カテゴリー: 微分積分学・解析学

置換積分は「ちかんせきぶん」と読みます。
「置換積分の公式」「置換積分法」とも言い、１変数の積分における公式の１つです。定積分にも不定積分にも、どちらにも使えます。微積分学の基本定理および部分積分と並んで、置換積分は定積分の計算法としてよく使われる公式です。

積分の理論全般について言える事ですが、積分の逆演算である微分のほうについて計算をある程度知っておくと分かりやすくて便利です。また、この記事の説明では三角関数や対数関数の公式なども比較的多く使用します。

公式の内容と意味

置換積分の「置換（ちかん）」とは「置き換える」という意味で、
被積分関数（積分の対象となっている関数）の「積分変数を別の変数に変換する」という事を意味します。つまり置換積分とは、積分における積分変数に対する変数変換を行う時に成立する公式です。

置換積分の公式は不定積分に対しても定積分に対しても成立します。

この式で\(\Large{\frac{dx}{dw}}\)はｘ＝ｇ(ｗ)をｗで微分して得られる導関数を表します。

ここでは変数変換を行う対象をｗとしてますが、文字としてはｔでもｓでも、変数だと分かるもので何かの誤解を生じないものであれば何でも構いません。後述する具体例では、ｘを角度θに変数変換して置換積分を行う場合の計算例を説明しています。

次に、定積分の場合です。
この場合には変数変換をする時に、積分区間も変換される事に注意が必要となります。
その時に普通は２つの端点だけを変換すれば十分で、
例えばｘ＝ｗ＋２のような変換の場合には、ｘに関する [0,1] の閉区間はｗに関する [2.3] の閉区間となって積分区間が変更されるのです。（そうしないと計算の結果は合いません。）

置換積分の公式を適用する時に行う操作を整理し、列挙すると次の事です。

1. ｙ＝ｆ(ｘ)に対してｘ＝ｇ(ｗ)である時、
   ｗで表される式をｆ(ｘ)に代入してｙ＝ｆ(ｇ(ｗ))の形にする。
2. ｘ＝ｇ(ｗ)について、ｘをｗで微分する。
   （なので、微分可能な関数による変換でないと公式は使えません。）
3. 積分の中のｙ＝ｆ(ｇ(ｗ))に対してｘに対するｗによる微分（導関数）を掛け算し、積分変数をｘからｗに変える（ｄｘからｄｗに変える）。それからｗで積分をする。
4. 特に定積分の場合にはｘでの積分区間が [a, b] であったら、
   a ＝ｇ(p)，b=g(q) となるようなｗ＝ｐとｗ＝ｑを見つけて、積分区間を [p, q]に変更する。
   一応、不連続点が発生するような変換をしていないかどうかに少し注意。
5. 不定積分の場合は、ｗで出された結果をｘに戻す事も多い。
   （定積分であれば結果は基本的には数値の事が多いです。）

ただしこの手順の２番目でｘ＝ｇ(ｗ)と考える事については、後述する具体例で見るようにｗ＝ｈ(ｘ)の形で置き換えをしてから、その逆関数としてｘ＝ｇ(ｗ)を考えるような場合もあります。（微分については、公式ｄｗ／ｄｘ＝１／（ｄｘ／ｄｗ）を使えます。）ただしそのような変数変換のパターンでも、逆関数を考えずに積分を計算できるといった場合もあります。それらの事については、具体例を見たほうが多分分かりやすいでしょう。

公式の証明

置換積分の公式は、覚え方や理解の仕方としては「ｄｘ＝(ｄｘ／ｄｗ)ｄｗ」と考える事に差し支えはないけれども、それを数学的な証明とする事はできません。ですのであのような公式が成立する事は自明な事であるとは言えず、証明が必要となります。

証明は、微積分学の基本定理および合成関数の微分法などの微分の演算を組み合わせる事で行えます。（これは数学の解析学的に見た場合も同じで、極限や積分の大元の定義に戻って考える必要はありません。微分の演算等を利用して「解析学的に見ても厳密な証明」になっています。）

最初に不定積分のほうの置換積分の公式を証明します。

まず、「微分すればｆ(ｘ)になる」という意味でのｆ(ｘ)の「原始関数」を考えます。この原始関数自体は、任意定数（微分すると０）を加える事で一意的に定まらず無数に存在しますが、そのうちの特定の１つをF(ｘ)とおきます。原始関数全体が不定積分に該当します。（不定積分は、１つの原始関数があった時にはそれに定数を加えたF(ｘ)＋Ｃの形しかとり得ないという定理があります。）

$$Cを任意の実数定数として\int f(x)dx=F(x)+C$$

$$この時、\frac{d}{dx}\int f(x)dx=\frac{d}{dx}\left(C+F(x)\right)=f(x)が成立$$

今、ｘ＝ｇ(ｗ) がｗで微分可能とすると f(x) の原始関数Ｆ(ｘ) はｗでも微分可能で、合成関数の微分公式により F(ｘ) をｗで微分して得られる導関数は次のように書けます。

$$\frac{d}{dw}F(x)=\frac{dF(x)}{dx}\frac{dx}{dw}=f(x)\frac{dx}{dw}=f(g(w))\frac{dx}{dw}$$

という事は、最右辺の形の関数に対するｗに関する原始関数の１つはＦ(ｘ)である事になります。あるいは、微分方程式を解くと捉えてｗで積分すると考えても同じです。

$$Cを任意定数として、\int f(g(w))\frac{dx}{dw}dw=F(x)+C$$

$$\int f(x)dx=F(x)+Cであったから、\int f(g(w))\frac{dx}{dw}dw=\int f(x)dx$$

定積分の場合は、「不定積分の場合とほぼ同じ」としてもそんなに問題はないのですが、積分区間に関して「端点の部分だけ対応させればよい」事を明確にするために次のような形で証明を行います。

ｘ＝ｇ(ｗ)のもとで、ｇ(ｐ)＝ ａ でありｇ(ｑ)＝ ｂであるとして、Ｆ(ｘ)を先ほどと同じくｆ(ｘ)の原始関数の１つであるとします。Ｆ(ｘ)をｗの関数として見る（ｗだけの式で書く）事を強調するならＦ(ｘ)＝Ｆ(ｇ(ｗ))です。不定積分の時の結果は得られているというもとでｗに関してｆ(ｇ(w))(ｄｘ／ｄｗ)の定積分を計算すると次式になります。

$$\int_p^qf(g(w))\frac{dx}{dw}dw=\large{[F(g(w)) ]}_p^q=F(g(q))-F(g(p))$$

$$=F(b)-F(a)=\int_a^bf(x)dx=\int_{g(p)}^{g(q)}f(x)dx$$

つまり、定積分を行う時には不定積分の時の結果と合わせて、積分区間の端点についてだけｘとｗとで対応させれば確かに同じ計算結果を得るという事が言えるわけです。

計算例１：円と楕円の面積計算

おそらく、置換積分が「計算に有効な事もある」という事が非常に分かりやすい例の１つは
円や楕円の面積を定積分で計算する場合ではないかと思われます。

円の面積に関しては平面幾何的な考察で「半径^２×円周率」という事が分かるほかに、積分を使うにしても実は円周の長さを表す「半径×２×円周率」の式で半径ｒに関して積分すればよいという方法もあるのですが、ここでは直交座標上でｘに関して積分する場合を見てみます。

原点を中心とする円を考えて、半径はｒであるとします。（ｒ＞０）
そして、ｘとｙがともにプラスの範囲における４分円（円の１／４の部分だけ考えたもの）の面積についてだけ考えてみます。円全体の面積はその４倍です。

円を表す式はｘ^２＋ｙ^２＝ｒ^２です。ｙについて解くとｙ≧０のほうの解は\(y=\sqrt{r^2-x^2}\)となります。これをｘに関して０からｒまで積分すれば「πｒ^２／４になるはず」ですが、実際のところは一体どうなのだろうという話です。

そのタイプの関数の不定積分は実は直接的に逆三角関数を使っても表せるのですが、置換積分を使うと計算がより簡単であり、「角度」を使って積分できるようになるので図形的なイメージがしやすくなる利点があります。
（参考：逆三角関数を使う方法は、部分積分による計算です。）

そこで、ｘ＝ｒcosθという変数変換をします。ｒは定数（円の半径）でθは変数です。この変数変換は「極座標変換」でもありますが、置換積分を行うという積分の計算だけに着目する場合には、変数変換は図形的な意味を持つ必要は必ずしもありません。
例えば、ここでの計算ではｘ＝ｒsinθとする事も可能で、同じ積分の結果を得ます。（ただし、図形上の考察であれば図と対応させたほうが分かりやすい場合というのはあります。）

この変換のもとで置換積分を考えると、三角関数の公式 sin^２θ＋cos^２θ ＝１により平方根を除いて計算できるようになるので積分の見通しが良くなるのです。積分区間はｘについて の[0,ｒ]をθについての [π／２，０]に変えます。数の大小について一見妙に見えるかもしれませんが、余弦が０から１に増える時は角度は小さくなっていきます。それをそのまま公式に当てはめて計算します。

$$x=r\cos\theta および\frac{dx}{d\theta}=-r\sin\theta を置換積分の公式に当てはめると、$$

$$\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}dx=\int_{\large{\frac{\pi}{2}}}^0\sqrt{r^2-r^2\cos^2\theta}\frac{dx}{d\theta}d\theta$$

$$=\int_{\large{\frac{\pi}{2}}}^0r\sin\theta(-r\sin\theta)d\theta =-r^2\int_{\large{\frac{\pi}{2}}}^0\sin^2\theta d\theta=r^2\int_0^{\large{\frac{\pi}{2}}}\sin^2\theta d\theta$$

$$=r^2\int_0^{\large{\frac{\pi}{2}}}\frac{1-\cos 2\theta}{2}d\theta（加法定理か倍角の公式より）$$

$$=\frac{r^2}{2}\large{\left[\theta -\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_0^{\large{\frac{\pi}{2}}}}=\frac{r^2}{2}\cdot\large{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi r^2}{4}$$

つまり、確かに円の４分の１の面積を表す結果となりました。（最後の部分で原始関数に値を代入する箇所では、１次式の θ にπ／２を代入した項以外は全て０となります。）
途中計算での sin^２θの積分を行う時には余弦関数の加法定理を変形して（もしくは倍角の公式を適用）計算を行っています。

楕円の場合も同様に原点を中心としてｘ≧０，ｙ≧０の範囲で全体の１／４を考えて計算できます。
楕円を表す式はｘ^２／ａ^２＋ｙ^２／ｂ^２＝１です。ａもｂもプラスの数であるとします。この式をｙについて解くとｙ≧０のほうの解は次のようになります。

$$y=\sqrt{b^2-\frac{b^2x^2}{a^2}}=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$$

この式の形を見ると、円の時の式でｒ＝ａとして全体をｂ／ａ倍にしたものになっています。
ですので円の場合と同様に置換積分で計算する事ができますが、
楕円（の４分の１）において積分する区間もｘについて[0, a]なので
「半径ａの円の、積分によって導出した面積のｂ／ａ倍」を考えても同じ結果になります。

$$楕円全体で計算すると、4\cdot\frac{\pi a^2}{4}\cdot\frac{b}{a}=\pi ab$$

これが楕円の面積を表す式になります。図形的には、２ａおよび２ｂはどちらが長いか短いかで「長径」と「短径」を表します。また、ａ＝ｂであれば円になりますが、面積の式もきちんとそれに対応している事が分かります。さらに円を「縦や横の一方向にだけ拡大縮小した場合」にはその倍率の分だけ面積も増加または減少する事が、数式的に見れるわけです。（ａ＝ｂの状態から例えばａ＝２ｂとすれば面積もａ＝ｂの時の２倍になります。）

計算例２：物理・電磁気学での使用例

物理での計算で、考察の対象によっては置換積分が計算に使える事があります。

例えば電磁気における特定の場合などです。ここでは電気のほうで例を見てみましょう。
静電気力と電場に関する１つの計算例です。
長さが２L[m]の直線状の棒が、線密度λ[C／ｍ]で一様に帯電している（１ｍあたりの電荷がλ[C]）とします。この棒の中心から棒に対して垂直にｒ[ｍ]の位置において、電場の大きさ（１[C]の電気量の電荷が受ける力）はいくらになるでしょうか。

棒の中心を原点にとり、そこからの距離を向きを含めてｘ[ｍ]とします。それぞれの微小な区間における電気量はλｄｘ[C]で、電場を考える位置までの距離は三平方の定理を使って(ｘ^２＋ｒ^２)^１／２[ｍ]です。クーロン力が働くと考えるとそれの逆２乗に比例するので(ｘ^２＋ｒ^２)^－１が式に乗じられます。

棒に帯電している電荷が対称的な分布である事を考えると、棒の中心を通る垂線上では電場のベクトルの「合計」の向きは棒に対して垂直です。（棒の平行な向きの成分はプラスマイナスで打ち消して０です。１つ１つの電場ベクトルの向きは基本的に斜め方向。）そこで、成分の比率を考えると棒に対する垂直方向成分の割合は図形的な関係からｒ／(ｘ^２＋ｒ^２)^１／２になります。比例定数をｋとすると、電場は微小区間による帯電が作る電場（ベクトル）の合計なので、棒に対する垂直成分の合計は積分で考える事ができて次のようになります。（ここで変数はｘのみです。）

$$E=\int_{-L}^{L}\frac{k\lambda}{(x^2+r^2)}\frac{r}{\sqrt{x^2+r^2}}dx=k\lambda r\int_{-L}^{L}\frac{1}{\large{(x^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}}dx$$

