプラス演算子∇２で 表す事ができます。	\(-\mathrm{div}\left(\mathrm{grad}\phi\right)=\mathrm{div}\left(\overrightarrow{E}+\frac{\Large\partial\overrightarrow{A}}{\Large\partial t}\right)\) \(\Leftrightarrow -\nabla^2\phi=\mathrm{div}\left(\overrightarrow{E}+\ \frac{\Large\partial\overrightarrow{A}}{\Large\partial t}\right)\) （※スカラー場に対しては∇２Φ＝div(gradΦ)が成立。 ベクトルに対しては同様の簡単な関係式は作れません。）

ところでベクトルポテンシャルのゲージ条件はまだ何も決めていないので、少し唐突で無理やり感もあるように見えるかもしれませんが次のゲージ条件を課します。

磁場に関するガウスの法則はベクトルポテンシャルを考える事自体に使っている事に注意すると、先ほどの電磁誘導の法則をポテンシャルで考えた式を考えた時点でまだ使っていないマクスウェル方程式は電場に関するガウスの法則とアンペールの法則です。

そこで電磁誘導の法則から得られたベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルの関係式を、同じくポテンシャルで表した電場に関するガウスの法則とアンペールの法則に代入して上記のゲージ条件を適用すると波動方程式が得られます。

電場のスカラーポテンシャルの場合

電場に関するガウスの法則（微分形）	\(\mathrm{div}\overrightarrow{E}=\frac{\Large\rho}{\Large\epsilon_0}\)
一般形のスカラーポテンシャルで表した 電場に関するガウスの法則	\(-\mathrm{div}\left(\mathrm{grad}\phi+\frac{\Large\partial\overrightarrow{A}}{\Large\partial t}\right)=\frac{\Large\rho}{\Large\epsilon_0}\)
【ゲージ条件から】 \(\mathrm{div}\frac{\Large\partial\overrightarrow{A}}{\Large\partial t}=-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\phi}{\Large\partial t^2}\) 【スカラー場で成立する式】 ∇２Φ＝div(gradΦ)	\(-\nabla^2\phi+\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\phi}{\Large\partial t^2}=\frac{\Large\rho}{\Large\epsilon_0}\) \(\Leftrightarrow\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\right)\phi=-\frac{\Large\rho}{\Large\epsilon_0}\)
電荷密度を０とみなせる 場合には波動方程式の形	\(\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\right)\phi=0\)

この結果は、ベクトルではなくスカラー場の波動方程式になっています。

また、ポテンシャルで考える場合には電磁場を考える地点での電荷密度を０と考えずに一般形のまま計算をする事がよくあります。さらに、後述するこの微分方程式の解となる式においては電磁場およびポテンシャルを考えている地点とは別の領域に存在する電荷密度の分布を考えます。
それは電位やベクトルポテンシャルを考える時にも使う考え方ではありますが、紛らわしい事もあり注意が必要な点とも言えます。

磁場のベクトルポテンシャルの場合

磁場の場合はアンペールの法則の微分形から始めて、計算式が一見少し複雑になりますが波動方程式の形に変形できます。

アンペールの法則の微分形	\(\mathrm{rot}\overrightarrow{B}=\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}\right)\)
\(\overrightarrow{B}=\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\)を代入 回転に関する公式により変形	\(\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\right)=\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}\right)\) \(\Leftrightarrow\mathrm{grad}\left(\mathrm{div}\overrightarrow{A}\right)-\nabla^2\overrightarrow{A}=\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}\right)\)
【ゲージ条件から】 \(\mathrm{grad}\left(\mathrm{div}\overrightarrow{A}\right)\) \(=\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}+\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{A}}{\Large\partial t^2}\) 代入すると電場の項 （変位電流の部分） が消えます。	\(\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}+\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{A}}{\Large\partial t^2}-\nabla^2\overrightarrow{A}\) \(=\mu_0\left(\overrightarrow{j}+\epsilon_0\frac{\Large\partial\overrightarrow{E}}{\Large\partial t}\right)\) 両辺に同じ係数の変位電流の項があり、消える。 \(\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2\overrightarrow{A}}{\Large\partial t^2}-\nabla^2\overrightarrow{A}=\mu_0\overrightarrow{j}\)
整理するとこの形	\(\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial}{\Large\partial t^2}\right)\overrightarrow{A}=-\mu_0\overrightarrow{j}\)
電流密度を０とみなせる 場合には波動方程式の形	\(\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial}{\Large\partial t^2}\right)\overrightarrow{A}=0\)

平面波解として得られる電磁波の式

ベクトルに対する偏微分方程式も、
成分ごとに見ればスカラー関数に対する偏微分方程式になります。例えば、
\(\left(\nabla^2-\epsilon_0\mu_0\frac{\Large\partial^2}{\Large\partial t^2}\right)E_x=0\)などです。

これの解の１つとして比較的簡単で代表的なものは次のような平面波です。
（以下、ｃ＝１／\(\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\)であるとします。）

これは一体何を言っているのかという話ですが、U(ｚ－ｃｔ)は進行波でW(ｚ＋ｃｔ)が反射波を表します。さらにｘとｙは変数ではないという関数形である事は「ｚ軸方向に進行していく」事を表します。

上記の式が確かに波動方程式の解になっているかどうかについては直接計算すればよいのですが、意外と少し面倒くさくて変数と微分の関係などに注意する必要があります。（微分をしていくだけの計算問題になるので、記述は後回しにします。）

電場のｘ成分とｙ成分が平面電磁波を表す形であるとして、
磁場に関してもｘ瀬尾文とｙ成分が同様の形であるとします。
∂E_ｘ／∂ｘ＝０と∂E_ｘ／∂ｙ＝０および∂E_ｙ／∂ｘ＝０と∂E_ｙ／∂ｙ＝０などの関係をマクスウェル方程式に戻って当てはめていくと、他の成分についても決定するものが複数あります。
それらを整理すると次のようになります。

∂Ｅ_ｚ／∂ｚ＝０である事を踏まえて、
さらにＥ_ｚがｘとyに関しても定数だとしても波動方程式を満たすのでそのようなものを考えます。
つまりその場合は∂Ｅ_ｚ／∂ｘ＝∂Ｅ_ｚ／∂ｙ＝０です。

その条件下では、電磁誘導の法則のｘ成分とｙ成分から
∂E_ｙ／∂ｚ＝∂B_ｘ／∂ｔ
∂E_ｘ／∂ｚ＝－∂B_ｙ／∂ｔ
という関係が得られます。

その事から、その条件下で電場と磁場のｘ成分とy成分の関係は次のようになります。

Ｅｘ ＝Uｘ(ｚ－ｃｔ)＋Wｘ(ｚ＋ｃｔ)	Bｘ ＝(１／ｃ){－Uｙ(ｚ－ｃｔ)＋Wｙ(ｚ＋ｃｔ)｝	∂Eｙ／∂ｚ ＝∂Bｘ／∂ｔ
Ｅｙ ＝Uｙ(ｚ－ｃｔ)＋Wｙ(ｚ＋ｃｔ)	Bｙ ＝(１／ｃ){Uｘ(ｚ－ｃｔ)－Wｘ(ｚ＋ｃｔ)｝	∂Eｘ／∂ｚ ＝－∂Bｙ／∂ｔ

もし進行波と反射波が別々のベクトルであるとするなら、電磁波の進行方向に対して垂直な平面内で進行波における電場と磁場は直交し、反射波における電場と磁場も直交する事になります。