それで、この積分は原始関数を探す事で計算できるのかという話なのですが、
これは実は置換積分を行う事で計算できる部類の式です。

図で、ｘ＝ｒtanθとなるように角度θをとります。棒の端点ではθ＝θ_Lおよび－θ_Lであるとします。これはｘ＝Ｌとｘ＝－Ｌに対応するわけです。すると、ｄｘ／ｄθ＝ｒ／cos^２θである事を使って置換積分を行うと次のようになります。

$$\frac{dx}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}(r\tan\theta)=\frac{r}{\cos^2\theta}であり、$$

$$x^2+r^2=r^2(\tan^2\theta +1)=r^2\frac{1}{\cos^2\theta}にも注意して$$

$$E=k\lambda r\int_{-\theta_L}^{\theta_L}\frac{1}{\large{(r^2\tan^2\theta+r^2)^{\frac{3}{2}}}}\frac{dx}{d\theta}d\theta=k\lambda r\int_{-\theta_L}^{\theta_L}\left(r^2\frac{1}{\cos^2\theta}\right)^{\large{-\frac{3}{2}}}\frac{r}{\cos^2\theta}d\theta$$

$$=k\lambda r\int_{-\theta_L}^{\theta_L}r^{-3}\cos^3\theta\frac{r}{\cos^2\theta}d\theta=\frac{k\lambda}{r}\int_{-\theta_L}^{\theta_L}\cos\theta d\theta=\frac{k\lambda}{r}\{\sin\theta_L-\sin(-\theta_L)\}$$

$$=\frac{2k\lambda}{r}\sin\theta_L=\frac{2kL\lambda}{r\sqrt{r^2+L^2}}$$

電場の大きさの単位は [N／C] になります。最後の変形は図形的に見て正弦を辺の比で表しています。物理的な考察としては、単独の点電荷の場合とは距離の影響が異なってくる事や、L→∞とした場合はどうなるかといった事を見れます。

少し長ったらしい計算ではありますが、このように結果を出せるわけです。一見複雑な積分でも置換積分を行うと、角度θでの積分だと意外と単純な定積分計算に変わった事が分かります。この例では、置換積分で使う変数変換を図の関係にも合わせる事によって、図で平面幾何的に成立する関係も使えるようになっています。（例えば三角関数を辺の比で表す事など。）このように上手く行く事ばかりではないのですが、置換積分の公式を応用計算に使える事もあるという例の１つです。

似た計算は磁場に関しても可能で、ソレノイドが作る磁場や、直線電流が作るビオ・サバールの磁場を具体的に計算する時なども似た感じの積分計算を行います。

計算例３：数学上の色々な不定積分の計算

微分に関しては多少複雑な形の関数であっても、公式を組み合わせて丁寧に計算すれば導関数を計算できるのが普通です。しかし、積分のほうに関してはそれほど複雑でない形の関数に対してでも原始関数の具体的な形を直接見つける事は難しい場合のほうが多いのです。そこで、部分積分や置換積分を使うと原始関数が分かる場合があります。

以下の例はどちらかというと数学上の理論的な計算が中心になりますが、一部は応用にも使えます、

具体的な積分に対して置換積分を使える場合というのは、実際のところは２パターンあります。

• ｘ＝ｇ(ｗ) の形で置き換えをすると式が簡単になる場合
• ｘで表される式についてｈ(ｘ)＝ｗとおいてから逆関数としてｘ＝ｇ(ｗ)を計算して公式を適用するか、もしくはｄｗ／ｄｘを計算した式を使うという場合

前者の場合は公式通りの使い方です。前述の円の面積を積分で計算する方法や、電場の大きさを計算する過程での置換積分の使用においてはこちらのパターンです。すなわち例えばｘ＝ｒcosθ やｘ＝ｒtanθのように変数変換をしたのでした。

他方で後者のほうは、一般的には面倒な形になっているｘの式を別の１つの変数としてしまってから、何らかの方法で置換積分ができるところまで持って行くというものです。
これは例えば、ｗ＝ｘ^２であるとかｗ＝tanｘとする事を指しており、それでもあくまでｘの代わりにｗによる変数変換で置換積分を行うという例です。多少分かりにくいと思うので後ほどｗ＝tan(ｘ／２)とする例などで具体的に説明していきます。

原始関数がいくつかの和や差の項に分離するパターン

まず、「微妙に定数分だけ値がずれた項を含む」関数の原始関数を計算する場合です。
例えば\(x\sqrt{x+2}\) などの積分です。

もしこれが\(x\sqrt{x}\)であれば、平方根の部分はｘ^１／２ですので
全体をｘ^３／２として考えて原始関数は(２／５)ｘ^５／２＋Ｃとなるわけです。

この考え方のみでも一応計算はできて、
それは\(x\sqrt{x+2}=(x+2)\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+2}\) とする事で可能になるのです。

$$\int x\sqrt{x+2}dx=\int\{(x+2)\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+2}\}dx$$

$$=\int(x+2)^{\frac{3}{2}}dx-\int2(x+2)^{\frac{1}{2}}dx$$

$$=\frac{2}{5}(x+2)^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}}+C$$

この積分は実は置換積分で考えてもよくて、ｘ＝ｗ－２と置く事で、置換積分の公式を使えます。
\(x\sqrt{x+2}=(w-2)\sqrt{w}=w\sqrt{w}-2\sqrt{w}\) となります。つまり、若干の違いではありますが「差で表される２つの項に分離する」事が少しばかり自然な形で計算されます。置換積分を行う時にはさらに微分の計算も必要なわけですが、この場合はｄｘ／ｄｗ＝１ですので簡単に済みます。

$$\frac{dx}{dw}=\frac{d}{dw}(w-2)=1に注意して、$$

$$\int x\sqrt{x+2}dx=\int(w-2)\sqrt{w}\frac{dx}{dw}dw=\int(w\sqrt{w}-2\sqrt{w})dw$$

$$=\frac{2}{5}w^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{3}w^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{5}(x+2)^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}}+C$$

最後にｗをｘに戻す操作ではｘ＝ｗ－２ ⇔ ｗ＝ｘ＋２を使っています。

置換積分を行う時に、まずｗ＝ｘ＋２とおいてから計算を進めても結果は同じです。
この場合は、どちらの方法で最初に考えてもそんなに手間は変わらないと思います。
他方で、平方根の部分を丸ごとｗに置き換えて\(\sqrt{x+2}=w(\Rightarrow x+2=w^2)\)と考えてもこの場合は計算は可能で、同じ結果を得ます。

いずれにしても、このようなちょっとした初等関数を組み合わせた関数に対してでも、原始関数は結構面倒な形である事が分かります。計算はやりやすい方法でやればよいのですが、２通り以上のやり方を知っておくと片方を検算用に使えるというちょっとした利点はあります。

三角関数に変換すると上手く計算できるパターン

「見事に上手く行く」例は限られていますが、
ｘを三角関数に変数変換すると原始関数が分かり、積分を計算できる場合があります。

例えば、１＋ｘ^２という項が含まれる関数では、
ｘ＝ tanｗと変数変換すると上手く計算できる場合があります。
というのも、(ｄ／ｄｗ)tanｗ＝１＋tan^２ｗ＝１／(cos^２ｘ)といった計算ができるためです。
前述の電磁気学での電場の計算例で使用した変数変換は、このパターンに属する置換積分です。
被積分関数の分母に含まれる式が１＋ｘ^２ではなくｒ^２＋ｘ^２でしたから、変数変換はｘ＝ ｒtanθとする事によって、代入するとｒ^２(１＋tan^２ｗ)のようにできる工夫をしていたわけです。

また、同じく前述の円の面積計算のところで考察した (１－ｘ^２)^１／２などの式の場合は
ｘ＝cosｗとすれば(１－cos^２ｗ)^１／２＝(sin^２ｗ)^１／２＝|sinｗ|などとできます。
【ｗの範囲によっては(sin^２ｗ)^１／２＝sinｗで、前述の例では定積分の積分区間がその範囲です。】

ｘ＝ tanｗと変数変換して上手く行く他の例は、例えば次のようなものです。不連続点が発生しないようにするために－π／２＜ｗ＜π／２の範囲で考えるものとします。（その範囲では cosｗ＞０です。）
(１＋ｘ^２)^１／２＝(１＋tan^２ｗ)^１／２＝{１／(cos^２ｗ)}^１／２＝１／cosｗ
１＋tan^２ｗ＝１／(cos^２ｗ) ⇔ cos^２ｗ＝１／(１＋tan^２ｗ)
およびｄｘ／ｄｗ＝１／cos^２ｗの計算を使います。

$$\int\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}dx=\int\frac{\sin w\cos^3w}{\cos w}\frac{dx}{dw}dw=\int\frac{\sin w\cos^3w}{\cos w}\frac{1}{\cos^2w}dw$$

$$=\int\sin wdw=-\cos w+C=-\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 w}}+C=-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+C$$

この積分に関しては、計算に慣れていると置換積分を行わなくても直接計算で最後の式を最初から出せるかもしれません。

三角関数による有理関数の積分

ｘをｗによる変数変換で置換積分する時に変数変換として「ｗをｘで表すパターン」には、例えばｗ＝tan(ｘ／２)という形の変数変換があります。
その変換のもとでは
ｄｗ／ｄｘ＝１／{２cos^２(ｘ／２)}＝{１＋tan^２(ｘ／２)}／２＝(１＋ｗ^２)／２により
ｄｘ／ｄｗ＝２／(１＋ｗ^２)
【※普通、逆関数の微分公式を使うと計算後に変数の入れ替えが必要ですが、ここではｄｗ／ｄｘの結果をｘではなく「ｗで表せる」のでそのまま逆数としたものがｄｘ／ｄｗを表す式になります。】
さらに、加法定理や倍角の公式にも注意すると正弦、余弦、正接のいずれをも、
ｗの有理関数（分子と分母が多項式の形の分数で表される関数）で表す事ができます。

そして有理関数は部分分数展開などをする事により、「(別の)有理関数」「lnｘ」「Arctanｘ（逆正接関数）」およびそれらの合成関数のみで表せるという定理が実は存在します。そのため、三角関数の有理関数（つまり三角関数のベキ乗と係数で作られる多項式）は理論上は有限回の操作で原始関数を導出できるという事になるのです。

ただし有限回の操作で計算の実行が可能という事と、
その具体的な計算の効率が良いかどうかは別問題ですので一応注意は必要です。
しかし、比較的単純な三角関数の有理関数の積分であれば、
ｗ＝tan(ｘ／２)の形の変数変換による置換積分は積分の計算に活用できます。
例えば１／cosｘ＝(１＋ｗ^２)／(１－ｗ^２)のようになるので、
これはｄｘ／ｄｗ＝２／(１＋ｗ^２)と掛け合わせると
(１／cosｘ)(ｄｘ／ｄｗ)＝２／(１－ｗ^２)＝２／{(１＋ｗ)(１－ｗ)}となります。
この形の式は実は部分分数展開で２項の和に分ける事ができるパターンなので、
原始関数を対数関数と三角関数（最後にｗをｘに戻す）の組み合わせで表す事ができます。

$$\int\frac{1}{\cos x}dx=\int\frac{1+w^2}{1-w^2}\frac{dx}{dw}dw=\int\frac{1+w^2}{1-w^2}\frac{2}{1+w^2}dw$$

$$=\int\frac{2}{(1+w)(1-w)}dw=\int\frac{1}{1+w}dw+\int \frac{1}{1-w}dw$$

$$=\mathrm{ln}\left|1+\tan\frac{x}{2}\right|-\mathrm{ln}\left|1-\tan\frac{x}{2}\right|+C=\mathrm{ln}\large{\left|\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}}\right|}+C$$

このように、三角関数の逆数を積分すると原始関数には対数関数が含まれて来る事が分かります。
置換積分なしでこの結果を予想するのは少し難しいと言えそうです。

ここで使っている対数は自然対数です。
lnｘ＝log_eｘで、\(\large{\frac{d}{dx}\mathrm{ln}x=\frac{1}{x}}\)であり、
ｘ＜０のとき\(\large{\frac{d}{dx}\mathrm{ln}(-x)=\frac{1}{x}}\)なのでまとめて\(\large{\frac{d}{dx}\mathrm{ln}|x|=\frac{1}{x}}\)とも書きます。

１／sinｘの不定積分も同じように計算できて、計算はより簡単です。

$$\int\frac{1}{\sin x}dx=\int\frac{1+w^2}{2w}\frac{dx}{dw}dw=\int\frac{1+w^2}{2w}\frac{2}{1+w^2}dw$$

$$=\int\frac{1}{w}dw=\mathrm{ln}|w|+C=\mathrm{ln}\left|\tan\frac{x}{2}\right|+C$$