進行波と反射波が 別々のベクトル という仮定	電場	磁場	進行方向に垂直な 平面内での電場と磁場の内積
入射波	Eｘ１＝Uｘ Eｙ１＝Uｙ	Bｘ１＝－Uｙ／ｃ Bｙ１＝Uｘ／ｃ	(１／ｃ)（－UｘUｙ＋UｘUｙ）＝０
反射波	Eｘ２＝Wｘ Eｙ２＝Wｙ	Bｘ２＝Wｙ／ｃ Bｙ２＝－Wｘ／ｃ	(１／ｃ)（WｘWｙ－WｘWｙ）＝０

電磁波における電場と磁場の成分が正弦波あるいはその重ね合わせであると考えると、平面電磁波の電場と磁場の成分が進行方向に垂直である事は「波数ベクトル」との内積が０になる事でも示せます。

ポテンシャルによる計算から得られる電磁波の式

ポテンシャルを使ったほうの波動方程式を解くと、少し別の形の数式での電磁波の式を得ます。

スカラーポテンシャルにしてもベクトルポテンシャルにしても、静電場と静磁場の場合には積分の形はとるけれども一応微分方程式の解としてポテンシャルを数式で表す事は可能です。

そして前述のポテンシャルの波動方程式および一般の形の式（ρ≠０等の場合）でも、実はかなり似た形の式が解になります。

静電場や静磁場に限定した時と異なる点は、電荷密度と電流密度に変数として加わる「時間」の部分です。そしてその時間変数は、空間中で電磁波による電磁場を考えている地点と、電磁場を作っている電荷や電流がある領域との時間変化における「時刻」のずれが反映された形にする必要がある事が知られています。

具体的には、まず平面波を表す解で得られた電磁波の速さｃ＝\(\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\)が一般に適用できるものだと仮定して、電荷や電流の各位置から電磁場を考える位置までの距離をｒとします（これは関数）。

そして、電荷や電流の時間変数をｔとした時に、その変数をｔ－ｒ／ｃに置き換えたものを考えます。
これはｒという位置座標の関数を含むのでｘ，ｙ，ｚ，ｔの関数です。
そこでＴ(ｘ，ｙ，ｚ，ｔ)＝ｔ－ｒ／ｃとおいておきます。

前述のポテンシャルで表した場合の真空中の波動方程式、および電荷密度あるいは電流密度が０でない場合の式における解の１つは次式で表されます。

また、ポテンシャルから計算できる電場と磁場は次のようになります。

遅延ポテンシャルが解となっている事の確認計算

先ほどの「遅延ポテンシャル」が波動方程式を作るポテンシャルの式を満たすのかどうかは、少々長ったらしい計算が必要ですが確認する事ができます。

まず、スカラーポテンシャルのほうを見ます。ベクトルポテンシャルについても、成分ごとに見ればスカラーポテンシャルの時と同様に計算ができます。

∇^２と発散、勾配はいずれもｘ，ｙ，ｚの変数での偏微分を行うものとします。

勾配ベクトルの内積部分の計算

勾配ベクトルの内積部分の計算を先に見ます。

積分内のρの変数であるX，Y，Z，Tのうち
ｘ，ｙ，ｚの関数であるのはＴだけです。
∂ρ／∂ｘ＝(∂ρ／∂Ｔ) (∂T／∂ｘ)
【本来、数学的な計算としては∂ρ／∂ｘ＝(∂ρ／∂Ｔ) (∂T／∂ｘ)＋(∂ρ／∂X) (∂X／∂ｘ)＋・・・で、
∂X／∂ｘ＝０，∂Y／∂ｘ＝０，∂Z／∂ｘ＝０なので(∂ρ／∂X)(∂X／∂ｘ)等の項は０】

ここでＴ＝ｔ－ｒ／ｃなので、
∂T／∂ｘ＝－(∂／∂ｘ) (ｒ／ｃ)＝－(ｘ－X)／(ｒｃ) であり、
∂ρ／∂ｘ＝(∂ρ／∂Ｔ) (∂T／∂ｘ)＝－｛(ｘ－X)／(ｒｃ)｝(∂ρ／∂Ｔ)

他方でＴ＝ｔ－ｒ／ｃをｔで偏微分すると∂Ｔ／∂ｔ＝１であり、
∂ｘ／∂ｔや∂Ｘ／∂ｔ等は０なので
∂ρ／∂ｔ＝(∂ρ／∂Ｔ) (∂Ｔ／∂ｔ)＋(∂ρ／∂ｘ) (∂ｘ／∂ｔ)＋(∂ρ／∂ｙ) (∂ｙ／∂ｔ)＋・・・
＝(∂ρ／∂Ｔ) (∂Ｔ／∂ｔ)
＝∂ρ／∂Ｔ

つまり∂ρ／∂ｔ＝∂ρ／∂Ｔの関係があるので
先ほどの式は
∂ρ／∂ｘ＝－｛(ｘ－X)／(ｒｃ)｝(∂ρ／∂ｔ)と書けます。
【Tによる偏微分ではなくｔによる偏微分でも同じ結果になるという事。】

これらの事はｙやｚについても同様の計算で、時間変数による偏微分はｔで書けます。
∂ρ／∂ｙ＝－(ｙ－Y)(∂ρ／∂ｔ)／(ｒｃ)
∂ρ／∂ｚ＝－(ｚ－Ｚ)(∂ρ／∂ｔ)／(ｒｃ)となるので
\(\overrightarrow{R}=\frac{\Large 1}{\Large r}(x-X,y-Y,z-Z)\) とすると、
gradρ＝－(１／ｃ) (∂ρ／∂ｔ)\(\overrightarrow{R}\)

ここで、grad(１／ｒ)＝－\(\overrightarrow{R}\)／(ｒ^２)であり、
\(\overrightarrow{R}\)の大きさは１である事に注意すると∇^２(Φ／ｒ)の式中の内積計算は
２{grad(1／ｒ) }・(gradρ)＝{－２／(ｒ^２) } {－(１／ｃ) (∂ρ／∂ｔ) }
＝{２／(ｃｒ^２) } (∂ρ／∂ｔ)
【この項は、あとで消えます。】

電荷密度に対する∇^２ρの部分の計算

また、スカラー関数については∇^２ρ＝div(gradρ)なので、div(gradρ)を計算します。
grad(∂ρ／∂ｔ)については先ほどのgradρ＝－(１／ｃ) (∂ρ／∂ｔ)\(\overrightarrow{R}\)と同じ形の計算が可能で、
grad(∂ρ／∂ｔ)gradρ＝－(１／ｃ) (∂^２ρ／∂ｔ^２)\(\overrightarrow{R}\)

\(\overrightarrow{R}\) の大きさはｒ／ｒ＝１である事に注意して、
公式div(φ\(\overrightarrow{F}\))=(gradφ)・\(\overrightarrow{F}\)＋Φdiv\(\overrightarrow{F}\) および
div\(\overrightarrow{R}\)=２／ｒも使用すると次のようになります。

$$\nabla^2\left(\mathrm{grad}\rho\right)=\mathrm{div}\left(\mathrm{grad}\rho\right)$$

$$=\mathrm{div}\left\{-\frac{1}{c}\frac{\partial \rho}{\partial t}\overrightarrow{R}\right\}=-\frac{1}{c}\left\{\left(\mathrm{grad}\frac{\partial \rho}{\partial t}\right)\cdot\overrightarrow{R}+\frac{\partial \rho}{\partial t}\mathrm{div}\overrightarrow{R}\right\}$$

$$=-\frac{1}{c}\left\{-\frac{1}{c}\left(\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}\overrightarrow{R}\right)\cdot\overrightarrow{R}+\frac{2}{r}\frac{\partial \rho}{\partial t}\right\}$$

$$=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}-\frac{2}{cr}\frac{\partial \rho}{\partial t}$$