合成関数の利用によっても原始関数が分かるパターン

ある形をしている関数の積分は、原始関数を直接見つける事は可能だけれども、
もし分かりにくければ置換積分を使うとよいという部類のものです。

具体的には、\(\large{xe^{x^2}}\)や、\(\Large{\frac{1}{x\mathrm{ln}x}}\) などの関数です。
あるいは、正接関数 tanｘの原始関数も実は同じ部類のものです。
これらは置換積分で計算する事もできますが、もし合成関数の微分に慣れていると原始関数は直接計算でも導出可能と言える部類の関数です。

１．合成関数の微分を考慮して直接計算で積分する場合

上記の関数の積分を直接計算する時には、例えば次のようにします。

$$\frac{d}{dx}\large{e^{x^2}}=2x\large{e^{x^2}}なので\int\large{xe^{x^2}}dx=\frac{1}{2}\large{e^{x^2}}+C$$

$$\frac{d}{dx}\mathrm{ln}(|\mathrm{ln}x|)= \frac{1}{x}\frac{1}{\mathrm{ln}x}=\frac{1}{x\mathrm{ln}x}なので\int\frac{1}{x\mathrm{ln}x}dx=\mathrm{ln}(|\mathrm{ln}x|)+C$$

正接関数 tanｘについても、実は対数関数を使って原始関数を導出できます。

$$\frac{d}{dx}\mathrm{ln}|\cos x|=-\frac{\sin x}{\cos x}=-\tan xであるから\int\tan x dx=-\mathrm{ln}|\cos x|+C$$

つまり、(ｄｇ／ｄｘ)ｆ(ｇ(ｘ))の形になっている関数は、
合成関数の微分を考える事で原始関数を見つけて積分を直接計算できるわけです。

ところで(ｄｇ／ｄｘ)ｆ(ｇ(ｘ))という関数の形は、変数を取り換えると(ｄｇ／ｄｗ)ｆ(ｇ(ｗ))となり、ｘ＝ｇ(ｗ)とすれば(ｄｇ／ｄｗ)ｆ(ｇ(ｗ))＝(ｄｘ／ｄｗ)ｆ(ｇ(ｗ))です。
つまり、置換積分の公式の「積分の中身」の形になっています。
その事が、置換積分によっても計算が可能である事と関係しています。

２．置換積分を使う場合

直接計算が少し分かりにくければ置換積分を使う事もできます。
ただし、ここでの例のような場合はいずれもｗ＝ｈ(ｘ)の形をまず考えるタイプの計算になります。

例えば、上記の指数関数の例ではｗ＝ｘ^２，対数関数の例ではｗ＝lnｘ、
正接関数の場合はｗ＝cosｘと置きます。

ここでｘ＝ｇ(ｗ)の形の逆関数を考えると、例えばlnｘ＝ｗに対してはｘ＝e^ｗですが、逆三角関数などを考えるのは微分の計算もある事を考えるとちょっと面倒そうです。

このような場合、微分に関してはｘに関して行ったほうが最初の計算は簡単です。

$$\frac{d}{dx}x^2=2x\hspace{15pt}\frac{d}{dx}\mathrm{ln}x=\frac{1}{x}\hspace{15pt}\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$$

すると、ここでの例は「特別な場合」である事は強調される必要はありますが、
ｘでの微分の結果（つまりｄｗ／ｄｘ）が原始関数を導出したい関数の一部に実は含まれています。
例えば\(\large{xe^{x^2}}\)において、ｘはｘ^２の微分を定数係数を乗じた形です。
（※そこまで分かると前述の直接計算も可能になます。）
さらに、逆関数の微分公式によりｄｗ／ｄｘ＝１／（ｄｘ／ｄｗ）ですから、
置換積分を行う時に「掛け算で１にする」事ができます。

上記の指数関数が含まれる例では次のようになります。

$$\large{w=x^2 とおくとxe^{x^2}}=\frac{1}{2}\frac{dw}{dx}e^wなので、$$

$$\int\large{xe^{x^2}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{dw}{dx}e^w\frac{dx}{dw}dw=\frac{1}{2}\int e^wdw=\frac{1}{2}e^w+C=\frac{1}{2}\large{e^{x^2}}+C$$

式の途中計算で分かるように、置換積分の公式で使用するｄｘ／ｄｗがｄｗ／ｄｘに乗じられる事で１になって積分計算が簡単になっているわけです。もちろん、この関数はそのようになる「特別な形」をしているのでそのようにできます。

対数関数の逆数が含まれる例では次の通りです。

$$\large{w=\mathrm{ln}x とおくと\frac{1}{x\mathrm{ln}x}}=\frac{dw}{dx}\frac{1}{w}なので、$$

$$\int\frac{1}{x\mathrm{ln}x}dx=\int\frac{dw}{dx}\frac{1}{w}\frac{dx}{dw}dw=\int\frac{1}{w}dw=\mathrm{ln}|w|+C=\mathrm{ln}(|\mathrm{ln}x|)+C$$

正接関数では次のようになります。

$$w=\cos x とおくと\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{dw}{dx}\frac{1}{w}なので、$$

$$\int\tan x dx=-\int\frac{dw}{dx}\frac{1}{w}\frac{dx}{dw}dw=-\mathrm{ln}|w|+C=-\mathrm{ln}|\cos x|+C$$

これらの場合においては、置換積分を使ったほうが分かりやすいかどうかは人によって感じ方が違うでしょう。分かりやすいほうで理解したほうがよいと思われます。

ビオ・サバールの法則とは電流が作る磁場の大きさと向きを表す法則です。
電流が作る磁場を表現する法則としてはアンペールの法則もありますが、特定の条件下でビオ・サバールの法則とアンペールの法則は等価である法則となります。

数式的には外積ベクトル（ベクトル積）を使って表現されるものであり、向きも含めて電流の向きと発生する磁場の関係が表現されます。（電流・磁場・力の関係を表す「ローレンツの力」も同様に外積ベクトルを使って表現されます。そしてその事は、ビオ・サバールの法則と無関係では無いという物理学的な見方があります。）

電磁気学での位置付け

ビオ・サバールの法則は磁場に関する法則ですが、電場で言えばクーロンの法則に対応する法則です。

磁場についてもクーロンの法則というのは実はあるのですが（後述します）、磁場に関する法則としてはビオ・サバールの法則が基本的な法則であると考えられる事が多いです。

しかしビオ・サバールの法則は、クーロンの法則（電場、磁場に関して共に）と比較すると式の形が複雑でなかなか計算もしづらいともよく言われます。実際、数式としての表され方も外積ベクトルを含む形になっており、他の電磁気学の諸法則と比べると直接的には少し扱いにくい面はあると言えます。
しかしビオ・サバールの法則には、直線電流に限らず「任意の形状」の電流が作る回路による磁場を向きも含めて表現するという意味合いががあります。

それに対して、アンペールの法則も磁場に関する法則ですが「磁場の回転（および閉曲線上での接線線積分）と電流の関係」を表す式になります。ビオ・サバールの法則そのものには回転の情報は入っておらず。むしろ「ベクトルとしての磁場を電流を使って直接計算する形」をしています。また、磁場に関するガウスの法則もやはり磁場についての法則ですが、そちらは磁場の「発散（div）」に関する法則です。

ビオ・サバールの法則は物理学での「法則」ですので、本質的にはそれを１つの「事実」と考えて必要に応じて使えばよいという性質のものです。
ただし、この法則は単独で実験データのみから得られる式であるというよりは、別の実験事実や理論を数式的に整理して改めて１つの法則と考える見方もできます。

そこで、この記事の後半ではビオ・サバールの法則を「導出」する２つの考え方も紹介します。そこではローレンツ力、磁場に関するクーロンの法則、ベクトルポテンシャル（間接的にアンペールの法則とガウスの法則）とビオ・サバールの法則との関係を物理学的な見方も含めて数式で説明します。

ビオ・サバールの法則の式

ビオ・サバールの法則とは数式としては次のように電流とそれによって作られる磁場（基本的には静磁場）の定量的な関係を、外積ベクトルを使って表現したものです。

電流素片\(Id\overrightarrow{l}\)の事は「電流要素」と呼ぶ事もあります。

ビオ・サバールの法則には見かけ上分母に距離の３乗が入っていますが、１つは位置ベクトルを「方向だけを表す単位ベクトル」として表すために付けているだけなので本質はｒの「２乗」です。もしベクトルの大きさ（「強度」とも言う）だけに着目するなら、電流素片のベクトルと位置ベクトルのなす角をΘとして次の形になります。

$$\left| \frac{\overrightarrow{r}}{r}\right|=1\hspace{5pt}に注意して、\hspace{5pt}\left|d\overrightarrow{l}\times \frac{\overrightarrow{r}}{r}\right|=dl\sin\theta\hspace{5pt}であるから$$

$$dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idl\sin\theta}{r^2}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{j\sin\theta dv}{r^2}$$

また、後述する事にも関係しますがビオ・サバールの法則の係数μ_０／(４π)は磁場に関するクーロンの法則の比例定数や、静磁場のベクトルポテンシャルを積分で表した式における係数と同じものになっています。

実際にこの法則を使って具体的な計算をする時には基本的に積分の形にします。
電流素片を集めて積分にする場合には
「曲線状の積分路に対して外積を微小量とした積分（内積ではなく）」を考えて、
電流密度を使った式の場合には体積積分を考えます。

いずれの場合も、ビオ・サバールの法則の基本の形に積分を付けて考えればよいのですが積分変数が何であるかには注意する必要もあります。磁場を考える座標は基本的には「積分の中では定数扱い」です。積分変数として考えるのは、積分の経路となる導線等における接線ベクトル（あるいはその始点の座標）を区別する必要があります。

混乱しやすい点をあらかじめ整理しておくと次のようになります。

• 磁場に関しては「磁場を表すベクトル場」と、
  その始点となっている位置座標の２つを考えている。
• 電流が生じている導線等においても「電流素片のベクトル」（向きは導線の接線ベクトル）と、
  その始点となっている位置座標の２つを考えている。電流密度ベクトルを考えている場合も同じです。

変数の表記については\(\overrightarrow{B}(x,y,z)=\overrightarrow{B}\left(\overrightarrow{R_B}\right)\)のようにも書けます。

多少煩雑になりますが変数などをより明確にして書くなら次のようになります。

$$\overrightarrow{B}\left(\overrightarrow{R_B}\right)=\overrightarrow{B}(x,y,z)=
\frac{\mu_0I}{4\pi }\int_C
\frac{d\overrightarrow{l}\left(\overrightarrow{R_L}\right)\times \left(\overrightarrow{R_B}-\overrightarrow{R_B}\right)}
{\left|\overrightarrow{R_B}-\overrightarrow{R_L}\right|^3}$$

$$=\frac{\mu_0I}{4\pi }\int_C
\frac{d\overrightarrow{l}(X,Y,Z)\times \left(x-X,y-Y,z-Z\right)}
{\left(\sqrt{(x-X)^2+(y-Y)^2+(z-Z)^2}\right)^3}$$

（※ただし、もしこの形の積分を普通の定積分として具体的に計算するなら基本的に３変数としてではなく曲線Cの各位置に対応するパラメーターとしての１つの実変数が必要になります。）

電流密度を使った場合も、「敢えて書くと」次式です。
（積分の区間の端点についてはてきとうな文字で置いています。）

$$\overrightarrow{B}(x,y,z)=
\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V
\frac{\overrightarrow{j}\left(\overrightarrow{R_L}\right)\times \left(\overrightarrow{R_B}-\overrightarrow{R_B}\right)dv}
{\left|\overrightarrow{R_B}-\overrightarrow{R_L}\right|^3}$$

$$=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_a^b\int_c^d\int_u^w
\frac{\overrightarrow{j}(X,Y,Z)\times \left(x-X,y-Y,z-Z\right)}
{\left(\sqrt{(x-X)^2+(y-Y)^2+(z-Z)^2}\right)^3}dXdYdZ$$

しかし次に具体例で説明するように、なるべく簡単なモデルを考えて変数の撮り方も工夫する事によって積分は３変数ではなく１変数で計算できる事もあります。

具体的にビオ・サバールの法則で計算をする例

実際問題としてビオ・サバールの法則から積分で直接的に磁場のベクトルを計算する場合には、できるだけ分かりやすい図のモデルを用意して「方向」と「大きさ」も分けて考えて、角度を変数として考えれるように変数変換する事で（１変数の積分で）計算をするといった工夫をしたりします。

比較的簡単な例として、直線状の導線上における定常電流が導線の周囲に作る磁場をビオ・サバールの法則を使って計算してみます。積分する範囲も「曲線」ではなくて直線で考えて、さらに電流も当然それに沿った向きなので、積分に関してはベクトルではなくて１変数の積分区間として考えてしまうわけです。（図での位置関係に関してはベクトル的な関係も考慮する必要があります。）

積分をする前に、法則の基本となる形のほうで状況を整理します。電流の向きを画面上の左から右に向かう方向にとると、ビオ・サバールの法則が言うには磁場の方向は「電流素片のベクトル×導線から磁場の位置までのベクトル」という外積ベクトルの方向であるから、「画面奥から画面手前」の向きです。そこで、向きは確定したので次は大きさだけを見るという流れになるのです。

1. まず磁場の「向き」を確定させます。（ビオ・サバールの法則により外積ベクトルの向き。）
2. 次に、磁場の大きさだけを積分で計算します。

磁場を考える位置から導線に向かって垂線をおろして、その足（交点）を原点とします。そして、そこから磁場を考える位置までの距離をR_０とします。このR_０は定数です。

大きさだけに着目すると、平面幾何的な角度の関係に注意すると次の式が成立します。これは前述の、ベクトルの大きさだけに着目した場合のビオ・サバールの法則の式です。法則の外積ベクトルに由来する角度をΘとして、計算をしやすくするために補足的に考えた「原点・磁場を考える位置・電流素片（の始点）の位置」で作られる角度ωとしています。

$$dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idl\sin\theta}{r^2}=\frac{\mu_0I}{4\pi r^2}\sin\left(\omega+\frac{\pi}{2}\right) dl=\frac{\mu_0I}{4\pi r^2}\cos\omega\hspace{3pt} dl$$

途中計算には三角関数の公式を使用しています。

ここで、積分する時の変数は導線の長さを表す位置ですが、これは１変数として扱えます。しかし図の位置関係から、ωやｒは変数\(l\)に対して独立ではないので定数扱いはできない事になります。
この場合では、ωやｒを\(l\)に変換するよりも、統一してωの関数に変換して積分をするほうが簡単です。ただし、この変換をする時は最初から微小量で考えるのではなく、普通の関数として考えてから微分をする必要がありますので注意。

定積分を\(l\)＝aからbまで行うとして、対応するωをω₁ とω₂とします。

\(\left|\overrightarrow{B}\right|=B\) とすると、計算は次のようになります。

$$\cos\omega=\frac{R_0}{r}\Leftrightarrow \frac{1}{r}=\frac{\cos\omega}{R_0}\hspace{15pt}l=R_0\tan\omega\hspace{15pt}\frac{dl}{d\omega}=\frac{R_0}{\cos^2\omega}\hspace{3pt}であるので、$$

$$B=\int_a^bdB=\int_a^b\frac{\mu_0I}{4\pi r^2}\cos\omega dl=\frac{\mu_0I}{4\pi }\int_{\omega 1}^{\omega 2}\frac{\cos^2\omega}{R_0\hspace{1pt}^2}\cos\omega\frac{dl}{d\omega}d\omega$$

$$=\frac{\mu_0I}{4\pi }\int_{\omega 1}^{\omega 2}\frac{\cos^3\omega}{R_0\hspace{1pt}^2}\frac{R_0}{\cos^2\omega}d\omega=\frac{\mu_0I}{4\pi R_0}\int_{\omega 1}^{\omega 2}\cos\omega d\omega$$

$$=\frac{\mu_0I}{4\pi R_0}(\sin\omega_2 -\sin\omega_1)$$

使用した微分に関する公式等は次の２つです。

• 正接関数（tan x）の微分の公式
• 置換積分の公式

式が一見込み入るようですが丁寧に計算すると単独の余弦関数を積分すればよいだけになり、このように結果を出せるわけです。この結果でω_１→－π／２とω_２→π／２の極限を考えると、
「導線が無限に（十分に）長いとみなせる場合」の結果となり、またアンペールの法則から計算した結果にも一致するようになります。

このように、想定するモデルを工夫すると一見複雑であるビオ・サバールの法則の式の計算を、通常の１変数の定積分にまで簡略化できたりするわけです。こういった手法は電磁気学で（あるいは物理学全般で）使用され、物理現象の考察に活用されます。

法則の由来①：ローレンツ力や磁場に関するクーロンの法則等の組み合わせによる帰結と解釈する方法

電流と磁場の関係については次のような事実が実験によって知られています。

• 直線電流の周りには環状の磁場が作られる。（エールステッドによる実験）
• 電流が生じている２本の平行導線には互いに力が働く。
  ２つの導線の電流が同じ向きなら引力であり、
  向きが互いに逆なら力は斥力（反発する力）。（アンペールなどによる実験）
• 磁場の中で運動している電荷は力を受ける。（「ローレンツの力」）
• 磁気を帯びた物体同士には電気を帯びた物体同士同様の力が働く。
  （磁場に関するクーロンの法則）

直線電流が作る環状の磁場は、アンペールの法則から得られる結果の１つと捉える事が可能です。

これらの実験事実やその理論の組み合わせの帰結としてビオ・サバールの法則の式が得られるという物理学的な解釈の方法があります。ここではその導出過程を詳しく見ます。

電流が生じている平行な導線（以下、簡単のために「平行電流」と書きます）の相互に働く力は、２つの電流の大きさのそれぞれに比例し、導線の長さにも比例し、さらに平行電流間の距離ｄに反比例するというデータが得られていました。

平行電流に働く力は、電流による環状磁場とローレンツの力の組み合わせで生じるという見方ができます。さらに、そこに磁場に関するクーロンの法則を組み合わせて少し考察するとビオ・サバールの法則を積分したものと同じ形の式ができます。そしてそれがビオ・サバールの法則の電流素片による表記の由来となっていて、法則が成立する理論的な裏付けの１つであるという見方も可能であるわけです。

まず電荷密度ρがある速度で動いている時に、これを電流密度として解釈します。ローレンツの力は磁場中で導線自体が動いている時に働く力でもありますが、導線に沿って電荷が動いて流れになっている（すなわち電流が発生している）時にも同様に成立すると見るわけです。

$$\overrightarrow{j}=\rho\overrightarrow{v}$$

これを、単位体積（１ｍ^３）当たりで考えたローレンツの力の磁場だけの式に代入します。

$$\overrightarrow{F}=\rho\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}=\overrightarrow{j}\times\overrightarrow{B}$$

これは１ｍ^３の式なので、Ｓ [ｍ^２]×ｄｌ[m]＝Ｓｄｌ[m^３]（これは外積ではなく普通の掛け算）の場合を書きます。ここではＳｄｌという量はスカラー扱いになりますから、特に順番も気にせずに単に乗じれば良い事になります。その場合の力を\(d\overrightarrow{F}\)とします。

$$d\overrightarrow{F}=\overrightarrow{j}\times\overrightarrow{B}Sdl=\left(S\overrightarrow{j}\right)\times\overrightarrow{B}dl$$

ここでの電流密度は「電荷密度×速度」で最初考えましたが、これを「電流ベクトル×面積」で表します。普通、電流はベクトルでは考えませんがここでは敢えて電流密度ベクトルに合わせたものを考えるという事です。

$$\overrightarrow{j}=\frac{\overrightarrow{I}}{S}\Leftrightarrow \overrightarrow{I}=S\overrightarrow{j}により、$$

$$d\overrightarrow{F}=\left(S\overrightarrow{j}\right)\times\overrightarrow{B}dl=\overrightarrow{I}\times\overrightarrow{B}dl$$

ここでｄｌはスカラーとしてきたわけですが「大きさはｄｌで方向は電流ベクトルに等しいベクトル」を改めて\(d\overrightarrow{l}\)とします。これを使うと「電流ベクトル」の向きはそのベクトルに含めてしまって、電流をスカラーとして扱えます。

$$d\overrightarrow{F}=\overrightarrow{I}\times\overrightarrow{B}dl=\left(dl\overrightarrow{I}\right)\times\overrightarrow{B}ですが、$$

$$dl\overrightarrow{I}=Id\overrightarrow{l}となるd\overrightarrow{l}を考える事ができるので$$

$$d\overrightarrow{F}=\left(dl\overrightarrow{I}\right)\times\overrightarrow{B}=Id\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{B}$$

この式は、途中で考えていた「断面積S」が小さい値であるとすると一般的な導線における状況と解釈する事ができて、「電流素片が磁場から受ける力」と捉える事ができます。

次に、これを磁場に関するクーロンの法則と組み合わせます。

電流が生じている導線があって、曲線Cの形をしているとします。そこから離れた位置に磁気量ｑ[Wb] の磁気を帯びた小さな物体があるとして、近似的に点とみなせるとします。この物体は周囲に磁場を作り、大きさ等は磁場に関するクーロンの法則を使うとします。そこで物体から曲線C上のある電流素片の位置までのベクトルを\(\overrightarrow{R}\)とすると、電流素片が受ける力は次のように書けます。

$$d\overrightarrow{F}=Id\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{B}=Id\overrightarrow{l}\times\frac{kq\overrightarrow{r}}{R^3}=kqI\frac{d\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{R}}{R^3}$$

$$曲線C全体では、積分して\overrightarrow{F}=kqI\int_C\frac{d\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{R}}{R^3}$$

形としてはかなりビオ・サバールの法則に近くなったように見えます。しかし、ここで考えている磁場は磁気を帯びた物体が作る磁場であって、電流が作る磁場ではないので注意。また、得られている式が表す量も「磁場によって電流素片が受ける力」です。磁場は、1[Wb] の磁気量を持つ試験磁荷（仮想的ですが）が他の物体由来の磁気から受けるです。

では次にどのように考えるのかというと、電流が磁場を発生させる事はエールステッドの実験や平行電流に関する考察から事実と受け取れるので、曲線C上の電流素片もまた周囲に磁場を作ると考えられます。さらにその磁場は、磁気を帯びた物体に力を及ぼすはずです。

ここで、数学ではなく物理的な見方になりますが力学の作用反作用の法則が、ここでも成立するはずだと見ると「電流素片がｑ[wb]の磁気量の物体に及ぼす力」は「ｑ[wb]の磁気量の物体が電流素片に及ぼす力」と大きさは同じで向きが逆の力ベクトル（数式ではマイナス符号が付く）になっていると予想できます。電流素片が作る磁場を\(\overrightarrow{B_I}\)とすると、磁気を帯びた物体が受ける力は\(q\overrightarrow{B_I}\)となります。そこで、これがさきほどの「ｑ[wb]の磁気量の物体が電流素片に及ぼす力」にマイナス符号を付けたものだとして式を作ると次式です。

$$q\overrightarrow{B_I}=-kqI\int_C\frac{d\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{R}}{R^3}$$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow{B_I}=-kI\int_C\frac{d\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{R}}{R^3}$$

さらに、\(\overrightarrow{R}\)は「物体から電流素片」へのベクトルでしたから、「電流素片から物体」に向けてのベクトルとして\(\overrightarrow{r}=-\overrightarrow{R}\)に置き換えます。

$$ \overrightarrow{B_I}=-kI\int_C\frac{d\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{R}}{R^3}=-kI\int_C\frac{d\overrightarrow{l}\times\left(-\overrightarrow{r}\right)}{r^3}=kI\int_C\frac{d\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{r}}{r^3}$$

$$=k\int_C\frac{Id\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{r}}{r^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_C\frac{Id\overrightarrow{l}\times\overrightarrow{r}}{r^3}$$

つまり、電流素片に関するビオ・サバールの法則を曲線Cに関して積分した式と全く同じものが得られました。この事から、もとのビオ・サバールの法則の式が成立する事の「理論的根拠」も得られたと捉える事もできるわけです。

この捉え方のもとでは、ビオ・サバールの法則の「距離の２乗に反比例」（ベクトル表記の時に書かれる３乗というのは形式上なので本質は２乗）という部分は磁場におけるクーロンの法則と同じ由来のものであり、外積の形になっている事はローレンツの力に由来すると考える事ができます。

法則の由来②：ベクトルポテンシャルから導出する方法

他方で、アンペールの法則のほうがまず成立していると考えて、静磁場のベクトルポテンシャルからビオ・サバールの法則の式を導出するという事もできます。電流密度を使ったほうのビオ・サバールの法則を積分で書いた式は、ベクトルポテンシャルを表す式に何となく形が似ています。そしてそれは偶然ではなくきちんと関係があると解釈できるという事です。

まず（静磁場の）ベクトルポテンシャルの式は次のような形です。

$$\overrightarrow{A}(x,y,z)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\overrightarrow{j}}
{r}dv$$

$$\left(\overrightarrow{R_B}=(x,y,z),\hspace{5pt}\overrightarrow{j}の各始点\overrightarrow{R_L}=(X,Y,Z)\hspace{3pt}のもとで\hspace{3pt}r=\left|\overrightarrow{r}\right| =\left|\overrightarrow{R_B}-\overrightarrow{R_L}\right|\right)$$

次に「ベクトルポテンシャルの回転が静磁場になる」ので、回転 rot を考えます。ただし、偏微分を行う対象はベクトルポテンシャルのほうですからここでの変数で言うと（ｘ，ｙ，ｚ）のほうです。積分変数として考えている（Ｘ，Ｙ，Ｚ）ではありません。
そこで、ここではその事を強調して回転の記号を rot_A と書いておきます。

$$\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}であり、x,y,zでの偏微分を行う事を強調し回転を\mathrm{rot_A}と書くと$$

$$\overrightarrow{B}=\mathrm{rot_A}\overrightarrow{A}=\mathrm{rot_A}\left(\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\overrightarrow{j} }{r}dv\right)$$

$$\mathrm{rot_A}=\left( \frac{\partial A_3}{\partial y}-\frac{\partial A_2}{\partial z},\hspace{3pt}\frac{\partial A_1}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial x},\hspace{3pt}\frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y}\right)\hspace{10pt}dv=dXdYdZ$$

前述のように、回転における偏微分を行う変数は積分変数ではなく「ベクトルポテンシャルを考えている位置を表す３変数」です。
そこで、積分を考える範囲で電流密度の分布と関数形が連続的なものであれば、積分変数でない変数で「積分の中身」を微分しても結果に影響を与えません。（※数学の解析学的な補足説明は後述。）

$$\overrightarrow{B}=\mathrm{rot_A}\left(\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\overrightarrow{j} }{r}dv\right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\mathrm{rot_A}\frac{\overrightarrow{j} }{r}dv$$