これを見ると、式の最後の形の２項目の－{２／(ｃｒ)} (∂ρ／∂ｔ)に１／ｒを乗じると
先ほどの２{grad(1／ｒ)}・(gradρ)＝{２／(ｃｒ^２)} (∂ρ／∂ｔ)に加えれば０になる事が分かります。

よって、ここで式を一度整理すると次式になります。

$$\nabla^2\left(\frac{\rho}{r}\right)=\frac{1}{r}\nabla^2\left(\mathrm{grad}\rho\right)+2\left\{\mathrm{grad}\left(\frac{1}{r}\right)\right\}\cdot(\mathrm{grad}\rho)+\rho\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)$$

$$=\frac{1}{c^2r}\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}+\rho\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)$$

この式に１／(4πε_０)を乗じて領域Vで体積積分します。
【ベクトルポテンシャルの成分の時には、ここでμ_０／(４π)を乗じます。】

$$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\nabla^2\left(\frac{\rho}{r}\right)dv=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\left\{\frac{1}{c^2r}\frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}+\rho\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)\right\}dv$$

$$整理すると、\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\frac{\rho}{r}dv\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\rho\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)dv$$

ｒ≠０の時はρ∇^２(1／ｒ)＝０なので波動方程式の形を満たす事が分かります。

$$r\neq 0であるなら、\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_V\frac{\rho}{r}dv\right)=0$$

ではｒ＝０になるような点を含む場合ではどうかというと、その場合でも遅延ポテンシャルの形の式は積分をした時に極限を考える形でρ≠０の場合の方程式を満たします。（デルタ関数で考える事も多い。）また、遅延ポテンシャルによる解は実はかなり一般性を持った形の解でもあります。

電磁誘導（「でんじゆうどう」）は「磁場が変化する事で起電力が生じる」事を表す現象で、発電機や変圧器の原理です。電磁誘導の法則はマクスウェル方程式の１つで、数式的には磁場の時間変化と電場の回転を含む式になっています。

電磁誘導の法則は、アンペールの法則と組み合わせて電磁波を表す式を導出するための法則でもあります。また、電磁誘導の法則はマクスウェル方程式の中では電気回路論との直接的な関係が強い法則であるとも言えます。そのため、この記事では電磁誘導に関連した回路論の事項もいくつか含まれます。

電磁誘導を考えるにあたって重要となる「誘導起電力」について、記号はVでもEでもεでも何でもよいのですが、この記事では統一してV_eという記号で書いておきます、（それほど深い意味はなく、電場等との記号と混同しないようにという意味合いです。）

電磁誘導という現象

直流電源（起電力の向きが一定）をつないだ回路と電源が無い回路を用意して、電源を入れると電源が無いほうの回路にも一瞬だけ電流が発生します。この現象が電磁誘導です。

この現象は、電源をつないでいない回路に磁石を近づけたり遠ざけたりする時にも起こります。つまり磁場が関係している事が分かります。１つの回路が別の回路に電流を発生させているのは、片方の回路の電流によって発生した磁場であると言えます。

ただし磁場さえあれば同じ現象が起きるかというと実はそうではなく、
「磁場の変化」（つまり増加か減少）があるとそのような事が起きます。また、電源をつないでいない回路に発生する電流の大きさは回路の導線の長さ・断面積・材質で変化します。つまり回路の抵抗に依存します。そのため、磁場の変化によって誘起されるのは電流を生じさせる「起電力」（電源としての電位差）であると考えられるわけです。

• 電磁誘導が起きるのは「磁場の変化」が起きる時
• 磁場の変化によって誘導されるのは回路全体に電位差を作る「起電力」（回路全体の電圧）

電磁誘導は１つの回路の電流による磁場が、電気的には絶縁されている他の回路に対して誘電起電力および結果としての電流を生じさせています。これについては、切り離された２つの電気回路が磁気回路によって接続されているという見方もできます。確かに直流電流が発生させる誘導起電力は「電源を入れた時と切った時だけ」の一瞬ですが、交流電流であれば継続的な交流の誘導起電力を発生し続ける事ができます。

しかも、次に見て行くように発生する誘導起電力は「磁場の変化」の大小で決定し、直接的には電流の大きさには依存しません。すると、何らかの方法で局所的に磁場の変化量を増やせば回路の電圧の調整が可能になります。（具体的には導線をコイル状にして、さらに中に鉄心を入れます。）それを実用化しているのが変電所等に設置されている変圧器です。電磁誘導は発電機の原理でもありますが、変圧器の原理でもあるわけです。

法則の積分形（固定回路で磁場の時間変動がある時）

電磁誘導の法則は、磁束と誘導起電力との関係を表した式です。磁束とは磁場の法線面積分で表される量を言います。（\(\overrightarrow{B}\) を「磁束密度」として考える事があるのは磁束の定義に由来します。ただし当サイトではそれを磁場として扱う方式で記述をしています。）

そして誘電起電力を「電気回路一周分で電荷が受ける事になる仕事」として捉えると、電磁誘導の法則は「電場の回転」と「磁場の時間変化」の関係を表す式であるとみなす事ができます。

他の３つのマクスウェル方程式同様に、電磁誘導の法則にも積分形と微分形が存在します。法則の直接的な意味が分かりやすいのは積分形であり、次のようになります。

電磁誘導の法則について、発生する誘電起電力の「向き」に着目したものを特にレンツの法則と呼ぶ事もあります。

起電力の発生とは回路全体に電位差が生じる事です。その結果として回路には電流が発生します。この時に回路の導線に沿って電場が発生していると考えて、それを特に誘導電場と呼ぶ事があります。

この時に、＋１ [C]の電荷を置いてみた時に誘導電場から受ける仕事が「回路全体に生じている電位差」（＝起電力）であるので、それは回路１周分の電場（＝＋１ [C]の電荷が受ける電気力）の接線線積分で表す事ができます。

閉曲線Cは導線でできた回路を考えてもいいし、空間内のてきとうな任意の閉曲線を考えても良い事になります。導線の回路とは無関係に閉曲線を考えた場合でも、磁場の時間変動（および磁束の時間変動）があるなら起電力に相当する電位差は発生していると見るわけです。

回路として導体でできたものを指定しなくても閉曲線として形状さえ指定すればよいという意味では、確かに物理的には「より一般的な式」であるという事は言えそうです。

法則の微分形

電場と磁場の関係で表した電磁誘導の法則の積分形にストークスの定理を適用すると、法則の微分形を得る事ができます。

ストークスの定理を適用するのは、電場のほうの項です。それが循環（周回の接線線積分）の形になっているので、「電場の回転」の法線面積分として書けます。

$$\oint_C\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_{S_0}\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}$$

開曲面をS_０としていますがこれは磁場のほうに対する開曲面と同じである必然性がないので予めそう書いただけであり、本質的にはあまり関係ありません。

$$電磁誘導の法則により\oint_C\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=-\int_S \frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot d\overrightarrow{s}であるから$$

$$\int_{S_0}\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=-\int_S \frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot d\overrightarrow{s}$$

開曲面S_０とSは任意にとれるので、式が成立するには被積分関数が同一でなければなりません。
よって、電磁誘導の法則の微分形が成立する事になります。

これは他のマクスウェル方程式の積分形から微分形への変形の時と同じやり方です。

電磁波の式を導出する時にマクスウェル方程式を組み合わせる時には、基本的に微分形のほうの式を使います。電磁誘導の法則と組み合わせるのはアンペールの法則の微分形です。

時間変動しない磁場中で回路が動く時の法則の形

ところで各位置における磁場が時間的に一定である時に、回路自体を動かしても「回路を通過する磁束」は変化する事になります。（磁場の分布と運動の仕方によっては変化しない事もありますが、一般的に言えば変化をします。）