さてそこで、ベクトル解析における簡単な公式を２つほど使用して変形を行います。

さきほどの計算に戻ると、まず電流密度ベクトルは定ベクトルとみなせます（変数はX，Y，Zであり、これらはｘ，ｙ，ｚから見ると定数とみなせるので。）そして分母のｒについては計算上ｘ，ｙ，ｚに関するスカラー場と見なせますので１つ目の公式を適用できます。この時の外積の順序は電流密度ベクトルを先にしておきます。つまり公式で言うとマイナス符号が付いたほうを使います。

$$\mathrm{rot_A}\frac{\overrightarrow{j} }{r}dv=-\overrightarrow{j}\times\mathrm{grad}\frac{1}{r}$$

つまり、式の演算としては回転がなくなって外積に変わっているわけです。

ビオ・サバールの法則の式の形に近づいていますが、代わりに勾配 grad が入ってしまっています。
そこで\(\overrightarrow{r}=(x-X,y-Y,z-Z)\)において同じくX，Y，Zを定数とみなせば、公式を適用できて次式が成立します。

$$\mathrm{grad}\frac{1}{r}=-\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$$

これによって数式上、勾配もなくなります。
整理すると、磁場が電流密度を用いたビオ・サバールの法則を積分で書いた形で表せる事になります。

$$\overrightarrow{B}=\mathrm{rot_A}\overrightarrow{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\mathrm{rot_A}\frac{\overrightarrow{j} }{r}dv$$

$$=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V- \overrightarrow{j}\times \mathrm{grad}\frac{1}{r}dv= \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V- \overrightarrow{j}\times \left(-\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\right)dv$$

$$=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \overrightarrow{j}\times \frac{\overrightarrow{r}}{r^3}dv= \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\overrightarrow{j}\times\overrightarrow{r}}{r^3}dv$$

この式で表される磁場はベクトルポテンシャルと同じくｘ，ｙ，ｚによるベクトル場です。
つまり\(\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}(x,y,z)\)です。

以上の事は、アンペールの法則（変位電流を含まない形）が成立する→静磁場のベクトルポテンシャルを放射ゲージ条件のもとで式で表せる→ビオ・サバールの法則を積分した形の式が成立するという流れです。そのため、ビオ・サバールの法則をアンペールの法則から導出するという見方とも言えます。
また、ベクトルポテンシャルを考えるうえでは磁場に関するガウスの法則も前提条件でしたから、上記の導出方法によれば磁場に関するガウスの法則も間接的に関わっていると言えます。

静磁場では電場の場合のようにスカラーポテンシャルに相当する量を考えても統一的な物理的意味を与える事が難しくなります。（特に静磁場が電流により作られる場合。）

しかしその代わりに静磁場は発散が０になります（磁場に関するガウスの法則）。
そのため、任意の「ベクトル場の回転」の発散は０になるという公式と合わせて「回転が静磁場になるようなベクトル場」を考える事ができます。一般にそれをベクトルポテンシャルと呼びます。これはスカラーポテンシャルに対する用語というわけです。

■サイト内関連記事：

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磁場に関するベクトルポテンシャルは計算を便利にするという意味合いもありますが、量子論などのように物理量としてポテンシャルのほうが重要になる場合などには本質的な重要性も持つようになったりします。

ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルの関係

静磁場に対するベクトルポテンシャルを作れる数式的根拠

静電場の場合は、電位という「スカラーポテンシャル」を考えて「＋1[C]の電気量の試験電荷の位置エネルギー」として物理的な意味付けもする事ができます。

それに対して静磁場の場合はポテンシャルを考える場合には普通、次のように考えます。

磁場に関するガウスの法則の微分形と、「任意のベクトル場の回転に対する発散は０になる」という公式をそれぞれ書きますと次のようになります。

$$（磁場に関するガウスの法則）\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0$$

$$（公式）\mathrm{div}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\right)=0$$

これらの式を見比べて、「回転が静磁場に等しくなるようなベクトル場」を考えます。それをベクトルポテンシャルと呼びます。

$$\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}となるような「ベクトルポテンシャル」\overrightarrow{A}を考えます。$$

「回転の発散はゼロになる」公式の証明

上記で使った公式の証明はベクトル場\(\overrightarrow{F}=(F_1,F_2,F_3)\) の回転と発散を直接計算すると得られます。ただし、F1, F2, F3 は対象の領域でそれぞれ２階まで偏微分可能であるとします（偏微分の順序を入れ換えてよい条件。通常の関数であればあまり気にしなくて問題無し）。

$$\mathrm{rot}\overrightarrow{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right) なので$$

$$\mathrm{div}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{F}\right)=\frac{\partial^2 F_3}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 F_2}{\partial x\partial z}+\frac{\partial^2 F_1}{\partial y \partial z}-\frac{\partial^2 F_3}{\partial y\partial x}+\frac{\partial^2 F_2}{\partial z\partial x}-\frac{\partial^2 F_1}{\partial z\partial y}=0$$

静磁場に対するベクトルポテンシャルを考える場合は、偏微分を行う対象はベクトルポテンシャルのほうなので多価関数などの通常と異なる関数などを考えない限りは問題なくこの公式も成立します。

ベクトルポテンシャルの任意性（ゲージ不変性）

ところで、上記のように想定したベクトルポテンシャルは１つだけに定まるとは限らず、むしろ何の制限もなければ非常に多くのものが存在できるのです。

例えば次のようなものです。
あるベクトル \(\overrightarrow{A}\)が静磁場のベクトルポテンシャルになる事が分かったとしましょう。次に、そのベクトル場に渦無しの条件を満たす（つまり回転が０となる）別のベクトル場\(\overrightarrow{P}\)を加えます。すると、両者の合計\(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{P}\)もまた「回転が静磁場を表す」ベクトル場となります。

$$\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}かつ\mathrm{rot}\overrightarrow{P}=0である時$$

$$\mathrm{rot}(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{P})=\mathrm{rot}\overrightarrow{A}+\mathrm{rot}\overrightarrow{P}=\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}$$

すなわち、\(\overrightarrow{A}\) はベクトルポテンシャルであるけれども
\(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{P}\)もまたベクトルポテンシャルであると言えるわけです。

このようにベクトルポテンシャルを考えた時には複数の多くのベクトル場がそれに該当し得るわけで、言い換えると無条件では１つに限定できないという事も意味します。

上記の例のようにベクトルポテンシャルに対し１つのベクトル場を付け加える「自由度」がある時（回転＝０となるものを加える場合は実質的に１つのスカラー場）、その事を指して「ゲージ不変性」と呼ぶ事があります。また、一定の条件のもとでゲージ不変性を利用してベクトルポテンシャルの変換を行う事をゲージ変換と呼びます。

$$「ゲージ変換」の１つ：\mathrm{rot}\overrightarrow{A}→\overrightarrow{A}+\mathrm{grad}\phi$$

$$（変換前と変換後とで、どちらも回転をとる操作で同じ静磁場を表します。）$$

関連して、ベクトルポテンシャルそのものに対して\(\overrightarrow{B}=\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\) 以外に課す具体的な条件をゲージ条件と呼ぶ事があります（後述の「放射ゲージ条件」のように名前を付けて使う事が多い）。普通は、ゲージ条件を課す事によってゲージ変換の自由度が制限され、ベクトルポテンシャルも特定の形に制限されるようになります。

放射ゲージ条件（発散が０の条件）

様々なベクトル場がポテンシャルとしてあり得てしまうと理論的にかえって扱いにくくなる事もあるので、静磁場の理論においては「発散が０である」というゲージ条件を課します。
この条件を放射ゲージ条件、あるいはクーロンゲージ条件などと言います。
（「クーロンゲージの条件」のように言う事も。）

放射ゲージ条件を考える場合もそうですが、基本的にはそれ以外の場合でもベクトルポテンシャルに対しては「回転が０」という条件は付けません。「ベクトルポテンシャルの回転が静磁場に等しい」という条件をまず大前提として考えていますから、ベクトルポテンシャルの回転が０であったらそれは「磁場が無い（ゼロベクトルである）」事を表すものでしかないためです。

$$静磁場においては\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}の条件も、そもそも存在します。$$

静磁場に対しては発散が常に０（静磁場に関するガウスの法則）であるわけですが、放射ゲージ条件は静磁場と同じ条件をベクトルポテンシャルに対しても考えていると見る事もできます。尚、大元の静磁場の発散が０になるという条件（物理的には「湧き出しを持たない事」）は数学上は実は重要で、ベクトルポテンシャルがベクトルとして存在できる事を保証する条件になっています。

放射ゲージ条件のもとでのベクトルポテンシャルの式

放射ゲージ条件を課した状態でベクトルポテンシャルに関する式を作ると、各法則による条件等から解を出せる微分方程式を作る事ができ、その解としてベクトルポテンシャルを具体的な式で表せます。（ただしそれでも式に積分が入ってしまいます。）

電流の周囲に同心円ごとに一定の静磁場ができる事を表すアンペールの法則を考えます。これは微分形で書くと磁場の回転が電流密度ベクトルに等しいという式になります。マクスウェル方程式全体を考える時には変位電場を考える必要がありますがそれは０であるものを考えます。

$$アンペールの法則（微分形）：\mathrm{rot}\overrightarrow{B}=\mu_0\overrightarrow{j}$$

アンペールの法則の式に、静磁場をベクトルポテンシャルで表した式を代入します。

$$\mathrm{rot}\overrightarrow{B}=\mu_0\overrightarrow{j}に\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}を代入すると$$

$$\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\right)=\mu_0\overrightarrow{j}$$

ところで、この場合においてはナブラを使って式を書いたほうが左辺を展開するうえで見通しがよくなります。「『ベクトル場の回転』の回転」に対する公式は存在するのですが、実は外積ベクトルの計算「『ベクトル同士の外積』との別のベクトルとの外積」に対する公式と形が一致するのです。
（ただし計算の順番に注意。\(\overrightarrow{P}\times\left(\overrightarrow{Q}\times\overrightarrow{R}\right)\) の順番での場合の公式に対応します。）

そこでナブラ記号を使って計算を進めると次のようになります。

$$\mathrm{rot}\left(\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\right)=\nabla\times(\nabla\times\overrightarrow{A})=\nabla\left(\nabla\cdot\overrightarrow{A}\right)-\nabla^2\overrightarrow{A}=-\nabla^2\overrightarrow{A}$$

$$\left( 放射ゲージ条件\nabla\cdot\overrightarrow{A}=0により\nabla\left(\nabla\cdot\overrightarrow{A}\right)=0\right)$$

$$よって、-\nabla^2\overrightarrow{A}=\mu_0\overrightarrow{j}\Leftrightarrow\nabla^2\overrightarrow{A}=-\mu_0\overrightarrow{j}$$

この式は成分ごとに見れば３つの偏微分方程式です。
これを数学的に解析する手段はありますが、物理学的に考える時はむしろ次のように解釈します。

今は静磁場について考えていますが、静電場のスカラーポテンシャル（電位）についても実は同じ形の式が成立するのです。具体的には、電場が電位の勾配を使って表される式をガウスの法則の微分形に代入します。

$$\overrightarrow{E}=-\mathrm{grad}\phi\hspace{5pt}かつ\hspace{5pt}\mathrm{div}\overrightarrow{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}\hspace{5pt}により、$$

$$-\mathrm{div}(\mathrm{grad}\phi)=\frac{\rho}{\epsilon_0}\Leftrightarrow\nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$$

$$\left(\mathrm{div}(\mathrm{grad}\phi)=\mathrm{div}\left(\frac{\partial\phi}{\partial x},\frac{\partial\phi}{\partial y},\frac{\partial\phi}{\partial z}\right)=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+
\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+
\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}=\nabla^2\phi\right)$$

ところで無限遠（電荷から十分離れた位置）を基準にすれば電位φは点電荷に対して普通に計算ができて次のようになります。

$$\phi=\int_0^{\infty}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{r}=\int_0^{\infty}\left|\overrightarrow{E}\right|dr=\frac{kQ}{r}$$

接線線積分の段階で見れば、点電荷が複数あってそれらが作る電場の合計\(\overrightarrow{E_1}+\overrightarrow{E_2}+\overrightarrow{E_3}+\cdots\) を考えたとしても項別の積分を行って加えれば良い事が分かります。つまり複数の点電荷による電位は個々の点電荷による電位の「重ね合わせ」（スカラーの和）で計算して良い事になります。そこで、電荷が連続的に分布しているとみなせて電荷密度ρで表せるとすると次のように積分を使って書けます。

$$\phi=k\int_V\frac{\rho}{R}dv$$

この積分において R は「電位を考える点（ｘ，ｙ，ｚ）」と個々の微小領域ｄｖ（＝ｄＸｄＹｄＺ）の座標との距離です。

さて、そのように電位が表せるわけですが、
この直接計算によるφは同時に先ほどの微分方程式∇^２φ＝－ρ／ε_０を満たすわけです。
言い換えると「微分方程式の解になっている」という事になります。そして静磁場のベクトルポテンシャルに関しても成分ごとに見れば∇^２A_１＝－ｊ_１μ_０という形であるわけですから、定数の違いを除くと「同じ形の微分方程式」であり、解も「電位を電荷密度で表す式と同じ形になる」と見るのです。
（これらのような∇^２u(x,y,z)＝－v(x,y,z) の型の微分方程式を総称して「ポアソン型の微分方程式」とか「ポアソン方程式」などと呼ぶ事もあります。）

$$ベクトルポテンシャルの成分ごとにA_1=K\int_V\frac{j_1}{R}dvの形になるはずであり、$$

$$ベクトルでは\overrightarrow{A}=K\int_V\frac{\overrightarrow{j}}{R}dv$$

これが放射ゲージ条件のもとでの静磁場のベクトルポテンシャルを表す式になります。より具体的な関数形は、電流密度の関数形と分布領域によって変わってきます。
（数式だけでポアソン型の微分方程式を解く場合には、ガウスの発散定理から証明できる「（実関数についての）グリーンの定理」を使用します。）

上式では比例定数はｋおよびＫなどと書きましたが、真空の誘電率と透磁率を使って改めて書いて整理すると次のようになります。

静止した電荷あるいは電荷の分布が作る静電場（時間による値の変動がない電場）についてはクーロンの法則と、その一般的な形であるガウスの法則が成立します。そしてもう一つ、「渦無しの法則」というものも成立します。

渦無しの法則とは

ここで言う電場の「渦」というのは数式としては流体力学等で想定されるものと同じ形の式です。すなわち、数式的にはベクトル場の「回転」（「カール」「ローテーション」とも）によって表す量です。

静電場を構成するものが静電荷あるいはその分布であるときには、電場が定義される任意の位置において電場の回転\(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\)はゼロベクトルになる事が数式的に証明できます。それが静電場の渦無しの法則と呼ばれるものです。

また、それと同時に循環と呼ばれる量も０になる事が示されて、それを静電場の渦無しの法則と呼ぶ事もあります。この循環という量は、数式的にはベクトル場の閉曲線に対する接線線積分です。２つの事実関係はストークスの定理によって結び付けられるので、どちらの事を渦無しの法則と呼んでも同じ事になります。

実は電場の循環は、閉曲線Cに沿って単位電荷が１周分する時の「電場が行った仕事」です。渦無しの法則は、静電荷が作る静電場においてはそれが任意の閉曲線で０になる事を言っています。その事は電磁誘導によって回路等に起電力と誘導電場が生じる時には渦無しの法則が成立しない事との関係が大いにあります。

また、後述する事に関係しますが定電流によって作られる静磁場の場合には回転も循環も０にはなりません。つまり点電荷による静電場では渦無しの法則が成立し、逆に定電流による静磁場では渦無しの法則は成立せず「渦」がある状態になります。

渦無しの法則における回転と循環の関係

渦無しの法則における回転と循環の関係について先に示しておきましょう。
ストークスの定理により次式が成立します。

$$\oint_C\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_S\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}$$

ここで、まず回転に関して渦無しの法則が成立するならストークスの定理の右辺（法線面積分の項）は０ですから、左辺の循環もそのまま０になるわけです。

$$\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=0であるとき\oint_C\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_S\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=0$$

次に循環に関して渦無しの法則が成立する時にはストークスの定理の右辺が０という事になりますが、これは法線面積分が０という事であって積分対象の\(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\)が０という事を直ちには示しません。しかし、渦無しの法則が意味するところは閉曲線Cが特定のものではなく「任意」であるという事なので、積分対象の関数が高等的に０である事を意味します。

$$\oint_C\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=0の時には\oint_C\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_S\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=0$$

$$この式は「任意の」閉曲線Cで成立するので\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=0$$

（ストークスの定理における曲面Sは、閉曲線Cを外縁に持つ任意の開曲線。）

この論法はガウスの発散定理を使って静磁場の発散について積分形から微分形を導出する時のやり方に似ています。

これにより、点電荷が作る静電場の回転が０である事と、循環が０である事のどちらを指して渦無しの法則と呼んでも数式的には同じであると言えるわけです。

静電場の回転の直接計算による導出

静止した点電荷が作る電場について渦無しの法則が成立すれば電荷が複数あってもベクトル場は重ね合わせ（ベクトルの和）で計算されるので同じく渦無しの法則が成立する事になります。

考え方や導出・証明方法はたくさんあるのですが、実は電場の回転を定義に従って普通に計算しても意外に簡単に結果が出ます。そこで、まず偏微分の直接計算によって回転が０になる事を示し、次にそれが「偶然なのか必然だったのか」について考察してみましょう。

点電荷の電気量をＱ【Ｃ】、比例定数はまとめてｋとして、座標を使った電場ベクトルを成分で書きます。見やすくするようにｋで割ったものを考えると次のようになります。

$$\frac{1}{k}\overrightarrow{E}=\left(\frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}},\frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}},\frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\right)$$

他方、電場の回転\(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}\)は次のようなベクトルです。

$$\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=\left( \frac{\partial E_3}{\partial y}-\frac{\partial E_2}{\partial z} ,\hspace{5pt} \frac{\partial E_1}{\partial z}-\frac{\partial E_3}{\partial x} ,\hspace{5pt} \frac{\partial E_2}{\partial x}-\frac{\partial E_1}{\partial y} \right)$$

一見計算するにならないかもしれませんが、商の微分公式と合成関数の微分公式を使って回転の第３成分を計算してみると次のようになります。上記と同じく比例定数ｋで割った状態で計算します。

$$\frac{1}{k}\mathrm{rot}\overrightarrow{E}の第３成分\frac{\partial E_2}{\partial x}-\frac{\partial E_1}{\partial y}$$

$$=\frac{-2x\cdot\frac{3}{2}\cdot(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2} } y}{(x^2+y^2+z^2)^3}+\frac{2y\cdot\frac{3}{2}\cdot(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2} } x}{(x^2+y^2+z^2)^3}$$

$$=\frac{-3xy}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}+\frac{3xy}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}=0$$

このように、意外にそこまで複雑というわけでもなく第３成分は０になると言う結果を得ます。
全く同じように計算すると第１成分と第２成分も０になるので、渦無しの法則の式 \(\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=0\) が導出されます。

勾配と回転の関係からの導出

さて「計算したら上手い具合に０になった」というのは偶然でしょうか？

実の所、「ある程度は必然の結果であった」と言えるのです。これは、スカラー場の勾配ベクトルに対する回転は必ず０（ゼロベクトル）になるという公式が存在するためです。

この公式の証明は直接計算でできます。これも、意外と複雑ではないのです。

$$\mathrm{grad}\phi=\left(\frac{\partial \phi}{\partial x},\frac{\partial \phi}{\partial y},\frac{\partial \phi}{\partial z}\right)なので$$

$$\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\phi)= \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial y\partial z}- \frac{\partial^2 \phi}{\partial z\partial y} , \frac{\partial^2 \phi}{\partial z\partial x}- \frac{\partial^2 \phi}{\partial x\partial z} , \frac{\partial^2 \phi}{\partial x\partial y}- \frac{\partial^2 \phi}{\partial y\partial x} \right)$$

$$= \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial y\partial z}- \frac{\partial^2 \phi}{\partial y\partial z} , \frac{\partial^2 \phi}{\partial z\partial x}- \frac{\partial^2 \phi}{\partial z\partial x} , \frac{\partial^2 \phi}{\partial x\partial y}- \frac{\partial^2 \phi}{\partial x\partial y} \right)=(0,0,0)$$

つまり、回転ベクトルの成分の構成が規則的である事と、偏微分を複数回行う時には順序によらず同じ結果となるという条件のもとで公式が成立するわけです。

さて、公式 rot(gradφ)＝０の意味を考えてみると、
あるベクトル場が「何らかのスカラー場の勾配ベクトルになっていて偏微分に関する条件も満たす」のであれば回転ベクトルは０になるという事になります。さらに言い換えると、そのようなスカラー場が存在するならば\(\mathrm{rot}\overrightarrow{F}=0\) が成立すると言えるのです。

静電場の渦無しの法則に戻ると、点電荷が作る電場に対してはそのようなスカラー場が存在する事ができて、それがいわゆる「電位」です。静電場においては電位は「単位電気量（1[C]）の電荷の位置エネルギー」であるという意味付けができます。（２地点の電位の差である「電位差」がいわゆる「電圧」です。）

静電場から電位を計算する時には接線線積分を考えますが、無限遠を基準にとれば点電荷からの距離を変数とする変数の定積分として計算ができます。その結果として得られるスカラー場の勾配ベクトルを考えると、それはもとの静電場に戻るのです。ですので、実は成分の直接計算をしなくても、点電荷が作る静電場には電位が存在する事から渦無しの法則も成立すると言う事もできるのです。

$$\mathrm{grad}V=\overrightarrow{E}となる電位Vが存在し、これは所定の条件を満たすので\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=0$$

また、静止した点電荷に対する電位を具体的に計算すると点電荷からの距離ｒ【ｍ】に反比例する形になりますので、その関数は点電荷自身の位置を除けば任意の点で何回でも偏微分可能ですから先ほど少し触れた「偏微分の順序」についても気にしなくてよい事になります。

電磁場で「渦」がある場合

逆に渦無しの法則が成立しない状況は電磁場においてどのようなものがあるかというと、ここでは簡単にだけまとめておくと代表的なものとして次のようなものがあります。

• 磁場の時間変動がある場合のおける電場（電磁誘導の法則により起電力が発生します。）
• 定常電流および変位電流が作る静磁場（アンペールの法則によります。特に電流が生じている導線を囲む閉曲線に対して。）

まず磁場の時間変動がある場合には電場にの回転はゼロではなくなります。これが電磁誘導の法則の内容であり、起電力が生じる事を意味しています。

次に、定電流が作る静磁場についても電流が生じている導線まわりの閉曲線においてはアンペールの法則により接線線積分の値はゼロにならず、渦ができていると考えられます。（ただし、この時の回転ベクトルと接線線積分に関する数学的な扱いには少し注意する必要もあります。）この場合には、アンペールの法則の意味としては電流もそうですが電場の時間変化（変位電流）にも起因して磁場の回転が発生する事を意味します。その事を指して起磁力と言う言葉が使われる事もあります。（起電力に対応する語）。

つまりごく簡単に言うと電場の時間変動（あるいは電流）によって磁場が作られて、磁場の時間変動によって電場（あるいは電流）が作られる関係があります。そしてその時に、循環の形の接線線積分で表される「渦」が生じるという体系になっていると言えます。

また電流の種類で「渦電流」というものも存在しますが、それはまた別の扱いが必要になってきます。

接線線積分は曲線を積分経路とする積分で、
ベクトル場（座標成分を変数とするベクトル関数）に対して定義されます。

☆サイト内リンク：参考・より初歩的な内容

• ベクトルの考え方：スカラーとの違い
• ベクトルと内積
• 定積分の考え方と計算
• 初等関数の微分公式集

接線線積分の英名は、 curvilinear integral と表記される事が多いです。
（「線積分」は line integral 。ただし英名表記でもこの語が接線線積分を指す事もあります。）

ベクトル場に対する接線線積分は、曲線が開曲線である場合と、閉曲線である場合とで、基本的な考え方は同じですが表記方法や積分方向に関する定義が微妙に異なります。

開曲線に対する接線線積分
【定義・考え方・表記方法】

まず、積分経路が閉じていない曲線（開曲線）の場合を考えます。
開曲線とは、図形的には単純に両端がどこにも結び付けられていない曲線の事で、例えば２次関数のグラフのような曲線です。（曲線と言いますが直線も含みます。）

そこで、ベクトル場を\(\overrightarrow{F}\)として、
ある曲線の点Ｐから点Ｑまでの接線線積分を考えるとします。
また、各点での接線ベクトル\(d\overrightarrow{l}\)を考えます。
接線ベクトルの大きさは、曲線上の微小な弧状の区間の長さであるとします。
（※各点での接線ベクトル自体は互いに逆向きの2方向がありますが、
ＰからＱに向かう方向を考えます。）

経路における孤状の各区間についてベクトル場と接線ベクトルとの内積を考え、その総和を考えます。経路の分割を増やしていった時の極限値が接線線積分です。

ここで、各微小区間の弧において考えている内積は通常のベクトルに対して考えるものと同じであり、それぞれのベクトルの大きさと、なす角の余弦との積を考えます。

尚、曲線上の各点を結んだ折れ線が、点の数を無限に増やした時に極限値を持つ事は三角不等式を使って確かめる事ができます。基本的には円周率の値を極限値として図形的に計算するやり方と考え方は同じです。

通常はそのままの形では接線線積分の具体的な値は計算できない事が多いので、余弦の値が確定するようなモデルを考えるか、積分を変形して計算できる形にして考える場合があります。

開曲線に対する接線線積分の基本となる考え方をまとめると次のようになります。

• 積分経路となる曲線の端点を決める（例えば点Ｐと点Ｑ）
• 積分の方向を決める（例えばＰ→Ｑ，あるいはＱ→Ｐ）
• 曲線上の接線ベクトルは、積分の方向を向くと約束する
  【曲線上のある点での接線は、
  ある１つの方向とその逆向きの２方向があり得る → 片方に定める。】
• 曲線を、微小な区間で構成される折れ線であると考える
• 各区間で、ベクトル場と「微小区間の長さを大きさとする接線ベクトル」との内積を考え、積分経路全体での合計を接線線積分と定義