実際、そのような場合でも電磁誘導は起きます。ただし、その時に電磁誘導の積分形の見た目が違った形で書かれる事があります。

それは接線線積分で書かれる事になりますが、上述の電磁誘導の法則の積分形をストークスの定理等を使って変換したものとは異なります。

電磁誘導の法則の積分形の元の形に即して言えば考え方自体は固定された回路において磁場が時間変動する時と同じで、回路を周・外縁とする開曲面の磁束の変化を計算していると見る事ができます。

回路を閉曲線Cとして、それを外縁とする開曲面Sを考えます。

回路が移動あるいは変形すると、そもそもの閉曲線が変わるので開曲面に対する磁束も変化します。（平行移動や回転で開曲面の形状を変えていなくても。）

１つの閉曲線Cに対しては開曲面Sは任意に選べるので、なるべく大きくならないものを選びます。例えば閉曲線の各点を直線で結ぶ事で形成される曲面などです。

最初に存在する閉曲面S_１と、移動後の閉曲面S_２を考えて、
それと移動の軌跡で作られる側面の閉曲面S_ｄも考えます。
次に、速度ベクトルがS_１の表面とのなす角が１８０°以下の時を見てみます。これは速度ベクトルがS_１の表面側を向いている状況です。

任意の時刻で静磁場に関するガウスの法則が成立しているとすれば、
閉曲面全体での磁場の法線面積分（＝磁束）の合計は０です。
（この事は、電磁誘導の積分形のところで触れた「磁束は１つの閉曲線を外縁として共有している条件のもと任意の開曲面で考えても同じ値になる」という話と同じです。）

その内訳を見ると、最初のS₁の表面が「閉曲面の裏面」になる事に由来してS_１に対する磁束Φ₁とS_２に対する磁束Φ_２が互いに異符号で存在します。それと軌跡で作られた側面S_ｄにおける速度ベクトルと接線ベクトルの外積が閉曲線の内側を向いています。

するとΦ_２－Φ_１－Φ_ｄ＝０ ⇔ Φ_２－Φ_１＝Φ_ｄ　です。

非常に短い時間では、Φ_ｄは「速度ベクトル（どの位置でも同じ）と接線ベクトルが作る平行四辺形」を面積に持つ面積要素ベクトルと、磁場との内積を考えた法線面積分です。

しかしこの時の面積要素ベクトルは「速度ベクトルと接線ベクトルの外積ベクトル」に等しく、それを閉曲線C（最初の位置での閉曲線）において周回ですればよい事になります。上記の式で言う２段目の形です。その式をさらにベクトルの外積の公式で変形すると上記の１段目の形が得られます。

$$移動の軌跡で作られる面の磁束\Phi_d=\int_{S2} \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}=-\oint_C \overrightarrow{B}\cdot\left(\overrightarrow{v}\times d\overrightarrow{l}\right)$$

$$=\oint_C \left(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}\right)\cdot d\overrightarrow{l}$$

曲線の一部だけが移動すると考えれば、
回路の形状が微小に変化する場合にも同様に考える事ができます。

次に、S_１の表面と速度ベクトルのなす角が１８０°を超える時、つまり速度ベクトルがS_１の裏面側に伸びている状況を考えます。この時は、閉曲面を考える事で表が裏に転じるのはS_２のほうになります。さらに、速度ベクトルと接線ベクトルの外積は今度は閉曲面の外側（＝表側）を向くようになります。

従ってその場合はΦ_１－Φ_２＋Φ_ｄ＝０となり、
Φ_１－Φ_２=－Φ_ｄ ⇔ Φ_２－Φ_１＝Φ_ｄ となって
先ほどと同じ関係式になったので同様に考える事ができます。

自己インダクタンスと逆起電力

「１つの回路による電流による磁場の変化が、もう１つの回路に誘導起電力を発生させる」という理論をよく考えてみると、磁場を生じている元の回路を通過する磁場も変化しているはずではないのか？と思えるかもしれません。

そして実はそれは正しくて、一般的に電気回路は
「それ自身に発生している電流による磁場の変化があった時」
にはそれに由来する誘導起電力が発生するのです。
そしてその部類の誘電起電力は特に逆起電力と呼ばれます。
それは直流回路で電源を入れた時などは無視できる大きさですが、交流電気回路では考慮に入れる必要があります。特にコイルがある場合には基本的に無視する事はできない事が多いです。

実験によって（あるいはアンペールの法則やビオ・サバールの法則から）直線電流によって生じる磁場は電流の大きさに比例します。これは交流電流のように電流が時間変化する場合でも、各時刻で考えると同じ事が言えます。

そこで主に逆起電力を考える場合に特に多く使う考え方として、
比例定数Lを使って磁束をΦ＝L I と表現する事が多くあります。
この比例定数Lを、考えている回路の自己インダクタンスと呼びます。
この形の磁束の式を使って逆起電力を表す場合の電磁誘導の法則の式を書くと、
V_e＝－(ｄΦ／ｄｔ)＝－L (ｄI／ｄｔ)となります。

その形の式は、電気回路に限定した議論のように空間的な電場や磁場のベクトルを考えなくてもよい場合によく使われます。回路で考えている場合の電流は時間に依存する事はあっても、空間的な位置座標には依存しません。

自己インダクタンスを使った考え方は回路論以外で使ってはいけないわけでは無いですが、
基本的に「電流が作っている磁場が、その電流が生じている回路に及ぼす誘電起電力（＝逆起電力）」
を考えているので必然的に電気回路で使う事が多くなるわけです。

ここで、回路にV sin(ωｔ)で表される交流電源があって、回路素子としては無視できないインダクタンスを持つコイルだけがある状況を考えてみます。
（全ての導線にもコイルにも抵抗成分は必ずありますが、ここでは簡単のためにそれらは無視できる大きさとして考えます。）

すると、キルヒホッフの法則（回路の電圧降下の合計は起電力に等しいというもの）を考えると
「電源の起電力＝逆起電力の大きさ」という事になってV sin(ωｔ)＝L (ｄI／ｄｔ)です。
（向きまで含めて考えれば電源の起電力とここでの逆起電力は符号が異なります。）
このｔに関する微分方程式は比較的簡単に解く事ができます。
任意定数が０になるように初期条件を考えると、Ｉ＝－｛１／(Ｌω)｝cos(ωｔ) となります。
【合成関数の微分を考えて(ｄ／ｄｔ){cos(ωｔ)}＝－ωsin(ωｔ)となる事に注意。】

－cos(ωｔ)＝－sin(π／２－ωｔ）＝sin(ωｔ－π／２）でもあるので、
コイルの端子間電圧（ここでは電源電圧に等しい）V sin(ωｔ)に対して
コイルに生じている電流は「位相がπ／２遅れている」という表現もされます。これは交流回路論においては割と重要です。

使われ方:１発電機における電磁誘導

電磁誘導を利用して発電を行う発電機にはいくつか種類がありますが、
実はいずれも電動機（モーター）と対になった分類になっています。発電所で従来から使われてきた発電機で多いものは同期発電機（synchronous generator）と呼ばれます。以下、積分などの計算はありませんがいわゆる電気機器・電気機械の理論独特の多少込み入ったな話も一部含まれます。

• 同期発電機：発電所で多く使われてきた発電機。火力発電などでは一般的に巨大。
• 直流発電機：交流ではなく直流の電源として使える発電機。
• 誘導発電機：誘導電動機という種類の電動機を発電機として使ったもの。やや稀なタイプ。

原理的には交流の電源を作るには磁場を回転させてもよいし,

磁場を固定して回路の一部であるコイルのほうを回してもよいのですが、火力発電に使われるような大型の同期発電機では磁場を発生させる電磁石（以下、「磁極」と呼びます）のほうをタービンの軸に接続して回転させます。

この場合、誘電起電力を発生させるコイルは回転する磁極を囲むようにして固定されます。
磁極は通常の磁石のようにNとSに相当する部分が対になりますが、この対を複数設置して同時回転させる事もできます。火力発電では２極（つまりNとSの１対だけ）の事が多く、小規模の水力発電などでは多くの極（例えば多いものでは４８極）などが使われる傾向があります。

発生する起電力の計算に使うのは、
電磁誘導の法則において「磁束の時間変化」を直接使うパターンです。

磁極を回転させる時にはコイル面に対する磁場の垂直成分が理想的には時間を変数として正弦関数と嬉しいのですが、実はコイルの配置などを工夫しないと歪んだ台形のような波形になってしまいます。（周期関数を正弦波の和で表す考え方だと「高調波」成分が多くなる事を意味します。）
ここではそのような工夫が既にされているとして、誘導起電力を発生させるコイルにおける磁場の波形が正弦波に近似できるものとします。また、磁束を考える面は長方形状のコイルの平らな面であるとして、その面積をＳとします。

さてそのような時には考察は比較的簡単で、
コイルの面の面積要素ベクトルと磁場のなす角度が回転磁極の角速度ωと時間ｔの積ωｔで表せる事になります。

今、磁場ベクトルの大きさが一定でBであるとします。
コイル面に対する垂直成分Ｂ_０が正弦波で表されるとすると
Ｂ_０＝Bsin(ωｔ)で、ωｔ＝π／２の時に最大値です。
（磁場とコイル面の面積要素ベクトルとのなす角θを使えばＢ_０＝Ｂcosθであり、
位置関係としてはθ＋ωｔ＝π／２です。）

よってこの時のコイル１巻き分の磁束はΦ＝SBsin(ωｔ)で、１巻きのコイルに対する誘電起電力は
V_e＝－(ｄΦ／ｄｔ)＝－ωＳＢcos(ωｔ)＝ωＳＢsin(π／２－ωｔ)です。
自己インダクタンスを使った計算時のように合成関数の微分になります。

$$合成関数の微分である事に注意して、V_e=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d}{dt}\left\{SB\sin (\omega t)\right\}=-\omega SB\cos (\omega t)$$

速度ではなく周波数ｆ[Hz] で考えるならω＝２πｆなのでV_e＝－２πｆＳＢcos(ωｔ)です。
実効値で考えるのであれば最大値（つまり正弦または余弦が１の時）の絶対値を\(\sqrt{2}\)で割って
V ＝\(\sqrt{2}\pi\)ｆＳＢ です。
（SもBも定数であるのでまとめて\(\phi\)＝ＳＢとおいてしまう事もあります。)

以上の結果はコイル１巻きに対してなので、ｎ回巻かれていればｎ倍になります。
その他、導線の結線方法やコイルの巻き方に由来して所定の値や係数が乗じられます。
ただし発電機の誘電起電力は高ければ高いほど良いというものでも無いので、用途に応じて所定の電圧の電源になるように構造が決定されています。

• 磁場の大きさの波形を正弦波に近付けるために１箇所にコイルの巻きを集中させない方式（分布巻、短節巻等）を使った場合は誘電起電力が理論値より少し減るので巻線係数ｋを乗じます。
  ｋは基本的におおよそ０．８７～１未満の値です。
  さらに細かく見るとこの巻線係数は別の２つの係数の積です。
• ３つの正弦波の位相が互いに１２０°ずれた「三相三線」の線路として出力する場合は、
  ２本の導線の「線間電圧」は１相で考えた場合の\(\sqrt{3}\)倍になります。

使われ方２：変圧器における電磁誘導

変圧器は変電所に設置されている装置であり、電柱の上にも設置されています。
２つの電気回路を接続し、それぞれの接続部分にコイルがあります。電柱に張り巡らされた電線の２線間の電圧は高圧の６６００[V] であり、それを家庭で使う１００Vに下げます（降圧）。逆に、発電所から鉄塔の送電線に向けては特別高圧の範囲の１万～５０万[V] にまで電圧を上げます（昇圧）。

変圧器の原理は発電機と同じく電磁誘導であり、交流回路においてのみ機能します。理論的には前述の逆起電力の考え方が重要な部分の１つでもありますが、変圧に関する結果の式は非常に簡単で２つのコイルの電圧の比は「コイルの巻き数の比に等しい」というものです。

結果の式は簡単ですが、導出する時には実は少し注意が必要な点もいくつかあります。
以下、導出の概略について説明します。

１次側のコイルによる電誘誘導によって２次側の回路に誘導起電力が生じるわけですが、この時に実は２次側のコイルによる磁束の変化が１次側に逆に影響を及ぼします。
ただし１次側に変化があるのは実は電圧ではなく電流のほうで、２次側からの電磁誘導に由来する電流が逆起電力を発生させて結果的に１次側の電圧の変化を打ち消す仕組みになっています。

そのため、変圧器で２つの回路を接続した時には１次側には２種類の電流があると考えます。「励磁電流」はであり、「１次負荷電流」は２次側のコイルからの電磁誘導に由来する電流です。しかし大きさ的には一般的に後者のほうが大きくなります。

• 「励磁電流」：２次側の回路に誘導起電力を発生させる電流。大きさ的には小さい。
• 「１次負荷電流」：２次側のコイルからの電磁誘導に由来する電流。
  ただし逆起電力によって、結果的に１次側のコイルの端子間電圧に基本的に影響を与えない。

１次側の励磁電流によって、１次側のコイルには巻き数Nに比例する磁場が発生します。
そこで、この励磁電流による磁束は励磁電流の大きさと１次コイルの巻き数に比例するとして
Φ_０＝ｋNI とおけます。

ここで、自己インダクタンスLの定義は
「電流が発生させた磁束について」Φ＝LIとなるような定数の事でしたが、
電流がコイルの１つ１つの輪に作用して逆起電力を発生させている事を考えると
実はこの場合の磁束は「Φ_０のN個分の合計」として考える必要があります。
そのために１次コイルのに対して励磁電流が発生させた磁束の合計は Φ＝ｋN^２I であり、
自己インダクタンスはL_１＝ｋＮ^２となるのです。

この時に回路の抵抗成分は小さいとすると、逆起電力V_１の大きさは電源電圧とほぼ同じになります。（向きは互いに逆です。）
電源の起電力をVsin(ωｔ)とすると、
Vsin(ωｔ)＝－L_１(ｄＩ／ｄｔ）により（あるいはリアクタンスL_１ωを使って）
励磁電流は I＝－{Vcos(ωｔ)}／(L_１ω)＝－V{cos(ωｔ)}／(ｋＮ^２ω)です。
つまり、少し妙な感じもするかもしれませんが
「励磁電流の大きさは１次コイルの巻き数の２乗に反比例する」というわけです。
【逆起電力は、ここでは大きさが電源の起電力に等しく向きが逆でV_１＝－Vsin(ωｔ)です。】

ここで改めて１次コイルが近似的にソレノイド同様の磁場を作ると考えると、先ほどと同じように考えてΦ_０＝ｋNI＝－V{cos(ωｔ)}／(Ｎω)の磁束が発生しますが今度はこれは１次コイルではなく２次コイルのほうに作用している状況を考えます。

２次コイルでの誘電起電力Ｖ_２は電磁誘導の法則により －(ｄΦ／ｄｔ)を計算する式で考えます。
１巻きではNに反比例し、２次コイルでM巻きの導線の輪があるのでM倍します。

つまり、Φ_０＝－V{cos(ωｔ)}／(Ｎω)をｔで微分して符号を変えてからＭ倍する事によって、
V_２＝－M(ｄΦ_０／ｄｔ)＝－VM{sin(ωｔ)}／Ｎです。
（結果的にωは式から無くなります。）