後述しますように、接線線積分の内積の部分を座標成分によって計算して、全体としてはスカラー関数の線積分として計算を進める方法もあります。

閉曲線に対する接線線積分

曲線が閉曲線（例えば円や楕円など）の場合にも、基本的な積分の方法は開曲線の場合と同じです。
ただし、積分方向に関する約束が開曲線の場合と異なるのです。

問題となるのは閉曲線に対して１周回転する形で接線線積分を行う場合であり、２通り存在する向きを１通りに確定させるための定義の仕方が存在します。

閉曲線全体が積分区間の場合には、ある点Ｐから積分を始めて同じ点Ｐに戻ってくる時に向きが２通りあり得ます。そのため閉曲線上の接線線積分を考える時には、積分の方向を約束して１通りに確定させておく必要があるわけです。

周回積分と組み合わせた表記法

積分区間となる曲線が閉曲線（長方形や多角形も含みます）の全経路である場合、周回積分の記号と組み合わせて次のように接線線積分を書く表記法があります。

閉曲線を表す記号としてCを使う事が多いですが、これは英名 closed curve 等の頭文字を意味する事が多いと思われます。

周回積分である事を表す記号は省略される事もありますが、その場合でも閉曲線全体の接線線積分を考えているのであれば、積分の方向に関する約束は同様に適用されます。

接線積分の方向の約束①：平面上の閉曲線の場合

平面上だけで周回積分として接線線積分を考える時には、
積分する向きは反時計回りとして約束します。
この場合の「平面上」とは、
例えば、数学上のｘｙ平面を考えて、そこでの閉曲線を考える場合などです。

$$周回積分の記号を省略して\int_{C}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}と書いても向きに関する約束は同じ$$

平面上で閉曲線を考える場合のこの考え方は、図形が描かれている画面を見ている構図で考えると、空間内の場合での約束の仕方を理解する時に便利です。

接線積分の方向の約束②：空間内の閉曲線の場合

空間内での閉曲線を考える場合、閉曲線で構成される面の表側から見るか裏側から見るかによって、時計回りか反時計回りなのかが逆になってしまいます。

そのため、その場合にはまず、閉曲線で構成される面の「表側」（法線面積分において法線ベクトルがプラスになる側の面）を決めておきます。

そして、
「曲面の表側から曲面を見て、曲線上をたどった時に『閉曲線の内側が左側になる』向き」
を、接線線積分の積分方向であると約束します。

その方向を閉曲線Ｃの「正方向」とも言います。

この考え方のもとで、平面だけで考える場合の閉曲線上の積分方向は、
「図が描かれた画面を面の表側であると考えた場合」であると言う事もできます。

「右ねじ」の考え方

上記の、閉曲線に対する接線線積分の積分方向の約束は、より直感的な理解の方法もあります。

それは工具の「ねじまわし（ドライバー）」を使った考え方です。

まず、曲面の表面から出るベクトル（例えば法線ベクトル）の矢印の先を「一般的なねじまわしの先端」と考えます。そして、「『ねじを締める方向』が接線線積分の積分する向き」であると捉えると、これは前述の定義の仕方と一致するのです。

ねじ回しを上に向けて締める場合に上から見ると反時計回りで、
逆にねじ回しを下に向けて締める場合に上から見ると時計回りであり、
空間内の任意の閉曲線に対してこの考え方は適用できます。
これは一種の例えによる表現ですが、物理学で多く使われます。「右ねじの方向」「右ねじをまわす方向」など、いくつか呼び方があります。

接線線積分の座標成分による内積計算
【スカラー場に対する線積分との関係】

さて、接線線積分の表記の中における内積で表されている部分については座標成分によって表す事もできます。これは、法線面積分における考え方と似ています。
この時に、ベクトル場の個々の座標成分はスカラー関数ですから、そのように表記した時には接線線積分は、「ｘ，ｙ，ｚを変数とするスカラー関数に対する線積分」に変化します。

まず、接線ベクトルを座標成分で次のように書きます。

$$d\overrightarrow{l}=(dx,dy,dz)$$

そこで、ベクトル場に対する内積の計算をすると次のようになります。

$$\large{A_1=A_1(x,y,z),\hspace{5pt}A_2=A_2(x,y,z),\hspace{5pt}A_3=A_3(x,y,z)\hspace{5pt}}のもとで$$

$$\overrightarrow{A}=\large{(A_1,A_2,A_3)}\hspace{5pt}である時、$$

$$\large{\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{dl}=A_1dx+A_2dy+A_3dz}$$

さてしかし、じつはこのように表記した時には積分をする時に、
どういった積分変数で積分を行うのかといった問題が起こる事があります。
この段階ではベクトル場の成分はｘ，ｙ，ｚに関する多変数関数であるという前提があります。
そのため、それらをそのままの形で、例えばｘ単独で積分してしまうと問題が発生するのです。

また、この内積の計算は、曲線上の各点における接線ベクトルごとに行っています。
従って、積分変数を単独のｘ，ｙ，ｚとしようとする時に、もともとの積分経路が閉曲線である場合や、開曲線であっても例えば曲がりくねって１つのｘ座標に対して対応するy座標が２つ以上ある場合には、全体の積分経路を個々の積分変数ごとに１つの積分区間で表せないという問題もあります。

そこで、次のように考えます。
曲線という積分経路が指定されている場合には適切に経路を区切る事によって、その区切られた経路の範囲においては１つの変数の値を定めると１つの曲線上の点が定まる事を利用します。
その区切られた経路ごとにA_１，A₂，A_３のそれぞれを、
ｘのみ、ｙのみ、ｚのみの関数として表します。

$$適切に区切った経路ごとに次の形で表現：\large{A_1=A_x(x),\hspace{5pt}A_2=A_y(y),\hspace{5pt}A_3=A_z(z)\hspace{5pt}}$$

※特に空間においての場合は、曲線上の特定の経路間という条件のもとで、スカラー場の関数を１変数のみで表す事ができます。

これによって、経路の区切り方に注意したうえで接線線積分をｘ，ｙ，ｚそれぞれの１変数関数の積分の合計として表す事が可能になります。もちろん、具体的な値を１変数の定積分の合計値として計算するには、具体的な関数の形が明らかである事が必要です。

例として、平面上で接線線積分の積分経路が原点を中心とした半径１の円である場合に、内積を計算してから積分する事を考えてみましょう。

この時に、ｘ方向の通常の定積分をしようとすると [－１，１] という１つの積分区間だけでは、元々の全体の積分経路である円周の半分についてしか内積のｘ成分についての項の合計を表せません。
そこで、ｘに関する定積分を２つに分けます。
まず点（１，０）から始めて（※）、
「ｘ＝１からｘ＝－１に向かう」積分区間について、ｘを積分変数とする定積分をします。
この区間は、ここで考えている円の上半分に該当します。

※どこの点から積分を行っても、最終的に積分経路の全体に渡って積分を行っているなら同じ結果を得ます。

$$式で書くと\large{\int_1^{-1}A_xdx}を計算します。$$

そして次に、今度は（－１，０）から始めて（１，０）に戻る積分区間 [－１，１] の積分をします。この区間は、ここで考えている円の下半分に該当します。
同じ経路をたどって戻るのではなく、別の経路をたどって戻っています。

$$式で書くと\large{\int_{-1}^1A^{\prime}_xdx}を計算します。$$

ここで、元々の接線線積分の積分対象となっているベクトル場は円の上半分と下半分の経路上で一般的には異なるベクトルになっていますから、
その座標成分も一般的に異なるスカラー関数で構成されているわけです。
そのために、上記の積分の中ではA_x とA’ _xという形で、異なるスカラー関数である事を強調して書いています。(ここでは後者は微分という意味ではありません。)
ｘに関して「１→＋１」の積分区間と「－１→＋１」の積分区間の積分は、ｘに関して陽に表される関数（ｙ＝ｆ(ｘ)の形で表される関数。陽関数とも言います）としては異なるものに対する積分です。

ここでの例では具体的には、
\(\large{A_x}=\sqrt{1-x^2}\)
\(\large{A^{\prime}_x}=-\sqrt{1-x^2}\) として表せます。

y成分についても同じように考えます。

このように、接線線積分を内積計算によって「スカラー場に対する線積分」の計算にする時には、場合によっては積分する範囲等について注意が必要となります。ただしその事は、スカラー場に対する線積分の定義に組み込まれているものになります。

積分する範囲ごとの関数の形の混同を避けるために、スカラー場に対する線積分においても、接線線積分における積分経路をPQのように端点で表す表記方法もあります。

例えば上記の例の円において、（１，０）を点Aとして、（－１，０）を点Bとしたときに、ベクトル場の成分であるスカラー関数は共通のA_ｘおよびA_yで表して、線積分を次のように書く事もできます。

$$\large{\oint_{C}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_{AB}A_xdx+\int_{BA}A_xdx+\int_{AB}A_ydy+\int_{BA}A_ydy}$$

この場合には、平面上の閉曲線（ここでは円）を反時計回りに回る約束で積分をする時に
A→BとB→Aの経路は異なる曲線（異なる２つの開曲線）と考えられるので、
「同一の１変数関数を同じ積分区間で行って戻って積分して合計は０ ？？」・・・といった事には、一般的にはならない事を表現できるわけです。

接線線積分に関する定理とその応用

応用例として、ベクトル場に対する接線線積分は物理学の力学や電磁気学で使われます。特に、数学上成立する定理で応用でも重要なものとして、ストークスの定理と呼ばれる関係式が存在します。

応用例①：積分経路が開曲線の場合…仕事と位置エネルギー

力学における「仕事量」は、接線線積分として定義されます。積分の対象となる関数は力ベクトルです。接線線積分による定義と計算から、別途に運動エネルギー、力学的エネルギーなどの概念が理論的に定義されます。

$$力\overrightarrow{F}によるＰからＱまでの「仕事量」：W=\int_{PQ}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}$$

（「仕事」\(\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}\) の合計が「仕事量」）

この場合の積分経路は基本的には任意ですが、特に必要がなければ開曲線として考える場合が多いのです。これは、単純に「位置Pから位置Qまで物体が移動したとき」といった場合をモデルとして考えるためです。

力のうち、保存力がなす事が可能な「仕事」は、特に位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）とも呼ばれます。これも「仕事」ですから、数式的には接線線積分を考えるわけです。

静電場（時間変動の無い電場）による位置エネルギーは特に電位とも呼ばれ、これは「仕事」ですから力学におけるものと同じく接線線積分で表されるのです。ただし、位置エネルギーの積分範囲は基本的には「『無限遠』からある点まで」とする事が多いです。

$$静電場\overrightarrow{E}による点Ｐにおける「電位」：V_P=-\int_{\infty}^P\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}$$

それに対して、無限遠でない特定の２点間PとQの電位の差（QからPまで単位電荷を運ぶのに必要な電場の仕事量）を電位差あるいは電圧と言い、こちらは２点間の接線線積分として書かれます。

$$静電場\overrightarrow{E}による点Ｐと点Q間の「電圧」：V_{PQ}=\int_P^Q\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}\left(=-\int_Q^P\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}\right)$$

応用例②：積分経路が閉曲線の場合…電磁気学、流体力学におけるストークスの定理

閉曲線に対する接線線積分に関する数学上の定理で、物理学・工学への応用上も重要なものとしてはストークスの定理があり、流体力学や電磁気学の理論計算で使われます。

ストークスの定理は、閉曲線に対する接線線積分と法線面積分を結びつける事ができる定理として知られています。ベクトル場の「回転」（記号では rot あるいは curl）を使用し、その回転という名称をつけている由来にも関係します。

つまり、閉曲線自身と閉曲線で囲まれる面を考えると、数学上定義される「ベクトル場の『回転』」の法線面積分の値は、面の縁に相当する閉曲線を文字通り「回転」するように接線線積分した値に必ず等しくなる、という事です。

ストークスの定理は、例えばアンペールの法則の積分形（「アンペールの周回積分の法則」とも。電流によって発生する環状の磁場を記述）を微分形に変換できる数学的な根拠となります。
逆に、アンペールの法則の微分形を積分形に変換できる事もストークスの定理により証明できます。

また、同様に電磁誘導の法則の微分形と積分形の変換もストークスの定理によって証明できます。電磁誘導の法則の積分形は、前述の「電圧」を発生させる状況を記述するものになります（※）。

ストークスの定理は、もちろん自明に成立しているとは言えません。その証明方法はガウスの発散定理の証明に似ていて、関数をその偏微分の定積分とみなす事で証明を行います。定理の内容はベクトルの成分に関する３式の組み合わせになりますが、それら３式のそれぞれについて個別でも成立するという点でも似ています。

ガウスの発散定理およびガウスの積分と直接的な関わりを持つ物理学での応用例としては、
電磁気学における「ガウスの法則」が存在します。
ここでは特に、
数学と電磁気学との、ベクトル解析・微積分的な関わりの観点からの法則の説明をします。