よって、V_１≒－VのもとでV_２／V_１＝{－VM{sin(ωｔ)}／Ｎ}／{－V{sin(ωｔ)}＝M／Ｎとなります。
（実効値をE_１およびE_２として、E_２／E_１で考えたとしても同じようにE_２／E_１＝M／Nとなります。）
以上の事は、交流回路における複素数法（交流の電流と電圧は複素数として直流回路同様に計算しても正しい結果を得る）を使うと少しだけ計算は見やすくなります。

逆三角関数とは「三角関数の逆関数」で、正弦、余弦、正接のそれぞれに対して存在し、
それぞれ「逆正弦関数」「逆余弦関数」「逆正接関数」と呼んで Arcsinｘ，Arccosｘ，Arctanｘ
もしくは sin^－１ｘ，cos^－１ｘ，tan^－１ｘ のように書きます。
あるいは arcsinｘ，arccosｘのように書く事もできますが、
それらは記述法によっては Arcsinｘ等と区別して意味を持たせる事もあります。

逆三角関数が使われる事が比較的多いのは微積分においてです。そのため、この記事の後半では微積分的な内容がやや多くなります。また、どちらかというと数学的な内容が中心になりますが逆三角関数のいくつかの使用例についても説明します。

種類と基本的性質

通常の正弦関数ｙ＝sinｘに対してはｘの値を決めればｙが定まるわけですが、理論的にはｙに対してｘの値も計算できるというふうにも見れます。つまりｘ＝f(ｙ) のように考えるわけです。これが一般的な逆関数の考え方ですが、それを三角関数について考えたものが逆三角関数です。

例えばｙ＝sinｘに対して
ｘ＝π／２の時にはｙ＝sin(π／２)＝１であるので、π／２＝Arcsin１のようになります。
同様に、例えばｘ＝π／４の時にtanｘ＝１なので π／４＝Arctan１のようになります。
つまり「三角関数あるいは三角比のある値を与える角度は何か？」
という事を表したのが逆三角関数です。

ですので具体的な意味としては実は難しくないのですが、
数学的には注意点は２つほどあります。

ｙとｘの文字の使い分けの関係は混乱を生じやすいかもしれませんが、
何の文字を使っているかに関わらずに Arcsin 等の逆三角関数を使う時には
変数とその定義域は「通常の三角関数の値」であり、
逆三角関数の値とその値域は「角度」を考えています。

多くの場合、三角関数ｙ＝sinｘなどを使っている中で逆三角関数を考える場合には
変数と関数を表す文字を区別するためにｘ＝Arcsinｙのように書いて、
微積分などで単独で逆三角関数を最初から使う時にはｙ＝Arcsinｘのように書いたりします。
（後述で少し触れますが同じく逆関数の関係にある指数関数と対数関数の関係と同じように捉えると分かりやすいかもしれません。）

文字としてはｘでなくてもθなどを使っても同じです。

逆三角関数の「主値」について

逆三角関数の変数の定義域および値域としての「三角関数の１周期分」については無限個の区間からどこを切り取っても同じですが、普通は逆三角関数が単調増加または単調減少となるように考えます。
例えば sinx に対しては [－π／２，π／２]で考えれば十分とするわけです。（これは三角関数の定義域で、逆三角関数から見れば値域になります。）

また、普通は三角関数の１周期分を０を含む範囲で考えて、先ほども触れましたが逆三角関数の値がそこに含まれる事を指して主値と呼ぶ事があります。例えば sinｘ＝０となるｘは０，π、２π、・・・のように無限にあり得るわけですが、主値を使うなら Arcsin０＝０です。
何のことわり書きも無ければ、普通は逆三角関数は主値で考えられています。

３つの逆三角関数で共通して主値で値を考える場合には、
同じ三角関数の値ｘ（これは変数ではなく関数値）に対するArcsinｘとArccosｘについて
sin(Arcsinｘ)＝cos(Arccosｘ)＝sin(π／２－Arccosｘ)であり、
Arcsinｘ＝π／２－Arccosｘ ⇔ Arcsinｘ＋Arccosｘ＝π／２の関係式が成立します。
ここで主値におけるArccosｘの値域は [０，π]、でArcsinｘの値域が [－π／２，π／２]なので
範囲の整合性はとれているわけです。

初等関数としての逆三角関数の位置付け

逆三角関数は、分類としては実は初等関数に含まれます。
少し妙に思えるかもしれませんが、一応それには理由があります。

初等関数とは、程度の低い関数という意味では無くて数学において基礎となっていて非常に多く使う種類の関数をまとめて呼ぶ総称です。そこに実は逆三角関数も含まれるわけです。（初等関数に対する語は「特殊関数」です。多くは積分や級数で表され、ベータ関数、ガンマ関数、ゼータ関数など多数あります。）

具体的には、次の関数およびその四則演算（平方根なども含む）と逆関数、合成関数を指します。

• 単項式ｘ^a（aは実数）
• 三角関数 sinｘなど
• 指数関数 e^ｘなど

さてここで「対数関数」lnｘ＝log_eｘを敢えて入れませんでしたが、対数関数も初等関数の１つです。ただし、対数関数は指数関数の逆関数です。（指数関数が対数関数の逆関数であると言っても正しい。）そのため、同じ初等関数の中でそれら２つは対になっているわけです。
【双曲線関数 sinhｘなども初等関数の１つですが、指数関数によって定義されます。】

また、単項式についてもｘ^aとｘ^１／aが互いに逆関数の関係になっています。
例えばｘ≧０におけるｙ＝ｘ^２の逆関数はｙ＝ｘ^１／２＝\(\sqrt{x}\) です。

そこで「じゃあ三角関数の逆関数ってどういうものか？」というところにつながるわけです。

指数関数にも単項式にも逆関数を考える事ができて、それではつまり、初等関数という枠組みで見ると三角関数だけ逆関数を敢えて考えない数学的な理由は無くて、むしろ考えておいたほうが整合性が色々ととれる事になります。

ただし、指数関数と対数関数の関係のように逆三角関数にも単独で積極的に活用できる性質があるのかというと、他の初等関数と比べるとそういう面は「やや弱い」と言えそうです。

確かに逆三角関数の性質として「角度が値として分かる」というのはあるのですが、そもそも角度というものが特別ないくつかの値以外は把握も測定もしづらいところがあるから三角比や三角関数を考えているのでもあります。

しかし次に見るように、微分と積分について考えると少なくとも数学上の活用方法は出てきます。

逆三角関数の微分の公式

値域を主値で考えた時の逆三角関数の微分公式を挙げておきます。（ただし、微分そのものが積極的に使われるというよりは、むしろその逆演算である積分のほうでの使い道がやや多いです。）

Arcsinｘの微分などと聞くといかにも面倒くさそうですが、実は三角関数の微分に対して逆関数の微分公式を適用するとすぐに導出できるのです。ｘやｙの変数の扱いにだけ注意すれば意外と難しくないのではないかと思います。

通常の三角関数の微分によって得られる導関数はそれぞれ次のようになります。

• (ｄ／ｄｘ)sinｘ ＝cosｘ
• (ｄ／ｄｘ)cosｘ＝－sinｘ
• (ｄ／ｄｘ)tanｘ ＝１＋tan^２ｘ＝１／(cos^２ｘ)

これらに対して逆関数の微分公式を使うと、変数の表記方法に注意して３つの逆三角関数の微分公式を導出する事ができます。

これらの公式は比較的簡単な計算により導出できます。
Arcsinｘ と Arccosｘの導関数が符号だけの違いである理由も導出の過程を見ると分かるでしょう。
計算の注意点としては例えば逆正弦関数ではｙ＝Arcsinｘとした時、sinｙ＝ｘであるので逆関数の微分公式にもそれを当てはめる必要があるといった事です。

$$\frac{d}{dx}\mathrm{Arcsin}x=\frac{1}{\frac{d}{dy}\sin y}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin ^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$\frac{d}{dx}\mathrm{Arccos}x=\frac{1}{\frac{d}{dy}\cos y}=-\frac{1}{\sin y}=\frac{1}{\sqrt{1-\cos ^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$\frac{d}{dx}\mathrm{Arctan}x=\frac{1}{\frac{d}{dy}\tan y}=\frac{1}{1+\tan^2y}=\frac{1}{1+x^2}$$

ArcsinｘとArccosｘの微分の途中の計算では sin^２ｘ＋cos^２ｘ＝１の関係を使っています。
Arctanｘの微分においては、途中計算では微分の公式以外には特に何も使わずに
ｙ＝Arctanｘ から tanｙ＝ｘであるという関係だけを使っています。

逆三角関数の積分の公式

さて、微分が分かれば積分のほうも分かる事になりますが、逆三角関数の導関数は意外にも「式としては三角関数が全然関係ない」という形になっています。ですので図形問題や三角関数を考えているわけではなくても積分に使える場合があるのです。

このような形の関数の積分を考える時には置換積分や部分積分を考える必要はなくて、そのまま逆三角関数を当てはめる事ができます。

例１：逆正接関数のマクローリン展開と角度計算

逆三角関数はある三角関数の値から角度を逆算できる関数ではありますが、関数としての実態が分からないと結局特別な値以外は簡単には計算できない事になってしまいます。

「それでも別に支障ない」と言ってしまえばそれまでですが一応、マクローリン展開（ｘ＝０におけるテイラー展開）を使えば逆三角関数の近似値をｘから直接計算する事は可能です。

ただし、計算しやすい形になっているのは逆正接関数Arctanｘのマクローリン展開ですので、
それについて説明をします。

展開式（無限級数展開）の内容

Arctanｘのマクローリン展開は、意外かもしれませんが正弦関数や余弦関数のマクローリン展開に形は似ていて、式自体はそれほど複雑ではありません。

この式で、てきとうにｘ＝１／５などどしてみると、
Arctanｘ＝１／５－１／(５^３・３)＋１／(５^５・５)－・・・
４項目以降はほぼ０であると考えると、
Arctanｘ＝１／５－１／３７５＋１／１５６２５－・・・≒０．１９７４≒０．０６２８π
これは度数法で言うとおおよそですが１８０×０．０６３５８≒１１．３°です。

このような数値の計算は、計算ソフトや関数電卓で直接的に計算できるならそれを使えばよいという話でもあるのですが、一応このように計算もできるという事です。（また、ソフト等を使うにしても逆三角関数によって「角度」を計算できる事は理系の人であれば一応知っておいてもよいのではないかと思います。）参考までにおおよその値の例をいくつか挙げておきます。

tanｘ	Arctanｘ（＝弧度法での角度）	\(a\pi\)の形で表す時	度数法での角度 [ °]
0.99	0.780	0.248\(\pi\)	44.71
0.9	0.733	0.233\(\pi\)	41.99
0.8	0.674	0.215\(\pi\)	38.66
0.7	0.611	0.194\(\pi\)	34.99
0.5	0.464	0.148\(\pi\)	26.57
0.3	0.291	0.093\(\pi\)	16.70
0.1	0.0997	0.032\(\pi\)	5.711

尚、tan(π／４)＝１ですので Arctan１＝π／４≒0.786[rad]で、度数法では４５°です。

また、０に近い角度であればArctanｘ≒ｘとも言えます。
ただし同じくマクローリン展開からsinｘ≒ｘも同様に分かるので、０に近い角度であれば通常の正弦関数で考えたほうがむしろ早い事にはなります。

Arctanｘのマクローリン展開の導出

この式は、前述の微分公式を使って普通にマクローリン展開を考えて導出しようとすると、実は結構大変です。というのも、１階と２階の微分はよいとしても、３階、４階・・・と高階微分を計算していくと形が複雑になるためです。

しかし実は、１階の微分後に幾何級数展開（等比級数による展開）する事でArctanｘのマクローリン展開は導出できるのです。また、それによって各高階導関数のｘ＝０における微分係数も判明する事になります。（これは、そのように考えてよいという定理があります。）

まず(ｄ／ｄｘ)Arctanｘ＝１／(１＋ｘ^２)であるわけですが、
|ｘ|＜１であればこれは幾何級数が収束する値として考える事ができて、
具体的には次のようになります。
１－ｘ^２＋ｘ^４－ｘ^６＋・・・＝１＋(－ｘ^２)＋(－ｘ^２)^２＋(－ｘ^２)^３＋(－ｘ^２)^４＋・・・
これは、「公比が－ｘ^２である等比級数」「公比が－ｘ^２である等比数列の項数を無限大にした極限」と言っても同じです。

よって、|ｘ|＜１の範囲では(ｄ／ｄｘ)Arctanｘ＝１－ｘ^２＋ｘ^４－ｘ^６＋・・・

そこで、この関数については項別積分が可能なので（※無限級数に対して項別積分が可能であるのは「収束円の内部においてだけ」という条件が必要なので注意）、|ｘ|＜１のもとで各項を積分すると次のようになります。積分変数をｔとして、０からｘまでの定積分という形にします。

$$\int_0^x\left(\frac{d}{dt}\mathrm{Arctan}t\right)dt=\int_0^x\left(1-t^2+t^4-t^6+\cdots\right)dt$$

$$\mathrm{Arctan}0=0に注意すると\int_0^x\left(\frac{d}{dt}\mathrm{Arctan}t\right)dt=\mathrm{Arctan}xであるので$$

$$\mathrm{Arctan}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$$

このようにして得られた級数は、実はマクローリン展開に等しくなります。
（無条件にではなく、ここでの場合はそうなります。）

例２：ライプニッツ級数の導出

ライプニッツ級数とは、数学的に成立するという事以上の意味はそれほど無いとも言われますが円周率を無限級数で表す式です。さらに、各項は簡単な有理数で表されているという「不思議な式」です。

ライプニッツ級数を導出する方法は複数ありますが、実は逆正接関数を使う方法がその１つです。

ところで、この式に非常に似た形の式をこの記事内で先ほど考察していて、
それが逆正接関数 Arctanｘのマクローリン展開です。実の所、Arctanｘのマクローリン展開で
「ｘ＝１と置いたもの」はライプニッツ級数に他なりません。

それは偶然ではなく、きちんと証明できます。ただし Arctanｘのマクローリン展開を幾何級数から導出する時には |ｘ|＜１の条件をつけていましたから、単純に「ｘ＝１を代入」するのは少し危ない操作であると言えます。もしかしたら、ｘ＝１では無限級数は無限大に発散するかもしれないからです。

しかし実際は、ｘ→１とした時にもｘ－ｘ^３／３＋ｘ^５／５－ｘ^７／７＋・・・は収束します。

ライプニッツ級数が収束する事自体は実は比較的簡単な考察により分かる事で、ｎ項目までの和Ｓ_ｎについて奇数番目と偶数番目を分けて考える事で証明できます。

Arctanｘ自体はｘ＝１以上でも全実数において値を持ちます。Arctan１＝π／４です。
（π／４は度数法で言えば４５°の角度です。）

そこで|a| ＜１に対してπ／４－（a－a^３／３＋a^５／５－a^７／７＋・・・）を考えます。
Arctan１＝π／４であり、
|a| ＜１に対してはマクローリン展開により、
Arctan a＝a－a^３／３＋a^５／５－a^７／７＋・・・です。
よって、π／４－（a－a^３／３＋a^５／５－a^７／７＋・・・）＝Arctan１－Arctan a となります。