◆関連：法線面積分の定義

ガウスの法則とは？電場と磁場に関する法則

■ ４つの「マクスウェル方程式」のうちの２つを指す
◆電場に関するガウスの法則　◆磁場に関するガウスの法則
■ クーロンの法則の一般形という解釈

４つの「マクスウェル方程式」のうちの２つを指す

電磁気学における「ガウスの法則」とは、
電磁気学の基本式である４つの「マクスウェル(Maxwell)方程式」のうち２つを指しており、
静電場（時間変動しない電場）と静磁場（時間変動しない磁場）に関する記述を行う式です。

ガウスの法則は、微分方程式でも積分方程式でも、どちらの形でも書かれます。（積分方程式とは、積分を含んだ形で書かれる方程式。）
どちらの形でも互いに変形が可能な、数学的に同等な式になります。

微分方程式で書かれた場合を微分形、積分方程式で書かれた場合を積分形とも言います。
数学の「ガウスの積分」との直接的な関わりがすぐに分かるのは積分形です。

電場に関するガウスの法則

電場に関するガウスの法則を式で書くと次のようになります。数学の定理と区別される「法則」なので、変数や定数は何でもよいわけではなく、電気と磁気に関連する量になります。

\(\overrightarrow{E}\) は電場（＋１[C]の電荷が他の電荷から受ける電気力。ベクトルです）、
Ｑは点電荷の電気量、ρは電荷が連続的に分布している場合の電荷密度です。

ナブラ記号を使って書けば電場に関するガウスの法則の微分形は次のようになります。

$$\nabla\cdot\overrightarrow{E}=\large{\frac{\rho}{\epsilon_0}}$$

微分形で書いた場合には、マクスウェル方程式全体に言える事ですが、電場の２式と磁場の２式のそれぞれについて、「発散（div）」の式と「回転（rot）」の式に分類する事もできます。【回転は curl とも書きます。】

磁場に関するガウスの法則

静磁場の場合にも、電場の場合と似た形の式が成立し、
それも同じくガウスの法則と呼ばれる事が多いです。

ただし、磁場に場合には電場の場合と異なって、「単独の『磁荷』」（「磁気単極子」）が存在しない（磁石で言うと、Ｎ極やＳ極が必ずセットになっていて単独で取り出せない）という事自体が１つの基本法則であると考えられています。

その事に由来して、
「電場の場合の式の右辺に相当する部分がゼロになっている形」が、磁場の場合のガウスの法則になります。

具体的な数式変形は後述しますが、数学的には、ガウスの法則の積分形の式を数学上の「ガウスの発散定理」を使って変形する事でガウスの法則の微分形が得られるという関係があります。

クーロンの法則の一般形という解釈

静電場を表す式としてはいわゆるクーロンの法則というものもあり、それは静電気による力と電気量との定量的な関係を表す式です。
ここで「静電気」とは、冬場などでパチパチとしたり、紙片やビニールがくっついたりしてしまう、あの静電気の事です。

ガウスの法則は、クーロンの法則を一般化した形であるという解釈も成立します。
その事を数式的に説明するには数学公式である「ガウスの積分」を使います。

ガウスの法則の１段階前の式とも言えるクーロンの法則の比例定数ｋは、
一見すると奇怪な形で書かれる事があります。
それは、比例定数が分母に円周率を伴った形で書かれるというものです。

$$k=\large{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}}\hspace{10pt}\left(≒8.988×10^9\right)$$

ここでさらに\(\epsilon\)₀ という比例定数が登場していますが、
これは電磁気に関する別の現象を表す時にも使う「真空の誘電率」です。

$$\large{\epsilon_0=8.8543×10^{-12}≒ \frac{1}{36\pi}×10^{-9}}$$

さてここで、なぜ円周率が出てくるのか？という話ですが、
これは数学公式のガウスの積分との直接的な関係があるのです。
数式によって後述しますが、実はガウスの法則をクーロンの法則から導出する方法を見る事で理由が分かるのです。

また、ガウスの積分は図形の「球」との直接的な関係がありますから、
上記の「円周率」は、最終的には図形の球に由来するものであるとも言えます。

導出：微分形と積分形の数式変換

■ 電場の場合　■ 磁場の場合

ガウスの法則の積分形と微分形の式は、数学的にはガウスの発散定理によって変換できます。

これを使用して、積分形から微分形、および微分形から積分形への変換を数式で行う事ができます。

電場の場合

ガウスの法則の積分形の左辺は、発散定理の左辺の形をしています。ここで、電荷密度を考えた場合の式を見ると、領域内を体積分した形が右辺にあります。
（※補足：細かい事を言うと、ここで領域Vは個々の点電荷の周囲の微小領域を除いたものを考えます。電荷密度の積分は閉曲面内の「電荷の電気量の合計」の意味ですが現に点電荷が存在した時にまさにその位置では計算上微分不可能な点であるためです。）

$$電荷密度に対するガウスの法則：\int_S\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=\large{\frac{1}{\epsilon_0}}\int_V\rho dv$$

$$ガウスの発散定理により\int_S\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_V \mathrm{div}\overrightarrow{E}dv$$

左辺が同一ですから、右辺同士を等号で結びます。

$$\int_V \mathrm{div}\overrightarrow{E}dv=\large{\frac{1}{\epsilon_0}}\int_V\rho dv=\int_V \large{\frac{\rho}{\epsilon_0}}dv$$

$$\Leftrightarrow \int_V \mathrm{div}\overrightarrow{E}dv=\int_V \large{\frac{\rho}{\epsilon_0}}dv$$

計算の結果を見ると
「２つの関数について、領域Ｖで体積分すると同じ値」という式になっています。

ここで、「定積分した値が同じ」であるからといって、積分対象になっている関数が同一のものとは限らない事に注意は必要です。簡単な例を挙げると、ｙ＝ｘと、ｙ＝－ｘ＋１は、ｘについて０から１まで積分すれば同じ１／２という値ですが、当然積分の中身の関数は別物ですね。

しかしここでの場合は、積分する領域Ｖが、特定のＶではなくて空間上の「任意の領域」です。
１変数関数の積分で言うと「任意の積分区間で」という事になります。
グラフを考えてみると分かりやすいかと思いますが、２つの異なる関数についてある積分区間で偶然定積分の値が等しくなったとしても、区間を変えればすぐに値は変わってしまいます。あらゆる区間で例外なく積分値が同じになるには、そもそも同一の関数でなければならないのです。
その理由により、上記の体積分の関係式についても積分する対象が等しくなければならないのです。

整理しますと次のようになります。

$$\int_V \mathrm{div}\overrightarrow{E}=\int_V \large{\frac{\rho}{\epsilon_0}}dvであり、「積分領域Ｖは任意であるから」\mathrm{div}\overrightarrow{E}=\large{\frac{\rho}{\epsilon_0}}$$

と言える事になります。
これは電場に関するガウスの法則の微分形に他なりません。【導出終わり】

逆に微分形から積分形を導出するには、微分形の両辺を領域Ｖで体積分し、
ガウスの発散定理によって法線面積分と結びつければよい事になります。

磁場の場合

磁場の場合もやり方は同じです。

$$ガウスの発散定理により\int_S\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_V \mathrm{div}\overrightarrow{B}$$

$$\int_S\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}=0 より、\int_V \mathrm{div}\overrightarrow{B}=0$$

この場合も、「任意の積分領域Ｖに対して」積分するとゼロという式なので、
積分する前からの話として div\(\overrightarrow{B}\)=0 でなければそれは起こり得ない事になります。
（※磁場が恒等的にゼロなのではなくて、「静磁場としてあり得る任意の形に対して、ベクトル場の発散を考えると必ずゼロになる」という意味です。）

ガウスの法則をクーロンの法則から導出する（電場の場合）

■ ガウスの積分と発散定理からの導出　
■ 逆にガウスの法則からクーロンの法則は導出可能？の問題　
■ 磁場の場合にもガウスの法則を導出可能？の問題

ガウスの積分と発散定理からの導出

電場とは「＋１[C]の電荷が他の電荷から受ける力」と定義して定めた量ですので、クーロンの法則で片方の電荷の電気量を１としたものとして式で表せます。

$$電場の大きさ：E=\large{\frac{kQ}{r^2}}=\large{\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2}}$$

$$ベクトルの場合：\overrightarrow{E}=\large{\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2}}\cdot\frac{\overrightarrow{r}}{r}=\large{\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^3}}\overrightarrow{r}$$

さてこれを見ると、「距離の逆２乗に比例するベクトル場」ですから、
法線面積分を考えれば「ガウスの積分」の公式を使用できます。

ここでの場合、電荷を囲む閉曲面を考えますから、公式で言うと「原点が閉曲面の内側にある場合」です。この時にガウスの積分の値は、極限値として\(4\pi\) になります。

ところで、上記の電場ベクトルでは、Ｑ／(\(4\pi \epsilon\)₀) という部分は比例定数です。そこで、残りの部分がガウスの積分におけるベクトル場と同じ形という事になります。

という事は、上記の電場ベクトルを電荷を囲む閉曲面で法線面積分すると、次の計算結果になります。

$$\int_S\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=\large{\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}}\cdot d\overrightarrow{s}=\large{\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}}\cdot 4\pi=\large{\frac{Q}{\epsilon_0}}$$

つまり、電場に関するガウスの法則の積分形になります。【導出終わり】

尚、閉曲面の外に電荷があるような場合を考えたとして、同じように法線面積分を考えたとすると、ガウスの積分の公式により、法線面積分の値は０になります。
ただしその場合にはむしろ、物理的には「閉曲面内に電荷は存在しない」という解釈になるでしょう。

逆にガウスの法則からクーロンの法則は理論的に導出可能？の問題

上記の説明は電場に関して「クーロンの法則が成立→ガウスの法則が成立」という事が数学的には導出可能である事を述べたものですが、
物理学的にも数学的にも、もう少しだけ詳しく言うとクーロンの法則は理論的には、
①電場に関するガウスの法則
②静電場の渦無しの法則（電場の「回転」が０、数式だと rot\(\overrightarrow{E}\)=0）
③無限遠でベクトル場の大きさが距離の逆２乗の程度の収束の速さで０に近づく
という３条件が全て成立している事と等価である式になります。

つまり、逆に「ガウスの法則が成立するならクーロンの法則も直ちに成立すると理論的に言えるか？」という問題に関しては、「渦無しの法則と、無限遠での条件を課せばそうである」という事になります。

磁場の場合にもガウスの法則を導出可能？の問題

では磁場の場合はどうでしょうか。
実は磁場に関しても、その大きさが距離の逆２乗に比例するという実験結果があります（それもクーロンの法則とも呼ばれます）。

しかし磁場の場合には実は話が少し変わってきて、
静電場におけるクーロンの法則に対応するものは、ビオ・サバールの法則と言って外積（クロス積）を使って表された形をしており、接線線積分で書かれます（あるいは微小部分に対する形式でも書かれます）。
これは磁石ではなく電流により発生する磁場を記述したものです。（別途にアンペールの法則というものもあります。）
磁場に関するガウスの法則の積分形は、「ビオ・サバールの法則から導出できる」というのが磁場の場合の一般的な理論になっています。

上記でも少し触れましたが、電流により発生する磁場は軸対称（ここで言う軸とは電流の向きを表す直線）で同心円上にて等しい値になる事から、磁場の発散 div\(\overrightarrow{B}\) がゼロになる事、つまり磁場に関するガウスの法則の微分形のほうを先に述べるという事もあります。
磁場の大きさが電流の向きに対して軸対称になる事を使うのは、ビオ・サバールの法則を基本に考える場合も実は同じです。

磁石による磁場を考える場合には、単独の電荷に相当する「磁荷」を実験的に見出せず、
Ｎ極とＳ極の対（「磁気双極子」）が必ず現れるというのが基本認識になっています。
ところで、その磁気双極子が板状の磁石に一様に分布していると仮定すると、
実は「磁石が作る磁場も（微小な）環状電流が作る磁場と同じ形になる」という事を理論的に示せるのです。そこで、磁石が作る磁場に関しても同様に、
磁場に関するガウスの法則が成立する、という理論的な流れがあります。

磁石に関しては、物質の磁性の観点から理論的に話を突き詰めようとすると実は話が結構面倒で、電磁気学だけでなく量子力学の理論もどうしても必要になるというのが物理学の理論の現在の見解になっています。

真空の誘電率に関わる円周率とガウスの法則との関係

さて、最後にクーロンの法則の比例定数を円周率を含んだ形で表す事がある事について、ガウスの法則との関連からの理由を考察してみましょう。

前述の「クーロンの法則からガウスの法則を導出する方法」を見ると、
途中で使っている「ガウスの積分」の公式には球の表面積由来の円周率が含まれていますが、
結果のガウスの法則の式には円周率は含まれていません。

これはもちろん、クーロンの法則のほうの比例定数を「円周率の逆数と別の比例定数の積」の形で表していたので、式の中で円周率が分子と分母で約分されて「１になって消えた」ためです。

逆に、もしクーロンの法則の比例定数を一括でｋで表した場合には、ガウスの法則には見かけ上、円周率がくっついて来るわけです。（もちろん、定数の数値的な値自体はどちらの場合でも同じです。）

つまり、敢えて「円周率を含んだ比例定数」を考える事により、クーロンの法則からガウスの法則を導出した時に、逆に「円周率を定数として含まない形で記述できる」という、ちょっとした数式上のカラクリがあるわけです。
図形的な球や球面に由来して、円周率が隠れた形で物理学の理論に関わってくる例の１つになります。