ここでa→１の極限を考えますが、
Arctanｘは連続関数なのでa→１の極限ではArctan a→Arctan１です。
それは当然と言えば当然の関係ではあるのですが、
それによってマクローリン展開の式もArctan１に収束する事が分かります。
つまりはa→１で a－a^３／３＋a^５／５－a^７／７＋・・・→π／４となるわけです。

さてここで、「aを１に置き換えて１－１／３＋１／５－１／７＋・・・＝π／４」としても大体合っているのですが、より正確にやるのであればここでは概略だけに留めますが次の定理を使います。おそらく聞き慣れないかもしれませんが、連続性定理とかアーベルの連続性定理などと呼ばれます。

ライプニッツ級数を導出する他の方法としては、４分円（円の１／４）の面積を積分で計算する方法があります。ただし通常のｘ軸方向の積分ではなく、ｙ軸を利用した少し工夫が凝らされた計算になります。実はその場合でもArctanｘのマクローリン展開を考えた時と同様に幾何級数展開による計算を行います。

例３：マチンの公式による円周率の表現

再び数学的な話ではありますが、円周率を表す式は実は１つではなくたくさんあります。ライプニッツ級数は「その１つ」であり、不思議な式ではありますが「収束の速さが遅い」事でも実は知られています。収束の速さが遅いという事は、直接計算してもなかなか「３．１４・・・」が出てこない事を意味します。

他方で収束が速い円周率の公式も知られていて、その１つがマチンの公式という逆三角関数で表されるものです。ここでは通常の三角関数における正接の加法定理を使った証明方法を簡単に説明します。

ここではこの奇怪な式が「確かにπ／４に一致する」事の確認を優先する形で証明を述べます。

最初に結論を言うと、マチンの公式の左辺は正接関数に対する「角度」であり、その角度を持つ正接の値が１になる事で「角度＝π／４」という事が言えます。

$$示すべき式：\tan\left(4\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{5}\right)-\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{239}\right)\right)=1$$

普通の角度で考えるなら tan(４θ_１＋θ_２)＝１となる事を証明する事になります。

加法定理を使うと、tan(４θ_１＋θ_２)＝｛tan(４θ_１)－tanθ_２｝／[１＋{tan(４θ_１)}(tanθ_２)}ここで、少し面倒ですが４θ_１に対して倍角の公式（加法定理でも同じ）を２回使います。
tanθ_１＝１／５とすると上手く行くのでその値を代入します。

$$\tan(2\theta_1)=\frac{2\tan\theta_1}{1-\tan^2\theta_1}=\frac{2}{5}\cdot\frac{25}{24}=\frac{5}{12}$$

再度、倍角の公式を使います。具体的な数値を入れます。

$$\tan(4\theta_1)=\frac{2\cdot\frac{5}{12}}{1-\left(\frac{5}{12}\right)}=\frac{5}{6}\cdot\frac{144}{119}=\frac{120}{119}$$

これを、最初のtan(４θ_１＋θ_２)＝｛tan(４θ_１)－tanθ_２｝／[１＋{tan(４θ_１)}(tanθ_２)}に代入します。
θ_２の値は結論から言えば１／２３９ですが、ちょっとここでは「確かにその値にすればよい」という事を式を解く形で見てみる事にしましょう。
tanθ_２＝Xとおきます。

$$\frac{\frac{120}{119}-X}{1+X\frac{120}{119}}=1\Leftrightarrow\frac{120}{119}-X=1+X\frac{120}{119}$$

$$\Leftrightarrow X\frac{239}{119}=\frac{1}{119}\Leftrightarrow X=\frac{1}{239}$$

これを見ると、「２３９」という謎の半端な数字が１２０＋１１９である事が分かります。以上から、結論が完全に分かっている前提での証明でしたが確かにマチンの公式が成立している事が分かります。

$$\frac{\frac{120}{119}-\frac{1}{239}}{1+\frac{1}{239}\frac{120}{119}}=\frac{28680-119}{28441+120}=\frac{28561}{28561}=1$$

$$よって、\tan\left(4\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{5}\right)-\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{239}\right)\right)=1なので$$

$$4\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{5}\right)-\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{239}\right)=\frac{\pi}{4}$$

Arctanｘのマクローリン展開からマチンの公式の左辺を計算すると、
おおよそ４×０．１９７４－１／２３９≒０．７８５≒π／４となり、確かに公式の内容が成立している事を見れます。【Arctan(１／２３９)≒１／２３９としました。】
しかし上式を見れば分かるようにマチンの公式自体は近似式ではなく「等式」であり、しかも極限を含んでいない事が特徴です。

実は円周率を表す式としては「マチン型」というタイプのものが複数あって、比較的有名なものだとオイラーによるものとガウスによるものがあります。いずれもπ／４を逆正接関数の具体的な値の和や差で表す公式です。

例４：有理関数の積分に関する定理

これもまた数学の理論的な話ではありますが、間接的には応用にも関わる問題として
「有理関数（多項式の分数で表される関数）の一般的な積分は原始関数としてどのように表せるか」
というものがあります。

実はそれは初等関数のみで表す事ができ、しかも有理関数、対数関数、逆正接関数とそれらの合成関数さえあれば（理論上は）足りる」という結果を述べる定理があります。
意外かもしれませんが「逆正接関数Arctanｘ」が必要な関数として入っているわけです。

ここで「理論上」という語を付したのは「数学的に可能であるという事」と「それが便利であるか・使いやすいか」という事は別の問題である事も多いからです。

しかし理論上の話ではあっても、「原始関数を探す形で積分はどこまで計算できるのか？」という疑問に対して「三角関数の使用も含めて有理関数の範囲では、原始関数は初等関数の組み合わせで必ず導出する事が一応可能である」という一定の答えを述べている定理でもあります。

定理の証明の概略を記すと、まず分子の次数のほうが分母よりも大きい場合には多項式の割り算をして、分母の次数のほうが大きい状態にします。

次に分母の多項式を因数分解して、そこから部分分数展開をする事を考えます。

「因数分解と言うができないような多項式だったらどうするのか」と思われるかもしれませんが、実は任意の多項式は何かしらの複素数（実数を含めて）を用いて理論上は因数分解できる事が知られています。それはいわゆる代数学の基本定理による帰結です。

計算をすると、任意の多項式は次の３つの項に分類して分ける事ができます。

• 分母が定数である（１を含めて）多項式
• 分母が１次式のベキ乗で分子は定数である項
• 分母が２次式のベキ乗で分子は１次式である項

因数分解をした時に実数以外の複素数が含まれている場合には共役を上手く使って虚数単位が式に現れないように工夫します。分母が２次式のベキ乗の項にはその意味があります。

さてその段階に至ると原始関数を探す形で積分ができます。この時に、使用する初等関数の種類は理論上３つであるという事が言えるのです。

• 単項式と多項式および有理関数：
  分母に分母に定数以外が含まれない多項式および１／{(ｘ－a)^ｎ}【ｎ≧２】、
  分母が２次の項に由来するｘ／{(ｘ^２＋１)^ｎ}【ｎ≧２】
• 対数関数：１／(ｘ－a)および分母が２次の項に由来するｘ／(１＋ｘ^２)の項
• 逆正接関数：２次の項に由来する１／(１＋ｘ^２)の項

こうして見ると積分をする時に問題が生じるのが「分母の式」であって、１／(１＋ｘ^２)の項を処理する時にどうしても必要なのが逆正接関数という事になります。
その項の不定積分は前述のように Arctanｘ＋Ｃです。